Fuzzy Logic und Wahrscheinlichkeit

Philosophische Fakultät Institut für Philosophie, Lehrstuhl für Theoretische Philosophie, Holm Bräuer M.A.
Fuzzy Logic und
Wahrscheinlichkeit
Ein Kurzüberblick
Was ist „Fuzzy Logic“?
Fuzzy-Logik (englisch: fuzzy = ungenau, verschwommen, unscharf) ist eine Theorie, die
vor allem für die Darstellung menschlichen Wissens und menschlicher Überlegung zur
Verarbeitung in Computern entwickelt wurde.
Fuzzy-Computersysteme verarbeiten gegenüber herkömmlichen Systemen nicht nur
Werte wie JA und NEIN (bzw. AN und AUS oder 1 und 0), sondern zusätzlich auch
Zwischenwerte (Wahrheitswerte) zwischen WAHR (=1) und FALSCH (=0) z.B. 0,5, so dass
damit auch unscharfe Angaben wie EIN BISSCHEN, ZIEMLICH oder STARK mathematisch
behandelt werden können.
Die Fuzzy-Set-Theorie, also die unscharfe Mengenlehre, wurde bereits 1965 von L. A.
Zadeh, Professor für Computerwissenschaften an der Universität von Berkeley, entwickelt.
Die Grundlagen dazu wurden jedoch schon früher von dem polnischen Logiker Jan
Lukasiewicz entwickelt, der zur Beschreibung des Wahrheitswertes einer logischen
Aussage Zahlen aus dem reellen Einheitsintervall [0, 1] (die reellen Zahlen zwischen 0 und
1 einschließlich der Ränder) verwendete.
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Jan Łukasiewicz
Jan Łukasiewicz (1878 - 1956)
Der polnische Logiker und Mathematiker Jan
Łukasiewicz war von 1915-1939 Professor an
den Universitäten von Lwow und Warschau und
Mitbegründer der Lwow-Warschau-Schule der
mathematischen
Logik
und
Grundlagenforschung. Während der Besetzung Polens
durch die Nazis wirkte er an der Warschauer
Untergrunduniversität.
Von Łukasiewicz stammt die erste von der
klassischen Logik abweichende und explizit als
mehrwertige Logik präsentierte Aussagenlogik.
O logice trójwartościowej, Ruch Filozoficzny 5
1920, 170f.; engl. in: Łukasiewicz, J.: Selected
Works (ed. L. Borkowski) Amsterdam /London/
Warschau 1970
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Lofti A. Zadeh
Lofti A. Zadeh (* 1921)
Zadeh stellte 1965 in einer Arbeit erstmals das
Konzept der Fuzzy Logik – der unscharfen
Logik (inhaltlich: Die Logik der Unschärfe) –
vor. Dieses Konzept erwies sich als sehr
fruchtbar und erlebte in den letzten beiden
Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts einen
regelrechten Boom.
Zadeh forschte auch auf dem Gebieten der
Neuronalen
Netze,
Expertensysteme,
Kontrolltheorie und Künstlichen Intelligenz.
Fuzzy sets. Information and Control (1965)
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Gewöhnliche Mengen vs.
unscharfe Mengen
Gewöhnliche (scharfe) Mengen
Die Theorie der unscharfen Mengen ist eine
Erweiterung der klassischen Mengenlehre. Mit dieser
kann
der
Begriff
der
partiellen
Wahrheit
(Wahrheitswerte zwischen 1 (vollständig wahr) und 0
(vollständig falsch)) behandelt werden. Sie wurde als
ein Werkzeug eingeführt, mit dem man die Vagheit
komplexer Systeme analysieren kann.
Die Idee unscharfer Mengen ist recht einfach. Wir
wollen zum Beispiel eine Menge von grauen Feldern
definieren, die die Eigenschaft des Dunkelgrauen
beinhaltet. In der klassischen Mengenlehre müssen
wir einen Grenzwert des Dunkelgrauen definieren,
z.B. 100. Alle grauen Felder zwischen 0 und 100 sind
Element dieser Menge, alle anderen gehören nicht
dazu.
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Gewöhnliche Mengen vs.
unscharfe Mengen
Fuzzy (unscharfe) Mengen
Im Gegensatz zu klassischen Mengen können
Elemente von unscharfen Menge auch nur zu einem
bestimmten Grad einer Menge angehören.
Dieser Zugehörigkeitsgrad wird üblicherwiese durch
eine Zahl aus dem Intervall [0, 1] beschrieben. Dabei
bedeutet der Grad 1 volle Zugehörigkeit zur Menge
und der Grad 0 keine Zugehörigkeit.
Die Dunkelheit beispielsweise ist eine graduelle
Angelegenheit. Daher kann eine unscharfe Menge
diese Eigenschaft viel besser darstellen. Um diese
Menge zu definieren brauchen wir zwei Grenzwerte,
z.B. 50 und 150. Alle grauen Felder, die weniger als
50 betragen, sind vollständige Elemente dieser
Menge. Alle grauen Felder, die größer sind als 150,
gehören nicht zur Menge. Die grauen Felder
zwischen 50 und 150 jedoch besitzen eine teilweise
Zugehörigkeit zur unscharfen Menge.
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Vagheit und unscharfe
Mengen
1,2
1,2
1
1
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
Bäume
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Sträucher
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Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit (engl.: probability) ist ein Maß zur Quantifizierung der
Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im
Rahmen eines »Zufallsexperiments«. Wie man die Wahrscheinlichkeit empirisch
bestimmen kann, darüber gibt es in der Literatur unterschiedliche
Auffassungen:
Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff von Pierre-Simon Laplace (17491827) definiert Wahrscheinlichkeit als Quotient der Zahl der günstigen und
gleichmöglichen Fälle.
Der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff von Richard von Mises (18831953) definiert Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit des
Auftretens des Ereignisses.
Der subjektive Wahrscheinlichkeitsbegriff von Leonard J. Savage (19171971) definiert Wahrscheinlichkeit als subjektiv wahrgenommene Wettchance.
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Wahrscheinlichkeit
Unabhängig von der Frage, wie man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu
bestimmen hat, sind die formalen Eigenschaften dieses mathematischen
Konstruktes und die Regeln, wie man mit ihm umgehen (rechnen) soll,
eindeutig. Sie basieren auf drei Axiomen, die von Andrej N. Kolmogorov (190387) formuliert wurden:
Axiom 1: Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (die beiden
Grenzen eingeschlossen).
Axiom 2: Ein Ereignis, das immer eintritt, das sogenannte sichere Ereignis, hat
die Wahrscheinlichkeit 1.
Axiom 3: Schließen sich zwei Ereignisse A und B aus, entspricht die
Wahrscheinlichkeit, dass entweder das Ereignis A oder das Ereignis B eintritt,
der Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.
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