Aufgabe 3 (Text)

Aufgaben zur Theoretischen Ökologie
WS 2014/2015
3. Populationsmodelle mit zwischenartlicher Konkurrenz
3.1. Zeitstetige Dynamik: LOTKA-VOLTERRA-Modell
(1) Veranschaulichen Sie sich im Zeitbild (x und y als Funktion über t) die Dynamik beider
Populationsdichten (ohne Beerntung) für verschiedene Anfangswerte und feste Parameter.
Variieren Sie dann die Parameter, insbesondere die Kapazitäten und die Konkurrenzkoeffizienten (s.u.) !
(2) Gehen Sie dann zur Darstellung im Zustandsraum (Dichte x(t) auf x-Achse, Dichte y(t) auf yAchse) über und ermitteln Sie – bei jeweils festen Parametern (und wieder ohne Beerntung) –
die Trajektorien für verschiedene Anfangswerte! Untersuchen Sie dann das gesamte
Systemverhalten für verschiedene Werte der Konkurrenzkoeffizienten  und  !
(3) Wann existiert ein „inneres“ Gleichgewicht mit positiven Populationsdichten (d.h. bei sich
kreuzenden Isoklinen)? Wann ist diese innere Gleichgewicht stabil, wann instabil?
[Ein Gleichgewicht heißt "stabil", wenn das System (hier: die Population) dazu tendiert, nach
Störungen zum Gleichgewichtspunkt zurückzukehren. Wenn ein Gleichgewicht instabil ist, gibt
es einige (meist sogar viele) Störungen, die nicht zum Gleichgewichtspunkt zurückzukehren. ]
Vorschlag für (1) – (3): rm1 = 1 , rm2 = 1 , K1 = 200 , K2 = 100
a)  = 1 ,  = 3 ,
b)  = 3 ,  = 1 , c)  = 3 ,  = 0.3 , d)  = 1 ,  = 0.3 .
Es reicht, wenn Sie jeweils kurz die typischen Verhaltensweisen darstellen und kommentieren.
(4) Beernten Sie nun eine (oder beide) Art(en) mit jeweils konstanter Pro-Kopf-Ernterate u1 bzw.
u2 ! Welche Verhaltensänderungen ergeben sich? Verallgemeinern Sie Ihre Ergebnisse !
Vorschlag für (4):  = 1.5 ,  = 0.3 , u1 = 0 ... 0.4 , u2 = 0 , 0.35, 0.5 ; u1 = 0, u2 = 0 ... 0.5 .
Optional (für besonders Engagierte):
* 3.2. Zeitdiskrete Dynamik: RICKER-Modell mit zwischenartlicher Konkurrenz
(1) Stellen Sie das zeitdiskrete Analogon als „RICKER-Modell“ der zwischenartlichen Konkurrenz
auf !


x    yt 
y    xt 
xt 1  xt  exp  rm1  ( 1  t
)  , y t 1  y t  exp  rm2  ( 1  t
)
K1
K2




Hinweise: a) Das zeitdiskrete Modell kann ohne großen Aufwand aus dem RICKER-Modell für eine
Population erzeugt werden, indem eine weitere Spalte und eine veränderte Berechnungsformel
eingegeben werden. Der Zeitschritt jetzt wieder t = 1, als Endzeit wählen wir T = 60 ... 100.
b) Der Vorteil der Excel-Variante ist, daß wir auch die Hauptisoklinen „sehen“ können (das sind im
zeitdiskreten Modell Kombinationen beider Dichten, wo die Netto-Reproduktionsfaktoren
R1(x,y) bzw. R2(x,y) gerade gleich Eins sind).
(2) Erkennen Sie, daß das zeitdiskrete Modell sich grundsätzlich ähnlich wie das zeitstetige Modell
verhält, nur daß zusätzlich für große Werte von rmi auch die bereits aus dem Ein-Arten-Modell
bekannten Oszillationen (und sogar Chaos) auftreten können ?