Atomphysik- Die Schrödingergleichung im Unterricht

Atomphysik
Die Schrödingergleichung im
Unterricht
In Anlehnung an eine Präsentation meiner
Kollegin Monica Hettrich
1. Ziele und Voraussetzungen
I.
Ziele:


II.
Anwendung
zeitgemäßes Atommodell
Voraussetzungen:





Wesenszüge
Zeit-Energie-Unbestimmtheit
de-Broglie-Materiewellen
Coulomb-Potential
Analysis Klasse 11/12
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2. Schülervorstellungen
I.
Stabilität eines Atoms durch
mechanistische Vorstellungen:


Ausgleich Coulomb-Kraft  Fliehkraft
Elektromag. Abstrahlung 
II. Bohrsches Atommodell aus Chemie
(Planetenmodell)
III. Schalenmodell aus Chemie (auf
Kreisschalen „sitzende“ Elektronen)
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3. Gang nach Dorn-Bader
I.
Lokalisationsenergie


Teilchen im „Quantenkäfig“ (W  1/L²)
Abschätzung der Energiebereiche für
Elektronenhülle bzw. Atomkern
II. Exkurs zu historischen Atommodellen
III. Franck-Hertz-Versuch


Scharfe Energieniveaus
„Quantensprünge“
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3. Gang nach Dorn-Bader
IV. Linearer Potentialtopf:

Motivation: Quantenpferch
5
3. Gang nach Dorn-Bader






Elektron im Kräftefeld (Potentialtopf)
Stationärer Zustand:
UBR liefert „scharfe“ Energiewerte
(t    W  0)
Superposition aller klassisch denkbaren
Möglichkeiten
Randbedingung (-L/2) = (L/2) = 0
Quantenzahl n
Energieeigenwerte Wn  n²
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3. Gang nach Dorn-Bader
V.
Schrödinger-Gleichung:


Keine deduktive Herleitung!
Eher Plausibilitätsbetrachtungen:
1(x) = 0 sin(2x/B) oder cos-Fktion, wobei x Ort.
Ableitungen:
‘‘(x) = - C (x) mit C = (2/B)² = 4²p²/h²
Hinweis: Vergleich mit DGL harmonischer Schw.
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3. Gang nach Dorn-Bader
Mit Wkin = p²/2me folgt
C = (8²m/h²)Wkin = (8²m/h²)[W – Wpot(x)]
d.h.:
‘‘(x) = - C(x,W)  (x)
= - 8²m/h²  [W – Wpot(x)]  (x)
Eindimensionale, zeitunabhängige
Schrödingergleichung
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3. Gang nach Dorn-Bader
‘‘(x) = - C(x,W)  (x)
= - 8²m/h²  [W – Wpot(x)]  (x)
Eindimensionale, zeitunabhängige
Schrödingergleichung
Proportionalitätsfaktor abhängig von
•
•
Ort x
Gesamtenergie W
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3. Gang nach Dorn-Bader
VI. Anwendung: Potentialtopf endl. Höhe
Wpot
4 eV
Gesucht:
x
-L/2
0 eV
+L/2
Mögliche Lösungen der
Schrödingergl.eichung
zu diesem Potential
(gebundene Zustände!)
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3. Gang nach Dorn-Bader
‘‘(x) = - C(x,W)  (x)
(A)Innerhalb des Topfes:
Wpot = 0  W – Wpot > 0
‘‘(x) = - C (x) mit C > 0
• Wenn (x)>0, dann Rechtskrümmung
• Wenn (x)<0, dann Linkskrümmung
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3. Gang nach Dorn-Bader
(B) Außerhalb des Topfes:
Wpot = 4eV  W – Wpot < 0
‘‘(x) = - C (x) mit C < 0
• Wenn (x)>0, dann Linkskrümmung
• Wenn (x)<0, dann Rechtskrümmung
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3. Gang nach Dorn-Bader
 meistens (x)  , d.h. (x)²  +
 Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des
Topfes unendlich groß!
 manche (x)  0, wenn auch ‘(x)  0
 Eigenfunktionen n(x)
 diskrete Eigenwerte Wn
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4. Alternativer U-Gang
I.
Vorbemerkungen zu Atommodell
•
•
II.
Bohr
Alternativen
Mitteilen der z-u. Schroedinger-Gleichung
8 2 me
E  E pot ( x) ( x)
1 ' ' ( x)  
2
h
Eindimensi onale, zeitunabhä ngige Schrödinge rgleichung
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4. Alternativer U-Gang
III. Intuitiver „Krümmungs-“Begriff
‘‘(x) = - C (x)



‘‘(x) „Krümmung“ von  am Ort x
Linkskurve für ‘‘(x) > 0
Rechtskurve für ‘‘(x) < 0
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4. Alternativer U-Gang
IV.
Qualitative Untersuchung einfacher
Potentiale




V.
Argumentation über „Krümmung“ von 
Argumentation über Lage der Wendepunkte
Physikalisch sinnvolle Lösungen führen zu
diskreten Energiewerten
Diskussion immer „schwierigerer“ Potentiale
Numerische Lösungen mit Computer



Modellbildungssystem
Programme mit Schiebereglern
H-Atom
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4. Alternativer U-Gang
I.
Modellbildungssystem für einfache Potent.


II.
Moebius
Dynasis etc.
Simulationssoftware für weitere Potentiale





Alea (Klett-Software)
Bader-Programme (Schroedel-CD)
Schrödingers Schlange (Freeware)
Schrödingers Wippe (Freeware)
Pakma (Schroedel-CD)
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5. Arbeitsauftrag
5 Arbeitsgruppen
Bestimmen Sie mit Hilfe der
Simulationssoftware:



Eigenfunktionen und Energieeigenwerte
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Orbitale
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6. Übungs- / Klausuraufgaben
Aufgabe 1:
Geben Sie in Worten wider, was die
Schroedinger-Gleichung aussagt.
Aufgabe 2:
Welche Bedeutung hat die SchroedingerGleichung für die Atomphysik?
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6. Übungs- / Klausuraufgaben
Aufgabe 3:
Skizziere für den unten abgebildeten Potentialtopf mit unendlich
hohen Wänden qualitativ den Verlauf der Wellenfunktionen 1(x)
und 2(x) für die Energien W1 bzw. W2, die die zugehörige
Schrödingergleichung lösen.
Begründen Sie Ihre Ergebnisse ausführlich!
Zeichnen Sie zudem ein Schaubild von (x)² für die Funktion
1(x). Interpretieren Sie das Schaubild!
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6. Übungs- / Klausuraufgaben
Vpot
x
W2
W1
1
x
2
x
1²
x
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