Theorie der unscharfen Mengen

Theorie der unscharfen Mengen
Erweiterte Operationen
~
~
A    A~ ( x) / x und B    B~ ( y ) / y


~ ~
A  B    A~ ( x)   B~ ( y ) / x  y
1) Erweiterte Addition:
 A~B~ ( z)  sup min   A~ ( x),  B~ ( y)
z  x y
2) Erweiterte Subtraktion:


~ ~
A  B    A~ ( x)   B~ ( y ) / x  y

 A~B~ ( z)  sup min   A~ ( x),  B~ ( y)
z  x y

~ ~
A
 B    A~ ( x)   B~ ( y ) / x  y
3) Erweiterte Multiplikation:

 A~B~ ( z)  sup min   A~ ( x),  B~ ( y)
.
z  x y
4) Erweiterte Division:
~ ~
A : B    A~ ( x)   B~ ( y ) / x : y
 A~:B~ ( z)  sup min   A~ ( x),  B~ ( y)
z  x: y



Theorie der unscharfen Mengen
Erweiterte Operationen
~
~
A    A~ ( x) / x und B    B~ ( y ) / y


1) Erweitertes Maximum (extended maximum):
~ ~
Max ( A, B ) :  min  A~ ( x),  B~ ( y) / max x, y 
X Y


~
A
( x)   B~ ( y) / x  y
X Y
sup min
mit  Max( A~ , B~ ) ( z )  z max(
x, y )

~
A
( x),  B~ ( y)

2) Erweitertes Minimum (extended minimum):
~ ~
Min ( A, B ) :  min  A~ ( x),  B~ ( y)/ min x, y 
X Y
.


X Y
~
A
( x)   B~ ( y) / x  y
sup min
mit  Min( A~ , B~ ) ( z )  z min(
x, y )

~
A
( x),  B~ ( y)

Theorie der unscharfen Mengen
Algebraische Eigenschaften
von unscharfen Zahlen
Satz
~ ~
A
Sind , B unscharfe Zahlen, A , B ihre  -Niveaumengen (   0; 1 ),
die gemäß
A  B :  A  B 
A  B :  A  B 
A  B :  A  B 
A : B :  A : B 
verknüpft werden sollen, so gilt dann
~ ~
A  B     A  B      A  B 
.




~ ~
A  B     A  B      A  B 
~ ~
A  B     A  B      A  B 




~ ~
A : B     A : B      A : B 
Theorie der unscharfen Mengen
Algebraische Eigenschaften
von unscharfen Zahlen
~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~
A
Satz 2 Sind , B unscharfe Zahlen, so sind auch A  B , A  B , A  B
~ ~
wieder unscharfe Zahlen, nicht notwendig jedoch A : B .
~ ~
~ ~
~
~
A
,
B
A
B
B
Satz 3 Sind
unscharfe Zahlen und > 0 oder < 0, so ist auch : B
wieder eine unscharfe Zahl.
Satz 4
~ ~ ~
(1) Sind A, B , C unscharfe Zahlen. Dann gilt für Addition und
Multiplikation das Kommutativ- und Assoziativgesetz:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
A  B  B  A; A  B  B  A;
~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~
A  ( B  C )  ( A  B )  C ; A  ( B  C )  ( A  B )  C.
~ ~ ~
A
, B , C gilt das Distributivgesetz nur in der Form
(2) Für unscharfe
Zahlen
.
~ ~ ~
~ ~
~ ~
A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C ) .
~
~
~
Für Einschränkung auf A  0, B  0, C  0 gilt aber das Distributivgesetz
allgemein:
~ ~ ~
~ ~
~ ~
A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C ) .
Theorie der unscharfen Mengen
Vergleichsmethoden von unscharfen Zahlen
~ ~
Sei N() eine Menge von unscharfen Zahlen in  und A, B  .
1) Vergleichsmethode, die Indizes für unscharfe Zahlen verwendet
Eine Funktion F : N()   heißt Ordnungsfunktion oder
~
~
~ ~
F
(
A
)

F
(
B
) die Relation A  B folgt.
Ordnungsindex, falls aus
Yager-Indizes
~
A
 (al , am , ar ) unscharfe Zahl, wobei al  am   ; ar  am   .
a) Sei
Dann ist
ar
~
F1 ( A)   x   A~ ( x)dx
al
ar

al
~
A
( x)dx
.
~
A
 (al., am , ar ) eine dreieckige unscharfe Zahl ist, dann ist
Falls
~ a  am  ar
F1 ( A)  l
.
3
Theorie der unscharfen Mengen
Vergleichsmethoden von unscharfen Zahlen
~ ~
A
Sei N() eine Menge von unscharfen Zahlen in  und , B  .
1) Vergleichsmethode, die Indizes für unscharfe Zahlen verwendet
~
b) Sei A  (al , am , ar ) eine unscharfe Zahl.
Dann ist
~
F2 ( A) 
max


m
[
a
,
a
 l r ] d
0
~

A
wobei max : Höhe der unscharfen Zahl ;
A  [al ; ar ] :   Schnitt für   (0; 1] ;
m [al ; ar ] : Mittelwert des Intervalls für den
,
 -Schnitt.
~
A
 (a.l , am , ar ) eine dreieckige unscharfe Zahl mit max  1 ist, dann
Falls
~ al  2  am  ar
F2 ( A) 
.
4
Theorie der unscharfen Mengen
Vergleichsmethoden von unscharfen Zahlen
2). k-Preference Index-Methode
~
Sei A  (al , am , ar ) eine unscharfe Zahl und k  [0; 1] .
Dann ist
~ ~
~
Fk ( A)  max {x :  A~ ( x)  k} .
~
~
Sei A, B  . Dann ist A  B mit dem Grad k  [0; 1] genau dann, wenn
~
~
Fk ( A)  Fk ( B) .
~
~
A

(
a
,
a
,
a
)
B
Falls
und  (bl , bm , br ) zwei dreieckige unscharfe Zahlen
l
m
r
~
~
sind und Fk ( A)  k am  (1  k ) ar , Fk ( B )  k bm  (1  k ) br ist, dann gilt für
gegebene k
~
~ ~
~
.
A  B , falls Fk ( A)  Fk ( B ) .
Theorie der unscharfen Mengen
Vergleichsmethoden von unscharfen Zahlen
3). Possibility Methode
~ ~
Sei A, B  .
~ ~
T ( A  B )  sup {min (  A~ ( x),  B~ ( y ))}
x y
.
Ein Wert T heißt der Wahrheitswert oder der Grad der Möglichkeit
~ ~
~
~
der Dominanz von B über A und wird mit Poss ( A  B ) bezeichnet.
Dann ist
~ ~
Poss ( A  B )  sup (min (  A~ ( x),  B~ ( y ))) ,
x y
~ ~
Poss ( A  B )  sup (min ( A~ ( x),  B~ ( y))) .
x
~ ~
~ ~
~ ~
Poss
(
A

B
)

Poss
(
B
 A) .
Dann gilt A  B , wenn
.
~
~
B
A
Der Grad der Notwendigkeit der Dominanz von
über :
~ ~
~ ~
Necc ( A  B )  1  Poss ( A  B )
~ ~
~ ~
~ ~
Necc
(
A

B
)

Necc
(
B
 A)
Dann ist A  B , wenn
Theorie der unscharfen Mengen
Unscharfe Mengen zweiter Ordnung
Definition
~
Eine unscharfe Menge A auf der Grundmenge X heißt von zweiter
Ordnung (vom Typ 2), wenn ihre Zugehörigkeitsgrade  A~ ( x ) unscharfe
Mengen erster Ordnung (vom Typ 1) sind.


1
1
0
0
.
x
Unscharfe Menge erster Ordnung
x
Unscharfe Menge zweiter Ordnung
Theorie der unscharfen Mengen
Linguistische Variable
Eine linguistische Variable wird durch fünf Parameter charakterisiert:
(y, T, U, G, M ),
y – der Name der linguistischen Variable;
T – Menge der Werte für die linguistische Variable y;
U – die Grundmenge der Werte der linguistischen Variable (Basisvariable);
G – syntaktische Regel zur Generierung der Werte in T;
M – semantische Regel, um jedem Wert in T seine Bedeutung zuzuordnen
und die ihm entsprechende unscharfe Mengen zu generieren.
Entfernung
Zugehoerigkeitsgrad

1
sehr
kleine
.
(SK)
kleine
linguistische Variable
grosse
 (K)
 (G)
sehr
grosse
Werte der LV
(Terme)
Bedeutung der
Terme
(SG)
0
1
1000
Basisvariable
2000
Entfernung,
km
Theorie der unscharfen Mengen
Verknüpfungen von unscharfen Mengen
2. Ordnung
~
~
Seien A und B unscharfe Mengen 2. Ordnung über einer Grundmenge X und
 A~ ( x)   g ( pi ) / pi ,  B~ ( x)   h(q j ) /q j
die Zugehörigkeitsgrade für ein x  X über einer Grundmenge G  [0; 1] .
Dann heißen die mit dem Erweiterungsprinzip konstruierten unscharfen
Mengen 2. Ordnung
~ ~
A  B :  A~B~ ( x)   g ( pi )  h(q j ) / pi  q j
i, j
unscharfe Vereinigungsmenge 2. Ordnung;
~ ~
A  B :  A~B~ ( x)   g ( pi )  h(q j ) / pi  q j
i, j
.
unscharfe Durchschnittsmenge 2. Ordnung;
~
A :  A~ ( x)   A~ ( x)   g ( pi ) / 1  pi
i
unscharfe Komplementärmenge 2. Ordnung.
Theorie der unscharfen Mengen
Eigenschaften
~
~
~
Satz Für unscharfe Mengen A , B , C 2. Ordnung auf der Grundmenge
G  [0; 1] gelten bezüglich der Verknüpfungen , ,  folgende
Eigenschaften (jeweils für alle x  X ):
 und  sind kommutativ:
(1)
 A~ ( x)   B~ ( x)   B~ ( x)   A~ ( x);
 A~ ( x)   B~ ( x)   B~ ( x)   A~ ( x).
(2)
 und  sind assoziativ:
 A~ ( x)  ( B~ ( x)  C~ ( x))  ( A~ ( x)   B~ ( x))  C~ ( x);
 A~ ( x)  ( B~ ( x)  C~ ( x))  ( A~ ( x)   B~ ( x))  C~ ( x).
(3)
für ,  und  gelten die De-Morgan-Gesetze:
(  A~ ( x)   B~ ( x))   A~ ( x)   B~ ( x);
.
(4)
(5)
(  A~ ( x)   B~ ( x))   A~ ( x)   B~ ( x).
 erfüllt das Gesetz vom Doppelten Komplement:
  A~ ( x)   A~ ( x).
"0" ist Neutralelement für  , "1" ist Neutralelement für  :
 A~ ( x)  0   A~ ( x);  A~ ( x)  1   A~ ( x).
Theorie der unscharfen Mengen
Unscharfe Relationen
Definition
Sei X= A B eine klassische Grundmenge und  R eine klassische
zweistellige Funktion auf X gemäß  R : A B  [0; 1] .
Dann heißt die Menge der mittels  R bewerteten Paare
~
R  {(( a, b),  R~ (a, b)) a  A, b  B}
eine zweiwertige (binäre) unscharfe Relation auf X.
~ ~
R
Vereinfacht schreibt man  R ( A, B) .
.
Eigenschaften
~
R
1)  {(( a, b), 1) a  A, b  B} : A  B .
~
R
2)  {(( a, b), 0) a  A, b  B} :  .
Theorie der unscharfen Mengen
-Schnitte für unscharfen Relationen
Definition
~
Sei R  X1  X 2  ...  X n eine unscharfe Relation. Dann
R  {( x1 , ..., xn ) |  R~ ( x1 , ..., xn )  }
~
heißt  -Niveaurelation (  -Schnitt) von R , mit  [0;1] und n2.
Beispiel
Auf der Grundmenge X1  X 2 mit X1  {a, b, c, d} und X 2  {e, f , g}
~
sei folgende unscharfe Relation R gegeben:
~
R:
.
a
b
c
d
e
0,8
0,2
0,4
0,1
f
0,3
0,5
0
0,9
g
0,6
0
1
0,2
Sei  =0,6. Dann R :
e
f
g
a
1
0
1
b
0
0
0
c
0
0
1
d
0
1
0
Theorie der unscharfen Mengen
max-min-Komposition
Definition
Auf den klassischen Mengen A, B, C seien die unscharfen Relationen
~
~
R1 : R1 ( A, B)  A  B
~
~
R2 : R2 ( B, C )  B  C
gegeben.
~
~
R
R
Als max-min-Komposition von 1 und 2 (in dieser Reihenfolge)
versteht man dann die unscharfe Relation
~ ~
R2  R1 ( A, C )  A  C
gemäß der Zugehörigkeitsfunktion
 R~  R~ (a, c)  max min ( R~ (a, b),  R~ (b, c))
.
2
bzw.
1
bB
1
2
 R~  R~ (a, c)  sup min (  R~ (a, b),  R~ (b, c)) .
2
1
bB
1
2
Theorie der unscharfen Mengen
Eigenschaften
(1) Die max-min-Komposition ist assoziativ:
~
~
~ ~
~ ~
R1  R1 ( Z ,W ) , R2  R2 (Y , Z ) , R3  R3 ( X ,Y ) :
~ ~ ~
~ ~
~
R1  ( R2  R3 )  ( R1  R2 )  R3
(2) Die max-min-Komposition ist beidseitig distributiv bezüglich
der Vereinigung:
~ ~
~ ~
~
~
a) R1  R1 (Y , Z ) , R2  R2 ( X , Y ) , R3  R3 ( X ,Y ) :
~ ~
~
~ ~
~ ~
R1  ( R2  R3 )  ( R1  R2 )  ( R1  R3 )
~ ~
~ ~
~
~
R

R
(
Y
,
Z
)
R

R
(
Y
,
Z
)
R
b) 1
, 2
, 3  R3 ( X ,Y ) :
1
2
~ ~
~
~ ~
~ ~
( R1  R2 )  R3  ( R1  R3 )  ( R2  R3 )
.
(3) Die max-min-Komposition ist monoton im folgenden Sinne: für
~
~
~
~
~ ~
zwei Relationen R1  R1 ( X , Y ) , R2  R2 ( X , Y ) mit R1  R2 bleibt bei
~ ~
der Verknüpfung mit einer Relation S  S (Y , Z ) von links die
Teilmengenbeziehung erhalten:
~ ~
~ ~
~
~
R1  R2  S  R1  S  R2
(4) Die max-min-Komposition ist nicht kommutativ und nicht
distributiv bezüglich des Durchschnittes.
Theorie der unscharfen Mengen
max-t-Komposition
Definition
~ ~
~ ~
Seien R1  R1 ( A, B) und R2  R2 ( B, C ) unscharfe Relationen.
~
~
Als max-t-Komposition von R1 mit R2 (in dieser Reihenfolge) versteht
man dann die unscharfe Relation
~ ~ ~ ~
R2 * R1  R2 * R1 ( A, C )
gemäß der Zugehörigkeitsfunktion
 R~ *R~ (a, c)  sup t ( R~ (a, b),  R~ (b, c)) .
2
.
1
bB
1
2
Satz
Für die max-t-Komposition gelten die gleichen Eigenschaften wie für die
max-min-Komposition:
- Assoziativität;
- Beiderseitige Distributivität über der Vereinigung;
- Monotonie;
- keine Kommutativität, keine Distributivität über dem Durchschnitt.
Theorie der unscharfen Mengen
Ähnlichkeits-Eigenschaften von unscharfen
Relationen
Definition
~ ~
Eine unscharfe Relation R  R ( X , X ) heißt
- reflexiv, wenn gilt  R~ ( x, x)  1 für alle x  X ;
- symmetrisch, wenn gilt  R~ ( x, y )   R~ ( y, x) für alle x, y  X ;
~ ~ ~
- transitiv ("max-min-transitiv"), wenn gilt R  R  R , d.h.
 R~ R~ ( x, y )   R~ ( x, y ) für alle x, y  X .
~
R
.
Beispiel
a
b
c
d
e
a
1
0,7
0,3
1
0,4
~ ~
RR
b
0,7
1
0
0,6
0,2
c
0,3
0
1
0
0,3
d
1
0,6
0
1
0,9
e
0,4
0,2
0,3
0,9
1
a
b
c
d
e
a
1
0,7
0,3
1
0,9
~
R ist reflexiv, symmetrisch und nicht transitiv:
 R~ R~ (a, e)  0,9  0,4   R~ (a, e) .
b
0,7
1
0,3
0,7
0,6
c
0,3
0,3
1
0,3
0,3
d
1
0,7
0,3
1
0,9
e
0,9
0,6
0,3
0,9
1
Theorie der unscharfen Mengen
Ähnlichkeits-Eigenschaften von unscharfen
Relationen
Metrisches Prinzip:
Man führt eine Abstandsfunktion (Metrik) d  d ( x, y ) ein, welche den
"Abstand" von x zu y durch eine reelle Zahl aus [0;1] beschreibt.
.
Eigenschaften von Abstandsfunktion:
- jedes Element ist sein eigener Nachbar:
d ( x, x)  0 : Identitätseigenschaft;
- x hat von y den gleichen Abstand wie y von x:
d ( x, y )  d ( y, x) : Symmetrieeigenschaft;
- der Abstand von x zu y ist kleiner oder gleich der Summe der Abstände
von x zu z und von z zu y:
d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y ) : Dreiecksungleichung.
Satz
~ ~
Ist R  R ( X , Y ) eine unscharfe Relation, die reflexiv, symmetrisch und
transitiv ist (eine Ähnlichkeitsrelation (similarity relation)), so erfüllt ihre
komplementäre Zugehörigkeitsfunktion
 R~ :
1   R~ ( x, y ) : d ( x, y )
die Axiome einer Abstandsfunktion (einer Metrik).
Theorie der unscharfen Mengen
Transitive Hüllen
Definition
~ ~
Sei R  R ( X , X ) eine unscharfe Relation, "" eine max-minKomposition, "" die Vereinigung der unscharfen Mengen. Dann heißt
die unscharfe Relation
~ˆ
~ ~
~
~
~
R ( X , X )  R  R 2  R 3  ...  R n  ... :  R n
~
nN
die (max-min) transitive Hülle von R , falls für n  1
~
~ ~ ~
R n : R  R  ...R (n Operanden)
genommen wird.
Abbruchkriterium
.
~ˆ
R
Tritt bei der Bestimmung der transitiven Hülle
der Fall ein, dass für
ein bestimmtes k  1
~
~
R k 1  R k ,
~ˆ k ~ n
~ˆ
R


R
R
so ist mit
die transitive Hülle
bereits gefunden.
n 1
Theorie der unscharfen Mengen
Ordnungseigenschaften unscharfer Relationen
Definition
~ ~
Eine unscharfe Relation R  R ( X , Y ) heißt
- antisymmetrisch, wenn für alle Paare ( x, y)  X  Y mit x  y gilt:
entweder  R~ ( x, y )   R~ ( y, x) ,
oder  R~ ( x, y )   R~ ( y, x)  0;
- perfekt antisymmetrisch, wenn für alle Paare ( x, y)  X  Y
mit x  y gilt:
 R~ ( x, y )   R~ ( y, x)  0,
d.h., es ist  R~ ( x, y )  0 oder  R~ ( y, x)  0 .
.
Definition
~ ~
Die einer antisymmetrischen unscharfen Relation R  R ( X , X ) zugeordnete
klassische Relation R' sei durch folgende Vorschrift erklärt:
- für x  y und  R~ ( x, y )   R~ ( y, x) sei  R' ( x, y)  1 und  R' ( y, x)  0;
- für x  y und  R~ ( x, y )   R~ ( y, x)  0 sei R' ( x, y)  R' ( y, x)  0;
- für alle x  X sei  R' ( x, x)  1.
Theorie der unscharfen Mengen
Ordnungseigenschaften unscharfer Relationen
1). Eine unscharfe Relation, die transitiv, reflexiv und antisymmetrisch ist,
heißt eine unscharfe Ordnungsrelation (fuzzy order relation).
2). Eine unscharfe Relation, die transitiv, reflexiv und perfekt
antisymmetrisch ist, heißt eine perfekte unscharfe Ordnungsrelation
(perfect order relation).
3). Die mit (1) und (2) erklärten unscharfen Relationen heißen partielle
unscharfe Ordnungsrelationen.
4). Eine partielle unscharfe Ordnungsrelation heißt K-linear (K-vollständig),
wenn die ihr zugeordnete klassische Ordnungsrelation linear (vollständig)
ist.
.
~
5). Eine partielle unscharfe Relation R heißt Z-linear (Z-vollständig), wenn
für alle ( x, y )  X  X mit x  y gilt
entweder  R~ ( x, y )  0 oder  R~ ( y , x)  0 .