Unscharfe Optimierung - Fakultät für Mathematik und Informatik
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Unscharfe Optimierung Wintersemester 2005/2006 Unscharfe Optimierung Vorlesung Dienstags, 09.15–11.00, MIB-1107 Übung Dienstags (gerade Woche), 11.00–13.00, MIB-1107 Veranstalter Dr. Tatiana Starostina E-mail: [email protected] Tel. 3786 Sprechstunde nach Vereinbarung Unscharfe Optimierung Literatur 1). M. Delgado, J. Kacprzyk, J.-S. Verdegay, M.A. Vila (ed.) Fuzzy Optimization: Recent Advances Physica-Verlag, Heidelberg, 1994. 2). H. Bandemer and S. Gottwald Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with Applications John Wiley & Sons, Chichester 1995. 3). H.-J. Zimmermann Fuzzy Set Theory and its Applications 2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991. 4). C.R. Bector, Suresh Chandra Fuzzy Mathematical Programming and Fuzzy Matrix Games Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005. Unscharfe Optimierung Überblick Optimierung 1) im Sinne der Mathematik: die Bestimmung optimaler zulässiger Punkte eines Optimierungsproblems hinsichtlich einer gegebenen Zielfunktion 2) in der Informatik: die Verbesserung der Effizienz eines Computerprogramms 3) Umgangssprachlich: meist eine Verbesserung eines Vorgangs oder Zustands bzgl. Qualität, Kosten, Geschwindigkeit, Effizienz und Effektivität. Unscharfe Optimierung Überblick Mathematische Optimierung Diskrete Optimierung Parametrische Optimierung Nichtlineare Optimierung Dynamische Optimierung Lineare Optimierung Konvexe Optimierung Nichtkonvexe Optimierung Minimieren oder maximieren x X , wobei f(x) – Zielfunktion des Optimierungsproblems; x – zulässige Lösung; X – zulässiger Bereich. f(x), Unscharfe Optimierung Problembereich „Unschärfe“ bei Optimierungsmodellen Optimierungsmodell Algorithmus Modellbeschreibung Daten Problembereich „Unschärfe“ Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Daten: „X gehört zu den großen Menschen“: Jemand, der 1,60 m groß ist, wird mit einer Zugehörigkeit von 0,2 zu den großen Menschen gerechnet. Dagegen wird jemand, der 1,85 m groß ist, mit einer Zugehörigkeit von 0,8 zu den großen Menschen gerechnet. Die Aussage „Y ist dick“ hängt von den Attributen Körpergröße, Körperumfang und Gewicht ab. Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Daten: Die Auffassung über die Daten beeinflusst auch die Werte von Daten. Beispiel: Die Frage ist „Wann schließen die Geschäfte?“ Die Antwort „Um 18 Uhr“. Das kann bedeuten: 1) alle Geschäfte sind um 18 Uhr zu; 2) einige Geschäfte schließen bereits um 17 Uhr, andere dagegen erst um 20 oder 21 Uhr. Eine entsprechende Zugehörigkeitsverteilung zur Aussage „Die Geschäfte sind geschlossen“ lässt sich dann über die Zeit aufstellen. Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Scharfe Zahl: Unscharfe Zahl: x = „etwa 18“ x =18 (x) (x) 1 1 18 x 17 18 21 x Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle (a) See Unscharfe Daten: Wald Scharfe und unscharfe Regionen (a) scharfe Darstellung; (b) unscharfe Darstellung 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .4 1 1 1 1 1 1 1 1 .8 .1 1 1 1 1 1 1 1 .8 .4 0 .9 1 1 1 .9 .8 .7 .4 .1 0 .5 .5 .7 .6 .4 .5 .2 0 0 0 0 .1 .2 .1 .1 .1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Unscharfe Region: See (b) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .6 0 0 0 0 0 0 0 0 .2 .9 0 0 0 0 0 0 0 .2 .6 .1 0 0 0 .1 .2 .3 .6 .9 .5 .5 .3 .4 .6 .5 .8 1 1 1 .9 .8 .9 .9 .9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Unscharfe Region: Wald Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Modelle: Beispiele: v1 0,2 1/5 0,9 1 v2 0,5 0,4 0,3 v3 v4 0,7 1 x1 0,1 v5 y1 1/9 z1 1/5 1/2 1/8 x2 y2 1/4 1/3 x3 1 1/3 1/6 y3 1 1/6 1/7 z2 1/9 y4 Unscharfer Graph 2/3 Unscharfe Relation 2/3 z3 Unscharfe Optimierung Arten der Unschärfe „Unschärfe“: • • nichtexakte Bedeutung des Wortes oder mangelnde Information und die fehlende Möglichkeit, einen Begriff exakt beschreiben zu können Abb. Arten der Unsicherheit Unsicherheit zufällige Unsicherheit Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von Ereignissen emotionale Unsicherheit menschliche Empfindungen informelle Unsicherheit Komplexität in der Beschreibung des Begriffs Unscharfe Optimierung Quellen der Unschärfe nicht genug Informationen liegen in der augenblicklichen Situation vor das Erfassen und Abbildendes Systems ist subjektiv verschieden Unschärfe Unscharfe Optimierung Klassische Mengen Es sei X die Grundmenge und A eine Teilmenge von X: A X . Ein Element gehört in der klassischen Mengenlehre entweder zu einer Menge A, oder aber es gehört nicht zu dieser Menge. Wenn ein Element x von X zu A gehört, schreibt man: x A. Definition. Es sei X eine Grundmenge und A eine Teilmenge von X. Dann heißt die Funktion χA: X →{0,1} mit 1, x A 0, x A A Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion der Menge A. Unscharfe Optimierung Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe ~ A ist eine unscharfe Teilmenge von X, wenn die Zugehörigkeit der Elemente x von ~ X zu A durch eine Zugehörigkeitsfunktion A~ ( x) charakterisiert wird. Die Werte der Zugehörigkeitsfunktion liegen im Intervall [0,1]. Beispiel: ~ ~ A~ ( x ) =0 wenn x A , A~ ( x) =1 wenn x A vollständig, ~ A~ ( x) =0,8 wenn x A mit einem der Zahl 0,8 entsprechenden Zugehörigkeitsgrad. Definition. Ist X eine Menge (von Objekten, die hinsichtlich einer unscharfen Aussage zu bewerten sind), so heißt ~ A : x, A~ ( x) : x X . eine unscharfe Menge auf X. A~ ( x) wird Zugehörigkeitsfunktion genannt und ist eine reellwertige Funktion, A~ ( x) [0; 1] , x X . Unscharfe Optimierung Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe Beispiel: (Modellierung unscharfer Begriffe) Unscharfe Begriffe in der Umgangssprache: ”groß“, ”klein“, ”schnell“, ”reich“, ”schön“, ”warm“, ”kalt“, ”heiß“ usw. Kontext beachten! Beispiel: Betrachten den unscharfen Begriff ”klein“ mit Bezug auf Kosten. Grundmenge: X = {10, 20, 50, 100, 150, 200, 400, 700, 1000}. „Kleine“ Kosten: {(10; 1), (20; 0,97), (50; 0,85), (100; 0,75), (150; 0,7), (200; 0,6), (400; 0,5), (700; 0,25), (1000; 0,1)}. Unscharfe Optimierung Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe Beispiel: Abb. A): Menge A - die Menge der günstigen Preise für ein Paar Schuhe. Dann stellt 49,98 EURO noch einen günstigen Preis dar, dagegen würde ein um 3 Cent höherer Preis von 50,01 EURO nicht mehr als günstig angesehen werden. Abb. B): Darstellung der unscharfen Menge der günstigen Preise für ein Paar Schuhe. Die Gleichung (x) = 0,7 besagt, dass der Wert x=23 mit dem Zugehörigkeitsgrad =0,7 als günstiger Preis angesehen wird. (x) (x) A 1 Abb. A) 25 ~ A 1 50 x 25 50 x Abb. B) Unscharfe Optimierung Unscharfe Mengen Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert. Die Art der Darstellung ist von Grundmenge X abhängig X hat endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele Elemente oder ist X ein Kontinuum, z.B. kontinuierliche Messgrößen parametrische Darstellung von ZGF diskrete Darstellung von ZGF (x ) 1 0,9 0,7 0,6 0,4 0,3 1 3 4 7 9 12 x Unscharfe Optimierung Unscharfe Mengen Operationen ~ A ~ und B seien zwei unscharfe Teilmengen der Grundmenge X: ~ ~ A X , B X. Grundmenge X : Enthaltensein A~ X: Komplement: Schnittmenge: Vereinigung: X ( x) 1 A~ ( x) X ( x) A~ ( x) 1 A~ ( x) A~ B~ ( x) min ( A~ ( x), B~ ( x)) A~B~ ( x) max ( A~ ( x), B~ ( x)) A~B~ ( x) A~ ( x) B~ ( x) Algebraisches Produkt: Algebraische Summe: A~ ˆ B~ ( x) A~ ( x) B~ ( x) A~ ( x) B~ ( x) Differenz: A~ \ B~ ( x) A~B~ ( x) Disjunkte Summe: A~ B~ ( x) ( A~ B~ ) ( A~ B~ ) ( x) x X . Unscharfe Optimierung Klassifizierung der unscharfen Optimierungsprobleme Unscharfe Optimierungsprobleme Unscharfe Modelle Unscharfe Graphen Unscharfe Relationen Modelle mit unscharfen Daten Unscharfe Optimierung Optimierungsmodelle mit unscharfen Daten Optimierungsmodelle Unscharfe Diskrete Optimierungsmodelle Unscharfe Lineare Optimierungsmodelle Unscharfe Nichtlineare Optimierungsmodelle Unscharfe Parametrische OptimierungsUnscharfe modelle Dynamische Optimierungsmodelle Unscharfe Entscheidungen Entscheidungen mit mehreren Zielen Entscheidungen mit mehreren Attributen Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen Es gibt zwei Typen von unscharfen Graphen. Definition 1 ~ ~ Ein unscharfer ungerichteter Graph des ersten Typs G (V , E ) besteht aus zwei Mengen: V ist eine nichtleere scharfe Menge von Knoten, V {vi } , iI = {1,2,...,n}; ~ E {( E (vk , v j ) /( vk , v j )) : vk , v j V } ist eine unscharfe Menge von Kanten, wobei vk , v j V und E (vk , v j ) - der Wert der Zugehörigkeitsfunktion E für die Kante (vk , v j ) , k , j 1,..., n . Beispiel 1 v1 0,2 0,9 1 v2 0,1 v5 0,5 0,4 0,3 v3 v4 0,7 ~ ~ G (V , E ) , V {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }, ~ E {( 0,9 /( v1 , v2 )), (0,5 /( v2 , v3 )), (0,7 /( v3 , v3 )), (0,3 /( v2 , v4 )), (0,1 /( v2 , v5 )), (1 /( v1 , v4 )), (0,4 /( v4 , v5 )), (0,2 /( v5 , v5 ))}. Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des ersten Typs Definition 2 ~ ~ G V , E Ein unscharfer gerichteter Graph des ersten Typs besteht aus zwei Mengen: V ist eine scharfe Menge von Knoten, V {vi } , iI = {1,2,...,n}; ~ E {( E ( vk , v j ) / vk , v j ) : vk , v j V } ist eine unscharfe Menge von Kanten oder Pfeilen, wobei und E ( vk , v j ) ist der Wert der vk , v j V V Zugehörigkeit der gerichteten Kante vk , v j zur unscharfen Menge der ~ gerichteten Kanten (Pfeilen) E . Beispiel 2 0,1 ~ ~ G V,E v1 0,9 V {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } , 0,4 v2 0,7 v5 (1 / v 4 , v3 ), (0,6 / v 4 , v5 ), 1 v4 ~ E {( 0,4 / v1 , v 2 ), (0,8 / v3 , v 4 ), (0,7 / v 2 , v5 ), (0,5 / v1 , v3 ), 0,5 0,6 , 0,8 v3 (0,1 / v5 , v5 ), (0,9 / v5 , v1 )}. Unscharfe Optimierung Die Mengen der Nachbarn, Vorgänger und Nachfolger in unscharfen Graphen ~ ~ G ( V , E ) eine Kante Gibt es in einem ungerichteten unscharfen Graphen ( vk , v j ), so heißen vk Nachbar von v j und v j Nachbar von vk . ~ N (vk ) - die Menge der Nachbarn eines Knotens vk . ~ ~ Gibt es in einem gerichteten unscharfen Graphen G V , E vk , v j einen Pfeil , dann heißen vk Vorgänger von v j und v j Nachfolger von vk . ~ P (vk ) - die Menge der Vorgänger eines Knotens vk ; ~ S (vk ) - die Menge der Nachfolger von vk . ~ ~ ~ Die Mengen N (vk ) , P (vk ) und S (vk ) sind unscharf. Unscharfe Optimierung Die Mengen der Nachfolger in unscharfen Graphen Beispiel ~ ~ E , V G Wir definieren den gerichteten unscharfen Graph ~ ~ Beispiel 2 in folgender Form: G (V , S ) : v1 V {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }, ~ S (v1 ) {( 0,4 / v2 ), (0,5 / v3 )} ; ~ S (v2 ) {( 0,7 / v5 )} ; ~ S (v3 ) {( 0,8 / v4 )} ; ~ S (v4 ) {(1/ v3 ), (0,6 / v5 )} ; ~ S (v5 ) {( 0,9 / v1 ), (0,1/ v5 )} . 0,1 0,9 0,4 v2 0,7 v5 0,5 0,6 1 v4 0,8 v3 aus dem Unscharfe Optimierung Matrixform der unscharfen Graphen Sei V {v1 ,..., vn } die Knotenmenge des unscharfen Graphen (Digraphen). ~ ~ Dann heißt die dem unscharfen Graphen des ersten Typs G (V , E ) zugeordnete ~ U ( G n×n Matrix V ) ukj mit den Elementen u kj E (vk , v j ) , k , j 1,..., n nn ~ Adjazenzmatrix von G . ~ ~ G V , E Für einen unscharfen gerichteten Graph ~ U V G u kj nn wird eine Adjazenzmatrix mit u kj E vk , v j , k , j 1,..., n gebildet. Beispiel 3 v1 v1 ~ UV (G) v2 v3 v4 v5 Ein 0 0,9 0 1 0 unscharfer v2 v3 v4 v1 v5 0,9 0 1 0 0 0,5 0,3 0,1 0,5 0,7 0 0 0,3 0 0 0,4 0,1 0 0,4 0,2 ungerichteter v1 ~ UV G v2 v3 v4 v5 Graph hat v2 v3 v4 v5 0 0,4 0,5 0 0 0 0 0 0 0,7 0 0 0 0,8 0 0 0 1 0 0,6 0,9 0 0 0 0,1 immer eine symmetrische Adjazenzmatrix. D.h. k , j 1,..., n gilt: E (vk , v j ) = E (v j , vk ) . Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des zweiten Typs ~ A ist eine Grundmenge. Gegeben ist eine unscharfe Menge V in A, ~ V wobei {( A (v) / v)} , v A . Definition 3 ~ ~ ~ Ein Graph G (V , E ) ist ein unscharfer ungerichteter Graph des zweiten Typs, wenn ~ ~ ~ n und V )} v / ) v ( {( V V eine unscharfe Menge von Knoten ist: , v A , A ~ E {( E (vk , v j ) /( vk , v j )} ist eine unscharfe Menge von Kanten, wobei ~ vk , v j V , k , j 1,..., n . Hier V heißt Träger der Menge V . ~ V ist die Mächtigkeit oder Kardinalität. Als Träger V bezeichnet man den Bereich der Grundmenge A, dem eine Zugehörigkeit μV>0 zugeordnet ist. Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des zweiten Typs ~ A ist eine Grundmenge. Gegeben ist eine unscharfe Menge V in A, ~ V wobei {( A (v) / v)} , v A . Definition 4 ~ ~ ~ Ein Graph G V , E ist ein unscharfer gerichteter Graph des zweiten Typs, wenn ~ ~ ~ V eine unscharfe Menge von Knoten ist: V {( A (v) / v)} , v A , V n ~ E {( E vk , v j / vk , v j } ist eine unscharfe Menge von gerichteten und Kanten (Pfeilen), wobei vk , v j V , k , j 1,..., n und V ist der Träger der ~ V Menge . Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des zweiten Typs Beispiel 4 ~ ~ ~ ~ G (V , E ) , V {(1/ v1 ), (0,7 / v2 ), (0,2 / v3 ), (0,4 / v4 ), (0,8 / v5 )} , ~ E {( 0,6 /( v1 , v3 )), (0,8 /( v1 , v5 )), (0,7 /( v2 , v3 )), (0,3 /( v2 , v4 )), (0,9 /( v3 , v4 )), (0,1/( v3 , v5 )), (0,4 /( v4 , v4 )), (0,5 /( v5 , v2 ))}. Beispiel 5 ~ ~ ~ ~ G V , E , V {( 0,2 / v1 ), (0,6 / v2 ), (0,9 / v3 ), (0,5 / v4 ), (0,7 / v5 )} , ~ E {( 0,6 / v1 , v2 ), (0,3 / v2 , v3 ), (0,9 / v2 , v5 ), (0,5 / v3 , v3 ), (0,8 / v3 , v4 ), (0,4 / v3 , v5 ), (0,2 / v5 , v5 ), (1 / v5 , v1 )}. 1 0,2 v1 v1 0,8 0,6 0,8 v5 0,7 0,5 v2 0,1 0,7 0,4 v4 0,4 0,3 0,9 1 0,2 v3 0,2 0,6 0,6 0,9 v5 0,7 v2 0,4 0,3 0,5 v4 0,9 v3 0,8 0,5 Unscharfe Optimierung Transformation der unscharfen Graphen Unscharfer gerichteter Graph des zweiten Typs ~ ~ ~ G V,E Unscharfer gerichteter Graph des ersten Typs ~ ~ G' V , E ' gekoppelte Graphen ~ V In diesem Fall ist V der Träger der Menge und die unscharfe Menge von ~ gerichteten Pfeilen E ' ist die folgende: ~ E ' {( E ' ( vk , v j ) / vk , v j ) : vk , v j V } , wobei vk , v j V V und die Funktion E ' ( vk , v j ) E ( vk , v j ) & V (vk ) & V (v j ) . Mit minimax Operation: E ' ( vk , v j ) min ( E ( vk , v j ), V (vk ), V (v j )) . Mit Wahrscheinlichkeitsrechnung: E ' ( v k , v j ) E ( v k , v j ) V ( v k ) V ( v j ) . Unscharfe Optimierung Eingangs- und Ausgangsgrad eines Knotens in unscharfen Graphen Die Anzahl der Nachbarn eines Knotens v i eines Graphen heißt Grad (vi ) von v i . Die Anzahl der Nachfolger eines Knotens v i eines gerichteten Graphen heißt positiver Grad oder Ausgangsgrad (vi ) von v i . Die Anzahl der Vorgänger eines Knotens v i heißt negativer Grad oder Eingangsgrad (vi ) : (vi ) N (vi ) ; (vi ) S (vi ) ; (vi ) P(vi ) . ~ Hier, N (vi ) ist der Träger der unscharfen Menge N (vi ) der Nachbarn des Knotens v i . S (vi ) und P (vi ) sind entsprechend die Träger der unscharfen ~ ~ P S ( v ) Menge der Nachfolger und der Menge (vk ) der Vorgänger i des Knotens v i . Unscharfe Optimierung Numerische Charakteristiken der Knoten der unscharfen Graphen Konjunktiver Eingangsgrad des Knotens vi : & (vi ) & E (v j , vi ) Konjunktiver Ausgangsgrad des Knotens vi : & (vi ) & E (vi , v j ) Disjunktiver Eingangsgrad des Knotens vi : (vi ) E (v j , vi ) Disjunktiver Ausgangsgrad des Knotens vi : (vi ) E (vi , v j ) v j P ( vi ) v jS ( vi ) v j P ( vi ) v j S ( vi ) Mittelwert des Eingangsgrads des Knotens vi : av (vi ) 1 P(vi ) Mittelwert des Ausgangsgrads des Knotens vi : av (vi ) 1 S (vi ) E (v j , vi ) E (vi , v j ) v j P ( vi ) v j S ( vi ) Unscharfe Optimierung Unscharfe Teilgraphen Definition 6 ~ ~ Ein unscharfer Graph H (V ' , E ' ) heißt Teilgraph des Graphen ~ ~ G (V , E ) , wenn V ' V und ~ ~ E' E , wobei ~ E ' {( E ' (vl , vs ) /(vl , vs )) : vl , vs V '} und E ' (vl , vs ) E (vl , vs ) vl , vs V ' . Definition 7 Ist V ' V , so hat der durch V ' induzierte Teilgraph ~ ~ ~ ~ H (V ' , E ' ) von G (V , E ) die Knotenmenge V ' und enthält ~ genau alle Kanten (vl , vs ) von G mit vl , vs V ' , wobei ~ E ' {( E ' (vl , vs ) /(vl , vs )) : vl , vs V '} und E ' (vl , vs ) E (vl , vs ) , vl , vs V ' . Unscharfe Optimierung Unscharfe Teilgraphen ~ ~ G (V , E ) Beispiel 6 v1 0,4 v2 0,7 v3 0,5 0,9 v4 0,8 v5 0,1 0,6 0,3 ~ H2 ~ H1 v3 v1 v4 0,8 0,9 0,1 0,6 ~ H1 v5 0,3 und ~ H2 sind induzierte unscharfe ~ ~ Teilgraphen von G (V , E ) Unscharfe Optimierung Unscharfe Teilgraphen Beispiel 7 ~ ~ G (V , E ) v1 v2 0,7 0,4 v3 0,5 v4 0,8 0,9 0,1 0,6 0,3 v1 v2 0,6 0,3 v5 ~ H3 0,5 v3 v4 0,8 v5 0,2 0,3 ~ ~ ~ H 3 ist ein unscharfer Teilgraph von G (V , E ) Unscharfe Optimierung Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen ~ ~ G G Der Grad des Enthaltenseins des Graphen 1 im Graphen 2 wird wie folgt definiert: ~ ~ (G1 , G2 ) & & ( 1 v ( y ) 2 v ( y )) . ~ ~ (G2 , G1 ) & & ( 2 v ( y ) 1 v ( y )) . vV1 yV1 V2 Ein Wert vV2 yV1 V2 ~ ~ G G heißt der Grad des Enthaltenseins des Graphen 2 im Graphen 1 . Ein Wert ~ ~ ~ ~ ~ ~ (G1 , G2 ) (G1 , G2 ) & (G2 , G1 ) . heißt der Grad der unscharfen Gleichheit von unscharfen Graphen ~ ~ G1 und G2 . Unscharfe Optimierung Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen Beispiel 8 v1 ~ G1 ~ G2 0,3 0,6 0,5 v1 v3 v2 0,8 0,7 0,2 v3 v2 ~ ~ (G1 , G2 ) 0,7 ~ ~ ~ G1 G2 ~ ~ (G2 , G1 ) 0,8 ~ ~ ~ G2 G1 ~ ~ (G1 , G2 ) 0,7 ~ ~ ~ G1 G2 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen ~ ~ ~ ~ G V , S G V , S Es seien 1 und 2 unscharfe gerichtete Graphen. 2 2 1 1 Definition 8 Ein unscharfer Graph ~ ~ ~ G1 G2 V1 V2 , S ~ ~ ~ ~ wird die Vereinigung von G1 V1 , S1 und G2 V2 , S 2 genannt, wobei ~ ~ ~ (v V1 V2 ) ist ( S (v) S1 (v) S 2 (v)) . Definition 9 Ein unscharfer Graph ~ ~ ~ G1 G2 V1 V2 , S ~ ~ ~ ~ G V , S G V , S wird der Durchschnitt von 1 und 2 genannt, wobei 1 1 2 2 ~ ~ ~ (v V1 V2 ) ist ( S (v) S1 (v) S 2 (v)) . Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen Definition 10 Ein unscharfer Graph ~ ~ G1 V1 S1 ~ ~ G V , S wird das Komplement von 1 genannt, wobei 1 1 ~ ~ S1 (v) V \ S1 . Definition 11 Ein unscharfer Graph ~ ~ ~ G1 \ G2 V1 \ V2 , S \ ~ ~ ~ ~ G V , S G V , S wird Differenz von 1 genannt, wobei 1 1 und 2 2 2 ~ ~ ~ (v V1 \ V2 ) ist ( S \ (v) S1 (v) S 2 (v)) . Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen Definition 12 Ein unscharfer Graph ~ ~ ~ G1 G2 : V1 V2 , S ~ ~ ~ ~ G V , S G V , S wird disjunkte Summe von 1 und 2 2 2 1 1 wobei genannt, ~ ~ ~ ~ ~ (v V1 V2 ) ist S (v) ( S1 (v) S 2 (v)) ( S1 (v) S 2 (v)) . Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen 1 v1 v3 0,6 0,3 0,8 v1 0,9 v3 1 0,3 0,4 0,2 v4 v2 0,5 0,8 0,7 0,4 0,2 v2 v4 0,8 0,2 v1 v5 0,3 0,3 v4 0,5 v2 0,8 0,2 ~ ~ G1 G2 0,8 v2 v5 0,6 0,3 0,6 0,8 v4 0,7 0,8 0,9 0,6 0,4 v5 v1 0,8 1 1 v1 0,2 ~ ~ G1 \ G2 ~ G2 v3 0,3 ~ G1 1 v3 0,6 0,6 0,7 v2 ~ ~ G1 G2 ~ ~ G1 G2 ~ G1 1 0,6 1 0,8 v3 1 0,3 1 1 v4 0,5 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen Definition 13 ~ ~ ~ G V , S G Ein unscharfer Graph heißt das Produkt von Graphen 1 1 1 ~ ~ ~ G2 V2 , S 2 . G wird definiert als und ~ ~ ~ ~ G G1 G2 V1 V2 , S , wobei V1 V2 kartesisches Produkt der Mengen von Knoten V1 und V2 ist; ~ ~ ~ S S1 S 2 . Dabei wenn und ~ (vi V1 ) ist S1 (vi ) {( 1 (vk ) / vk ) | vk V1} ~ (y j V2 ) ist S 2 ( y j ) {( 2 ( y j ) / y j ) | y j V2 } , dann ~ ((vi , y j ) V1 V2 ) ist S (vi , y j ) {( (vi , y j ) /(vi , y j )) | (vi , y j ) V1 V2 } , wobei (vi , y j ) min{ 1 (vi ), 2 ( y j )} . Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen Beispiel ~ G2 ~ G1 v1 0,6 v2 y1 1 y2 0,8 ~ ~ ~ G G Kartesisches Produkt 1 G2 : (v1 , y2 ) 0,8 0,6 (v1 , y1 ) 0,6 (v2 , y2 ) 0,7 (v1 , y3 ) (v 2 , y 3 ) 0,7 y3 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen Definition 14 Ein unscharfer Graph ~ ~ ~ ~ G G1 G2 (V1 V2 , S ) ~ ~ G G wird Summe von unscharfen Graphen 1 und 2 genannt, wobei V1 V2 kartesisches Produkt der Mengen von Knoten V1 und V2 ist, und ~ ~ ~ ((vi , y j ) V1 V2 ) ist S (vi , y j ) ( S1 (vi ) { y j }) ({vi } S 2 ( y j )) . Beispiel v1 ~ ~ ~ G G1 G2 ~ G1 0,6 (v1 , y2 ) v2 1 (v2 , y1 ) 0,6 ~ G2 1 0,6 (v2 , y2 ) 0,8 y1 0,8 y2 0,7 y3 1 0,7 (v1 , y3 ) 0,7 (v1 , y1 ) 0,6 0,8 (v 2 , y 3 ) 0,8
