1. Tutorium: Investition und Finanzierung I. Finanzmathematik

1. Tutorium: Investition und Finanzierung
I. Finanzmathematik
Einführung:



2-Zeitpunkte-Welt: t1, t2
Mehr-Zeitpunkt-Welt: t0, t1, t2,…,tn
Welt in Sicherheit
Zusatzaufgabe 1: Leasing
a) - keine Option, das Auto am Ende der Vertragslaufzeit zu kaufen
- keine Abschlusszahlung
- beide Verträge laufen 12 Monate
- relevante Angaben:
 Höhe der Mitsonderzahlung
 Höhe der monatlichen Rate und
 Guthabenzinssatz (0,4 % pro Monat)
1. Idee: Summe der Auszahlungen bestimmen
Bei 10% Mietsonderzahlung: 1.697,5+12*179,43= 3850,66
Bei 20% Mietsonderzahlung: 3.395+12*35,14= 3816,68
 Bei 20% zahlt man weniger => ???
2. Idee: Zeit berücksichtigen Kapitalt=0: 4000€
a) Bei 10%
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Auszahlung (an Sixt)
1697,5
179,43
-“-“-
179,43
Bei 20%
t
Auszahlung
0
3395
1
35,14
2
Einzahlung (->Bank)
0
9,21
8,53
7,85
7,16
6,47
5,78
5,08
4,39
3,69
2,98
2,28
1,57
Vermögen
2302,5
2132,28
1961,38
1789,79
1617,52
1444,56
1270,91
1096,57
921,52
745,78
569,33
392,18
214,32
Einzahlung
0
2,42
2,29
Vermögen
605
572,28
539,43
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2,16
2,03
1,89
1,76
1,63
1,49
1,36
1,22
1,09
0,95
35,14

506,45
473,33
440,09
406,71
373,19
339,35
305,76
271,85
237,79
203,61
10%-Variante günstiger/vorteilhaft
b) Zins bei 0,2% Zins (Tabelle wie bei a) anlegen)
Bei 10%: Endvermögen 181,36€
Bei 20%: Endvermögen 193,33€
 Bei niedrigem Zins 20% Variante vorteilhaft
Bsp.: :=5% (Habenzins=Sollzins)
t
0
1
2
3
Zt 50
10
20
50
10
4
100
20
100
5
10
10
Barwert= BW= (1+𝑖) + (1+𝑖)2 + 1,033 + 1,034 + 1,035 = 173,75
𝑍𝑡
𝑛
Allg.: ∑𝑡=0
(1+𝑖)𝑡
Aufgabe 1: (Von Aufgabensammlung)
(i) Barwert: Wert einer Zahlunsreihe zum Zeitpunkt t=0 (s.o.)
(ii) vorschüssig, nachschüssig
 Nachschüssig (ns) bedeutet, dass die Zahlung zum jeweiligen Periodenende erfolgt
 Vorschüssig (vs) -> am Anfang
(iii) geometrisch wachsende Rente
Konstante Rente: in jeder Periode der gleiche Rentenbetrag
Geometrisch wachsende Rente: die Rente wächst jährlich/ pro Periode um einen
gewissen Satz w an
t=1: R
t=2: R+w*R=(1+w)*R
t=3: (1+w)*R+w*(1+w)*R=(1+w)2*R
t=n: (1+w)n-1*R
b) (i) Formel der geometrischen Rente
geometrische Rente: Die Summe aufeinander folgende Glieder einer Folge
𝑛
∑ 𝑞 𝑡 = 𝑞 0 + 𝑞1 + 𝑞 2 + 𝑞 3 + ⋯ + 𝑞 𝑛 =
𝑡=0
1−𝑞
∗ (1 + 𝑞 + 𝑞 2 + 𝑞 3 + ⋯ + 𝑞 𝑛 )
1−𝑞
1
∗ ((1 − 𝑞) + (𝑞 − 𝑞)2 + (𝑞 3 − 𝑞 3 ) + ⋯ + (𝑞 𝑛 − 𝑞 𝑛+1 ))
1−𝑞
1
=
∗ (1 − 𝑞 𝑛+1 )
1−𝑞
1−𝑞𝑛+1
∑𝑛𝑡=0 𝑞 𝑡 =
für q≠1
1−𝑞
=
2. Tutorium: Investition und Finanzierung
Aufgabe 1
b) (ii) Barwert einer geometrisch wachsenden Rente
w: Wachstumsrate
i: Diskontierungszins
BWns=
𝑅
1+𝑖
𝑅(1+𝑤)
+
(1+𝑖)2
+
𝑅(1+𝑤)2
+⋯+
(1+𝑖)2
𝑅(1+𝑤)𝑛−1
(1+𝑖)𝑛
𝑅
= ∑𝑛𝑡=1(1 + 𝑤)𝑡−1 ∗ (1+𝑖)𝑡
Umformung nach t=0
((1+𝑤)𝑡−1 ∗𝑅
BWns=∑𝑛𝑡=1 (1+𝑖)∗(1+𝑖)𝑡−1 =
1+𝑤 𝑛+1−1
1−(
)
1+𝑖
1+𝑤
1−( 1+𝑖 )
BWns=𝑅 ∗
=
𝑅
1+𝑖
∗
1+𝑤 𝑡−1
𝑅
1+𝑖
∑𝑛𝑡=1 (
)
1+𝑖
1+𝑤 𝑛
1−(
)
1+𝑖
1+𝑖−(1+𝑤)
1+𝑖
=
𝑅
1+𝑖
∑𝑛𝑡=0 (
1+𝑤 𝑡
Geometrische Reihe
1+𝑤 𝑛
)
1+𝑖
1−(
𝑖−𝑤
ns-Barwert einer geometrisch wachsenden Rente
(iii) Barwert einer konstanten Rente (ns) w=0
BWns=𝑅 ∗
1−(
1 𝑛
)
1+𝑖
𝑖
RBF: Rentenbarwertfaktor
(iv) Barwert einer unendlichen Rente
Unendliche Rente (n->∞); Rente wird unendlich lange gezahlt
Anmerkung: w<i+w
lim
𝑛→∞
1−(
1+𝑤 𝑛
)
1+𝑖
𝑖−𝑤
1
= lim [𝑖−𝑤 −
𝑛→∞
(
1+𝑤 𝑛
)
1+𝑖
𝑖−𝑤
1+𝑤 𝑛
1
1
] = 𝑖−𝑤 lim [1 − ( 1+𝑖 ) ] = 𝑖−𝑤
𝑛→∞
=0, da Nenner stärker gegen
Unendlich geht als Zähler
1
BWns∞ =𝑖−𝑤 ∗ 𝑅 „Gordon-Formel“
1
w=0: BWns∞= 𝑖 ∗ 𝑅 konstante Rente
Aufgabe 2 i=10%
Konstante Rente
a)
t
0
1
(i) znsb
0
500
2
3
500 500
4
500
5
500
𝑅
) = 1+𝑖 ∗
1+𝑖
(ii)zvst
500 500
(i) BWns=500 ∗
1−(
500 500
1 𝑛
)
1+𝑖
= 500 ∗
𝑖
500
1−(
1 5
)
1,1
0,1
0
= 1895,39
Diesen Betrag kann ich heute konsumieren, denn ich kann mit meiner Rente in 5 Jahren die
Kreditaufnahme mit 1895,39 tilgen.
(ii) BWvs=500 +
500
1,1
Allg.: BWns=𝑅 ∗
500
1−(
BWvs= 𝑅 ∗
500
500
+ 1,12 + 1,13 + 1,14 = 2084,93 = (1 + 𝑖) ∗ 𝐵𝑊 𝑛𝑠
1 𝑛
)
1+𝑖
𝑖
1−(
1 𝑛
)
1+𝑖
𝑖
(1 + 𝑖)
b) wachsende Zahlungen: w=5%
t
(i) znst
(ii)
(i)
BWns=
0
0
500
𝑅∗
1
2
3
4
5
2
3
500
500*1,05 500*1,05 500*1,05 500*1,054
500*1,05 500*1,052 500*1,053 500*1,054 0
1−(
1+𝑤 𝑛
)
1+𝑖
𝑖−𝑤
= 500 ∗
1−(
1,05 5
)
1,1
0,1−0,05
= 2075,3
(ii) BWvs= (1+i)*BWns=2282,83
c) unendliche Zahlungsreihe: ∞-Rente, i=0,1
BWns∞=…=10.000
BWvs∞=…=11.000
Aufgabe 3:
a) Mit dem Sollzins (≠Habenzins) wird geworben. Er ist der vereinbarte Kreditzins.
Normalzins (p.a.); ij=4,49%
Jährlicher Effektivzins: tatsächliche Verzinsung
Zinssatz in %, der in einem Jahr bezahlt wird.
Anm.: mit unterjähriger Verzinsung (hier: monatlich) => Zinseszinseffekt
Kreditbetrag: 1€
𝑖
Monatszins: im=12𝑗
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝑖𝑗
[1€ (1 + 12)] ∗ (1 + 12) ∗ (1 + 12) ∗ …
Am Ende des 1. Monats
Am Ende des 2. Monats
𝑖
12
Betrag am Ende des 12. Monats: 1€ ∗ (1 + 12𝑗 )
𝑖
𝑛
360
Allg.: 𝑖𝑒𝑓𝑓,𝑗 = (1 + 𝑛𝑗 ) − 1 n=𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑇𝑎𝑔𝑒 𝑖𝑚 𝐵𝑒𝑡𝑟𝑎𝑐ℎ𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑧𝑒𝑖𝑡𝑟𝑎𝑢𝑚
Hier: ieff,j=(1 +
0,0449
12
) − 1 = 4,58%
b) Annuität=gleichbleibende Rate
Annn = Annuität, die monatlich gezahlt wird bei einer Laufzeit von n Monaten
𝐴𝑛𝑛𝑛
𝑡
𝑚)
10.000= ∑𝑛𝑡=1 (1+𝑖
10000 = 𝐴𝑛𝑛𝑛 ∗
𝐴𝑛𝑛𝑛 = 10000:
1−(
1−(
𝑡
1
)
1+𝑖𝑚
𝑖𝑚
1
)
1+𝑖𝑚
𝑖𝑚
=853,74 [€]
Analog: Ann24=436,44
Ann36=297,43
Ann48=227,99
Ann60=186,39
Ann72=185,70
Ann84=138,96
;im=monatlicher Nominalzins
𝑡
0,0449
;im=
12