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TEILCHENPHYSIK FÜR
FORTGESCHRITTENE
Vorlesung am 18. April 2006
Robert Klanner
Universität Hamburg, IExpPh
Sommersemester 2006
WIEDERHOLUNG
Dirac Gleichung
Dualität Teilchen Welle: E  Eˆ  i   / t



p  pˆ   i  
(ℏ = c =1)

E  p 2 / 2m

E 2  p 2  m2
 Schrödinger Gleichung (SG)
 Klein-Gordon Gleichung (KG)
KG: - neg. Energien + neg. Wahrsch.-Dichte
 Dirac: kov. Gleichung linear in E und p:
 
E  a  p  b  m mit Bedingung E 2  p 2  m 2
ai , b … 4x4 Matrizen
Lösung ψ Spinor mit 4 Komponenten
beschreibt Spin ½ Teilchen mit Masse m
Lösung mit neg. Energien  Antiteilchen
freies Elektron in Ruhe:  1   e imt ,  0   e imt
 0
1
 
 
freies Positron in Ruhe:  1   e imt ,  0   e imt
0
1




 Dirac Gleichung beschreibt korrekt
Elektronen und Positronen
DGL in kovarianter Schreibweise:
- kovariante und kontravariante Vektoren:


 
a   (a 0 , a), a  (a 0 ,a) , a  b  a b   a 0  b 0  a  b


- g-Matrizen: g  (b , ba )





/

x

(

/

t
,


),

- Ableitungen:

    /  x   ( /  t ,)
- kovariante Form DGL: (i  g     m) ( x)  0
- vollständige Lösungen:
4-Stromdichte:

j   (  , j )   g 
   g 0

Elektron im em Potential: (, A) 

 

p  P  p  e  A  Pauli-Gleichung 
e
 
E Pot     B,  e  g e
Se , ge  2
2m
RK/TSS

SS06: Teilchenphysik II
18.4.2006 - 2
DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE
„anschauliche“ Erläuterung: Streuung geladener V (t )  V0 e iwt
(punktf!) p, p-Mesonen an Potential V(t)
V (t )  V0 e iwt
p+-Streuung
V gibt Energie ab
V nimmt Energie auf
*
 in  e iE t ,  out  e iE t , M   out
V (t ) in dt
in
out
mit  e iEt dt  2p   ( E )  M   ( Eout  Ein  w )
 p+ absorbiert Photon der Energie  w
p--Streuung
einlaufend p- mit E1>0 = ausl. p+ mit Eout= -E1
auslaufend p- mit E2>0 = einl. p+ mit Ein= -E2
*
M   out
V (t ) in dt   e i ( E  E w ) dt 
mit
out
in
  e i ( E2  E1 w ) dt  2p   ( E 2  E1  w )
p- absorbiert Photon der Energie  w
p p- -Paarerzeugung
rücklaufendes p+  vorlauf. p- mit E1+E2 = ℏw
M   e i ( Eo u t  Ein w ) dt 2p   ( E 2  E1  w )
p p- -Paarvernichtung
Potential: V (t )  V0 e  iwt  V nimmt Energie auf
M   e i ( Eout  Ein w ) dt 2p   ( E 2  E1  w )
p p- vernichten in Photon mit
RK/TSS
 w  E1  E2
SS06: Teilchenphysik II
18.4.2006 - 3
ÜBERBLICK
1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen
2. Feynman-Regeln und –Diagramme
2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED
2.2 Ableitung der Regeln (1)
2.3 Das Matrix-Element der e–-Streuung
2.4 Ableitung der Regeln (2)
2.5 Fermi’s Goldene Regel und Wirkungsquerschnitte
2.6 Kinematik der 22-Streuung (Mandelstam-Variablen)
2.7 Wirkungsquerschnitt der 22-Streuung a+bc+d
2.8 Berechnung des Matrix-Elements
2.9 Crossing und wichtige QED-Prozesse
2.10 PETRA und das JADE-Experiment
2.11 Helizität und Chiralität
2.12 d-Funktionen
RK/TSS
SS06: Teilchenphysik II
18.4.2006 - 4
2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED
Feynman entwickelte eine bildhafte Sprache zur
Beschreibung von Teilchenreaktionen (hier nur
QED ie. Photonen, geladene Leptonen, (Quarks)):
– Vertizes: Umwandlung von Teilchen,
Teilchenzahländerung:
?
?
?
– äußere Linien: (Anti)Fermionen, Photonen
– innere Linien (Propagatoren): z.B. in
– innere Photonen mit Impuls q:
(“Propagator”)
– innere Spin-1/2-Teilchen, Impuls
p, Masse m
i
g 
q2
pm
i 2
p  m2
– Vertex mit Ladung Qe:
 iQe g 
(+-Funktion zur Energieerhaltung)
d4p
 2p 4
– Schleifen: Integration
über mögliche Impulse:
q-p


Zuordnung: p  p  ( E, p), s  1 2
u ( p, s )
– einlaufende Fermionen:
u ( p, s )
– auslaufende Fermionen:
– einlaufende Antifermionen:
v ( p, s )
– auslaufende Antifermionen:
v ( p, s )
– Photon-Absorption/Emission:


(Polarisationsvektor ,
    0 ,    0,  ,  
Coulomb-Eichung 0=0)
RK/TSS
q
p
q
Ableitung des Matrixelements / des Wirkungsquerschnitts des Prozesses durch (geschicktes)
Multiplizieren der Beiträge.
SS06: Teilchenphysik II
18.4.2006 - 5
2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED
e–
Zeit
u ( p3 )
u ( p4 )
ieg  4 ( p3  p1  q)
ieg   4 ( p4  p2  q)
i
e– u( p1 )
S
(1)
fi
–
g 
Matrixelement Sfi(1)
1te Ordnung Störungstheorie
q2
u( p2 )
 Streu  S   i
–
S fi   d 3 x  *s ( x) S  i ( x)
 g 
 ie (2p )  d q   ( p 4  p 2  q)   ( p3  p1  q)  u ( p3 )g  u ( p1 ) 2
u ( p 4 )g  u ( p 2 )
q  i
2
4
4
4
4
man spricht von der Strom-Strom-Wechselwirkung
(e)
j
 g 
 2

q  i
j(  )
Die Feynman-Diagramme stellen Glieder einer
Störungsreihe in der Kopplung e dar:
S (fi1)  S (fi2)  ...  e 2   e 4   ...
Dabei treten reelle (Abstrahlung von Teilchen im Anfangs- oder Endzustand) und virtuelle
(Schleifen-) Korrekturen auf.
RK/TSS
SS06: Teilchenphysik II
18.4.2006 - 6
2.2 “ABLEITUNG” DER FEYNMAN-REGELN (1)
Vorgehensweise:
1.Berechnung Elektron-Propagator
(zeitliche Entwicklung Spinor
im Vektorpotential A)
2.Berechnung Photon-Propagator
(Vektorpotential vom Target)
Lösung mit Hilfe Greens-Funktion (GF)
Erinnerung Elektrostatik:


Poisson Gl:  2  ( x )    ( x
)


(
x
')

Lösung:
( x )   d 3 x'
 
4p x  x ' )

 
 
GF:  2 G ( x  x ' )    3 ( x  x ' )

 

 ( x )   d 3 x' G ( x  x ' )  ( x ' )
 
G( x  x ' ) 
1
 
4p x  x '
Wir betrachten ein Elektron im
A 
elektromagnetischen Feld A:
Die Dirac-Gleichung mit Potentialterm:


,  A

i  m  ( x)  eg  A
Diese Gleichung löst man mithilfe einer GreensFunktion K(x-x’) mit dem Ansatz:
i  m K ( x  x)   4 ( x  x)
Falls man K(x-x’) gefunden hat, dann gilt:
 ( x)  e  d 4 x  K ( x  x ) A ( x ) ( x )
Problem: Dies ist eine Integralgleichung für 
 Lösung iterativ durch Entwicklung
nach Potenzen von e.
Aufgaben:
– Finden von K(x-x’)
– Iterative Lösung obiger Gleichung
– Interpretation von K(x-x’)
 GF: Potential Ladung Stärke 1 (Heaviside-Lorentz Einheiten von SI-E mit 00=1)
RK/TSS
SS06: Teilchenphysik II
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2.2 “ABLEITUNG” FEYNMAN-REGELN (2)
Weiter durch Berechnung der FourierTransformierten von K(x-x’):
Es gilt:
Zu einer Lösung einer inhomogenen Gleichung
kann man immer eine Lösung  (freies Teilchen)
der homogenen Gleichung hinzuaddieren
K ( x  x' )  2p 
4
Einsetzen in …
 ( x)   ( x)  e  d 4 xK ( x  x) A ( x) ( x)
Jetzt Störungsrechnung – zweiter Term rechts
wird als kleine Störung behandelt!
0te Näherung:  ( 0) ( x)   ( x)
… ergibt:
~
K ( p)
4 ~
d
 pK ( p) exp  ip x  x
i  mK ( x  x)   4 ( x  x)
~
 p  mK ( p)  I 4
Mit kleiner Rechnung (Übung) zeigt man:
1te Näherung:
 (1) ( x)   ( x)  e  d 4 xK ( x  x) A ( x) ( 0 ) ( x)
pm
~
K ( p)  2
p  m2
für p2 –m20
Das ist aber der Propagator des Elektrons!
K beschreibt nur virtuelle Teilchen, da p2-m20
 ( x) ( x)
  ( x)  e d xK ( x  x) A
gelten muss!
te
2 Näherung:
Einsetzen des Ergebnisses in die FourierTransformation ergibt (länglich):
 ( 2) ( x)   ( x)  e d 4 x K ( x  x ) A ( x ) (1) ( x )
 
0
  
3
3
ip( x  x ) iE ( t t  ) g E  g  p  m
K ( x  x)  i (2p )  d pe
t  t
  ( x)  e d 4 x K ( x  x ) A ( x ) ( x ) 
2E
 
0
  
3
3
ip( x  x )  iE ( t t  )  g E  g  p  m
2
4
4
t  t
e d x K ( x  x ) A ( x ) d x K ( x   x ) A ( x ) ( x ) K ( x  x)  i(2p )  d pe
2E




RK/TSS
4


SS06: Teilchenphysik II
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2.2 “ABLEITUNG” DER FEYNMAN-REGELN (3)
Anmerkung:
Bei Berechnung komplexes Integral:

( p  m)  e  i p0 ( t t ')

dp0 ( p0  E )  ( p0  E ) mit E   p 2  m 2  0
Auf analoge Weise kann man sich aus der
inhomogenen Wellengleichung des
Viererpotentials eines geladenen (+e) Teilchens
mit dem Strom J …


Pole bei p0=±E  verschiedene Integrationswege
- für t>t‘ (p0=+E … Ausbreitung in Zukunft)
- t<t‘ (p0=-E … Ausbreitung in Vergangenheit)
… mit der Lorentz-Bedingung   A  0
… einer Greens-Funktion
A ( x)  eJ

D  ( x  x)  g  4 ( x  x)

… mit Lösung: A  ( x)  e d 4 x D  ( x  x ) J ( x )
… den Propagator des Photons verschaffen:
 g 
~ 
D (q)  2
q  i
„verhindert“ durch Verschiebung Pol um i
~
K ( p) 
RK/TSS
p  m
p2  m2  i 
Warum heißt K(x-x’) Propagator?
K(x-x’) bewirkt die zeitliche Entwicklung eines
freien Dirac-Spinors von x nach x’ (Beweis lang!):
 ( x)  i  d 3 x K ( x  x ) g 0 ( x ), für t > t‘
 ( x)  i  d 3 x  ( x )g 0 K ( x  x )
SS06: Teilchenphysik II
= 0 t < t‘
für t < t‘
= 0 t > t‘
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2.3 MATRIXELEMENT DER e–-STREUUNG
Nun Beschreibung von Teilchenreaktionen
(Streuprozessen). Kollimierter e–-Strahl, der an
Potential A gestreut wird:

pi
Streuwelle
Streuung
t  t
t  t1
Potential
Einlaufende
ebene Welle
Die “Wahrscheinlichkeit” für den Übergang f (das
“Matrixelement”) ist dann gegeben durch (QM!):
S fi   f  streu   f S i   d 3 x2 f ( x2 ) streu ( x2 )
  d 3 x2 f ( x2 ) Si ( x2 )
Einsetzen des Ausdrucks erster Ordnung …

pf
 ( x )i ( x )
S (fi1)  e  d 4 x  d 3 x 2 f ( x 2 ) K ( x 2  x ) A
t  t2
 ( x )i ( x )
 ie  d 4 x  f ( x ) A

da (siehe vorher):  f ( x)  i d 3 x2 f ( x2 ) K ( x2  x)
K(x2-x’) extrapoliert am Detektor gemessene
Wellenfunktion f(x2) ins Target bei x’ zurück
Detektor, d
Von der Streuwelle streu wird nur Anteil mit pf
gemessen  Entwickle streu nach ebenen Wellen
und projiziere f(pf) heraus:
 streu  S  i  1  T  i , S  Streumatri x
streu wird entwickelt: z.B.
(1)
 ( x)i ( x)
 streu
( x2 )  i ( x2 )  e  d 4 xK ( x2  x) A
RK/TSS
SS06: Teilchenphysik II
18.4.2006 - 10
2.4 ABLEITUNG DER FEYNMAN-REGELN (4)
Ausführliche Rechnung:
 ( x)i ( x)
S fi  ie  d 4 x f ( x) A
Potential A des „Targetteilchens“ (p)? Rückgriff
auf Berechnung des g-Propagators (nicht explizit
gezeigt)
A ( x)  eJ   e f( p)g  i( p)
mit
 i ( x)  u ( p 2 ) e ip x ,  f ( x)  u ( p 4 ) e ip x
2
4
 eJ (p ) ( x)  eu ( p 4 )g  u ( p 2 )e i ( p4  p2 ) x
und mit
A  ( x)  e  d 4 x D  ( x  x ) J ( x )
 g  iqx
 e  d q ( p 4  p 2  q) 2
e u ( p 4 )g  u ( p 2 )
q  i
4
4
folgt nach einiger Rechnung:
S (fi1)  ie 2  d 4 q  (2p ) 4  4 ( p 4  p 2  q)  4 ( p3  p1  q)  J ( e )
  ie 2 4 ( p3  p 4  p1  p 2 )  J ( e )
1
J (p )
2
q  i
1
J (p )
2
q  i
Damit sind die Feynman-Regeln gezeigt!
RK/TSS
SS06: Teilchenphysik II
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2.5 FERMIS GOLDENE REGEL UND
WIRKUNGSQUERSCHNITTE
Problem: Wirkungsquerschnitt divergiert!
2
  S fi   ( E f  Ei )
2
Ursache: Annahme von ebenen Wellen und nicht
von Wellenpaketen
Wellenpakete mathem. kompliziert – gleiches
Ergebnis ebene Welle ∫ über endliche Zeiten
 ( x )i ( x )
S fi  ie  d 4 x  f ( x ) A
i  u i e
 
 i ( Ei t  p i x )
, f  uf e
 M   dt e
S fi

 dt e
i wt
 
i ( E f t  p f x )
2
i wt
 dt e 
T / 2
S fi
2
sin( wT 2)
(w 2)
 sin( wT 2) 

 f (w )  
(
w
2
)


Energieunschärfe:
RK/TSS
 ( E f ) Energiezus tandsdicht e
2
 M  ( E f )  2pT
2

S fi 
2
dW  S fi  ( E f )dE f ,
W   S fi  ( E f )dE f  M  ( E f )  f (w )dw
i ( E f  Ei ) t
 2p  (w ) !!!(w  E f  Ei )
T /2
Übergangswahrscheinlichkeit der Reaktion:
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit:
w  2p M  ( E f ) Fermi‘s Goldene Regel
2
2
E f i  T  2p 
Der Wirkungsquerschnitt wird definiert als:
2p M  ( E f )
w


j ein
j ein
2

WW / s
2

m


2
 Teilchen /( m s )

mit der Stromdichte der einlaufenden Teilchen jein.
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