Die Dirac Gleichung

Kapitel 6
Die Dirac Gleichung
6.1 Herleitung der Dirac-Gleichung
Eine ziemlich lange Zeit dachte man, dass die Klein-Gordon-Gleichung die einzig mögliche relativistische Erweiterung der Schrödinger-Gleichung sei.
Dirac (1927): Dirac bemerkte, dass die zweite zeitliche Ableitung der
Klein-Gordon-Gleichung für die Probleme (z.B. negative Wahrscheinlichtkeitsdichte) verantwortlich ist.
Eine mögliche Alternative ist eine Gleichung zu verwenden, die auch
1. Ordnung in der Zeitableitung ist (wie die Schrödinger-Gleichung),
d.h.
Ansatz:
i
∂ψ
= H Diracψ
∂t
wobei ψ die Wellenfunktion eines einzigen Teilchens darstellt.
Teilchenphysik
85
Die Dirac Gleichung
Die Kovarianz erzwingt eine Symmetrie der Gleichung zwischen
Raum und Zeit. Der Dirac-Hamilton-Operator muss deshalb auch
linear bezüglich den räumlichen Ableitungen sein:
r r
r r
Dirac − Postulat: H Dirac ≡ −iα ⋅ ∇ + βm = α ⋅ p + βm
wobei
r
α = (α1,α 2 ,α 3 )
und
β
noch bestimmt werden müssen.
Im Fall eines freien Teilchens muss gelten
E 2 = p2 + m 2
deshalb
r r
r r
H 2 Diracψ = −iα ⋅ ∇ + βm −iα ⋅ ∇ + βm ψ
(
)(
)



=  −i ∑ α i∂ i + βm  −i ∑ α j ∂ j + βmψ
 i
 j

wobei
∂i ≡
86
∂
∂x i
i = 1, 2, 3
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Herleitung der Dirac-Gleichung
Es folgt,
H 2 Diracψ =


=  − ∑ α iα j ∂ i∂ j − im ∑ (α iβ + βα i )∂ i + β 2 m 2 ψ
 i, j

i


=  − ∑ α i2∂ i∂ i − ∑ α iα j + α jα i ∂ i∂ j − im ∑ (α iβ + βα i )∂ i + β 2 m 2 ψ
 i

i< j
i
(
)
Andererseits muss gelten


r
H 2 Diracψ = ( p 2 + m 2 )ψ =  − ∑ ∂ i∂ i + m 2 ψ
 i

Daraus folgt, dass
α i2 = 1
α iα j + α jα i = 0 (i ≠ j )

α iβ + βα i = 0
β2 = 1
Komplexe Zahlen können diese Bedingungen nicht befriedigen! Dirac schlug vor, dass α und β Matrizen sind.
Wir können die Bedingungen schreiben als
α i2 = β 2 = 1 und
{α ,α } = 2δ
i
j
i
j
{α i,β} = 0
wobei {A,B} der Antikommutation AB+BA entspricht.
Was sollen diese Matrizen sein?
Teilchenphysik
87
Die Dirac Gleichung
1.
Der Hamilton-Operator muss reelle Eigenwerte besitzen. Es folgt
daraus, dass die α und β Matrizen hermitisch sein müssen:
α i+ = α i
2.
und
β+ = β
d.h., die adjungierte Matrix ist gleich der ursprünglichen Matrix.
Die Eigenwerte sind gleich +1 oder –1, weil
α i2 = β 2 = 1
3.
Es gilt,
α iβ + βα i = 0
⇒ α iββ = −βα iβ
⇒ α i = −βα iβ
Wir betrachten die Spur der Matrizen:
Tr(α i ) = Tr(−βα iβ ) = Tr(−ββα i ) = Tr(−α i )
weil Tr(AB)=Tr(BA). Dann muss die Spur verschwinden
Tr(α i ) = 0
In einer ähnlichen Weise,
Tr(β ) = 0
D.h. die Matrizen sind spurlos.
Dirac bewies, dass die einfachste Darstellung (d.h. die Darstellung der niedrigsten Dimension) dieser Matrizen eine 4x4
Darstellung ist.
Es gibt verschiedene bekannte Darstellungen.
88
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Herleitung der Dirac-Gleichung
Pauli-Dirac Darstellung:
 0 σ i
αi = 

σ i 0 
1
1 0  0
β=
 =
 0 −1  0

0
0 0 0
1 0 0

0 −1 0 

0 0 −1
wobei
σ i = 2 × 2 Pauli − Matrizen
(Siehe Kap. 4.2.2).
Wir bemerken, dass in der Pauli-Dirac-Darstellung die β-Matrix diagonal ist.
Chirale (oder Weyl-) Darstellung:
 −σ i 0 
αi = 

 0 σ i
 0 1
β=

 1 0
Wir bemerken, dass in der Weyl-Darstellung die α-Matrizen diagonal
sind.
Bemerkung: Welche Darstellung man benutzen wird, hängt von der
Eigenschaft der Dirac-Gleichung ab, an der wir interessiert sind. Insbesondere ist die Diagonalität der α oder β-Matrizen wichtig. Natürlich hängen die physikalischen Ergebnisse nicht von der gewählten
Darstellung ab. In Wirklichkeit werden wir eine bestimmte Darstellung nur verwenden, wenn wir eine bestimmte Lösung der Gleichung
zeigen wollen.
Teilchenphysik
89
Die Dirac Gleichung
6.2 Dirac-Spinoren
Wir betrachten die Dirac-Gleichung:
i
r r
∂ψ
= −iα ⋅ ∇ + βm ψ
∂t
(
)
oder
r r
 ∂

 i + iα ⋅ ∇ − βmψ = 0
 ∂t

Dirac − Gleichung
Die Wellenfunktion ist ein Kolonnen-Vektor mit 4 Elementen:
ψ1 
ψ 
2
ψ = 
ψ 3 
 
ψ 4 
Bi − Spinor
oder Dirac − Spinor
Jede ψi ist eine komplexe Funktion.
Wir werden bald die physikalische Bedeutung der 4 Komponenten
des Spinors diskutieren.
Bemerkung: Der Dirac-Spinor besitzt 4-Komponenten. Er ist aber
kein 4-Vektor! Seine Transformations-Eigenschaften sind nicht
gleich der eines 4-Vektors, d.h.
( x )′ = Λ
µ
90
µ
ν
xν
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Kovariante Form der Dirac-Gleichung
6.3 Kovariante Form der DiracGleichung
Wir wollen zuerst die Dirac-Gleichung in kovarianter Form ausdrücken. Wir multiplizieren die Gleichung mit β:
 ∂

r r
m
 iβ ∂t + iβα ⋅ ∇ − ββ
{ ψ = 0

=1
Wir definieren die Dirac-γ-Matrizen:
γ0 ≡β
und
γ k ≡ βα k
( k = 1, 2, 3)
Wenn wir
γ µ ≡ (β, βα k )
schreiben, dann kann die Dirac-Gleichung ausgedrückt werden als
 0∂

+ iγ k ∂ k − mψ = 0
 iγ


∂t
oder
(iγ
µ
∂µ − m ψ = 0
)
Dirac - Gleichung (Kovariante Form)
(γ
µ
pµ − m ψ = 0
)
Dirac - Gleichung (Kovariante Form)
oder
wobei wir den Energie-Impuls-Operator ersetzt haben.
Teilchenphysik
91
Die Dirac Gleichung
Die Dirac-Gleichung stellt vier gekoppelte Differentialgleichungen
dar, die die vier Komponenten des Spinors ψ in Beziehung setzen.
D.h.,
 0


 0




 1 0 
=
∂
+
∂
−
 i
 t i
 k m
 ψ  
0
1






 0
 123
123
123

 
0
k
=1

 =γ
=γ
 0
oder
4

∑ ∑ i(γ )
k =1

µ
µ

∂ − mδ jk ψ k = 0 ( j = 1, 2, 3, 4 )

jk µ
Antikommutationsregel: Wir werden die γ-Matrizen oft benutzen.
Die explizite Form der γ-Matrizen ist nicht wichtig. Wir werden wenn
möglich die Algebra der Matrizen benutzen!
Es gilt z.B. für die γ-Matrizen
γ µγ ν + γ νγ µ = {γ µ ,γ ν } = 2g µν
Es folgt daraus,
(γ ) = (γ
µ 2
γ µ ) = g µµ
µ
d.h.,
(γ )
0 2
= 1 und
(γ )
k 2
= −1 ( k = 1, 2, 3)
Der Dagger-Operator: In den vorherigen Kapiteln haben wir die
Komplex-Konjugierte oft benutzt. Nun werden wir die hermitisch
92
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Die adjungierte Gleichung und die Dichte
adjungierte Matrix (durch den “Dagger-Operator”) einführen. Sie
ist definiert als die Transponierung und Komplex-Konjugation.
Z.B.
(γ ) = (βα )
k +
k +
= α kβ
= −βα k
r
(α , β hermitisch)
( Antikommutation)
= −γ k
oder
(γ ) = (β )
0 +
+
=β
(β hermitisch)
=γ0
6.4 Die adjungierte Gleichung und die
Dichte
Wie im Fall der Schrödinger- und der Klein-Gordon-Gleichung wollen wir einen Stromdichte-4-Vektor definieren:
(iγ
µ
∂ψ
∂ψ


+ iγ k k − mψ  = 0
∂ µ − m ψ = 0 ⇒  iγ 0


∂x
∂t
)
k = 1, 2, 3
Mit Hilfe des Dagger-Operators finden wir die adjungierte Gleichung:


+
+
+
+
∂
∂
ψ
ψ
0
k
+
 −i
γ ) − mψ  = 0
(γ ) − i ∂x k ({


∂t {
= (γ 0 )
=−(γ k )


Teilchenphysik
93
Die Dirac Gleichung
oder
 ∂ψ + 0

∂ψ + k
+
i k γ − mψ +  = 0
γ
 −i
∂x
∂t


Die Gleichung sieht ähnlich wie die Dirac-Gleichung aus, das Vorzeichen zwischen den zeitlichen und räumlichen Ableitungen ausgenommen. Wir multiplizieren die Gleichung von rechts mit γ0:
 ∂ψ +

∂ψ + k 0
γ 0γ 0 + i k γ{
γ − mψ +γ 0  = 0
 −i


∂x
∂t


−γ 0γ k
oder
  ∂ψ + 0  0  ∂ψ + 0  0

+ 0
 −i ∂t γ  γ − i ∂x k γ  γ − mψ γ  = 0


Wir führen den adjungierten Spinor (eine Spalte) ein:
ψ ≡ ψ +γ 0 = (. . . .)
und erhalten die adjungierte Dirac-Gleichung
(i∂ ψγ
µ
µ
)
+ mψ = 0 Adjungierte Dirac − Gleichung
Wir betrachten nun die Kontinuitätsgleichung
∂µ j µ = 0
94
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Die adjungierte Gleichung und die Dichte
und mit Hilfe der Dirac-Gleichung
(
)
 iγ µ ∂ µψ − mψ = 0


µ
 i ∂ µψ γ + mψ = 0
(( )
)
Wir multiplizieren die erste Gleichung mit dem adjungierten Spinor
und die zweite Gleichung mit dem Spinor und summieren die beiden
Terme:
(iψγ
µ
) (( )
∂ ψ + i(∂ ψ )γ ψ = 0
)
∂ µψ − mψψ + i ∂ µψ γ µψ + mψψ = 0
⇒ iψγ µ
µ
µ
µ
⇒ ∂ µ (ψγ µψ ) = 0
Wir definieren deshalb den Dichtestrom-4-Vektor der Dirac-Gleichung als
j µ ≡ ψγ µψ
Dichtestrom − 4 − Vektor
Seine zeitliche Komponente entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte:
 .
4
4
 .
2
0 0
ρ = j 0 = ψγ 0ψ = ψ + γ{
γ ψ = ψ +ψ = (. . . .)  = ∑ψ i*ψ i = ∑ ψ i
 . i =1
i =1
=1

 .
und es folgt daraus,
ρ ≥ 0 !!!
Teilchenphysik
95
Die Dirac Gleichung
d.h., die Dirac-Gleichung löst das Problem der negativen Wahrscheinlichkeitsdichte, das wir bei der Klein-Gordon angetroffen
haben.
6.5 Lösungen der Dirac-Gleichung
Die Dirac-Gleichung löst das Problem der negativen Wahrscheinlichkeitsdichte. Jedoch bleiben die Lösungen mit negativen Energien:
E = ± p2 + m 2
⇒ E>0
oder
E<0
Wir betrachten den Spinor eines freien Teilchens:
r
− ip ⋅ x
ψ ( x µ ) ≡ u{
( p)
e{
µ
unabhängig
von x µ
x − Abhängigkeit
wobei u(p) ein 4-Komponenten Spinor ist.
Wir setzen den Spinor in die Dirac-Gleichung ein:
r
iγ µ ∂ µψ − mψ = 0 ⇒ iγ µ ∂ µ ( u( p)e − ip ⋅x ) − mψ = 0
(
( ( )
)
)
(
⇒ iγ µ −ipµ ψ − mψ = 0
(
)
⇒ γ µ pµ − m ψ = 0
Wir führen die “Slash”-Notation ein:
r r
a/ ≡ γ µ aµ = γ 0 a0 − γ ⋅ a
96
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
)
L sungen der Dirac-Gleichung
und erhalten die sogenannte “Impuls-Darstellung” der Dirac-Gleichung:
( p/ − m)ψ = 0
6.5.1 Lösung der Dirac-Gleichung
Wir versuchen zuerst die Gleichung für einen verschwindenden
Impuls (d.h., das Teilchen befindet sich in Ruhe) zu lösen:
r
r
r
r
− ip µ x µ
= u( p = 0)e − iEt
p = 0 ⇒ ψ ( p = 0) = u( p = 0)e
Die Lösung ist unabhängig von den Raumkoordinaten:
(iγ
µ
)
∂ µψ − mψ = 0 ⇒ (iγ 0∂ 0ψ − mψ ) = 0
weil ∂ kψ = 0 für k = 1, 2, 3
Wir benutzen die Pauli-Dirac-Darstellung
(iγ
0
1 0 
∂ 0ψ − mψ ) = 0 wobei γ 0 = 

 0 −1
oder
 1 0  ψ A 
ψ A 
i
 ∂ 0   = m 
 0 −1 ψ B 
ψ B 
wobei wir den Spinor in zwei Komponenten geteilt haben:
ψ A 
ψ ≡ 
ψ B 
Teilchenphysik
97
Die Dirac Gleichung
Hier ist jede der zwei Komponenten ψA und ψA des Spinors ψ ein 2Komponenten-Vektor.Wir erhalten zwei unabhängige Gleichungen:
i∂ 0ψ A = mψ A
und i∂ 0ψ B = − mψ B
mit den Lösungen:
ψ A ( t) = ψ A (0)e − imt

ψ B ( t) = ψ B (0)e + imt
Freier Spinor
Wir erkennen die gewöhnliche Zeitabhängigkeit für stationäre
Zustände, die wir aus der Quantenmechanik schon kennen:
e − iEt
Wir interpretieren dieses Ergebnis als:
ψ A ( t) ⇒ E = + m, das Teilchen ruht

ψ B ( t) ⇒ E = − m
d.h., ψB stellt ein Zustand mit negativer Energie dar.
Wir suchen die Komponenten des Spinors:
( p/ − m)ψ = 0
⇒


 0 0
 r − iEt
k k
γ p − ∑ γ p − m u( p)e = 0
k


12
4
4
3


=0
Mit der Pauli-Dirac-Darstellung erhalten wir
E

0
98
0 r
r
 u( p) = mu( p)
− E
r  uA 
wobei u( p) =  
 uB 
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
L sungen der Dirac-Gleichung
oder
E

0
0   uA 
 uA 
   = m 
− E   uB 
 uB 
Hier sind die Komponenten uA und uB 2-Komponenten Kolonnenvektoren. Diese Gleichung liefert zwei unabhängige Beziehungen:
E
EuA = 
0
0
m 0
 uA = muA = 
u
E
 0 m A
− E
und 
 0
0
m 0
 uB = 
u
− E
 0 m B
Zwei unabhängige Eigenvektoren der ersten Gleichung sind die folgenden:
1 
uA =  
 0
oder
 0
uA =  
1 
mit
E = +m
 0
uB =  
1 
mit
E = −m
und in einer ähnlicher Weise
1 
uB =  
 0
Teilchenphysik
oder
99
Die Dirac Gleichung
Zusammenfassend hat die Dirac-Gleichung vier unabhängige
Lösungen:

1 

 
ψ (1) ( pr = 0) =  0 e − imt

 0

 
 0


 0

 0

r
ψ ( 3 ) ( p = 0) =   e + imt
1 

 

 0

 0
1 
r
ψ ( 2 ) ( p = 0) =   e − imt
 0
 
 0
mit E ≥ 0
 0
 0
r
ψ ( 4 ) ( p = 0) =   e + imt
 0
 
1 
mit E ≤ 0
Nun können wir die Lösungen für einen nicht-verschwindenden
Impuls suchen:
r r
γ µ pµ − m ψ = 0 ⇒ γ µ pµ = γ 0 p 0 − γ ⋅ p
(
)
Mit Hilfe der Pauli-Dirac-Darstellung erhalten wir
r r
r r
σ ⋅ p  E −σ ⋅ p
E 0   0
µ
γ pµ = 
 − r r
 =r r

0  σ ⋅ p − E 
 0 − E   −σ ⋅ p
wobei jeder der vier Terme der Matrix eine 2x2 Matrix ist.
Wir suchen deshalb eine Lösung der folgenden Art:
r r
r  E − m −σ ⋅ p  r
µ
γ pµ − m u( p) =  r r
 u( p) = 0
 σ ⋅ p − E − m
(
100
)
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
L sungen der Dirac-Gleichung
wobei
r  uA 
u( p) ≡  
 uB 
Es folgt,
r r
 E − m −σ ⋅ p   uA 
 r r
  = 0
 σ ⋅ p − E − m  uB 
oder
r r
r r
(σ ⋅ p) uB = ( E − m) uA
( E − m) uA − (σ ⋅ p) uB = 0
⇒  r r
 r r
(σ ⋅ p) uA = ( E + m) uB
(σ ⋅ p) uA − ( E + m) uB = 0
Wir erhalten zwei gekoppelte Gleichungen:
r r

 σ⋅p 
r r 2
uA =  E − m  uB


σ ⋅ p)
(

⇒ uA = 
r r

 uA
 ( E − m)( E + m) 
u =  σ ⋅ p  u
 B  E + m  A
Mit Hilfe der Darstellung der Pauli-Matrizen kann man leicht beweisen, dass gilt
r r
r
(σ ⋅ p) 2 = p 2 (2 x 2 Matrix )
und es folgt,
r


p2
uA =  2
u
2  A
 ( E − m )
Teilchenphysik
r
⇒ ( E 2 − m 2 ) uA = p 2 uA
101
Die Dirac Gleichung
Dieses Ergebnis wird erwartet, weil für eine Lösung der Dirac-Gleichung gelten muss
r
E 2 = p2 + m 2
Wir suchen nun die allgemeinen Lösungen. Wir bemerken, dass gilt
 1 0   pz
r r
 0 −i
 0 1
σ ⋅ p = px 
 =
 + pz 
 + py 
 0 −1  px + ipy
i 0
 1 0
px − ipy 
− pz 
Wir versuchen:
r r


1 
1  pz
 σ ⋅ p  1 
uA =   ⇒ uB = 
  =
 E + m   0 E + m  px + ipy 
 0


r r
 0
1  px − ipy 
 σ ⋅ p   0

u
u
=
⇒
=
=






B

 A 1 
 E + m  1  E + m  − pz


und
r r


1 
1  pz
 σ ⋅ p  1 
uB =   ⇒ uA = 
  =

 E − m   0 E − m  px + ipy 
 0


r r
 0
1  px − ipy 
 σ ⋅ p   0

u
u
=
⇒
=
=






B
A


 E − m  1  E − m  − pz
1 


Wegen der inversen E+m Abhängigkeit der ersten zwei Lösungen,
entsprechen diese Lösungen der positiven Energie. Die zwei letzten
stellen die Lösungen negativer Energie dar.
102
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
L sungen der Dirac-Gleichung
Schliesslich haben wir die folgenden vier unabhängigen Lösungen
gefunden:

 1 

 0 



 (1)
p


z
u = N 
E+m 




 px + ipy 

 E+m 

 pz 


 E−m 



u( 3 ) = N  px + ipy 

 E−m 

 1 




 0 
 0 
 1 


−
p
ip
( 2)


x
y
u =N
 E+m 


 − pz 
 E+m 
 px − ipy 
 E−m 


− pz 
(4 )

u =N
 E−m 
 0 


 1 
mit E ≥ 0
mit E ≤ 0
wobei N der Normierung entspricht.
6.5.2 Der adjungierte Spinor
Wir definieren den adjungierten Spinoren
u ≡ u +γ 0
wobei
 u1 
u 
2
u= 
 u3 
 
 u4 
Teilchenphysik
⇒
u + = ( u1* , u2* , u3* , u4* )
103
Die Dirac Gleichung
Zum Vergleich
(
)
ψ ≡ ψ +γ 0 wobei i∂ µψγ µ + mψ = 0
Es gilt,
(γ
µ
)
pµ − m u = 0 ⇒ γ µ pµ u = mu
⇒ u + (γ µ ) pµ = mu + ⇒ u + (γ µ ) γ 0 pµ = mu +γ 0
+
+
Weil
(γ )
µ +
(γ 0 ) + γ 0 = γ 0γ 0

⇒
γ =
k + 0
k 0
0 k
(γ ) γ = −γ γ = γ γ
0
(γ )
µ +
= γ 0γ µγ 0
es gilt
+ 0 µ 0 0
+ 0
u{
γ γ γ{
γ pµ = mu{
γ
u
=1
u
oder
u ( p/ − m) = 0 adjungierte Gleichung
6.5.3 Normierung
Es ist praktisch die Spinoren zu normieren. Wir benutzen die Normierung, bei der gilt
u+ u = 2 E
104
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
L sungen der Dirac-Gleichung
Dieses Produkt ist gleich
u + u = u1 + u2 + u3 + u4 = ∑ ui
2
2
2
2
2
i
Man kann beweisen, dass in diesem Fall gilt
N=
E + m Normierung der Dirac − Spinoren
6.5.4 Orthogonalität
Wir können leicht verifizieren, dass die Lösungen zueinander orthogonal sind:
+
u( r) u( s) = 0
wenn r ≠ s
Mit der Normierung
N=
E +m
erhalten wir
+
u( r) u( r) = 2 E
Zusammenfassend kann die Orthogonalitätsbeziehung ausgedrückt
werden als
+
u( r) u( s) = 2 E δ r,s
Teilchenphysik
r, s = 1, 2, 3, 4
105
Die Dirac Gleichung
6.6 Die Helizität eines Dirac-Teilchens
Wir bemerken, dass die Lösungen der Dirac-Gleichung für jede Energie zweifach entwartet sind. Wir beweisen, dass die Interpretation
dieses Freiheitsgrads einem Spin-1/2 entspricht.
Wir beginnen mit dem Drehimpuls (Siehe Kap. 4.2.1)
r r r
r r
L ≡ x × p = −ix × ∇
Wir bemerken, dass der Drehimpuls nicht mit dem Dirac-HamiltonOperator kommutiert:
r
r r r r
L, H Dirac = [ x × p, (α ⋅ p + βm)]
r r r r
= [ x × p,α ⋅ p]
r r r
r
= ([ x,α ⋅ p]) × p
r r r
r r
r
= (α ⋅ [ x, p]) × p = iα × p
[
]
d.h., der Drehimpuls des Systems nicht erhalten ist!
Wir definieren einen Operator Σ als Erweiterung der Pauli-Spin-Operatoren für Spin-1/2:
r
r
r σ 0 
Σ − Operator: Σ ≡ 
r
 0 σ
wobei σ die 2x2 Pauli-Matrizen sind.
Man kann leicht beweisen, dass gilt
r
r r
Σ,H Dirac = −2i(α × p)
[
106
]
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Die Helizit t eines Dirac-Teilchens
Es folgt daraus, dass der Operator J
r r 1r
J ≡L+ Σ
2
eine erhaltene Grösse ist:
r
r 1 r

J , H Dirac = L + Σ, H Dirac  = 0
2


[
]
Wir schliessen daraus, dass die Dirac-Gleichung ein Teilchen mit einem Spin-1/2 beschreibt.
Wir definieren den Helizitätsoperator:
Helizität:
r r
σ⋅p
r r  r
Σ⋅ p  p
h≡ r =
p
 0



r r
σ ⋅ p
r
p 
0
Dieser Operator entspricht der Projektion des Spins auf den Impuls
des Teilchens. Es gilt,
r r
r r r r
Σ ⋅ p, H Dirac = Σ ⋅ p, (α ⋅ p + βm)
r r r r
r r
= Σ ⋅ p,α ⋅ p = 0 weil Σ,α = 0
[
] [
[
]
]
[ ]
Die Helizität ist deshalb eine gute Quantenzahl.
Die Eigenwerte des Helizitätsoperators sind, wie im Fall der Pauli-σ
Matrizen, +1 oder –1:
Helizitätseigenwerte: h = ±1
Teilchenphysik
107
Die Dirac Gleichung
Wenn h=1, ist der Spin zum Impuls parallel. Wenn h=–1, ist der Spin
zum Impuls antiparallel. Man spricht von positiver und negativer
Helizität.
Siehe Abb. 1.
positive Helizität
p
negative Helizität
p
Figur 1.
Die positive und negative Helizität eines Teilchens.
Bemerkung: Wir können a priori versuchen, die Spinoren mit Spineigenzuständen zu identifizieren. Zum Beispeil:
?
}
u ↔ Teilchen mit Spin −" up" ↑
(1)
?
}
u ↔ Teilchen mit Spin −" down" ↓
( 2)
Das ist unmöglich, weil gilt
[
r
Σ,H Dirac ≠ 0
]
und deshalb können die Lösungen u(i) keine Eigenzustände des Spins
sein.
108
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Die Helizit t eines Dirac-Teilchens
In den Übungen wird gezeigt, wie man Eigenzustände der Helizität
konstruieren kann. Diese Eigenzustände sind verschieden von den
Spinoren u(1),..., u(4), die wir hier eingeführt haben.
In der Praxis werden wir oft mit den Spinoren u(1),..., u(4) arbeiten,
obwohl ihre Spin-Interpretation nicht ganz direkt ist. Was uns interessiert, ist dass die Spinoren u(1),..., u(4) eine vollständige Lösung darstellen.
Im Fall, dass der Impuls in die z-Richtung zeigt, kann man die Spinoren mit Spineigenzuständen identifizieren. Es gilt,
r
p = (0, 0, p)
⇒
 1 
 1 
 0 
 0 




p
(1)

z
= N p 
u = N
 E+m 
 E + m


+
p
ip


y
 x
 0 
 E+m 
Wir betrachten die dritte Kompente des Σ-Operators:
σ 3
Σ 3 u(1) = 
0


1


 −1
0  (1)

u = N
σ 3
1


 E

−1 


1 
0 

(1)
p  = u !!
+ m

0 
In ähnlicher Weise können wir für die anderen Spinoren beweisen,
dass die Spinoren u(1),..., u(4) Eigenzustände des Spins sind:
r
p = (0, 0, p)
Teilchenphysik
⇒
(1) ( 3 )
Spin −" up" ↑
 u , u
 ( 2) ( 4 )
Spin −" down" ↓
u , u
109
Die Dirac Gleichung
110
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia