050623_Problemloesen
Werbung
Denken und Problemlösen, oder: Wie komme ich weiter, wenn ich nicht mehr weiter weiß? Maja Razmadze Daniel Schäufele Benjamin Hepe Marina Blum Christiane Bentz Überblick I.) II.) III.) IV.) V.) Denken: Grundsätzliches & Definitionen Definition Problem Einfaches Problemlösen Eine Denksportaufgabe (für euch) Komplexes Problemlösen: Eigenschaften eines komplexen Problems VI.) Ursachen für Fehlleistungen VII.) Psychologische Kulturvergleiche zum Thema „Denken und Problemlösen“ VIII.) Mathematische Konzepte im Alltag und deren Transfer I. Denken: Grundsätzliches Messproblem: » Kann “Denken“ überhaupt zum Gegenstand empirischer Forschung werden? Phänomenologie des Denkens: -Vergegenwärtigung -Ordnungsleitung durch Begriffsbildung -Selektivität -Urteil und Entscheidung -Persönlichkeit -Reflexivität Denker Methoden der Denkpsychologie » Selbstbeobachtung (Introspektion) » Fremdbeobachtung (Verhaltensprotokolle, Blickbewegungen, verbale Auskünfte) » Computersimulation (“modelling“) - Würzburger Schule - Leipziger Schule - Gestaltpsychologie - Paradigmentheorie Denken: Definitionen (1) » Bourne, Ekstrand & Dominowski (1971): Denken ist (a) ein komplexer, vielseitiger Prozess (b) im wesentlichen intern ablaufend (c) beinhaltet symbolische Repräsentationen von Ereignissen und Objekten, die nicht unmittelbar gegenwärtig sind (d) wird durch ein externes Ereignis initiiert (e) Funktion: Generierung und Kontrolle offenen Verhaltens Denken Definitionen (2) » Dörner (1976): Denken ist Problemlösen, ist Umwandlung bestimmter Sachverhalte mit Hilfe bestimmter Operatoren. » Funke (2003): Problemlösendes Denken erfolgt, um Lücken in einem Handlungsplan zu füllen, der nicht routinemäßig eingesetzt werden kann. Dazu wird eine gedankliche Repräsentation erstellt, die den Weg vom Ausgangszum Zielzustand überbrückt. Theorien zur Erklärung der PL • • • • Assoziation: Umschichtung von Reaktionshierarchien Gestalttheorie: Suche nach guten Gestalten Psychoanalyse: Bewusstmachung unbewussten Inhalte Funktionalismus: Informationsverarbeitung Duncker (1935): Methoden heuristischen Denkens Situationsanalyse Zielanalyse | | | Konfliktanalyse Materialanalyse was will ich warum geht was kann ich eigentlich? es nicht? brauchen? was kann ich entbehren? Heuristik: Wenn in einer unbekannten Situation eine Verhaltensentscheidung zu treffen ist, suche die ihr am meisten ähnliche und tue das dort Bewährte! Transformationsmethode Transformationsmethode Vergleich von A zu B, um Eine Liste der Unterschiede zu finden L- ? Problem gelöst Reduktion? Erfolgreich? Problem gelöst Reduktionsmethode Reduktionsmethode Suche nach einen Operator, der L reduziert erfolgreich Problem unlösbar Operatoranwendung im Moment gestiegen? Operatoranwendung Erfolgreich? Produkt ist neues: darauf Anwendung der Tnansformationsmethode Operatorenanwendungsmethode Operatorenanwendung Liste der Unterschiede Zu finden L-? Anwendung: Operatorenanwendung erfolgreich Reduktion von L erfolgreich Problem unlösbar Operatorenanwendung auf erfolgreich Produkt ist neues Darauf Anwendung der Transformationsmethode II. Problem: Definition • „Problem“ = Barriere zwischen Ist- und Soll-Zustand, die durch Operator-Einsatz überwunden wird »Beispiel: Turm von Hanoi (= Sequentielles Problem: – schrittweise Annäherung an den Zielzustand – genaue Analyse des Suchraums möglich) Mit solchen Aufgaben sind jeweils nur bestimmte Erkenntnisse zu erzielen! III. Einfaches Problemlösen Turm von Hanoi (1) minimale Zugzahl: 2n-1 Turm von Hanoi (2) • Eine Version des Turm von Hanoi kann bei www.gratisgames.de kostenlos herunter geladen werden. Problem versus Aufgabe (2) • Problem (Dörner) » Spannung zwischen Ist- und Soll-Wert; Barriere, die eine Transformation erforderlich macht; produktiv • Aufgabe » geistige Anforderung, für deren Bewältigung Methoden bekannt sind; reproduktiv • wichtig hierbei: Vorwissensabhängigkeit » Unterschied zw. Problem und Aufgabe ist von Vorwissen abhängig, somit keine absolute Eigenschaft des Problems selbst Typologie von Problemen • Ill-defined (schlecht definiert; z. B. mache das Wohnzimmer schöner) vs. well-defined problems (gut definiert. z. B. streiche das Wohnzimmer) » analog zur Unterscheidung offener und geschlossener Probleme » ausschließlich in Hinblick auf die Zielsituation definiert Taxonomie eines Problems » Nach Arlin 1. Problemtyp 2. Problemcharakter 3. Probleminhalt 4. Art der verlangten Informationsverarbeitung Problem ist eine Art von Barriere, die zwischen gegebenen Ist und zu erreichenden Soll-Zustand besteht. Die Barriere hängt vom Bekanntheitsgrad der Mittel und der Klarheit der Zielkriterien ab. • • • • • Daraus ergibt sich vier Barriere: K+B+ Interpolation; Bsp: Schach K+B-: Synthese; Bsp: Denksportaufgabe K-B+: dialektisch K-B-: dialektisch & Synthese; Bsp: mache Wohnung schöner, komplexe Probleme • Dörner (1976) Problemlösen ist ein Prozess des Auffinden eines zielführenden Wegs in einem Labyrinth von möglichen Wegen (Änderung eines Sachverhalts mit Hilfe der Operatoren) • Operatoren: allgemeine Form einer Handlung, Handlungsprogramm • Sachverhalte: z. B. Zustände eines Autos • Operatoren: z. B. Werkzeuge Methode zur Erforschung einfachen PLs • Die geforderte Überführung eines Ausgangs- in den Zielzustand • Mehrschrittigkeit dieser Anforderung • Die eindeutige Feststellbarkeit der Zielerreichung • Typisches Beispiel dafür ist der Turm von Hanoi, bei dem das Ziel klar definiert ist. Methoden zur Datenerhebung • Verhaltensdaten • Subjektive Angaben • Fallbeispiel • Experten-Novizen-Vergleich • Verbalisierung: -Methode des lauten Denkens -Gedankenstichprobe -Interview -Gruppendiskussion Kritik: Nicht alles abfragbar, Wissen ist in Handlungen verpackt. IV. Eine Aufgabe zur Entspannung • Massai und Löwe: Wir befinden uns in Afrika, Kenia am Lake Nakuru. Dort treffen wir 3 Massai, die mit ihren 3 Löwen den Fluss per Boot überqueren wollen. In dem Boot haben maximal 2 Lebewesen (Massai, Löwe) Platz. Hat eine Gruppe das andere Ufer erreicht, muss immer wieder einer mit dem Boot zurückfahren, damit andere nachfolgen können. Es dürfen sich an jeder Uferseite nie mehr Löwen als Massai befinden, da sonst die Löwen die Massai auffressen. Wie kommen alle sicher über den Fluss? Situation • 3 Massai Situation 3 Löwen Situation Lake Nakuru Lösung • • • • • • • • • • • • Ausgang: MMM LLL Schritt 1: MM LL Schritt 2: MMM LL Schritt 3: MMM Schritt 4: MMM L Schritt 5: M L Schritt 6: MM LL Schritt 7: LL Schritt 8: LLL Schritt 9: L Schritt 10: LL Schritt 11: ---- ---- ---M ML M LL L MM ML MM L LL L LL L L LLL LL MM LL M L MMM L MMM MMM LL MMM L MMM LLL Anmerkung • Positive Emotionen wirken sich fördernd auf kreatives Problemlösen aus. • In guter Stimmung weitet sich der Blick: - es werden sowohl mehr Unterschiede, als auch mehr Ähnlichkeiten zwischen Objekten gesehen - erhöhte geistige Flexibilität Eigenschaften eines Sachverhalts (nach Dörner, 1989) (1) Komplexität (2) Dynamik (3) Vernetztheit (4) Intransparenz (5) Unkenntnis und falsch Hypothesen (1) Komplexität » abhängig von der Anzahl der Elemente und der Vielfalt der Verknüpfungen im jeweiligen Realitätsbereich » ab einem gewissen Komplexitätsgrad sind komplexitätsreduzierende Maßnahmen erforderlich (wegen begrenzter Ressourcen!) – Abstraktion: Ausklammerung bestimmter Merkmale – Komplexbildung: Zusammenfassung einzelner Komponenten zu einem (2) Dynamik bzw. Eigendynamik • (autonome) Veränderungen der Situation über die Zeit hinweg, ohne Zutun des Problemlösers • erzeugt Zeitdruck • verlangt Abschätzen von Entwicklungen • Bsp. Problemlösen unter Zeitdruck (3) Vernetztheit • Eingriffe an einer Stelle des Systems erzeugen Effekte an weit entfernten Systempunkten • keine isolierte Beeinflussung einzelner Variablen möglich! • Notwendigkeit von Nebenwirkungsanalysen • Bsp.: » Grundwasser-Entnahmen » komplexe Ökosysteme (4) Intransparenz • weder sind alle beteiligten Variablen bekannt noch sind von allen bekannten Variablen deren Ausprägungen bekannt • keine direkte Feststellung beteiligter Merkmale (5) Unkenntnis und falsche Hypothese Beim Operieren einer komplexen und dynamischer Situation sind zu berücksichtigen: • gegenwärtiger Zustand der Situation • zukünftiger Zustand • voraussichtliche Veränderungen der Situation in Abhängigkeit von best. Eingriffen Realitätsmodell R. – die Gesamtmenge der Annahmen im Kopf eines Akteurs, die sich auf die einseitigen oder wechselseitigen, einfachen oder komplizierten Zusammenhänge der Variablen eines Systems beziehen explizit (jederzeit abrufbar) Implizit („Intuition“) Stationen des Planens und Handelns • • • • • Zielausarbeitung Modellbildung und Informationssammlung Prognose und Extrapolation Planen, Entscheidung, Durchführung der Aktion Effektkontrolle und Revision der Handlungsstrategien Gedächtnismodell sensu Dörner (1976) • Heuristische Struktur (HS) » (a) Analysator für Eigenschaften und Probleme » (b) Speicher für Lösungsmethoden („Heurismen“) » (c) Kontrollsystem zur Erfolgsbestimmung • Epistemische Struktur (ES) » enthält Wissen über Realitätsbereiche, „Datenbasis“ » organisiert als „aktiver semantisches Netzwerk“ Je nach Problemstellung ändert sich der prozentuale Anteil der Aufgabenteilung der beiden Strukturen Kritik der klassischen Problemlöseforschung 1/2 • Fachimmanente Ursachen » Simplizität der Problemstellungen – Denksportaufgaben – Rätsel » Krise der Intelligenzforschung – mangelnde Prognoseleistung für wichtige Bereiche (Arbeit, Politik) – Schulnoten-Bezug zu alltagsfremd – Faktorenanalyse als Methode diskreditiert – hypothesentestende vs. -generierende Verfahren Kritik der klassischen Problemlöseforschung 2/2 • Gesellschaftliche Randbedingungen » Schock durch “Ölkrise” 1972 » zunehmend sichtbar werdende Umweltkatastrophen » unübersehbar: Hungersnöte, Armut, Kriegsgefahren, Bevölkerungswachstum » keine Antwort der Problemlöseforschung auf die anthropologische Frage: – Ist der Mensch unfähig zum Umgang mit einer immer komplexer werdenden Umwelt? V. Komplexes Problemlösen Entstehungsgeschichte » Entstanden als Reaktion auf das seit Anfang der 70er Jahre spürbare Unbehagen mit klassischem Problemlösen: zu simpel, zu wenig realitätsnah » Vorschlag von Dietrich Dörner (Bamberg): Verwendung von computersimulierten Szenarien als neuartiges Reizmaterial für denkpsychologische Forschung » Verfügbarkeit von Großrechnern zunächst in Rechenzentren, später (als Kleinrechner) in psychologischen Laboratorien Forderung • Bei der Erfassung der operativen Intelligenz soll neben der Genauigkeit und der Geschwindigkeit auch noch ein operativer/strategischer Moment erfasst werden: – Umsicht (Antizipation von Neben- und Fernwirkungen) – Steuerungsfähigkeit der kognitiven Operationen – Verfügbarkeit von Heurismen – „Weisheit“ Definition KPL 1/2 » nach Dörner et al. (1983, p. 26): » “Ein Akteur soll den Zustand eines Realitätsausschnitts hinsichtlich mehrerer Kriterien optimieren (Polytelie).” » “Dabei ist z.T. offen, hinsichtlich welcher Kriterien diese Optimierung erfolgen soll.” » “Außerdem herrscht beim Akteur Unkenntnis über Teile des Realitätsausschnitts und selbst die bekannten Merkmale sind nicht alle auch feststellbar; es sind intransparente Teile vorhanden.” » “Der Realitätsausschnitt ist komplex, d.h. der Akteur kann in der ihm zur Verfügung gestellten Entscheidungszeit selbst diejenigen Merkmale des Realitätsausschnitts nicht feststellen und verarbeiten, die an sich feststellbar sind, da deren Zahl zu groß ist.” Definition KPL 2/2 » nach Frensch und Funke (1995, p. 18) – “CPS occurs to overcome barriers between a given state and a desired goal state by means of behavioral and/or cognitive, multi-step activities.” – “The given state, goal state, and barriers between given state and goal state arecomplex, change dynamically during problem solving, and are intransparent.” – “The exact properties of the given state, goal state, and barriers are unknown to the solver at the outset.” – “CPS implies the efficient interaction between a solver and the situational requirements of the task, and involves a solver’s cognitive, emotional, personal, and social abilities and knowledge.” Szenarien als Reizmaterial • Bsp. FIRE FIGHTING (Brehmer sowie Omodei & Wearing) » System realisiert in Echtzeit einen Waldbrand » VP muss aus der Ferne die Einheiten steuern und Einsatzbefehle geben » hervorragend geeignet zur Analyse von Entscheidungen unter massivem Zeitdruck und mit massiven Feedback-Problemen FIRE FIGHTING Eigenschaften eines komplexen Problems 1/3 • Komplexität » Die Systeme bestehen aus sehr vielen verschiedenen Variablen » Konsequenz: Die Verarbeitungskapazität des Problemlösers wird überschritten, daher besteht die Notwendigkeit der Informationsreduzierung • Vernetztheit » Diese Variablen sind untereinander stark vernetzt » Konsequenz: Der Problemlöser muss die (wechselseitigen) Abhängigkeiten zwischen den beteiligten Variablen berücksichtigen, daher besteht die Notwendigkeit zur Modellbildung und Informationsstrukturierung Eigenschaften eines komplexen Problems 2/3 • Eigendynamik » Das System entwickelt sich auch ohne Zutun des Akteurs weiter » Konsequenz: Es steht nur begrenzt Zeit zum Nachdenken zur Verfügung, daher besteht die Notwendigkeit rascher Entscheidungen aufgrund oberflächlicher Informationsverarbeitung • Intransparenz » Die Informationen, die der Akteur für seine Entscheidungen braucht, sind nicht vollständig zugänglich (z.T. aus prinzipiellen Gründen, z.T. aus Zeitgründen) » Konsequenz: Es besteht die Notwendigkeit aktiver Informationsbeschaffung Eigenschaften eines komplexen Problems 3/3 • Polytelie » Es ist nicht nur ein Kriterium zu optimieren, sondern es müssen viele, gelegentlich einander widersprechende Bedingungen beachtet werden » Konsequenz: Der Problemlöser muss eine differenzierte Zielstruktur mit Regeln zur Konfliktlösung aufbauen und es besteht die Notwendigkeit mehrdimensionaler Informationsbewertung Lohhausen-Studie (Dörner et al., 1983) • Simulationssystem: » ca. 2000 Variablen simulieren Vorgänge in einer Kleinstadt; VP soll Rolle eines Bürgermeisters für 10 simulierte Jahre einnehmen, verteilt auf mehrere Sitzungen von direkte Interaktion mit dem System möglich; 48 studentische VP, Datenanalyse beruht im wesentlichen auf dem Vergleich der 12 Besten mit den 12 Schlechtesten Lohhausen Lohhausen: Grobstruktur & Ergebnisse (1) Lohhausen: Grobstruktur & Ergebnisse (2) LOHHAUSEN: zentraler Befund • Testintelligenz ist kein Prädiktor für die Leistung im Bürgermeister-Spiel! • ebenfalls nicht prädiktiv: Motivation, Testkreativität, Geschlecht, Alter, Studienfach, Vorbildung • Erfolgs-Prädiktoren: » Selbstsicherheit; Extraversion; Streben nach sinnvoller Informationssuche (“kontrollierte diversive Exploration“); Umschalten zwischen fluktuierendem und fokussierendem Denken (“Steuerungsfähigkeit der Divergenz (breites Spektrum) –Konvergenz (Fokussieren) -Hemmschwelle“) VI. Beobachtete Fehlleistungen – mangelnde Konkretisierung des Handlungsziels » Bsp.: Führungskräfte verwenden bei MORO im Schnitt 31 Minuten für die Zielausarbeitung, Studierende ca. 16 Minuten (vgl. Schaub & Strohschneider, 1992) – mangelnde Balancierung gegenläufiger Ziele » kann nur durch Reduktion des Anspruchsniveaus für mind. eines dieser Ziele bewältigt werden – reduktive Hypothesenbildung, d.h. komplex bedingte Wirkungen werden auf eine Ursache reduziert » Bsp.: wovon hängt Zufriedenheit der Bevölkerung ab? – mangelnde Hintergrundkontrolle, d.h. Vernachlässigung von Neben- und Fernwirkungen » Bsp.: Übergänge zwischen verschiedenen Aktivitäten bei guten und schlechten Problemlösern » Unzulänglichkeiten beim Erfassen von zeitlichen Abläufen » Bsp.: AIDS-Fallzahlen » Bsp.: nicht-linearer Verlauf Vier Ursachen für Fehlleistungen (1) (nach Dörner, 1989) – Ökonomietendenzen » Die Begrenztheit der Ressource „bewusstes Denken“ in komplexen Situationen führt unweigerlich zu einer Reduktion der verfügbaren Informationen. Diese Reduktion wird durch vereinfachte Kausalmodelle, Verzicht auf die Betrachtung von Fernund Nebenwirkungen sowie die Linearisierung von zeitlichen Entwicklungen erreicht. – Überwertigkeit des aktuellen Motivs » Obwohl sich aus den Ökonomietendenzen unmittelbar eine Überbewertung der aktuellen Motivlage ergeben sollte, wird dies als eigenständige Ursache von Fehlleistungen im Sinne reduzierter Informationsverarbeitung benannt. Vier Ursachen für Fehlleistungen (2) (nach Dörner, 1989) – Schutz des eigenen Kompetenzempfindens » Für kognitionspsychologische Modelle zum Problemlösen neu ist die Annahme, dass der Schutz des eigenen Kompetenzempfindens das Suchen und Berücksichtigen von Informationen beeinträchtigt, die die Vorstellung über die Realität und damit die Grundlage der Handlungsfähigkeit falsifizieren könnten. – Vergessen » Vor allem emotional positiv oder negativ gefärbte Ereignisse bleiben erinnerbar, emotional neutrale Ereignisse jedoch weniger. Da in komplexen dynamischen Umwelten häufig die neutralen Ereignisse bedeutsame Informationsträger sind, führt das dazu, dass Informationen über wichtige Zusammenhänge häufig gar nicht verfügbar sind. Taxonomie von Funke (1990) » Personenmerkmale – kognitive Merkmale – emotionale und motivationale Merkmale – Persönlichkeitsmerkmale im engeren Sinn » Situationsmerkmale – Transparenz des Systems » Grad der Zugänglichkeit zu Systemvariablen und ihren Zuständen » direkte Zugänglichkeit vs. Vl-vermittelte Infos – Aufgabenstellung » z.B. Identifizieren vs. Steuern » Aufgabenmerkmale – formale Aspekte » bestimmen Schwierigkeit des Systems unabhängig von seiner semantischen Einkleidung – inhaltliche Aspekte » Vorwissensaktivierende Elemente wie Variablen-Ettiketten, Rahmengeschichte, etc. VII. Psychologische Kulturvergleiche zum Thema „Denken und Problemlösen“ • Stefan Strohschneider als bekanntester deutscher Vertreter auf dem Gebiet der Kulturpsychologie • Fordert Berücksichtigung der Kultur bei psychologischen Studien über Problemlösestrategien • Strohschneider, Stefan (2001): Kultur – Denken – Strategie. Eine indische Suite. Bern: Hans Huber. Inhalt: Der Vergleich von deutschen und indischen Versuchspersonen bezüglich dem Thema Denken und Problemlösen Gliederung 1. 2. 3. 4. Ziele Erhebungsinstrumente Ergebnisse Kritik 1. Ziele • Es soll verdeutlicht werden, welche verschiedenen Formen das menschliche Denken beim Umgang mit verschiedenartigen Problemen annehmen kann • Entwicklung einer Theorie, welche Aspekte der kulturellen Umwelt für derartige Unterschiede verantwortlich sind • Darstellung der Art und Weise, wie kulturelle Aspekte das Denken beeinflussen 2. Erhebungsinstrumente Durchführung verschiedener Testreihen: a) Planen bei alltagsnahen Problemstellungen b) Computersimulation MORO c) MANUTEX – ein Kleinbetrieb muss saniert werden d) Tückische Objekte 2. Erhebungsinstrumente a) Planen bei alltagsnahen Problemstellungen • Schriftliches, halbstrukturiertes Verfahren zur Erfassung verschiedener Aspekte des Planungsverhaltens • Es werden verschiedene problematische Situationen (Fehlverhalten des Sohnes, Rechtsstreit mit Nachbar, Wohnungskündigung) geschildert, in die sich die Vpn (Studierende) hineinversetzen sollen • Es wird analysiert, wie sich die Probanden in den Situationen verhalten würden. 2. Erhebungsinstrumente b) Computersimulation MORO • Die Vpn (Studierende) sollen in Form einer Computersimulation Entwicklungshilfe bei einem Stamm in Burkina Faso leisten. • In einem Zeitraum von 20 Jahren (2 Stunden) soll die Lebenssituation der Moro nachhaltig verbessert werden • Handhabung neu auftretender Probleme: • • • • Gesundheitsversorgung Nahrungsknappheit Überbevölkerung Überweidung... 2. Erhebungsinstrumente c) MANUTEX – ein Kleinbetrieb muss saniert werden • • Die Teilnehmer (Studierende) wurden mit der Leitung einer kleinen malaysischen Textilmanufaktur beauftragt Ziel war, die finanzielle Situation der Firma verbessern, neue Arbeitsplätze zu schaffen und möglichst gute Gehälter zu zahlen 2. Erhebungsinstrumente d) Tückische Objekte • Sogenannte „Reparaturprobleme“, die von den Vpn gelöst werden sollen • Gegenstände werden zerlegt und sollen wieder zusammengebaut werden – – – • Gummibox Bauklotzschachtel Magnetkugelproblem Vpn waren deutsche Mitarbeiter einer Firma von Porenbetonbauteilen und indische Mitarbeiter eines Zementwerks in Nordindien 3. Ergebnisse Werte und Inhalte einer Kultur beeinflussen die Art, wie Probleme gelöst werden. Die zugrunde liegenden Informationsverarbeitungsprozesse sind aber dieselben. 3. Ergebnisse Unterschiedlicher Umgang mit Problemen: • Deutsche Teilnehmer explorieren gründlicher, haben höheren Bedarf an zusätzlichen konkreten Informationen. Die deutschen Vpn fragen insgesamt mehr nach. • Indische Problemlöser fordern mehr Kontextinformationen, außerdem wenden sie eher problemraumerweiternde Strategien an und versuchen, die Zielkriterien zu lockern. 3. Ergebnisse Strategien bei den Computersimulationen: • Indische Teilnehmer: – Feedback-orientiert (MORO) – Defensiv-inkrementell (MANUTEX) • Deutsche Teilnehmer: – Feedforward-orientiert (MORO) – Expansiv (MANUTEX) 3. Ergebnisse Allgemein: • Deutsche Vpn handeln kontrollorientierter. • Indische Vpn passen sich eher an die gegebene Situation an. 3. Ergebnisse Strohschneiders Interpretation: Kulturelle Merkmale beeinflussen die Problemlösestrategie. Beispiele: • Planbarkeit und Berechenbarkeit der Umwelt • Kultureller Individualismus • Soziale Hierarchisierung und Kontrollspanne • Kollektivismus, Verbindlichkeit sozialer Normen • Verfügbarkeit von Ressourcen 3. Ergebnisse Theorie über den Zusammenhang von kulturellen Merkmalen und Problemlösestrategien: Hier will ich noch ABB 31 (Strohschneider 2001: 279) einfügen 3. Ergebnisse • Zur Frage, wie kulturelle Aspekte die Problemlösestrategien beeinflussen: • Die kulturellen Merkmale, die die Problemlösestrategie beeinflussen, werden nicht als deterministisch angesehen. Sie sind unbewusst in bestimmten Fähigkeiten und den kognitiv-weltanschaulichen Grundannahmen repräsentiert. 4. Kritik Eure Meinung ist gefragt! 4. Kritik • Der kulturelle Kontext wird durch die verwendeten Erhebungsinstrumente nicht ausreichend beachtet. Dies kann zu Fehlinterpretationen führen. • So erscheint der Zusammenhang zwischen den kulturellen Merkmalen und ihren Auswirkungen auf Problemlösestrategien etwas willkürlich. • Die regionale Verallgemeinerung der Ergebnisse auf die nationale Mentalität von Indern und Deutschen ist kritisch zu betrachten. 4. Kritik • Das Verhalten in Testsituationen gibt nicht zwingend die Problemlösestrategien wider, die im Alltag verwendet werden. Der situative Kontext ist anders. VIII. Mathematische Konzepte im Alltag und deren Transfer Gliederung 1. Einführung in Fragestellung & Kritik an den Entwicklungsmodellen von Piaget 2. 2.1 2.2 2.3 Begriffsklärung: „Konzept“ (nach Vergnaud) Invarianten Setting & Ausweitung eines Konzepts Symbolsysteme 3. Untersuchungen zu Transferleistung von mathematischen Konzepten 3.1 Untersuchung mit Kindern im informellen Wirtschaftsektor & im Schulalltag 3.2 Prozedurales vs. Konzeptuelles Wissen im Arbeitsalltag von Erwachsenen 1.Einführung in die Fragestellung Leitfrage: Wie ist es möglich dass Personen wissen wie man in einem sozialen Kontext ein Problem löst, oft nicht in der Lage sind das gleiche Problem in einem anders ausfallenden Setting ebenso gut zu lösen? Kritik an den Entwicklungsmodellen von Piaget - Unterschiede in der Leistung der Einzelnen in den verschiedenen lebensweltlichen Kontexten kann nicht erklärt werden. - Den klassischen Modellen fehlt der theoretische Rahmen, um die erlernten Konzepte in Verbindung mit den Umständen in denen sich der Lernprozess vollzieht zu bringen. (Kontext des Lernprozesses fehlt) - Die unterschiedlichen Problemlösestrategien oder Wissensbestände einzelner Personen in sozialen Kontexten oder Wissensdomänen widersprechen den theoretischen Entwicklungsstrukturen wie sie Piaget beschreibt. 2. Begriffsklärung „Konzept“: • Nach Vergnaud enthält und besteht ein Konzept notwendigerweise aus einigen Invarianten welche das Problem oder Konzept konstituieren und definieren. • Konzepte werden in symbolische Repräsentationen übersetzt. • Der Kontext verleiht dem Konzept und seinen symbolischen Repräsentationen ihre Bedeutung. 2.1 Invarianten eines Konzepts Mathematisches Beispiel: Im mathematischen Konzept der Addition korrespondieren die Invarianten mit den Gesetzmäßigkeiten der Addition: z.B.: Das Distributivgesetz: Ben bekommt folgende Aufgabe gestellt: 1.) Marry hat 3 Murmeln und bekommt 5 weitere von ihrem Vater geschenkt. Wie viele Murmeln hat Marry jetzt?“ Ben löst das Problem indem er 5 mit 3 addiert und erkennt somit die Invariante des Konzepts. 5+3= 8 aber auch 3+5= 8 (dreht Additionsreihenfolge) Dieses Gesetz lässt sich in jeder beliebigen Additionsaufgabe anwenden, egal in welchem Kontext sie sich stellt. Invariante 2.2 Setting und Ausweitung von Konzepten Wenn zwei Personen nun dieselben Invarianten in zwei unterschiedlichen Kontexten erlernen, haben sie nach Vergnaud´s Theorie ein unterschiedlich ausgedehntes Konzept. Beispiel: Ben bekommt erneut eine Aufgabe gestellt „Marry hat drei Murmeln aber 9 weniger als Patricia, wie viele Murmeln hat dann Patricia?“ Ben kann Transferleistung der Invarianten auf die neue Situation nicht leisten, obwohl dieselben mathematischen Regeln zur Lösung dieser Aufgabe führen wie im vorher beschriebenen Fall. Die jeweilige Situation bestimmt das konzeptuelle Verständnis der Aufgabe Ausdehnung des Konzepts ist von der jeweiligen Situation abhängig 2.3 Symbolsysteme - Ein Konzept benötigt notwendigerweise eine Art der Repräsentation damit eine Person damit arbeiten oder darüber mit anderen kommunizieren kann. - Verschieden Repräsentationsmodelle erfassen dabei verschiedene Aspekte eines Konzepts. Z.B: mündlich, schriftlich, Vorzeichen, Ziffern Bsp.: -5 Grad Celsius Vorzeichen gibt Auskunft über Defizit Zahl gibt Auskunft über Größenordnung Grad Celsius lebensweltliche Einordnung auch Symbolsystem verantwortlich für Ausdehnung des Konzepts 3. Untersuchungen zur Transferleistung von mathematischen Konzepten 80er Jahre: Carraher, Carraher und Schliemann untersuchen anhand Vergnauds Modell „within subject“ Unterschiede und den Transfer von Wissen von einer Situation auf die Nächste. 3.1 Untersuchung mit Kindern im informellen Wirtschaftssektor & im Schulalltag Frage 1: Schlägt sich das verwendete Symbolsystem auf die Lösungsstrategie und deren Erfolg aus, ( z.B. in dem verschiedene Invarianten konstruiert werden) Frage 2: Bestimmt Setting, welches symbolische System zur Problemlösung verwendet wird? 1. Studie: Fragestellung: Bestimmt symbolische Repräsentation den Erfolg beim Problemlösen? 5 Kinder: informeller Wirtschaftssektor, Alter: 9-15 Schulbildung: 1-8.Klasse Aufgabe: Lösen der selben arithmetischen Aufgaben im informellen Wirtschaftsektor und in der Schule unter Verwendung von verschiedenen Symbolsystemen. A) Auf dem Markt wurden Wahren im Wert von 40 Cr$ erstanden und mit 500 Cr$ bezahlt. Aufgabe also: 500-80 Cr$= 420 Cr$ Wechselgeld wird mental durch Aufaddieren von Differenzen zu 98 % richtig gelöst. B) In der Schule wird selbes Problem schriftlich durch Algorithmus dargestellt: 500 - 80 420 Mit dem formalen schriftlichen Symbolsystem konnten Aufgaben nur zu ca. 50 % richtig gelöst werden. Ergebnis: Starke qualitative Unterschiede lassen die Schlussfolgerung zu, dass das verwendete Symbolsystem (mündlich vs. schriftlich) starken Einfluss auf die Leistung hat, sowie die Lösungsstrategie bestimmt. 2. Studie: Fragestellung: Bestimmt Situation die Verwendung des symbolisches Repräsentationsmodells? - Schüler ohne Erfahrung in informellen Wirtschaftssektor. - Ihnen wurde es freigestellt welche symbolische Repräsentation sie zur Lösung der Aufgabe verwenden wollten. Aufgabenstellung: Es wurden 3 Interview Settings durchgeführt • simulierte kommerzielle Transaktion • ein mündlich gestelltes Problem • und ein abstraktes Rechenbeispiel in schriftlicher Form Ergebnis: • 80 % lösten Aufgabe mündlich in simuliertem Marktsetting • 50% lösten Aufgabe verbal in mündlich gestellter Aufgabe • Und nur 15% versuchten Aufgabe mündlich zu lösen als sie Aufgabe schriftlich vor sich liegen hatten Situation bestimmt das Repräsentationsmodell • Allgemein waren oral vorgenommene Kalkulationen in jedem Setting erfolgreicher als schriftliche. • Auch die simulierten, lebensnahen Marktsituationen wurden besser von den Kids gelöst als die abstrakten Situationen. Wie lassen sich die unterschiedlichen Resultate erklären? In der reellen Marksituation (mündlich) bleibt durch das Aufaddieren von Differenzen & unter zur Hilfenahme des Geldes der relative Wert der Mengen erhalten. Während im schulischen Setting durch die Verwendung des Algorithmus und der schriftlichen Repräsentation der relative Werte der Mengen verloren geht. Invarianten blieben zwar konstant, aber Symbolsysteme unterschieden sich hinsichtlich der Erfassung des Konzepts. 3.2 Prozedurales vs. Konzeptuelles Wissen im Arbeitsalltag von Erwachsenen • Die Analyse von Carraher und Schliemann hat die mündlichen Strategien der Kinder bis dahin ausschließlich als konzeptuelles Wissen verstanden, da sie implizite Gesetzmäßigkeiten der Mathematik zur Problemlösung benutzt haben. Könnte es aber sein dass die Personen nur so handeln als ob sie diese Gesetzmäßigkeiten kennen würden und tatsächlich eigentlich nur memorierte Rechenwege/ Prozesse wieder abrufen, also kein Verständnis über die Invarianten haben (entspricht prozeduralem Wissen)? • Hatano (1982) führte aus dieser Fragestellung heraus die Unterscheidung von Prozeduralen vs. Konzeptionellen Wissen beim Lösen von mathematischen Aufgabenstellungen ein. Prozedurales Wissen: das Wissen das es dem Menschen ermöglicht Operationen richtig auszuführen, jedoch nicht dazu geeignet oder flexibel genug ist es auf andere Situationen anzuwenden und es somit zu transferieren. Konzeptuelles Wissen: zeichnet sich durch Flexibilität und Transferierbarkeit aus. Resnick (1986) These: Außerhalb der Schule kann nur Prozedurales Wissen erworben werden, komplexere Rechenvorgänge (z.B. Proportionalität und Verhältnisse) sind zu komplex um sie im lebensweltlichen Kontext zu begreifen. Studien zeigen im Gegensatz dazu dass orale Mathematik sehr flexibel ist, während schriftliche Repräsentationsmodelle diesem Anspruch nicht genügten. Untersuchung von Carraher, Carraher und Schliemann: Kognitive Konzepte über Proportionalität von Vorarbeitern im Arbeitsalltag. Leitfragen: Ist der soziale Kontext in welchem Konzepte erworben werden ausschlaggebend dafür, ob Wissen prozedural oder konzeptionell abrufbar ist? Kann in lebensweltlichen Kontexten komplexes Wissen erworben werden? - Abgefragt wurde dabei speziell der Wissensbestand von Vorarbeitern die keine schulische Instruktion in das mathematische Problem von Verhältnis und Proportion hatten. - Der Unterschied der beiden Wissensformen soll dabei anhand ihrer Flexibilität und Übertragbarkeit von einer Situation zur nächsten ermittelt werden. Studie: Brasilianische Vorarbeiter - Umgang mit Blaupausen - Personen (n=17)lernen im Beruf mit Skalen umzugehen und nicht in der Schule. - Dabei benutzen sie ausschließlich standardisierte Skalen wie 1:100 oder 1:50 oder 1:20 - mussten mit Skalen rechnen die ihnen nicht aus der Arbeitswelt vertraut waren Aufgabenstellung: - Testpersonen wurden Blaupausen gezeigt, auf deren Basis sie auf die reelle Länge einer Wand schließen mussten. - Aufgabenstellung änderte gewohnte Rechenprozedur um Transferleistung erkennen zu können. - 2 Skalen aus Arbeitswelt, 2 unbekannte Verhältnisse Bsp.: 9cm/ 3m = 15cm/ ? ( Skala : 1: 3,33) Ergebnis: 34 % aller Personen verwendeten eine Strategie die im Zusammenhang mit den arbeitsweltlichen Prozeduren steht Hypothesentesten: Lösungsweg: - Skala (konstantes Verhältnis) wird nicht errechnet - Standardisierte Skalen werden verwendet und Abweichung vom Ergebnis/ dem reellen Gegenstand überprüft. Schlussfolgerung: Invarianten werden nicht erkannt Wissen kann nicht transferiert werden Lässt auf PROZEDURALES WISSEN von Proportionen schließen. Aufgabenstellung: 5cm/ 2m= 8cm/ ? Lösungsstrategie 2: Discovering the relation (60%): 5cm/2m= 2.5 cm/ 1m 3 Meter sind dann 7,5 cm Person wiederholt Prozedur bis sie bei richtigem Ergebnis angelangt ist. - Verhältnis als Konstante wird erkannt - Konzept lies sich auch auf unbekannte Skala übertragen lässt auf prozedurales Wissen schließen Ergebnis: „ It can be concluded that both conceptual and procedural knowledge may result from practice with solving proportion problems in everyday life (Carraher, Carraher, Schliemann 1988).“ - Grad der Schulbildung korrelierte zudem nicht mit angewandter Lösungsstrategie. Frage: weshalb entwickeln einzelne Personen unterschiedliche Wissensmodi im selben Kontext? 4. Fazit: - „The nature of the knowledge used in Problemsolving has clear implications for within-subject variations…(Carraher, Carraher Schliemann 1988)“. - Prozedurales und Konzeptionelles Wissen kann sowohl im schulischen als auch lebensweltlichen Kontexten entwickelt werden. - Flexibilität und Transferierbarkeit sind Merkmale Konzeptionellen Wissens. Unterschiedliches Verhalten, Lösungswege und Erfolg werden also bestimmt durch: . a. Symbolsystem abhängig von sozialem Kontext b. Wissensmodus Bezogen auf die vergleichende Ethnologie - Flexibilität dient als Anhaltspunkt um die Frage zu klären, welcher Wissensmodus einem bestimmten Verhalten zu Grunde liegt. - Zusammenhänge zwischen Konzept und Wissensmodus sollte als theoretischer Rahmen bei interkulturellem Vergleichen berücksichtigt werden. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Literatur: • • • • • • • Carraher, T. N., Carraher, D. W. & A. D. Schliemann (1985), Mathematics in the street and in schools. British Journal of Developmental Psychology, 3, 21 – 25 Dörner, D. (1976), Problemlösen als Informationsverarbeitung, Stuttgart: Kohlhammer Funke, J. (2003), Problemlösendes Denken. Stuttgart: Kohlhammer Lave, J. (1988). Cognition in practice. Cambridge:CUP Smyth et al. (1994), Chapter 12 and 13 Saxe, G. & Gearhart, M. (1989). A developmental analysis of everyday topology in unschooled straw weavers. Ms Strohschneider, S. (2001). Kultur – Denken – Strategie. Eine indische Suite. Bern: Hans Huber. Zusatzaufgabe 1 • War einst ein Bauer, der wollte einen Wolf, einen Kohlkopf und eine Ziege ans andere Flussufer Bringen, um alldort sein Glück zu machen. Sein Kahn aber war so klein, dass er immer nur eins hätte können hinüberbringen. Als er gerade ans Werk gehen wollte, hielt er denn auch inne, kratzte sich sinnend am Kopfe und sprach zu sich: „Bring ich zuerst den Wolf ans andere Ufer, so frisst mir die Ziege den Kohl. Transportier ich aber selbigen als ersten, wird die Ziege vom Wolf verschlungen.“ Bauer (A) Wolf (B) Ziege (C) Kohlkopf (D) Fluss Lösung • A bringt C über den Fluss und fährt alleine zurück. • A holt B und nimmt C wieder mit. • A bringt D zu B hinüber und fährt alleine zurück. • A bringt C zu B und D. Zusatzaufgabe 2 • Verbindet diese 9 Punkte durch 4 Geraden, ohne einmal abzusetzen! Lösung
