2. SA

2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 bk – höbenreich-gruber
Freitag, 27. März 2015
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Volkswirtschaft
In einer Volkswirtschaft wird der Zusammenhang zwischen Wirtschaftwachstum w (in Prozent) und
Arbeitslosigkeit a (in Prozent) ermittelt:
w in Prozent
a in Prozent
0
20
2
15
4
3
6
1
Es wird ein linearer Zusammenhang zugrunde gelegt. Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für a(w). Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Berechnen Sie die Arbeitslosenrate bei einem
Wirtschaftswachstum von –3 % und bei 10 %. Interpretieren Sie diese Ergebnisse bzw. die Problematik
dieser Zahlen.
a(w) = 20,1 – 3,45w
mit r = –96,7 %
a(–3) = 30,45
a(10) = –14,4
Wirtschaftswachstum von –3 % ist möglich (Rezession) und hebt die Arbeitslosenquote auf ca. 30
Prozent. Anwendung der Formel in den Extrapolationsbereich bringt einen irrealen negativen
Wert der Arbeitslosenrate.
b)
Für ein bestimmtes Produkt werden bei gegebenen Preisen die Angebots- und Nachfragemengen ermittelt:
Preis in GE/ME
nachgefragte Menge
angebotene Menge
8
20
8
10
15
15
12
10
30
15
7
50
Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Angebotsfunktion p A (x) und einer Nachfragefunktion
der Form pN(x) der Form pN(x) = Error!. x ist dabei jeweils die angebotene, bzw. nachgefragte Menge
in ME, pN und pA sind die zugeordneten Preise in GE/ME.
pA(x) = –0,0011x2 + 0,2223x + 6,5131
c)
pN(x) =
Error! = Error!
Ermitteln Sie für die Nachfragefunktion pN(x) = 110 – 2x und die Angebotsfunktion pA(x) = 2x2 + 10x den
Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge, die Sättigungsmenge und den Prohibitivpreis.
Interpretieren Sie den Wert pA(0).
110 – 2x = 2x2 + 10x  x = 5 ME, p = 100
SM = 55 ME PP = 110 GE/ME
pA(0) = 0 heißt, dass beim Preis von 0 GE/ME kein Angebot gegelegt wird.
d)
Das Bruttoinlandsprodukt BIP (gross domestic product GDP) einer Volkswirtschaft weist folgende Zahlen auf:
Jahr
GDP in GE
2000
200
2005
210
2010
215
2015
250
Für die Entwicklung des GDP wird immer ein Modell mit konstanten relativen Wachstumsraten angenommen, also ein exponentielles Modell.
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion dieser Form für diese Zahlen. Benutzen Sie dazu die
Zeitskalierung: t in Jahren ab 2000.
Eine andere Volkswirtschaft wächst so, dass sich das GDP in jeweils 30 Jahren verdoppelt. Der Wert
im Jahr 2010 war 300 GE. Geben Sie eine Gleichung für das GDP mit der Basis e und t in Jahren ab 2000
an.
GDP(t) = 196,5 e0,014 t
2 = e 30 λ  λ = 0,023
300 = a e10 · 0,023  a = 238,4 daher GDP(t) = 238,4 e0,023 t
A
Beispiel 2:
a)
Umwelt
Die Jahresregenmengen in einer Region sind normalverteilt mit dem Mittelwert 800 mm und der Streuung 50 mm. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 700 mm Regen fällt. Berechnen Sie
eine Regenmenge, die nur mehr in 2 von 1 000 Fällen unterschritten wird. Berechnen Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5 %.
W(x < 700) =  (700, 800, 50) = 2,3 %
W(x < r) = 0,002 = (r, 800, 50)  r = 656
0,955 = (800 + d, 800, 50) – (800 – d, 800, 50)  d = 100 also [700 ; 900]
b)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = at3 + bt2 beschrieben. Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktionsgleichung dieser Form für die Daten:
t in Stunden (h)
w in Liter pro Stunden (L/h)
794 a + 276 b = 690
1
20
276a + 98 b = 310
2
50
3
10
 a = – 11 b = 34 daher w(t) = 34t2 – 11t3.
c)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = 30t2 – 10t3.
Zeichnen (keine Skizze, so genau und maßstäblich wie möglich) Sie den Verlauf der Funktion im angebenen Koordinatensystem.
Berechnen Sie dazu die
Koordinaten der Wendepunkte, Extremstellen und
Nullstellen der Funktion.
W(1 / 20); 30
E1 (0 / 0);
0 = N12 E2 = (2 / 40); 0
N3 ( 3 / 0); –90
d)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = 30t2 – 10t3 bestimmt. Berechnen Sie die Gleichung für die insgesamt anfallende Wassermenge m(t). t in Stunden, m in Liter (L). Berechnen Sie die insgesamt während des
Starkregens gefallene Wassermenge.
m(t) = Error! = 10t3 – 2,5t4 + C mit m(0) = 0  C = 0 daher m(t) = 10t3 – 2,5t4
w(t) = 0  t = 3 also m(3) = 67,5 L
A
Beispiel 3:
a)
Epidemien
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Ermitteln Sie aus den folgenden Zahlen möglichst gut passende Funktion dieser Form.
Zeit t in Tagen (d)
Erkrankte k
1
50
2
100
k1(t) = 41,075 e0,346t für 0 ≤ t ≤ 5
5
220
7
250
9
80
12
20
und k2(t) = –1,7t2 – 4,26t + 304, 62 für t > 5
b)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Für die ersten 5 Tage gilt: k1(t) = 40 e0,4t . t in Tagen nach Ausbruch, k ist die Anzahl der Kranken.
Berechnen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Kranken ab dem 5. Tag mit der Form k 2(t) = at2 + bt + c.
Der Übergang soll stetig und stetig differenzierbar erfolgen und die Epidemie soll nach 20 Tagen zu Ende
sein.
k2(5) = k1(5) = 295,6
k1′ (5) = k2′ (5) = 118,2 k2(20) = 0  k2(t) = –9,2x2 + 210x – 525
c)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Für die ersten 5 Tage gilt: k1(t) = 40 e0,4t . Ab dem 5. Tag verläuft die Krankenzahl wie
k2(t) = –16,8 t2 + 286 t – 715
t in Tagen nach Ausbruch, k ist die Anzahl der Kranken.
Berechnen Sie die Wachstumsrate von k1(t) für einen Tag und die Verdopplungszeit. Berechnen Sie den
Zeitpunkt des Höhepunkts der Epidemie und wie viele Personen dann krank sind. Berechnen Sie den
Zeitpunkt des Endes der Epidemie.
e0,4 = 1,492 also 49 % pro Tag,
Höhepunkt k2′ = 0  t = 8,5 mit k2(8,5) = 504 Ende k2 = 0  t = 14
d)
Ein Medikament
wird getestet und für
gut befunden, wenn
in einer Stichprobe
von 500 Stk nicht
mehr als 5 Stk. unwirksam sind. Skizzieren Sie die Prüfplankurve für diese
Testsituation. Achten
Sie auf die Skalierung der Achsen.
A
Beispiel 4:
a)
Sicherheit
Bremsscheiben erwärmen sich beim Bremsvorgang heftig und kühlen dann exponentiell auf die Umgebungstemperatur von 15 °C ab. Messungen ergeben folgende Zahlen:
Zeit in Minuten
Temperatur in °C
2
300
4
120
6
52
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Gleichung T(t) für diese Abkühlung. Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an.
T(t) = 797 e-0,51t + 15 mit r = 99,98 %
b)
Der Bremsweg ist von der Geschwindigkeit wie s(v) = Error! abhängig. s ist dabei der Weg in Meter
(m), v die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) und a ist die erzielbare Bremsverzögerung in Meter pro Sekundenquadrat (m/s2).
Berechnen Sie aus folgender Tabelle mittels Regression eine Gleichung für s(v) und den Parameter a.
c)
v in m/s
s in m
10
12
15
24
20
50
611 250 k = 67 225 
k = 0,10998 also a = 4,55
25
65
s(v) =
v2;9
09
Die Unfallzahlen u lassen sich durch Maßnahmen mit den Kosten x (in GE) verringern. Nehmen Sie an,
dass sich der Zusammenhang mit u(x) = Error! modellieren lässt.
Die Unfallzahlen lassen sich auch mit theoretisch unendlichen Mitteln nicht unter 30 000 senken, d.h.
u(x) konvergiert gegen 30 000.
Ohne Maßnahmen sind die Unfallzahlen 200 000, bei Maßnahmen mit 5 GE Kosten sinken die Unfallzahlen auf 115 000.
Berechnen Sie die Parameter a, b und c.
lim;
x→∞
u(x) = a = 30 000
u(0) = Error! = 200 000
u(5) = Error! = 115 000  b = 1 000
000 c = 5
also u(x) =
d)
Error!
Ermitteln Sie durch Regression die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus:
x in ME
K in GE
3
150
6
170
8
172
10
180
12
220
Berechnen Sie für K(x) = 0,4x3 – 8x2 + 50x + 50
die langfristige Preisuntergrenze und die gewinnmaximale Menge bei einem festen Preis von 60 GE/ME
K(x) = 0,38x3 – 7,89x2 + 53,85x + 49
–
LPU = K; (10,56) = 15
Gmax bei x = 13,93 ME
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 bk – höbenreich-gruber
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Freitag, 27. März 2015
Gruppe B
Beispiel 1:
a)
Volkswirtschaft
In einer Volkswirtschaft wird der Zusammenhang zwischen Wirtschaftwachstum w (in Prozent) und
Arbeitslosigkeit a (in Prozent) ermittelt:
w in Prozent
a in Prozent
0
40
2
30
4
6
6
2
Es wird ein linearer Zusammenhang zugrunde gelegt. Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für a(w). Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Berechnen Sie die Arbeitslosenrate bei einem
Wirtschaftswachstum von –3 % und bei 10 %. Interpretieren Sie diese Ergebnisse bzw. die Problematik
dieser Zahlen.
a(w) = 40,2 – 6,9w
mit r = –96,7 %
a(–3) = 60,9
a(10) = –28,8
Wirtschaftswachstum von –3 % ist möglich (Rezession) und hebt die Arbeitslosenquote auf ca. 31
Prozent. Anwendung der Formel in den Extrapolationsbereich bringt einen irrealen negativen
Wert der Arbeitslosenrate.
b)
Für ein bestimmtes Produkt werden bei gegebenen Preisen die Angebots- und Nachfragemengen ermittelt:
Preis in GE/ME
nachgefragte Menge
angebotene Menge
8
20
8
10
15
15
12
10
30
15
7
50
Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Angebotsfunktion p A (x) und einer Nachfragefunktion
der Form pN(x) der Form pN(x) = Error!. x ist dabei jeweils die angebotene, bzw. nachgefragte Menge
in ME, pN und pA sind die zugeordneten Preise in GE/ME.
pA(x) = –0,0011x2 + 0,2223x + 6,5131
c)
pN(x) =
Error! = Error!
Ermitteln Sie für die Nachfragefunktion p N(x) = 144 – 2x und die Angebotsfunktion pA(x) = 2x2 + 10x den
Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge, die Sättigungsmenge und den Prohibitivpreis.
Interpretieren Sie den Wert pA(0).
100 – 10x = 2x2 + 10x  x = 6 ME, p = 132
SM = 72 ME PP = 144 GE/ME
pA(0) = 0 heißt, dass beim Preis von 0 GE/ME kein Angebot gegelegt wird.
d)
Das Bruttoinlandsprodukt BIP (gross domestic product GDP) einer Volkswirtschaft weist folgende Zahlen auf:
Jahr
GDP in GE
2000
20
2005
21
2010
21,5
2015
25
Für die Entwicklung des GDP wird immer ein Modell mit konstanten relativen Wachstumsraten angenommen, also ein exponentielles Modell.
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion dieser Form für diese Zahlen. Benutzen Sie dazu die
Zeitskalierung: t in Jahren ab 2000.
Eine andere Volkswirtschaft wächst so, dass sich das GDP in jeweils 30 Jahren verdoppelt. Der Wert
im Jahr 2010 war 30 GE. Geben Sie eine Gleichung für das GDP mit der Basis e und t in Jahren ab 2000
an.
GDP(t) = 19,65 e0,014 t
2 = e 30 λ  λ = 0,023
30 = a e10 · 0,023  a = 23,84 daher GDP(t) = 23,84 e0,023 t
B
Beispiel 2:
a)
Umwelt
Die Jahresregenmengen in einer Region sind normalverteilt mit dem Mittelwert 800 mm und der Streuung 50 mm. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 700 mm Regen fällt. Berechnen Sie
eine Regenmenge, die nur mehr in 2 von 1 000 Fällen unterschritten wird. Berechnen Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5 %.
W(x < 700) =  (700, 800, 50) = 2,3 %
W(x < r) = 0,002 = (r, 800, 50)  r = 656
0,955 = (800 + d, 800, 50) – (800 – d, 800, 50)  d = 100 also [700 ; 900]
b)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = at3 + bt2 beschrieben. Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktionsgleichung dieser Form für die Daten:
t in Stunden (h)
w in Liter pro Stunden (L/h)
794 a + 276 b = 1380
1
40
276a + 98 b = 620
2
100
3
20
 a = – 22 b = 68 daher w(t) = 68t2 – 22t3.
c)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = 30t2 – 10t3.
Zeichnen (keine Skizze, so genau und maßstäblich wie möglich) Sie den Verlauf der Funktion im angebenen Koordinatensystem.
Berechnen Sie dazu die
Koordinaten der Wendepunkte, Extremstellen und
Nullstellen der Funktion.
W(1 / 20); 30
E1 (0 / 0);
0 = N12 E2 = (2 / 40); 0
N3 ( 3 / 0); –90
d)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = 30t2 – 10t3 bestimmt. Berechnen Sie die Gleichung für die insgesamt anfallende Wassermenge m(t). t in Stunden, m in Liter (L). Berechnen Sie die insgesamt während des
Starkregens gefallene Wassermenge.
m(t) = Error! = 10t3 – 2,5t4 + C mit m(0) = 0  C = 0 daher m(t) = 10t3 – 2,5t4
w(t) = 0  t = 3 also m(3) = 67,5 L
B
Beispiel 3:
Epidemien
a)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Ermitteln Sie aus den folgenden Zahlen möglichst gut passende Funktion dieser Form.
Zeit t in Tagen (d)
Erkrankte k
1
50
2
100
k1(t) = 41,075 e0,346t für 0 ≤ t ≤ 5
5
220
7
250
9
80
12
20
und k2(t) = –1,7t2 – 4,26t + 304, 62 für t > 5
b)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Für die ersten 5 Tage gilt: k1(t) = 40 e0,4t . t in Tagen nach Ausbruch, k ist die Anzahl der Kranken.
Berechnen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Kranken ab dem 5. Tag mit der Form k2(t) = at2 + bt + c.
Der Übergang soll stetig und stetig differenzierbar erfolgen und die Epidemie soll nach 20 Tagen zu Ende
sein.
k2(5) = k1(5) = 295,6
k1′ (5) = k2′ (5) = 118,2 k2(20) = 0  k2(t) = –9,2x2 + 210x – 525
c)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Für die ersten 5 Tage gilt: k1(t) = 40 e0,4t . Ab dem 5. Tag verläuft die Krankenzahl wie
k2(t) = –16,8 t2 + 286 t – 715
t in Tagen nach Ausbruch, k ist die Anzahl der Kranken.
Berechnen Sie die Wachstumsrate von k1(t) für einen Tag und die Verdopplungszeit. Berechnen Sie den
Zeitpunkt des Höhepunkts der Epidemie und wie viele Personen dann krank sind. Berechnen Sie den
Zeitpunkt des Endes der Epidemie.
e0,4 = 1,492 also 49 % pro Tag,
Höhepunkt k2′ = 0  t = 8,5 mit k2(8,5) = 504 Ende k2 = 0  t = 14
d)
Ein Medikament
wird getestet und für
gut befunden, wenn
in einer Stichprobe
von 500 Stk nicht
mehr als 5 Stk. unwirksam sind. Skizzieren Sie die Prüfplankurve für diese
Testsituation. Achten
Sie auf die Skalierung der Achsen.
B
Beispiel 4:
a)
Sicherheit
Bremsscheiben erwärmen sich beim Bremsvorgang heftig und kühlen dann exponentiell auf die Umgebungstemperatur von 15 °C ab. Messungen ergeben folgende Zahlen:
Zeit in Minuten
Temperatur in °C
2
300
4
120
6
52
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Gleichung T(t) für diese Abkühlung. Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an.
T(t) = 797 e-0,51t + 15 mit r = 99,98 %
b)
Der Bremsweg ist von der Geschwindigkeit wie s(v) = Error! abhängig. s ist dabei der Weg in Meter
(m), v die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) und a ist die erzielbare Bremsverzögerung in Meter pro Sekundenquadrat (m/s2).
Berechnen Sie aus folgender Tabelle mittels Regression eine Gleichung für s(v) und den Parameter a.
c)
v in m/s
s in m
10
12
15
24
20
50
611 250 k = 67 225 
k = 0,10998 also a = 4,55
25
65
s(v) =
v2;9
09
Die Unfallzahlen u lassen sich durch Maßnahmen mit den Kosten x (in GE) verringern. Nehmen Sie an,
dass sich der Zusammenhang mit u(x) = Error! modellieren lässt.
Die Unfallzahlen lassen sich auch mit theoretisch unendlichen Mitteln nicht unter 40 000 senken, d.h.
u(x) konvergiert gegen 40 000.
Ohne Maßnahmen sind die Unfallzahlen 200 000, bei Maßnahmen mit 6 GE Kosten sinken die Unfallzahlen auf 104 000.
Berechnen Sie die Parameter a, b und c.
lim;
x→∞
u(x) = a = 40 000
u(0) = Error! = 200 000
u(5) = Error! = 104 000  b = 800 000
c=4
also u(x) =
d)
Error!
Ermitteln Sie durch Regression die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus:
x in ME
K in GE
3
1500
6
1700
8
1720
10
1800
12
2200
Berechnen Sie für K(x) = 4x3 – 80x2 + 500x + 500
die langfristige Preisuntergrenze und die gewinnmaximale Menge bei einem festen Preis von
600 GE/ME
K(x) = 3,8x3 – 78,9x2 + 538,5x + 490
–
LPU = K; (10,56) = 150
Gmax bei x = 13,93 ME
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 bk – höbenreich-gruber
Freitag, 27. März 2015
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Volkswirtschaft
In einer Volkswirtschaft wird der Zusammenhang zwischen Wirtschaftwachstum w (in Prozent) und
Arbeitslosigkeit a (in Prozent) ermittelt:
w in Prozent
a in Prozent
0
20
2
15
4
3
6
1
Es wird ein linearer Zusammenhang zugrunde gelegt. Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für a(w). Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Berechnen Sie die Arbeitslosenrate bei einem
Wirtschaftswachstum von –3 % und bei 10 %. Interpretieren Sie diese Ergebnisse bzw. die Problematik
dieser Zahlen.
b)
Für ein bestimmtes Produkt werden bei gegebenen Preisen die Angebots- und Nachfragemengen ermittelt:
Preis in GE/ME
nachgefragte Menge
angebotene Menge
8
20
8
10
15
15
12
10
30
15
7
50
Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Angebotsfunktion p A (x) und einer Nachfragefunktion
der Form pN(x) der Form pN(x) = Error!. x ist dabei jeweils die angebotene, bzw. nachgefragte Menge
in ME, pN und pA sind die zugeordneten Preise in GE/ME.
c)
Ermitteln Sie für die Nachfragefunktion p N(x) = 110 – 2x und die Angebotsfunktion pA(x) = 2x2 + 10x den
Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge, die Sättigungsmenge und den Prohibitivpreis.
Interpretieren Sie den Wert pA(0).
d)
Das Bruttoinlandsprodukt BIP (gross domestic product GDP) einer Volkswirtschaft weist folgende Zahlen auf:
Jahr
GDP in GE
2000
200
2005
210
2010
215
2015
250
Für die Entwicklung des GDP wird immer ein Modell mit konstanten relativen Wachstumsraten angenommen, also ein exponentielles Modell.
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion dieser Form für diese Zahlen. Benutzen Sie dazu die
Zeitskalierung: t in Jahren ab 2000.
Eine andere Volkswirtschaft wächst so, dass sich das GDP in jeweils 30 Jahren verdoppelt. Der Wert
im Jahr 2010 war 300 GE. Geben Sie eine Gleichung für das GDP mit der Basis e und t in Jahren ab 2000
an.
Beispiel 2:
Umwelt
a)
Die Jahresregenmengen in einer Region sind normalverteilt mit dem Mittelwert 800 mm und der Streuung 50 mm. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 700 mm Regen fällt. Berechnen Sie
eine Regenmenge, die nur mehr in 2 von 1 000 Fällen unterschritten wird. Berechnen Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5 %.
b)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = at3 + bt2 beschrieben. Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktionsgleichung dieser Form für die Daten:
t in Stunden (h)
w in Liter pro Stunden (L/h)
1
20
2
50
3
10
c)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = 30t2 – 10t3.
Zeichnen (keine Skizze, so genau und maßstäblich wie möglich) Sie den Verlauf der Funktion im angebenen Koordinatensystem. Berechnen Sie dazu die Koordinaten der Wendepunkte, Extremstellen und
Nullstellen der Funktion.
d)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = 30t2 – 10t3 bestimmt. Berechnen Sie die Gleichung für die insgesamt anfallende Wassermenge m(t). t in Stunden, m in Liter (L). Berechnen Sie die insgesamt während des
Starkregens gefallene Wassermenge.
A
Beispiel 3:
Epidemien
a)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Ermitteln Sie aus den folgenden Zahlen möglichst gut passende Funktion dieser Form.
Zeit t in Tagen (d)
1
2
5
7
9
12
Erkrankte k
50
100
220
250
80
20
b)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Für die ersten 5 Tage gilt: k1(t) = 40 e0,4t . t in Tagen nach Ausbruch, k ist die Anzahl der Kranken.
Berechnen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Kranken ab dem 5. Tag mit der Form k 2(t) = at2 + bt + c.
Der Übergang soll stetig und stetig differenzierbar erfolgen und die Epidemie soll nach 20 Tagen zu Ende
sein.
c)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Für die ersten 5 Tage gilt: k1(t) = 40 e0,4t . Ab dem 5. Tag verläuft die Krankenzahl wie
k2(t) = –16,8 t2 + 286 t – 715
t in Tagen nach Ausbruch, k ist die Anzahl der Kranken.
Berechnen Sie die Wachstumsrate von k1(t) für einen Tag und die Verdopplungszeit. Berechnen Sie den
Zeitpunkt des Höhepunkts der Epidemie und wie viele Personen dann krank sind. Berechnen Sie den
Zeitpunkt des Endes der Epidemie.
d)
Ein Medikament wird getestet und für gut befunden, wenn in einer Stichprobe von 500 Stk nicht mehr als
5 Stk. unwirksam sind. Skizzieren Sie die Prüfplankurve für diese Testsituation. Achten Sie auf die Skalierung der Achsen.
Beispiel 4:
a)
b)
Sicherheit
Bremsscheiben erwärmen sich beim Bremsvorgang heftig und kühlen dann exponentiell auf die Umgebungstemperatur von 15 °C ab. Messungen ergeben folgende Zahlen:
Zeit in Minuten
2
4
6
Temperatur in °C
300
120
52
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Gleichung T(t) für diese Abkühlung. Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an.
Der Bremsweg ist von der Geschwindigkeit wie s(v) = Error! abhängig. s ist dabei der Weg in Meter
(m), v die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) und a ist die erzielbare Bremsverzögerung in Meter pro Sekundenquadrat (m/s2).
Berechnen Sie aus folgender Tabelle mittels Regression eine Gleichung für s(v) und den Parameter a.
v in m/s
s in m
10
12
15
24
20
50
25
65
c)
Die Unfallzahlen u lassen sich durch Maßnahmen mit den Kosten x (in GE) verringern. Nehmen Sie an,
dass sich der Zusammenhang mit u(x) = Error! modellieren lässt.
Die Unfallzahlen lassen sich auch mit theoretisch unendlichen Mitteln nicht unter 30 000 senken, d.h.
u(x) konvergiert gegen 30 000.
Ohne Maßnahmen sind die Unfallzahlen 200 000, bei Maßnahmen mit 5 GE Kosten sinken die Unfallzahlen auf 115 000.
Berechnen Sie die Parameter a, b und c.
d)
Ermitteln Sie durch Regression die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus:
x in ME
K in GE
3
150
6
170
8
172
10
180
12
220
Berechnen Sie für K(x) = 0,4x3 – 8x2 + 50x + 50
die langfristige Preisuntergrenze und die gewinnmaximale Menge bei einem festen Preis von 60 GE/ME
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 bk – höbenreich-gruber
Freitag, 27. März 2015
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Volkswirtschaft
In einer Volkswirtschaft wird der Zusammenhang zwischen Wirtschaftwachstum w (in Prozent) und
Arbeitslosigkeit a (in Prozent) ermittelt:
w in Prozent
a in Prozent
0
40
2
30
4
6
6
2
Es wird ein linearer Zusammenhang zugrunde gelegt. Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für a(w). Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Berechnen Sie die Arbeitslosenrate bei einem
Wirtschaftswachstum von –3 % und bei 10 %. Interpretieren Sie diese Ergebnisse bzw. die Problematik
dieser Zahlen.
b)
Für ein bestimmtes Produkt werden bei gegebenen Preisen die Angebots- und Nachfragemengen ermittelt:
Preis in GE/ME
nachgefragte Menge
angebotene Menge
8
20
8
10
15
15
12
10
30
15
7
50
Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Angebotsfunktion p A (x) und einer Nachfragefunktion
der Form pN(x) der Form pN(x) = Error!. x ist dabei jeweils die angebotene, bzw. nachgefragte Menge
in ME, pN und pA sind die zugeordneten Preise in GE/ME.
c)
Ermitteln Sie für die Nachfragefunktion p N(x) = 144 – 2x und die Angebotsfunktion pA(x) = 2x2 + 10x den
Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge, die Sättigungsmenge und den Prohibitivpreis.
Interpretieren Sie den Wert pA(0).
d)
Das Bruttoinlandsprodukt BIP (gross domestic product GDP) einer Volkswirtschaft weist folgende Zahlen auf:
Jahr
GDP in GE
2000
20
2005
21
2010
21,5
2015
25
Für die Entwicklung des GDP wird immer ein Modell mit konstanten relativen Wachstumsraten angenommen, also ein exponentielles Modell.
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion dieser Form für diese Zahlen. Benutzen Sie dazu die
Zeitskalierung: t in Jahren ab 2000.
Eine andere Volkswirtschaft wächst so, dass sich das GDP in jeweils 30 Jahren verdoppelt. Der Wert
im Jahr 2010 war 30 GE. Geben Sie eine Gleichung für das GDP mit der Basis e und t in Jahren ab 2000
an.
B
Beispiel 2:
Umwelt
a)
Die Jahresregenmengen in einer Region sind normalverteilt mit dem Mittelwert 800 mm und der Streuung 50 mm. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 700 mm Regen fällt. Berechnen Sie
eine Regenmenge, die nur mehr in 2 von 1 000 Fällen unterschritten wird. Berechnen Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5 %.
b)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = at3 + bt2 beschrieben. Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktionsgleichung dieser Form für die Daten:
t in Stunden (h)
w in Liter pro Stunden (L/h)
1
40
2
100
3
20
c)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = 30t2 – 10t3.
Zeichnen (keine Skizze, so genau und maßstäblich wie möglich) Sie den Verlauf der Funktion im angebenen Koordinatensystem. Berechnen Sie dazu die Koordinaten der Wendepunkte, Extremstellen und
Nullstellen der Funktion.
d)
Die auf eine bestimmte Oberfläche fallende Wassermenge w pro Zeiteinheit (L/h) bei einem Starkregen
wird durch die Gleichung w(t) = 30t2 – 10t3 bestimmt. Berechnen Sie die Gleichung für die insgesamt anfallende Wassermenge m(t). t in Stunden, m in Liter (L). Berechnen Sie die insgesamt während des
Starkregens gefallene Wassermenge.
B
Beispiel 3:
Epidemien
a)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Ermitteln Sie aus den folgenden Zahlen möglichst gut passende Funktion dieser Form.
Zeit t in Tagen (d)
1
2
5
7
9
12
Erkrankte k
50
100
220
250
80
20
b)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Für die ersten 5 Tage gilt: k1(t) = 40 e0,4t . t in Tagen nach Ausbruch, k ist die Anzahl der Kranken.
Berechnen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Kranken ab dem 5. Tag mit der Form k 2(t) = at2 + bt + c.
Der Übergang soll stetig und stetig differenzierbar erfolgen und die Epidemie soll nach 20 Tagen zu Ende
sein.
c)
Der Verlauf einer Epidemie ist in den ersten 5 Tagen exponentiell und dann quadratisch.
Für die ersten 5 Tage gilt: k1(t) = 40 e0,4t . Ab dem 5. Tag verläuft die Krankenzahl wie
k2(t) = –16,8 t2 + 286 t – 715
t in Tagen nach Ausbruch, k ist die Anzahl der Kranken.
Berechnen Sie die Wachstumsrate von k1(t) für einen Tag und die Verdopplungszeit. Berechnen Sie den
Zeitpunkt des Höhepunkts der Epidemie und wie viele Personen dann krank sind. Berechnen Sie den
Zeitpunkt des Endes der Epidemie.
d)
Ein Medikament wird getestet und für gut befunden, wenn in einer Stichprobe von 500 Stk nicht mehr als
5 Stk. unwirksam sind. Skizzieren Sie die Prüfplankurve für diese Testsituation. Achten Sie auf die Skalierung der Achsen.
Beispiel 4:
Sicherheit
a)
Bremsscheiben erwärmen sich beim Bremsvorgang heftig und kühlen dann exponentiell auf die Umgebungstemperatur von 15 °C ab. Messungen ergeben folgende Zahlen:
Zeit in Minuten
2
4
6
Temperatur in °C
300
120
52
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Gleichung T(t) für diese Abkühlung. Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an.
b)
Der Bremsweg ist von der Geschwindigkeit wie s(v) = Error! abhängig. s ist dabei der Weg in Meter
(m), v die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) und a ist die erzielbare Bremsverzögerung in Meter pro Sekundenquadrat (m/s2).
Berechnen Sie aus folgender Tabelle mittels Regression eine Gleichung für s(v) und den Parameter a.
v in m/s
10
15
20
25
s in m
12
24
50
65
c)
Die Unfallzahlen u lassen sich durch Maßnahmen mit den Kosten x (in GE) verringern. Nehmen Sie an,
dass sich der Zusammenhang mit u(x) = Error! modellieren lässt.
Die Unfallzahlen lassen sich auch mit theoretisch unendlichen Mitteln nicht unter 40 000 senken, d.h.
u(x) konvergiert gegen 40 000.
Ohne Maßnahmen sind die Unfallzahlen 200 000, bei Maßnahmen mit 6 GE Kosten sinken die Unfallzahlen auf 104 000.
Berechnen Sie die Parameter a, b und c.
d)
Ermitteln Sie durch Regression die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus:
x in ME
K in GE
3
1500
6
1700
8
1720
10
1800
12
2200
Berechnen Sie für K(x) = 4x3 – 80x2 + 500x + 500
die langfristige Preisuntergrenze und die gewinnmaximale Menge bei einem festen Preis von
600 GE/ME