Entscheidungstheorien - Christian-Albrechts

Entscheidungstheorien
Christian Kaernbach
Gliederung
•
•
•
•
•
•
•
•
Der Einfluß von Kosten und Nutzen auf die Entscheidung
Darstellung von Entscheidungsdaten als Tabelle / als Graphik
Die Eigenschaften der ”Receiver Operating Characteristics”
klassisches Modell: Gaußsches Modell mit gleicher Varianz
 Asymmetrie der Daten
Rettungsversuche für das Gaußsche Modell 
Schwellenmodelle
Poissonmodell 
Modellvergleich
Anwendung: Sprache in Rauschen bei Leichtgläubigen
Statistische Entscheidungstheorie
Statistical Decision Theory, SDT
• Beispiel: Entscheidungsverhalten an der
Wahrnehmungsschwelle,
Signalentdeckungstheorie,
Signal Detection Theory, SDT
– sensorische Komponente (Urteilsbasis)
– strategische Komponente (Kosten/Nutzen)
– zwei Reizkonstellationen
• Rauschen (kein Signal), Signal plus Rauschen
– zwei Antwortmöglichkeiten
• Ja (Signal war vorhanden), Nein (kein Signal)
Tabellarische Datendarstellung
Signal + Rauschen
Rauschen
Ja
Nein
Treffer
Auslasser
73
27
100
falscher
korrekte
Alarm Zurückweisung
11
89
100
Motivation
• Nach Golde drängt, am Golde hängt
doch alles (Goethe, Faust)
• Laborexperimente: Manipulation mittels
Kosten/Nutzen-Matrix (payoff matrix)
Ja
Nein
S+R
+1 €
-1 €
R
-1 €
+1 €
Graphische Datendarstellung
Trefferwahrscheinlichkeit (pT)
als Funktion der Falschalarmwahrscheinlichkeit (pFA).
1
pT
Wo ist der Datenpunkt,
wenn die Versuchsperson
 alles richtig macht?
 alles falsch macht?
 immer mit „Ja“ antwortet?
 immer „Nein“ antwortet?
 per Münzwurf entscheidet?
 im „Normalfall“?
A
FA
KZ
0.5
T
0
0
0.5
pFA
1
 Wohin wandert der Datenpunkt,
wenn Auslasser stärker
bestraft werden?
Receiver Operating Characteristics
ROC
1
Daten:
Empiriepraktikum
Universität Leipzig
WS 96/97
pT
0.5
0
0
0.5
pFA
1
Drehsymmetrie des ROC
(anti-kooperatives Verhalten)
1
pT
A
FA
KZ
0,5
T
0
0
0,5
pFA
1
Drehsymmetrie des ROC
(anti-kooperatives Verhalten)
1
pT
A
A
FA
KZ
0,5
T
FA
KZ
T
0
0
0,5
pFA
1
Der ROC ist konvex
AROC  BROC  ABROC
1
pT
0.5
0
0
0.5
pFA
1
Geraden gleichen Payoffs
• Payoff-Matrix
Ja Nein
S+R +10 –40
R
–5 +10
1
pT
0,5
0
0
0,5
• mittlerer Payoff:
Pay = 0,5 · (10 · pT – 40 · (1–pT)) +
0,5 · (–5 · pFA + 10 · (1–pFA))
pFA
1
Geraden gleichen Payoffs
• Payoff-Matrix
Ja Nein
S+R +10 –40
R
–5 +10
+10
+5
1
0
pT
5
10
0,5
15
20
0
0
0,5
• mittlerer Payoff:
Pay = 0,5 · (10 · pT – 40 · (1–pT)) +
0,5 · (–5 · pFA + 10 · (1–pFA))
pFA
1
Geraden gleichen Payoffs
• Payoff-Matrix
Ja Nein
S+R mT mA
R
mFA mKZ
• verhaltensbestimmend:
die Steigung
(mKZ – mFA) / (mT – mA)
+10
+5
1
0
pT
5
10
0,5
15
20
0
0
0,5
• mittlerer Payoff:
Pay = 0,5 · (mT · pT + mA · (1–pT)) +
0,5 · (mFA · pFA+ mKZ · (1–pFA))
pFA
1
Ein Würfelspiel
• Signal:
Münzwurf (Kopf: 2, Zahl 0)
• Rauschen: Summe zweier Würfel (2...12)
• Aufgabe: Erraten, ob Kopf gefallen ist,
gegeben ein bestimmtes Gesamtergebnis
1
0,8
R
S+R
p(T)
Wahrscheinlichkeit
0,2
0,1
0,6
0,4
0,2
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Gesamtergebnis
0
0,2 0,4 0,6 0,8
p(FA)
1
ROC aus Wahrscheinlichkeitsdichten
auf der „Entscheidungsachse“
(decision axis, internal response, ...)
Je weiter rechts die innere Antwort
auf der Entscheidungsachse, desto
wahrscheinlicher ist das Signal.
Die Versuchsperson sagt „Ja“, wenn der
Wert auf der Entscheidungsachse ein
bestimmtes Kriterium k überschreitet.
Rückt k ein infinitisemales Stück nach
rechts, dann werden sowohl pFA als auch pT
kleiner.
Das Verhältnis pT / pFA ist die
Steigung des ROC
und läßt sich berechnen als Bruch der
Wahrscheinlichkeitsdichten S+R / R.
-3
R S+R
-2
-1
0
„nein“
1
k
2
R
S+R
3
„ja“
4
5
1
pT
0,5
0
0
0,5
pFA
1
Welche Verteilung?
N(0,1)
Normalverteilung
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1
kumulative Normalverteilung,
KNV
0,5
0,16
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Gaußsches Modell mit gleicher Varianz
d'
-3
-2
-1
0
„nein“
R
S+R
S*+R
1
k
2
3
„ja“
4
1
pT
5
0,5
S+R = N(0,1)
S+R = N(d‘,1)
2 Parameter:
Sensitivität
Kriterium
d‘
k
(Kurve)
(Punkt)
k‘ = KNV1(FA)
d‘ = KNV1(T)  KNV-1(FA)
0
0
0,5
pFA
1
Gaußsches Modell: Symmetrie
d'
-3
-2
-1
0
„nein“
R
S+R
S*+R
1
k
2
3
„ja“
4
1
pT
5
0,5
S+R = N(0,1)
S+R = N(d‘,1)
2 Parameter:
Sensitivität
Kriterium
d‘
k
(Kurve)
(Punkt)
k‘ = KNV1(FA)
d‘ = KNV1(T)  KNV-1(FA)
0
0
0,5
pFA
1
Asymmetrie realer Daten
1
1
pT
0,5
0.5
original
gespiegelt
0
0
0
0.5
1
0
0,5
pFA
1
  ROC nach Gauß (gl. Varianz) zu symmetrisch  
Gaußsches Modell
mit ungleicher Varianz
d'
R
S+R
1
pT
s
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
4
5
0.5
S+R = N(0,1)
S+R = N(d‘,s)
3 Parameter:
Sensitivität
Streuung S+R
Kriterium
d‘ (Kurve)
s (Kurve)
k (Punkt)
0
0
0.5
  ROC nicht konvex  
pFA
1
Hochschwellenmodell
(Blackwell, 1953)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
R
S+R
D
pT
D
0.5
S+R = {1, 0}
S+R = {1, }
2 Parameter:
p(D|S+R) = 
Kriterium
(Kurve)
(Punkt)
0
0
0.5
pFA
  unrealistisch: Falschalarmrate = 0  
1
Niedrigschwellenmodell
(Luce, 1963)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
R
S+R
S'+R
D
1
pT
D
0.5
S+R = {1, }
S+R = {1, }
3 Parameter:
p(D|R) = 
p(D|S+R) = 
Kriterium
(Schar)
(Kurve)
(Punkt)
0
0
0.5
pFA
  perfekte Leistung unmöglich  
1
Hoch/Niedrigschwellenmodell
(Krantz, 1969)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
R
S+R
S'+R
D
D
1
pT
D*
0.5
S+R = {1, , 0}
S+R = {1, , }
4 Parameter:
p(D|R) = 
p(D|S+R) = 
p(D*|S+R) = 
Kriterium
(Schar)
(Kurve)
(Kurve)
(Punkt)
0
0
0.5
  zuviele Parameter  
pFA
1
1
Kontinuierliche und
diskrete Modelle
pT
0,5
0
• Kann man ROCs aus kontinuierlichen
0
Verteilungen (z.B. Gauß) von ROCs aus
Modellen mit wenigen diskreten Zuständen
(Schwellenmodelle: Blackwell, Luce, Krantz)
an der „Eckigkeit“ unterscheiden?
„Nein“
• ROCs aus Rating-Daten sind „rund“:
0,5
pFA
1
„Ja“
– VP gibt Sicherheit für „Ja“ auf kontinuierlicher Skala an (Bleistiftstrich)
– VL setzt post-hoc verschiedene Schwellen für „Ja“
• Krantz argumentiert gegen „runde Rating-ROCs“
– gegeben zwei Zustände, D und D.
– verschmiertes Antwortverhalten aus Skala, Gaußverteilungen für D und D.
– > runder ROC
Das Poissonmodell (Egan, 1975)
0.8
R
S+R
S'+R
0.6
0.4
1
pT
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.5
3 Parameter:
µ(R)
µ(S+R)
Kriterium
(Schar)
(Kurve)
(Punkt)
0
0
  va bene  
0.5
pFA
1
Übergänge
• Poisson µ(R) = 0
• Poisson µ(R) < .2
• Poisson µ(R)  



Hochschwellenmodell
Hoch/Niedrigschwellenmodell
Gaußsches Modell mit gleicher Varianz
Modellvergleich
•
•
•
•
•
•
Gauß
mit gleicher Varianz
mit ungleicher Varianz
Hochschwellen
Niedrigschwellen
Hoch/Niedrigschw.
Poisson
Sparsamkeit
Parameter
Schar Kurve Punkt
Probleme
0
0
0
1
1
1
nur symmetrische Daten
ROC nicht konvex
FA-Rate = 0
erreicht nicht „perfekt“
zu viele Parameter

1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
Kompatibilität
Sprache in Rauschen bei
Leichtgläubigen
• Diplomarbeiten von Gerit Haas und Ulrike Jury, Universität Graz, 2007
• 245 Versuchspersonen füllen Online-Fragebogen aus
– Persönlichkeitsmerkmal “Magical Ideation” (MI) erheben mit 30 Items wie
• Ich vollführe ab und zu kleine Rituale, um ungünstige Ereignisse abzuwenden.
• Es gibt Leute, bei denen ich spüre, wenn sie an mich denken.
• Wenn bestimmte Leute mich ansehen oder mich berühren, habe ich manchmal das
Gefühl, Energie zu gewinnen oder zu verlieren.
• Ich glaube, ich könnte lernen, die Gedanken Anderer zu lesen, wenn ich nur wollte.
• Die Regierungen halten Informationen über UFOs zurück.
• ...
– Extremgruppenvergleich
• 8 Personen mit niedrigem MI-Wert (1,25  1,3)
• 9 Personen mit hohem MI-Wert (22  2,4)
Sprache in Rauschen bei
Leichtgläubigen
•
•
•
•
Semantisches Priming
Regelentdeckung in einem Computerspiel
Erkennen von Objekten in visuellen Rauschbildern
Erkennen von Wörtern in Rauschen
– behaviorale Untersuchung:
• 100 Durchgänge, davon
– 60 mal nur Rauschen
– 20 mal Rauschen plus sehr leises Wort
– 20 mal Rauschen plus leises Wort
• Aufgabe: War da ein Wort?
Vierstufiges Rating
–
–
–
–
sicher ja
eher ja
eher nein
sicher nein
– bildgebendes Verfahren (NIRS) zu Wörtern in Rauschen
Sprache in Rauschen bei
Leichtgläubigen
• Erkennen von Wörtern in Rauschen
– Asymmetrie: Hinweis auf Poissonverteilung
– MI-hoch und MI-niedrig produzieren gleiche
ROC-Kurve
– Position der Punkte auf ROC-Kurve
unterscheidet sich deutlich
– basale Wahrnehmungsprozesse sind identisch
(liefern gleiche Information)
– Kriterien beim Auswerten dieser Information
sind unterschiedlich
Hausaufgaben
• Es werden 200 Versuche gemacht, davon 100 mit S+R, 100 mit R.
Die VP macht 16 falsche Alarme und 50 Treffer.
• Wie groß ist k?
• Wie groß ist d‘?
• Wie viele Treffer und falsche Alarme würde die VP an dem Punkt machen,
der an der Gegendiagonale gespiegelt ist?
• Wie groß ist d‘ für diesen Punkt?
• Wie groß muß k sein, damit die VP diesen Punkt erzeugt?
• Und weil‘s so schön war: Eine andere VP macht bei der gleichen
Lautstärke 16 falsche Alarme und 84 Treffer. Gleiche Fragen wie oben...