Prof. Dr. Jürgen Roth Didaktik der Mathematik Bruchrechnen

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Didaktik der Mathematik
Bruchrechnen – Fragebogen 1
1
3
1
2
+
=
?
=
=
+
3
6
1
2
=
+
+
=
=
?
=
2
6
1
3
=
=
=
3
6
2
6
5
6
5
6
Grundvorstellung: Bruch als Teil eines Ganzen
1
1
𝑣𝑜𝑛 1680 𝑘𝑚 = ∙ 1680 𝑘𝑚 = 840 𝑘𝑚
2
2
3
3
𝑣𝑜𝑛 1680 𝑘𝑚 = ∙ 1680 𝑘𝑚 = 360 𝑘𝑚
8
8
1 3 4 3 7
+ = + =
2 8 8 8 8
7 8 7 1
1− = − =
8 8 8 8
1
1
𝑣𝑜𝑛 1680 𝑘𝑚 = ∙ 1680 𝑘𝑚 = 120 𝑘𝑚
8
8
Grundvorstellung: Relativer Anteil (von-Ansatz)
a) Eine Achtelnote ist ein Viertel von einer halben Note.
b) Eine Sechzehntelnote ist ein Achtel einer halben Note.
c) Eine Achtelnote entspricht der Notenlänge von zwei Sechzehntelnoten. Fünf Achtelnoten
entsprechen also zehn Sechzehntelnoten. Zehn Sechzehntelnoten und fünf Sechzehntelnoten
sind fünfzehn Sechzehntelnoten. Dies ist weniger als sechzehn Sechzehntelnoten, also
weniger als eine ganze Note.
Grundvorstellung:
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Quasikardinalzahl
Teil eines Ganzen (das Ganze, also die Bezugsgröße wechselt!)
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In der zweiten Schachtel sind 6 Kugeln.
Grundvorstellung:
Vergleichsoperator
Die Schachtel A enthält 35-mal so viele Kugeln wie die Schachtel B.
Grundvorstellung:
Vergleichsoperator
Grundvorstellung:
Verhältnis
Einen Bruch erweitern bedeutet, die Unterteilung
(des Ganzen) zu verfeinern.
Grundvorstellung:
6
8
3
4
Erweitern als Verfeinern
Einen Bruch kürzen bedeutet, die Unterteilung (des Ganzen) zu vergröbern.
Grundvorstellung:
𝑎 3
=
𝑏 4
=
1
2
3
6
Kürzen als Vergröbern
=
Die kürzere Landebahn hat die 45-fache Länge der längeren Landebahn.
Grundvorstellung:
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Verhältnis
Vergleichsoperator
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a) Vor dem Geburtstagsfrühstück wurde ein Drittel der Geburtstagstorte für den Nachmittagskaffee „sichergestellt“ und im Kühlschrank aufgehoben. Nach dem Frühstück war auf der
Kuchenplatte noch ein Drittel der Geburtstagstorte übrig. Mit dem „sichergestellten“ Drittel
im Kühlschrank waren noch sieben der ursprünglich zwölf Tortenstücke für den
Nachmittagskaffee übrig.
b) Mareike hat eine dreiviertel Tafel Schokolade geschenkt bekommen. Sie schenkt ihrem
Bruder Tobias eine viertel Tafel Schokolade und stellt dann fest, dass Ihre noch eine halbe
Tafel Schokolade übrig bleibt.
Grundvorstellung: Bruch als Teil eines Ganzen
Addieren als Zusammenfügen
Subtrahieren als Wegnehmen
1
2
Grundvorstellung: Bruch als Teil eines Ganzen
Addieren als Zusammenfügen
1
5
5
10
2
10
7
10
1
2
5
4
9
𝑘𝑔 + 𝑘𝑔 =
𝑘𝑔 + 𝑘𝑔 =
𝑘𝑔 = 0,9 𝑘𝑔
2
5
10
10
10
+2
+ 1
5
2
0
+2
5
2
5
1
1
2
oder
+2
5
0
1
2
9
10
1
Grundvorstellung: Bruch als Teil eines Ganzen
Addieren als Vorwärtsbewegung, Voranschreiten
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Bruchrechnen – Fragebogen 2
Petra hat bei einem Würfelspiel bereits fünf Sechstel des Weges auf dem Spielplan
zurückgelegt. Auf dem aktuellen Feld kann sie die Frage aber nicht beantworten und muss ein
Drittel des ganzen Weges zurückgehen. Jetzt muss sie wieder die Hälfte des Weges bis zum Ziel
zurücklegen.
Grundvorstellung: Bruch als Teil eines Ganzen
Subtrahieren als Rückwärtsbewegung, Zurückschreiten
4 4 4 4
3∙ = + +
5 5 5 5
2 2 2 2 2
2
+ + + + =5·
3 3 3 3 3
3
Grundvorstellung: Multiplikation als abgekürzte Addition
4
4
12
2
𝑣𝑜𝑛 3 = ∙ 3 =
=2
5
5
5
5
Grundvorstellung: Relativer Anteil (von-Ansatz)
Tobias trinkt unter der Woche, als von Montag bis Freitag, an jedem Tag
Mutter überlegt, wie viel Milch sie für die nächste Woche einkaufen muss.
2
3
Liter Milch. Seine
Grundvorstellung: Multiplikation als abgekürzte Addition
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2 5
5
2
Unter 3 ∙ 7 stelle ich mir vor, das man von einem 7-Stück Pizza 3 essen möchte. Das Ergebnis ist
der Anteil der ganzen Pizza, die man dann gegessen hat.
Oder
2 5
2
5
Unter 3 ∙ 7 stelle ich mir den Flächeninhalt eines Rechtecks vor, das 3 m lang und 7 m breit ist.
4 2
2
4
: repräsentiert für mich die Frage, wie oft 5 in 5 enthalten ist.
5 5
Grundvorstellung: von-Deutung der Multiplikation (relativer Anteil)
Division als Messen
4
2
: 2 = 4 𝑁𝑒𝑢𝑛𝑡𝑒𝑙 ∶ 2 = 2 𝑁𝑒𝑢𝑛𝑡𝑒𝑙 =
9
9
Grundvorstellung: Division als Verteilen
Bruch als Quasikardinalzahl
Grundvorstellung: Division als Umkehrung der
Multiplikation
Multiplikation als abgekürzte
Addition
7 7
7 7
7
7
7
7
:
= 5⇔ −
−
−
−
−
=0
2 10
2 10 10 10 10 10
Ja. Wenn man vier Pizzen an drei Personen verteilt, dann bekommt jeder
Pizzen, also mehr als eine Pizza.
4
3
1
Pizzen oder 1 3
Grundvorstellung: Bruch als Teil mehrerer Ganzer
Bruch als Ergebnis einer Division
Division als Verteilen
8
Es bleiben 15 der Schokolade übrig.
7
15
7
1 − 15 = 15 − 15 =
15−7
15
8
= 15
Grundvorstellung: Bruch als Teil eines Ganzen
Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen
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Grundvorstellung: Bruch als Verhältnis
0
Grundvorstellung: Einbettung der natürlichen Zahlen
in die Bruchzahlen
Brüche  Bruchzahl
Verfeinern, Vergröbern
1
2
2
3=
3 6 9 12
= = =
=⋯
1 2 3
4
3
5
3 von 5 sind mehr als die Hälfte, 5 von 12 sind weniger als die Hälfte, also ist 5 größer als 12.
Grundvorstellung: Bruch als absoluter Anteil
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