1. SA

1. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ck – jaksch
Montag, 16. November 2015
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1 Straßenverkehr
a)
Die Verkehrsbelastung einer hochrangigen Straße wird empirisch ermittelt,
dabei werden folgende Daten erhoben:
Verkehrslast in FZ/d
Anzahl der Tage
8000
400
10000
800
15000
900
20000
200
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung des
Merkmals Verkehrslast. Zeichnen Sie ein Boxplot-Diagramm für diese Situation.
b)
Die beiden folgenden Boxplots stellen die Verkehrssituation in den beiden Orten Achendorf und Beheimkirchen dar. Der Merkmalswert ist die Verkehrsbelastung in Fahrzeugen pro Tag (FZ/d).
Ergänzen Sie die folgenden Aussagen:
An jedem Tag fahren mehr als
In
Fahrzeuge durch Achendorf.
% aller Tage fahren mehr als 1 200 Fahrzeuge durch Achendorf
Die Spitzenbelastung in Beheimkirchen ist
Nie fahren mehr als
Fahrzeuge pro Tag.
Fahrzeuge durch Achendorf.
In der Hälfte der Tage fahren mehr als
In Beheimkirchen schwankt die Verkehrsbelastung
Fahrzeuge durch Beheimkirchen.
stärker / weniger stark
als in Achendorf.
c)
In den letzten zehn Jahren stieg die Verkehrsbelastung durch das Rampitschtal mit einer Wachstumsrate
von durchschnittlich 3 %. Berechnen Sie die Verdopplungszeit für die Verkehrsbelastung. Im Jahr 2014
war die Belastung durchschnittlich 12 000 FZ/d. Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Belastung auf
30 000 FZ/d steigt. Argumentieren Sie, warum ein exponentielles Modell auf lange Sicht für diese Situation nicht aufrecht zu halten ist.
d)
In einer Gemeinde verläuft die Verkehrsbelastung auf der Hauptstraße nach einer logistischen Funktion
G(t) = Error!. t ist dabei die Zeit in Jahren nach 2000, G(t) die Verkehrsbelastung in Fahrzeugen pro
Tag (FZ/d). Der Funktionsgraph ist in folgendem Diagramm dargestellt. Lesen Sie aus der Graphik den
Wert M ab und interpretieren Sie diesen Wert. Lesen Sie aus dem Graphen die Verkehrsbelastung zum
Zeitpunkt 0 ab und ermitteln Sie daraus die Größe des Parameters b. Berechnen Sie aus einem weiteren
Punkt den Parameter k.
Beispiel 2 Straßenverkehr
a)
Der zeitliche Verlauf der Verkehrsbelastung eines Straßenstückes wird durch die Funktion
B(t) = 290 + 340 t – 55 t2 + 3,35 t3 – 0,07t4 modelliert.
Dabei ist t die Uhrzeit in Stunden und B die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (KFZ/h).
Stellen Sie die Funktion im Bereich 0 bis 24 Uhr grafisch dar. Berechnen Sie die Verkehrsspitzen mit
Uhrzeit und Verkehrsbelastung und die Zeiten mit dem schwächsten Verkehrsaufkommen (mit den Verkehrsbelastungen).
b)
Auf einem Straßenstück ist die Verkehrsbelastung mit B(t) = 12(t – 13)2 + 200 für t ∈ [6; 20],
wobei t die Uhrzeit bedeutet. B ist die Verkehrsbelastung in Fahrzeugen pro Stunde (FZ/h).
Berechnen Sie die Gesamtbelastung zwischen 6:00 Uhr und 20:00 Uhr.
Argumentieren Sie, warum man mit diesem Modell die Gesamtbelastung über einen Tag (also von 0:00
Uhr bis 24:00 Uhr) nicht ausrechnen kann.
c)
Das Verkehrsaufkommen auf einer Straße wird durch Zählung während eines Tages ermittelt. Es ergeben
sich folgende Werte:
Uhrzeit t
Verkehrsdichte V
6
200
9
700
11
600
14
500
18
300
Uhr
in Fahrzeugen pro Stunde
Rechnen Sie mit Excel eine möglichst gut passende Funktion der Form V(t) = at 4 + bt3 + ct2 + dt + f
d)
Nehmen Sie an, dass das Ergebnis von Aufgabe 2.c) V(t) = –0,5t4 + 27t3 – 500t2 + 4 000t – 11 000
lautet.
Berechnen Sie das Verkehrsaufkommen zu den Zeiten 15:00 Uhr, 8:30 Uhr, 23:00 Uhr.
Interpretieren Sie diese Werte auf ihre Validität (wissenschaftliche Wertigkeit).
Beispiel 3 Umwelt
a)
Bei der Verbrennung von Müll entstehen, abhängig von der Verbrennungstemperatur T Schadstoffmengen M. Der Zusammenhang sollte so aussehen: M(T) = a T b. T in Kelvin (K), M in g/h.
Berechnen Sie die Parameter a und b durch die Methode der kleinsten Quadrate mit Technologie. Benutzen Sie das richtige Modell.
Die gemessenen Zahlen sind:
T
M
b)
300
500
350
450
400
380
500
360
in K
in g/h
Drei Modelle (linear, exponentiell, potenzbasiert) zeigen folgende Graphen:
Die Punktmarkierungen entsprechen den gemessenen Werten.
Argumentieren Sie, welches der drei Modelle A, B und C im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate
am besten passt.
Ordnen Sie den Funktionen A, B und C die entsprechenden Formeln zu. Berechnen Sie mit allen Modellen den Wert an der Stelle x = 0.
Berechnen Sie um welchen Prozentsatz sich der gerechnete exponentielle Wert vom Messwert an der
Stelle 5 unterscheidet. Lesen Sie dazu den Messwert möglichst genau ab.
c)
Die Leistung einer Windkraftanlage ist proportional zur dritten Potenz der Windgeschwindigkeit,
also P = k v3. P in Kilowatt (kW), v in Meter pro Sekunde (m/s).
Berechnen Sie den Faktor v durch Regression aus folgenden Daten:
v
P
d)
5
240
10
1900
15
4600
Eine Firma möchte eine Windkraftanlage errichten und finanziert mit einem Kredit über € 30 Mio. das
Bauvorhaben. Die Rückzahlungen erfolgen mit 25 Jahresraten. Die erste Rate ist ein Jahr nach Kreditauszahlung fällig. Berechnen Sie die Höhe der Raten bei einem Zinssatz von 4 % dek. p.a..
Beispiel 4 Volkswirtschaft
a)
In der Population des Staates Bukististan gibt es folgende Einkommensverteilung:
Einkommen in GE
Anteil in Prozent
10
20
20
40
30
33
40
7
Berechnen Sie, welchen Teil des Volkseinkommens die reichsten 10 % der Bevölkerung erhält.
b)
Die Armutsgrenze ist folgendermaßen definiert: als arm gilt, der weniger als 60 % des Medians des
Volkseinkommens verdient. In der folgenden Tabelle wird die Einkommenstabelle von zwei fiktiven
Staaten A und B dargestellt. Berechnen Sie in beiden Staaten die Armutsgrenze und den Anteil der Armen.
Einkommen in GE
Anteil Staat A in %
Anteil Staat B in %
6
30
0
10
35
20
20
30
65
30
5
10
40
0
5
c)
Mit der Tabelle von 4.b):
Berechnen Sie den Anteil der Armen in A, wenn man die Armutsgrenze von B in Anwendung brächte.
d)
Berechnen Sie in der folgenden Tabelle das arithmetische Mittel, den Median und die Standardabweichung.
Merkmalswert xi
3
6
10
15
relative Häufigkeit
0,15
0,45
0,35
0,05
Erläutern Sie mit einem Beispiel, wie sich diese Wert ändern, wenn man den Merkmalswert x4 = 15 durch
den Wert 30 ersetzt.
1. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ck – jaksch
Montag, 16. November 2015
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1 Straßenverkehr
a)
Die Verkehrsbelastung einer hochrangigen Straße wird empirisch ermittelt, dabei werden folgende Daten
erhoben:
Verkehrslast in FZ/d
Anzahl der Tage
8000
400
10000
800
15000
900
20000
200
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung des Merkmals Verkehrslast. Zeichnen Sie ein BoxplotDiagramm für diese Situation.
AM = 12 478 Stdabw. = 3 610
b)
Die beiden folgenden Boxplots stellen die Verkehrssituation in
den beiden Orten Achendorf und Beheimkirchen dar. Der Merkmalswert ist die Verkehrsbelastung in Fahrzeugen pro Tag (FZ/d).
Ergänzen Sie die folgenden Aussagen:
An jedem Tag fahren mehr als 500 Fahrzeuge durch Achendorf.
In 25 % aller Tage fahren mehr als 1 200 Fahrzeuge durch Achendorf
Die Spitzenbelastung in Beheimkirchen ist 1 700 Fahrzeuge pro Tag.
Nie fahren mehr als 1 500 Fahrzeuge durch Achendorf.
In der Hälfte der Tage fahren mehr als 1 200 Fahrzeuge durch Beheimkirchen.
In Beheimkirchen schwankt die Verkehrsbelastung stärker als in Achendorf.
A
c)
In den letzten zehn Jahren stieg die Verkehrsbelastung durch das Rampitschtal mit einer Wachstumsrate
von durchschnittlich 3 %. Berechnen Sie die Verdopplungszeit für die Verkehrsbelastung. Im Jahr 2014
war die Belastung durchschnittlich 12 000 FZ/d. Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Belastung auf
30 000 FZ/d steigt. Argumentieren Sie, warum ein exponentielles Modell auf lange Sicht für diese Situation nicht aufrecht zu halten ist.
ln 2; ln 1
2 = 1,03τ ⇒ τ =
= 23, 4 Jahre
30 000 = 12 000 ⋅ 1,03x ⇒ x = 31 31 Jahre,
03
nach langer Zeit würde die Verkehrsbelastung sehr hohe Werte annehmen, die Straße hat aber natürlich
nur eine begrenzte Kapazität.
d)
In einer Gemeinde verläuft die Verkehrsbelastung auf der Hauptstraße nach einer logistischen Funktion
G(t) = Error!. t ist dabei die Zeit in Jahren nach 2000, G(t) die Verkehrsbelastung in Fahrzeugen pro
Tag (FZ/d). Der Funktionsgraph ist in folgendem Diagramm dargestellt. Lesen Sie aus der Graphik den
Wert M ab und interpretieren Sie diesen Wert. Lesen Sie aus dem Graphen die Verkehrsbelastung zum
Zeitpunkt 0 ab und ermitteln Sie daraus die Größe des Parameters b. Berechnen Sie aus einem weiteren
Punkt den Parameter k.
M = 8 000
G(0) = 1 000 = Error! ⇒ 1 + b = 8 ⇒ b = 7
G(5) = 5 000 = Error! ⇒ 1 + 7 e5k = 1,6 ⇒ k = –0,5
Beispiel 2 Straßenverkehr
a)
Der zeitliche Verlauf der Verkehrsbelastung eines Straßenstückes wird durch
die Funktion B(t) = 290 + 340 t – 55 t2
+ 3,35 t3 – 0,07t4 modelliert. Dabei ist
t die Uhrzeit in Stunden und B die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde
(KFZ/h). Stellen Sie die Funktion im
Bereich 0 bis 24 Uhr grafisch dar. Berechnen Sie die Verkehrsspitzen mit
Uhrzeit und Verkehrsbelastung und die
Zeiten mit dem schwächsten Verkehrsaufkommen (mit den Verkehrsbelastungen).
Error! = 0 liefert t = 5,2 t = 13,8
und t = 16,9 mit B(5,2) = 990,7
B(13,8) = 773,1 und B(16,9) = 787,1
b)
Auf einem Straßenstück ist die Verkehrsbelastung mit B(t) = 12(t – 13)2 +
200 für t ∈ [6; 20], wobei t die Uhrzeit
bedeutet. B ist die Verkehrsbelastung in
Fahrzeugen pro Stunde (FZ/h). Berechnen Sie die Gesamtbelastung zwischen
6:00 Uhr und 20:00 Uhr. Argumentieren
Sie, warum man mit diesem Modell die
Gesamtbelastung über einen Tag (also
von 0:00 Uhr bis 24:00 Uhr) nicht ausrechnen kann.
G(t) = Error! = 4(t – 13)3 + 200t
M = G(20) – G(6) = 5 372 – (–172) = 5 544 FZ
Der Definitionsbereich der Funktion ist nur 6 ≤ x ≤ 20, daher sind nur Werte zwischen 6:00 und
20:00 modelliert.
c)
Das Verkehrsaufkommen auf einer Straße wird durch Zählung während eines Tages ermittelt. Es ergeben
sich folgende Werte:
Uhrzeit t
Verkehrsdichte V
6
200
9
700
11
600
14
500
18
300
Uhr
in Fahrzeugen pro Stunde
Rechnen Sie mit Excel eine möglichst gut passende Funktion der Form V(t) = at 4 + bt3 + ct2 + dt + f
Polynomisch vom Grad 4: V(t) = –0,539t4 + 27,394t3 –509,25t2 + 4 067t – 11087,5
A
d)
Nehmen Sie an, dass das Ergebnis von Aufgabe 2.c) V(t) = –0,5t4 + 27t3 – 500t2 + 4 000t – 11 000
lautet.
Berechnen Sie das Verkehrsaufkommen zu den Zeiten 15:00 Uhr, 8:30 Uhr, 23:00 Uhr.
Interpretieren Sie diese Werte auf ihre Validität (wissenschaftliche Wertigkeit).
V(15) = 2 312,5
V(8,5) = 846,3
V(23) = 5 088,5
nicht valide, weil extrapoliert wurde
Beispiel 3 Umwelt
a)
Bei der Verbrennung von Müll entstehen, abhängig von der Verbrennungstemperatur T Schadstoffmengen M. Der Zusammenhang sollte so aussehen: M(T) = a T b. T in Kelvin (K), M in g/h.
Berechnen Sie die Parameter a und b durch die Methode der kleinsten Quadrate mit Technologie. Benutzen Sie das richtige Modell.
Die gemessenen Zahlen sind:
T
M
300
500
350
450
400
380
500
360
in K
in g/h
M(T) = 22 556 t-0,671
b)
Drei Modelle (linear, exponentiell, potenzbasiert) zeigen
folgende Graphen:
Die Punktmarkierungen entsprechen
den gemessenen
Werten.
Argumentieren Sie,
welches der drei
Modelle A, B und C
im Sinne der Methode der kleinsten
Quadrate am besten
passt.
Ordnen Sie den
Funktionen A, B und
C die entsprechenden Formeln zu. Berechnen Sie mit allen Modellen den Wert an der Stelle x = 0.
Berechnen Sie um welchen Prozentsatz sich der gerechnete exponentielle Wert vom Messwert an der
Stelle 5 unterscheidet. Lesen Sie dazu den Messwert möglichst genau ab.
Exponentielles Modell hat den besten Korrelationskoeffizienten.
A ist linear, B ist Potenzfunktion, C ist Exponentiell (Wert an der Stelle 5 ist 567,8 für Potenz, 854 für linear und 882 für Exponentialfunktion)
A(0) = –436 B(0) = 0 C(0) = 9,8
Fehler = Error!– 1 = – 0,265 der gerechnete Wert ist um 26,5 % kleiner als der Messwert.
A
c)
Die Leistung einer Windkraftanlage ist proportional zur dritten Potenz der Windgeschwindigkeit, also P = k v 3. P
in Kilowatt (kW), v in Meter pro Sekunde (m/s).
Berechnen Sie den Faktor v durch Regression aus folgenden Daten:
v
5
10
15
P
240
1900
4600
3
F(k) =  ;
; (kvi3 – Pi)2 → Min
i=1
Error! = Error!2 (kvi3 – Pi) vi3 = 0  k Error!vi6 = Error!vi3Pi
000  k = 1,407 daher P = 1,407v3
Bestimmungsgleichung:
d)
also 12 406 250 k = 17 455
Eine Firma möchte eine Windkraftanlage errichten und finanziert mit einem Kredit über € 30 Mio. das
Bauvorhaben. Die Rückzahlungen erfolgen mit 25 Jahresraten. Die erste Rate ist ein Jahr nach Kreditauszahlung fällig. Berechnen Sie die Höhe der Raten bei einem Zinssatz von 4 % dek. p.a..
30 = R Error!  R = 1,920358884 also € 1.920358,88
Beispiel 4 Volkswirtschaft
a)
In der Population des Staates Bukististan gibt es folgende Einkommensverteilung:
Einkommen in GE
Anteil in Prozent
10
20
20
40
30
33
40
7
Berechnen Sie, welchen Teil des Volkseinkommens die reichsten 10 % der Bevölkerung erhält.
Anteil = Error! =
b)
Error! = 16,3 %
Die Armutsgrenze ist folgendermaßen definiert: als arm gilt, der weniger als 60 % des Medians des
Volkseinkommens verdient. In der folgenden Tabelle wird die Einkommenstabelle von zwei fiktiven
Staaten A und B dargestellt. Berechnen Sie in beiden Staaten die Armutsgrenze und den Anteil der Armen.
Einkommen in GE
6
10
20
30
40
Anteil Staat A in %
30
35
30
5
0
Anteil Staat B in %
0
20
65
10
5
Staat A.
Staat B
Median = 10Armutsgrenze = 0,6 · 10 = 6
Median = 20Armutsgrenze = 0,6 · 20 = 12
30 % Armenanteil
20 % Armenanteil
c)
Mit der Tabelle von 4.c):
Berechnen Sie den Anteil der Armen in A, wenn man die Armutsgrenze von B in Anwendung brächte.
65 % Armenanteil
d)
Berechnen Sie in der folgenden Tabelle das arithmetische Mittel, den Median und die Standardabweichung.
Merkmalswert xi
3
6
10
15
relative Häufigkeit
0,15
0,45
0,35
0,05
Erläutern Sie mit einem Beispiel, wie sich diese Wert ändern, wenn man den Merkmalswert x 4 = 15 durch
den Wert 30 ersetzt.
Originaltabelle: AM = 7,40 Median = 6
Ersatztabelle: AM = 8,15 Median = 6
Stdabw. = 3,01
Stdabw. = 5,58
Arithmetisches Mittel und Standardabweichung steigen stark an, weil der Merkmalswert sehr groß ist, der
Median bleibt jedoch gleich, weil sich die Anzahl der Werte nicht geändert hat.