A industrielogistik
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industrielogistik montanuniversität leoben Operations Research für Logistik Einführung in Matlab® (170.202) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010 industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 1 industrielogistik montanuniversität leoben Rahmenbedingungen • Übungen: – 80 % Anwesenheit (laut Anwesenheitsliste) – Übungsaufgaben bis zur darauffolgenden Einheit selbstständig lösen • Prüfung: – schriftlich - 22. und 23. Juni 2010 – und mündlich (28. Juni - 30. Juni 2010) – sowohl schriftlicher als auch mündlicher Teil müssen für den erfolgreichen Abschluss der VU positiv sein industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 2 industrielogistik montanuniversität leoben Inhalte • Einführung in Matlab® • Markovketten • Warteschlangentheorie industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 3 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® I • MATLAB® = „MATrix LABoratorium“ • in Praxis Standardwerkzeug für technisch wissenschaftliche Berechnungen • bietet für numerische Aufgaben Lösungsmethoden und Methoden zur Visualisierung • moderne Programmiersprache, in welcher eigene Anwendungen entwickelbar industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 4 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® II Erste Schritte in Matlab®: • Matlab starten • voreingestellte Oberfläche durch Desktop Desktop Layout Default wieder herstellbar • durch Anklicken Fenster aktivierbar • folgende Fenster stehen zur Verfügung: – Command Window – Command History – Workspace – Current Directory industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 5 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® III industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 6 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® IV • Fenster durch Mausklick aktivieren • >> …. Eingabe kann getätigt werden • Beispiel: >>1+ 2 Eingabe mit return bestätigen • Variable ans (answer) wird der Wert 3 zugewiesen • Inhalte der anderen Fenster verändert industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 7 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® IV – Ergänzungen • Workspace: – verwendete Variable ans und einige ihrer Eigenschaften angezeigt – alle im Verlauf der Sitzung verwendeten Variablen hier aufgelistet • Command History: – alle Eingaben des Command Window gespeichert – mit Copy und Paste rückholbar oder ↑ • Current Directory: unverändert industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 8 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® V Hilfe in Matlab® - 3 Möglichkeiten: 1. Help - Option in der ersten Menüzeile 2. direkte Hilfe 3. Fragezeichen industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 9 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® VI • Strichpunkt: – unterdrückt die Ausgabe • elementare Funktionen: Funktion Mathematik MATLAB Arcustangens Exponentialfunktion Logarithmus naturalis Logarithmus (Basis 10) Logarithmus (Basis 2) arctan(x) ex ln(x) log10(x) log2(x) atan(x) exp(x) log(x) log10(x) log2(x) Beachte: Winkelfunktionen sowohl in Grad (z.B. sind) als auch in Bogenmaß (z.B. sin). NamederAusgabe = MatlabFunktionsname(Eingabewert) industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 10 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® VII • diary: – um Matlab® - Sitzung zu protokollieren – diary Dateiname.m – mit diary off abschließen • save und load: – um Variablen zu speichern und zurückzuholen industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 11 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® VIII • Matrizen eingeben und ändern: – wichtigste Datentyp in Matlab® (MATrix LABoratory) – in eckigen Klammern zeilenweise Eingabe – durch Leerzeichen oder Komma getrennt – Zeilenende durch Strichpunkt angegeben industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 12 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® IX • Variablen zuweisen: • Matrixelemente überschreiben: • weitere Operationen und spezielle Matrizen: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 13 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® X • einfache Befehle für Matrizen: – transponieren einer Matrix, d.h. Zeilen werden zu Spalten und Spalten zu Zeilen mit ‘ – Typ einer Matrix: Befehl size – Zeilenanzahl einer Matrix: Befehl ZAnz – weitere Befehle: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 14 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XI • Rechnen mit Matrizen: – können addiert, multipliziert, potenziert und mit einem Skalar multipliziert werden – bei Addition: Typen der Matrizen müssen übereinstimmen addM1M2 = M1 + M2 – bei Multiplikation: Spaltenzahl der 1. Matrix = Zeilenanzahl der 2. Matrix multM3M4 = M3 * M4 – beim Potenzieren (mit einer natürlichen Zahl): Matrix muss quadratisch sein M1Quadrat = M1 ^ 2 M1mal2 = 2 * M1 industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 15 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XII A und C sind nicht vom gleichen Typ. Spaltenanzahl von A ist ungleich der Zeilenanzahl von D. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik Anpassung des Typs bei Addition einer Zahl zu Matrix. 16 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XIII • Punktoperationen: – komponentenweise addieren M = M 1 . * M2 – komponentenweise quadrieren – komponentenweise dividieren M = M. ^2 M = 1. / M1 industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 17 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XIV • Vektoren: – sind spezielle Matrizen – Zeilenvektor – Spaltenvektor – Spalten- oder Zeilenvektor kann nicht quadriert werden – Skalarprodukt = Zeilenvektor * Spaltenvektor – Länge eines Vektors industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 18 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XV • Funktionen darstellen: Bezeichner = Startwert : Schrittweite : Endwert; industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 19 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XVI • Darstellung komplexer Zahlen: – imaginäre Einheit vordefiniert – i als auch j als Bezeichnung verwendbar – Realteil Rt: real (z1) und Imaginärteil It: imag (z1) – Betrag Bet: abs (z1) und Phase Phi: angle(z1) bzw. atan2 (It,Rt) – komplexe Zahl in algebraischer Form: Bet * exp (j * Phi) – konjugiert komplexe Zahl: conj (z1) bzw. z1‘ industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 20 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XVII • Rechnen mit komplexen Zahlen: –+/-/*/: – Ausgabe immer in algebraischer Form • zur Verwendung von i und j: – löschen mit clear i j – Anfangszustand mit ans herstellen industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 21 industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XVIII • Zahlenformate: – File Preferences Command Window Text display Numeric format oder Numeric display – Standardformat: format short – format long – Leerzeichen unterdrücken mit format compact und aufheben mit format loose industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 22 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene I • Wirkungsweise elementarer Funktionen: – skalare Funktionen – Vektorfunktionen – elementare Matrixfunktionen industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 23 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene II • skalare Funktionen: – A …beliebige Matrix vom Typ (m,n) mit Elemente aik – f …skalare Funktion log (0) nicht definiert – Matrix f(aik) ist vom Typ (m,n) – alle Funktionen der Analysis: • Potenz- und Wurzelfunktionen Logarithmus einer negativen Zahl kann gebildet werden. • trigonometrische Funktionen und Umkehrfunktionen • Exponentialfunktionen und Logarithmen • Funktionen zum Runden (floor, ceil, fix, round) • Funktionen real, imag, abs und angle • alle Punktoperationen industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 24 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene III • Vektorfunktionen: – sum, prod, min, max, mean, median, std, sort, all, any Summe wird spaltenweise berechnet B ist daher ein Zeilenvektor Anwendung von sum auf einen Vektor Ergebnis ist stets eine Zahl, gleichgültig ob es sich um einen Zeilen- oder Spaltenvektor handelt Summe zeilenweise bilden transponierte Matrix berechnen Ergebnis ist stets ein Zeilenvektor industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 25 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene IV • Elementare Matrixfunktionen: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 26 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene V • Polynome in Matlab®: – durch Zeilenvektor mit n+1 Elementen dargestellt z.B. p3(x) = 2x3 + x + 4 • Grundrechnungsarten: Beide Polynome müssen bei der Addition vom selben Typ sein. Multiplikation funktioniert nur mit dem Begriff conv. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik Polynomdivision mit Rest hat zwei Rückgabewerte q und r q …. ganzrationaler Anteil r …. echt gebrochener rationaler Anteil 27 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene VI • Partialbruchzerlegung: Koeffizienten bzw. Residuen a1 und a2 • Polynomwertberechnung: • Nullstellenberechnung Nullstellen x1 und x2 bzw. Polynombestimmung: Nullstellenberechnung mit Befehl roots. • Ableitungen: Polynomwertberechnung z.B. p3 (2) mit polyval. Polynombestimmung z.B. mit Nullstellen x1 = 1, x2 = 1 und x3 = 1. Ableitung mit dem Befehl polyder. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 28 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene VII • Interpolation und Regression: – Polynominterpolation – Splines – Regression industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 29 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene VIII • Polynominterpolation: – Polynom minimalen Grades mittels Befehl polyfit(x,y,n) x,y …. Messpaare aus Messreihe n …. Grad – Erzeugung einer Messreihe industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 30 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene IX • Splines: mittels Befehl spline – definiert durch: • x,y…Werte der Messpaare • t…Stelle, an denen Spline später skizziert werden soll • s…Rückgabegröße industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 31 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene X • Regression: – mittels Funktion polyfit (x,y,Zahl) erzeugbar – lineare Regression: mit polyfit (x,y,1) industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 32 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XI – kubische Regression: mit polyfit (x,y,3) industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 33 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XII – exponentielle Regression: • durch Logarithmieren wird Problem linearisiert industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 34 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XIII • Lineare Gleichungssysteme: – Matrix A vom Typ(m,n) – Inhomogenität b ist eine Matrix vom Typ(m,1) – unbekannter Vektor x mit n Elementen – lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten – lineares Gleichungssystem lösbar, wenn Rang der Matrix A = Rang der erweiterten Matrix [A,b] = Anzahl der Unbekannten, d.h. Spaltenanzahl von A industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 35 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XIV • Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme: für eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme für NICHT eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme, da Spaltenanzahl nicht übereinstimmt industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 36 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XV • Eigenwerte und Eigenvektoren: Berechnung der Diagonalmatrix Eigenwerte einer Matrix A berechenbar mit Befehl eig(A). Berechnung der Dreiecksmatrix industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 37 industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XVI • Rundungsfehler: – Matlab ® ist ein Softwarepaket, dass numerisch arbeitet – Rundungsfehler treten daher auf – Details verwiesener Literatur entnehmen industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 38 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® I • Graphen erstellen: mittels Script Files Save and Run industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 39 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® II • spezielle Graphen: – parametrisierte Kurven (Lissajou - Figuren) – Kurven in Polarkoordinaten (Archimedische Spirale) – Ortskurve – Zeigerdiagramme – halblogarithmische Darstellungen – Bodediagramme – Balkendiagramme – 3 - dimensionale Diagramme: • Raumkurve, Sattelfläche und Höhenlinien industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 40 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® III • parametrisierte Kurven (Lissajou - Figuren): industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 41 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® IV • Kurven in Polarkoordinaten (Archimedische Spirale): industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 42 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® V • Ortskurven: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 43 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® VI • Zeigerdiagramme: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 44 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® VII • halblogarithmische Darstellungen: – bei Funktionen mit großem Wertebereich – mittels Befehl semilog(x,y) industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 45 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® VIII • Bodediagramme: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 46 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® IX • Balkendiagramme: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 47 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® X • 3 - dimensionale Diagramme: Raumkurve industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 48 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XI • 3 - dimensionale Diagramme: Sattelfläche industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 49 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XII • 3 - dimensionale Diagramme: Höhenlinien industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 50 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XIII • graphisch differenzieren: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 51 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XIV • graphisch integrieren: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 52 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XV • Lösen linearer Gleichungssysteme: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 53 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XVI • Erstellen bzw. Arbeiten mit Function Files: – parameterabhängige Dateien – Regelung von Input- und Outputgrößen notwendig function[Aus1,Aus2,….,Ausm]=Funktionsname(Ein1,Ein2,….,Einm) industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 54 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XVII • Differentialgleichungen: – erster Ordnung – zweiter Ordnung – Systeme von Differentialgleichungen • Kontrollstrukturen: – konditionale Verzweigungen – Schleifen industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 55 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XVIII • Numerische Lösung von Differentialgleichungen: – erster Ordnung: Runge - Kutta - Verfahren industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 56 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XIX • Numerische Lösung von Differentialgleichungen: – zweiter Ordnung: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 57 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XX • Numerische Lösung von Differentialgleichungen: – Systeme von Differentialgleichungen: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 58 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XXI Zeichen Klartext < > <= >= == ~= kleiner als größer als kleiner oder gleich größer oder gleich gleich ungleich • Kontrollstrukturen: – konditionale Verzweigungen: • if Bedingung, Anweisungsteil end • Anweisungsteil:= Anweisung; Anweisung; … Anweisung • if Bedingung Anweisungsteil1 else Anweisungsteil2 end • = … Zuweisung Operator • == … Vergleich & | ~ • in Matlab ® hat richtige Bedingung Wert 1, eine falsche Bedingung den Wert 0 Klartext und oder nicht • bei Vergleich mit Zeichenketten ‘‘ verwenden und auf Großbzw. Kleinschreibung achten industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 59 industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XXII • Kontrollstrukturen: – Schleifen: • Laufanweisung: Laufvariable = Anfangswert:[Schrittweite]:Endwert • for Laufanweisung, Anweisungsteil end • bei Bestimmung der Anzahl der Schleifendurchgänge innerhalb des Programms: while Bedingung, Anweisungsteil end industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 60 industrielogistik montanuniversität leoben Literaturhinweise zu Matlab® • Grupp, Frieder und Florian(2004): Matlab ® 7 für Ingenieure – Grundlagen und Programmierbeispiele. 3., überarbeitete Auflage, München, Wien: Oldenbourg Verlag. ISBN: 3 - 486 - 27584 - 4. • Schweizer, Wolfgang (2009): Matlab ® kompakt. 4.,aktualisierte und ergänzte Auflage, München: Oldenbourg Verlag. ISBN: 978 - 3 - 486 59193 - 4. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 61 industrielogistik montanuniversität leoben Übungen zu Matlab® I (siehe dazu Übungsunterlagen) industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 62 industrielogistik montanuniversität leoben Operations Research für Logistik Markovketten (170.202) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010 industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 63 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne (nicht absorbierend) Angaben: • 2 Parteien: MSM und GLH • Wähler von GSM bleiben bei t+1 zu 80 % treu, wenn sie zum Zeitpunkt t diese Partei wählen • Wähler von MSM bleiben nur zu 75 % treu • Ausgangszustand laut letzter Wahl: 55 % MSM, 45 % GLH Aufgabenstellung: Speichern Sie die Übergangsmatrix A0, sowie die Ausgangsverteilung p0 als Variablen ab! industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 64 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne I industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne II • Wieviele Stimmen haben die jeweiligen Parteien bei der nächsten Wahl? – (A0*A0)= A1 – A1*p0 • Bzw. wieviele Stimmen haben diese bei der übernächsten Wahl? industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne III • Probieren Sie mit verschiedenen Werten für x, ab welchem x sich die Übergangsmatrizen nicht mehr ändern. – A^x industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne IV • Lösung: Nach 20 Wahlgängen verändern sich die Stimmanteile der beiden Parteien nicht mehr. • Berechnung von A^20 mit anschließender Multiplikation mit den Ausgangsverteilungen • Welche Stimmanteile haben die beiden Parteien MSM und GSM nach 20 Wahlgängen? industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne V • Berechnen der eingependelten Zustände ohne “Suchen” des Gleichgewichtszustandes: – Man sucht jene π, für die gilt: • π1= 0,75* π1 + 0,2* π2 • π2= 0,25* π1 + 0,8* π2 – Dann ersetzt man eine Gleichung mit: • 1 = π 1 + π2 – Und erhält: • π1= 0,75* π1 + 0,2* π2 • 1 = π 1 + π2 industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne VI • Dieses lineare Gleichungssystem kann man mittels Matlab® auf mehrere Arten lösen, z.B.: – mittels der Funktion A\b – mittels der Funktion rref() Aufgabenstellung: Versuchen Sie mittels dieser zwei Funktionen das zuvor angeführte Gleichungssystem zu lösen! Tipp: - Verwenden Sie die Matlabhilfe, um die zwei Funktionen anwenden zu können. - Achten Sie dabei auf die richtige Eingabe des Gleichungssystems! industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1)Wahlurne VII • Lösung mittels A\b: industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne VIII • Lösung mittels rref(): industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL Angaben: • Es existieren 5 Zustände in der Karrierelaufbahn IL: – untere Ebene (uE) – transient • 0,8 zu uE, 0,15 zu mE, 0,05 zu AvhE (in %) – mittlere Ebene (mE) – transient • 0,7 zu mE, 0,2 zu hE, 0,1 zu AvhE (in %) – höhere Ebene (hE) – transient • 0,95 zu hE, 0,05 zu AvdS (in %) – Abschied vor Erreichen der höheren Ebene (AvhE) – Abschied von der höheren Ebene - (Spitze) (AvdS) • beide Abschiede sind absorbierend industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL I 0,2 0,15 mE uE AvhE industrielogistik hE AvhE © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL II Übergangsmatrix uE mE hE AvhE AvdS uE 0,8 0,15 0 0,05 0 mE 0 0,7 0,2 0,1 0 hE 0 0 0,95 0 0,05 AvhE 0 0 0 1 0 AvdS 0 0 0 0 1 industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL III – Partitionieren der Übergangsmatrix Übergangsmatrix uE mE hE AvhE AvdS uE 0,8 0,15 0 0,05 0 mE 0 Q 0,7 0,2 0,1 hE 0 0 0,95 0 0,05 AvhE 0 0 0 1 0 AvdS 0 0 0 0 1 industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik R 0 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL IV Aufgabenstellung: • Wie lange befindet man sich in einem der transienten Zustände, wenn man in irgendeinem transienten Zusand startet bzw. wie oft könnte man erwarten, einen transienten Zustand zu erreichen, bevor man zu einem absorbierenden Zustand kommt? – Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1). • Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass man in einen absorbierenden Zustand kommt? – Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1) * R. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL V industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VI • D.h. wenn jemand in der uE eintritt, bleibt er im Schnitt 5 Jahre in diesem Zustand. (In unserem Fall 5 Jahre, da 1 Schritt in einen anderen Zustand = 1 Jahr). • Personen, die in der mE arbeiten, werden im Schnitt 13,33 Jahre in der hE verbringen. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VII • Wenn man in der uE einsteigt, hat man eine 50 % Chance, in die hE aufzusteigen. • Ist man bereits auf der mE, so erhöht sich diese Chance auf 2/3. • Man scheidet mit einer Chance von 1/3 von der mE aus dem System aus, ohne die hE erreicht zu haben. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Hausübung 1) I Angaben : • Eine Umfrage ergab, dass zum Zeitpunkt t = 0 40 Prozent der Hörer Sender A hörten und 60 % Sender B. • Aus vorherigen Umfragen ist bekannt, dass die Hörer von Sender A mit einer Wahrscheinlichkeit von 15 % zu Sender B wechseln, während von Sender B 5 % zu Sender A wechseln (pro Woche). Aufgabenstellung: • Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und berechnen Sie folgende Punkte mittels Matlab ® : industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Hausübung 1) II a) Wie hoch ist der Anteil der jeweiligen Hörer von Sender A und B zu den Zeitpunkten t = 1, t = 3 und t = 5? b) Wenn es eine Gesamthörerschaft von 500.000 Menschen gibt, wieviele Menschen hören in der Woche t = 9 den Sender B? c) Existiert für dieses System ein Gleichgewichtszustand? Wenn ja, wie lauten die Anteile von A und B bzw. nach wievielen Wochen wird dieser Zustand erreicht? industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Hausübung 2) I Angabe: • Eine Fertigungsmaschine produziert je nach Drehzahl eine unterschiedliche Menge von Produkten (Beobachtungsintervall = 1 Woche). Erfahrungswerte zeigen, dass wenn die Anlage mit 1000 U/min läuft, sie zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 in der nächsten Woche ausfällt. Zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 kann die Leistung von 1000 auf 1200 U/min gesteigert werden. Ausgehend von diesem Zustand, fällt sie jedoch zu 20 % aus. Fährt die Maschine mit 1200 U/min, fällt sie in der nächsten Woche mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 wieder auf 1000 U/min zurück. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Hausübung 2) II Aufgabenstellung: • Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und berechnen Sie folgende Punkte mittels Matlab ® : a) Wieviele Tage dauert es im Schnitt, bis die Anlage ausfällt, wenn sie zum Zeitpunkt t = 0 (Woche 0) im Zustand 1000 U/min produziert? b) Nehmen Sie an, die Anlage kann innerhalb einer Woche repariert werden und prodziert danach wieder mit Drehzahl 1000 U/min. Wie groß ist die Verfügbarkeit der Anlage? Hinweis: Je nach Aufgabenstellung ist der Zustand “Ausfall” einmal als absorbierd, einmal als nicht absorbierend anzunehmen. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik industrielogistik montanuniversität leoben Operations Research für Logistik Warteschlangentheorie (170.202) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010 industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 85 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Tankstelle I Angaben: PKW - Fahrer fahren zur Tankstelle um zu tanken, wenn ihr Tank zu ¼ voll ist. Die Tankstelle hat eine Zapfsäule. Es kommen durchschnittlich 6,3 Personen pro Stunde zur Tankstelle, wobei diese ihren Tank wieder zur Gänze auffüllen. Um einen PKW abzufertigen, vergehen durchschnittlich 4 Minuten. Die ZAZ (= Zwischenankunftszeiten) und die Bedienzeit sind exponentialverteilt anzunehmen. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 86 industrielogistik Beispiel 1) Tankstelle II montanuniversität leoben Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b) Wieviele Kunden befinden sich durchschnittlich im System und wie lange verbringt ein Kunde durchschnittlich darin? c) Die ÖMV prognostiziert Ölknappheit, was zu einer Veränderung des Systems führt. Die PKW - Fahrer fahren nun schon an die Zapfsäule, wenn sie bereits erst die Hälfte ihres vollen Tanks verbraucht haben. Da sie nun weniger tanken, sinkt die Bedienzeit auf 2 2/3 Minuten. Wie verändern sich dadurch die Größen L und W? industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 87 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Kartenschalter I Angaben: Der Eingangsbereich einer Touristenattraktion verfügt über 2 Schalter. Im Durchschnitt betreten 4/3 Personen pro Minute den Bereich. Die durchschnittliche Bedienzeit beträgt 72 Sekunden. ZAZ und Bedienzeit sind exponential verteilt. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 88 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Kartenschalter II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b) Wie hoch ist der Bruchteil der Zeit, in der ein einzelner Schalter frei ist? c) Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Kunde im System verbringt? d) Wie hoch ist die durchschnittliche Anzahl der Touristen im System? industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 89 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 3) Callcenter I Angaben: Ein Angestellter nimmt in einem Callcenter die Anrufe entgegen. Es rufen im Schnitt 35 Kunden pro Stunde an, wobei die Abfertigungsdauer bei durchschnittlich 320 Sekunden liegt (ZAZ und Bedienzeit sind exponentialverteilt). Ist die Warteschlangenkapazität von 11 Anrufern erschöpft, legen die neu hinzukommenden Kunden auf. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 90 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 3) Callcenter II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b) Wie lange muss ein Anrufer im Schnitt in der Schleife warten und wie lange wartet er bis zur vollständigen Abfertigung seines Anrufs? industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 91 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 4) Fertigung I Angaben: In einer Fertigung befinden sich 3 Fertigungsstationen. Im Schnitt kommen von außerhalb des Systems 11 Teile bei der Station A, 16 Teile bei der Station B und 10 Teile bei der Station C an. Die Bedienraten lauten A = 15 Stk/h, B = 28 Stk/h und C = 36 Stk/h (ZAZ und Bedienraten sind exponentialverteilt). Ist ein Teil bei der Station A fertig, geht es zu 50 % aus dem System, der Rest geht weiter zu Station B. Von Station B aus gehen ¼ der Teile aus dem System, während ¾ zu Station C wandern. Von Station C aus gehen ¾ der Teile aus dem System, der Rest geht zu jeweils 50 % an die Stationen A und B. industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 92 industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 4) Fertigung II Aufgabenstellung: a) Bestimmen Sie eine Kendall - Lee - Notation für dieses System. b) Welchen Bruchteil der Zeit ist die Station B frei? c) Wieviele Teile sind im Schnitt bei jeder Bedienstation (3 Antworten)? d) Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Teil im System verbringt? industrielogistik © Lehrstuhl Industrielogistik 93
