Hagen-Rubens Relation

Hagen-Rubens Relation
Zusammenhang zwischen der optischen Reflexion und der
elektrischen Leitfähigkeit
R  1 2
Im IR Bereich ( < 1013 s-1): /  
2


1
2





2
2
n    
  
2

 


2


1  2  2 
2
         
2

 


n2 

2


0
Metalle mit guter
elektrischer Leitfähigkeit
haben große Reflexion im
IR Bereich (klein )

n  1
n  12   2 n 2  2n  1  k 2  4n
4n
R 



1

n  1
n 2  2n  1  k 2
n 2  2n  1  k 2
n  12   2
2
n  1 klein   : 2n  1  n 2
 R  1
2

 1 2
n

1
Hagen-Rubens: aus der Lösung der Maxwell Gleichungen ( = n) für kleine
Frequenzen
Drude: freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Elektronentheorie für Metalle),
bestimmt die Farbe der Werkstoffe
Lorentz: stark gebundene Elektronen (klassische Elektronentheorie für dielektrische 2
Materialien)
Freie Elektronen (klassische Drude
Theorie der elektrischen Leitfähigkeit)
Elektronengas im Material
Anzahl der
Atome/Elektronen
in den AlkaliMetallen pro m3
Freie Elektronen …
Wechselwirkung mit
dem Kristallgitter …
N 
N A
M
NA … Avogadro-Konstante
 … Dichte
M … Masse
dv
F m
 eE
dt
dv
m  v  eE
dt
v … Driftgeschwindigkeit
m … Masse des Elektrons
E … elektrisches Feld
 … Dämpfung
3
Freie Elektronen (klassische Drude
Theorie der elektrischen Leitfähigkeit)
dv
m  v  eE
dt
dv
 0  vF  eE
dt
… Bewegungsgleichung
vF
… Limit-Fall
t
dv eE
v  eE
m 
dt vF

 eE
v  vF 1  exp  
 mvF

mv
 F
eE
eE
vF 
m
v

t  … Lösung der

Bewegungsgleichung
… Zeit zwischen zwei
Zusammenstößen
j  N F vF e  E
N F e 2

m
… Fermi-Geschwindigkeit
4
Freie Elektronen ohne Dämpfung
(klassische Theorie)
E  E0 exp it 
Anregung der Elektronen durch
elektromagnetische Welle (Licht):
Bewegungsgleichung:
m
d 2x
dt
2
 eE  eE0 exp it 
Man sucht die Lösung in der Form:
x0  
eE0
m
Dipolmoment eines Elektrons:
Gesamtpolarisation:
2

x  x0 exp it 
eE0
4 2m 2


D  ex


P  eNx
N … Anzahl der freiern Elektronen (Anzahl der Elektronen an der
Fermi Fläche)
5
Freie Elektronen ohne Dämpfung
(klassische Theorie)
Dielektrische Konstante:
n  1 
P
  1 4
E
exN
e2 N
2
  1  4
 1

n
E
m 2
e2 N
m 2
6
Freie Elektronen ohne Dämpfung
(klassische Theorie)
Reflexion:
R

n  1  n  1

n  1 n  1
Reflektierend
n  1
Transparent
e2 N f
m 2
Nf … Anzahl der freien
Elektronen im cm³
7
Die Plasma Frequenz
n  1
e2 N f
m 12
e2 N f
m 2
 1   12 
e2 N f
m
Gute Übereinstimmung mit dem
Experiment für Alkali-Metalle
8
Freie Elektronen ohne Dämpfung
9
Freie Elektronen mit Dämpfung
(klassische Drude Theorie)
E  E0 exp it 
Anregung der Elektronen durch
elektromagnetische Welle (Licht):
d 2x
dx
 eE  eE0 exp it 
2
dt
dt
d 2x
0
Konstante Geschwindigkeit der Elektronen:
2
dt
m
Bewegungsgleichung:
Bewegungsgleichung:

v F  eE
j
Die Driftgeschwindigkeit: v F 
eN f

vF
j   0E
Das Ohmsche Gesetz:
Die Dämpfung:
v
e2 N f
0
t
10
Freie Elektronen mit Dämpfung
(klassische Drude Theorie)
Bewegungsgleichung:
e 2 N f dx
m 2 
 eE  eE0 exp it 
 0 dt
dt
d 2x
Man sucht die Lösung in der Form:
x0 
x  x0 exp it 
eE0
2
e Nf
0
x0  
i  m 2
eE0
m 2
Komplexe Amplitude der Schwingungen
Dipolmoment eines Elektrons:
Gesamtpolarisation:


D  ex


P  eNx
11
Freie Elektronen mit Dämpfung
(klassische Drude Theorie)
Gesamtpolarisation:
P
eN f E
eN f 
0
m 2
i
e
Dielektrische Konstante:   1  4
N f e2
m
  12
   1
P
 1  4
E
1

2
i 2
2 0  1
1
 m 2
i

 0 N f e2
 1
1
i
m 2

2 0 N f e 2
 12
 1

 12
i  2
2 0
 12
 12
 12
 2    1
 1 2
2
2 0
i 2 
  i 2
12
Freie Elektronen mit Dämpfung
(klassische Drude Theorie)
Der Brechungsindex:
n2  n 2  k 2  2ink  1 
 12
 12  i 12
2

  i 2
 2
 1
2
  i 2   i 2
 2  22
2
 12
 2  12
2
2
Re : 1  2
 n  k  1 ; Im :
 2nk   2
2
2
2
   2
  2
 12

N f e2
m
 12
; 2 
2 0
13
Freie Elektronen mit Dämpfung
(klassische Drude Theorie)
n  1 
 12 
 12  i 12
2

 2  22
N f e2
m
 12
2 
2 0
1 … Plasma Frequenz
2 … Dampffrequenz
14
Freie Elektronen mit Dämpfung
(klassische Drude Theorie)
12
1  n  k  1  2 2 ;
  2
2
2
 2 12
 2  2nk 
  2  22
1
15
Freie Elektronen mit Dämpfung
(klassische Drude Theorie)
Absorption
Reflexion:
R

n  1  n  1

n  1 n  1
Reflektierend
Transparent
16
Freie Elektronen mit Dämpfung
(klassische Drude Theorie)
Absorption des Lichtes in
einem schmalen
Frequenzband (im
Absorptionsband),
experimentell beobachtet
für Metalle und Nichtmetalle
17
Stark gebundene Elektronen
(Elektronentheorie für dielektrische Materialien)
Elektron – quasi-elastisch gebunden zum Atom – harmonischer Oszillator mit
Eigenfrequenz und Dämpfung
18
Stark gebundene Elektronen
(Elektronentheorie für dielektrische Materialien)
m
Bewegungsgleichung:
d 2x
dt 2

dx
 kx  eE  eE0 exp it 
dt
m … Masse des Elektrons, ´ … Dämpfung, k … Federkonstante (Bindung zum Kern)
Man sucht die Lösung in der Form:
x0 
k

eE0
k  m 2  i
m02
2
e Na
0


eE0

x  x0 exp it 
m 02   2  i
k
 0 
m
0 0
eE0

 m 
2
e2 N a
0
i
Drude Theorie
19
Stark gebundene Elektronen
(Elektronentheorie für dielektrische Materialien)


P  eNx
Gesamtpolarisation:
P
e2 N a E

0 … Eigenfrequenz der Elektronen

m 02   2  i
e2 N a
P
  1  4  1  4
E
m 02   2  i

Dielektrische Konstante:
n2    1 
Brechungsindex:
1  1 

4e 2 mNa  02  2
4 m
2
2
 … Dämpfung (Elektrische Leitfähigkeit,
Emission der Photonen)

 02


  
2 2
2 2


e2 N a

m  02  2  i 2
; 2 
2e 2 N a
4 m
2
2

 02

  
2 2
2 2
20
Modell der stark gebundenen Elektronen
Dielektrische Konstante
Eigenfrequenz
21
Modell der stark gebundenen Elektronen
Brechungsindex
Eigenfrequenz
22
Modell der stark gebundenen Elektronen
Reflexion
Eigenfrequenz
23
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene
Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz
Eigenfrequenz
 gesamt   frei   gebunden
2
2
ngesamt  nfrei
 ngebunden
24
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene
Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz
IR Absorption
(Reflexion)
Absorption des
sichtbaren Lichtes
25
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene
Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz
26
Dispersionskurve
Anhängigkeit der Polarisierbarkeit (der dielektrischen Konstante) von der Frequenz
(Wellenlänge)
Langsame permanente Dipole
Wechselwirkung zwischen Ionen
Wechselwirkung zwischen Elektronen
und Atomkernen
27
Optische Absorption
Leitungselektronen
Gitterschwingungen
Innere Elektronen
 Hauptsächlich in
Metallen vorhanden
 Absorption im IR Bereich –
kleine Eigenfrequenz der
Gitterschwingungen
 Wechselwirkung zwischen
e und Atomkern
 Ionenkristalle und
Isolatoren sind in der
Regel durchsichtig
 Die IR und die Raman
Spektroskopie – Untersuchung
der Gitterdynamik
 Hohe Eigenfrequenz
 Absorption und Emission
der Strahlung im
Röntgenbereich (selektive
Filter, Fluoreszenzanalyse)
28
Wechselwirkung zwischen
Elementarteilchen in der Festkörperphysik
Raman Prozess
Photon
, k
IR Absorption mit
zwei Phononen
Photon
´, k´
Elektronenspektroskopie mit
Röntgenstrahlung
XPS
Phonon
Photon
Röntgen
photon
Phonon
, K
Phonon
Photoelektron
    
  
k  k K
Photon – Lichtquantum
Phonon – „Elementarteilchen“ für Gitterschwingungen
29
Wechselwirkung zwischen
Elementarteilchen in der Festkörperphysik
Thomson Prozess
Compton Prozess
Photon
Photon
  
  
k  k K
Elastische Streuung –
Röntgenbeugung,
Neutronenbeugung,
Elektronenbeugung
Photon
Emission der
charakteristischen
Röntgenstrahlung +
Absorption
Röntgen
photon
Photon
Phonon
    
Röntgen
photon
…
  
k  k K
Nichtelastische Streuung
– Röntgenstrahlung,
Neutronen
Steigerung der
Elektronenenergie
  
 
k  k
30
Spezialfälle
Hohe Frequenz
Real (n) < 1, Real (n)  1, Imag (n)  0
Röntgenstrahlung
Geringe Reflexion, hohe Absorption
-1
10
Beispiel: Gold (CuKa)
0
 = 1.5418 10-10 m
re 2
n  1   1  1

2
2
   1

re 2
n  1
 e  f 0  f   if 
2
n  1    ib  1
-2
10
-1
Reflectivity
 = 4.2558 10-5
b = 4.5875 10-6
TER
10
-2
10
-3
10
Penetration depth ( mm)
10
-3
10
-4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
10
o
Glancing angle ( 2Q)
31
Spezialfälle
Schwache Dämpfung
4e 2 mNa  02  2 
2e 2 N a
1  1 
; 2 
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
4 m  0     
4 m  0     2 2
  0  1  1 
e2 N a

m  02

2

  0   2  0 ;   0   2 
2e 2 N a

32
Mehrere Oszillatoren
Mehrere Elektronen pro Atom, jeweils mit einer Dämpfung und Eigenfrequenz.
0  0i,   i
1  n  k  1  4e mN a 
2
2
i
 2  2nk  2e 2 N a 
i


f i  02i  2
2

4 2 m 2  02i  2
f i i i
4 2 m 2  02i  2

  
2
2 2
i
  
2
2 2
i
Schwache Dämpfung
e2 N a
1  n  k  n  1 
m
2
 2  2nk 
2
2
e2 N a
2 2 m 2

i

f
  2 i  2
i
f i i i
2
0i
 2
0i

2
33
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene
Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz


f i  02i  2
 12
2
1  1  2 2  4e mNa 
2 2 2
2 2
  2
i 4 m  
  2 2


0i
i
f i i i
 2  12
2
2 

2
e
N
a
2 2 2
2 2
  2  22
i 4 m  0i 
  i2 2


34
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene
Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz
 gesamt   frei   gebunden
2
2
ngesamt  nfrei
 ngebunden
35
Quantenmechanische Beschreibung
der optischen Eigenschaften
Bandübergänge
Direkt
E  h
k Photon 
Indirekt
2p p
2
 
h
 Photon
k Phonon 
2
Phonon
Photon  Phonon

k Photon  k Phonon
Phonon =
Gitterschwingung
36
Polarisierbarkeit
Polarisierbarkeit der Moleküle:
2 

p
N
p 
    1  m a 
0 
3k BT 


 … Suszeptibilität
 … Dielektrische Konstante
0 … Dielektrische Konstante vom Vakuum
Nm … Anzahldichte der Moleküle
a … Polarisierbarkeit
kB … Boltzmannsche Konstante
T … Temperatur
Vereinfachte Dispersionskurve:
„langsame“ permanente Dipole können
nicht schnell umpolarisiert werden –
Abnahme der dielektrischen Konstante
37
Piezo- und Pyroelektrizität
Polarisation ohne äußere elektrische Felder
Änderung der Länge des Kristalls
 Polarisation der Dipolmomente
 Oberflächenladung des Kristalls
Qk

F
d
Externe Spannung am Kristall
 Polarisation der Dipolmomente
 Änderung der Länge des Kristalls
Q … hervorgerufene Oberflächenladung
k … Materialkonstante
 … Länge des Kristalls
Änderung der Temperatur des Kristalls
d … Dicke des Kristalls
 Änderung der Länge des Kristalls
F … Kraft
(Temperaturausdehnung)
 Polarisation der Dipolmomente
 Oberflächenladung des Kristalls38
Piezoelektrizität
Mechanische Belastung
Mechanische Belastung
Mechanische Belastung
Mechanische Belastung
39
Ferroelektrizität
Spontane Polarisation (Anordnung) der Dipolmomente ohne
äußeres elektrisches Feld
Spontane
Polarisation
Dielektrisches Material
P
  1  4
E
 1

P
E
E
4
4
Ferroelektrisches Material
P
 1

E
E  Ps
4
4
40
Ferroelektrische Kristalle
b
o
a
c
Perowskitstruktur
Atomlagen (Wyckoff):
Ca: 1a (0,0,0)
Ti: 1b (½,½,½)
O: 3c (0,½,½)
Ferroelektrische Materialien mit der Perowskitstruktur:
SrTiO3, BaTiO3, PbTiO3, KNbO3, LiTaO3, LiNbO3
Die Ferroelektrizität ist mit bestimmter Kristallstruktur verbunden
41
Ferroelektrische Domänen
Die gesamte Polarisation eines Kristalls mit ferroelektrischen Domänen ist
kleiner als ohne Domänen – das Gefüge des Kristalls spielt eine wichtige
Rolle.
42
Ferroelektrische Domänen im BaTiO3
Einkristall
Die Gesamtpolarisation des Kristalls steigt mit der externen Spannung
43