Abstand zwischen zwei Flugzeugen

Abstand zwischen zwei Flugzeugen
FB 16: Institut für Flugsysteme und Regelungstechnik (FSR)
Stichworte: Transformationssatz für Dichten, nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung
Problembeschreibung
Im kontrollierten Luftraum gibt die Flugsicherung Flugrouten vor. Die Flugzeuge können sich jedoch wegen Schwankungen, die z.B. durch Wind verursacht werden, nur sehr selten ganz genau auf dieser Linie befinden.
Im Rahmen eines Industrieprojektes zur Erhöhung der Flugsicherheit sollte ein Modell zur Bestimmung des Kollissionsrisikos aufgestellt werden. Hierfür wurde die Wahrscheinlichkeit benötigt, dass zwei sich auf gleicher Höhe befindende
Flugzeuge einen vorgegebenen Mindestabstand nicht einhalten. Die beiden Flugzeuge wurden als Punkte im zweidimensionalen Raum aufgefasst. Außerdem nahmen die Doktoranden an, dass sich die Position der Flugzeuge wie ein
zweidimensional normalverteilter Zufallsvektor mit bekanntem Erwartungswert und bekannter Varianz verhält.
8
6
4
2
0
−2
Y_i: Position des Flugzeugs i auf der Ordinate (Länge)
10
Abstand zwischen zwei Flugzeugen
−2
0
2
4
6
8
10
12
X_i: Position des Flugzeugs i auf der Abszisse (Breite)
Problemlösung
Sei
• X i eine Zufallsvariable, die die Position des Flugzeuges i (i = 1, 2) auf der Abszisse angibt,
• Yi eine Zufallsvariable, die die Position des Flugzeuges i (i = 1, 2) auf der Ordinate angibt und
• dmin der Mindestabstand, den die beiden Flugzeuge einhalten sollen.
Annahmen:
• X i ∼ N (µX i , σ2X i ) mit µX i und σ2X i > 0 bekannt
• Yi ∼ N (µYi , σ2Yi ) mit µYi und σ2Yi > 0 bekannt
• X 1 , Y1 , X 2 , Y2 unabhängig
1
Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Flugzeuge den vorgegebene Mindestabstand überschreiten.
”
—
P (X 2 − X 1 )2 + (Y2 − Y1 )2 < dmin
Z dmin
=
f(X 2 −X 1 )2 +(Y2 −Y1 )2 (z) dz
0
=
Z
0
=
Z
dmin
Z
f(X 2 −X 1 )2 (t) · f(Y2 −Y1 )2 (z − t) d t dz
−∞
dmin Z ∞
1
1
2
−∞ σX 1
0
=
∞
1
+ σ2X 2
σ2Y1
1
Z
+ σ2Y2
2
X 1 +σX 2 )
2
Y1 +σY2 )
(z − t) d t dz
dmin
f (X 2 −X 1 )2
σ2X 1 + σ2X 2 σ2Y1 + σ2Y2
(t) · f(Y2 −Y1 )2 /(σ2
f(X 2 −X 1 )2 /(σ2
σ2 +σ2
X1
X2
−∞
(Y −Y )2
+ 22 12
σ +σ
Y1
Y2
(t) d t
wobei f Z die Dichte der Zufallsvariablen Z angibt, in der dritten Zeile die Unabhängigkeit und in der vierten Zeile
die Bemerkungen im Anhang und der Transformationssatz für Dichten verwendet wurde. In der letzten Zeile wurde
die Faltung wieder rückgängig gemacht. Dabei ist f (X 2 −X 1 )2 (X 2 −X 1 )2 die Dichte einer nichtzentralen χ 2 −Verteilung mit
Nichtzentralitätsparameter
(µX 2 −µX 1 )2
σ2X +σ2X
1
2
+
(µY2 −µY1 )2
σ2Y +σ2Y
1
2
σ2 +σ2
X1
X2
+ 2
σ +σ2
X1
X2
und zwei Freiheitsgraden. Das letzte Integral kann somit unmittelbar
mit der Verteilungsfunktion berechnet werden.
Anhang
• Bemerkung 1:
Da X i ∼ N (µX i , σ2X i ) und Linearkombinationen von normalverteilten Zufallsvariablen wieder normalverteilt sind,
ist
µX − µX 1
X2 − X1
∼ N (Æ 2
, 1).
Æ
σ2X 1 + σ2X 2
σ2X 1 + σ2X 2
• Bemerkung 2:
Sind Zi ∼ N (µi , 1), i = 1, . . . , n, so ist
n
X
Zi2 ∼ χ 2 (n, λ),
i=1
2
wobei
λ) die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter
Pnχ (n,
λ = i=1 µ2i ist.
• Bemerkung 3: Für unser Beispiel gilt damit


Æ
2
X2 − X1
σ2X 1 + σ2X 2

2
 ∼χ
1,
(µX 2 − µX 1 )2
!
σ2X 1 + σ2X 2
und analog natürlich auch
2

 Y2 − Y1 
2
 ∼χ
Æ
σ2Y1 + σ2Y2
1,
(µY2 − µY1 )2
!
.
σ2Y1 + σ2Y2
• Bemerkung 4:
Da aus Zi unabhängig mit Zi ∼ χ 2 (ni , µi ) (i = 1, . . . , n) für die Summe
in unserem Beispiel:
(X 2 − X 1 )2
σ2X 1 + σ2X 2
+
(Y2 − Y1 )2
σ2Y1 + σ2Y2
∼χ
2
2,
(µX 2 − µX 1 )2
σ2X 1 + σ2X 2
Pn
i=1
+
Pn
Pn
Zi ∼ χ 2 ( i=1 ni , i=1 µi ) folgt, gilt
(µY2 − µY1 )2
!
σ2Y1 + σ2Y2
2