3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung

Hauptseminar Diskrete Dynamische Systeme
Die Hufeisenabbildung
Lidia Wensel
03.07.2008
1
Inhalt
1. Kanonisches Beispiel
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
2
1. Kanonisches Beispiel
Ablauf einer Iteration in der Hufeisenabbildung
Q
das "Stadium" S
3
1. Kanonisches Beispiel
Die Hufeisenabbildung wird
(a) zwei mal
(b) drei mal
(c) vier mal angewendet.
(a )
(b )
(c )
4
1. Kanonisches Beispiel
Die Urbilder P0, P1 von Q0 , Q1 sind vertikale Streifen
Q0
P0
P1
Q1
5
1. Kanonisches Beispiel
Wir definieren induktiv
Q ( n 1) : f (Q ( n ) )  Q
(1)
mit n  N , Q  Q0  Q1.
Man sieht, dass
(1)
Q ( 2)  f (Q0  Q1 )  Q
aus vier horizontalen Streifen besteht, die innerhalb von
Q0  Q1 liegen.
Aufgrund der Konstruktion ist
Q (1)  Q ( 2)  ...  Q ( n )  ... .
6
1. Kanonisches Beispiel
(n )
Darstellung von Q für n = 1, 2, 3.
Q (n ) besteht aus 2 n disjunkten horizontalen Streifen mit der
Dicke 2 /  n, schnell abnehmend mit wachsendem n.
Q (1)  Q0  Q1
Q ( 2)
Q ( 3)
7
1. Kanonisches Beispiel
Wir nehmen
Q ( 0)  P0  P1  f 1 (Q (1) )
(2)
und definieren
Q (  n)  f 1 (Q ( ( n1))  Q (1) )  f 1 (Q ( ( n1))  f (Q))
(3)
für n  N 0.
8
1. Kanonisches Beispiel
1
(0)
1
(1)
Darstellung von Q  f (Q )  P0  P1 . f wirkt nur auf
Q (1)  Q0  Q1 .
'
'
C0
D0
( x, y )  ( x /  ,   y )
auf Q setzen
"
"
C1 D1
C0
B0
C1
B1
Q0
Q1
D0
'
B
A0 0
D1 C1
'
f 1
A0
A0
"
B0
"
'
D1
P0
'
P1
A1
"
B1
( x, y )  ( x /  ,   y )
"
"
A1 D0 C0
"
auf Q setzen
B1
'
A1
'
9
1. Kanonisches Beispiel
( 1)
1
( 0)
(1)
Q

f
(
Q

Q
). Die gefärbten
Darstellung von
( 0)
(1)
(1)
Q

Q
Q
Quadrate stellen
dar.
besteht aus gefärbten
Streifen im doppelt gestrichenen Teil des Diagramms.
C0
'
'
D0
( x, y )  ( x /  ,   y )
auf Q setzen
D A0
"
1
"
1
C
C0
B0
"
D0
B0 c
A0
B0
C1
C1 D1
B1
"
'
'
'
A0 f
D1
1
c
c
'
A1
"
"
B1 A1
( x, y )  ( x /  ,   y )
"
D0 C0
"
auf Q setzen
B1
'
A1
'
10
1. Kanonisches Beispiel
Gezeigt sind die vertikalen Streifen Q (0) , Q ( 1) , Q ( 2,) definiert
durch (3). Man beachte Q(0)  Q( 1)  Q ( 2). Die Menge
besteht aus 2 n 1 disjunkten Streifen der Breite 2 /  ( n 1.)
Q (0)  P0  P1
Q(1)
Q (2)
11
1. Kanonisches Beispiel
Definieren wir nun
 :  Q ( n ) 
nZ
(n)
Q
 
nN
(  n)
Q

nN 0
(4)
so ist  das kartesische Produkt zweier Cantor-Mengen,
welches selber eine Cantor-Menge ist.
12
1. Kanonisches Beispiel
Satz 1.1
Die Menge    Q ( n ) ist invariant unter f und f .1
Beweis
nZ
13
Inhalt
1. Kanonisches Beispiel
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
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2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Sei  die Menge aller doppelt - unendlichen Sequenzen
der binären Symbole 0, 1, d.h.
    :   0, 1 .


Die Elemente  von  nennt man Symbolsequenzen, sie
werden durch  n  0,1 für alle n Z definiert. Wir
schreiben
   n n  ... 2 1 0 1 2 3... .
 


Unser Ziel ist die Betrachtung der Dynamik der Abbildung
 :    , die durch
 ( n )   n1 ,
(5)
definiert wird, n  Z .
15
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Satz 2.1
Der Links - Shift  :    besitzt periodische Bahnen aller
Perioden sowie aperiodische Bahnen.
16
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Satz 2.2
Es existiert eine Topologie, in welcher die periodischen
Punkte von  dicht in  sind.
17
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Satz 2.3
Der Links - Shift
.
 :    besitzt eine dichte Bahn auf
18
Inhalt
1. Kanonisches Beispiel
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
3. Symbolische Dynamik für die
Hufeisenabbildung
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
19
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Zur Erinnerung:

(n)
Q

,
nZ
(n )

Q
wobei
, n  Z , die disjunkte Vereinigung von 2 n
(n)
Q
horizontalen Streifen des Quadtrates Q ist, während
,
n  N , die Vereinigung von 2 n1 ähnlichen vertikalen
Streifen ist. Wie man in den Abbildungen sieht, gilt
Q (1)  Q ( 2)  ...  Q ( n )  ... und Q (0)  Q ( 1)  ...  Q ( n)  ... .
N
Daher ist ( N )
   Q ( n )  Q (  ( N 1))  Q ( N )
n   ( N 1)
die disjunkte Vereinigung von 2 2 N Quadraten der
N
Seitenlänge 2 /  .
20
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
N
Darstellung von
(n)
Q
für N=1.

n   ( N 1)
Q ( 0)
(1)
Q
Q (0)  Q (1)
21
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
N
Darstellung von
(n)
Q
für N=2.

n   ( N 1)
Q(1)
(2 )
Q
2
(n)
Q

n  1
22
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Jedes Quadrat von  kann eindeutig durch einen
Symbolblock
 ( N )   ( N 1) ... 0   1 ... N ,
N
 n  0,1, der Länge 2N repräsentiert werden.
Es gilt
Q (1)  f ( P0 )  f ( P1 )  Q0  Q1,
wobei Q0  Q1   ist.
(12)
23
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Weiter ist
Q ( 2)  f 2 ( P0 )  f 2 ( P1 )
(13)
mit f 2 ( P0 )  f 2 ( P1 )   .
f 2 ( P0 )  f (Q0 )
f 2 ( P1 )  f (Q1 )
24
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Allgemein gilt also für n N
Q ( n )  f n ( P0 )  f n ( P1 )
und f n ( P0 )  f n ( P1 )  .
(14)
25
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Codierung der Streifen in Q (n) für n = 1. Die eindeutige
Symbole für jeden Streifen stehen links, der eindeutige
Code der Streifen rechts.
0
0  f ( P0 )
1
1  f ( P1 )
26
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
(n)
Codierung der Streifen in Q für n = 2. Die eindeutige
Symbole für jeden Streifen stehen links, der eindeutige
Code der Streifen rechts.
1
2

f
(
P
)

f
( P1 )
01
0
0
00
 f ( P0 )  f 2 ( P0 )
0
10
 f ( P1 )  f 2 ( P0 )
1
2
1 1  f ( P1 )  f ( P1 )
27
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Codierung der Streifen in Q (n) für n = 3. Die eindeutige
Symbole für jeden Streifen stehen links, der eindeutige
Code der Streifen rechts.
1
0
0
1
2
3
0 1 1  f ( P0 )  f ( P1 )  f ( P1 )
010
000
0 01
1
101
0
0
1
100
11 0
 f ( P1 )  f 2 ( P0 )  f 3 ( P1 )
111
28
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
(0)
Q
Streifencodierung von
. Die eindeutigen
Kennzeichnungen für die Streifen stehen oben, die
zugewiesenen Symbole unten.
P0
P1

0

0
1
1
29
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Streifencodierung von Q (-1). Die eindeutigen
Kennzeichnungen für die Streifen stehen oben, die
zugewiesenen Symbole unten.
f 1 ( P0 )  P0
f 1 ( P0 )  P1
f 1 ( P1 )  P0
f
10 0 0
0 1 11
1 0
0 1
1
( P1 )  P1
30
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Streifencodierung von Q (-2)
.
2
1
f ( P1 )  f ( P1 )  P0
f 2 ( P1 )  f 1 ( P0 )  P1
0 01
000
11 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 11
10 01
111
10 01
31
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Konstruktion des Symbolblocks, der die in ( N )
erscheinenden Quadrate repräsentiert:
Die Kennzeichnung für den vertikalen Streifen:
 ( N 1) ,...,  1 ,  0 .
Die Kennzeichnung für den horizontalen Streifen:
 1 ,...,  N .
Dann hat der Symbolblock, der das Quadrat kennzeichnet,
die Gestalt
 ( N )   ( N 1) ,..., 1 , 0   1 ,..., N .


32
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
(2)

Die Quadratische Regionen, die mit
gegeben durch
11 01 und 10 11, definiert werden, sind hervorgehoben.
f 1 ( P1 )  P1  f ( P0 )  f 2 ( P1 ) :  ( 2)  11  01
Q (-1)
Q(2)
2
(n)
Q

n  -1
f 1 ( P1 )  P0  f ( P1 )  f 2 ( P1 ) :  ( 2)  10  11
33
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Das Quadrat, welches durch den Symbolblock  ( N )
repräsentiert wird, ist durch
 N n
  f P
n

 n   ( N 1)

Q


 
gegeben.
(15)
34
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Satz 3.1
Die Bijektion h :    ist ein Homomorphismus, der die
topologische Konjugation von f :    und  :   
zeigt.
Beweis
35
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Sei    und


n
x  h     f P n   Q .
nZ

Dann ist



n
f h   f x   f    f P n   Q 

 nZ

 
(16)


n 1
  f
P n   Q
nZ

 

  f
nZ
n

 Q

P 
 n 1
 h  
(17)
36
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
Inhalt
• 1. Kanonisches Beispiel
• 2. Dynamik auf Symbolsequenzen
• 3. Symbolische Dynamik für die
Hufeisenabbildung
• 4. Hufeisenabbildung für die HénonAbbildung
37
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
2
2
Sei f : R  R . Die Hénon-Abbildung wird gegeben durch

f x, y   y, 1  a  y 2  b  x

und
 y 1  a  x2 
f x, y   
, x 
b

.
1
38
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
(a) Erstes Bild zeigt die drei Phasen der Konstruktion von f
aus x, y  .
(b) Das Bild eines Rechtecks kann in gleicher Weise
konstruiert werden.
(a )
(b)
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4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung


2


f
x
,
y

y
,
1

a

y
 b  x besitzt zwei
Jede Hénon – Abbildung
Fixpunkte:
b  1 

y
b  1
2

 4a 

2a
40