7-Walser_Kinematik+Kraefte_im_Sport
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Kinematik und Kräfte im Sport Didaktik der Physik WS 2005/06 Marco Walser Inhalt • • • • • • • • Kugelstoß Kräfte beim Tauchen Energiebilanz beim Skifahrer Stabhochsprung Bungeejumping Speedski Armbeuger Das Fußgelenk des Menschen – Belastung der Achillessehne • Kräfte bei der Kniebeuge – Kräfte bei der Kniebeuge am Knie – Kräfte bei der Kniebeuge an der Hüfte • Belastung der Wirbelsäule • Skispringen • Speerwurf • Golfschlag • Weitsprung Kugelstoß 1. Der Kugelstoßer Schlaumeier stößt die Kugel mit einer Geschwindigkeit von 13,7 m/s aus einer Höhe von 1,80 m. Sein Trainer rät ihm, er möge sie etwa unter einem Winkel von 40,0° gegen die Horizontale wegstoßen. Welche Weite erreicht er? • geg.: yo = 1,80 m; vo = 13,7 m/s; α = 40,0° Zeit-Ort-Funktionen: y(t) = yo + v·sin(α)·t – ½·g·t2; x(t) = v·cos(α)·t Bestimmung der Fallzeit tf : y(t) = 0; 0 = yo + v·sin(α)·tf – ½·g·tf2; t f 1, 2 g v sin (v sin ) 2 4 ( ) y0 2 g v sin (v sin ) 2 2 g y0 tf1 g 13,7 sin 40,0 (13,7 sin 40,0) 2 2 9,811,80 tf1 s 1,98s 9,81 Bestimmung der Wurfweite xw: xw = v·cos(α)·tf ; xw = 13,7·cos(40,0°)·1,98 m; xw = 20,8 m Simulation Kugelstoß 2. Schlaumeier erinnert sich schwach an den Physikunterricht. Dort hat er gelernt, dass der optimale Abstoßwinkel 45,0° sei. Prüfen Sie durch Rechnung, ob das bei obiger Situation stimmt. • geg.: yo = 1,80 m; vo = 13,7 m/s; α = 45,0° Rechnung wie oben, jedoch tf1 = 2,14 s und xw = 20,7 m Der optimale Wurfwinkel ist nur dann 45°, wenn y0 = 0 ist! Kugelstoß Simulation Kräfte beim Tauchen • Ein Taucher soll sich in verschiedenen Wassertiefen ohne allzu großen Kraftaufwand im Schwebezustand halten können. 1. Welche Kräfte müssen sich im Schwebezustand die Waage halten? • Die nach unten wirkende Gewichtskraft muss von der Auftriebskraft kompensiert werden. 2. Welche, der in Teilaufgabe 1 genannten Kräfte ist von der Tiefe abhängig? • Die Auftriebskraft hängt von der Tiefe ab, da die Luft, die sich in der Ausrüstung und in der Lunge befindet mehr oder weniger stark zusammengedrückt wird. Kräfte beim Tauchen 3. Welche Möglichkeit muss demnach bei einer Tauchausrüstung vorgesehen sein? • Damit sich der Taucher in verschiedenen Tiefen in der Schwebe befinden kann, muss die Auftriebskraft veränderbar sein. Eine sogenannte Tarierweste dient dem Ausgleich der Volumenänderung z.B. des Neoprenanzuges, die dieser aufgrund wechselnder Tauchtiefen erfährt. Kräfte beim Tauchen 4. Der Taucher schwebe in einer Tiefe von 15 m. Das Luftvolumen in seiner Weste, dem Neoprenanzug und der Lunge, das dem Schweredruck ausgesetzt ist, betrage 13 Liter. Ohne zu atmen begibt sich nun der Taucher durch Schwimmbewegungen in eine Tiefe von 16m. Welche resultierende Kraft (Betrag und Richtung) wirkt auf den Taucher in der neuen Tiefe? Was wird passieren, wenn sich der Taucher nun nicht mehr bewegt? • Berechnung des Druckes in den Tiefen 15m und 16m: pges pluft wasser g h pges,15 (1,0 105 1,0 103 10 15) Pa 2,5 105 Pa • analog: pges,16 = 2,6· 105 Pa Berechnung des Luftvolumens in der Tiefe 16m: V16 p15 V15 p16 V16 2,5 13 l 12,5l 2,6 • p16· V16 = p15· V15 • Änderung der Auftriebskraft DFa: DFa Fa ,15 Fa ,16 wasser g (V15 V16 ) • DFa 1,0 103 10 0,5 103 N 5,0 N Die resultierende Kraft zeigt nach unten. Der Taucher würde immer schneller weiter nach unten sinken. Kräfte beim Tauchen 5. Was kann der Taucher tun, damit er ohne Kraft in 16 m Tiefe bleiben kann? • Der Taucher muss die Auftriebskraft erhöhen, indem er seine Tarierweste aufbläst 6. Welche Richtung hat die resultierende Kraft auf den Taucher, wenn er nicht um einen Meter tiefer, sondern um einen Meter höher geht. • Die resultierende Kraft zeigt nach oben. Würde er nichts unternehmen, so würde er immer schneller nach oben tauchen, was u. U. ungesund ist. 7. Die Gleichgewichtslage eines "austarierten" Tauchers wird als labil bezeichnet. Warum ist das gefährlich? • Die Folgen des labilen Gleichgewichtes wurden in den Teilaufgaben d. und f. angesprochen. Man muss also ständig auf der Hut sein. Würde z.B. ein Taucher ohnmächtig, hätte das schnelle Auf- oder Abtauchen fatale Folgen. Darum sollte man Tauchgänge nie alleine unternehmen. Energiebilanz beim Skifahrer Ein Skifahrer steht oben am Hang und fährt diesen hinunter, dabei wandelt er die zuvor durch Lift oder Steigarbeit gewonnene potentielle Energie (violett) in kinetische Energie (rot) um. Ein Teil dieser kinetischen Energie wird durch Reibungsarbeit (orange) der gesamten mechanischen Energie (grün) entzogen. Ist der Skifahrer am Ende des Hangs, so hat er seine gesamte potentielle Energie verbraucht. Der Rest der mechanischen Energie ist reine kinetische Energie und wird durch Reibungsarbeit immer kleiner, bis der Skifahrer steht. Energiebilanz beim Skifahrer 1. Warum nimmt die potentielle Energie mit der Zeit nicht gleichmäßig ab? • Die Abnahme der potentielle Energie nimmt mit der Zeit zu, da der Skifahrer schneller wird und dadurch pro Zeitintervall mehr Höhe verliert. 2. Warum ist die Reibungsarbeit bei größerer Geschwindigkeit größer? • Grund 1: Da der Skifahrer bei größerer Geschwindigkeit mehr Weg pro Zeit zurücklegt, ist die Reibungsarbeit im gleichen Zeitintervall bei größerer Geschwindigkeit größer auch wenn die Reibungskraft von der Geschwindigkeit unabhängig wäre. Grund 2: Neben der Reibungsarbeit an der Skilauffläche, die nahezu unabhängig von der Geschwindigkeit ist bremst auch die Luftreibung (Luftwiderstandskraft) den Skifahrer, diese wächst mit zunehmender Geschwindigkeit. • Stabhochsprung • Der Weltrekord im Stabhochsprung liegt bei 6,14 m (Bubka, 31.7.1994). Diskutieren Sie, ob eine wesentliche Verbesserung dieses Wertes möglich ist. • Antwort: 10 m wird wohl niemand jemals überspringen, aber ein paar Zentimeter höher geht es vielleicht ja doch noch. Begründung: Sprinter erreichen Maximalgeschwindigkeiten von etwa v = 10 m/s. Wird die zugehörige kinetische Energie vollständig in Lageenergie umgesetzt, so ergibt sich eine Höhendifferenz von h = v²/2g = 5,1 m. • Stabhochsprung • Die Sprunghöhe kann größer als 5,1m sein, weil a. der Schwerpunkt des Springers beim Absprung bereits rund 1m über dem Boden liegt, b. der Schwerpunkt bei richtiger Körperhaltung sogar knapp unter der Latte durchgehen kann, c. mit Hilfe der Beinmuskeln beim Absprung und der Armmuskeln während der Aufstiegsphase ähnlich wie bei einem Aufschwung am Reck die Lageenergie erhöht werden kann. • Die Sprunghöhe kann aber auch kleiner als 5,1m sein, weil a. mit dem Stab die Laufgeschwindigkeit v = 10m/s nicht erreichbar ist, b. die Bewegungsenergie beim Überqueren der Latte nicht gleich Null ist, also nicht die gesamte Bewegungsenergie in Lageenergie umgewandelt werden kann, c. der Stab mit einem Wirkungsgrad kleiner Eins einen Teil der Energie zwischenspeichert, d. ein Teil der Bewegungsenergie durch Reibung in Wärme umgesetzt wird. Bungeejumping • • Ein Bungee-Seil hat eine Federkonstante D=50 N/m. Wie lang muss dieses Gummiseil bemessen sein, wenn ein Springer (m = 70 kg) bei einem Sprung aus 100 m Höhe gerade noch über dem Boden abgebremst werden soll? Vernachlässigen Sie dabei den Luftwiderstand und die Masse des Seiles. Nehmen Sie weiterhin an, dass für den Dehnungsvorgang des Gummiseiles das Hookesche - Gesetz (F = -Dx) gültig sei. (g = 9,81 ms-2.) 1 D ( L x) 2 2 2m g L L2 2 x L x 2 D m g L x1, 2 L L2 2m g L D x1, 2 100m 52,41m x1 47,59m Speedski • Die Sportart Speedski gibt es seit 1930, damals lag der Rekord bei 128 km/h. Rund 200 Läufer weltweit betreiben heute diese Sportart, darunter auch Frauen. Deren Weltrekord steht bei 234 km/h. Eine Streckenlänge im Wettbewerb beträgt rund 800 Meter plus weitere 800 Metern zum Abbremsen. Der Start erfolgt von einem Turm, ähnlich wie beim Skispringen. Auf 50 Metern wird die Geschwindigkeit gemessen. Im Folgenden ist ein Artikel von P. Ehrenberg wiedergegeben (DIE WELT vom 11. März 2000). Lesen Sie sich diesen Artikel durch und beantworten sie anschließend die Fragen. Speedski Lyon - Die auf Bahnhöfen stets anzutreffenden Müßiggänger setzten verdutzt die Bierdosen ab ...Vor dem französischen Höchstgeschwindigkeits-Zug TGV posierte Harry Egger. Der 34 Jahre alte Österreicher ist Weltrekordhalter im Speedski. Mit 248,105 km/h raste EGGER im vergangenen Jahr einen Hang in Les Arcs hinunter und war damit schneller als der TGV, der die Strecke von Paris nach Lyon mit 245 km/h befährt. Ab Sonntag will EGGER in den französischen Südalpen oberhalb von Vars die magische 250-km/h-Grenze knacken - beim Wettbewerb »Red Bull Ultimate Limit« konkurriert er mit 30 weiteren Speedskifahrern. Die Clique erfreut sich eines zweifelhaften Rufes: Sie gilt als Ansammlung lebensmüder Draufgänger ohne Knautschzone. Speedski Dem widerspricht, wie akribisch sich Egger, der diese Extremsportart seit 1987 betreibt, auf seine Rekordversuche vorbereitet. Zwei Jahre dauerte die Entwicklung seiner Rennkleidung, die rund 300 000 Mark kostete und an deren Herstellung mit dem Aerodynamiker Gerge Bienz auch ein ehemaliger NASAIngenieur beteiligt war. Vom Knie bis zu den Stiefeln trägt er Karbonfiberglas-Spoiler, die in ihrer Seitenansicht an Flugzeugflügel erinnern. ...Der ansonsten 108 Kilogramm schwere Osttiroler wiegt dann 130 Kilo. Inklusive des Helms aus Kevlar, der ihn allerdings kaum schützt: »Das könnte nur eine Lederkombi und ein Vollvisierhelm, aber dann wäre ich zu langsam«, räumt Egger ein. Zwei Mal in seiner Karriere stürzte der tollkühne Artist, der gerne von einem Startturm und bei einem Gefälle von 100 Prozent am Berg Richtung Tal rast, schwer: 1992 beim Demonstrationswettbewerb während der Olympischen Winterspiele in Albertville und 1995. Auf wundersame Weise erlitt Egger dabei keine Knochenbrüche. Schmerzhaft waren die Verletzungen dennoch: »Ich hatte Verbrennungen dritten Grades.« ... Speedski Keinen Gedanken verschwendete er darum je an das Aufhören. Wenn seine 192 Zentimeter Körpergröße beim Speedskilauf geduckte 65 Zentimeter zusammen schrumpfen und er in weniger als sieben Sekunden auf 200 km/h beschleunigt - ein Wert, den nicht einmal ein Porsche 911 erreicht -, »dann bist du in einer anderen Welt«, schwärmt EGGER, »du denkst, du fliegst, und es ist trotzdem der stillste Moment in deinem Leben.« ... Speedski 1. • • Wie groß ist die kinetische Energie von Harry Egger, wenn er seine Weltrekordgeschwindigkeit von 248 km/h erreicht? Welchen Höhenunterschied würde er zurücklegen, wenn er völlig reibungsfrei fahren würde? km 248 m m 68,9 Umrechnung der Geschwindigkeit: v 248 h 3,6 s s Für die kinetische Energie gilt: Ekin • 1 1 m v 2 Ekin 130 68,92 J 309kJ 2 2 Bei Reibungsfreiheit wird die gesamte potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt: E pot,1 Ekin 1 v2 68,92 2 m g h* m v h* h* m 242m 2 2 g 2 9,81 • Bei Reibungsfreiheit müsste der Höhenunterschied nur 242 m betragen. 2. Es ist zu lesen, dass die Gesamtstrecke zum Beschleunigen 800 m beträgt. Lässt man die Messstrecke von 50 m außer Acht, bleiben 750 m als Beschleunigungsstrecke. Bei völlig reibungsfreier Fahrt - welcher Hangwinkel würde dann genügen? (Benutzen Sie dazu das Höhenergebnis aus a) sin h 242 sin 0,323 19 l 750 Speedski 3. • Wie Harry Egger berichtet, fährt er am liebsten bei 100 % Gefälle. Welchem Hangwinkel entspricht dies? Welcher Höhenunterschied wird zurückgelegt, wenn man die Beschleunigungsstrecke von 750 m beibehält? Wie groß ist dann die umgewandelte potenzielle Energie? Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Wert für die kinetische Energie aus a). Wie groß sind die Energieverluste? Wo treten diese auf? Bei einer Steigung von 100% gilt h = b, also: =45° h2 b2 l 2 2 h2 l 2 h • 1 750 h m 530m 2 2 Die umsetzbare potenzielle Energie beträgt dann: E pot, 2 m g h E pot, 2 130 9,81 530 J 676kJ • Die dabei festgestellte kinetische Energie ist nur ca. 46% dieser potenziellen Energie: 100% 309 676 46% • Der Energieverlust durch Reibung ist somit 676 kJ - 309 kJ = 367 kJ 4. Berechne die mittlere Beschleunigung von Egger bei seinen Rekordversuchen aus den obigen Angaben. 200 km m Dv 55,6 m m 55,6 a a 8 2 h s Dt 7 s s Speedski Hinweis: • Im April 2001 war folgende Meldung zu lesen: Ein Sturz des Weltrekordhalters Harry Egger und der Verzicht des Franzosen Philippe Billy brachten das vorzeitige Ende des Versuches, erstmals auf Skiern die Schallmauer von 250 km/h im österreichischen Skigebiet von Lech am Arlberg zu durchbrechen. Armbeuger Nebenstehendes Prinzipbild zeigt den menschlichen Unterarm. • Tipp: Ein Muskel kann sich nur um ca. 30% seiner Länge zusammenziehen 1. Entscheide, ob es sich bei dem skizzierten Problem um einen ein- oder zweiseitigen Hebel handelt. • 2. Es handelt sich um einen einseitigen Hebel, da die zu betrachtenden Kräfte alle auf der gleichen Seite vom Drehpunkt angreifen. Stelle mit den in der Skizze angegebenen Größen eine allgemeine Beziehung zwischen der Gewichtskraft (Fg) und der Kraft, die der Beugemuskel aufbringen muss (F1) her. • Im Gleichgewichtsfall gilt:F1· l1 = F2· l2 Fg l2 daraus folgt: F1 l1 Armbeuger 3. Berechne F1 für Fg = 5,0 N; l2 = 40 cm und l1 = 5,0 cm • F1 4. 5,0 40 N 40 N 5,0 Der Beugemuskel muss zum Anheben einer Last eine größere Kraft aufbringen als die Gewichtskraft der Last. Dieser „Nachteil“ ist durch das relativ kleine l1 bedingt. Welchen „Vorteil“ hat der kleine Wert von l1 für den Hebevorgang? • Der Unterarm soll in einem weiten Bereich auf und ab bewegt werden können. Aufgrund der begrenzten Kontraktionsfähigkeit des Muskels ist dies nur gewährleistet, wenn l1 relativ klein ist. Das Fußgelenk des Menschen Belastung der Achillessehne • Der menschliche Fuß ist ziemlich kompliziert aufgebaut. Wir wollen ihn stark vereinfacht als einen um D drehbaren Hebel auffassen. An einem Ende dieses Hebels (an der Ferse) greift die Achillessehne (blau) an. • Im Weiteren soll nun abgeschätzt werden, welche Kraft die Achillessehne aufbringen muss, damit eine Person (m = 70 kg) auf einem Fuß einen Zehenstand (Kontaktpunkt mit dem Boden B) machen kann. Das Fußgelenk des Menschen 1. Welche Kraft FB übt die Person beim einbeinigen Zehenstand auf den Boden und umgekehrt der Boden auf den Fuß im Punkt B aus? • 2. Im Punkt B drückt die Gewichtskraft Fg = m · g => Fg ~ 700 N auf den Boden. Der Boden seinerseits übt die Kraft FB ~ 700 N nach oben auf den Fuß aus. Damit die Ferse nicht auf den Boden kommt, zieht der an der Achillessehne befestigte Wadenmuskel den Fuß um den Drehpunkt D nach oben und drückt dabei gleichzeitig den Unterschenkel zusätzlich zu seiner Gewichtskraft des Menschen nach unten gegen das Fußgelenk D. Die Kraft FS auf die Achillessehne kann man berechnen, wenn man den Fuß als zweiseitigen Hebel mit dem Drehpunkt D und der in B angreifenden Kraft FB betrachtet. Die nötigen Hebelarme sind der Zeichnung zu entnehmen. Dabei ist davon auszugehen, dass die Distanz zwischen Ferse und Zehenspitze bei der Person a = 25 cm ist. 4,0 a • FS · aS = FB · aB => FS FB B (1) FS 700 N 1,7kN aS 1,7 Das Fußgelenk des Menschen 3. Welche Kraft tritt bei dem Zehenstand im Punkt D (oberes Fußgelenk) auf? • Die Kraft im Punkt D ist die Summe aus FS und FB, die, da nahezu parallel, direkt addiert werden können. (Kräfteparallelogramm ergibt etwa den gleichen Wert) FD = FS + FB FD = 1,7 kN + 0,7 kN = 2,4 kN 4. Warum wird die Belastung der Sehne geringer, wenn die Ferse möglichst weit vom Boden abhebt? • Wenn die Ferse weiter vom Boden abhebt, verringert sich der Hebelarm aB und somit wegen Gleichung (1) auch die Kraft FS mit der die Sehne ziehen muss. Kräfte bei der Kniebeuge Kräfte bei der Kniebeuge am Knie • Betrachtet man das Kniegelenk als Drehpunkt, so greift auf der linken Seite des Hebels im Schwerpunkt SR,S von Rumpf und Oberschenkel die Gewichtskraft von Rumpf und Oberschenkel FR,S an. Sie beträgt ca. 85% der Gewichtskraft FG der Person. Kräfte bei der Kniebeuge 1. Die Patellasehne greift im Abstand ap vom Drehpunkt D an, der Hebelarm der Kraft FR,S ist aRS. Es gilt etwa aRS : ap ~ 5. Berechne wie viel Prozent der Gewichtskraft FG die Kraft FP, die in der Patellasehne auftritt, ist. • 0,85 · Fg · ars = FP · ap => Fp 0,85 Fg aRS ap Fp 0,85 Fg 5 4,25 Fg Die Kraft auf die Patellasehne ist ungefähr 425% der Gewichtskraft. 2. Wie viel Prozent der Gewichtskraft FG beträgt die Kraft im Kniegelenk? • Die Kraft auf das Kniegelenk ist somit FKnie= FR,S + Fp = 5,1 · Fg. Die Kraft im Kniegelenkt ist etwa die fünffache Gewichtskraft. Kräfte bei der Kniebeuge Kräfte bei der Kniebeuge an der Hüfte • Betrachtet man das Hüftgelenk als Drehpunkt, so greift auf der linken Seite des Hebels im Punkt SH die Kraft FH an, auf der rechten Seite wirkt im Punkt SR die Gewichtskraft FR des Rumpfes. Es gelte aR : aH = 1,5. Kräfte bei der Kniebeuge 1. Um welchen Faktor ist die Kraft FH, die in SH angreift, größer als FR? a • FH · aH = FR · aR => FH FR R FH FR 1,5 aH 2. Die Gewichtskraft des Rumpfes ist ca. 70% der gesamten Gesichtskraft FG der Person. Wie viel Prozent der Gewichtskraft FG beträgt die Kraft FH,K im Hüftgelenk? • 3. FH = 1,5· 0,70 · Fg = 1,1 · Fg => FHK = (1,1 + 0,70) · Fg = 1,8 · Fg Die Kraft auf das Hüftgelenk ist ca. 180% der Gewichtskraft. Vergleiche die Belastung des Hüft- und Kniegelenkes bei der Kniebeuge und ziehe Folgerungen! • Die Belastung des Kniegelenkes bei einer Kniebeuge ist wesentlich höher als die Belastung des Hüftknochens. Man sollte nicht zu oft zu tiefe Kniebeugen machen, da dies das Kniegelenk schädigen könnte. Belastung der Wirbelsäule • • Bei einer normalgewichtigen Person mögen die folgenden Daten gelten: Gewichtskraft des Oberkörpers: Fp = 400 N, Abstand der Rückenmuskeln von der Wirbelsäule: 5 cm, Abstand des Schwerpunktes von der Wirbelsäule: 3 cm Belastung der Wirbelsäule 1. Damit die Person ihren Oberkörper im Gleichgewicht halten kann, muss das rechtsdrehende Moment, welches von der Gewichtskraft des Oberkörpers bewirkt wird und das linksdrehenden Moment, welches durch die Muskulatur zustande kommt gleich groß sein. Berechne hieraus die notwendige Muskelkraft Fm und die Kraft FLW, welche die Lendenwirbelsäule belastet. Fm am Fp a p Fm ap 3 Fm 400 N 240 N am 5 FLW Fp Fm FLW 400 N 240 N 640 N Skispringen • Ein Skispringer gleitet im Schwerefeld der Erde (g = 9,81 ms-2) reibungsfrei die skizzierte Schanze hinab. Die Schanze wird durch eine Gerade der Länge l und einen Kreisbogen (Radius R) mit horizontaler Tangente am Absprungtisch beschrieben. Der Aufsprunghügel ist eine schiefe Ebene mit einem Winkel β zur Horizontalen. g = 9,81 ms-2; l = 50 m; R = 20 m; α = 45° und β = 30° 1. Berechnen Sie die Geschwindigkeit beim völlig passiven Absprung E pot m v2 m Ekin m g h v 2 g h 28,44 2 s Skispringen 2. Berechnen Sie die Sprungweite W sx v0 t H sx H 2 H 2 H W t sx v0 sin( 90 ) sin sin g g 2 H H sin( 90 ) 2 H H 2 sin 2 (90 ) v0 2 g sin g sin 2 v0 H g sin 2 (90 ) 2 v0 sin 2 H 54,95m 2 2 2 2 H g sin (90 ) 2 sin v0 2 H 2 v0 sin W 109,9m 2 sin g sin (90 ) 2 3. Berechnen Sie die Geschwindigkeit bei der Landung am Aufsprunghang m v2 E pot Ekin m g hges m 2 v 2 g hges 43,3 s hges H h 96,1626m Simulation EQUATIONS OF MOTION x Fd cos Fl sin m1 y Fd sin Fl cos m1 g x x y y Fl 2 Lw 2 L = L(t) D = D(t) wu v p R T Fd 2 D w2 w … relative wind velocity u … wind velocity v … velocity of motion REFERENCE JUMP A Lift area L = L (t) and drag area D = D (t) are functions of the athlete‘s body configuration which changes during the flight time. The computer model uses the lift and drag areas measured in the wind tunnel as input values. Lift area L to drag area D ratio for reference jump A SIMULATION RESULTS Flight trajectory y = y (x) Velocity of motion v Horizontal velocity vx Lift and drag forces Fl and Fd during the flight (as a function of x). Speerwurf Ein Speerwerfer kann seinem Speer allein durch seinen Anlauf (ohne besonderen Armzug beim Abwurf) eine Anfangsgeschwindigkeit v1 = 10 m/s erteilen. Ohne Anlauf - nur durch einen kräftigen Armzug - kann er seinem Speer eine Anfangsgeschwindigkeit v2 = 23 m/s mitgeben. In jedem Fall erfolge der Abwurf unter eine Winkel von 45° gegenüber der Horizontalen. Hinweis: Der Auftrieb des Speers und die Abwurfhöhe über dem Erdboden werden außer Acht gelassen. Speerwurf 1. Auf welche Weite kommt der Speerwerfer, wenn er seinem Speer nur durch den Anlauf die Geschwindigkeit v1 erteilt? • geg.: yo = 0; vo1 = 10 m/s; α = 45° Zeit-Ort-Funktionen: y(t) = v·sin(α)·t– ½·g·t2; x(t) = v·cos(α)·t Bestimmung der Fallzeit tf : y(t) = 0; => 0 = v·sin(α)·tf– ½·g·tf2 => 0 = tf ·( v·sinα - ½·g·tf) Hieraus folgt: tf1 = 0 (dies ist der Zeitpunkt des Abwurfes) v·sinα - ½·g·tf2 = 0; => t f 2 2 v sin g Bestimmung der Wurfweite xw: Wurfweite nur durch Anlauf ohne Armzug: 2 v2 xw = v·cos(α)·tf2; => xw cos sin g v2 102 da cosα·sinα = ½·sin(2α) folgt: xw sin( 2 ) xw sin( 2 45)m 10m g 9,81 Speerwurf Wie weit fliegt der Speer, wenn der Sportler aus dem Stand wirft? 2. • Wurfweite bei Standwurf mit kräftigem Armzug : 232 xw 2 m 54m 9,81 Um wie viel Meter fliegt der Speer – gegenüber dem reinen Standwurf – weiter, wenn der Sportler den Speer aus vollem Anlauf und zusätzlich mit kräftigem Armzug abwirft? 3. • Wurfweite bei vollem Anlauf und kräftigem Armzug: xw2 332 m 111m 9,81 Der Speer fliegt gegenüber dem reinen Standwurf um 111m - 54m = 57m weiter! Simulation Golfschlag 1. Auf welche Geschwindigkeit v0B wird der Ball (m = 47 g) durch einen Golfschlag gebracht, wenn der Abschlagwinkel 45° und die Flugweite 400 m beträgt? Der Zusammenhang zwischen Wurfweite und Ballgeschwindigkeit ist gegeben durch: v20B xw sin( 2 ) g v0 B g xw v0 B 63 • m km 227 s s Den längsten Golfschlag (laut Guinness-Buch) erzielte Kelly Murray 1990: Der Ball flog (und rollte) 684,8 yards (ca. 610 m) über eine Flughafen-Landebahn. Den längsten Abschlag in einem Turnier auf einem Golfplatz erzielte Mike Austin mit 515 yards (ca.460m). Golfschlag 2. Mit welcher Geschwindigkeit v0S wurde der Schläger vom Spieler durchgeschwungen? Hinweis: Gehen Sie davon aus, dass die Masse des geführten Schlägers als sehr groß gegenüber der Masse des Golfballs angenommen werden kann. Betrachten Sie den elastischen Stoß zwischen Ball und Schläger zunächst im Bezugssystem des Schlägers. • • Im Laborsystem ruht der Ball und der Schläger hat die Geschwindigkeit v0S. Im "Schlägersystem" ruht der Schläger und der Ball bewegt sich mit der Geschwindigkeit -v0S auf den Schläger zu. Beim elastischen Stoß mit dem "sehr schweren" Schläger wird der Ball "reflektiert" und hat im "Schlägersystem" dann die Geschwindigkeit +v0S. Das "Schlägersystem" bewegt sich gegenüber dem Laborsystem mit der Geschwindigkeit +v0S. Vom Laborsystem aus betrachtet hat also der geschlagene Ball die Geschwindigkeit v0B = v0S + v0S = 2·v0S Daraus folgt, dass die Schlägergeschwindigkeit halb so groß ist wie die Ballgeschwindigkeit: v0S = 32 m/s = 115 km/h • • Golfschlag 3. Schätzen Sie die Größenordnung der Kontaktzeit von Ball und Schläger ab, wenn der Ball maximal Δxmax = 5 mm deformiert werden kann. Gehen Sie davon aus, dass der Schläger ungehindert in den Ball eindringt. Wird die tatsächliche Kontaktzeit größer oder kleiner sein, als die oben berechnete? • Die einfachste Abschätzung besteht darin, dass sich der Schläger mit v0S ungehindert längs der Strecke Δxmax bewegt: Dxmax • Dxmax 5 103 v0 S Dt Dt Dt s 0,15ms v0 S 32 Die tatsächliche Kontaktzeit wird länger sein, da der Ball verformt werden muss (Gegenkraft). Es wird die Bewegung verzögert, so dass es länger dauert, bis der Ball die Strecke Δxmax zusammengedrückt wird. Golfschlag 4. Welche durchschnittliche Kraft wirkt bei diesem Schlag auf den Ball ein? Verwenden Sie für die Berechnung der Kontaktzeit die relativ genaue Formel: Dxmax tk v0 S • Berechnung der durchschnittlichen Kraft: tk = π·Δt; tk = 0,50 ms; m Dv 47 103 63 F Dt m Dv F F N 6,0kN 3 Dt 0,50 10 Simulation Weitsprung • Ein Weitspringer (m = 70 kg) möchte seinen besten Sprung physikalisch genauer untersuchen. Dazu ermittelt er aus Filmaufnahmen die geometrischen Verhältnisse während des Sprungs. Sie sind in der folgenden Abbildung dargestellt, wobei s1 = 1,10 m und s2 = 1,00 m betragen. Für die Winkel gilt: α = 25°, ß1 = 60° und ß2 = 25°. Die Abfluggeschwindigkeit des Körperschwerpunktes sei v = 9,0 m/s. Weitsprung 1. Welche horizontale Weite xw legt der Körperschwerpunkt des Springers zurück? Drücken Sie xw zunächst allgemein durch v, g, α, h1 und h2 aus. • • • Bewegungsgleichungen: x = v0x·t; y = v0y ·t – ½·g·t2 + (h1 – h2) Durch Elimination von t erhält man die Bahngleichung: y • v0 y v0 x x g x 2 (h1 h2 ) Bahngleich ung 2 2 v 0x Um die Weite xw zu erhalten, muss man ausnützen, dass dort y(xw) = 0 ist. Dies führt zu der folgenden Gleichung: 2 2 v 2 v v 0 x ( h1 h2 ) 0y 0x 2 x w xw g g Weitsprung • Die Lösung dieser quadratischen Gleichung in xw erbringt als physikalisch sinnvolles Ergebnis: v0 x v0 x v0 y xw 2 g (h1 h2 ) g g • Durch Umformung erhält man: 2 v0 x v0 y 1 1 2 g (h1 h2 ) xw ( 1 ) g 2 2 v 20 y • Mit v0x = v·cosα und v0y = v·sinα und der Beziehung 2·sinα·cosα = sin(2α) erhält man: v2 1 1 2 g (h1 h2 ) xw sin( 2 ) ( 1 2 ) 2 g 2 2 v (sin ) Weitsprung 2. Welche horizontale Weite x* erreicht der Springer insgesamt? • • Bestimmung der horizontalen Weite x* (insgesamte Weite): Mit h1 = s1·sinß1; h1 = 0,95 m; und h2 = s2 ·sinß2; h1 = 0,46 m; ergibt sich für xw = 7,24 m; Somit ist x*: x* = s1 ·cosß1 + xw + s2 ·cosß2; => x* = 8,70 m • • 3. Wie groß waren dann im Augenblick des Absprungs die Horizontalkomponente vx und die Vertikalkomponente vy der Abfluggeschwindigkeit seines Körperschwerpunktes? • • • Ermittlung der Geschwindigkeitskomponenten beim Absprung: v0x = v·cosα ; v0x = 9,0·cos25° m/s; v0x = 8,2 m/s v0y = v·sinα ; v0y = 9,0·sin25° m/s; v0y = 3,8 m/s Simulation Weitsprung 4. Durch den Anlauf hat der Körperschwerpunkt des Weitspringers nur eine Horizontalgeschwindigkeit. Ihr Wert ist kurz vor dem Absprung v1x = 10 m/s (v1y = 0). Wie ist es möglich, dass der Körperschwerpunkt des Weitspringers nach dem Absprung die unter 3) berechneten Geschwindigkeitskomponenten besitzt? Was passiert während des Abdrucks am Boden? • Die Absprungphase reicht vom Aufsetzen des Sprungbeins auf den Boden bis zum Abdruck des Fußes vom Boden. In dieser Phase wirkt vom Boden her ein Kraftstoß (F·Δt), der eine Impulsänderung des Körperschwerpunktes bewirkt. • Dieser Kraftstoß hat sowohl eine Horizontalkomponente, die eine Verringerung der Horizontalgeschwindigkeit des Körperschwerpunktes von v1x auf v0x zur Folge hat und außerdem eine Vertikalkomponente, welche dem Springer die Geschwindigkeit voy in vertikaler Richtung erteilt. Weitsprung 5. Wie groß ist die Impulsänderung, die der Körperschwerpunkt beim Absprung erfährt und von welcher Größe ist der Kraftstoß vom Boden, der dabei auf den Körper einwirkt? • • • Berechnung der Gesamtimpulsänderung: m·Δvx = m·(v0x – v1x); m·Δvx = - 70·1,8 Ns = - 126 Ns; m·Δvy = m·(v0y – v1x); m·Δvy = 70·3,8 Ns = 266 Ns; m Dv (m Dvx )2 (m Dv y )2 m Dv 294 Ns 6. Ermitteln Sie die durchschnittliche Größe der Bodenreaktionskraft, wenn die Zeit des Bodenkontakts beim Absprung Δt = 0,075 s ist. • Berechnung der mittleren Bodenreaktionskraft: 294 Ns 294 Ns F Dt 294 Ns F F 3,9kN Dt 0,072s
