2006-06-Innsbruck-1

Fragen
(1)
Kraft (Boden) im Einbeinstand
(2)
Kraft (Sprunggelenk) im Zehenstand auf
einem Bein
(3)
Kraft (Achillessehne) im Zehenstand auf
einem Bein
(4)
Kraft (Hüftgelenk) im Einbeinstand
(5)
Kraft (Ellbogen) beim horizontalen Halten
eine Masse von 10 kg
Allgemeine Biomechanik
Force System Analysis
Benno M. Nigg
University of Calgary
2006
Biomechanik
Studiert
a)
Kräfte am und im menschlichen
Körper und
b)
Effekte, die durch diese Kräfte
erzeugt werden
Reaktionen biologischer Systeme
biologisch
z.B. stärkere Fasern und Materialien
mechanisch
Beschleunigung
F=m·a
Deformation
F = k · Dx
Bruch / Riss
Force System Analysis
FSA
Viele Möglichkeiten,
mechanische Probleme zu lösen.
FSA ist eine Möglichkeit.
•
•
systematisch
allgemein anwendbar
Force System Analysis
Ziel:
FSA
das mechanische Verhalten eines
biologischen Systems zu verstehen
Prozess: (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Definiere das System
Annahmen
Free Body Diagram
(Freikörperdiagramm)
Bewegungsgleichungen
Berechnung der Unbekannten
Das System (system of interest)
Mechanisches System
für biomechanische
Anwendungen
Struktur and welcher
die gesuchte Kraft als
äussere Kraft wirkt
Vorgehen
(1)
Sketch
(2)
Aufteilen in zwei
Teile
(3)
Teilen wo Kraft
gesucht ist
(4)
System ist einer der
beiden Teile
Beispiel
Gesucht:
Kraft im rechten Hüftgelenk beim Laufen
(a)
(b)
(c)
(d)
Verschiedene Möglichkeiten
Annahmen

1-dim, 2-dim oder 3-dim

Kräfte die eingeschlossen werden

Grösse und Richtung der Kräfte

Materialeigenschaften

Strukturdaten

Andere wichtige Annahmen
Free Body Diagram
Das Free Body Diagram, FBD, besteht aus:
• Sketch des Systems
• Alle äusseren Kräfte und Momente, die am
System angreifen
• Koordinatensystem
Sketch
Zeichne schematisch das System
Nichts anderes!!!!
Beispiel
System = Fuss
Zeichne nur den Fuss (ohne Boden und Bein)
Wichtigste Aspekte
Äussere Kräfte und Momente
Distanzkräfte
Kontaktkräfte
Gravitation
Gelenkskraft
Elektrische
Sehnenkraft
Magnetische
Bandkraft
Kontakt mit Umwelt
Luftwiederstand
Resultierende Kräfte
Fres
Resultierende Kraft
 Summe von verschiedenen
Kräften
Beispiele:
• Körpergewicht
• Bodenreaktionskraft
Koordinatensystem
Ein Koordinatensystem
y
muss eingeschlossen
werden um die positiven
Achsenrichtungen zu
definieren
x
Beispiele
1. Zeichne das FBD, welches gebraucht werden
kann um die Kraft in der Achillessehen beim
einbeinigen Zehenstand zu bestimmen
2. FBD um die Kraft im Ellbogengelenk beim Halten
einer Masse in der Hand
•
•
•
•
System
Annahmen
Sketch
Koordinatensystem
Newton
(angepasst)
Die Summe aller Kräfte, die an einem
System angreifen (= resultierende Kraft)
ist gleich dem Produkt von Masse und
Beschleunigung des Schwerpunktes des
Systems
SFi = Fres = m · aKSP
Newton
(angepasst)
Die Summe aller Momente, die an einem
System wirken (= resultierendes Moment) ist
gleich dem Produkt des Trägheitsmomentes
und der Winkelbeschleunigung bezüglich
einer Achse durch den KSP.
SMiCM = MresCM = Izz · aCM
Bewegungsgleichungen 2-d
Mit Änderung des
Bewegungszustandes
Ohne Änderung des
Bewegungszustandes
SFx
=
mSI · aSIx
SFx
= 0
SFy
=
mSI · aSIy
SFy
= 0
SMCMz
=
Izz · az
SMCMz = 0
Bewegungsgleichungen 2-d
mSI
=
Masse des Systems
Fx
=
Kraft in x-Achsenrichtung
aSIx
=
Beschleuningung des Schwerpunktes des
Systems in x-Achsenrichtung
MCMz
=
Moment bezüglich der z-Achse durch den
Schwerpunkt des Systems
Izz
=
Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse
durch den Schwerpunkt des Systems
az
=
Winkelbeschleuningung bezüglich der zAchse durch den Schwerpunkt des Systems
Beispiel
Frage:
Bestimme die Kraft in der
Achillessehne wenn eine Person auf
einem Bein im Zehenstand steht
System:
Fuss
Kraft in Achillessehne
Annahmen:
• 2-dim
• Fuss starr
• Gewicht Fuss vernachlässigt
• Äussere Kräfte:
Bodenreaktionskraft
Kraft im Sprunggelenk
Kraft in Achillessehne
• Alle Kräfte in vertikaler Richtung
Kraft in Achillessehne
y
Free Body Diagram
Annahmen
a
a
b
b
FG
=
=
=
=
=
FJ
Distanz FA - Gelenk
5 cm
Distanz FG - Gelenk
20 cm
1000 N
x
b
FG
FA
a
Kraft in Achillessehne
Bewegungsgleichungen:
Translation
FA + FG + FJ = 0
(1)
Rotation
- b · FG + a · FA = 0
(2)
Lösung (von Gleichung 2):
b
FA = ( ––
a ) · FG
Numerische Lösung
FA = 4 · FG = 4 · Körpergewicht = 4000 N
Kraft im Gelenk
Bewegungsgleichungen:
Translation
FA + FG + FJ = 0
(1)
Rotation
b · FG - a · FA = 0
b
FA = ( ––
a ) · FG
(2)
Negatives Vorzeichen:
Kraft in entgegengesetzter
Richtung als gezeichnet
FJ = - FA - FG
a+b
FJ = -
FG
a
= - 5 FG = - 5000 N = - 5 BW
Kraft im Ellbogengelenk
Frage:
Kraft im Ellbogengelenk.
Oberarm vertikal. Unterarm
und Hand horizontal. Masse
von 10 kg in Hand
System:
Unterarm und Hand
Kraft im Ellbogengelenk
Annahmen:
• 2-dim
• Unterarm und Hand ein starrer Körper
• Masse Unterarm
mA = 2 kg
• Masse in Hand
mW = 10 kg
• äussere Kräfte
FW = Gewicht der Masse in der Hand
FA = Gewicht Unterarm und Hand
FM = Muskelkraft Bizeps
FJ = Kraft Ellbogengelenk
Kraft im Ellbogengelenk
Annahmen:
• Alle Kräfte in vertikaler Richtung
• a
=
Distanz Bizepskraft und Gelenkskraft
• a
=
10 cm
• b
=
Distanz Gewicht Arm und Bizepskraft
• b
=
10 cm
• c
=
Distanz Gewicht Hand und Bizepskraft
• c
=
20 cm
Kraft im Ellbogengelenk
Annahmen:
• FA =
( 0 N, - 20 N, 0 N )
• FW =
( 0 N, - 100 N, 0 N )
Kraft im Ellbogengelenk
Free body diagram
FJ
FM
A
y
M
a
x
FW
C
b
D
c
FA
FJ
FM
A
M
Ellbogengelenk
Bewegungsgleichungen
Translation
SFy: FJ + FM + FA + FW = 0
a
FG
C
D
b
c
FA
(1)
FJ
FM
A
M
Ellbogengelenk
Bewegungsgleichungen
a
Translation
FW
C
D
b
c
FA
SFy: FJ + FM + FA + FW = 0
(1)
Rotation (Momente bezgl. Punkt M)
SMM: + c · FW + b · FA - a · FJ = 0
(2)
Punkt M
unbekannte Muskelkraft wird eliminiert
Ellbogengelenk
Gleichungssystem mit
2 Gleichungen
1 für Translation
1 für Rotation
2 Unbekannte
FJ
FM
Ellbogengelenk
Lösung
Gleichung (2)
a · FJ = c · FW + b · FA
1
FJ = ( –– ) [ c · FW + b · FA ]
a
(3)
Ellbogengelenk
Gleichung (1)
FJ + FM + FA + FW = 0
FM = - FA - FW - FJ
(3) in (4)
FM = - FA - FW
FM
1
- ( –– ) [ c · FW + b · FA ]
a
c
b
= [ 1 + ( –– ) FW + [ 1 + ( –– ) ] FA
a
a
Ellbogengelenk
Numerische Lösung
1
FJ = { –––– } · {0.2m · (-100N)+0.1m · (-20N)}
0.1m
FJ = - 220 N
Ellbogengelenk
• Die Kraft im Ellbogengelenk ist 220 N.
• Das Minuszeichen bedeutet dass die
Kraft in entgegengesetzter Richtung
zur eingezeichneten Kraft wirkt
(negative y Richtung)
Allgemeine Regel
Das Vorzeichen zeigt an, ob die
eingezeichnete Kraft in der richtigen
Richtung gezeichnet wurde
Free Body Diagram
wirkliche Kräfte
y
x
Free Body Diagram
res
F i(i+1)
res
M i(i+1)
resultierende Kräfte
y
Wi
res
F i(i-1)
res
M i(i-1)
x
wirkliche & resultierende Kräfte
Wirkliche Kraft
FBD
FaJ
FaA
FaG
y
z
x
Annahmen
2-d
Muskelkraft nur Achillessehne
Alle Kräfte in vertikaler Richtung
Gewicht des Fusses vernachlässigt
a = 20 cm = Distanz Zehe bis Gelenk
b =
5 cm = Distanz Achilles bis Gelenk
Keine Reibung zwischen Schuh und Boden
FG
=
( 0N , BW , 0N )
Bewegungsgleichungen (wirklich)
SFay = 0
FaG + FaJ + FaA
SMaA = 0
+(a + b) FaG + b FaJ = 0
= 0
Gleichung (2)
FaJ
a+b
= - –––– · FaG
b
FaJ
25
= - (–––) · FaG
5
FaJ
= - 5 BW
FaJ
= (0N, - 5 BW, 0N)
= - 5 FaG
Resultierende Kraft
FBD
FrJy
MrJ
FrJx
y
MrG
FrGx
FrGy
z
x
Bewegungsgleichung
Nur vertikale Komponente der
Sprunggelenkskraft
SFry =
FrGy =
mit
FrG =
0
- FrJy
FrGy + FrJy = 0
( 0N, BW, 0N )
folglich
FrJ
= ( 0N, - BW, 0N )
Wirkliche und resultierende Kraft
Kraft im Spunggelenk
Wirkliche Kraft
FaJ = - 5 BW
Resultierende Kraft
FrJ = - 1 BW
Welche Kraft würde in
Wirklichkeit gemessen?
Resultierender Ansatz
Berechnung von Kräften in
Gelenken, die weit weg vom
Boden sind (z.B. Hüfte, Knie,
….)
(1)
(2)
(3)
unten anfangen
Segment um Segment
am interessierten
Gelenk Kräfte und
Momente verteilen.
r
F 23
y
r
M 23
r
z
F 12
x
r
r
M 12
M 10
W2
r
M 21
r
r
F 21
F 10
W1
Neue Kentnisse
(1)
Force system analysis
(2)
Innere Kräfte >> Äussere Kräfte
(3)
Innere Kräfte = f (Hebelarme)
(4)
KAchilles(stehen)
 4 Körpergewicht
(5)
KSprunggelenk(stehen)
 5 Körpergewicht
(6)
KGelenk-Fersenlandung << KGelenk-Vorfusslandung