Beispiel für Possion
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Diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle • Poisson-Verteilung: Zählen seltener Ereignisse Wahrscheinlichkeitsfunktion P( X k ) k k! exp( ) Beispiele: Zahl der Fischvergiftungen pro Zeiteinheit Zahl der Spontantumoren pro Zeiteinheit historisch: Zahl der Todesfälle durch Hufschlag pro Jahr und Regiment Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 1 Beispiel für Possion-Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 2 Lebensdauerverteilungen • Exponentialverteilung Beispiel: Lebensdauern Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 3 Zusammenfassung: Verteilungen • Wahrscheinlichkeitsmodelle dienen dazu, bestimmte (unsichere) Phänomene zu charakterisieren. • Das Wahrscheinlichkeitsmodell ist abhängig von der zu charakterisierenden Größe. In der Literatur gibt es eine Vielzahl solcher Verteilungen. • Man unterscheidet diskrete und stetige Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsmodelle). • Wichtige Kennzahlen von Verteilungen sind Erwartungswert und Varianz. • Verteilungen haben meist Parameter, die durch das Problem gegeben sind, oder aus Daten geschätzt werden. Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 4 Statistische Erhebungen Bei der Erhebung von Daten unterscheidet man: • Befragungen z.B. Befragung der Landwirte über das Verhalten der Tiere im Stall • Experimente z.B. Versuch, welches Arzneimittel am besten zur Heilung führt • Beobachtungen Auftreten einer Krankheit Erhebungen zu Tieren in einer Tierklinik Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 5 Unterscheidungseinheiten / statistische Einheit / Merkmalsträger Individuen, die einer Erhebung zugrunde liegen Beispiele: • Einzelne Tiere • Einzelne Herden • Einzelne Landwirte • Haushalte Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 6 Merkmale (Variablen) Eigenschaften Untersuchungseinheiten z.B. • Krankheitsstatus • Blutparameter • Geschlecht • Anzahl der Kühe (bei Untersuchungseinheit Landwirt) Merkmalsausprägungen mögliche Werte des Merkmals • Messergebnisse / positive Zahlen • krank / gesund Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 7 Charakterisierung von Merkmalen quantitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Größe • Alter, Gewicht, Milchleistung, Temperatur, Anzahl Keime, Schadstoffgehalt, … qualitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Art • Geschlecht, Namen, Rassen, Haltungsform Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 8 Merkmalswerte Die gemessenen, erfragten oder beobachteten Ausprägungen des Untersuchungsmerkmals sind die Merkmalswerte. Sie stellen die Daten der Erhebung dar. • Wiederkauverhalten: z.B. in Stunden pro Tag • Arzneimittel: Dosis 1, Dosis 2, Dosis 0 (Placebo) • Befund: gesund, fraglich, erkrankt • Keimzahlen: Anzahl in 1000 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 9 Skalen Metrische Skala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge und die Abstände zwischen den Werten der Skala lassen sich interpretieren. • Gewicht, Keimzahlen, Schadstoffmessung Ordinalskala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge, aber die Abstände zwischen den Werten der Skala lassen sich nicht interpretieren. • Bewertung (Noten), Gesundheitszustand Nominalskala: Die Werte unterliegen keiner Rangfolge und sind nicht Vergleichbar • Geschlecht, Rasse, Haltungsform Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 10 Deskriptive Statistik Ziel: Beschreibung von Daten mit möglichst geringem Informationsverlust • • • • Eigenschaften und Strukturen sichtbar machen Graphisch und durch Kennwerte Eindimensional und mehrdimensional Zunächst keine Schlüsse auf die Grundgesamtheit Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 11 Rohdaten und Datenmatrix Die Daten liegen in der Regel als Datenmatrix vor: • • • • Zeilen entsprechen Untersuchungseinheiten Spalten entsprechen Merkmalen Elemente der Matrix sind die Merkmalsausprägungen Fragen mit Mehrfachnennungen als Einzelne binäre Merkmale definieren Hinweise zur Eingabe unter: www.stat.uni-muenchen.de/stablab/Excel.html Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 12 Beispiel: Daten zu Mastenten (Ausschnitt) - Ändern - Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 13 Eindimensionale Statistische Kennwerte Lagemaßzahlen • • • • Wo liegt die Masse der Daten? Wo liegt die Mehrzahl der Daten? Wo liegt die Mitte der Daten? Welche Mehrmalsausprägung ist typisch für die Häufigkeitsverteilung? Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 14 Statistische Kennwerte Streumaßzahlen • Über welchen Bereich erstrecken sich die Daten? • Wie groß ist die Schwankung der Ausprägungen? Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 15 Eindimensionale Häufigkeitsverteilung Hämatokrit Gültig Fehlend Ges amt 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Ges amt Sys tem Häufigkeit 3 7 3 9 16 18 12 5 6 1 80 40 120 Prozent 2,5 5,8 2,5 7,5 13,3 15,0 10,0 4,2 5,0 ,8 66,7 33,3 100,0 Gültige Prozente 3,8 8,8 3,8 11,3 20,0 22,5 15,0 6,3 7,5 1,3 100,0 Kumulierte Prozente 3,8 12,5 16,3 27,5 47,5 70,0 85,0 91,3 98,8 100,0 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 16 Der Modus Definition: Häufigster Wert Eigenschaften: • oft nicht eindeutig • nur bei gruppierten Daten oder bei Merkmalen mit wenigen Ausprägungen sinnvoll • stabil bei allen eindeutigen Transformationen • geeignet für alle Skalenniveaus Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 17 Beispiel Modus Modus = 4 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 18 Der Median Definition: Wert für den gilt 50% der Daten sind kleiner oder gleich med 50% der Daten sind größer oder gleich med med = n 1 (k ) x falls k ganze Zahl 2 1 ( x ( k ) x ( h 1) ) falls k n ganze Zahl 2 2 x (1) x ( n ) sind geordnete Werte Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 19 Eigenschaften des Median • • • • anschaulich stabil gegenüber monotonen Transformationen geeignet für ordinale Daten stabil gegenüber Ausreißern Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 20 Beispiel Median Hämatokrit Gültig Fehlend Ges amt 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Ges amt Sys tem Häufigkeit 3 7 3 9 16 18 12 5 6 1 80 40 120 Prozent 2,5 5,8 2,5 7,5 13,3 15,0 10,0 4,2 5,0 ,8 66,7 33,3 100,0 Gültige Prozente 3,8 8,8 3,8 11,3 20,0 22,5 15,0 6,3 7,5 1,3 100,0 Kumulierte Prozente 3,8 12,5 16,3 27,5 47,5 70,0 85,0 91,3 98,8 100,0 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 Statistiken Hämatokrit N Gültig Fehlend Median Modus 80 40 40,00 40 21 Das Quantil (Perzentil) Definition: Wert für den gilt Anteil p der Daten sind kleiner oder gleich xp Anteil 1-p der Daten sind größer oder gleich xp (k ) x falls np keine ganze Zahl und k kleinsteZahl np 1 (k ) ( h 1) ( x x ) falls k np ganze Zahl 2 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 22 Fünf-Punkte Zusammenfassung Minimum, 25%-Quantil, Median,75%-Quantil,Maximum Hämatokrit Gültig Fehlend Ges amt 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Ges amt Sys tem Häufigkeit 3 7 3 9 16 18 12 5 6 1 80 40 120 Prozent 2,5 5,8 2,5 7,5 13,3 15,0 10,0 4,2 5,0 ,8 66,7 33,3 100,0 Gültige Prozente 3,8 8,8 3,8 11,3 20,0 22,5 15,0 6,3 7,5 1,3 100,0 Kumulierte Prozente 3,8 12,5 16,3 27,5 47,5 70,0 85,0 91,3 98,8 100,0 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 Statistiken Hämatokrit N Gültig Fehlend Median Perzentile 10 25 50 75 90 99 80 40 40,00 36,00 38,00 40,00 41,00 42,00 44,00 23 Der Mittelwert (arithmetisches Mittel) 1 n x xi n i 1 • bekanntestes Lagemaß • instabil gegen extreme Werte • geeignet für Intervallskalierte Daten Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 24 Beispiel Mittelwert Hämatokrit Gültig Fehlend Ges amt Häufigkeit 3 7 3 9 16 18 12 5 6 1 80 40 120 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Ges amt Sys tem Prozent 2,5 5,8 2,5 7,5 13,3 15,0 10,0 4,2 5,0 ,8 66,7 33,3 100,0 Gültige Prozente 3,8 8,8 3,8 11,3 20,0 22,5 15,0 6,3 7,5 1,3 100,0 Kumulierte Prozente 3,8 12,5 16,3 27,5 47,5 70,0 85,0 91,3 98,8 100,0 Deskriptive Statistik N Hämatokrit Gültige Werte (Lis tenweise) 80 Minimum 35 Maximum 44 Mittelwert 39,48 Standardab weichung 2,093 80 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 25 Die Spannweite (Range) Definition: q xmax xmin • „Bereich in dem die Daten liegen“ • Wichtig für Datenkontrolle Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 26 Der Quartilsabstand Definition: q x0, 75 x0, 25 • „Größe des Bereichs in dem die mittlere Hälfte der Daten liegt“ • Geeignet für ordinal skalierte Daten • Zentraler 50%-Bereich Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 27 Standardabweichung 2 Definition: S S 1 2 ( x x ) i n 1 S2 • „Mittlere Abweichung vom Mittelwert“ • Manchmal auch 1/n statt 1/(n-1) • Intervallskala Voraussetzung Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 28
