Copulas und Korrelationsasymmetrien.

Copulas und
Korrelationsasymmetrien
Theorie und empirische Analyse am DAX 30
08. Mai 2008
Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK
Gruppe Methoden
Inhalt

Einführung in die Copulatheorie

Korrelationsmaße und Copulas
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 Lineare Korrelation
 Spearman‘sche Rangkorrelation

Bedingte Korrelationen

Korrelations-Asymmetrietest

Empirische Untersuchungen der Abhängigkeiten im DAX 30

Betrachtung der Abhängigkeitsunterschiede zwischen dem
Bullen- und Bärenmarkt
Empirische DAX 30 Beispiele
Tägliche Log-Renditen vom 02.03.1992-01.03.2002
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Kennzahlen
Allianz AG
BASF AG
Münchner Rück AG
Mittelwerte
.00038
.00062
.00064
Standardabw.
.01854
.01645
.01905
Minimum
-.1568
-.0871
-.1719
Maximum
.1380
.1009
.1653
Schiefe
-.0772
-.0570
.1212
Kurtosis
10.5352
5.3732
10.2293
ˆMLE
3.8360
5.2276
2.9979
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Allianz AG vs. Münchner Rück AG
ˆ BP  0.66
ˆ SP  0.58
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Allianz AG vs. BASF AG
ˆ BP  0.45
ˆ SP  0.47
Sklar‘s Seperationstheorem (1959)
FX(x1,…,xd)=C(F1(x1),…, Fd(xd))
FX(x1,…,xd)
C(u1,…, ud)
F1(x1),…, Fd(xd)
C(u1,…, ud)=FX(F-11(u1),…, F-1d(ud))
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C(u1,…, ud)
G1(x1),…, Gd(xd)
G(x1,…,xd)
Copula
Sie ist eine Abbildung C: [0,1]d → [0,1], mit:
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1.
Für jedes u [0,1]d gilt C(u)=0, falls mindestens eine
Koordinate von u gleich Null ist.
2.
Falls alle Koordinaten, mit Ausnahme von ui , gleich 1
sind, gilt C(u)= ui.
3.
Für alle a=(a1,…,ad) und b=(b1,…,bd) mit ai≤bi,
i=1,…,d, gilt VC([a, b])≥0.
→ D.h. eine d-dimensionale Verteilungsfunktion auf [0,1]d
mit uniformen univariaten Randverteilungen
Copuladichte

Ist die Copula C d-mal partiell differenzierbar, so gilt
 d C u 
cu1 ,..., ud  
u1...ud

Besitzt FX die Dichte fX , so gilt:


d
f X x1 ,, xd   c FX1 x1 ,, FX d xd    f X i xi 
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i 1
→ cu1 , , ud  


f X FX11 u1 ,, FXd1 ud 
 f F u 
d
i 1
Xi
1
Xi
i
Spezielle Copulas

Die Unabhängigkeitscopula
d
FX x1 ,, x d    FX i xi 
i 1
d
C u1 ,, ud    ui
 
xi  dom FXi
ui  [0,1]
i 1
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
Die Fréchet-Hoeffding Schranken
d

max  Fi xi   d  1,0  FX x   min F1 x1 ,, Fd xd 
 i 1

d

d
W u   max  ui  d  1,0  C u   min u1 ,, ud   M d u 
 i 1

Bivariate logistische Verteilung
FX x1 , x 2  
1
1  exp  x1   exp  x 2 
1
Fi xi  
1  exp  xi 

Fi

1
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C u1 , u2   FX F11 u1 , F21 u2  
x1 , x 2  R
 ui
 1  ui
ui   ln 



u1  u2
u1  u2  u1  u2
F1 x1   F2 x2 
FX x1 , x2  
F1 x1   F2 x2   F1 x1   F2 x2 
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Neue bivariate Verteilungsfunktion G
Fi xi ;    1  exp    xi , xi  0,   0, i  3,4.
Gx3 , x4 ;    C F3 x3 ;  , F4 x4 ;   
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F3 x3   F4 x4 

F3 x3   F4 x4   F3 x3   F4 x4 

exp    x3   1  exp    x4   1

exp    x3  x4   1
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ˆ SP  0.4851
ˆ SP  0.4851
ˆ SP  0.4851
ˆ BP  0.5024
ˆ BP  0.2863
Spezielle Copulaklassen
Sei φ:[0,1]→[0,∞), so dass
i
d
 1i  i  1 t   0
dt
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für i=1,…,d und t [0,∞), mit φ(1)=0 und φ(0)=∞ gilt,
dann ist:
d


1
C u       ui 
 i 1

eine Archimedische Copula.
1.
Clayton Copulafamilie
 t;   t

 1 ,  0
 d 

C u;     ui  d  1
 i 1

2.
1

Gumbel Copulafamilie
 t;    ln t 

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
,  1
1


 
 d


C u;   exp     ln ui   
 
  i 1


Elliptische Copulaklasse
1.
CR u   
11 u1 

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2.
CR u    R 11 u1 ,,  d1 ud 
Gauss Copula
tν,R-Copula

11 u d 

 1 T 1 
exp   x R x dx1  dxd
1
d

2  2  R 2  2
1


CR, u   tR, tv1 u1 ,, tv1 ud 
vd 
vd




t11 u1 
t11 u d 
2 
 1 T -1  2

CR, u   

1 x R x 
dx1  dxd
1
d



 

   v  2  R 2 
2
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Allianz AG vs. Münchner Rück. AG
Fˆ1 x1   uˆ1
Fˆ x   uˆ
2
2
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2
Allianz AG vs. Münchner Rück. AG
Korrelationsmaße und Copulas

Vorteile :
 Kompakte Darstellung der Abhängigkeit
 Leichte Interpretierbarkeit
 Einfache weiterführende Modelleinbindung
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
Nachteile :
 Enormer Informationsverlust
 Bezifferung nur einer Art von Abhängigkeit.
Missinterpretationen sind möglich
 Oft nur globale Korrelationsaussagen
 In einigen Fällen nicht definiert
Linearer Korrelationskoeffizient nach
Bravais Pearson ρBP

Anwendbar nur bei metrisch skalierten Daten

Benötigt die Existenz der Varianzen
 BP 
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
cov( X 1 , X 2 )
var( X 1 ) var( X 2 )
|ρBP| misst die Stärke des linearen Zusammenhangs

2
BP


min E X 2  a  X 1  b 
 1
 0,1
Var  X 2 
2

Nicht Randverteilungsfrei
 
cov( X 1 , X 2 ) 
  F x , x   F x  F x dx dx
X
1
2
1
1
2
2
1
2
  
 BP 
1
1 1
1
1






C
u
,
u

u

u
dF
u
dF
  1 2 1 2 1 1 2 u2 
var  X 1  var  X 2  0 0
min
max
[

,

 Zulässiger Wertebereich
BP
BP ] i. A.  [-1,1]
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
Nicht invariant bzgl. monotonen Transformationen
 BP T  X1 , X 2    BP  X1 , X 2 
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Bivariate Farlie Gumbel Morgenstern Familie

Die FGM Verteilung besitzt die Form (|α|<1):

Der lineare Korrelationskoeffizient liegt
FX x1 , x2 ;   F1 x1 F2 x2 1   1  F1 x1 1  F2 x2 
 bei normalen Randverteilungen bei
 BP 
 bei exponentiellen Randverteilungen bei
 BP 
 und bei uniformen Randverteilungen bei
 BP 



4
1
3
Spearman‘sche Rangkorrelation

Definition:
 SP  X1 , X 2   12
 Cu , u du du
1 1
0 0

1
´2
1
2
3
Interpretationen:

1
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 SP  X 1 , X 2   12 E U1U 2     12E U1U 2   E U1 E U 2 
4

CovU1 ,U 2 
CovF1  X 1 , F2  X 2 
 12CovU1 ,U 2  

Var U1  Var U 2 
Var F1  X 1  Var F2  X 2 
  BP F1  X1 , F2  X 2 
Spearman‘sche Korrelation als Distanzmaß
 SP  X 1 , X 2  
1
2 u1u2 dC u1 , u2   4
[ 0 ,1]
1
12
 C u , u du du
1
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
2
1
1
2 u1u2 dC u1 , u2   4
[ 0 ,1]

2
1 1

3 4

[ 0 ,1]2
 min u , u du du
1
[ 0 ,1]2
2
1
 u u du du
1 2
1
2
[ 0 ,1]2
2

 u u du du
1 2
[ 0 ,1]2
1
2
Schlußfolgerungen

Existent und Randverteilungsfrei

Da nur von der Copula bestimmt, robust und
Invariant bzgl. wachsenden monotonen
Transformationen

min
 BP   BP
  SP  1  C  W
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max
 BP   BP
  SP  1  C  M
 BP  0   SP  0  C  

Mit den meisten Parameter der bivariaten Copulas in
Verbindung
Einige Schätzfunktionen

(1)
SP
( 2)
 SP
1
 12 2
n

i
j
1


Cˆ n  ,   

 n n  4
i 1 j 1
n
n
1
1 n
 12  uˆ1,i uˆ2,i  
4
 n i 1
 uˆ
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n
3 
 SP

i 1
 uˆ
n
i 1
1,i
1,i

 uˆ1 uˆ2,i  uˆ2
 uˆ1
  uˆ
2
n
i 1
2 ,i

 uˆ2

2
Asymptotischer Copula-Prozess


w
n Cˆ n u   Cu  

GC u 
d
 
GC u   BC u    Di C u BC u i 
i 1
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E BC u BC v   C min u , v   C u C v 

GC ist ein zentrierter Gauss-Prozess

BC ist eine d-dimensionale Brown‘sche Brücke
Asymptotische Normalität der Schätzfunktion




d
2 
n SP
 SP 

Z ~ N 0,  2 C 
 2 C   12 
 EG u G vd ud v
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0,12 0,12
C
C

9-fache vierdimensionale Integralauswertung
notwendig

Aber: Die Bootstrap-Schätzfunktion

 2 B
n SP
 SP

konvergiert gegen die selbe Zufallsvariable Z !
Bedingte Korrelationen
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AU
AL
Allianz AG vs. BASF AG

Die gemeinsame Verteilung von (X,Y) sei mit F und
ihre Randverteilungen mit G und H notiert

Der untere Eckbereich sei:


AL  x, y  : x  G 1  p , y  H 1  p 

Die bedingte gemeinsame Verteilungen ist
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FL x, y  : PX  x, Y  y  X , Y  AL 
  
  

C G min x, G 1  p  , H min x, H 1  p 

C  p, p 

Die bedingten Randverteilungen sind:
GL x   PX  x  X , Y  AL 
H L x   PY  y  X , Y  AL 

Sklar‘s Seperationstheorem bzgl. bedingter
Verteilungen
FL x, y   CL GL x , H L  y 


CL u, v   FL GL1 u , H L1 v 
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
Definition der bedingten Korrelation nach Spearman:
 L  p   Corr GL  X , H L Y  X , Y   AL 
 C u, v dudv  3
1 1
 12 
0 0
L

Es gilt:


X , Y X  VaR  X , Y  VaR Y 
 L  p    SP X , Y X  G 1  p , Y  H 1  p 
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  SP
p
p

Die bedingte Korrelation ρL nach Spearman ist die
globale Korrelation ρSP der bedingten Zufallsvariablen.

Es gelten somit alle Aussagen bezüglich des globalen
Rangkorrelationskoeffizienten und seiner Schätzfunktionen
Nichtparametrische Schätzfunktion
n
1
Gˆ n x   1
n i 1  X  x 
 i

n
1
Hˆ n  x   1
n i 1 Y  y 
 i



Aˆ L : x, y  : x  Gˆ n1  p , y  Hˆ n1  p 
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nL : Aˆ L , nU : AˆU
ˆ L ,n
rL ,n  X i  rL ,n Yi 
12

3

nL iI Aˆ nL
nL
L
Asymptotische Normalität der Schätzfunktion
d
nL ˆ L ,n   L  

N 0,  L2 
d
2
ˆ
nU U ,n  U  
 N 0,  U 
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Korrelations-Asymmetrietest
H 0 :  L  U
H 0 :  L  U
H 0 :  L  U
H1 :  L  U
H1 :  L  U
H1 :  L  U
Algorithmus:
1.
Berechne ̂ L,n und ̂U , n aus den Beobachtungen in
ÂL und ÂU
2.
Erzeuge jeweils NB Bootstrap-Stichproben aus ÂLund
ÂU und errechne die zugehörigen Schätzer der
asymptotischen Varianzen für  L2 und  U2 , in Notation
ˆ L2 und ˆ U2 , der bedingten Korrelationskoeffizienten
nach Spearman
3.
Überprüfe die jeweilige Nullhypothese
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 Verwerfe H 0 :  L  U falls
ˆ L ,n  ˆU ,n
ˆ L2
nL

ˆU2
nU


  1 1  
2


Verwerfe H 0 :  L  U falls
ˆ L ,n  ˆU ,n
ˆ L2
nL

ˆU2
  1 1   
nU
und

verwerfe H 0 :  L  U falls
ˆ L ,n  ˆU ,n
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ˆ L2
nL

ˆU2
  1  
nU
gilt, mit α>0 als die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster
Art und Φ als Standardnormalverteilung.
q  0.10
nL  79
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ˆU  0.2602.1125
p  0.10
nL  98
ˆ L  0.5294.0882 
Allianz AG vs. BASF AG
ˆ SP  0.47
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Variable Schwellenwerte (p=q)
Allianz AG vs. BASF AG
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Variable Schwellenwerte (p=q)
Allianz AG vs. Münchner Rück. AG
Teststatistiken (p=q)
Allianz AG vs. BASF AG
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Allianz AG vs. Münch. Re. AG
Gesamt DAX 30 Untersuchung
p=q
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
̂ L
̂U
.3609
.3009
.3149
.3387
.3479
.2685
.2409
.2400
.2571
.2749
ˆ L  ˆU
.1528
.0891
.0829
.0840
.0754
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α
H0: ρL ≤ ρU vs. H1: ρL > ρU
0.10
55
61
94
136
148
0.05
35
32
67
89
107
0.01
11
4
30
42
50
170
173
196
218
217
ˆ L  ˆU
H0: ρL ≥ ρU vs. H1: ρL < ρU
α\p
0.20
0.30
0.40
0.50
0.10
9
7
3
0
0
0.05
2
2
0
0
0
0.01
1
0
0
0
0
61
58
35
13
14
ˆ L  ˆU
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0.10
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Zeitliche Betrachtung
Bullen- vs. Bärenumfeld
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Literaturhinweise

Dobrić, Frahm, Schmid (2008), „Dependence of Stock Returns
in Bull and Bear Markets“, to appear in Computational Statistics
& Data Analysis.

Nelsen (2006), „An Introduction to Copulas“, Springer.

Embrechts, McNeil und Strautmann (2002), „Correlation and
dependence in risk management: properties and pitfalls“,
Cambrige University Press.

Juri, Wüthrich (2002), „Copula convergence theorems for tail
events“, Insurance: Mathematics and Economics.

McNeil, Frey, Embrechts (2005), „Quantitative Risk
Management“, Princeton University Press.
© WGZ BANK 2008
Danke für Ihre Aufmerksamkeit !
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Backup
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Monte Carlo – Power Simulationsstudie
Gauss
Clayton
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Theoretische- vs. Kerndichte Vergleich