Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 7. Vorlesung „Evolutionsstrategie II“ Die goldene Regel der Evolution, das größte kleine Sechseck und das Maximum-Minimum-Distanz-Problem Zur Theorie der Evolutionsstrategie Bewiesenes und Unbewiesenes Es gilt die Formel: Zweitbester von Nachkommen 1, 1 ( 1) 1, 1, ( 2) Verbale Argumentation: Die -malige Erzeugung von Nachkommen mit jeweils zufälliger Wiederwegnahme eines davon liefert handlungsgemäß mal 1, 1 , oder, häufigkeitsanalytisch gedacht, ( -1) mal 1, (man nimmt nicht den besten weg) und einmal 1, (2 ) (man nimmt gerade den besten weg). Die -Regel von Nikolaus Hansen Für maximalen Fortschritt ist in einer seriellen (1, )-Evolutionsstrategie so einzustellen, dass 1, (2) = 0 gilt Allgemein für den nichtlinearen Fall ! Eine Rekursionsformel von Ivan Santibañez-Koref c/ , ( ) c / , Z. B. = 3, = 10 3 c3/3, 10 (10 3) c7/7, 10 3 1,07 7 0,46 3,21 3,22 Ein faszinierender mathematische Zusammenhang zwischen der (1 1) ES und der ( / , ) ES ( / , ) ES / opt 0,270 c0,270 , r 1,224 r opt n n 2 max (parallel) c0,270 , r 1,498 r 2n 2n max (seriell) c0,270 , r 0,202 r ( / ) 2n n Nach Hans-Georg Beyer für große Werte 2 n 1 (1 1) ES 1,224 r n r 2 2 1,498 0,270 0, 0 r 2n n Weopt 0,270 opt max n 1 / We opt (1 1) ( , ) opt opt ( , ) opt ( 1 1) max ( , ) max (1 1) seriell ! Ein überraschender Zusammenhang zwischen der ( , )-ES als höchste Nachahmungsstufe der Evolution und der (1+1)-ES als niedrigste Nachahmungsstufe der Evolution. Die „Goldene Regel“ der Evolutionsstrategie (1, )-ES Bei optimaler Mutationsschrittweite verschlechtert sich die gesamte Nachkommenschaft im Mittel ebenso sehr, wie sich der beste Nachkomme verbessert. a E DQ Fortschritt Verbesserung N ΔQ tan a Berechnung der mittleren Qualität QN der gesamten Nachkommenschaft QN QE 1, (1) 1, ( 2 ) 1, ( ) tan a QN QE c1, (1) 2 c1, ( 2) 2 c1, ( ) 2 tan a Fortschritt des besten Nachkommen c1, ( j ) 0 Fortschritt des zweitbesten Nachkommen . . . QN QE 2 tan a j 1 Ferner gilt: QNB QE (c1, 2 ) tan a = 2 für c1, QNB QE 1 Q N QE opt QNB QE QE Q N Die „Goldene Regel“ der Evolutionsstrategie (1, )-ES Bei optimaler Mutationsschrittweite verschlechtert sich die gesamte Nachkommenschaft im Mittel ebenso sehr, wie sich der beste Nachkomme verbessert. g QN g QE Kulturtropfen g QNB Dirigierte Evolution mit dirigierter Mutationsrate Bakterienklon g 1 H2 Schüttel Agarkultur g 1 QE d↓ QNB QE < > QE Q N d↑ Verbesserung bester Nachkomme gegenüber Elter QN Verschlechterung gesamte Nachkommenschaft gegenüber Elter g 1 Q NB Die erweiterte „Goldene Regel“ der Evolutionsstrategie ( / , )-ES Bei optimaler Mutationsschrittweite verschlechtert sich die gesamte Nach kommenschaft im Mittel mal so sehr, wie sich die besten Nachkommen intermediär rekombiniert verbessern. Denkhinweis: μ-fach vergrößerte Schrittweite! Goldene Regel zur Mutationsschrittweitenregelung IF (Q N QE ) (QNB QE ) THEN d d * a ELSE d d / a Für Funktionsmaximierung Quasi-philosophische Gedanken zum Fortschrittsfenster, zur 1/5-Erfolgsregel und zur Goldene Regel der Evolutionsstrategie Evolutionsfenster Fortschritt Ein Manager sollte wissen, wie schmal sein Entscheidungsspielraum ist. Die Devise „Viel hilft viel“ ist genauso falsch wie „Vorsicht ist die Mutter der Porzellankiste“. Mutationsgröße We 1 / 5 d vergrößern We 1 / 5 d verkleinern Misserfolge sollten nicht so negativ gesehen werden. Es ist richtig, wenn auf 5 Versuche 4 Misserfolge kommen. Um Fortschritt zu erzielen muss man viele Misserfolge hinter sich lassen (Goldene Regel der Evolutiosstrategie). Die Schaffung von Ordnung in einem Bereich geht immer oder Entropiesatz der einher ES mit der Schaffung von Unordnung an anderer Stelle ! QNB QE QN Rückschritt = Fortschritt Noch ungelöste Probleme in der Theorie der Evolutionsstrategie Fortschrittsgeschwindigkeit der ( / , ) - ES für 2, 3, 1 Fortschrittsgeschwindigkeit der ES mit diploidem Vererbungsgang Hat das Schema der Ortho-ES einen biologischen Hintergrund? Wie macht die biologische ES eine Koordinatentransformation? Wie kommt es in der Biologie zu korrelierten (harmonischen) Mutationen? Philosophie der Problemkomplexität aus der Sicht des Evolutionsstrategen und der Sicht des Informatikers: Kausalität, starke Kausalität, schwache Kausalität versus der Komplexitätsklassen P- NP- und NP-vollständig. Informatiker/Mathematiker Evolutionsstratege NP vollständig Schwach kausal NP Kausal P Stark kausal P = polynomial NP = nichtdeterministisch polynomial. (Eine „geratene“ Lösung kann in polynomialer Zeit überprüft werden) Im deutschen Sprachraum lässt sich NP-Problem auch als „Nachweis-polynomiales Problem“ lesen Komplexitätsklassen von Problemen Über exotische mathematische Probleme und deren Lösung mit der Evolutionsstrategie Ronald L. Graham GRAHAMs „größtes kleines Sechseck“ Gesucht ist das Sechseck maximalen Inhalts, bei dem keine zwei Ecken einen größeren Abstand als 1 voneinander haben. GRAHAMs “größtes kleines Sechseck” Qualitätsfunktion: Q1 4 1 4 1 4 1 4 { { { { } (a1 a2 a6 ) (a1 a2 a6 ) (a1 a2 a6 ) ( a1 a2 a6 ) } ) } ) } Max (a2 a3 a10 ) (a2 a3 a10 ) (a2 a3 a10 ) ( a2 a3 a10 ) (a3 a4 a13 ) (a3 a4 a13 ) (a3 a4 a13 ) ( a3 a4 a13 (a4 a5 a15 ) (a4 a5 a15 ) (a4 a5 a15 ) ( a4 a5 a15 Nebenbedingungen: a8 1 Polygon Koordinaten: a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a5 1 a6 1 a7 1 a9 1 a10 1 a11 1 a12 1 a13 1 a14 1 a15 1 x11 0, x12 0 a1 x12 x22 a2 x32 x42 a3 x52 x62 a4 x72 x82 2 a5 x92 x10 a6 ( x 3 x 1 ) 2 ( x 4 x 2 ) 2 a7 ( x 5 x 1 )2 ( x6 x 2 )2 a8 ( x 7 x 1 ) 2 ( x8 x 2 )2 a9 ( x 9 x 1 )2 ( x10 x 2 )2 a10 ( x 5 x 3 )2 ( x6 x 4 )2 a11 ( x7 x 3 )2 ( x8 x 4 )2 a12 ( x 9 x 3 )2 ( x10 x 4 )2 a13 ( x7 x 5 )2 ( x8 x 6 )2 a14 ( x 9 x 5 )2 ( x10 x 6 )2 a15 ( x 9 x 7 )2 ( x10 x 8 )2 Lösung des GRAHAMschen Problems ist eine algebraische Zahl vom Grad 10: 4096 A10 8192 A 9 3008 A 8 30848 A7 21056 A 6 146496 A 5 221360 A 4 1232 A3 144464 A 2 78488 A 11993 0 Lösung : A 0,674981... Reguläres Sechseck : A 0,64959... 1 GRAHAMs größtes kleines Sechseck 6-Eck 8-Eck 10-Eck Foptimal Fregulär = 1,0391 Foptimal Fregulär = 1,0280 Lösungen für das größte kleine 6-, 8-, und 10-Eck Foptimal Fregulär = 1,0195 Schwärme Mathematische Definition eines Schwarms als Maximum-Minimum-Distanz-Problem y Dmax D min x Das max/min-Distanz-Problem Minimum Dmax = 6,707 Dmin Mathematischer Schwarm von 48 Individuen 103 77 77 103 94 86 86 94 Elemente der Optimalstruktur Reguläre Struktur eines 48-Individuen-Schwarms 7 Pkt Dmax / Dmin 2 12 Pkt Dmax / Dmin 5 2 3 2,9093 Maximale Distanz = 1 Minimale Distanz 27 Pkt 48 Pkt Dmax / Dmin 4,8045 Dmax / Dmin 6,707 Strukturelle Lösungen des max/min-DistanzProblems Flugzeugschwarm Melancholie, Kupferstich von Albrecht Dürer aus dem Jahr 1514 Magisches Quadrat 2 0 14 Es soll ein Magisches Quadrat mit 21 21 Feldern entwickelt werden. Die Summe der Zeilen, der Spalten und der Hauptdiagonalen soll jeweils 2010 betragen. Und in der Mitte des Quadrats soll sich, wie im Dürer-Quadrat, die Jahreszahl 2010 markieren. Die Figuren einer Zwei, Null und Eins mögen durch eine Serie der Ziffern 2, 0 und 1 gebildet werden. Es handelt sich bei der Lösung zwangsläufig um ein so genanntes unechtes Magisches Quadrat, da Zahlen doppelt vorkommen können und müssen. n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 1 Qualitätsfunktion für ein 3 3-Quadrat Q (n1 n2 n3 15 )2 (n4 n5 n6 15 )2 (n7 n8 n9 15 )2 (n1 n4 n7 15 )2 (n2 n5 n8 15 )2 (n3 n6 n9 15 )2 (n1 n5 n9 15 )2 (n3 n5 n7 15 )2 Min Magischer 5 5 5 - Würfel mit der magischen Summe 315 2003 gelöst von Walter Trump und Christian Boyer g =0 =10 g =30 =20 g =60 =10 g =90 =40 g =120 =200 g =150 =800 g =180 =1200 g =210 =2400 g =240 =3000 g =270 =5000 g =290 =5000 g =291 =5000 Michael Herdy: 16.06.1999 Evolutionsstrategie löst ein 7x7x7 Rubik-Würfel Ende www.bionik.tu-berlin.de