E2-06Fo7 - Bionik TU

Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 7. Vorlesung „Evolutionsstrategie II“
Die goldene Regel der Evolution, das größte kleine
Sechseck und das Maximum-Minimum-Distanz-Problem
Weiterverwendung nur unter
Angabe der Quelle gestattet
Zur Theorie der Evolutionsstrategie
Bewiesenes und Unbewiesenes
Es gilt die Formel:
Zweitbester von
 Nachkommen
 1,  1  (   1) 1,    1,  ( 2)
Verbale Argumentation: Die -malige Erzeugung von  Nachkommen mit
jeweils zufälliger Wiederwegnahme eines davon liefert handlungsgemäß
 mal  1,  1 , oder, häufigkeitsanalytisch gedacht, ( -1) mal  1,  (man
nimmt nicht den besten weg) und einmal  1,  (2 ) (man nimmt gerade den
besten weg).
Die -Regel von Nikolaus Hansen
In einer seriellen (1, ) - Evolutionsstrategie ist
 so einzustellen, dass  1,  (2 ) = 0 gilt
Für den linearen Fall
Eine Rekursionsformel von Ivan Santibañez-Koref
 c/ ,   (    ) c /  , 
Ein faszinierender mathematische Zusammenhang zwischen der
(1  1)  ES
und der
( / ,  )  ES
( / ,  )  ES
/ opt  0,270  opt
c0,270 ,   r
1,224  r


n
n
2
max
c0,270 ,   r
1,498  r


2n
2n
(1  1)  ES
Weopt
1,224  r


 0,270
opt
n
r
4 4
max  1,498  0,270  0, 0  r
2n
2n
/
We opt (1  1)



(
,
)
opt
opt (  ,  )    opt ( 1  1)
max (  ,  )  Weopt   max (1  1)
0,270
Ein überraschender Zusammenhang
zwischen der (  , )-ES als höchste
Nachahmungsstufe der Evolution und
der (1+1)-ES als niedrigste Nachahmungsstufe der Evolution.
Die „Goldene Regel“ der
Evolutionsstrategie
(1,  )-ES
Bei optimaler Mutationsschrittweite
verschlechtert sich die gesamte Nachkommenschaft im Mittel ebenso sehr,
wie sich der beste Nachkomme
verbessert.
N
a
E
ΔQ   tan a
DQ

Berechnung der mittleren Qualität QN
der gesamten Nachkommenschaft


QN  QE   1,  (1)   1,  ( 2 )     1,  (  ) tan a



QN  QE  c1, (1)     2  c1, ( 2)     2    c1,  (  )     2 tan a
Fortschritt
des besten Nachkommen


c1,  ( j )  0
Fortschritt des zweitbesten Nachkommen . . .

QN  QE    2 tan a
j 1
Ferner gilt:
QNB  QE  (c1,      2 ) tan a
= 2 für
c1, 
QNB  QE
1

Q N  QE
  opt
QNB  QE  QE  Q N
g
QN
Kulturtropfen
g
QNB
Dirigierte Evolution
mit dirigierter Mutationsrate
Bakterienklon
g 1
H2
Schüttel
Agarkultur
QN
g 1
Q NB
QNB  QE
Verbesserung
bester Nachkomme
gegenüber Elter

QE  Q N
Verschlechterung gesamte
Nachkommenschaft
gegenüber Elter
Quasi-philosophische Gedanken zum Fortschrittsfenster, zur
1/5-Erfolgsregel und zur Goldene Regel der Evolutionsstrategie
Evolutionsfenster
Fortschritt
Ein Manager sollte wissen, wie schmal sein Entscheidungsspielraum ist. Die Devise „Viel hilft viel“ ist genauso falsch
wie „Vorsicht ist die Mutter der Weisheit“.
Mutationsgröße
We  1 / 5
d vergrößern
We  1 / 5
d verkleinern
Misserfolge sollten nicht so negativ gesehen werden. Es
ist richtig, wenn auf 5 Versuche 4 Misserfolge kommen.
Um Fortschritt zu erzielen muss man viele Misserfolge
hinter sich lassen (Goldene Regel der Evolutiosstrategie).
oder Entropiesatz der ES
QNB
QE
QN
Rückschritt = Fortschritt
Die erweiterte „Goldene Regel“
der Evolutionsstrategie
( / ,  )-ES
Bei optimaler Mutationsschrittweite
verschlechtert sich die gesamte Nach kommenschaft im Mittel  mal so sehr,
wie sich die  besten Nachkommen
intermediär rekombiniert verbessern.
Ronald L. Graham
GRAHAMs „größtes kleines Sechseck“
Gesucht ist das Sechseck maximalen Inhalts,
bei dem keine zwei Ecken einen größeren
Abstand als 1 voneinander haben.
GRAHAMs “größtes kleines Sechseck”
Qualitätsfunktion:
Q1
4
1
4
1
4
1
4
{
{
{
{
}
(a1  a2  a6 ) (a1  a2  a6 ) (a1  a2  a6 ) ( a1  a2  a6 ) 
}
) }
) }  Max
(a2  a3  a10 ) (a2  a3  a10 ) (a2  a3  a10 ) ( a2  a3  a10 ) 
(a3  a4  a13 ) (a3  a4  a13 ) (a3  a4  a13 ) ( a3  a4  a13
(a4  a5  a15 ) (a4  a5  a15 ) (a4  a5  a15 ) ( a4  a5  a15
Nebenbedingungen:
a8  1
Polygon Koordinaten:
a1  1
a2  1
a3  1
a4  1
a5  1
a6  1
a7  1
a9  1
a10  1
a11  1
a12  1
a13  1
a14  1
a15  1
x11  0,
x12  0
a1  x12  x22
a2  x32  x42
a3  x52  x62
a4  x72  x82
2
a5  x92  x10
a6  ( x 3  x 1 ) 2  ( x 4  x 2 ) 2
a7  ( x 5 x 1 )2  ( x6  x 2 )2
a8  ( x 7  x 1 ) 2  ( x8  x 2 )2
a9  ( x 9 x 1 )2  ( x10  x 2 )2
a10  ( x 5  x 3 )2  ( x6  x 4 )2
a11  ( x7  x 3 )2  ( x8  x 4 )2
a12  ( x 9 x 3 )2  ( x10  x 4 )2
a13  ( x7  x 5 )2  ( x8  x 6 )2
a14  ( x 9 x 5 )2  ( x10  x 6 )2
a15  ( x 9 x 7 )2  ( x10  x 8 )2
Lösung des GRAHAMschen Problems ist eine algebraische Zahl vom Grad 10:
4096 A10  8192 A 9  3008 A 8  30848 A7  21056 A 6  146496 A 5
 221360 A 4  1232 A3  144464 A 2  78488 A  11993  0
Lösung : A  0,674981...
Reguläres Sechseck : A  0,64959...
1
GRAHAMs größtes kleines Sechseck
6-Eck
8-Eck
10-Eck
Foptimal Fregulär = 1,0391
Foptimal Fregulär = 1,0280
Lösungen für das größte
kleine 6-, 8-, und 10-Eck
Foptimal Fregulär = 1,0195
Schwärme
Mathematische Definition eines Schwarms
als Maximum-Minimum-Distanz-Problem
y
Dmax
D min
x
Das max/min-Distanz-Problem
Minimum
Dmax
= 6,707
Dmin
Mathematischer
Schwarm von
48 Individuen
103
77
77 103
94
86
86
94
Elemente der
Optimalstruktur
Reguläre Struktur eines
48-Individuen-Schwarms
7 Pkt
Dmax / Dmin 2
12 Pkt
Dmax / Dmin 5  2 3  2,9093
Maximale Distanz = 1
Minimale Distanz
24 Pkt
27 Pkt
Dmax / Dmin 21  4,5826
Dmax / Dmin 4,8045
Strukturelle
Lösungen des
max/min-DistanzProblems
Flugzeugschwarm
Magischer 5  5  5 - Würfel
mit der magischen Summe 315
g =0
=10
g =30
=20
g =60
=10
g =90
=40
g =120
=200
g =150
=800
g =180
=1200
g =210
=2400
g =240
=3000
g =270
=5000
g =290
=5000
g =291
=5000
Michael Herdy: 16.06.1999
Evolutionsstrategie löst ein
7x7x7 Rubik-Würfel
Ende