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XI
Transfinit
Platon (427 - 348)
Es gibt viele schöne Dinge; sie sind vergänglich.
Die Idee des Schönen ist unvergänglich.
Platonisten: Mathematische Größen und Gesetze
existieren; sie werden nicht erfunden, sondern
gefunden.
Richard Dedekind (1831 - 1916)
Die Zahlen sind eine freie Schöpfung des
Menschen.
... erschaffen wir eine neue, eine irrationale Zahl.
Aristoteles (384 - 322) lehnt das aktual
Unendliche für Philosophie und Mathematik
ab, schreibt es allein den Göttern zu.
Robert Grosseteste (1168 - 1253)
Prof. in Oxford, Lehrer von Roger Bacon: Das
aktual Unendliche ist eine definite Zahl.
Es gibt mehr Momente in einem großen
Zeitintervall als in einem kleinen, mehr Punkte in
einer großen Strecke als in einer kleinen.
"The number of points in a segment one ell long
is its true measure."
John Baconthorpe (? - 1346)
Es gibt das aktual Unendliche in Zahl, Zeit, Menge.
Thomas von Aquin (1224 - 1274)
Heiliger, Kirchenlehrer, Doctor angelicus
Summa theologica I, qu. 7, art. 4
1. Jede Menge muß einer ganz bestimmten Art von Menge
angehören. Die Art der Menge aber richtet sich nach der Art
der Zahl. Nun ist aber keine Art von Zahlen unendlich. Denn
jede Zahl ist eine durch die Einheit genau bestimmbare Menge.
Also kann es unmöglich, sei es aus sich heraus, sei es aus
Zufall, eine fertige unendliche Menge geben.
2. Das ergibt sich auch noch aus einem anderen Grunde. Jede wirkliche, in der
Natur draußen bestehende Menge von Dingen ist geschaffen. Mit dem
Geschaffenen aber verfolgt der Schöpfer eine ganz bestimmte Absicht. Denn
kein Wirkender wirkt ziellos. Also bestehen alle geschaffenen Dinge in einer
ganz bestimmten Zahl. Daher ist auch eine auf Zufall gegründete fertige
unendliche Menge von Dingen unmöglich.
De aeternitate mundi (Argument gegen einen zeitlichen Weltanfang)
Ferner ist bisher nicht schlüssig dargestellt, warum Gott nicht etwas schaffen
kann wie tatsächliche Unbegrenztheiten (infinita actu)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Drei Grade der Unendlichkeit:
1) Gößer als jede nennbare Größe
(dazu gehört das mathematische )
Dafür drei Erklärungsniveaus:
pour tout le monde: Ätherpartikel, Sandkorn, Erdkugel, Firmament
für den Mathematiker: Jede Zahl ist endlich und bestimmbar. Die Infiniten
und Infinitesimalen sind Fiktion ... sie ermöglichen eine vorteilhafte
Sprechweise. Es handelt sich aber nicht um willkürliche, sondern um
wohlbegründete Fiktionen. Im praktischen Gebrauch kann man sie so
verwenden, als ob sie wirklich existierten.
für den Philosophen: Fiktionen mit einem fundamentum in re, wie auch -1.
2) Was in seiner Gattung das Größte ist: vom Ausgedehnten
das Größte ist der ganze Raum, vom Aufeinanderfolgenden das
Größte ist die Ewigkeit.
3) Gott
Leibniz "Je suis tellement pour l'infini actuel, qu'au lieu admettre que la
nature l'abhorre, comme l'on dit vulgairement, je tiens qu'elle l'affecte
partout, pour mieux marquer les perfections de son Auteur. Ainsi je
crois qu'il n'y a aucune partie de la matière qui ne soit, je ne dis pas
divisible, mais actuellement divisée, et par conséquent la moindre
particelle doit être considerée comme un monde plein d'une infinité de
créatures différentes."
"Ich bin so für das actual Unendliche. Ich glaube, daß die Natur,
anstatt es zu verabscheuen, wie man gewöhnlich sagt, es überall
häufig gebraucht, um besser die Vollkommenheit ihres Autors zu
zeigen. Daher glaube ich, daß es kein Stück Materie gibt, das nicht ich sage nicht teilbar – sondern tatsächlich geteilt ist; und folglich ist
auch das letzte Partikel anzusehen als eine Welt erfüllt mit einer
Unendlichkeit verschiedener Geschöpfe."
Leibniz, in einem Brief an Dangicourt, 1716: er glaube nicht, daß es
die "grandeurs veritablement infinitesimales" gebe, sie seien nur
"fictions utiles"; er sei allerdings von seinen Anhängern gebeten
worden, diese seine Meinung nicht publik zu machen, um ihre Sache
(d.h. aktual-unendlich-kleine Größen) nicht zu verraten.
Pater Emanuel Maignan (1601 - 1676)
Minorit, Prof an der Universität Toulouse.
Es kann ein kategorematisches (aktuales) Unendlich existieren,
wenn auch eingeschlossen durch innere Schranken, sogar in
der Art, daß es unendlich ist.
Bernard de Fontenelle (1657-1757)
Schriftsteller, Philosoph, Mitglied der Académie
française, Sekretär der Académie des sciences
Führte aktual unendliche Zahlen ein:
Eléments de la Géometrie de l'infini, Paris (1727)
Georg Cantor (1845 - 1918)
1879 Professor für Mathematik in Halle
gilt als Begründer der Mengenlehre und mit
Möbius und Poincaré als Begründer der Topologie.
Dementsprechend unterscheide ich ein "Infinitum aeternum increatum
sive Absolutum", das sich auf Gott und seine Attribute bezieht, und
ein "Infinitum creatum sive Transfinitum", das überall dort ausgesagt
wird, wo in der Natura creata ein Aktual-Unendliches konstatiert
werden muß, wie beispielsweise in Beziehung auf die, meiner festen
Überzeugung nach, aktual-unendliche Zahl der geschaffenen Einzelwesen
sowohl im Weltall wie auch schon auf unserer Erde und, aller
Wahrscheinlichkeit nach, selbst in jedem noch so kleinen, ausgedehnten
Teil des Raumes, worin ich mit Leibniz ganz übereinstimme.
Das Vollendetunendliche kann in verschiedenen von
einander mit der äußersten Schärfe durch den sogenannten
"endlichen menschlichen Verstand" unterscheidbaren
Modificationen auftreten. [G. Cantor an Lipschitz, 19. 11. 1883]
Dominus regnabit in aeternum
et ultra.
[2. Buch Moses: Exodus 15 Vers 18]
Der Einstellbereich Ihres Teleskops reicht
von 5 m bis unendlich und darüber hinaus.
Georg Cantor
(1845 - 1918)
Lebenslänglich - mit anschließender Sicherungsverwahrung
Galileo Galilei (1564 - 1642)
Das Unendliche sollte eine andere
Arithmetik befolgen als gewöhnliche
Zahlen.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Die Regeln des Endlichen behalten im
Unendlichen Geltung, und umgekehrt
gelten die Regeln des Unendlichen für das
Endliche.
Gebrauch des unendlich Kleinen (Infinitesimalrechnung) und
auch des unendlich Großen (Summe der harmonischen Reihe)
Arithmetik des Unendlichen
unbestimmte Ausdrücke
+1=
-
+n=
0/0
 +  = 2  = 
/
  = 
0
Bijektive Abbildung: ganze Zahlen  gerade Zahlen, n  2n
1
2
2
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3
6
4
8
5
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...
...
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
81
...
...
Galilei: n  n2
1
1
2
4
3
9
Salviati: Anzahl der Quadrate = Anzahl der Zahlen
Jede natürliche Zahl ist die Wurzel einer Quadratzahl.
Bernard Bolzano (1781 - 1848)
Tschechischer Theologe, Philosoph und
Mathematiker
Schöpfer des Begriffs: Menge
Die Paradoxien des Unendlichen (1851)
Unterschiedliche Unendlichkeiten: Gott (unendlich
große Kraft, Güte, Weisheit) Zahlen, Körper, Fläche,
Linie, Raum, Zeitspanne, Stellen von 2.
Bernard Bolzano (1781 - 1848)
Tschechischer Theologe, Philosoph und
Mathematiker
Schöpfer des Begriffs: Menge
Die Paradoxien des Unendlichen (1851)
Eine bijektive Abbildung
y = 2x
impliziert nicht dieselben Anzahlen
von Punkten in den Geraden.
Das Ganze ist stets größer als sein echter Teil.
Es gibt verschiedene Grade des Unendlichen.
Unvergleichlich ist die Weite der Menge aller
Kugeln oder aller Tetraeder.
Vergleichbar sind die Weiten der Menge aller Kreislinien und
Kreisdurchmesser: zu jedem Kreis gibt es unendlich viele
Durchmesser.
Manche Weiten bilden sogar Zahlenverhältnisse miteinander:
Die Weiten der Menge aller Kreislinien und aller
Kreisflächen sind gleich.
Mittelpunkte und Brennpunkte aller Ellipsen verhalten sich
wie 1:2.
Es gibt mehr natürliche Zahlen als Quadrate, mehr Quadrate als
Kuben.
Eine Vielheit von der Art X heißt unendlich, wenn jede endliche
Vielheit dieser Art X nur als Teil von ihr erscheint.
Ein Intervall ist in Hinsicht auf die enthaltenen Punkte unendlich,
in Hinsicht auf die Länge nicht.
A = { x I x2 - 3x + 2 = 0 }
B = { x I x   und 0 < x < 3 }
C = { x I a, b, c, x   und ax + bx = cx }
D = { 1, 2 }
Im Unterschied zu einer Folge darf in einer
Menge jedes Element nur einmal vorkommen.
Es gibt aktuale Unendlichkeiten:
unendliche Zahlen von unterschiedlicher Größe.
Die unendliche Menge der endlichen Zahlen 
besitzt die kleinste transfinite Kardinalzahl 0.
0 ist größer als jede natürliche Zahl.
M ist abzählbar unendlich: Bijektion mit  möglich.
Mächtigkeit jeder abzählbar-unendlichen Menge:
0.
Georg Cantor
(1845 - 1918)
Eine Menge ist unendlich, wenn sie in Bijektion mit
einer ihrer Teilmengen gesetzt werden kann.
1
10
2
20
3
30
4
40
5
50
6
60
7
70
8
80
9
90
...
...
Richard Dedekind
(1831 - 1916)
ist abzählbar unendlich, besitzt die Kardinalzahl
0.
abzählbar := als Folge darstellbar
Cantors erstes Diagonalisierungsverfahren (nach Cauchy)
Die erste Spalte zeigt   II  0
Die ganze Tabelle zeigt ind  II  0
 II = 0
Obwohl die rationalen Zahlen dicht liegen:
zwischen p und q liegt immer eine weitere (p+q)/2.
Beweis für die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen
nach Dedekind (1873)
p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0
Index = Ia0I + Ia1I + Ia2I +...+ IanI + n
Index
1
2
Gleichungen
--1x1 = 0
0
3
1x2 = 0, 2x1 = 0, 1x1 ± 1 = 0
0,
0,
±1
4 1x3 = 0, 2x2 = 0, 3x1 = 0, 1x2 ± 1 = 0, 2x1 ± 1 = 0, 1x1 ± 2 = 0
0,
0,
0,
±1,±i,
±1/2
±2
 II = 0
Cantors zweites Diagonalisierungsverfahren
geht zurück auf Paul Du Bois-Reymond (1831 - 1889)
n
r(n)
___________________
1 0,000111199999...
2 0,123456789123...
3 0,555555555555...
4 0,789789789789...
5 0,010000000000...
...
...
Cantors zweites Diagonalisierungsverfahren
n
r(n)
___________________
1 0,000111199999...
2 0,123456789123...
3 0,555555555555...
4 0,789789789789...
5 0,010000000000...
...
...
Cantors zweites Diagonalisierungsverfahren
Erhöht man jede Diagonalziffer um 1,
so ergibt sich die Zahl
0,13681...
 II > 0
Cantors Beweis für die Existenz
transzendenter Zahlen:
Es gibt unendlich viel mehr transzendente
Zahlen als algebraische Zahlen.
n
r(n)
___________________
1 0,000111199999...
2 0,123456789123...
3 0,555555555555...
4 0,789789789789...
5 0,010000000000...
...
...
ist nicht abzählbar.
 0 < 2 0 = C
Potenzmenge (M)
M = {a,b}
({a,b}) = {{ },{a},{b},{a,b}}
Kardinalzahl der Menge M = IMI
Kardinalzahl der Potenzmenge = 2IMI
({a,b,c}) = {{ },{a},{b},{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
I({ })I = 20 = 1
I({a})I = 21 = 2
M = {a,b,c} besitzt die Kardinalzahl I{a,b,c}I = 3
I(M)I = 23 = 8
I((M))I = 28 = 256
I(((M)))I = 2256  1077
I()I = 20 > 0
I()I = II
Es gibt ein aktuales Unendlich 0,
denn dies kann übertroffen werden durch 20.
Bijektion 
()() ist unmöglich:
Versuch einer bijektiven Abbildung:  ()(
1  {1}
2  {2,4,6,...}
3  {1,2}
4  {3}
5  {1,3,5,...}
...
M = {3,4,...} = Menge der Nichtgeneratoren
in ihren Bildmengen nicht enthaltene Zahlen
Welche Zahl wird auf M abgebildet?
4711  {3,4,...,4711,...}
Unendliche Folge von aktualen Unendlichkeiten
0
Transfinite Kardinalzahlen: 0 < 2
0 + 1 = 0

0 + n = 0

0 + 0 = 0

0  n = 0

0  0 = 0
20 > 0
20
<2
< ...
David Hilbert (1862 - 1943)
1892 Professor in Königsberg
1895 - 1930 in Göttingen
bedeutender deutscher Mathematiker
schuf erstmals ein vollständiges
Axiomensystem für die euklidische
Geometrie
Nach ihm ist der Hilbert-Raum
benannt, der in der Quantenmechanik
von Bedeutung ist.
Hilberts Hotel
1 Gast
unendlich viele
Reinigung
Cantor: Ich sehe es, doch kann ich es nicht glauben:
Die Kardinalzahl der Punkte des Quadrates [0,1]2 ist genau
so groß wie die Kardinalzahl des Intervalls [0,1].
Vereinigung der Dezimalstellen der Koordinaten:
0,x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5... .
(x I y) = (0,111 I 0,222)  0,121212
Albert von Sachsen (1316 - 1390)
Questiones subtilissime in libros de celo et mundi
Ein unendlich langer Holzbalken hat dasselbe
Volumen wie der gesamte dreidimensionale Raum.
Die Menge aller Mengen kann nicht existieren,
denn sie müsste ihre Potenzmenge enthalten.
Earl Bertrand Russell (l872 - 1970)
Menge aller Mengen, die sich nicht selbst
enthalten: M = {X I X X }
(19
03)
1910-16 Dozent am Trinity College in Cambridge
Sozialist und Pazifist
deswegen häufig in politischen Konflikten mit der Regierung
bedeutender mathematischer Logiker
Principia Mathematica, das Standardwerk der math. Logik
Earl Bertrand Russell (l872 - 1970)
Menge aller Mengen, die sich nicht selbst
enthalten: M = {X I X X }
(19
03)
Gottlob Frege (1848 - 1925)
Logiker
glaubte an das aktual Unendliche
Versuch eines Axiomensystems für
die Cantorsche Mengenlehre
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
prädikabel
imprädikabel
häufig
ölig
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
prädikabel
imprädikabel
häufig
ölig
abstrakt
beliebt
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
prädikabel
imprädikabel
häufig
ölig
abstrakt
beliebt
alt
neu
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
prädikabel
imprädikabel
häufig
ölig
abstrakt
beliebt
alt
neu
verständlich
unverständlich
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
prädikabel
imprädikabel
häufig
ölig
abstrakt
beliebt
alt
neu
verständlich
unverständlich
kurz
superkurz
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
prädikabel
imprädikabel
häufig
ölig
abstrakt
beliebt
alt
neu
verständlich
unverständlich
kurz
superkurz
superbandwurmlänglich
lang
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
prädikabel
imprädikabel
häufig
ölig
abstrakt
beliebt
alt
neu
verständlich
unverständlich
kurz
superkurz
superbandwurmlänglich
lang
unsymmetrisch
symmetrisch
(OTTO, ANNA))
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
prädikabel
imprädikabel
häufig
ölig
abstrakt
beliebt
alt
neu
verständlich
unverständlich
kurz
superkurz
superbandwurmlänglich
lang
unsymmetrisch
symmetrisch
wohlklingend
duftend
schwarz
rot
(OTTO, ANNA))
Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst.
 ist keine natürliche Zahl.
Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst.
Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto.
Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher.
Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich.
Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller
gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.
prädikabel
imprädikabel
häufig
ölig
abstrakt
beliebt
alt
neu
verständlich
unverständlich
kurz
superkurz
superbandwurmlänglich
lang
unsymmetrisch
symmetrisch
wohlklingend
duftend
schwarz
rot
imprädikabel
(OTTO, ANNA))
imprädikabel
imprädikabel
Protagoras: Jurastudent.
Sokrates: Ich weiß, dass ich nichts weiß.
Epimenides: Alle Kreter lügen.
Keine Regel ohne Ausnahme.
Dieser Satz ist nicht beweisbar.
Der nächste Satz ist falsch. Der vorhergehende Satz ist richtig.
Der Mond besteht aus weißem Käse.
w f w f
Beide Sätze in diesem Kasten sind falsch.
w w f f
Philosophie ist der Mißbrauch von eigens dazu erfundenen Begriffen.
Paradoxon nach Richard, Berry, König
Die Menge aller Zahlen, die mit einer endlichen
Anzahl von Zeichen definiert werden können,
enthält
die kleinste Zahl, die nicht mit einer endlichen
Anzahl von Zeichen definiert werden kann.
Jules Richard
(1862 -1956)
= 90 Zeichen
Julius König
(1849-1913)
Kontinuumhypothese
Ist die nächst größere Unendlichkeit 1 = 20 ?
Oder gibt es ein Aleph zwischen 0 und 1 = C = 20 ?
Analogie: Ausgehend von Potenzmengen der Menge
M = {a,b,c} kann niemals die Kardinalzahl 100
erreicht werden
I(M)I = 23 = 8
I((M))I = 28 = 256
I(((M)))I = 2256  1077
Cantor glaubt 1884 kurzzeitig, einen Beweis für die Kontinuumhypothese
1 = C = 20 zu besitzen
David Hilbert stellte 1900 auf dem 2. Weltkongreß der Mathematiker in Paris
die 23 wichtigsten Probleme der Mathematik dar. Nr. 1 betraf den Beweis der
Kontinuumhypothese.
Kontinuumhypothese
Ist die nächst größere Unendlichkeit 1 = 20 ?
Oder gibt es ein Aleph zwischen 0 und 1 = C = 20 ?
Kurt Gödel (1906 - 1978)
1. Es gibt unentscheidbare Aussagen.
2. Die Widerspruchsfreiheit einer mathematischen Theorie kann
niemals aus ihr bewiesen werden.
bewies 1937:
Die Kontinuumhypothese widerspricht nicht den ZF Axiomen.
Paul J. Cohen (1934-2007)
bewies 1963:
Die Kontinuumhypothese ist unentscheidbar, denn ihr Gegenteil
widerspricht den ZF Axiomen auch nicht.
Gödel und Cohen bezweifeln die Kontinuumhypothese.
Sie halten die Kardinalzahl des Kontinuums für wesentlich größer.
erdachte das Auswahlaxiom 1904.
Ernst Zermelo
(1871 - 1953)
In der Geschichte der Wissenschaften ist es gewiss ein
seltener Fall, wenn eine ganze wissenschaftliche
Disziplin von grundlegender Bedeutung der schöpferischen Tat eines einzelnen zu verdanken ist. Dieser Fall
ist verwirklicht in der Schöpfung Georg Cantors.
schuf mit Zermelo das Axiomensystem der ML.
Adolf A. Fraenkel
(1891 - 1965)
Wenn der Angriff auf das Unendliche endgültig glückt, so
bleibt, abgesehen von engumgrenzten unangreifbaren
Gebieten (namentlich der Arithmetik im engeren Sinn),
von der gegenwärtigen Mathematik nur ein ungeheurer
Trümmerhaufen übrig, aus dem wohl erst durch die Arbeit
von Generationen neue einigermaßen wohnliche (und den
alten jedenfalls an Bequemlichkeit nicht gleichkommende)
Behausungen aufgebaut werden können.