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TEILCHENPHYSIK FÜR
FORTGESCHRITTENE
Vorlesung am 7. April 2006
Thomas Schörner-Sadenius
Universität Hamburg, IExpPh
Sommersemester 2006
ÜBERBLICK
1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen
 1.1 Schrödinger-Gleichung
 1.2 Klein-Gordon-Gleichung
 1.3 Hinführung zur Dirac-Gleichung
 1.4 Niederenergiegrenzfall der Dirac-Gleichungen
 1.5 Die Pauli-Gleichung, das magnetische Moment des
Elektrons
 1.6 Kovariante Schreibweise, Notation
 1.7 Vollständige Lösung der Dirac-Gleichung
 1.8 Spin des Elektrons
 1.9 Viererstromdichte
 1.10 Die Lösungen negativer Energie - Antiteilchen
TSS
SS06: Teilchenphysik II
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1.4 GRENZFALL NIEDRIGER ENERGIEN
Wir betrachten zuerst ein freies, ruhendes
Elektron:
Dann vereinfacht sich die Dirac-Gleichung:
mit der Frequenz 0.
Anwendung des Energie-Operators auf die vier
Lösungen ergibt:
Ausgeschrieben bedeutet das:
Was ist die Interpretation der Lösungen mit
negativer Energie ?
Dafür gibt es 4 unabhängige Lösungen:
TSS
SS06: Teilchenphysik II
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1.4 GRENZFALL NIEDRIGER ENERGIEN
Jetzt gehen wir von kleinen kinetischen Energien
aus:
Wir benutzen die Taylor-Entwicklung der QuadratWurzel …
Einsetzen in die Dirac-Gleichung
Einzelne Betrachtung der oberen und unteren
Komponente; zuerst die untere:
… und entwickeln die Energie-Wurzel; der
kinetische Term wird als kleine Störung der
Ruheenergie betrachtet:
Nach einiger Rechnung und unter Verwendung
Die Zeitabhängigkeit ist daher in etwa die des
ruhenden Elektrons exp(-i0t); wir wählen
folgenden Ansatz für die Wellenfunktion :
von    0 und p2/2m<<mc2 kann man
zeigen, dass
     
Daher wird  die kleine,  die große Komponente
genannt.
Die große Komponente erfüllt die SchrödingerGleichung (später oder Übung) – die SGL ist der
nicht-relativistische Grenzfall der Dirac-Gleichung.
TSS
SS06: Teilchenphysik II
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1.5 DIE PAULI-GLEICHUNG
Geladenes Teilchen im Potential A,: Ersetzen des



Impuls …
p  p  qA
… und Berücksichtigen der potentiellen Energie:
 



 
i  c  p  qA  mc 2   q 
Übergang zu Operatoren …
Die potentielle Energie eines magnetischen
Moments im B-Feld lautet:
E pot
Der Term proportional zum B-Feld stellt diese
potentielle Energie dar; das magnetische Moment
des Elektrons lautet also …


 

P  p  qA  i  qA

 2 e  

1


i  
 i  eA 
  B  e 
2m
 2m

Diese Gleichung beinhaltet sowohl den Spin als
auch das magnetische Moment des Elektrons und
seine Wechselwirkung mit dem B-Feld.
TSS
… wobei gilt:
B 

  P   P   q
2m
Das wiederum führt zur Pauli-Gleichung:

e 
B 

  2
S
2m


… führt zu folgender Gleichung für die “große”
Komponente:
1    
i 
 
   B
 
e
und S  .
2m
2
Der Faktor 2 in der Definition des magn. Moments
des Elektrons ist der Lande-Faktor g, dessen Wert
im Experiment zu etwa 2 bestimmt wurde, der
aber bis zu Dirac unerklärlich war!
Die Abweichung g-2 kann in der QED berechnet
werden; die Messung dieser Größe stellt einen der
genauesten Tests der QED dar!
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1.6 KOVARIANTE SCHREIBWEISE
Definiere den kontravarianten Vierervektor:
Beispiel:
Die Viererableitungen:
Beispiel: Viererimpuls p, Raumzeit x:
Metrischer Tensor:
Einsteinsche Summenkonvention und kovarianter
Vierervektor:
Vierervektor-Produkte sind lorentz-invariant:
TSS
Zur weiteren Komplikation setzt man:
Man drückt also Geschwindigkeiten in Einheiten
von c und Wirkungen in Einheiten des Plankschen
Quantums aus!
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1.7 DIRAC KOVARIANT
Wir wollen nun die Kovarianz der Dirac-Gleichung
auch in der Schreibweise herausstellen. Dazu
definieren wir die -Matrizen:
Der Vierervektor der -Matrizen …
… und die kovariante Ableitung …
Damit schreibt man die Dirac-Gleichung um:
… erlauben folgende Schreibweise:
Mit dem “dagger”-Symbol …
… folgt:
Die -Matrizen erfüllen die Vertauschungsrelation:
TSS
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1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL.
Nun die generelle Lösung der Dirac-Gleichung.
Wir betrachten folgenden oszillatorischen Term:
Nebenrechnung:
Für die Energie-Eigenwerte folgt (E>0):
Damit folgt das Gleichungssystem:
Oberes Vorzeichen:
positive Energie;
unteres Vorzeichen:
negative Energie.
Wahl des Ansatzes
und Einsetzen:
Für positive Energien folgt
aus der 2. Gleichung:
Es zeigt sich, dass  frei wählbar ist; wähle und
verifiziere durch Einsetzen in obere Gleichung:
TSS
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1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL.
Das führt auf zwei Lösungen positiver Energie. Mit

  
pz
 px  ip y
folgt:
Normierung N der Dirac-Spinoren? Konvention:
px  ip y  1


 pz  E  m
 1 


 0 
 p 
u1 ( p)  N  z ,
( E  m)
 p  ip 
 x y 
 Em 
 0 


 1 
p  ip
u2 ( p)  N  x y 
Em
 p 
z


 ( E  m) 
Die vollständigen Lösungen der Dirac-Gleichung
lauten also:
Jetzt negative Energien (unteres Vorzeichen). Aus
der ersten Gleichung folgt
und jedes  erfüllt Gleichungen.
 px  ip y 


E

m



p

z 
v1 ( p)  N 
,
( E  m) 
 0 


 1 


TSS
 pz 


(
E

m
)


p

ip


v2 ( p )  N  x y 
 E 1 m 


 0 


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1.8 DER SPIN DES ELEKTRONS
Spezialfall 1: Impuls in +z-Richtung:
Kleine Komplikation: In der Zukunft werden v1,2
Antiteilchen beschreiben – daher dreht sich noch
das Vorzeichen um; v1 hat also Spin +½, v2 Spin
-½.


p  (0,0, pz ), pz | p | p
Explizite Form der Spinoren:
 1 


 0 
u1  E  m  p
,
 E  m
 0 


0


 p


E  m ,
v1  E  m 

0




1


0




1


u2  E  m 
,
0
 p



E  m

p

 E  m


v2  E  m  0 
 1 
 0 


Spezialfall 2: Impuls in -z-Richtung:


p  (0,0, pz ), pz   | p |  p
Die Form des Spinors ändert sich …
Anwendung des Spin-Operators S3 auf u1 etc.:
1 0 0 0 
 1 




1  0 1 0 0 
 0  1
S3u1  
E  m p
  2 u1
2 0 0 1 0


 E  m
 0 0 0  1
 0 




Analog: S3u2=-½u2, S3v1=-½v21, S3v2=½v2
 Dirac-Gleichung liefert korrekten Spin ½!
TSS
1 



0 

u1  E  m   p

E

m



0 

… aber der Spin bleibt der gleiche:
1 0

1  0 1
S3u1  
2 0 0

0 0

1






0


 1
 E  m  p
  2 u1
E  m





0  1
0


0
0
1
0
0
0
 Spin ist bezogen auf die Quantitiserungsachse!
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1.9 DIE VIERERSTROMDICHTE
Wir schreiben zuerst die Stromdichte um:



 

j  c     0 0    
Dabei wurde die Definition des adjungierten
Spinors verwendet:

   0
Zusammen mit der Dichte
       0 0    0
kann man dann eine Viererstromdichte definieren:

j  (  , j )    

Die Kontinuitätsgleichung wird dann zu
(nachrechnen!):
 
  j  0 (     j  0)

TSS
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1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE
Idee Dirac (1928, NP 1933):
Alle Zustände negativer Energie sind besetzt (PauliPrinzip)  bei voller Besetzung sind sie egal.
- Ist eines der Niveaus unbesetzt, dann kann ein
Elektron mit E>0 dahin wechseln und ein Photon mit
E>2me aussenden;
- Alternativ kann ein Photon mit E>2me ein Elektron
von negativer auf positive Energie heben.
Man interpretiert Lösungen negativer Energie als
Teilchen, die rückwärts in der Zeit laufen
beziehungsweise als Antiteilchen, die vorwärts in
der Zeit laufen :
 ~ e
Gemäß dieser Löcher- und See-Theorie sollten
sich Löcher wie positiv geladene Teilchen
verhalten  Begriff der Antiteilchen.
Anwendung auf Festkörper (Halbleiter!) sehr
erfolgreich; Probleme in der Teilchenphysik – das
Pauli-Prinzip gilt nicht für Bosonen!
Daher alternative Idee von Feynman (E>0!):
Für positive/negative Energien galt ja:
TSS
 ipx
e

 iEt  ipx
e
 
i (  E ) t  i (  p ) x
e
 
 iE (  t )  ip (  x )


ENTWEDER hat das Teilchen negative Energie
und Impuls
ODER es hat positive Energie und Impuls und
läuft rückwärts in der Zeit.
Was aber bedeutet:
Ein Teilchen läuft rückwärts in der Zeit?
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1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE
”Ein Schritt”:
Mehrere Schritte:
t
t
1
1
1
e–
2
1
e–
e+
e+
2
2
2
3
3
x
Das Elektron (die negative Ladung) wandert
von 1 nach 2  effektiv wandert eine
positive Ladung (das Positron) von 2 nach 1.
x
Das Elektron wandert rückwärts in der Zeit –
der Schritt 23 kommt also VOR dem
Schritt 12
 Das Positron wandert 321, also
vorwärts in der Zeit
Antiteilchen tragen die negativen additiven Quantenzahlen der Teilchen!
TSS
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