PPT Wahrscheinlichkeit ppt vom 270608.pps

Übungsbeispiele
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel – Kletterseile – Teil 1
Eine Firma möge Kletterseile für
Turnsäle herstellen, die sich durch
ihre Reißlast unterscheiden.
Dabei sei in den einzelnen Sorten
diese Reißlast normalverteilt mit
unterschiedlichen Mittelwerten und
Standardabweichungen.
Beispiel - Kletterseile
Eine Schule bestellt ein Seil dessen
Reißqualität in kg mit μ=3600 und
σ=80 beschrieben ist.
Die Firma lagert die Seilsorten in
verschiedenen Kisten, die
versehentlich nicht beschriftet sind.
Beispiel - Kletterseile
Der Mitarbeiter, der die Bestellung
bearbeitet, greift in eine der Kisten
und zieht ein Seil mit einer Reißlast
von 3690kg heraus!
Helfen Sie dem Mitarbeiter weiter!
Lösung: Beispiel - Kletterseile
Hypothesen:
H0: Die gewählte Kiste ist die
richtige Kiste. μ=3600
H1: Sie ist es nicht! μ ungleich 3600
Lösung: Beispiel - Kletterseile
Einseitiger Test oder zweiseitiger
Test?
AW: zweiseitiger Test!
Warum?
Es liegen keine Angaben über die
Richtung der Alternativhypothesen
vor!
Für das Beispiel ergibt sich
folgender z-Wert:
x   0 3690  3600
z  
 1,13

80
Nachschlagen in der
Standardnormalverteilungstabelle:
Standardnormalverteilung
Für das Beispiel ist aber der
Antistreubereich gesucht:
-1,13
1,13
Wie kann die rote Fläche berechnet
werden?
= 1 – „der weißen Fläche“
Streubereich
P  2  ( z )  1
 (z )
Warum?
1  ( z )
Streubereich
P   ( z )  [1   ( z )] 
 ( z )  1  ( z )  2  ( z )  1
Antistreubereich
P  1  [2   ( z )  1] 
 2  2  ( z) 
 2  (1   ( z ))
Für das Beispiel ergibt sich
folgender Ablehnungsbereich:
P  2  (1  ( z ))  2  (1  0,871)  0,258
Aufgrund 0,258>0,05 behält man die
Hypothese, die richtige Kiste gefunden zu
haben, bei! (Irrtumswahrscheinlichkeit: 26%)
Beispiel – Kletterseile – Teil 2
Die Firma möge nun nur zwei
Arten von Kletterseilen für
Turnsäle herstellen, die sich
durch ihre Reißlast
unterscheiden.
Sorte 1: μ=3600 und σ=80
Sorte 2: μ=3800 und σ=80
Beispiel – Kletterseile – Teil 2
Welche Änderungen für die
Rechnung ergeben sich dadurch?
Ablehnungsbereich?
nur auf der rechten Seite der
Standardnormalverteilung
 Einseitiger Test!
Für das Beispiel ergibt sich erneut
folgender z-Wert:
x   0 3690  3600
z  
 1,13

80
Nachschlagen in der
Standardnormalverteilungstabelle:
Standardnormalverteilung
1 – 0,871 = 0,129
Standardnormalverteilung
1 – 0,871 = 0,129
Ablehnungsbereich =
Irrtumswahrscheinlichkeit
Es gilt:
Bei einem einseitigen Test ergebende
Irrtumswahrscheinlichkeit ist also
kleiner als bei einem zweiseitigen
Test!
 Bei einem einseitigen Test wird die
Nullhypothese eher abgelehnt als
bei einem zweiseitigen Test!
Wiederholung:
Die Wahrscheinlichkeit, mit der
das gefundene Ergebnis oder
extremere Ergebnisse bei
Gültigkeit von H0 eintreten,
bezeichnet man als αFehlerwahrscheinlichkeit oder
Irrtumswahrscheinlichkeit.
Ist die Richtung der H1
vorgegeben, kann man
einseitig testen.
Diese Zusatzinformation
erlaubt es eher signifikante
Unterschiede aufzudecken.
β-Fehler
• H1 fälschlicherweise abzulehnen
• Dieser Fehler lässt sich nur bei
genauer Kenntnis der H1
berechnen!
• Im vorliegenden Beispiel
berechnet man bei der Kenntnis
des alternativen Mittelwerts
μ=3800 folgenden z-Wert:
z-Wert:
x   0 3690  3800
z  
 1,38

80
Nachschlagen in der
Standardnormalverteilungstabelle:
  (1,38)  0,084
Zusammenfassung:
• H0 abzulehnen, obwohl richtig; 12,9%
• H0 beibehalten, obwohl falsch: 8,4%
• Erstgenanntes Risiko zu Lasten des
Erzeugers; bei Ablehnung der H0 noch
einmal in die Kiste greifen muss;
• Zweitgenanntes Risiko zu Lasten des
Kunden, fälschliche Beibehaltung der H0,
falsche Sorte von Seil
• Vgl. Produzenten- bzw.
Konsumentenrisiko
β-Fehler
3600
3800
3690
Welcher Zusammenhang lässt sich
festhalten?
• Versucht man den Fehler 1.
Art zu verringern, so ……
• Umgekehrt gilt, …..
Allgemein gilt:
PAUSE
Neues Beispiel
Zur Erkennung einer bestimmten
psychischen Krankheit wurde ein
normverteilter Score entwickelt, der bei
den Kranken den Mittelwert 63,9 und die
Standardabweichung 5,6, bei den
Nichtkranken den Mittelwert 71,3 und die
Standardabweichung 4,8 hat.
Wie groß sind Fehler 1. und 2. Art, wenn
man einen Probanden von 65 in die
Gruppe der Kranken einordnet?
Lösung:
• Einseitiger Test!
• Fehler 1. Art:
z=(65-63,9)/5,6 =
0,20
• Nach der z-Tabelle: 1-Φ(0,20)=10579 = 0421
• Fehler 2. Art:
z=(65-71,3)/4,8 = 1,31
• Nach der z-Tabelle: Φ(-1,31)=0,095
Interpretation:
• Risiko H0 abzulehnen, obwohl
richtig… nicht krank, obwohl
krank = 42,1%
• Risiko hingegen H0
beizubehalten, obwohl falsch…
krank einzustufen, obwohl nicht
krank = 9,5%
Literatur
• Zöfel, Peter: Statistik für Psychologen,
Pearson Studium, München 2003
• Götz, Reichel et.al. Lehrbuch der
Mathematik 8, öbv et hpt, Wien 2003