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TEILCHENPHYSIK FÜR
FORTGESCHRITTENE
Vorlesung am 18. April 2006
Robert Klanner
Universität Hamburg, IExpPh
Sommersemester 2006
ÜBERBLICK
1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen
2. Feynman-Regeln und –Diagramme
2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED
2.2 Ableitung der Regeln (1)
2.3 Das Matrix-Element der e–-Streuung
2.4 Ableitung der Regeln (2)
2.5 Fermi’s Goldene Regel und Wirkungsquerschnitte
2.6 Kinematik der 22-Streuung (Mandelstam-Variablen)
2.7 Wirkungsquerschnitt der 22-Streuung a+bc+d
2.8 Berechnung des Matrix-Elements
2.9 Crossing und wichtige QED-Prozesse
2.10 PETRA und das JADE-Experiment
2.11 Helizität und Chiralität
2.12 d-Funktionen
TSS
SS06: Teilchenphysik II
2
2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED
Feynman entwickelte eine bildhafte Sprache zur
Beschreibung von Teilchenreaktionen (hier nur
QED, also Photonen, Leptonen):
– Vertizes: Umwandlung von Teilchen,
Teilchenzahländerung:
?
?
?
– äußere Linien: (Anti)Fermionen, Photonen
– innere Linien (Propagatoren): z.B. in
– innere Photonen mit Impuls q:
(“Propagator”)
– innere Spin-1/2-Teilchen, Impuls
p, Masse m
i
g 
q2
pm
i 2
p  m2
– Vertex mit Ladung Qe:
 iQe  
(+-Funktion zur Energieerhaltung)
d4p
 2 4
– Schleifen: Integration
über mögliche Impulse:
q-p


Zuordnung: p  p  ( E, p), s  1 2
u ( p, s )
– einlaufende Fermionen:
u ( p, s )
– auslaufende Fermionen:
– einlaufende Antifermionen:
v ( p, s )
– auslaufende Antifermionen:
v ( p, s )
– Photon-Absorption/Emission:


(Polarisationsvektor ,
    0 ,    0,  ,  
Coulomb-Eichung 0=0)
TSS
q
p
q
Ableitung des Matrixelements / des Wirkungsquerschnitts des Prozesses durch (geschicktes)
Multiplizieren der Beiträge.
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3
2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED
e–
Zeit
u ( p3 )
u ( p4 )
ie  4 ( p3  p1  q)
–
ie   4 ( p4  p2  q)
i
e– u( p1 )
g 
q2
u( p2 )
–

 g 
e2 (e) 
2 (e) g
( )
ie u ( p3 )  u( p1 ) 2 u ( p4 )  u( p2 )  ie j
j  i 2 j j(  )
2
q
q
q
2
Aus diesem Grunde spricht man von der Strom-Strom-Wechselwirkung
(es fehlt noch eine -Funktion für die globale Energie-Impuls-Erhaltung)!
Die Feynman-Diagramme stellen Glieder einer
Stöungsreihe in der Kopplung e dar:
Dabei treten reelle (Abstrahlung von Teilchen im Anfangs- oder Endzustand) und virtuelle
(Schleifen-)Korrekturen auf.
TSS
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4
2.2 “ABLEITUNG” DER REGELN


Wir betrachten ein Elektron im
A  , A
elektromagnetischen Feld A:
Die Dirac-Gleichung erhält einen Potentialterm:

i  m ( x)  e  A ( x)
Diese Gleichung löst man mithilfe einer GreensFunktion K(x-x’) mit dem Ansatz (E-Dynamik!):
i  mK ( x  x)   4 ( x  x)
 ( x)  e  d 4 xK ( x  x) A ( x) ( x)
Jetzt Störungsrechnung – zweiter Term rechts
wird als kleine Störung behandelt!
 ( 0 ) ( x)   ( x)
1.Näherung:
Problem: Dies ist eine Integralgleichung für 
 Lösung muss iterativ erfolgen durch
Entwicklung nach Potenzen von e.
TSS
 ( x)   ( x)  e  d 4 xK ( x  x) A ( x) ( x)
0. Näherung:
Falls man K(x-x’) gefunden hat, dann gilt:
Aufgaben:
– Finden von K(x-x’)
– Iterative Lösung obiger Gleichung
– Interpretation von K(x-x’)
Generell:
Zu einer Lösung einer inhomogenen Gleichung
kann man immer eine Lösung  der homogenen
Gleichung hinzuaddieren!
 (1) ( x)   ( x)  e  d 4 xK ( x  x) A ( x) ( 0 ) ( x)
 ( x) ( x)
  ( x)  e  d 4 xK ( x  x) A
2.Näherung:
 ( 2) ( x)   ( x)  e  d 4 xK ( x  x) A ( x) (1) ( x)
  ( x)  e  d 4 xK ( x  x) A ( x) ( x) 

 e 2  d 4 xK ( x  x) A ( x)  d 4 xK ( x  x) A ( x) ( x)
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
5
2.2 “ABLEITUNG” DER REGELN (1)
~
K ( p)
Weiter durch Berechnung der FourierTransformierten von K(x-x’):
K ( x  x' )  2 
4
i  mK ( x  x)  
Einsetzen in …
… ergibt:
4 ~
d
 pK ( p) exp  ip x  x
4
( x  x)
~
 p  mK ( p)  I 4
Auf analoge Weise kann man sich aus der
inhomogenen Wellengleichung des
Viererpotentials eines geladenen Teilchens mit
dem Strom J …


A ( x)  qJ
… und einer Greens-Funktion …
D  ( x  x)  g  4 ( x  x)
… den Propagator des Photons verschaffen:
Mit kleiner Rechnung (Übung) zeigt man:
 g 
~ 
D (q)  2
q
pm
~
K ( p)  2
p  m2
Das ist aber der Propagator des Elektrons! K
beschreibt nur virtuelle Teilchen, da p2-m20 sein
muss!
Einsetzen des Ergebnisses in die FourierTransformation ergibt (länglich):
K ( x  x)  i (2 )
3
d
3
pe
  
ip( x  x ) iE ( t t  )
  
K ( x  x)  i (2 ) 3  d 3 peip( x  x) iE (t t )
TSS
 
 0E    p  m
2E
 
0
 E   p  m
2E
Warum heisst K(x-x’) Propagator?
K(x-x’) bewirkt die zeitliche Veränderung eines
freien Dirac-Spinors von x nach x’ (der Beweis ist
ziemlich lang):
 ( x)  i  d 3 xK ( x  x) 0 ( x)
t  t
t  t
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2.3 MATRIXELEMENT DER e–-STREUUNG
Nun Beschreibung von Teilchenreaktionen
(Streuprozessen). Kollimierter e–-Strahl, der an
Potential A gestreut wird:

pi
Streuwelle
Streuung
t  t
t  t1
Potential
Einlaufende
ebene Welle
Die “Wahrscheinlichkeit” für den Übergang f (das
“Matrixelement”) ist dann gegeben durch (QM!):
S fi   f  streu   f S i   d 3 x2 f ( x2 ) streu ( x2 )
  d 3 x2 f ( x2 ) Si ( x2 )
Einsetzen des Ausdrucks erster Ordnung …

pf
 ( x)i ( x)
S fi  e  d 4 x d 3 x2 f ( x2 ) K ( x2  x) A
t  t2
 ( x)i ( x)
 ie  d 4 x f ( x) A
… denn (siehe vorher):
Detektor, d
Von der Streuwelle streu wird nur Anteil mit pf
gemessen  Entwickle streu nach ebenen Wellen
und projiziere f(pf) heraus:
 streu  S  i  1  T  i , S  Streumatri x
streu wird entwickelt: z.B.
 f ( x)  i  d 3 x2 f ( x2 ) K ( x2  x)
K(x2-x’) extrapoliert die am Detektor gemessene
Funktion f(x2) in das Target bei x’ zurück.
Dieses Wissen benutzen wir jetzt, um den Ansatz
für die Beschreibung des Matrixelements auf der
Folie vorher zu rechtfertigen.
(1)
 ( x)i ( x)
 streu
( x2 )  i ( x2 )  e  d 4 xK ( x2  x) A
TSS
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2.4 ABLEITUNG DER REGELN (2)
Hier die ausführliche Rechnung:
 ( x)i ( x)
S fi  ie  d 4 x f ( x) A
Was aber ist z.B. in epep das Potential A?
Rückgriff auf Berechnung des -Propagators (nicht
explizit gezeigt)
A ( x)  eJ   e f( p)  i( p)
mit
 i ( x)  u ( p2 )e ip x ,  f ( x)  u ( p4 )e ip x
2
4
 eJ (p ) ( x)  eu ( p4 )  u ( p2 )e i ( p4  p2 ) x
und mit
A ( x)  e  d 4 xD  ( x  x) J ( x)
 g  iqx
 e  d q ( p4  p2  q) 2 e u ( p4 )  u ( p2 )
q
4
4
folgt nach einiger Rechnung:
S (fi1)  ie 2 (2 ) 4  4 ( p3  p4  p1  p2 )
1 (e) 
J  J ( p)
2
q
Damit ist also die axiomatische Einführung der
Feynman-Regeln gerechtfertigt!
TSS
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2.5 FERMIS GOLDENE REGEL UND
WIRKUNGSQUERSCHNITTE
Problem: Wirkungsquerschnitt divergiert!
2
  S fi   ( E f  Ei )
Dann hat WQS großes Maximum bei Ef=Ei – aber
Unschärfe erlaubt kleine Abweichungen!
2
Ursache ist die Annahme von ebenen Wellen und
nicht von Wellenpaketen. Wie kann man dieses
Problem lösen?
 ( x)i ( x)
S fi  ie  d 4 x f ( x) A
S fi 
it
dte


T
S fi
TSS
2
sin( T 2)
,
( 2)
 sin( T 2) 

 f ( )  
 ( 2) 
2
2
 M  ( E f )  2T
2
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit:

w  2 M  ( E f )
  E f  Ei
2
 ( E f ) Energiezus tandsdicht e
2
Problem tritt auf, weil Zeit-Integration über
unendliches Intervall!
Also: Integriere nur von (–T/2) bis (+T/2)!
2
2
dW  S fi  ( E f )dE f ,
W   S fi  ( E f )dE f  M  ( E f )  f ( )d
 M   dt exp i ( E f  Ei )t 
T
Man definiert die Übergangswahrscheinlichkeit der
Reaktion:
2

Der Wirkungsquerschnitt wird definiert als:
w 2 M  ( E f )


jein
jein
mit der Stromdichte der einlaufenden Teilchen jein.
Die Einheit des WQS  ist m2, die von jein s-1m-2.
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