Beispiel

Wahrscheinlichkeit
• „Wahrscheinlich wird morgen die Sonne scheinen“
• „Die Chancen, dass ich die Klausur bestehe, sind 50:50“
• „Das jährliche Risiko, durch einen Blitzschlag zu sterben,
beträgt 1:10 Millionen“
Struktur: Wahrscheinlichkeitsaussagen beziehen
sich auf Ereignisse, deren Eintreten unbekannt ist.
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Laplace (1749 - 1822):
Zahl der günstigen Fälle
Zahl aller (gleich) möglichen Fälle
Beispiel:
P(„Es wird eine 6 gewürfelt“) = 1/6
P(Es wir eine gerade Zahl gewürfelt) = 3/6
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Laplace-Wahrscheinlichkeit (2)
Problem: P(„Morgen scheint die Sonne“)
Möglichkeiten = {Sonne, Regen, bewölkt}
P(Sonne) = 1/3 ????
Definition ist zyklisch
(gleich) möglich = gleich wahrscheinlich
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
R. von Mises (1883-1953)
„ Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die
langfristige relative Häufigkeit seines Auftretens“
nA
P( A)  lim
n
nA : Anzahl der Erfolge
n : Anzahl der Versuche
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Probleme:
• Einmalige Ereignisse
• Grenzwertdefinition
• Experimentdurchführung
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Laplace, Ramsey, de Finetti:
„Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Grad
der Überzeugung, mit der ein Beobachter aufgrund eines
bestimmten Informationsstandes an das Eintreten eines
Ereignisses glaubt“
P(A) ist der Wetteinsatz (€) in , die eine Person höchstens einzugehen
bereit ist, falls er bei Eintreten von A 1 € gewinnt.
Beispiele:
Münzwurf: Einsatz auf Zahl bis zu 0,50 € sinnvoll
Würfel:
Einsatz bis zu 1/3 € auf „5 oder 6“
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Probleme:
• Subjektiv = Unwissenschaftlich ?
• Wettdefinition
• Informationsstand
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Axiomatische Einführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kolmogorov (1933): Wahrscheinlichkeit ist Funktion, die gewissen
Regeln, den sog. Kolmogorov‘schen Axiomen genügt
Grundlage bildet das Zufallsexperiment: Vorgang, der genau ein
Ergebnis liefert, das nicht deterministisch bestimmt ist.
Menge der Ergebnisse: W
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Zufallsexperimente
Experiment
Ergebnismenge W
Würfelwurf
1, 2, 3, 4, 5, 6
Münzwurf
Kopf, Zahl
Diagnosetest
positiv, negativ
Blutwert
alles positive Zahlen
EKG-Parameter
alle positiven Zahlenpaare (0, ) x (0, )
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Ereignisse
Ereignisse sind Teilmengen von W
Beispiele:
1. „gerade Zahl“ = {2,4,6} „1 oder 2“ = {1,2}
2. „Kopf“ = {K}
3. Blutwert > 90 (90,  )
4. Beide EKG-Werte >10 {(x, y)|x >10, y >10}
Ereignissen sollen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.
Wir bezeichnen Ereignisse mit A,B,C...
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Ereignisoperationen
A  B : Vereinigung = „A oder B“
A  B : Durchschnitt = „A und B“
AC
: Komplement = „Nicht A“
Beispiel:
W
A
B
AB
AB
AC
= {1,2,3,4,5,6}
= {2,4,6} „gerade“
= {4,5,6} „groß“
= {2,4,5,6} „groß oder gerade
= {4,6}
„gerade und groß“
= {1,3,5}
„ungerade“
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Axiome von Kolmogorov
W mit Ereignissen A,B,C...
Eine Wahrscheinlichkeit P hat folgende Eigenschaften
1. 0  P(A)  1 für alle Ereignisse
2. P(A  B)  P(A) + P(B) für disjunkte Ereignisse
3. P(W)  1
Beispiel: Laplace-Wahrscheinlichkeit für Würfel:
P({1,2,3,4,5,6}) = 6/6 = 1
P({1,2}  {5,6})  4/6  2/3  P({1,2}) + P({3,4})
Positivität ist offensichtlich
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Positivität
Additivität
Normiertheit
Axiome und Wahrscheinlichkeitsbegriff
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit und die frequentistische
Wahrscheinlichkeit erfüllen die Axiome. Auch von den
subjektiven Wahrscheinlichkeiten ist die Forderung der
Erfüllung der Axiome sinnvoll.
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Wichtige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Gegenereignis: P(AC) = 1- P(A)
Additionssatz : P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Beispiel :
A
= {2,4,6}
B
= {4,5,6}
A  B = {2,4,5,6}
A  B = {4,6}
„gerade“
„groß“
„groß oder gerade“
„ groß und gerade “
P(A  B ) = 4/6
P(A) + P(B) - P(A  B) = 3/6+3/6-2/6
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit:
„Herzoperation im Krankenhaus“ Überleben der Operation
Alle Fälle
Operation
überlebt
Operation
nicht
überlebt
P (nicht ü)
Krankenh U
500
500
0.5
Krankenh K
900
100
0.1
„Risiko“
Frage:
„In welchem Krankenhaus würden Sie sich behandeln
lassen?“
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Schwere der behandelten Fälle
schwere
Fälle
leichte
Fälle
Krankenhaus U
900
100
Krankenhaus K
100
900
Frage: „Bleiben Sie bei Ihrer Entscheidung?“
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Überleben der Operation aufgeteilt nach der Schwere der
behandelten Fälle
Schwere Fälle
Operation
überlebt
Operation
nicht
überlebt
P (nicht ü)
Krankenh U
400
500
0.56
Krankenh K
30
70
Leichte Fälle
Operation
überlebt
Operation
nicht
überlebt
Krankenh U
100
0
Krankenh K
870
30
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
„Risiko“
0.7
P(nicht ü)
„Risiko“
0
0.033
Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
In dem Beispiel betrachten wir das Risiko gegeben
„schwerer Fall“: Das Risiko wird berechnet durch
Anzahl ( schwer und nicht überlebt )
Anzahl ( schwer )
Allgemein definieren wir die Wahrscheinlichkeit von
„Ereignis B gegeben A“
P( A  B)
P( B | A) :
P( A)
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Im Beispiel
B: nicht Überleben
A: Schwerer Fall
Krankenhaus U
Krankenhaus K
P( B)  500 / 1000  0.5
P( A)  900 / 1000  0.9
P( A  B)  500 / 1000  0.5
P( B | A)  0.5 / 0.9  56%
P( B)  100 / 1000  0.1
P( A)  100 / 1000  0.1
P( A  B)  70 / 1000  0.07
P( B | A)  0.07 / 0.1  70%
Schwere Fälle
Operation
überlebt
Operation
nicht
überlebt
P (nicht ü)
Krankenh U
400
500
0.56
Krankenh K
30
70
0.7
Leichte Fälle
Operation
überlebt
Operation
nicht
überlebt
Krankenh U
100
0
0
Krankenh K
870
30
0.033
„Risiko“
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
P (nicht ü)
„Risiko“
Beispiel: Würfeln
W
= {1,2,3,4,5,6}
A
= {2,4,6} „gerade“
B
= {4,5,6} „groß“
P(A)
= 3/6
P(A  B) = 2/6
P(B|A) = (2/6)/(3/6) =2/3
Interpretation:
Wenn bekannt ist, daß die gewürfelte Zahl gerade ist, steigt die
Wahrscheinlichkeit für „groß“ auf 2/3.
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Beispiel: Test
1000 Tiere werden getestet
600 Männlich, davon 450 positiv
400 Weiblich, davon 300 positiv
1 Tier
P(M)
= 0.6
P(W)
= 0.4
P(Pos)
= 0.75
P(MPos) = 0.45
P(Pos|M) = 0.45/0.6 = 0.75
P(M|Pos) = 0.45/0.75 = 0.6
Interpretation:
Die Ereignisse „Männlich“ und „Positiv“ sind unabhängig
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Definition stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls gilt:
P ( B | A)  P ( B )
P ( A | B )  P ( A)
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Beispiel: mehrmaliges Würfeln
Annahme: Zwei Würfel fallen voneinander unabhängig
P(„keine 6“)
= P(„1. Würfel keine 6“ und „2. Würfel keine 6“)
= P(„1. Würfel keine 6“)* P(„2. Würfel keine 6“)
= 5/6* 5/6 = 25/36
Mit der Regel für das Gegenereignis ergibt sich:
P(„mindestens eine 6“) = 1- 25/36 = 11/36
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Fehlklassifikation
Ein diagnostischer Schnelltest T prüft, ob ein Symptom vorliegt
oder nicht. Anhand eines Standardverfahrens K kann mit großem
Aufwand der Nachweis zweifelsfrei erbracht werden.
Diagnose
Test T
positiv (=1)
negativ (=0)
Wahrheit (goldener Standard K)
positiv (=1)
negativ (=0)
richtig
falsch negativ
falsch positiv
richtig
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten
(bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten
Diagnose:
wahrer Status
Klassifikation positiv
negativ
positiv
negativ
Sensitivität
Empfindlichkeit
P(T+|K+)
Spezifität
Treffsicherheit
P(T-|K-)
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Goldener Standard
Ist ein „Goldener Standard“ als „Definition der Wahrheit“
bekannt, so können die Diagnosewahrscheinlichkeiten aus
einer Stichprobe geschätzt werden.
Diagnose:
Klassifikation
positiv (=1)
negativ (=0)
Goldener Standard
positiv (=1) negativ (=0)
n(+|+)
n(-|+)
n(+|-)
n(-|-)
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Schätzung von Sensitivität und Spezifität
Schätzer für Sensitivität:
n(  |  )
Sen 
n(  |  )  n(  |  )
Schätzer für Spezifität:
n (  | )
Spez 
n (  | )  n (  |  )
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006
Schätzung von Sensitivität und Spezifität
„Goldener Standard“: Beispiel
Bei 500 wahr positiven und 300 wahr negativen Proben
wird ein neues Testsystem validiert
Test
wahrer Befund
positiv
negativ
positiv
negativ
450
50
10
290
Schätzer für Sensitivität:
Schätzer für Spezifität:
450
500
290
300
Vorlesung Biometrie für Studierende
der Veterinärmedizin 26.10.2006