Das 3D-Modul in der Version GeoGebra 5.0

Andreas Lindner
GeoGebra3D – ein Überblick
Bei seiner Konzeption war die Mathematiksoftware GeoGebra lediglich als
Programm für die dynamische Verknüpfung von Geometrie und Algebra ausgelegt,
doch
im
Lauf
der
Zeit
kamen
weitere
Module
zur
Verwendung
einer
Tabellenkalkulation und für ein Computeralgebrasystem hinzu. Seit einiger Zeit wird
auch an einer Erweiterung durch ein 3D-Modul gearbeitet, das die Darstellung von
Objekten in einem dreidimensionalen Koordinatensystem ermöglicht. Die momentan
zur
Verfügung
stehende
Beta-Version
(Stand
Mai
2014,
siehe
http://www.geogebra.org/cms/roadmap) ist bereits weit fortgeschritten und lässt
einen Einblick auf die zukünftige Version GeoGebra 5 mit 3D Grafikansicht zu.
In diesem Beitrag sollen nach einem kurzen Überblick über die grundlegenden
Eigenschaften dieser 3D - Ansicht in GeoGebra einige der neuen Möglichkeiten für
den Unterricht anhand von exemplarischen interaktiven Arbeitsblättern zu Themen
aus der Geometrie, Analysis und angewandten Mathematik vorgestellt werden. Alle
Beispiele sind in dem GeoGebraBook „GeoGebra3D – ein Überblick“ (siehe
http://ggbtu.be/b117926)
online
verfügbar.
Ziel
ist
ein
Überblick
über
die
Möglichkeiten, die GeoGebra mit dem 3D-Modul bietet, deshalb wird auf eine
detaillierte Besprechung der Lösungswege aller vorgestellten Beispiele nicht
eingegangen.
Abbildung 1
Anwendungsbeispiele für GeoGebra3D
1. Das 3D-Modul in der Version GeoGebra 5.0
Die Bedienung des Programms
Die Oberfläche des Programms erscheint beim erstmaligen Öffnen von GeoGebra
5.0 Beta in der gewohnten Form mit dem Algebra- und dem Grafik-Fenster. Die
Änderungen in der neuen Version sind erst erkennbar, wenn man unter dem
Menüpunkt Ansicht das neu hinzugekommene Modul Grafik 3D aufruft. Dadurch wird
eine zusätzliche Ansicht mit einem dreidimensionalen Koordinatensystem geöffnet,
die das Arbeiten mit GeoGebra in der gewohnten Art ermöglicht, nur eben nun in
einem Raumkoordinatensystem (siehe Abbildung 3).
Beim Klicken in eine andere Ansicht ändert sich das Erscheinungsbild der
Symbolleiste, wobei für das Arbeiten in 3D eine Reihe von neuen Symbolen
hinzugekommen ist. Die Werkzeugleiste in Abbildung 2 zeigt den momentanen
Stand der Entwicklung der Beta-Version und kann sich bis zur Fertigstellung von
GeoGebra 5 noch verändern.
Abbildung 2
Werkzeugleiste in der "Grafik 3D" - Ansicht
Die bisher in GeoGebra zur Verfügung stehenden Werkzeuge wie Gerade, Strecke,
Vieleck etc. können in analoger Weise auch in der "Grafik 3D" - Ansicht verwendet
werden. Gerade diese intuitive und an die bisherige Handhabung des Programms
angelehnte Bedienung soll den Einstieg bzw. Umstieg auf das 3D-Modul
vereinfachen.
Abbildung 3
GeoGebra mit Algebra-, Grafik- und der neuen 3D-Ansicht
In GeoGebra sind die einzelnen Ansichten dynamisch miteinander verbunden. Wird
etwa in der Algebra-Ansicht eine Änderung durchgeführt, so hat dies auch
Auswirkungen auf alle anderen Ansichten. Ebenso ermöglicht GeoGebra das
dynamische Zusammenspiel des zweidimensionalen Grafikfensters mit dem
dreidimensionalen. In Abbildung 3 ist ein Rechteck zu sehen, das sowohl in der
Grafik-Ansicht als auch in der Grafik 3D-Ansicht dargestellt wird.
Punktkoordinaten können für die 3D-Ansicht wie in der zweidimensionalen
Grafikansicht über die Eingabezeile eingegeben – beispielsweise mittels A = (1, 2, 3)
– oder mit der Maus direkt erzeugt werden. Nach einmaligem Mausklick im
Bewegen-Modus auf einen Punkt kann dieser in der xy-Ebene verschoben werden,
nach nochmaligem Klicken auf den Punkt auch in die z-Richtung. Dies ermöglicht es
auch auf Touchscreens mittels Finger zwischen horizontaler und vertikaler
Verschiebung durch nochmaliges Antippen eines Punktes umzuschalten.
Abbildung 4
Horizontale und vertikale Verschiebung
Die Gestaltungsleiste der 3D-Ansicht (siehe Abbildung 5) ist ein wichtiges
Bedienungselement und ermöglicht ein rasches Wechseln zwischen verschiedenen
Perspektiven und Darstellungsweisen des 3D-Koordinatensystems.
Abbildung 5
Gestaltungsleiste der 3D-Ansicht
Die Elemente der Gestaltungsleiste im Detail:
Rotation: führt eine Rotation um die z-Achse mit variabler Geschwindigkeit
aus
Grundriss: dreht die Konstruktion in den Grundriss
Aufriss: dreht die Konstruktion in den Aufriss
Seitenriss: dreht die Konstruktion in den Seitenriss
Parallelprojektion
Perspektive
Anaglyphendarstellen (3D-Darstellung)
Schrägriss
Durch Wechseln der Projektionsart kann ein Objekt unterschiedlich dargestellt
werden.
Abbildung 6
Die verschiedenen Projektionsverfahren in GeoGebra 3D
Parallelprojektion (links oben), Perspektive (rechts oben),
Anaglyphendarstellung für 3D-Brillen (links unten), Schrägriss (rechts unten)
Auch die algebraische Darstellung der dreidimensionalen geometrischen Objekte ist
eine konsequente Fortsetzung des im zweidimensionalen eingeschlagenen Weges.
Geraden werden in Parameterform angezeigt, beispielsweise als g: X = (1,2,3) +
λ(2,-1,1), Ebenen in der Form ε: 3x + y – 2z = 1 und Kugeln mit k: (x – 1)² + (y –
2)² + (z + 1)² = 9. Dies ermöglicht auch eine rechnerische Behandlung eines
Problems im CAS von GeoGebra. Gerade im Hinblick auf die analytische Geometrie
stellt dies ein mächtiges Werkzeug dar und ermöglicht ein Zusammenspiel von
rechnerischer Behandlung und geometrischer Lösung einer Aufgabenstellung.
Im Folgenden sollen nun einige Beispiele für den möglichen Unterrichtseinsatz von
GeoGebra3D anhand konkreter interaktiver Arbeitsblätter vorgestellt werden. Diese
wurden in dem GeoGebraBook „GeoGebra3D – ein Überblick“ gesammelt und sind
unter http://ggbtu.be/b117926 online verfügbar.
2. Beispiele für den Unterrichtseinsatz
2.1. Elementare Geometrie
Für das Konstruieren von Körpern, die anschließend dynamisch veränderbar sein
sollen, eignet sich GeoGebra3D in hervorragender Weise. So gibt es Werkzeuge
zum Erstellen von Pyramiden, Prismen, Kegeln, Kugeln und Zylindern. Bei vielen
dieser Körper ist außerdem das automatische Erzeugen eines Netzes möglich.
Abbildung 7
Gerade quadratische Pyramide
In Abbildung 7 wird eine gerade quadratische Pyramide gezeigt, deren Höhe durch
Verschieben der Spitze variiert werden kann. Mit Veränderung der Höhe ändert sich
auch die Form des Netzes. Weiters ist ein rechtwinkeliges Dreieck als räumliche
Anwendung des Satzes von Pythagoras eingezeichnet.
2.2. Analytische Geometrie und Vektorrechnung
Kugel und Tangentialebene
Das folgende Beispiel zeigt, wie die 3D-Ansicht auch in der analytischen Geometrie
eingesetzt werden kann.
Aufgabenstellung: Die Gerade g: X = (6,4,5) + λ·(-3,-1,-2) wird an der Kugel mit
Mittelpunkt M(2|1|1) und Radius r = 3 (wie ein Lichtstrahl) reflektiert. Wie lautet die
Gleichung der reflektierten Geraden?
Abbildung 8
Reflexion einer Geraden an einer Kugel
Gerade die analytische Geometrie stellt einen Teilbereich der Mathematik dar, bei
dem die rechnerische Behandlung eines Problems mit geometrischen Überlegungen
einhergeht. In GeoGebra3D ist es nun bei gleichzeitiger Verwendung von CAS und
der 3D-Ansicht möglich, die Aufgabe auf geometrischem und rechnerischem Weg zu
lösen, wobei die Ergebnisse der rechnerischen Lösung in der CAS - Ansicht
ersichtlich sind.
Parallelepiped
Die Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds stellt eine Anwendung der
Vektorrechnung im R³ im Zusammenhang mit Skalar- und Vektorprodukt dar und
kann mit der Formel 𝑉 = |(𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗) ∙ 𝑐⃗| bewerkstelligt werden. Schwierigkeiten treten
bei Aufgaben dieser Art allenfalls bei der Wahl der geeigneten Vektoren und bei der
rechnerischen Ausführung auf. Neben dem Operieren gibt es aber noch zahlreiche
andere mathematische Tätigkeiten, die im Mathematikunterricht ein wichtiges Thema
sind. Mit einem geeigneten didaktischen Werkzeug wie GeoGebra kann der Fokus
hier insbesondere auch auf das Interpretieren, Argumentieren und Begründen gelegt
werden.
Das Applet in Abbildung 9 soll die Schülerinnen und Schüler zum Experimentieren
einladen und so bei der Beantwortung der folgenden Fragen helfen.

Wo ist die Länge des Vektorprodukts 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ (außer in der Länge des Pfeils)
noch ersichtlich?

Wie kann man das Skalarprodukt von (𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗) und 𝑐⃗ geometrisch
interpretieren? Wo ist es in der Konstruktion ersichtlich?

Wenn man die Punkte A, B oder C horizontal verschiebt, ändert sich das
Volumen des Parallelepipeds. Wieso ändert es sich nicht, wenn man den
Eckpunkt E horizontal verschiebt?

Wieso ändert sich das Volumen, wenn man den Eckpunkt E vertikal
verschiebt?
Abbildung 9
Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds
Das Bewegen der Eckpunkte und das Betrachten des Parallelepipeds aus
verschiedenen Blickwinkeln unterstützen das explorative Lernen, das ohne
geeignete Hilfsmittel in dieser Form wohl nicht so einfach umsetzbar wäre.
Schnitt von drei Ebenen
Die Beschäftigung mit der Darstellung einer Ebene durch eine Gleichung mit drei
Variablen gehört zu den Grundaufgaben der analytischen Geometrie im Raum. Eng
verbunden damit sind die Untersuchung des Schnitts von zwei oder drei Ebenen und
die rechnerische Lösung des entsprechenden Gleichungssystems. Hier bietet sich
der Einsatz der 3D-Ansicht in Kombination mit dem CAS an.
Abbildung 10 zeigt ein Beispiel, bei dem drei Gleichungen durch Schieberegler für
ihre Koeffizienten verändert werden können. Dementsprechend verändert sich auch
die Lage der Ebenen und ihrer Schnittgeraden.
Abbildung 10 Schnitt von drei Ebenen
Bei dieser Art von Aufgabenstellung steht für die Lernenden nicht das Lösen eines
Gleichungssystems und somit das Operieren im Vordergrund, sondern sie sind
aufgefordert, Koeffizienten so zu finden, dass beispielsweise zwei Ebenen parallel
zueinander oder dass die drei Schnittgeraden der Ebenen zueinander parallel sind.
Eng damit verbunden ist die Begründung, die die Schülerinnen und Schüler angeben
müssen, warum gerade diese Koeffizienten die Bedingungen erfüllen. Diese
geänderten Aufgabenstellungen sind mithilfe neuer Werkzeuge wie GeoGebra nun
mit überschaubarem Zeitaufwand im Mathematikunterricht umsetzbar.
2.3. Differentialrechnung
Extremwertaufgaben
Die gemeinsame Verwendung von dynamisch verknüpften Darstellungen in
unterschiedlichen Fenstern ist eine der Hauptstärken von GeoGebra. So können
beispielsweise
die
beiden
zweidimensionalen
mit
dem
dreidimensionalen
Grafikfenster und der CAS-Ansicht verknüpft werden, wie im vorgestellten Beispiel
gezeigt wird. Abbildung 11 zeigt die Aufgabenstellung, bei der es um die
Berechnung der minimalen Oberfläche einer zylinderförmigen Dose bei gegebenem
Volumen geht – also um eine klassische Extremwertaufgabe.
Das Applet soll für Lernende in mehrerer Hinsicht eine Hilfestellung zur Bearbeitung
der Aufgaben geben. Es soll

eine Hilfe zur Visualisierung der Problemstellung bieten,

eine Möglichkeit zur experimentellen Lösung der Problemstellung geben,

die Lösung der Aufgabe mit Hilfe der Differentialrechnung ermöglichen.
Abbildung 11 Berechnung der minimalen Oberfläche eines Zylinders
Hilfe zur Visualisierung der Problemstellung
Die 3D-Ansicht zeigt die Darstellung des Zylinders in einem dreidimensionalen
Koordinatensystem mit ausgebreitetem Netz. Durch Variieren des Werts für den
Radius r mit dem Schieberegler verändern sich die Abmessungen des Zylinders und
damit die Größe seines Netzes. Gerade diese Visualisierung der realen Situation
kann für Schülerinnen und Schüler eine hilfreiche Unterstützung für das Verständnis
der eigentlichen Problematik sein.
Möglichkeit zur experimentellen Lösung der Problemstellung
Gleichzeitig mit der Veränderung des Radius r wird im zweidimensionalen GrafikFenster unten („Grafik 2“ - Ansicht) ein Punkt mit den Koordinaten (r|O(r))
gezeichnet, wobei r der Radius des Basiskreises ist und O(r) den Wert des
Flächeninhalts der Zylinderoberfläche in Abhängigkeit vom Radius r angibt. Bei der
Veränderung von r beschreibt der Punkt durch seine Spur den Graphen einer
Funktion, deren minimaler Wert bestimmt werden soll. Hat man nun jenen Wert
gefunden, für den der Wert der Oberfläche minimal ist, so fällt auf, dass die bereits
eingezeichnete Tangente an den Graphen waagrecht verläuft.
Lösung der Aufgabe mit Hilfe der Differentialrechnung
Zusätzlich zur experimentellen Lösung kann die Aufgabe auch im CAS von
GeoGebra mit den Mitteln der Differentialrechnung berechnet werden. Das
Aufstellen der Zielfunktion, das Ableiten der Funktion und die weiteren Schritte bei
der herkömmlichen Bearbeitung dieses Aufgabentyps sind in Abbildung 11 bereits in
einer fertigen Lösung präsentiert, sollten in der Praxis aber von den Lernenden
selbst durchgeführt werden.
Ein weiteres Beispiel der Umsetzung einer Extremwertaufgabe mit GeoGebra ist im
Beitrag „Extremwertaufgaben medial aufbereitet“ in diesem Band beschrieben.
2.4. Anwendungen der Integralrechnung
Eine Anwendung der Integralrechnung ist die Berechnung des Volumens von
Körpern. Dabei muss es sich nicht ausschließlich um rotationssymmetrische Körper
handeln, auch die Berechnung des Volumens beispielsweise einer Pyramide ist
mithilfe eines geeigneten Integrals möglich.
In beiden Fällen hilft eine Veranschaulichung, zuerst die näherungsweise
Berechnung mit einer Vielzahl von Quadern oder Zylindern zu verstehen und
anschließend den Übergang zur Berechnung mithilfe eines Integrals zu visualisieren.
Abbildung 12 zeigt, wie das Volumen einer Pyramide als Summe von
umschriebenen Quadern näherungsweise berechnet werden kann. Durch den
Schieberegler kann die Anzahl m der Unterteilungen erhöht werden, wodurch sich
rein optisch die Gesamtheit aller Quader der Form der Pyramide immer mehr
annähert.
Bei der Berechnung des Volumens der Pyramide werden auch hier das CAS-Fenster
und die „Grafik 3D“ – Ansicht miteinander verknüpft. Mithilfe des CAS wird die
endliche Summe von n umschriebenen Quadern berechnet und anschließend der
Grenzwert der Summe für n → ∞ gebildet. Das Ergebnis ist für eine quadratische
Pyramide mit Seitenlange a des Basisquadrats und Höhe h erwartungsgemäß 𝑉 =
1
3
𝑎2 ℎ.
Abbildung 12 Prinzip von Cavalieri – Volumen einer Pyramide
In der „Grafik 2“ – Ansicht kann man beobachten, wie sich die Summe der Volumina
aller einzelnen Quader einem bestimmten Wert – nämlich dem Volumen der
Pyramide – annähert, wenn die Anzahl der Unterteilungen erhöht wird. Das
Experimentieren mit einer unterschiedlichen Anzahl von Unterteilungen soll den
Schülerinnen und Schülern helfen, den Übergang von einer endlichen Summe zum
Integral und der Berechnung mit einer entsprechenden Formel zu verstehen.
Auf ähnliche Weise kann im Fall von Rotationskörpern argumentiert werden, wobei
hier anstelle von Quadern Zylinder verwendet werden. Bei der Rotation des Graphen
der
Sinusfunktion
um
die
x-Achse
entsteht
somit
ein
spindelförmiger
Rotationskörper, dessen Volumen wie in Abbildung 13 berechnet werden soll.
Abbildung 13 Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers
Die Unterteilung des Intervalls von a bis b in n gleich große Teilintervalle erzeugt
eine Anzahl von Zylindern, die eine näherungsweise Berechnung des Volumens
ermöglichen. Auch bei diesem Beispiel sollen Schülerinnen und Schüler mit der
Anzahl der Unterteilungen experimentieren, um die immer besser werdende
Annäherung der Summe an einen bestimmten Wert zu erleben.
2.5. Kurven und Flächen im Raum
In GeoGebra3D ist auch das Darstellen von Kurven und Flächen möglich. Kurven
werden dabei als Parameterkurven eingegeben, und Flächen können entweder als
Graph einer Funktion in zwei Variablen oder als Fläche in parametrisierter Form
definiert werden.
Das erste Bespiel zeigt eine Spirallinie mit Tangente im Punkt P, und das zweite
Beispiel veranschaulicht eine Tangentialebene an eine Fläche, wobei die Tangenten
in x- und y-Richtung mithilfe der partiellen Ableitungen nach x und y gebildet werden
(siehe Abbildungen 14 und 15).
Abbildung 14 Kurven im Raum: die Spirallinie
Abbildung 15 Tangentialebene an eine Fläche im Raum
Durch das Bewegen des Punktes, in dem die Tangentialebene gebildet wird, können
deren Eigenschaften untersucht werden. Dabei sollen auch die Steigungsdreiecke
an die Tangenten in x- und y-Richtung helfen. Die Lage der Tangenten lässt sich
besonders gut in den Projektionsansichten von Grund-, Auf- und Seitenriss
beobachten. Über ein Eingabefeld kann der Benutzer verschiedene Funktionen
eingeben und deren Tangentialebenen darstellen.
2.6. Anwendung in den Gegenständen „Geometrisches Zeichnen“
und „Darstellende Geometrie“
Neben der Verwendung in Mathematik bietet sich auch die Möglichkeit an,
GeoGebra3D in der Sekundarstufe 1 im Fach „Geometrisches Zeichnen“ oder in der
Sekundarstufe 2 im Fach „Darstellende Geometrie“ zum Einsatz zu bringen.
Als Beispiel sei hier der Beweis für die Kegelschnittslinien mithilfe der
Dandelin’schen Kugel erwähnt. Abbildung 16 zeigt eine weitere Facette von
GeoGebra, die es ermöglicht, in einem eigenen Fenster auf jede beliebige Ebene
einen Seitenriss zu gestalten.
Abbildung 16 Dandelin’sche Kugeln
In dieser Darstellung wird der Seitenriss normal auf die in der „Grafik 3D“ – Ansicht
grau gezeichnete Ebene erzeugt. Auch hier ist selbstverständlich die dynamische
Verknüpfung aller Fenster gegeben.
Mit
den
Einsatzmöglichkeiten
von
GeoGebra
in
der
Lehrer-
und
Lehrerinnenausbildung beschäftigt sich auch der Beitrag „GeoGebra in der
Geometrieausbildung“ von Klaus Aspetsberger in diesem Band.
2.7. Anwendung in der Physik
Zum Abschluss soll ein Beispiel den sinnvollen Einsatz von GeoGebra-Applets im
naturwissenschaftlichen Unterricht zeigen. Es wird aber ausdrücklich darauf
hingewiesen, dass Applets ein reales Experiment nicht ersetzen können, und dies
sollen sie auch gar nicht. Dennoch bilden in vielen Fällen GeoGebra-Applets eine
hilfreiche Ergänzung für den Unterricht, die das Verständnis neuer Sachverhalte
erleichtert.
Ein statisches Bild kann das Wesen einer Welle, nämlich ihre Ausbreitung in eine
Richtung mit einer bestimmten Geschwindigkeit, nicht vollständig wiedergeben. Es
bleibt immer dem Betrachter überlassen, sich die Bewegung entsprechend
vorzustellen.
Abbildung 17 Zirkular polarisierte Wellen
In einer Animation (siehe Applet zu Abbildung 17) kann aber sehr anschaulich etwa
die Überlagerung zweier normal zueinander schwingender und in dieselbe Richtung
laufender Wellen gezeigt werden. Der Zeiger, der die Superposition an einer Stelle
anzeigt, rotiert je nach Phasenverschiebung im oder gegen den Uhrzeigersinn. Man
spricht dann von einer rechts zirkular polarisierten Welle, im anderen Fall von einer
links zirkular polarisierten Welle.
3. Zusammenfassung
Die 3D-Ansicht von GeoGebra befindet sich aktuell in Entwicklung, kann bereits als
Beta Version ausprobiert werden und wird mit GeoGebra 5 voraussichtlich noch
2014 veröffentlicht werden. Insbesondere werden dann die 3D-Applets auch auf
HTML5 Basis in GeoGebraTube (www.geogebratube.org) verfügbar sein, sodass sie
auch auf Tablets und Smartphones uneingeschränkt Verwendung finden können.
In diesem Beitrag wurden mehrere konkrete Anwendungsbeispiele der GeoGebra
3D-Ansicht für den Unterricht vorgestellt (siehe GeoGebraBook „GeoGebra3D – ein
Überblick“ http://ggbtu.be/b117926). Dabei ist insbesondere das dynamische
Zusammenspiel mit den anderen bestehenden Ansichten wie der 2D-Grafik und dem
CAS Fenster besonders interessant, da so Zusammenhänge verschiedener
Darstellungsformen verdeutlicht werden können.
GeoGebra ist in vielen Schulen zur Standardsoftware in Mathematik geworden und
wird inzwischen auch sehr oft in der Lehrer- und Lehrerinnenausbildung an
Pädagogischen Hochschulen und Universitäten eingesetzt. Insofern ist zu erwarten,
dass
die
neuen
Möglichkeiten
der
räumlichen
Darstellung
von
Objekten
Auswirkungen auf die Schulmathematik und die Ausbildung von Lehrkräften haben
werden.