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1. Eine kurze Einführung in mathematische und statistische Hilfsmittel.
Motivation:
Wiederholung einiger einfacher mathematischer Konzepte, die immer wieder
benötigt werden.
Kurze Einführung in die empirische Wirtschaftsforschung.
Wenn Sie sie einmal verstanden haben, haben Sie später „den Kopf frei“ für
die ökonomischen Inhalte.
Übung an Hand konkreter Beispiele aus dem späteren Lehrstoff.
SS 2002
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Inhalt
•Bestands- und Stromgrößen
•Indizes
•Wachstumsraten
•Näherungsformeln
•Geometrische Reihen
•Funktionen und ihre Graphen
•Gleichungen, Gleichungssysteme, Gleichgewichte
•Empirische Wirtschaftsforschung
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1.1 Bestands- und Stromgrößen
•Bestandsgrößen:
•Beziehen sich auf einen Zeitpunkt
•Z. B. Gewicht, Zahl der Studierenden, Bilanzposten, Preisniveau,
Arbeitslosenquote,...
•Stromgrößen:
•Beziehen sich auf einen Zeitraum
•Z. B. Gewichtszunahme, Erträge in der Buchhaltung, BIP,
gesamtwirtschaftlicher Konsum
Zusammenhang zwischen Bestands- und Stromgrößen.
Ersparnis = Stromgröße = Veränderung der Bestandsgröße „Vermögen“
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1.2 Indizes
•„Normierung“ von unhandlichen Größen.
•Drücken eine Größe in Prozent ihres Werts in der „Basisperiode“ aus.
IX t  
Xt
* 100
X0
•Index hat den Wert 100 in der Basisperiode.
•Beispiele:
•Index der Geldmenge
•Verbraucherpreisindizes (z. B. VPI 1995)
•Index des Bruttoinlandsprodukts
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1.3 Wachstumsraten
Wachstumsrate einer Variable X in Periode t:
gX 
Xt  Xt 1 Xt
X

 t 1
Xt 1
Xt 1 Xt 1
Beispiel: Wachstumsrate der Geldmenge (M1) im Euroraum im Jahr 2000
Bestand per
M1 (in Mrd. €, gerundet)
Index von M1
(Basis: 31. Dez. 1998)
31. Dez. 1999
1.959
109,6
31. Dez. 2000
2.076
116,2
2.076
116,2
1
 1  0,060  6,0%
1.959
109,6
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Bitte nicht verwechseln:
„Prozent“ und „Prozentpunkte“!
  1 a  b
Näherungsformeln 1 a1 b  1 a  b  ab
0
Beispiel:
Nominelles
Wirtschaftswachstum
=
Reales
Wirtschaftswachstum
+
Inflationsrate
$y
=
y
+
π
1 $y   1 y 1 π 
$y  y  π  y
π

0
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1.5 Geometrische Reihen
1 an1
1 a  a  ...  a 
1 a
2
1 an1
1
lim

für a  1
n 1 a
1 a
n
Beispiel: „Multiplikatorprozeß“
ΔY  ΔA  c1ΔA  c12 ΔA  ... c1n ΔA  ... 
 ΔA(1 c1  c12  ... c1n  ...)
1
 ΔA
1 c1
ΔY ... Veränderun g des Gleichgewicht seinkommens
ΔA ... Veränderun g der " aut onomen" Ausgaben
c1 ... " marginaleKonsumquot e"
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1.6 Funktionen
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
y  fx
y „abhängige Variable“, „Funktionswert“, „endogene Variable“
x „unabh. Variable“, „erklärende Variable“, „Argumentwert“, „exogene Variable“
y  f x 
y  f x 
()
Positiver Zusammenhang
()
Negativer Zusammenhang
dy
0
dx
dy
0
dx
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Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
y  f x1, x2 ,...,xn 
y  f(x1, x2 )
  - 
y
y
 0,
 0 partielle Einflüsse, „ceteris paribus“ ...
x1
x2
Beispiel: „Phillips-Kurve“
Allgemeine Form:
Eine einfache spezielle Form:
πt  f (πte ,u)
πt  πte  u
() ()
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Wie wirkt die Veränderung einer unabhängigen Variablen xi auf y?
Δy  f x1,...,xi  Δxi ,...,xn   f x1,...,xi ,...,xn 
Oder:
y
Δy  Δx i
x i
Beispiel: Veränderung des Gleichgewichtseinkommens, wenn die
Staatsausgaben um 100 erhöht werden ...
Y
1
c0  I  G, mit c1  0,6, c0  100, I  200, G  200.
1 c1
c 0 ...autonomer Konsum, c1...marginale Konsumquote,
Y...Gleichgew ichtseinko mmen, I...Investitionen,
G...Staatsausgaben
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Lösungsweg 1:
Ausgangssituation: Einsetzen ergibt: Y = 1.250.
Nach der Veränderung der Staatsausgaben: Y = 1.500.  ∆Y = 250.
Lösungsweg 2:
Y
1

 2,5.
G 1 c1
ΔY  2,5ΔG  2,5 * 100  250.
„Totales Differential“:
dy  dx1
y
y
y
 dx 2
 ...  dx n
x1
x2
x n
Beispiel: „Erlösfunktion“
R  pq
R...Erlöse, p...Preis, q...Menge
R
R
dR  dp
 dq
 dp * q  dq * p
p
q
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1.7 Graphen
Ordinatenachse
IV
I
Abszissenachse
0
x bzw. xi
y  f(x)
III
II
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Graphen linearer Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
y
a

Konstante

b
 x
Steigung
Beispiel: „Keynesianische Konsumfunktion“
C  c0  c1YD
C
C
YD
c0
c1 
0
ΔC
ΔYD
YD
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Beispiel: „IS-Kurve“:
Y = a + bi,
b<0
i
„IS-Kurve“
i
Y
b
ΔY
Δi
0
a
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Y
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Graphen linearer Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
y
y  f(x1, x2 ,..., x n )
f(0 , x2 ,..., x n )
x1
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Beispiel: „Nettoexportfunktion“ (vereinfacht)
NX  f(Y , Y *)
() ()
NX
NX0  f(Y, Y0 *)
(alte NX - Relation)
Y
0
NX1  f(Y, Y1*)
(neue NX - Relation)
Y1*  Y0*
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1.8 Gleichungen, Gleichungssysteme, Gleichgewichte
Gleichungen und Identitäten
Gleichungen: Spezielle Beziehung zwischen Variablen
Beispiel: „Gleichgewichtsbedingung“ im Gütermarkt
Y  C(Y)  I  G
C(Y)  c0  c1Y
c0  50, c1  0,75, I  200 , G  300
Y  50  0,75Y  200  300
0,25Y  550
Y  2.200
Identitäten: Beziehung zwischen Variablen, die immer gilt.
Beispiel: „Aggregierte Nachfrage“
Z  CIG
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Gleichungssysteme
„Lösung“ eines Gleichungssystems: Eine Kombination von Variablen in allen
Gleichungen, die mit allen Gleichungen vereinbar ist. Solche Lösungen
begegnen uns häufig in Form von makroökonomischen Gleichgewichten.
•Rechnerische Lösung
•Grafische Lösung
Beispiel: Gleichgewicht im Geldmarkt
Rechnerische Lösung :
Ms  240
Md  0,25$Y(1 0,2i), wobei $Y  1.000, daher
Md  250  50i
Ms  Md
240  250  50i
Lösung :
i  0,2
M  240
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Grafische Lösung:
i
Ms
0,20
Md (i, Y)
240
250
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MS, Md
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„Komparativ-statische Analysen“:
•Veränderungen von Gleichgewichten
•Vergleich von „altem“ und „neuem“ Gleichgewicht
•Keine „dynamischen“ Betrachtungen
•Entwicklung von Variablen über die Zeit
•Anpassungsgeschwindigkeit
Beispiel: Geldmarkt-Gleichgewicht.
Wie verändert es sich, wenn sich das Geldangebot Ms erhöht?
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1.9 Empirische Wirtschaftsforschung
„Ökonometrie“
Kursentwicklung der europäischen Währungen gegenüber dem US-Dollar:
Jänner 1986 bis September 2001 (Monats-Mittelwerte)
1,45
1. Jän. 1999:
Einführung des Euro
1,40
1,35
1,30
Datenplots
1,20
1,15
1,10
1,05
1,00
0,95
ECU-Kurs
Euro-Kurs
0,90
0,85
Monat
SS 2002
21
Jul.01
Jän.01
Jul.00
Jän.00
Jul.99
Jän.99
Jul.98
Jän.98
Jul.97
Jän.97
Jul.96
Jän.96
Jul.95
Jän.95
Jul.94
Jän.94
Jul.93
Jän.93
Jul.92
Jän.92
Jul.91
Jän.91
Jul.90
Jän.90
Jul.89
Jän.89
Jul.88
Jän.88
Jul.87
Jän.87
Jul.86
0,80
Jän.86
US$ je ECU bzw. Euro
1,25
Hinweise auf paarweise Zusammenhänge („Korrelationen“)
7,5
3,00
Arbeitslosenquote (in %)
2,00
6,5
1,50
1,00
6,0
0,50
5,5
0,00
-0,50
5,0
-1,00
4,5
Veränderung der Inflationsrate
(in %-Punkten)
2,50
7,0
-1,50
4,0
-2,00
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Jahr
Arbeitslosenquote
Veränderung der Inflationsrate (in %-Punkten)
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Lineare Regression
Bestimmung einer linearen Gleichung die „optimal“ zu einer „Punktwolke“
von Daten paßt.
Austria: Modified Phillips curve (1988 - 2000)
3.0
y: Change of the inflation rate
(percentage points)
2.5
2.0
1.5
2000
1.0
y = -0.9024x + 5.6755
R2 = 0.3403
0.5
0.0
-0.5
-1.0
1988
-1.5
-2.0
4.75
5.00
5.25
5.50
5.75
6.00
6.25
6.50
6.75
7.00
7.25
7.50
x: unemployment rate (national definition, percent)
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Verwendung von Regressionsergebnissen:
•Bestimmung von Funktionsparametern
•Signifikanz-Tests liefern Aufschluß über die „Gültigkeit“ von postulierten
theoretischen Zusammenhängen.
•Einfachregression
•„Multiple“ (Mehrfach-) Regression
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