2. Kinematik x xx ∆=− t s v = vts = ()( x ttvtx+− = t x v ∆ ∆ = t v a ∆ ∆ =

1
2
x(t)
2. Kinematik
v>0
Kurve:
∆x
∆t
Beschreibung der Bewegung von Massenpunkten
v=0
x0
Definition :
t:
Zeit [s]
v<0
x (,y,z) : Position [m]
s:
zurückgelegter Weg [m]
(≙
x2 − x1 = ∆x
)
v:
Geschwindigkeit [m/s]
a:
Beschleunigung [m/s2]
v ist Steigung der Kurve:
Allgemein :
v=
∆x
∆t
v=
dx
dt
t
2.1 Ortskurven
Normalfall: zeitabhängige Geschwindigkeit
x(t)
einfachster Fall: konstante Geschwindigkeit
v>0
s
v=
t
∆x
∆t
∆x
∆t
umgeformt:
s = vt
genauer:
x(t ) = v(t − t0 ) + x0
v<0
(zurückgelegter Weg)
t
Geschwindigkeitskurve:
v(t)
a=
Position als Funktion der Zeit
∆t
∆v
t
∆v
∆t
3
4
Die Beschleunigung a ist die Steigung der Geschwindigkeitskurve.
Konstante Beschleunigung:
Allgemein :
Damit:
a=
∆v
∆t
 v

 = für v(0) = 0 
 t

dv
a=
dt
x(t)
Ein nicht gleichförmig
bewegtes Objekt unterliegt
einer Beschleunigung.
Die Geschwindigkeit ist
eine Funktion der Zeit.
t
v(t)
dv d  dx  d 2 x
a=
=  =
dt dt  dt  dt 2
t
Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Orts
nach der Zeit (die „Krümmung“ der Ortskurve)
x(t)
Beschreibungen
x(t)
Ein ruhendes Objekt hat
einen konstanten Ort
t
Ein gleichförmig beschleunigtes
Objekt unterliegt einer
konstanten Beschleunigung;
die Steigung der Geschwindigkeitskurve ist konstant.
t
v(t)
x(t)
Ein gleichförmig bewegtes Objekt
hat eine konstante Geschwindigkeit
(überall gleiche Steigung
der Ortskurve)
t
t
5
2.3 Der freie Fall
2.2 Berechnung der Ortskurven
s = vt
zurückgelegter Weg:
6
für v konstant
n
s = ∑ vi ∆ti
i =1
v(t)
für n verschiedene
Geschwindigkeiten
Freier Fall:
Bewegung eines Körpers unter Einfluß
einer konstanten Beschleunigung
(gleichförmig beschleunigte Bewegung)
v4
v3
v1
s1 = s2 =
v ∆t v2 ∆t 2
1
Beispiel:
v2
s3
s4
v5
s5
Beobachtung: in der Nähe des Erdbodens beträgt die auf
alle Körper wirkende Beschleunigung
1
∆t 2 ∆t3
∆t1
∆t 4
∆t 5
Fall eines Körpers im Schwerefeld
der Erde
t
Der zurückgelegte Weg entspricht der Fläche unter der
Geschwindigkeitskurve!
Mathematisch ausgedrückt:
t1
s = ∫ v(t )dt = x(t1 ) − x(t0 )
t0
(Integration ist „Umkehrung“ der Ableitung)
a=
g = 9.81 m/s2
Erdbeschleunigung
Konvention: die Höhe wird mit z bezeichnet, mit positiver
Richtung nach oben. Die Erdbeschleunigung in dieser Richtung
hat ein negatives Vorzeichen: gz = -g
7
Berechnung des freien Falls
Freier Fall mit Anfangsbedingungen
gz(t)
Anfangsbedingungen sind frei wählbare Parameter
für die Beschreibung der Bewegung.
t
Beschleunigung: gz
g z = const.
8
gz t
Hier:
g ist fest, aber Anfangshöhe z0 und Anfangsgeschwindigkeit v0 sind frei wählbar
1. Fall:
z0 ≠ 0 , v0 = 0
-g
v(t)
Geschwindigkeit: vz
t
∫ vdt
t
v z = ∫ g z dt = g z t
t
z (t ) = z0 + ∫ vz (t )dt
0
t
= z0 + ∫ g z tdt
z(t)
Ort: z
t
(setzen
gz = -10 m/s2)
t
1
1
z (t ) = z0 + g z t 2 = z0 − gt 2
2
2
0
t2
= gz
2
Tabelle
z0
0
t
t
z = ∫ v z (t)dt = ∫ g z tdt
0
z(t)
0
t
v z = g zt
z = gz t2/2
0.1 s
-1 m/s
-0.05 m
0.2 s
-2 m/s
-0.2 m
0.4 s
-4 m/s
- 0.8 m
0.6 s
-6 m/s
-1.8 m
0.8 s
-8 m/s
-3.2 m
1s
-10 m/s
-5 m
2. Fall:
v(t)
z0 ≠ 0 , v0 ≠ 0
t
vz (t ) = v0 + ∫ g z dt
v0
Steigung -g !
0
= v0 + g z t
t
9
Damit:
10
Bewegung in z-Richtung ist gleichförmig beschleunigt:
t
anfänglich
positives v !
z(t)
z (t ) = z0 + ∫ vz (t )dt
0
v0 > 0
z0
t
= z0 + ∫ (v0 + g z t )dt
1
z (t ) = z0 + vz 0t + g z t 2
2
0
Die Bahnkurve ist gegeben durch den zeitabhängigen
Ort ( x(t), z(t) ).
t
v0 = 0
1
z (t ) = z0 + v0t + g z t 2
2
v0 < 0
Experiment: Wasserstrahl
Bahnkurve
Anfangsgeschwindigkeit
z
vz
2.4 Zweidimensionale Bewegung:
der „schiefe“ Wurf
z
Anfangsbedingungen:
Ort:
l
beide Achsen
Ortskoordinaten!
α
∆z
z0
x
b
Geschwindigkeit: vx0 , vz0
vx
vx0 = v0 cos α
α
x0 , z0
v0
vz0 = v0 sin α
Messlatte
x0
x
Bewegung in x-Richtung ist gleichförmig (Beschleunigung
wirkt nur in z-Richtung):
x(t ) = x0 + v x t
0
Zeit zum Erreichen der hängenden Messlatte:
t=
b
l cos α
l
=
=
vx0 v0 cos α v0
Unabhängig von α !
11
Bestimmung des Zeitpunkts des Auftreffens auf dem
Boden (z=0):
Höhe zu diesem Zeitpunkt:
1
l 1
z (t ) = vz0t + g z t 2 = v0 sin α + g z t 2
v0 2
2
1
z (t ) = l sin α + g z t 2
2
12
1
vz0t + g z t 2 = 0
2
∆z ist unabhängig
vom Winkel α !
oder
∆z
Ein anfänglich auf einen Punkt gerichteter Wurf verfehlt
diesen in senkrechter Richtung um die Strecke, die ein
frei fallendes Objekt (ohne Anfangsgeschwindigkeit) in
derselben Zeit zurücklegt.
l = vx0t = vx0vz0
2
2
= v02 cos α sin α
g
g
l
vx0vz0 wird maximal für vx0 = vz0
vz
v0
1
z (t ) = vz0t + g z t 2
2
2vz0 2vz0
t=−
=
gz
g
In x-Richtung zurückgelegter Weg zu diesem
Zeitpunkt:
z
vz0 = v0 sin α
Bewegung in z-Richtung:
(am Anfang ist das
Objekt auch bei z=0)
1
vz0 + g z t = 0 (beschreibt die
gesuchte Lösung)
2
Umgeformt:
Frage: welcher Winkel führt bei gegebener Geschwindigkeit
zum weitesten Wurf?
vx0 = v0 cos α
t =0
Lösungen:
d.h. für α = 45 Grad ( π/4 )
α
Beweis:
x
α
Fläche = vx0vz0
vx
1
cos α sin α = sin( 2α )
2
Das erste Maximum liegt bei
2α =
π
2
, also
α=
π
4
13
Für die Geschwindigkeitskomponenten gilt:
2.5 Vektorielle Beschreibung
z
vx2 + vz2 = v0
Im Fall der maximalen Weite (
0
z

x0
r =  y0 
z0
2v = v0
vx =
z0

2
x
umgeformt:
Ortsvektor
Beschreibung eines Orts durch
kartesische Koordinaten
v = v ) also:
0
x
14
v0
= vz
2
y0
x0
x
Zeitabhängige Ortskurve:
Der zurückgelegte Weg ist dann:
l = vx v y
also


x(t)
r =  y(t) 
z(t)
2 v0 v0 2
=
g
2 2g
v02
l=
g
r
Maximal erreichbare
Weite beim schiefen
Wurf (auf einer Ebene)
Geschwindigkeit: 
v =
Zahlenbeispiele:
Weitsprung, v0=10m/s
⇒
l = 10 m
Motorrad, v0=50m/s (180 km/h)
⇒
l = 250 m
d

r(t) = 
dt
d
dt x(t)
d
dt y(t)
d
dt z(t)


vx
 
vy 
=
vz

Beschleunigung:
a =

d

v (t) = 
dt
d
dt vx (t)
d
dt vy (t)
d
dt vz (t)



ax
 
ay 
=
az
y
15
2.7 Kreisbewegung
Berechnung der Ortskurve:
r = r0 + v0 t +




16
r = r0
1 2
at
2




y
ax
x0
vx
x(t)
 y(t)  =  y0  +  vy  t + 1  ay  t2
2
z(t)
z0
vz
az

x0 + vx t + 12 ax t2
x = r0 cos ϕ
r
y = r0 sin ϕ
ϕ
zeitabhängig:
x

ϕ = ϕ (t )


=  y0 + vy t + 12 ay t2 
z0 + vz t + 12 az t2
Beispiel: schiefer Wurf

Anfangsbedingungen:
ϕ = ωt
Damit:

0

0 
a =
gz


x0
r0 =  y0 
z0
Beschleunigung:
gleichförmig:
 x(t )   r0 cos ωt 
r (t ) = 

 = 
 y (t )   r0 sin ωt 
x(t)
Periode τ

vx
, v0 =  0 
vz

τ/2
t
τ
es gilt:
⇒
Bahnkurve:
y(t)





vx t
x0



0 +
y0
+
r(t) =
z0
vz t

0
0 
1
g t2
2 z
ω=
τ/2
τ
ωτ = 2π
2π
τ=
ω
2π
τ
t
Kreisfrequenz
17
f =
„Normale“ Frequenz:
⇒
18
Aber:
1
τ
v = v x2 + v y2
= r02ω 2 sin 2 (ωt ) + r02ω 2 cos 2 (ωt )
ω = 2πf
= r02ω 2 = r0ω
Allgemein:
ω (t ) =
d
ϕ (t )
dt
Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant!
(für konstantes ω)
Winkelgeschwindigkeit
Es gilt:
Geschwindigkeit der Kreisbewegung
v (t )
r (t )
v (t) =
=
x(t)
y(t)
=
−r0 ω sin(ωt)
r0 ω cos(ωt)
d
dt r0 cos(ωt)
d
dt r0 sin(ωt)
=
vx (t)
vy (t)
Der Geschwindigkeits-Vektor ändert ständig seine Richtung!
r0ω
0
vx (t )
τ
τ/2
-r0ω
v y (t )
t
1/4
v (t )
τ
3/4 τ
1/2
τ
v = r0ω
19
3. Dynamik
20
Nachrechnen:
v 1m/s
=
= 1 m/s 2
t
1s
F = mt a = 1 kg 1 m/s 2 = 1 N
Die Dynamik befasst sich mit den Ursachen der Bewegung.
3.1 Axiome
a=
3. Reaktionsprinzip (actio gleich reactio) (Newton)
1. Trägheitsprinzip (Galileo, 1564-1642
Newton, 1643- 1727)
Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich geradlinig
gleichförmig
Die Wirkungen (Kräfte) zweier Körper aufeinander sind
stets gleich groß und von entgegengesetzter Richtung
F1
F2
F2 = − F1
(ohne Kraft keine Änderung der Bewegungsrichtung oder
Geschwindigkeit)
2. Aktionsprinzip (Newton)
Ursache einer Änderung des Bewegunszustands eines
Körpers ist eine Kraft F die der Beschleunigung a
proportional ist. Die Proportionalitätskonstante heisst
die träge Masse des Körpers.
also:
F = mt a
Die Einheit der Kraft ist Newton: [N] = [kg m/s2]
Eine Kraft von 1 N beschleunigt 1kg in 1s auf 1m/s.
3.2 Schwere und träge Masse
Die Anziehung durch die Erde bewirkt eine Kaft Fg auf einen
Körper, die proportional zu seiner schweren Masse ist:
Fg = ms g
Gewichtskraft
ms
Fg
21
22
3.3 Vektorielle Addition von Kräften
Dies bewirkt eine Beschleunigung
Fg
m
a=
= sg=g
mt mt
(falls ms = mt)
Kräft haben Richtung und Betrag. Mehrere an einem Punkt
angreifende Kräfte werden vektoriell addiert:
F
F = F1 + F2
Experimente zeigen, dass die schwere Masse tatsächlich
gleich der trägen Masse ist
Hierbei gilt:
F1
F2
F ≤ F1 + F2
⇒ alle fallenden Körper beschleunigen mit g
Experiment: Entkopplung von beschleunigter und
Kraft erzeugender Masse
Die Gesamtkraft ist immer kleiner oder gleich
der addierten Einzelkräfte
Beispiele:
F
spitzer
Winkel:
m2
Kraft
flacher
Winkel:
F 1 = m1 g
beschleunigt Masse m = m1 + m2
F
F2
F ≈ F1 + F2
F1
F2
F << F1 + F2
Beschleunigung:
Experiment:
F
m1 g
a= =
m m1 + m2
m1
Tabelle:
m1
m2
a
m0
m0
1/2 g
10 m0
m0
10/11 g
m0
10 m0
1/11 g
F1
Rechter Winkel wegen
Pythagoras:
F2
5 = 4 2 + 32
F3
4m0 g
5m0 g
hier:
3m0 g
F =
2 2
F1 + F2
F1
23
3.3 Aufteilung von Kräften
F1
F2
Beispiel: schiefe Ebene
F
h
⊥
F
l
Für kleine Winkel α gilt:
α
Damit:
h
l
a=
⊥
Gewichtskraft wird aufgeteilt
F
in anpressende Kraft Fund
beschleunigende Kraft
(„Hangabtriebskraft“)
3.5 Kreisbewegung: Beschleunigung
y
Es ist
mg sin α
m
= g sin α
Beschreibung des Orts und der
Geschwindigkeit:
r
|F | = F = F sin α
g
ϕ
=
h
g
l
Bei kleinen Steigungen ist die Beschleunigung gleich
Erdbeschleunigung mal Steigung!
Fg = mg
Beschleunigung:
a = F
m
sin α ≈ tan α =
=
F = F1 + F2
m
1
s = sin α gt 2
2
zurückgelegter Weg:
Ein Kraftvektor kann immer als Summe von Kraftvektoren
dargestellt werden:
F
24
Beschleunigung:
Entspricht freiem Fall mit verminderter Schwerkraft!
also:
x
 r0 cos ωt 
 − r ω sin ωt 
 d  0


r =  r0 sin ωt  ; v = r =  r0ω cos ωt 
dt




0
 0 


 − r0ω 2 cos ωt 

d 
a = v =  − r0ω 2 sin ωt 
dt


0


a (t ) = −ω 2 r (t )
25
Bei der Kreisbewegung verändert sich die Geschwindigkeit
ständig; es wirkt eine konstante, auf das Kreiszentrum
gerichtete Beschleunigung.
26
Beispiel: Kettenkarussel
ω
a (t ) = a = ω 2 r0
Betrag:
v=
mit Bahngeschwindigkeit
a = ω 2 r0 =
− Fg
2πr0
τ
2πr0
=
= r0ω
2π / ω
Fzp
Momentaufnahme
Fk
Fzp
m
Es gilt:
Fk = (− Fg ) + Fzp
Fg = mg
2
v
r0
negative
Schwerkraft
Ursache der Beschleunigung ist eine Kraft:
v
Die Kraft wird durch
die Kette erzeugt (Richtung
parallel zur Kette)
Kette
Zentripetalkraft
Kraft auf den Körper:
F = Fk + Fg = (− Fg ) + Fzp + Fg = Fzp
Fzp = ma = −mω 2 r
Die Kraft der Kette wirkt der Schwerkraft entgegen (verhindert
Fallen des Körpers) und bewirkt eine Beschleunigung „nach innen“
(verursacht Kreisbewegung).
Zentripetalkraft
v2
Fzp = Fzp = mω 2 r0 = m
r0
Die Kraft hält den Körper auf der Kreisbahn (ohne Kraft
würde er sich geradlinig bewegen!)
Der Winkel der Kette zeigt die Stärke der Kreisbeschleunigung an:
− Fg
α
Fzp
tan α =
Fzp
g=
Fg
=
mazp
mg
a zp
tan α
Je größer der Winkel, desto größer die Kreisbeschleunigung!
27
3.6 Zentripetal- und Zentrifugalkraft
− Fg
Fk
Fzp
Gleiches Bild, aber aufgenommen
im System des Karussells; hier ist
alles in Ruhe
m
Fzf
28
Die Zentrifugalkraft ist eine „Scheinkraft“, da sie nicht auf der
Wechselwirkung zwischen Objekten beruht; sie hat aber die
gleiche Wirkung wie eine „reale“ Kraft.
Merkregel:
Beschreibung der Kraft in einem
rotierenden System
• Beobachter ruht: Zentripetalkraft
Fg = mg
• Beobachter rotiert mit: Zentrifugalkraft
Grund: im rotierenden Bezugssystem wirkt eine weitere Kraft,
die Zentrifugalkraft:
Fzf = − Fzp
3.7 Künstliche Schwerkraft
Kraft im rotierenden System wirkt wie (veränderte) Schwerkraft
Damit ist die Gesamtkraft auf den Körper:
F = Fg − Fg + Fzp + Fzf = 0
und damit:
a=
1 F =0
m
(der Körper bleibt in seinem Zustand der Ruhe)
Im rotierenden Bezugssystem wirkt eine nach außen
(weg von der Rotationsachse) gerichtete Kraft
v2
2
Fzf = mω r = m
r
Zentrifugalkraft (Fliehkraft)
hier:
m
Fges = Fzf + mg = mg '
Fzf
Fg
g ' = g ' = (ω 2 r ) 2 + g 2
Fges
g
g'
Die „künstliche Schwerkraft“ kann viel größer sein als g!
Beispiel: Waschmaschine, Schleudergang
Radius: 0.25 m
1400 Umdrehungen/min:
1400
1
= 23.3
60s
s
1
ω = 2πf = 147
s
f =
29
Zentrifugalbeschleunigung damit:
a = rω 2 = 5373
30
3.8 Gravitationswechselwirkung
m
= 548 g
s2
Zwischen zwei Körpern der Masse m1 und m2 im Abstand r
wirkt eine anziehende Kraft:
(Menschen überleben kurzzeitig 20 g!)
r
F =G
Beispiel: Erddrehung
ω
Radius:
Frequenz:
Fg
Fzf
r = 6400 km
1
1
f =
= 11.6 ×10−6
24h
s
1
ω = 2πf = 73×10−6
s
a zf = ω 2 r = 0.03
Erde
m
s2
m1
m2
Beispiel: Erde
rE = 6378 km
m2
g ' = g − ω r = 0.997 g
2
mE = 5.98 1024 kg
r
F =G
(am Äquator wirken Schwere- und Zentrifugalbeschleunigung
in Gegenrichtung, daher wird hier die Differenz genommen).
Erde (mE)
Die Zentrifugalbeschleunigung aufgrund der Erddrehung ist
aso sehr klein. Aber: hätte ein Erdtag 1.4h, wäre ω2r=g und
g‘=0 !
G: Gravitationskonstante
G = 6.67 10-11 Nm2/kg2
(am Äquator)
Hier ist:
m1m2
r2
mE m2
m
= G E2 m2
2
rE
rE
m
= 9.805  2  m2 = g m2
s 
Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s2 gilt nur auf der Erdoberfläche!
(nimmt quadratisch ab mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt)
31
Beispiel: Mond
rM = 1738 km
32
in beiden Fällen (falls m1 >> m2 ) :
m1m2
r2
m
ω 2 = G 31
r
m2 rω 2 = G
mM = 7.35 1022 kg
m2
r
gM = G
mM
m 1
=
1
.
6
2
 s 2  ≈ 6 g
rM
Die Umlauffrequenz ist unabhängig von m2 !
Mond (mM)
Mit
Die Gravitationsbeschleunigung ist auf der Mondoberfläche etwa
sechsmal kleiner als auf der Erdoberfläche.
Also:
ω=
2π
τ
2
4π 2 3
r
τ =
Gm1
2
3.9 Satelliten
Fg
m1
m2
3. Keplersches
Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten sind proportional der
Kuben der Bahnradien (doppelter Radius → 2.8 fache Umlaufzeit).
v = rω
r
m1
 2π 
  =G 3
r
τ 
wird dies zu:
Kreisbewegung einer Masse m2
um eine Masse m1, verursacht
durch Gravitationswechselwirkung.
Bemerkung: das Keplersche Gesetz gilt nicht nur für Kreisbahnen,
sondern auch für elliptische Bahnen; hier ist r die Länge der großen
Halbachse der Bahn
Beispiel: Raumstation ISS
Es gilt:
Flughöhe: 400 km
Bahnradius: r = rE + 400 km = 6800 km
Zentripetalkraft = Gravitationskraft
(ruhender Beobachter)
Zentrifugalkraft = -Gravitationskraft
ω=
GmE
1
= 1.1 ⋅10 −3
3
s
r
τ=
2π
ω
(mitbewegter Beobachter)
Bahngeschwindigkeit:
v = rω = 7660
= 5560 s = 1.5 h
m
km 
 = 27600 !
s
h 
33
Beispiel: Erdmond
Bahnradius: r = 3.84 108 m (384000 km)
ω=
GmE
−6 1
=
⋅
2
.
65
10
s
r3
τ=
2π
ω
= 2.4 ⋅106 s = 27.4 d
v = rω = 1019
Bahngeschwindigkeit:
m
s
Beispiel: Erdbewegung um Sonne
Bahnradius: r = 149.6 109 m (150 Mio km)
Sonnenmasse: mS = 1.99 1030 kg
ω=
GmS
−9 1
=
⋅
199
10
s
r3
Bahngeschwindigkeit:
τ=
2π
ω
= 3.15 ⋅107 s = 365.2 d
v = 29700
m
km 
 = 107000 !
s
h 
Weitere Planeten (bzw. Planetoiden):
Merkur
r = 57.9 109 m
τ = 88 d
Jupiter
r = 778 109 m
τ = 11.6a
Pluto
r = 5910 109 m
τ = 249a
34
4. Energie, Arbeit, Leistung, Impuls
35
Beispiel: Beschleunigung
m
Zentrale Größen der Physik:
Annahme: konstante Kraft
F
Beschleunigung:
Energie E, Einheit Joule (1 [J] = [Nm] = [kg m2/s2]
zurückgelegter Weg:
F
m
1 2
s = at
2
a=
Es gibt zwei grundsätzliche Formen von Energie:
v = at
erreichte Geschwindigkeit:
kinetische Energie:
mit Bewegung verbundene
Energie
potentielle Energie:
Geleistete Arbeit:
1
1
W = Fs = am at 2 = m (at ) 2
2
2
mit Wechselwirkungen
verbundene Energie
(„gespeicherte“ Energie)
Arbeit W, Einheit Joule
„Erzeugung von Energie durch Kraftanwendung (Transfer
von Energie zwischen Systemen)
1
W = m v 2 = Ekin
2
Die bei der Beschleunigung geleistete Arbeit wird zu kinetischer
Energie!
Beispiel: Hubarbeit
(Schwerkraft wirkt nach unten: die
aufgebrachte Kraft nach oben)
F = − mg
Es gilt:
Arbeit = Kraft mal Weg
W = F ⋅s
v!
m
h
geleistete Arbeit:
W = Fs = mgh = E pot
Die Arbeit wird zu potentieller Energie
36
Gleiche Arbeit! Die Potentielle Energie hängt nicht davon
ab, wie sie erzeugt wurde!
Beispiel: Spannen einer Feder
x
37
Kraft einer Feder (Hooke‘sches Gesetz)
F = − Dx
l
Allgemein:
Vektorielle Beschreibung
W = F ⋅s
geleistete Arbeit:
l
r
l
1
W = Fdx = ( Dx)dx = D l 2 = E pot
2
0
0
∫
(für geraden Weg
und konstante Kraft)
∫
∫
W = F ( r ) ds
=
r0
i
(für gerade
Teilstücken)
Potentielle Energie einer um l gedehnten (oder gestauchten) Feder.
4.1 Wegunabhängigkeit der pot. Energie
Beispiel: schiefe Ebene
F
m
W = mgh = E pot
F
Arbeit: über Rampe
l
α
Arbeit: direktes Heben
F⊥
h
W = Fs
= mg sin α l
h
= mg sin α
= mgh
sin α
∑
Fi ∆si
Beispiel: Hubarbeit im Schwerefeld (ortsunabhängige Kraft)
W=
n
∑
i =1
F∆si =
 0  ∆xi 

 
y
0
∆
  i 
i =1 


 mg  ∆zi 
n
∑
n
n
i =1
i =1
= ∑ mg∆zi =mg ∑ ∆zi = mgh
Eine Bewegung in x- oder y-Richtung spielt keine Rolle; es zählt
nur die Bewegung in Richtung der Kraft.
38
39
4.2 Energieerhaltung
Definition:
Ein Kraftfeld,
bei dem das Integral
r
∫
Für ein abgeschlossenes System gilt:
F ( r ) ds
Ekin + Epot = konstant
r0
nur von Anfangs- und Endpunkt, aber nicht
vom Weg abhängt, heißt konservativ.
Die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie
ist konstant; sie ändert sich nur, wenn Arbeit am System verrichtet
wird.
Aber: potentielle Energie kann in kinetische Energie umgewandelt
werden und umgekehrt
Bemerkung: das Kraftfeld ist der negative Gradient der
potentiellen Energie
Beispiel: freier Fall
F (r ) = −∇E pot
∂

 E pot 
 ∂x

∂
= − E pot 
 ∂y

∂

 E pot 
 ∂z

Ein so gebildetes Kraftfeld ist immer konservativ!
nachher:
vorher:
h
m
h
m
E pot = mgh
E pot = 0
m
Ekin = v 2
2
Ekin = 0
Beispiel: Schwerefeld
F = −∇E pot
 0 


= −∇(mgz ) =  0 
 − mg 


Mit der Energieerhaltung folgt:
und damit:
mgh =
v = 2 gh
m 2
v
2
v
40
nachrechnen:
41
Körper am äußeren Umkehrpunkt:
zeitabhängige Höhe beim Fall
Zeit beim Erreichen von z=0
Geschwindigkeit hier
1
z (t ) = h − gt 2
2
2h
t=
g
1 2
Ekin = mvmin
=0
2
kinetische Energie ist minimal
1 2
1
E pot = Dxmax
= Dx02
2
2
potentielle Energie ist maximal
v = gt = 2 gh
Wegen der Energieerhaltung gilt damit:
Gleiches Ergebnis!
1
1
2
m( x0ω ) 2 = Dx0
2
2
Beispiel: harmonische Schwingung
m
mω 2 = D
x(t ) = x0 cos ωt
ω=
v (t ) = − x0ω sin ωt
D
m
Schwingungsfrequenz
Federpendel
x
Ständiges Umwandeln von potentieller in kinetische Energie
und umgekehrt.
Andere Herleitung:
es ist
Körper in der Mitte:
kinetische Energie ist maximal
potentielle Energie ist minimal
1 2
m
Ekin = mvmax
= ( x0ω ) 2
2
2
1 2
E pot = Dxmin
=0
2
also
Es gilt
das heißt
also
a (t ) = − x0ω 2 cos ωt
a = −ω 2 x (t )
F = ma
− Dx = −mω 2 x
ω=
D
m
42
4.3 Leistung
43
Beispiel: elektrische Birne, P=100 W (Leistung)
Leistung ist Arbeit pro Zeit
Einheit Watt
[W] = [J/s]=[Nm/s]
genauer:
P=
W
t
P=
dW
dt
Geleistete Arbeit ist
brennt 10 h:
W = Pt = 100 W*10 h = 1000 Wh
1000 Wh = 1000 W*3600s
= 3.6 106 Ws
= 3.6 MJ
Die gleiche Arbeit wird benötigt, um 360000 kg um 1m
anzuheben!
4.4 Impuls
W = Pt
„Herleitung“:
es gilt
m1
t
bzw.
W = ∫ Pdt
0
Kräfte:
Beispiel: Hubarbeit
10 kg werden um 10 m angehoben
W = mgh ≈ 1000 J
W 1000 J
geleistet in 5 min (300s):
P= =
= 3.3W
t
300s
1000 J
geleistet in 10 s:
P=
= 100W
10s
Arbeit:
actio = reactio
mit
mit
F = ma
dv
a=
dt
also
m1v1 + m2 v2
F1
F2
m2
F2 = − F1
m2 a2 = − m1a1
dv 2
dv1
m2
= −m1
dt
dt
d
( m1v1 + m2 v2 ) = 0
dt
bleibt konstant!
44
Definition:
45
4.5 Impulserhaltung
p = mv
Impuls:
actio = reactio gilt auch für ein System aus beliebig
vielen Körpern:
m1
Für einen einzelnen Körper gilt:
t
t
F (t )
v (t ) = v0 + a (t )dt = v0 +
dt
m
0
0
∫
∫
Mutipliziert mit m:
m2
m3
F1
F
3
F2
F6
m4
F5
N
∑ Fi = 0
F4
i =1
m5
m6
t
∫
p (t ) = p0 + F (t ) dt
Für die Summe der Impulse gilt:
0
Bei konstanter Kraft und
N N
N
0 0
p
=
(
p
+
F
t
)
=
p
+
t
∑ i ∑ i i ∑ i ∑ Fi
N
p0 = 0
i =1
p = F ⋅t
Impuls ist
Kraft mal Zeit!
(Erinnerung: Arbeit ist Kraft mal Weg)
i =1
i =1
i =1
0
= Pges
+ t ⋅ 0 = Pges
In einem System, auf das keine äußeren Kräfte wirken,
ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgröße
46
Energieerhaltung:
4.6 Zentraler Stoß
Impuls- und Energieerhaltung bestimmen, welche Endzustände
eines Systems nach einer Wechselwirkung (Austausch von
Energie und Impuls) erlaubt sind.
Wechselwirkung
1 2 1 2 1 2
m1 v1 = m1 v '1 + m2 v '2
2
2
2
hier: eindimensional (Bewegung auf einer Linie)
m2
v '2
m1
1
1
2
2 1
2
m1v1 = m1v '1 + m2 v'2
2
2
2
v '1 = v1 −
p '1 , p'2 , p '3 ...
E1 , E2 , E3 ...
E '1 , E '2 , E '3 ...
∑ p =∑ p '
∑ E =∑ E '
Es gilt:
i
E ges = E ' ges
Damit lauten die beiden Gleichungen:
nachher
vorher
p1 , p2 , p3 ...
47
i
i
i
Zwei Gleichungen,
zwei Unbekannte
(v‘1, v‘2)
⇒ eindeutige
Lösung!
Einsetzen:
2
 1
1
1 
m
2
2
m1v1 = m1  v1 − 2 v'2  + m2 v'2
2
2 
m1  2
Beispiel: zentraler Stoß zwischen zwei Massen, 2. Masse ruht
m1
v1
Impulserhaltung:
daraus folgt:
m2
v '1
p ges = p' ges
m1v1 = m1v '1 + m2 v '2
m v '1 = v1 − 2 v '2
m1
m1
m2
v '2
⇔
⇔
⇔
⇔
1
1
m 2m2
m m2
1
2
2
2
m1v1 = m1v1 − 1
v1v '2 + 1 22 v '22 + m2 v '2
2
2
2 m1
2 m1
2
2
m
1
2
0 = − m2 v1v'2 + 2 v'22 + m2 v'2
2m1
2
2
m + m1m2 2
m2 v1v '2 = 2
v '2
2m1
v '22 =
2m1
v1v '2
m1 + m2
48
Zwei Lösungen:
Lösung 1:
49
3. m1 >> m2
v '2 = 0
hier gilt:
v'1 = v1
v '2 ≈ 2v1
v '1 ≈ v1
(„Triviale“ Lösung: Stoß hat nicht stattgefunden)
Lösung 2:
Der stoßende Körper wird kaum verlangsamt; der
gestoßene Körper erhält die doppelte
Geschwindigkeit des stoßenden Körpers!
2m1
v1
m1 + m2
m
m − m2
v '1 = v1 − 2 v'2 = 1
v1
m1
m1 + m2
v '2 =
Allgemein: dreidimensionaler Stoß
m1
v1
v2
Diskussion dieses Resultats für verschiedene Fälle:
1. m1 = m2
v'2 = v1
hier gilt:
Hier gilt:
v '1 = 0
Der Impuls (und die kinetische Energie) werden
vollständig auf den gestoßenen Körper übertragen.
2. m1 << m2
hier gilt:
2m1
v1
m2
v '1 ≈ −v1
v '2 ≈
( p'2 ≈ 2 p1!)
Der stoßende Körper wird reflektiert; der gestoßene
Körper erhält den doppelten Impuls des stoßenden
Körpers!
m2
m1v1 + m2 v2 = m1v '1 + m2 v '2
Impulserhaltung
1 2 1
2 1 2 1 2
m1 v1 + m2 v2 = m1 v '1 + m2 v '2
2
2
2
2
Energieerhaltung
Dies sind 4 Gleichungen mit 6 Unbekannten (
v '1 , v '2
)
⇒ Lösung bestimmt bis auf zwei freie Parameter!
(z.B. legt die Wahl der Richtung von
fest)
v1 '
alle anderen Werte
50
51
Jetzt: Rakete
4.7 Anwendung der Impulserhaltung: Rakete
vw
m1
v1
Person in Boot in Ruhe wirft eine
Kugel mit Wurfgeschwindigkeit
vw (Geschwindigkeit relativ
zur Person)
v2
m2
m1
m
vD
Vortrieb durch Wurf:
m2
heiße Gase
Dadurch erhält das Boot (und
die Person) einen Impuls bzw.
eine Geschwindigkeit in
Gegenrichtung
Brennkammer und
Düse
v
In der Zeit ∆t wird die
Masse -∆m mit
Geschwindigkeit vD
ausgestoßen.
Treibstoff
Geschwindigkeitszunahme dadurch (∆m <<m):
∆v = −
∆m
vD
m
(m ist die Raketenmasse; die Masse der ausgestoßenen Gase ist -∆m)
Es gilt:
v1 + v2 = vW
Impulserhaltung:
m1v1 = m2 v2
Umformen und Übergang zu infinitesimal kleiner Zeit (∆t→dt):
also
m1v1 = m2 (vW − v1 )
⇒
m2
v1 =
vW
m1 + m2
v2 =
Für m1 << m2 wird dies zu:
v1 ≈ vW
dv
1
= − vD
dm
m
Integration über m:
m1
vW
m1 + m2
und
⇒
v2 ≈
Ausstoß von Masse erzeugt Vortrieb!
m1
vW
m2
m
m
0
0
dv
1
∫m dmdm = −m∫ m vD dm
v (m) − v (m0 ) = −vD (ln(m) − ln(m0 )) = vD ln(
m0
)
m
Falls v(m0) = 0 ist (Startgeschwindigkeit Null):
v = vD ln(
m0
)
m
Raketengeschwindigkeit
52
Die von einer Rakete erreichbare Geschwindigkeit
hängt von dem Verhältnis der Start- und Endmasse
und der Düsengasgeschwindigkeit ab.
Typische Werte:
53
Für die Reibungskraft gilt:
Körper bewegt sich („Gleitreibung“):
FR = µF⊥
m0
=6
m
Reibungskoeffizient
vD = 2000 ms
Körper ruht („Haftreibung “):
vEnd ≈ 3600 ms
Damit:
F ' R = µ ' F⊥
4.8 Reibung
Reibung verwandelt Arbeit in Wärmeenergie
⇒Verlust von kinetischer Energie ohne Erzeugung
von potentieller Energie
Es gibt verschiedene Formen der Reibung; diese lassen
sich näherungsweise durch Gesetze beschreiben.
1. Coulomb-Reibung
FR
m
v
F⊥
Die Reibungskraft ist unabhängig von der Geschwindigkeit
und der Auflagefläche!
Typische Werte:
Stahl auf Stahl
(poliert)
Gummi auf Asphalt
Oberflächenreibung:
die Bewegung eines
mit
Anpresskraft F ⊥ auf
die Oberfläche gedrückten
Körpers erzeugt eine
Reibungskraft F
R
µ ' ≈ 0.7
µ ≈ 0.4
µ ' ≈ 1.2
µ ≈ 1.0
µ ' ≈ 0.6
µ ≈ 0.4
trocken
naß
54
Beispiel: maximal mögliches Beschleunigen eines Autos
55
3. Newton-Reibung
Drehende Räder können maximal die Haftreibungskraft auf die
Straße ausüben, blockierende Räder die Gleitreibungskraft.
Die maximal mögliche (positive oder negative!)
Beschleunigung ist damit:
a=
bzw.
FR µF⊥ µ mg
=
=
= µg
m
m
m
F'
a' = R = µ ' g
m
FR
Schneller Körper in leichter Flüssigkeit
oder Gas
v
Hier gilt für die Reibungskraft:
1
F = cW ρ Av 2
2
v
Geschwindigkeit
Ein Fahrzeug mit Gummireifen kann auf Asphalt also
mit maximal 1.2 g beschleunigen!
cW
Widerstandsbeiwert des Körpers
A
Querschnittsfläche des Körpers
(senkrecht zur Geschwindigkeit)
Die Kraft ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit!
2. Stokes-Reibung
Bei der Bewegung aufgebrachte Leistung:
FR
Kugel in viskoser (zäher)
Flüssigkeit
v
Hier gilt für die Reibungskraft:
F = 6πηrv
v
Geschwindigkeit
P=
η
r
Fs
1
= Fv = cW ρ Av 3
t
2
Beispiel: Auto
Viskositätskonstante
der Flüssigkeit
Kugelradius
Die Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit!
A = 2.5 m2
ρ = 1.29 kg/m3 (Luft)
cW = 0.3
v = 100 km/h (27.8 m/s) :
F = 374 N
P = 10393 W ( = 14 PS)
v = 200 km/h (56 m/s) :
F = 1495 N
P = 83146 W ( = 113 PS)
56
4.9 Inelastischer Stoß
57
Die kinetische Energie wird verringert. Es gilt nur die Erhaltung der
Gesamtenergie:
„Reibungseffekte“ (Umwandlung kinetischer Energie in
Wärmeenergie) verändern Stöße.
Ekin + E pot + EW = E 'kin + E ' pot + E 'W
Hier ist
Beispiel: vollinelastischer zentraler Stoß
m1
m1
m2
v1
m2
v '1 = v '2
Kugeln bleiben zusammen
Dämpfer
Es gilt:
Impulserhaltung
⇔
⇔
Pges = P ' ges
m1v1 = m1v '1 + m2 v '2 = (m1 + m2 )v '1
v '1 =
m1 v1
m1 + m2
Für die kinetische Energie gilt:
vorher:
nachher:
1
kin
E ges
= m1v12
2
1
1
1
E 'kin
m1v'12 + m2 v'22 = (m1 + m2 )v'12
ges =
2
2
2
2
1 m1
m1
kin
v12 =
=
E ges
2 m1 + m2
m1 + m2
E pot = E ' pot = 0
Damit gilt für die Wärmeenergie:
E 'W = EW + Ekin − E 'kin
= EW +
m2
Ekin
m1 + m2
Die fehlende kinetische Energie ist in Wärmeenergie umgewandelt
worden.
Merke: bei inelastischen Prozessen gilt Impulserhaltung, aber
nicht die Erhaltung der kinetischen Energie! (sondern
nur die Erhaltung der Gesamtenergie)
58
5. Dynamik starrer Körper
59
Beispiel: Hantel
m1
Ausgedehnter Körper
Beschreibung:
besteht aus Punktmassen
mi and den Orten ri
r1
rs
m2 = m1
m1r1 + m2 r2 1 rs =
= (r1 + r2 )
2
m1 + m2
r2
mi
ri
Starrer Körper: die relativen
Abstände der Punktmassen
sind konstant:
rj
Die Bewegung eines Körpers lässt sich aufteilen in:
• Translation (Bewegung des Schwerpunkts)
ri − rj = konst . ∀i, j
mj
(Drehung um den Schwerpunkt)
5.1 Translation
Definition: Schwerpunkt
Die Schwerpunktskoordinate eines Körpers ist gegeben durch:
n
rs =
• Rotation
Bei der Translation verhält sich ein ausgedehnter Körper so, als
wäre seine gesamte Masse im Schwerpunkt konzentriert.
∑ mi ri
i =1
n
∑ mi
1
=
M
n
Beispiel: Hubarbeit
∑ mi ri
n
i =1
M: Gesamtmasse des Körpers
hs
rs =
∫V ρdV
n
Tisch
ρ : Dichte [kg/m3]
ri
W = ∑ mi g (ri '− ri )
n
n i =1
= ∑ mi g ri ' − ∑ mi g ri
i =1
Hocker
∫V r ρdV
ri '
g
i =1
genauer:
Summation über alle Teilelemente
Schwerpunkt
i =1
n
= g (∑ mi ri ' − ∑ mi ri )
i =1
i =1
= g ( Mrs '− Mrs ) = Mghs
Nur die Verlagerung des
Schwerpunkts zählt!
60
Kinetische Energie der Translation:
(alle Teilmassen haben dieselbe Geschwindigkeit)
n
1 2 1 2 n
1 2
E = ∑ mi vi = vs ∑ mi = M vs
2
2
i =1 2
i =1
61
ausgedehnter Körper:
n
n
1 2 1
1
2
E = ∑ mi vi = ω 2 ∑ mi r⊥i = Jω 2
2 i =1
2
i =1 2
Definition: Trägheitsmoment
Impuls der Translation:
n P = ∑ mi vi =Mvs
n
J = ∑ mi r⊥i
i =1
i =1
5.2 Rotation
genauer:
J = ∫ r⊥ ρ dV
2
Einschub: vektorielle Beschreibung einer Kreisbewegung
v = −r × ω = ω × r
ω
r⊥
α
r
v
ω
Beispiel: massiver Zylinder
Zur Berechnung von J wird der Zylinder
in Hohlzylinder mit Radius r⊥, Wanddicke dr⊥
und Länge L aufgeteilt.
v = r ω sin α
Volumen der Hohlzylinder:
= r⊥ω
r⊥
ρ : Dichte
V
: Vektor der Winkelgeschwindigkeit
Beträge:
2
dV = 2πr⊥ Ldr⊥
L
: Abstand zur Rotationsachse
Volumen des gesamten Zylinders:
r0
V = ∫ dV = ∫ 2πr⊥ Ldr⊥ = π r02 L
Kinetische Energie der Rotation:
Punktmasse
1
1
2
E = mv 2 = mr⊥ ω 2
2
2
J
r0
Drehachse
V
0
Masse des gesamten Zylinders:
r0
M = ∫ ρ dV = ∫ ρ 2πr⊥ Ldr⊥ = ρπ r02 L
V
0
62
Damit:
63
Beim ausgedehnten Körper gilt:
r0
J = ∫ ρr⊥2 dV = ∫ ρr⊥2 2πr⊥ Ldr⊥
V
r0
n
n l = ∑ r⊥i × pi = ∑ r⊥i × (ri × pi )
0
1
1
= 2πρL ∫ r⊥3dr⊥ = 2πρL r04 = Mr02
4
2
0
i =1
Mit
i =1
a × (b × c ) = (ac )b − (ab )c
gibt dies:
n
2
l = ∑ mi r⊥i ω = Jω
Das Trägheitsmoment eines massiven Zylinders ist so groß wie
das eines dünnwandigen Hohlszylinders mit gleichem Radius und
halber Masse!
i =1
Wichtig: J hängt von der Richtung von
ω
ab!
Impuls der Rotation:
p = mv = mr × ω
J
p = p = mv = mr⊥ω = ω
r⊥
Punktmasse
 J11

J =  J 21
J
 31
r⊥ p = Jω
also
Definition: Drehimpuls
J12
J 22
J 32
und es gilt:
l = Jω
l = r⊥ p = Jω
vektoriell:
Im allgemeinen Fall ist J eine Matrix (der Trägheitstensor):
l = r × p = Jω
(für gegebene Drehachse)
J13 

J 23 
J 33 
64
65
Gleichförmige Winkelbeschleunigung:
5.3 Drehmoment
T = konst.
l = Jω = T t
Betrachten Balken mit Gewichten
b1
b2
Im Gleichgewicht gilt:
F1b1 = F2 b2
F2
F1
(l0 = 0)
Daraus folgt:
1 J
ω = Tt
(Hebelgesetz: Hebelkraft mal
Hebellänge ist konstant)
bzw.
1 J
ωɺ = ϕɺɺ = T
Winkelbeschleunigung
5.4 Vergleich Translation/Rotation
Genauer:
b1⊥
β
b1
F1
Es zählt die Hebellänge senkrecht
zur Kraft
b2 ⊥
F1b1⊥ = F2 b2 ⊥
α
b2
F1b1 sin β = F2 b2 sin α
Rotation
Orts-Koordinate
Masse
Kraft
Impuls
vektoriell:
F2
Translation
b1 × F1 = b2 × F2
r
m
F
p = mv = mrɺ
t
p = p0 + ∫ Fdt
Winkel
ϕ
Trägheitsmoment
J
Drehmoment
Drehimpuls
T
l = Jω = Jϕɺ
t l = l0 + ∫ Tdt
0
Definition: Drehmoment
T = r ×F
r
in Bezug auf
den Drehpunkt
kin. Energie
Arbeit
Zusammenhang mit Drehimpuls:
l = Tt
Genauer:
t l = l0 + ∫ Tdt
0
M 2
vs
2
W = ∫ Fds
E=
Beschleunigung
F
a=
M
0
kin. Energie
Arbeit
J 2
ω
2
W = ∫ T dϕ
E=
Winkelbeschleunigung
ɺɺ T
ϕ=
J
66
67
Anwendungen
Die Schwingungsfrequenz eines Fadenpendels im Fall kleiner
Auslenkung ist damit:
Beispiel: Fadenpendel
ϕ
T = r ×F g
Das Drehmoment ist
l
also
T = − rFg sin ϕ = −lFg sin ϕ
m
Für kleine ϕ gilt:
Fg
und damit
Die Frequenz hängt nur von der Pendellänge ab, nicht von der
Masse!
sin ϕ ≈ ϕ
T = −lFgϕ
Das Trägheitsmoment ist
Zahlenwerte:
J = ml 2
T − lmg
g
=
ϕ =− ϕ
2
J
ml
l
Kinetische Energie nach Weg
s
∆h
m
Lösungsansatz für diese Differentialgleichung:
g
ϕ0ω (− sin(ωt )) = − ϕ0 sin(ωt )
l
g
g
⇒
ω2 =
ω=
l
l
Einsetzen:
⇒
Unter dieser Bedingung erfüllt das angenommene ϕ(t)
die Differentialgleichung.
Ekin =
α
ϕ (t ) = ϕ0 sin(ωt )
2
Sekundenpendel (f = 1/s)
l = 0.248 m
2-Sekundenpendel (f = 0.5 1/s) l = 0.99 m
Beispiel: Zylinder auf schiefer Ebene
Für die Winkelbeschleunigung gilt damit:
ϕɺɺ =
g
l
ω=
Damit gilt:
⇒
s=
m 2 J 2
v + ω = mg∆h
2
2
v = rω
Es ist
m 2 J 2 mr 2 + J 2
v = mgs sin α
v + ω =
2
2
2r 2
v=
2mr 2
g sin α s
mr 2 + J
Vergleiche mit gleichförmiger Beschleunigung:
1 2 v2
s = at =
2
2a
⇒
∆h
sin α
v = 2as
68
Beschleunigung des Zylinders also:
a=
69
5.5 Steinerscher Satz
2
mr
sin α g
mr 2 + J
Bei Rotation eines Körpers um eine Achse, die nicht durch
den Schwerpunkt führt, gilt für das Trägheitsmoment:
J = J s + Ma 2
Diskussion verschiedener Fälle:
1. gesamte Masse im Schwerpunkt:
⇒
J =0
a = sin α g
Js : Trägheitsmoment um Schwerpunkt
M : Gesamtmasse
(altes Ergebnis für schiefe Ebene!)
2. Hohlzylinder:
⇒
3. Massiver Zylinder:
⇒
J = mr 2
1
a = sin α g
2
1
J = mr 2
2
2
a = sin α g
3
a : Abstand des Schwerpunkts zur Achse
Grund: die Bewegung des Körpers läßt sich zerlegen in die
Rotation des Körpers um seinen Schwerpunkt und der Bewegung
des Schwerpunkts auf einer Kreisbahn.
Beispiel: Stabpendel
Drehpunkt
Trägheitsmoment des Stabs um seinen
Schwerpunkt:
l
ϕ
m/2
l/2
J s = 2 ∫ r dm = 2 ∫ r 2 ρAdr
2
Der Hohlzylinder beschleunigt am langsamsten (hier wird nur die
Hälfte der potentiellen Energie in kinetische Energie umgewandelt)
Schwerpunkt
Fg
0
0
mit Dichte ρ und Querschnittsfläche A
2
M l
1 l3
1 l 
J s = 2 ρA
= ρAl   =  
38
3 2 
3 2
2
70
71
ω
Trägheitsmoment um den Drehpunkt:
2
l 4 l
J = Js + M   = M  
2 3  2
L' = J 'ω ' = L = Jω
r‘
Differentialgleichung:
⇒
l
Mg
−
T
2 ϕ = −3 gϕ
ϕɺɺ = =
J 4  l 2
2l
M 
3 2
ω=
⇒
Zahlenwert:
J ' = 2mr '2
m
2
l = 1m
3g
2l
⇒
ω = 3.9 1/s; f = 0.6 1/s
J
r2
ω' = ω = 2 ω
J'
r'
Eine Verringerung des Trägheitsmoments beschleunigt die Rotation!
Kinetische Energie:
J ' 2 mr '2 r 4 2 r 2 mr 2 2
ω = 2
ω
E' = ω' =
2
2 r '4
r' 2
Die kinetische Energie erhöht sich (die Verringerung des
Trägheitsmoments erfordert Arbeit!).
5.7 Kreisel
5.6 Drehimpulserhaltung
In einem System, auf das kein äußeres Drehmoment wirkt, ist der
Gesamtdrehimpuls eine Erhaltungsgröße.
n l ges = ∑ li = konstant
i =1
Ein Kreisel behält seine Ausrichtung bei, wenn keine Drehmomente
auf ihn wirken (Kreiselkompass!). Wirkt ein Drehmoment auf ihn,
weicht er „senkrecht dazu“ aus.
Beispiel: waagerechter Kreisel mit Zusatz-Gewicht
r
Beispiel: Rotation mit veränderlichem J
ω
m
r
J = 2mr 2
L = Jω
m
Fg
ω
l
Drehmoment:
T = r × Fg
(T ⊥ l )
T = T = rmg
In der Zeit dt erzeugt dies einen
Drehimpuls von:
dl = Tdt
( dl ⊥ l )
72
73
Von oben betrachtet:
der zusätzliche Drehimpuls
erzeugt
eine Rotation von l
dϕ l
l'
Winkel:
dl
dl
T dt
dϕ = arctan = arctan l
l
Für dt→0 wird dies:
T dt mgr
dϕ = =
dt
l
l
Die Winkelgeschwindigkeit ist dann:
ω=
dϕ rF rmg
=
=
dt
l
l
(Präzessionsfrequenz)
Der Kreisel wird durch das Zusatzgewicht nicht aus der Waagerechten
heraus gekippt, sondern präzediert in einer waagerechten Ebene.
Die Präzessionsgeschwindigkeit ist umso größer, je größer das
ausgeübte Drehmoment und je kleiner der Drehimpuls des Kreisels
ist.
Beispiel: schräger Kreisel im Schwerefeld
Masse
m
h
l
Drehmoment:
g
T = r × Fg
T = hmg sin α
Änderung des Drehimpulses in
der Zeit dt:
dl = Tdt
α
Schwerpunkt
( dl ⊥ l )
dϕ
l⊥ '
Winkeländerung:
l⊥
dl
l
dϕ =
T dt
l⊥
=
hmg sin α
dt
l sin α
Winkelgeschwindigkeit:
ω=
dϕ hmg
=
dt
l
Präzessionsgeschwindigkeit
schräger Kreisel
Die Präzessionsgeschwindigkeit hängt nicht von dem Winkel
des Kreisels ab, sondern nur von seiner Masse und seinem
Drehimpuls!
74
6. Mechanik deformierbarer Körper
Materie ist aus Atomen aufgebaut, die durch Bindungen
zusammengehalten werden. Bei höheren Temperaturen führt die
thermische Energie der Atome zum teilweisen oder völligem Bruch
der Bindungen.
75
Genauer: der Aggregatzustand hängt von der Temperatur und
dem Druck ab.
6.1 Flüssigkeiten
Definition:
Aggregatzustände
Fest (niedrige Temp.):
formstabil, elastisch, kann
brechen (spröde); häufig
geordneter Aufbau
Druck ist Kraft pro Fläche
F
Kolben
(Fläche A)
Atome
p=
F
A
Einheit Pascal
Flüssigkeit
(oder Gas)
[Pa] = [N/m2]
(105 Pa = 1 bar)
Bindungen
Flüssigkeiten und Gase geben Druck weiter; in einem Behälter mit
ruhendem Medium wirkt auf alle Flächen derselbe Druck
(Schwerkraft vernachlässigt).
Flüssig (mittlere Temp.): ähnliche Dichte wie fester
Zustand, volumenelastisch,
nicht formstabil;
ungeordneter Aufbau
6.1.1 Hydraulik
Der gleichmässige Druck in einem Behälter läßt sich zur KraftWeitergabe und Kraft–Verstärkung ausnutzen.
Druck im Behälter:
Gasförmig (hohe Temp.): geringe Dichte, sehr
kompressibel;
ungeordnet, keine Bindungen
F1
Fläche
A1
F2
p=
Fläche
A2
F1
A1
Kraft auf zweiten Kolben:
F2 = pA2 =
A2
F1
A1
76
77
6.1.2 Schweredruck
Die Kraft kann also beliebig verstärkt werden!
Im Schwerefeld entsteht Druck aufgrund der Masse einer
Flüssigkeit (bzw. eines Gases)
Frage: läßt sich so Energie gewinnen?
Berechnung der geleisteten Arbeit:
g
Kolben 1 bewege sich um Strecke l1 ; dabei wird ein Volumen
bewegt von
V1 = l1 A1
h
oberer Teil
der Flüssigkeit
wirkt als
„Kolben“
Wenn die Flüssigkeit als inkompressibel angenommen wird,
bewegt sich Kolben 2 damit um:
l2 =
V2 V1
=
A2 A2
W1 = l1F1
Kolben 2:
W2 = l2 F2 =
⇒
F ρVg ρhAg
=
=
A
A
A
p = ρhg
Der Druck nimmt linear mit
der Tiefe zu!
Flüssigkeit mit
Dichte ρ
V1 A2
F1 = l1F1
A2 A1
Die am Kolben 1 und vom Kolben 2 geleistete Arbeit ist
identisch; wie beim Flaschenzug läßt sich nur die Kraft
verstärken; die Arbeit (Kraft mal Weg) bleibt dieselbe!
Allgemein: die Volumenarbeit an Flüssigkeiten oder
Gasen ist gegeben durch
V
W = lF = F = pV
A
p=
Fläche A
Geleistete Arbeit:
Kolben 1:
Druck in der Tiefe h (äußerer
Druck vernachlässigt:
Beispiel: für Wasser ist ρ = 1000 kg/m3; damit ist
N
p = 9810  3  h
m 
Der Druck im Wasser steigt also alle 10 m Wassertiefe um etwa
105 Pa oder 1 bar.
Senkrecht zur Schwerkraft ist der Druck konstant (aufgrund des
gleichmässigen Drucks innerhalb einer Flüssigkeit)
V2
bzw.
W = ∫ p(V )dV
V1
⇒ der Druck in einem beliebigen Gefäß hängt nicht von der
Form des Gefäßes, sondern nur vom senkrechten Abstand zur
Flüssigkeitsoberfläche ab!
78
6.1.3 Auftrieb
79
Damit gilt für die Auftriebskraft eines Körpers in einer Flüssigkeit
im Schwerefeld:
Jeder Körper in einer Flüssigkeit im Schwerefeld erfährt eine
Auftriebskraft.
äußerer
Druck p0
Fläche
A
F2
F1
g
h2
Kraft auf untere Fläche
F1 = ( p1 + p0 ) A = ( ρh1 g + p0 ) A
h1
Kraft auf obere Fläche
F2 = ( p2 + p0 ) A = ( ρh2 g + p0 ) A
F1 − F2 = ρgA(h1 − h2 ) = ρgV
V: Volumen des Quaders
Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der von dem
Körper verdrängten Flüssigkeit!
6.1.4 Oberflächenspannung
Um eine neue Oberfläche zu erzeugen,
müssen Bindungen gebrochen werden.
Die aufzubringende Energie ist proportional
zur erzeugten Fläche:
Es wirkt also eine nach oben gerichtete Kraft, die dem Volumen
des Quaders und der Dichte der Flüssigkeit proportional ist
(die Kräfte auf die Seitenflächen kompensieren sich, da der Druck
auf gleicher Höhe gleich ist).
EOF = σ A
A : Fläche
σ : Oberflächenspannung
Gilt für beliebige Körper:
diese lassen sich in senkrechte Quader
aufteilen; die gesamte Auftriebskraft
ist dann
n
n
i =1
i =1
F = ∑ Fi = ∑ ρgVi = ρgV
Auftriebskraft
ρ: Dichte der Flüssigkeit
V: Volumen des Körpers
Für einen senkrechten Quader gilt:
Quader in Flüssigkeit
Differenz:
FA = ρgV
neue
Oberflächen
gebrochene
Bindungen
Beispiel: Kraft auf einen benetzten Bügel
b
F
∆x
Flüssigkeit
Flüssigkeitsfilm
Eine Verschiebung um ∆x
vergrößert die Oberfläche
des Films:
∆ A = 2b∆x
(der Film hat zwei Oberflächen!)
80
Oberflächenenergie:
81
6.1.5 Strömungen
∆ E = σ∆A = σ 2b∆x
Strömungen haben ortsabhängige Geschwindigkeiten:
Geleistete Arbeit also:
v = v (r )
∆W = F∆x = σ 2b∆x
Damit ist die Kraft:
F = 2σ b
Massenstromdichte:
v
erlaubt Messung der
Oberflächenspannung!
j = ρ ( r )v ( r )
ρ: Massendichte
Einheit der Stromdichte:
Beispiel: Druck in Seifenblase
gesamte Oberfläche des Films:
pa
A = 4πr 2
Massenfluß durch eine Fläche A:
2
r
φ = jA
( = jA
(zwei Grenzflächen!)
pi
dA
= 16πr
dr
Ableitung nach r:
Änderung von A bei Änderung von r um dr:
A1
A2
v1
dE = σdA = σ 16πrdr
Der Massenfluß durch A1 und A2 muss
gleich sein
φ1 = φ2
j1 A1 = j2 A2
v2
Vom Gas in der Blase geleistete Arbeit:
dW = ( pi − pa )dV = ( pi − pa )4πr dr
falls j ⊥ A)
Für eine inkompressible Flüssigkeit ist die Massendichte
ortsunabhängig. Damit gilt bei einer Änderung des Querschnitts
eines durchströmten Rohrs:
dA = 16πrdr
Damit verbundene Änderung der Oberflächenenergie:
 kg 
 m 2s 
ρv1 A1 = ρv2 A2
Flüssigkeit
2
also
Im Gleichgewicht ist dies gleich dE:
dE = dW
⇒
pi − pa =
4σ
r
Druckdifferenz
zwischen innen
und außen
bzw.
v2 =
A1
v1
A2
v1 A1 = v2 A2
„Kontinuitätsgleichung“
Die Strömungsgeschwindigkeit nimmt an
Engstellen zu!
82
6.1.6 Bernoulli-Gleichung
83
allgemein:
1
p + ρv 2 = konstant = p0
2
In einer Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit (oder eines
Gases) sind Druck und Strömungsgeschwindigkeit direkt
miteinander verknüpft.
A1
v1
p1
p2
A2
v2
Rohr mit Verjüngung:
das in einer Zeit ∆t eintretende
Volumen ist gleich dem
austretenden Volumen:
∆V1 = ∆V2 = ∆V
Bernoulli-Gleichung
Der Druck in einer Strömung nimmt mit der Geschwindigkeit ab!
6.1.7 Flüssigkeit mit innerer Reibung
z
v
An der Flüssigkeit wird am Eintritt Arbeit geleistet:
Fläche
A
∆W1 = p1 A1∆x1
Für die Reibungskraft zwischen
zwei Flächen, zwischen denen sich eine
viskose Flüssigkeit befindet, gilt:
F = − Aη
Am Austritt leistet die Flüssigkeit Arbeit:
∆W2 = p2 A2 ∆x2
η: Viskositätskonstante
A: Flächengröße
v: relative Geschwindigkeit
z: Abstand
Flüssigkeit
Der Volumenfluß erzeugt einen Zu- und Abfluß kinetischer Energie:
1
∆E1 = ρ∆V1v12
2
1
∆E2 = ρ∆V2v22
2
Im Gleichgewicht muss die Energiebilanz ausgeglichen sein:
∆E1 + ∆W1 = ∆E2 + ∆W2
also
1
1
ρ∆Vv12 + p1∆V = ρ∆Vv22 + p2 ∆V
2
2
1 2
1
ρv1 + p1 = ρv22 + p2
2
2
v
z
Die Kraft wirkt der Bewegung entgegen, daher das Minuszeichen
(häufig wird nur der Betrag der Kraft angegeben).
Diese Reibungskraft tritt auch zwischen Flüssigkeitsschichten
auf; hier gilt das obige Gesetz in differentieller Form:
F = − Aη
dv
dz
Die innere Reibung bestimmt das Geschwindigkeitsprofil
einer Strömung.
84
Beispiel: rundes Rohr
p1
Betrachten ein Teilvolumen
mit Radius r, welches sich mit der
Geschwindigkeit v der Strömung bei
r bewegt.
Teilvolumen
Auf dieses wirkt die Reibungskraft:
v
Rohr
L
Fp = ( p1 − p2 )πr 2
r0
Also:
strömende
Flüssigkeit
η 2πrL
⇒
dv
= −( p1 − p2 )πr 2
dr
dv
∆p
=−
r
dr
2ηL
Dies gilt für Teilvolumina aller Radien; damit läßt sich das
Geschwindigkeitsprofil im Rohr durch Integrieren berechnen
v(r ) = −
∆p 2
r + v0
4ηL
Da die Geschwindigkeit an der Rohrwand (r = r0) Null sein muss,
gilt
v(r ) =
Der Gesamtfluß durch das Rohr ergibt sich durch Integration des
Strömungsprofils:
ρ∆pπ
(r02 − r 2 )rdr
φ = ∫ ρv(r )2πrdr =
∫
2ηL 0
0
r0
∆p 2 2
(r0 − r )
4ηL
r0
=
dv
dv
FR = ηA = η 2πrL
dr
dr
Diese muss durch die Differenz
der Druckkräfte auf das Teilvolumen
aufgebracht werden:
p2
85
⇒
ρ∆pπ 1 4 1 4 ρ ∆pπ 1 4
( r0 − r0 ) =
r0
4
2ηL 4
2ηL 2
φ=
ρπ∆p 4
r0
8ηL
Hagen-Poisseuille
Der Gesamtfluß durch ein Rohr bei gegebener Druckdifferenz
und Rohrlänge ist proportional zur vierten Potenz des Rohrradius!
86
87
Das Kraftgesetz gilt nur für geringe Verformungen; bei größereren
Spannungen erfolgt der Übergang von elastischer zu plastischer
(permanenter) Verformung.
6.2 Deformierbare feste Körper
6.2.1 Kraftgesetze
Definition: mechanische Spannung
Stab
F
σ=
A
∆l
l
F
N
 m 2 
σ
Beispiel Kupfer
( E = 120 109 Pa)
N
 m 2 
plastisch
108
(negativer Druck)
Fläche A
reisst
elastisch
Für die Längenänderung des Stabs gilt:
∆l σ
1
= =
F
l E EA
bzw.
σ =E
1 10-3
3 10-3
0.1
Hook‘sches
Gesetz
∆l
l
Weitere Verformungen
E: Elastizitätsmodul (Materialkonstante)
Körper unter Druck
Kompression
Die Längenänderung ist proportional zur Kraft!
F
Volumenabnahme
p
∆V
= −κ p
V
Andere Schreibweise: die Gegenkraft ist gegeben durch
F =−
2 10-3
EA
∆l = − D∆l
l
D: Federkonstante
F
F
κ : Kompressibilität
∆l
l
88
Scherung
A
Tangentiale Kraft auf Fläche:
Schubspannung
F
τ=
α
F
A
N
2
 m 
Die Schubspannung erzeugt eine Scherung
um den Winkel α:
α=
1
τ
G
G : Torsionsmodul
Drillung
T
Das Drehmoment erzeugt einen
Verdrillungswinkel α
α=
α
1
2l
T=
T
DR
π GR 4
DR: Richtgröße
Für alle Verformungen gilt: die Verformung ist proportional
zur Kraft für kleine Verformungen! Die potentielle Energie
ist damit proportional zum Quadrat der Verformung.
89
7. Schwingungen und Wellen
Bewegung um Potentialminima führt zu periodischen Vorgängen
(Schwingungen).
90
mathematischer Einschub:
Additionstheoreme der
trigonometrischen Funktionen
Es gilt:
cos(α + β ) = cos(α ) cos( β ) − sin(α ) sin( β )
cos(α − β ) = cos(α ) cos( β ) + sin(α ) sin( β )
Harmonischer Oszillator
Kraft:
F = − Dx
x
D
Potentielle Energie:
E pot =
Es gilt:
( genauer:
d
V (x )
dx
F = −∇V (r ) )
F =−
D 2
x = V ( x)
2
sin(α + β ) = sin(α ) cos( β ) + cos(α ) sin( β )
sin(α − β ) = sin(α ) cos( β ) − cos(α ) sin( β )
Daraus folgt:
α α
α
α
= 2 cos 2 ( ) − 1
2
α
ma = F
⇔
hier:
d
V (x )
dx
1 d
ɺxɺ = −
V ( x)
m dx
mɺxɺ = −
D
ɺxɺ = − x
m
α
α
= cos 2 ( ) − (1 − cos 2 ( ))
2
2
Differentialgleichung:
⇔
α
cos(α ) = cos( + ) = cos 2 ( ) − sin 2 ( )
2 2
2
2
= 1 − 2 sin 2 ( )
2
Damit:
α 1
cos 2 ( ) = (1 + cos(α ))
2
2
α 1
sin 2 ( ) = (1 − cos(α ))
2
2
91
Lösung der Differentialgleichung:
92
Beispiel: Kastenpotential
V(x)
x (t ) = a sin ωt + b cos ωt
mit ω =
D
m
Teilchen im Kastenpotential
wird bei x=0 und x=l reflektiert
a,b: Konstanten (bestimmt durch Startbedingungen x0 und v0)
x
l
0
Die Geschwindigkeit ist gegeben durch:
Ortskurve:
v (t ) = xɺ (t ) = aω cos ωt − bω sin ωt
x(t)
Keine Sinus-Funktion!
Anharmonische Schwingung
l
x (t ) = x0 cos ωt
und damit
2v
l
b = x0 ; a = 0
Für x(0) = x0 und v(0) = 0 ist
x0
x(t)
x(0) = b; v(0) = aω
Für t=0 gilt:
τ=
0
Steigung:
Geschwindigkeit v
v0 = 0
harmonische
Schwingung
Beispiel: zwei schiefe Ebenen
π
ω
2π
t
V(x)
ω
Potential:
V ( x) = c x
Kraft:
F ( x ) = −c
-x0
b = 0; a =
Für x(0) = 0 und v(0) = v0 ist
in diesem Fall ist
x (t ) =
v0
ω
sin ωt
v0
ω
x
x
x
93
Ortskurve:
x(t)
4mv0
c
τ=
Keine Sinus-Funktion!
Anharmonische Schwingung
94
Allgemein: auch nichtperiodische Funktionen können in harmonische
Komponenten zerlegt werden; hier tragen sämtliche
Frequenzen (und nicht nur die Vielfachen einer
Grundfrequenz) bei. Daher wird die Summe durch ein
Integrale ersetzt:
f (t ) =
t
Parabelstücke
2
∞
π ∫0
1
a (ω ) =
2π
mit:
7.1 Fourier-Analyse
n
ω0 =
2π
τ
an , bn : Fourier-Koeffizienten
Berechnung der Koeffizienten:
bn =
2
τ
2
τ
−∞
∞
∫ f (t ) sin(ωt )dt
−∞
cos( nω0t ) + bn sin( nω0t )
n =1
mit
an =
∫ f (t ) cos(ωt )dt
komplexe Schreibweise:
∞
∑a
∞
1
b(ω ) =
2π
Jede periodische Funktion mit Periode τ kann in einer unendliche
Summe von harmonischen Komponenten zerlegt werden:
a
f (t ) = 0 +
2
a (ω ) cos(ωt ) + b(ω ) sin(ωt )dω
1
f (t ) =
2π
∞
~
∫ f (ω )e
− iω t
dω
−∞
1
~
f (ω ) =
2π
∞
∫ f (t ) e
iωt
dt
−∞
τ
∫ f (t ) cos(nω t )dt
0
0
τ
∫ f (t ) sin(nω t )dt
0
0
~
f (ω )
:
Fourier-Transformierte von f(t)
~
f (ω ) = a (ω ) 2 + b(ω ) 2 : Spektrum von f(t)
95
7.2 Wellen
Beispiel: Überlagerung zweier harmonischer Funktionen
f (t ) = cos(ω1t ) + cos(ω 2 t )
Ersetzen:
ω =
96
Harmonische Funktion in Abhängigkeit von der Zeit:
f(t)
ω1 + ω 2
Periode
mittlere Frequenz
2
ω − ω1
δ= 2
2
τ=
f (t ) = sin(ωt )
2π
ω
Differenzfrequenz
t
Damit ist:
f (t ) = cos((ω − δ )t ) + cos((ω + δ )t )
Harmonische Funktion in Abhängigkeit vom Ort:
= cos(ω t ) cos(δt ) − sin(ω t ) sin(δt )
+ cos(ω t ) cos(δt ) + sin(ω t ) sin(δt )
f(x)
Wellenlänge
λ=
f ( x ) = sin( kx)
2π
k
Also:
x
f (t ) = 2 cos(ω t ) cos(δ t )
Signal:
k=
Spektrum:
2π
f (t )
„Schwebung“
~
f (ω )
ω
2π
λ
Wellenzahl
(„Ortsfrequenz“)
Welle: harmonische Abhängigkeit von Ort und Zeit:
f ( x, t ) = sin( k ( x − ct )) = sin( kx − ωt )
t
2π
δ
ω
mit
ω = ck
97
Darstellung für feste Zeiten:
f(x,t)
98
Beispiel: wellenartige Anregung einer Pendelkette
t0
t1
t2
a
Kraft auf n-tes Pendel:
Fn = D (u n +1 − u n ) − D (u n − u n −1 )
x
D
un-1
Für feste Orte:
f(x,t)
x0
x1 x2
un
un+1
Differentialgleichung
m
(ma=F):
muɺɺn = D (u n +1 + u n −1 − 2u n )
t
Lösung:
u n (t ) = u 0 cos( kx − ωt )
mit
Für Orte gleicher Amplitude gilt:
k ( x − ct ) = konstant = ϕ 0
x=
ϕ0
k
+ ct = x0 + ct
Diese Orte (und damit die Welle) bewegen sich also mit
der Geschwindigkeit:
v=c=
Und damit auch:
v=
ω
k
=
ω
Die Lösung gleicht einer Welle, mit dem Unterschied, dass
sie nur an diskreten Orten (den Orten der Pendel)
definiert ist.
Jetzt: Betrachtung eines kontiniuierlichen, elastischen Mediums:
un
k
Aufteilung in Teilstücke
der Länge ∆x
(mit Index n)
2π / τ λ
= = λf
2π / λ τ
Geschwindigkeit = Wellenlänge mal Frequenz !
x = na
∆x
Fläche A
99
100
Masse der Teilstücke:
∆m = ρA∆x
( ρ : Dichte )
Die zweite Ableitung ist dann:
xn + xn +1
x + xn
) − f ' ( n −1
)
2
2
f ' ' ( xn ) =
∆x
f ( xn+1 ) + f ( xn −1 ) − 2 f ( xn )
f ' ' ( xn ) =
∆x 2
f '(
Kraftgesetz des Mediums:
F = EA
∆l
l
( E : Elastizitätsmodul )
Damit ist die Kraft auf das n-te Teilstück bei Verschiebung um un:
Fn = EA
u n +1 − u n
u − u n −1
− EA n
∆x
∆x
Damit läßt sich die Differentialgleichung schreiben als:
Damit lautet die Differentialgleichung:
EA
(u n +1 + u n −1 − 2u n )
∆x
∆muɺɺn =
ρA∆xuɺɺn =
uɺɺn =
uɺɺn =
und mit f statt u:
EA
(u n +1 + u n −1 − 2u n )
∆x
E d2
d2
(
,
)
=
f ( x, t )
f
x
t
ρ dx 2
dt 2
E (u n +1 + u n −1 − 2u n )
ρ
∆x 2
Einschub: diskrete zweite Ableitung (Definition der zweiten
Ableitung von diskreten Funktionen)
für die erste Ableitung gilt:
xn −1 + xn
f ( xn ) − f ( xn −1 )
)=
2
∆x
x + xn +1
f ( x n +1 ) − f ( xn )
f '( n
)=
2
∆x
f '(
E d2
u
ρ dx 2
Wellengleichung für ein elastisches Medium
Lösungsansatz:
f ( x, t ) = a0 cos( kx − ωt )
Einsetzen in Differentialgleichung:
− ω 2 a0 cos( kx − ωt ) =
E
ρ
(− k 2 a0 cos( kx − ωt ))
101
⇒
ω2
k2
=
E
ρ
7.3 Schallgeschwindigkeit
Schallgeschwindigkeit in Festkörpern:
Für die Geschwindigkeit der Welle gilt:
v=
und damit:
v=
102
ω
v =
k
E
ρ
v⊥ =
Wellengeschwindigkeit
im elastischen Medium
E
ρ
G
ρ
Longitudinalwelle
E: Elastizitätsmodul
Transversalwelle
G: Schermodul
E : Elastizitätsmodul
ρ : Dichte
Zahlenwerte (Longitudinalwellen):
Blei
1300 m/s
Eisen
5100 m/s
Diamant 17500 m/s
Damit lässt sich eine allgemeine Wellengleichung aufstellen:
2
d2
2 d
(
,
)
=
f ( x, t )
f
x
t
c
dt 2
dx 2
Je geringer die Dichte
und je höher die Härte,
desto größer die
Geschwindigkeit!
Schallgeschwindigkeit in Gasen
Dreidimensional:
d2
2 2
f
(
r
,
t
)
=
c
∇
f
(
r
,t)
dt 2
Hier ist
mit
E=
κ=
1
κ
1
γp
(Kehrwert der
Kompressibilität)
p: Druck
γ: Adiabatenexponent
(γ=5/3 für Atome;
γ=7/5 für zweiatomige
Moleküle)
103
104
Beispiel: „Orgelpfeife“
Damit wird die Schallgeschwindigkeit:
γ k BT
γp
vs =
=
ρ
m
1. Gasgefülltes Rohr, beidseitig geschlossen
u(x,t)
an den Enden
kann sich das Gas
nicht bewegen:
u=0
u(x,t)
m: Teilchenmasse
l
Zahlenwerte (20°C):
Luft
Helium
330 m/s
1007 m/s
Durch Reflektion an den Enden bilden sich stehende Wellen
7.4 Stehende Wellen
Auslenkungsprofil in der Grundmode:
Überlagerung einer „nach links“ und einer „nach rechts“
laufenden Welle:
u(x,t)
f ( x, t ) = cos(kx − ωt ) + cos(−kx − ωt )
x
l
= cos(kx) cos(ωt ) − sin(kx) sin(ωt )
+ cos(kx) cos(ωt ) + sin( kx) sin(ωt )
λ/2
= 2 cos(kx) cos(ωt )
Ortsfeste Funktion!
f(x,t)
„Knoten“:
Amplitude Null
„Bauch“:
maximale
Amplitude
Für die Grundmode gilt also:
λ
2
Frequenz:
t
=l
λ = 2l
⇒
f0 =
vs
λ
=
vs
2l
( Luft: für l = 1m erhält man f = 165 1/s )
105
1. Oberton
106
Damit ergibt sich für ein Auslenkungsprofil
u(x,t)
u(x,t)
f1 =
x
l
vs
= 2 f0
l
x
l
λ =l
folgendes Druckprofil:
p(x,t)
2. Oberton
u(x,t)
3v
f2 = s = 3 f0
2 l
x
l
λ = 2l / 3
p0
l
x
Der Druck hat „Bäuche“ an den Rohrenden!
usw.
2. Gasgefülltes Rohr, halboffen
Damit: die Frequenzen der Moden eines geschlossenen Rohrs
sind gegeben durch:
f =n
vs
2l
u(x,t)
n = 1,2,3,...
l
Druck kann sich nicht
aufbauen:
Druckknoten
Gas kann sich nicht
bewegen:
Druckbauch
Für den Druck in einer Welle gilt:
p ( x, t ) = p 0 −
u(x,t)
1 ∂
u ( x, t )
κ ∂x
Alle erlaubten Moden haben also Druckbäuche (Auslenkungsknoten)
bei x=0 und Druckknoten (Auslenkungsbäuche) bei x=l .
107
Grundton:
108
2. Oberton:
p(x,t)
Druck
p(x,t)
p0
l
λ/4
x
p0
l
u(x,t)
u(x,t)
x
f 2=
5λ / 4
5 vs
= 5 f0
4 l
Auslenkung
x
x
l
Frequenz:
f 0=
vs
λ
=
l
vs
4l
Die Frequenzen der Moden eines geschlossenen Rohrs
sind also gegeben durch:
1. Oberton:
f = ( 2n − 1)
p(x,t)
p0
l
u(x,t)
x
3λ / 4
x
n = 1,2,3,...
Nur ungerade Harmonische (Vielfache der Grundfrequenz)
sind erlaubt!
f 1=
l
vs
4l
3 vs
= 3 f0
4 l
109
110
Frequenz entgegen der Bewegungsrichtung
7.5 Doppler-Effekt
f2 =
Bewegt sich die Quelle im wellentragendem Medium, werden
Wellenlänge und Frequenz richtungsabhängig.
λ2
c
λ2
=
c
v
λ0 +
f0
=
c
c
v
+
f0 f0
=
1
v
1+
c
f0
( < f 0 !)
λ1
Quelle
Zusammengefasst:
v
f = (1 ± ) −1 f 0
c
∆x = vτ
Eine Quelle sende Wellen der Frequenz f0 aus. Zwischen dem
Aussenden zweier Wellenberge legt die Quelle eine Strecke ∆x
zurück, wodurch sich der Abstand der Wellenberge verändert.
Doppler-Effekt
7.6 Wellen im dreidimensionalen Raum
Wellen in Räumen verschiedener Dimension
Wellenlänge in Bewegungsrichtung:
λ1 = λ0 − ∆x = λ0 − vτ = λ0 −
∆x
f0
1D
2D
Wellenlänge entgegen der Bewegungsrichtung:
λ1 = λ0 + ∆x = λ0 + vτ = λ0 +
∆x
f0
f ( x, t ) = u 0 cos(kx − ωt )
f ( x, y, t ) = u 0 cos(k r − ωt )
 kx 
k =  ;
ky 
 x
r = 
 y
Frequenz in Bewegungsrichtung
f1 =
c
λ1
=
c
v
λ0 −
f0
=
c
c
v
−
f0 f0
=
1
v
1−
c
f0
3D
( > f 0 !)
f ( x, y, z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
k 
 x
k =  k y ;
k 
 z
 x
 
r =  y
z
 
111
genauer:
f ( x, y , z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
ω k
v= k k
y
112
7.6.1 Huygens-Prinzip
ebene Welle
Die Ausbreitung einer Welle im Raum kann konstruiert werden,
indem jeder Punkt eines Wellenbergs als Quelle einer Kugelwelle
angesehen wird.
λ
λ
Nach der Zeit
τ = λ /v
ist der Radius der Kugelwelle
r= λ; alle Teilwellen überlagern
sich zu einem neuen
Wellenberg
x
Wellenberge
1
f ( x, y , z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
r
y
Wellenberg
neuer
Wellenberg
Kugelwelle
λ
ω r
v= k r
Reflexion an Oberflächen:
neuer Wellenberg
x
einlaufender
Wellenberg
v
Wellenberge
Auftreffpunkt bewegt sich
Vorfaktor 1/r: Intensität nimmt mit Entfernung zur Quelle ab.
Von den Auftreffpunkten auslaufende Kugelwellen
113
v
v'
v
v'
α α'
114
7.7 Resonanz und Dämpfung
Jede Schwingung unterliegt einer Dämpfung
⇒ freie Schwingungen haben eine endliche Lebensdauer!
Es gilt α = α '
Einfallswinkel=Ausfallswinkel
Beugung an Wand:
7.7.1 gedämpfter harmonischer Oszillator
Kugelwellen
Differentialgleichung
ma = Fges = FD + FR
D
Welle dringt in
abgeschatteten
Bereich ein!
(allerdings mit
geringer Intensität)
muɺɺ = − Du − β uɺ
m
Flüssigkeit
⇒
Beugung an kleinem Loch:
Kugelwellen bilden
Kugelwelle!
Reibungskraft
(Stokes)
Federkraft
Lösung:
muɺɺ(t ) + β uɺ (t ) + Du (t ) = 0
u (t ) = u 0 e −t / t cos(ω t + ϕ )
L
Ein von einer ebenen
Welle beleuchtetes
kleines Loch wirkt
wie eine Punktquelle!
mit:
tL =
ω=
2m
β
Lebensdauer
D 1
−
m tL 2
Frequenz
115
u0 u(t)
Graph:
116
Lösung:
Abfall mit
Lebensdauer tL
u (t ) = u 0 cos(ωt + ϕ )
ω : Frequenz (durch äußere Kraft
vorgegeben)
ϕ : Phasenverschiebung der Schwingung
gegenüber treibender Kraft
u0 : Amplitude
mit
t
-u0
Es ist:
7.7.2 getriebener gedämpfter
harmonischer Oszillator
F0 / m
u0 =
(
Die Schwingungsamplitude bleibt zeitlich konstant, wenn eine
äußere Kraft die Dämpfung kompensiert.
D
4
− ω 2 )2 + 2 ω 2
m
tL
tL =
mit
Differentialgleichung:
2m
β
Diskussion:
D
ma = FD + FR + FA
für
muɺɺ(t ) + β uɺ (t ) + Du (t ) = F0 cos ωt
m
ω→∞
:
u0 → 0
ω→0
:
u0 →
quasistatisch!
(F/D ist die normale Auslenkung
einer Feder)
treibende Kraft
FA(t)
F0
D
ω→
D
m
:
u0 →
F0 t L
m 2ω
kann sehr groß
werden! (für große tL)
117
Graphen:
u0
Amplitude
ω
D
m
ω
0
Phase
um π/2 versetzt
in Phase
-π
ϕ
in Gegenphase
119
120
8.1 Temperaturskala
8. Wärmelehre
Temperatur T
Wärmeenergie:
Temperatur:
kinetische und potentielle Energie, die ein
System bei Temperaturänderung aufnimmt
oder abgibt
Maß für mittlere kinetische Energie eines
Systems (im Schwerpunktssystem)
Bemerkung: potentielle und kinetische Energie nehmen
mit der Temperatur zu; aber nur die kinetische Energie
ist streng proportional zur Temperatur
Definition:
Einheit Kelvin [K]
0K:
absoluter Nullpunkt
(keinerlei kinetische Energie
mehr im System)
273.16 K: Tripelpunkt des Wassers
(Eis, Wasser und Dampf sind
gleichzeitig vorhanden;
der Druck beträgt 612 Pa)
Damit ist die gesamte Temperaturskala festgelegt!
Bemerkung: Die Kelvin-Skala entspricht der Celsius-Skala,
sie ist nur verschoben.
Gleichverteilungssatz:
Jeder Freiheitsgrad eines Systems ist im zeitlichen Mittel
mit der Energie
1
E = k BT
2
angeregt.
kB: Boltzmann-Konstante
kB = 1.381*10-23 J/K
Die Celsius-Skala ist definiert über
0° C :
Schmelzpunkt des Wassers
bei 1.013 bar (273.15 K)
100° C : Siedepunkt des Wassers bei
1.013 bar (373.15 K)
121
Temperaturmessung:
122
Thermometer
Thermometer
∆x
Kapillare
(Radius r)
Ausnutzung thermischer Effekte:
Flüssigkeit
(Volumen V0)
• Materialausdehnung
• elektrischer Widerstand
• thermoelektrische Spannung
Eine geringe Veränderung des Volumens erzeugt eine
starke Verschiebung in der Kapillare
• Strahlungsleistung
∆V = γ V0 ∆T = π r 2 ∆x
• etc.
⇒
∆x =
Einfach: thermische Ausdehnung
Längenausdehnung:
l = l0 (1 + α T )
α: Ausdehnungskoeffizient
Werte:
Volumenausdehnung:
Eisen
Quartz
α = 12*10-6 1/K
α = 0.51*10-6 1/K
V = V0 (1 + γ T )
γ: Volumenausdehnungskoeffizient
Werte:
Benzol
γ = 10.6*10-4 1/K
Quecksilber γ = 1.8*10-4 1/K
V0
γ ∆T
πr2
Durch Wahl von Volumen und Kapillarradius läßt sich
die Verschiebung ∆x für eine gegebene Temperaturveränderung
beliebig groß machen!
8.2 Freiheitsgrade
Freiheitsgrad: jede verallgemeinerte Orts- und Impulsvariable
eines Systems, die quadratisch in die Gesamtenergie
eingeht (ausgenommen Schwerpunktskoordinaten)
Konkret: jede unabhängig wählbare kinetische Energie und
(bei Vibrationen) potentielle Energie bildet einen Freiheitsgrad
123
1-atomiges ideales Gas
Beispiel:
124
2-atomiges ideales Gas
Beispiel:
m
Atom
v
ω
für ein Atom gilt:
1 E kin = m v 2
2
m
r
1
1
1
2
2
2
= mv x + mv y + mv z
2
2
2
3 unabhängige Energien
⇒ 3 Freiheitsgrade (f=3)
hier ist die kinetische Energie eines Moleküls:
m
1 1 m
D
E kin = M v 2 + Jω 2 + rɺ 2 + r 2
2
2
4
2
3
Freiheitsgrade:
E ges = N At f
1
3
k BT = N At k BT
2
2
1 +
1 = 8
f=5
Die Gesamtenergie des Gases ist damit:
E ges =
Beispiel:
5
N At k BT
2
Festkörper
Energie pro Atom
m
⇒
und damit git für die mittlere (quadratische) Geschwindigkeit:
3
v 2 = k BT
m
+
(die Rotation um die Molekülachse und die Vibration
werden nicht angeregt)
Die mittlere kinetische Energie pro Atom ist also:
1 3
E kin = m v 2 = k BT
2
2
3
Aber: wegen quantenmechanischer Effekte sind Rotationen
mit kleinem Trägheitsmoment und Molekülvibrationen bei
Zimmertemperatur meist nicht angeregt
⇒
Gesamtenergie des Gases (mit NAt Atomen):
+
Gesamtenergie:
1 1 E = mv 2 + Dr 2
2
2
f=3 + 3 = 6
E ges = 3 N At k BT
125
126
8.3 Kinetische Gastheorie: Gasdruck
Definition: Wärmekapazität C
C=
Es ist
dQ
dT
Q: zugeführte Wärmenergie
Fläche
A
Die Wärmekapazität gibt das Verhältnis aus zugeführter Wärme
und Temperaturerhöhung an.
CV =
Bei festem Volumen:
dQ dE ges
=
dT
dT
Druck entsteht durch
Impulsübertrag bei
Stößen der Gasteilchen
mit der Wand
Gasgefülltes Volumen
Abschätzung der Zahl der Stöße mit der Wand
Damit werden die Wärmekapazitäten für die gegebenen Beispiele:
1-atomiges Gas
CV = 3/2 N kB
2-atomiges Gas
CV = 5/2 N kB
Festkörper
CV = 3 N kB
(Dulong-Petit)
Annahme: alle Teilchen haben die gleiche Geschwindigkeit v
und bewegen sich nur in x-, y- oder z-Richtung
⇒ im Zeitraum ∆t treffen 1/6 der Teilchen im Volumen
v ∆t A auf die Fläche A
Die Zahl der Stöße ist also
Definition: spezifische Wärmekapazität
Festkörper:
1 dQ
cV =
m dT
k
1
1
cV = 3 Nk B =
3 Nk B = 3 B
m
Nm At
m At
Je größer die Atommasse, desto kleiner die spez. Wärmekapazität!
mAt
3kB/mAt
cV (Exp.)
Blei
207 amu
120 J/K kg
129 J/K kg
Alu
27 amu
918 J/K kg
896 J/K kg
1
z = nv∆tA
6
Der Impulsübertrag dabei ist:
1
∆p = 2 zmv = nmv 2 A∆t
3
Dies erzeugt eine Kraft:
F=
∆p 1
= nmv 2 A
∆t 3
n: Teilchendichte
n=
N At
V
127
8.4 1. Hauptsatz
und damit den Druck:
F 1
2 m
= nmv 2 = n v 2
A 3
3 2
2
2 3
N
= nE kin = n k BT = nk BT = k BT
3
3 2
V
p=
Die Zustandsgleichung des idealen Gases lautet damit:
pV = Nk BT
In molaren Einheiten:
Definition:
Avogadro-Zahl NA (Zahl der Atome pro mol)
1 mol Atome
⇒
128
12C
Es gilt immer Energieerhaltung:
∆U = ∆Q + ∆W
Zugeführte Wärme (∆Q) oder am System geleistete Arbeit (∆W)
erhöht die innere Energie (U) des Systems.
Andere Formulierung: es gibt kein perpetuum mobile, d.h. eine
Maschine, die Arbeit leistet, ohne Energie zu verbrauchen
(also ohne die innere Energie des Systems zu senken oder Wärme
zugeführt zu bekommen).
Beispiel: ein ideales Gas leistet Arbeit bei Erwärmung
haben eine Masse von 12g
F (konstant)
NA = 6.022*1023 1/mol
dx
Damit:
Kolben
pV = Nk BT = N mol N A k BT = N mol RT
R = NAkB = 8.31 J/Kmol
Universelle Gaskonstante
Hier gilt dann:
V = N mol
RT
= 22.4 l
p
Volumen eines idealen Gases mit 1 mol Teilchen
bei Normalbedingungen (p=1.013*105 Pa, T=273.15 K)
1. Hauptsatz
die geleistete Arbeit ist Druckarbeit:
dW = Fdx = pAdx = − pdV
Veränderung innere Energie:
Gas
(T → T + dT)
dU = N At
f
k B dT
2
Damit wird folgende Wärme bei der Temperaturänderung zugeführt:
f
k B dT + pdV
2
f
f +2
= N k B dT + Nk B dT = N
k B dT
2
2
dQ = dU − dW = N
129
Bei Erwärmung dehnt sich das Gas aus und leistet Druckarbeit
gegen die Umgebung; daher muss für die Erwärmung mehr
Energie zugeführt werden als bei einem Gas mit festem Volumen.
130
Bei einer adiabatischen Zustandsänderung gilt:
dU = − pdV
Für ein ideales Gas also:
Die Wärmekapazität bei festem Druck ist damit:
Cp =
f
Nk BT
Nk B dT = −
dV
2
V
dQ
f +2
=N
kB
dT
2
Die Wärmekapazität bei festem Volumen war:
CV =
dV
fV
=−
dT
2T
⇒
dQ dU
f
=
= N kB
dT dT
2
Die Lösung für eine Differentialgleichung
d
a
f ( x) = − f ( x)
dx
x
Hieraus ergibt sich das Verhältnis der beiden Wärmekapazitäten:
Cp
CV
=
f +2
=γ
f
Adiabatenkoeffizient
f ( x ) = cx − a
V (T ) = cT
Damit erhält man:
8.5 Zustandsänderungen
Änderungen eines Systems können unter verschiedenen
Bedingungen stattfinden:
• isotherm :
• isochor :
• isobar :
• adiabatisch :
lautet
T konstant
V konstant
p konstant
∆Q=0 (kein
Wärmeaustausch)
−
(c frei wählbar)
f
2
Hat das Gas bei Temperatur T0 das Volumen V0, gilt
−
V (T0 ) = cT0
also insgesamt
f
2
= V0
und damit
T 
V = V0  
 T0 
−
f
2
c = V0T0
T 
= V0  
 T0 
1
1− γ
f
2
131
Mit
pV = Nk BT
lässt sich dies erstens umformen in:
 pV / Nk B 
V = V0 

 p0V0 / Nk B 
1
1− γ
1− γ
p V0  V 
=
p0 V  V0 
bzw.
oder zweitens:
bzw.
 p 
= V0  
 p0 
V 
= 
 V0 
Nk B T / p  T 
=
Nk B T0 / p0  T0 
p T T 
=
p0 T0  T0 
−1
1− γ
1
1− γ
V 
V 
 0
V 
p = p0  
 V0 
−γ
κ =−
1 dV
1
=
V dp γp
−γ
8.6 Druckarbeit
Ein Gas kann Arbeit leisten; wieviel, hängt von der Art der
Zustandsänderung ab.
Isobare Expansion: ein Gas wird bei konstantem Druck erwärmt,
wodurch es sich ausdehnt. Die geleistete Arbeit ist:
−γ
1− γ
∆ W = p ∆ V = p (V2 − V1 )
Zusammenfassung: für adiabatische Zustandsänderungen
des idealen Gases gilt
T 
V = V0  
 T0 
Die adiabatische Kompressibilität ist daher:
1
1− γ
1
1− γ
T 
= 
 T0 
132
1
1− γ
Adiabatische Expansion: ein komprimiertes Gas wird ohne
Wärmezufuhr langsam expandiert. Die Arbeit ist dann
∆ W = ∆ U − ∆ Q = ∆ U = U (T1 ) − U (T2 )
also die Differenz der inneren Energien. Beim idealen Gas
gilt
γ −1
2/ f
U =N
γ
 T  γ −1
p = p0  
 T0 
f
k BT
2
und
T1  V2 
=
T2  V1 
V 
= 2
 V1 
also
V 
f
f
∆W = N k B (T1 − T2 ) = N k B T1 (1 −  1 
2
2
 V2 
2/ f
)
133
Isotherme Expansion: das Gas wird bei konstanter Temperatur
expandiert. Der Druck hängt hier vom Volumen ab. Die
Druckarbeit ist:
V
∆W =
Für das ideale Gas gilt:
∆W =
V2
∫
V
1
2
∫ pdV
134
8.7 Entropie
Die Entropie eines Systems ist gegeben durch (statistische
Definition):
S = k B ln P
V1
NK BT
V
dV = NK BT ln( 2 )
V
V1
P ist die Wahrscheinlichkeit des „normalen“ Systemzustands
(da ungeordnete Zustände häufig wahrscheinlicher sind als
geordnete, ist die Entropie auch ein Maß für die „Unordnung“)
Die geleistete Arbeit hängt also von der Temperatur ab!
Für reversible Vorgänge gilt (phänomenologische Definition):
Dies erlaubt die Erzeugung von Arbeit durch eine
Wärmekraftmaschine!
∆S =
Möglicher Zyklus:
1. Erwärmung eines Gases von T1 auf T2
2. isotherme Expansion von V1 auf V2 (bei T2)
3. Abkühlung des Gases von T2 auf T1
4. isotherme Kompression von V2 auf V1
T2
Q2
Kontakt mit
Wärmebad 1
Für die geleistete Arbeit gilt:
W
Q1
T1
Kontakt mit
Wärmebad 2
Maschine
W≤
T2 − T1
Q2
T2
∆Q
T
Beispiel: isotherme Expansion eines idealen Gases
V1
p1, T
Druckarbeit:
Entropieänderung
damit:
V2
p2, T
∆ W = Nk BT ln
∆S =
V2
= ∆Q
V1
∆Q
V
= Nk B ln 2
T
V1
(∆U = 0)
135
Statistisch: Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen in V2, sich in
einem Teilvolumen mit Ausdehnung V1 aufzuhalten:
P=
V1
V2
136
8.8 2. Hauptsatz
Für die Gesamtentropie eines Systems und seiner Umgebung
gilt bei allen Vorgängen:
∆S ≥ 0
Wahrscheinlichkeit für N Teilchen, sich alle in V1 aufzuhalten:
V 
P =  1 
 V2 
Das Gesamtsystem geht nicht von selbst in einen
unwahrscheinlicheren Zustand über!
N
Ordnet man auch dem Zustand „alle Teilchen in V2“ eine
Wahrscheinlichkeit zu, erhält man:
Die Gesamtentropie erlaubt dabei einer Klassifikation der
Vorgänge:
reversibler Vorgang:
N
V 
PV1 =  1  PV2
 V2 
irreversibler Vorgang:
∆S = 0
∆S > 0
Andere Formulierungen des zweiten Hauptsatzes:
Entropieänderung bei Volumenzunahme damit:
∆ S = S 2 − S1 = k B ln PV2 − k B ln PV1
PV2
1. Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art (dieses erzeugt
Arbeit bei Abkühlung eines Wärmereservoirs ohne Erwärmung
eines anderen)
N
V
V
= k B ln
= k B ln( 2 N ) = Nk B ln 2
V1
PV1
V1
Es ergibt sich das gleiche Ergebnis!
2.
Es gibt keine Wärmekraftmaschine, die einen besseren
Wirkungsgrad hat als die Carnot-Maschine, d.h. besser
als
η=
W T2 − T1
=
Q
T2
137
8.9 Reale Gase
Reale Gase zeigen eine Abweichung vom idealen Verhalten
wegen der Wechselwirkung der Gasteilchen untereinander.
Näherungsweise lassen sie sich beschreiben durch die
Van-der-Waals-Gleichung (hier für 1 mol Gas):
N2
( p + a 2 )(V − Nb ) = Nk B T
V
„Binnendruck“
„Kovolumen“
Der Binnendruck ensteht durch die Anziehung der Teilchen
untereinander (van-der-Waals-Wechselwirkung) und erhöht
die Kompression des Gases. Das Kovolumen beschreibt die
endliche Ausdehnung der Teilchen, aufgrund derer das
Gas nicht beliebig dicht zusammengepresst werden kann.
Aufgelöst nach dem Druck:
Nk B T
N2
p=
−a 2
V − Nb
V
Kritischer Punkt
Flüssigkeit
Phasengemisch
Gas
138
9 Elektrizitätslehre
139
9.1.1 Kraftgesetz
9.1 Elektrostatik
Zwischen geladenen Körpern wirken Kräfte: gleichnamige
Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.
beschreibt die Wechselwirkung zwischen Ladungen
Stärke der Kraft (für punktförmige Ladungen):
Einheit der Ladung:
Coulomb [C]
r
Materie ist aus positiven und negativen Ladungsträgern
aufgebaut:
Protonen
Elektronen
Ladung +1.602*10-19 C
Ladung -1.602*10-19 C
F
+
q1
-F
q1
F=
F
+
• Reibung (z.B. Katzenfell und Kunststoffstab)
• chemische Reaktionen (z.B. Batterie)
• elektromagnetische Kräfte (z.B. Dynamo)
Coulomb-Gesetz
q2
q1, q2 :
r:
ε0 :
F +
q2
Ladungen
Abstand
Dielektrizitätskonstante
(Influenzkonstante)
Normalerweise ist die Zahl der Protonen und Elektronen
gleich ⇒ Materie ist ungeladen (neutral)
Laden von Materie geschieht durch Ladungstrennung,
verursacht durch:
q1q2
4πε 0 r 2
ε 0 = 8.85 *10 −12
As
Vm
Die Richtung der Kraft ist parallel zur Verbindungsachse:
F1 =
q1q2 r
2 4πε 0 r r
mit
F1
r1
r = r1 − r2
r
r2
140
141
Visualisierung des Felds durch „Feldlinien“ (Linien, die überall
parallel zu den elektrischen Feldvektoren verlaufen).
9.1.2 Elektrisches Feld
Die Coulomb-Wechselwirkung ist additiv:
q3
q4
F1 = q1
q2
q5
q1
Beispiel:
Kraft auf Ladung q1
n
∑
i =1
r1 − ri
4πε 0 r1 − ri 3
Feld eines Dipols
(Einheit aus positiver und negativer Ladung)
qi
E (r )
Ladungen
+
-
E (r )
Die Verteilung der Ladungen erzeugt ein elektrisches Feld
die Kraft auf eine Ladung q ist dann:
Eigenschaften:
F ( r ) = qE ( r )
• je stärker das Feld, desto dichter die Feldlinien
E (r ) ist ein Vektorfeld; für jeden Punkt im Raum ist ein
• jede Feldlinie beginnt und endet in einer Ladung
Vektor definiert.
Eine Punktladung erzeugt das elektrische Feld:
E (r ) =
Betrag:
r
4πε 0 r 3
q
E (r ) = E (r ) =
E (r )
+
q
4πε 0 r 2
nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab!
-
E (r )
Beispiel:
+Q
+
+
+
+
+
+
Kondensator (parallele Platten)
E
-Q
außen (fast) feldfrei
Stärke des elektrischen Felds:
- Fläche A
1 Q
-
E=
d
ε0 A
(unabhängig vom Plattenabstand d!)
142
143
Umkehrung der Integration:
9.1.3 Potential
= −∇
U (r) = − 
E

Bewegung einer Ladung in einem elektrischen Feld erfordert
Arbeit:
W = Fds = − q E (r )ds
∫
∫
s
s
(die aufgebrachte Kraft ist der Feldkraft entgegengesetzt)
Hierbei wird eine potentielle Energie Epot=W erzeugt.
Definition:
elektrisches Potential
δ
δx
δ
δy
δ
δz


 U (r)
Das elektrische Feld ist der negative Gradient des elektrischen
Potentials.
Einheit des Felds:
[V/m]
Bemerkung:
In einem Material mit frei beweglichen Ladungsträgern
(z.B. Metall) ist die elektrische Feldstärke Null
r
U ( r ) = − ∫ E ( r ) ds
r0
⇒ ein zusammenhängender Leiter (in welchem kein Strom
fließt) hat an jedem Punkt das gleiche Potential
⇒ leitende Flächen sind „Äquipotentialflächen“
Dann gilt für die potentielle Energie:
E pot ( r ) = qU ( r )
9.1.5 Kapazität
In einem Plattenkondensator ist die Feldstärke:
Die Potentialdifferenz zwischen zwei Orten heißt Spannung:
U 12

r2
= U ( r2 ) − U ( r1 ) = − ∫ Eds
r1
Einheit des Potentials (und der Spannung):
Volt [V]
1 [V] = 1 [J/C]
+Q
+
+
+
+
+
+
E
d
-Q
-
E=
1 Q
ε0 A
144
Damit ist die Potentialdifferenz zwischen den Platten:
145
Die Kapazität ist umso größer, je größer die Platten sind
und je kleiner ihr Abstand.
r2
1 Q
d
U 2 − U1 = − ∫ Eds = Ed =
A
ε
0
r
1
Platte 2 hat gegenüber Platte 1 eine Spannung von
U =
1 Q
d
ε0 A
Umgekehrt gilt: die Spannung am Kondensator für gegebene
Ladung ist:
U=
Q Qd
=
C ε0 A
Die Spannung nimmt mit d zu!
(das positive Vorzeichen gilt für eine positive Ladung)
Energie eines Kondensators
Definition:
Kapazität eines Kondensators
Aufzubringende Arbeit für Plattenabstand d:
Q
C=
U
1
1
W = EQd = UQ
2
2
Die Kapazität ist das Verhältnis zwischen Ladung und
angelegter Spannung.
Einheit:
Farad [F]
( ½EQ ist die Kraft zwischen den Platten; der Faktor ½ rührt
daher, dass hier eine Platte das Feld erzeugt, während die
andere als Testladung fungiert)
1 [F] = 1 [C/V]
Die gespeicherte Energie ist damit:
Die Kapazität des Plattenkondensators ist damit:
C=
Q
A
= ε0
U
d
1
1
1 Q2
2
W = UQ = CU =
2
2
2C
146
147
9.1.6 Dielektrika
Stoff aus Atomen mit fest gebundenen Elektronen:
Materie im elektrischen Feld wird polarisiert.
E
Metall
+
+
+
+
-
Atome bilden Dipole
E
-
E
+
-
frei bewegliche Elektronen
resultierende
Oberflächenladung
elektrische Feldstärke
ist im Inneren Null!
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+
+
+
Für das Feld im Körper gilt:
1 Ei = E
ε
Dielektrikum
+
E
E
+ -
Elektronen
Atomkern
+
-
resultierende Oberflächenladung
(schwächt das elektrische Feld ab!)
Metalle schirmen elektrische Felder komplett ab!
Atom im elektrischen Feld
E
Elektronenwolke
verschiebt sich
⇒ Atom bildet Dipol
ε
:
(falls die Grenzfläche
senkrecht zum Feld
steht)
Dielektrizitätszahl (dimensionslos)
Typische Werte von ε :
Glas
Gummi
Wasser
5-10
3
81 (18° C)
148
149
9.2 Ladungstransport
Kondensator mit Dielektrikum
+Q
Feldstärke im Material
-Q
+
+
+
+
+
+
-
E=
1 Q
ε 0ε A
Zeichen: I
Einheit: Ampere
[A]
1 [A] = 1 [C/s]
Spannung zwischen den Platten damit
1 Q
U = Ed =
d
ε 0ε A
d
Kapazität:
Elektrischer Strom: pro Zeiteinheit transportierte Ladungsmenge
1 [C/s] = 6.24*1018 Elementarladungen pro Sekunde
Ladungsträger
- in Metallen und Halbleitern: Elektronen
- in Elektrolyten:
Ionen
- in Gasentladungen:
Elektronen und Ionen
Q
A
C = = ε ε 0 = ε C0
U
d
Die Kapazität erhöht sich um die Dielektrizitätszahl des
eingebrachten Materials!
Für die Spannung bei gegebener Ladung gilt:
U=
Q Q
=
C ε C0
Die Spannung erniedrigt sich um ε !
Die Ladungsträger unterliegen einer „Reibung“ im Material;
ohne äußeres Feld bewegen sie sich (im Mittel) nicht.
⇒ Strom fließt nur zwischen Orten mit unterschiedlichem
Potential (d.h. bei angelegter Spannung)
Definition:
Widerstand R
Einheit Ohm [ Ω]
Es gilt:
I=
U
R
1 [Ω] = 1 [V / A]
Ohm‘sches Gesetz
150
Der fließende Strom ist proportional zur angelegten Spannung
und zum reziproken Widerstand.
151
9.2.1 Verschaltung von Widerständen
Reihenschaltung:
U1
U2
R1
R2
Schaltkreis zum Ohmschen Gesetz:
R
Widerstand
Leitungen
Für den gesamten Widerstand der Kette gilt (der Widerstand
der Zuleitungen wird vernachlässigt):
I
-
+
R ges = R1 + R2
n
Spannungsquelle
(bei n Widerständen:
R ges = ∑ Ri
)
i =1
Definition: spezifischer Widerstand ρ
Bei angelegter Spannung U fließt der Strom:
Einheit [Ωm]
I=
Für einen homogenen Stab gilt:
A
R=ρ
l
A
An den Widerständen fällt dabei die Spannung ab:
R1
U
R1 + R2
R2
U 2 = R2 I =
U
R1 + R2
U1 = R1 I =
l
ρ ist materialspezifisch, hängt aber von der Temperatur ab:
Metalle:
Halbleiter:
ρ steigt mit T
ρ sinkt mit T
U
U
=
R ges R1 + R2
Dabei gilt:
U1 + U 2 = U
152
Parallelschaltung:
R1
9.2.1 Elektrische Leistung
I1
I
I
R2
153
Bewegt man eine Ladung Q zwischen zwei Orten mit
Potentialunterschied U, so verändert sich die potentielle
Energie der Ladung um
∆E pot = QU
I2
Dieser Energieunterschied muss als Arbeit aufgewendet werden
(oder wird freigesetzt). Geschieht dies in der Zeit t, so ergibt sich
eine Leistung von
1
1
1
= +
Rges R1 R2
hier gilt:
(bei n Widerständen:
n
1
1
=∑
Rges i =1 Ri
P=
W QU
Q
=
= U = UI
t
t
t
)
Elektrische Leistung ist also Spannung mal Strom!
Bei angelegter Spannung U fließt der Strom:
I=
Einheit Watt [W]
U
R ges
Der Strom teilt sich auf die Widerstände auf (an beiden
liegt die gleiche Spannung an):
I1 =
U
R1
I2 =
U
R2
1 [W] = 1 [J/s] = 1 [VA]
Beispiel: die an einen Widerstand angelegt Spannung U
führt zu einem Strom I; die Leistung ist hier
U U2
P = UI = U =
= RI I = RI 2
R
R
Damit gilt für den Gesamtstrom:
I = I1 + I 2 =
U U
1
1
1
+
=U( + ) =U
R1 R 2
R1 R 2
R ges
Die Leistung ist quadratisch im fließenden Strom
bzw. in der angelegten Spannung! (die Leistung
wird als Wärme an den Widerstand abgegeben)
154
155
9.3.1 Erzeugung von Magnetfeldern
daraus folgt:
• in einer Reihenschaltung wird der Widerstand mit dem
Das Magnetfeld ist ein Vektorfeld
höchsten Wert am stärksten erwärmt (da alle vom gleichen
Strom durchflossen werden)
Einheit:
• in einer Parallelschaltung wird derjenige mit dem kleinsten
Wert am stärksten erwärmt (da an allen die gleiche Spannung
anliegt)
Stromdurchflossene Leiter erzeugen ein Magnetfeld; dieses
übt Kräfte auf andere stromdurchflossene Leiter aus.
Dabei gilt:
F
I
F
B
antiparallele Ströme stoßen sich ab
Es gilt:
B
∫
A
Rand
(Weg)
Fläche A
parallele Ströme ziehen sich an
F
I
j
F
I
1[T] = 1 [ Vs/m2]
Tesla [T]
Magnetfelder werden von elektrischen Strömen erzeugt
el. Stromdichte
9.3 Elektromagnetismus
B(r )
µ0
Bds = µ 0 j dA = µ 0 I
∫
A
Das Wegintegral des Magnetfelds auf
einem geschlossenen Weg ist gleich dem
Integral der elektrische Stromdichte über
die eingeschlossene Fläche (dies ergibt
den gesamten durch diese Fläche
fliessenden elektrischen Strom)
: Induktionskonstante
µ0 = 4π * 10-7
Vs
Am
I
Zwischen zwei Leitern im Abstand von 1 m, in denen ein Strom
von 1 A fließt, wirkt eine Kraft von 2*10-7 N pro 1 m Länge.
(dies dient als die eigentliche Definition des Ampere!)
Merke: das Magnetfeld ist „rechtshändig“ (in Richtung des Stroms
gesehen umkreisen die Magnetfeldvektoren den Strom im
Uhrzeigersinn)
156
Ist das Magnetfeld auf dem Weg überall gleich stark und parallel
zum Weg ausgerichtet, ist das Wegintegral einfach die Multiplikation
mit der Weglänge:
Beispiel:
∫
Bds = B ds = BL
A
A
∫
157
Damit ergibt sich:
B = µ0
⇒
gerader langer stromdurchflossener Draht
I
B
∫
B
Bds = B 2π r = µ 0 I
A
B=
⇒
µ0
I
2π r
Auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld wirkt die Kraft:
Im Inneren homogenes
B-Feld, aussen Null
lange Spule
Weg für Integral
Dann gilt:
I
B
N Windungen auf Länge L
∫
Strom durch den
Draht
9.3.2 Kraftwirkung von Magnetfeldern
F = q v×B
Das Magnetfeld nimmt mit zunehmenden Abstand zum Draht ab
(und zwar umgekehrt proportional: doppelter Abstand heisst
halbes Magnetfeld).
Beispiel:
Magnetfeld in einer
langen Spule
N
I
L
Windungszahl
pro Länge
Aus Symmetriegründen muss das
Magnetfeld tangential auf Kreisen um
den Draht liegen. Damit gilt
r
BL = µ 0 NI
Bds = BL
Beispiel: Elektron im Magnetfeld
⊗
I ges = NI
B
Kreisbahn: Zentripetalkraft = Lorentzkraft
⊗
v
e-
A
Gesamtstrom durch die
vom Weg eingeschlossene
Fläche:
Lorentz-Kraft
⊗
F
r
⊗
⇒
v2
m = evB
r
mv
Bahnradius
r=
eB
158
Ströme sind bewegte Ladungen
⇒ auf stromdurchflossene Leiter im B-Feld wirken Kräfte
B
I
⊗ F
L
⊗
⊗
⊗
Strom:
Q
I=
t
Bewegen sich die Ladungsträger
mit Geschwindigkeit v durch den
Leiter, durchlaufen sie die Länge
L in der Zeit t=L/v
159
Umgekehrt gilt: Bewegung eines Leiters im Magnetfeld erzeugt
einen Strom im Leiter
B
⊗
⊗
v
elektrischem Feld
e-
⊗ F
⊗
⇒
Q
Q
Qv
I= =
=
t L/v L
Damit gilt:
B ⊗
F = LI ×B
F
µ I µ L
F = LIB = LI 0 = 0 I 2
2π r 2π r
I
(L=1m, I = 1A, r = 1m ⇒
r
E
⊗
Damit ist die Kraft zwischen zwei parallelen Leitern:
F
Bewegung im B-Feld „erzeugt“ E-Feld!
homogenes B-Feld
F = QvB = LIB
I
E = v×B
mit
Bewegte Leiterschleife im B-Feld
Die Kraft auf den Leiter ist dann:
vektoriell:
F = −e v × B
Kraftwirkung wie bei F = −e E
Kraft:
F = 2*10-7 N )
⊗ v
⊗
erzeugtes E-Feld ist überall
gleich groß
⇒ der Potentialunterschied
über die Leiterschleife ist
Null
inhomogenes B-Feld
B
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ E
⊗
stark
⊗
v
⊗
schwach
das erzeugte E-Feld ist ebenfalls
inhomogen
⇒ führt zu Potentialunterschied
über die Leiterschleife (Induktion)
160
Bei der Bewegung im inhomogenen Magnetfeld verändert sich
der magnetische Fluß durch die Schleife. Je inhomogener das
B-Feld, desto höher die induzierte Spannung, desto höher
aber auch die Änderung des Magnetfeldflusses durch die
Schleife.
Allgemein: die in einer Leiterschleife induzierte Spannung
ist proportional zur zeitliche Änderung des Magnetfeldflusses
durch die Schleife.
U
161
9.3.3 Induktionsgesetz
Jede zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch
eine Leiterschleife induziert eine Spannung (bei offener
Schleife) oder einen Strom (bei geschlossener Schleife)
Der induzierte Strom ist so gerichtet, dass das von ihm erzeugte
Magnetfeld der Ursache entgegenwirkt.
U = ∫ Eds = − ∫ Bɺ dA
A
Lenz‘sche Regel
A
Der magnetische Fluss durch die Leiterschleife kann geändert
werden durch:
• Änderung des Magnetfelds
• Änderung der Fläche der Schleife
• Änderung des Winkels zwischen Fläche
und Magnetfeld
Fläche A
Erinnerung:
j
Stromdichte
Beispiel: Dynamo
Der Gesamtstrom durch eine Fläche A ist:
I = ∫ j dA = j A = jA
B
A
für
homogenes
j
genauso:
A
zeitliche Ableitung:
φɺ = ∫ Bɺ dA
A
rotierende Spule
(Fläche A,
n Windungen)
BA = BA cos ωt
Induzierte Spannung:
Magnet
U =n
für j A
magnetischer Fluß durch eine Fläche
φ = ∫ BdA
Rotation:
U(t)
nωAB
d ( BA) = nBAω sin ωt
dt
Wechselspannung
t
− nωAB
(Amplitude steigt mit der Frequenz)
162
163
Dividieren der Gleichungen ergibt:
9.3.4 Transformator
B (t )
Durch Spule 1 fließt ein
Wechselstrom
Spule 2
I1 = I 0 cos ωt
U2
~ U1
Spule 1
und erzeugt ein zeitabhängiges
Magnetfeld.
Spannungsverhältnis
am Transformator
U1 n1
=
U 2 n2
Aufbau aus zwei Spulen:
Das Spannungsverhältnis entspricht dem Verhältnis der Windungszahlen! Eine Wechselspannung kann also mit einem Transformator
verstärkt oder abgeschwächt werden!
Jetzt mit Anschluss eines Verbrauchers:
B (t )
In Spule 2 induziert dieses Magnetfeld eine Spannung
U 2 = n2
d BdA = n2φɺ
∫
dt A
auch in Spule 1 wird eine Spannung induziert (Selbstinduktion):
U1 = n1φɺ
(hier geht der gleiche magnetische Fluß ein; dies gilt, wenn die
Spulen gleich groß sind und einen kleinen Abstand haben)
Diese Spannung U1 muss aufgebracht werden, um den Strom I1
aufrechtzuerhalten (eine Spule wirkt bei Wechselstrom wie ein
Widerstand).
Damit gilt für die Spannungen am Transformator:
U1 = n1φɺ = n1φ0 sin ωt
U 2 = n2φɺ = n2φ0 sin ωt
I2
Spule 2
R
Abgesehen von (geringen)
Verlusten muss die elektr.
Leistung erhalten bleiben:
~ U1
I1
Spule 1
P1 = P2
U1I1 = U 2 I 2
Mit obigem Ergebnis also:
I 2 U1 n1
=
=
I1 U 2 n2
Auch der Strom kann verstärkt oder abgeschwächt werden
(und zwar umgekehrt proportional zur Spannung)
164
165
9.3.5 Elektrotechnische Anmerkungen
Bemerkung: tatsächlicher Aufbau eines Transformators
B (t )
Im Haushalt: „230 V“ Wechselspannung, 50 Hz
U(t)
~ U1
325 V
U2
Spule 1
Amplitude: 325 V
Spule 2
t
-325 V
Eisenkern: verstärkt und führt das B-Feld
20 ms
Anwendung von Transformatoren: Stromtransport
Erzeugt am ohmschen Verbraucher die gleiche Leistung
wie eine Gleichspannung von 230 V:
I
P = UI
Leitung mit
Widerstand RL
Generator
P=
Verbraucher
∫ U (t ) I (t )dt =
0
1
τ
τ
∫ U 0 cos(ωt )
0
U0
cos(ωt )dt
R
2
U0 1
1 U 0 U eff
2
=
cos (ωt )dt =
=
Rτ0
2 R
R
2
∫
P2
PV = U L I = RL I 2 = RL 2
U
⇒
Verlust ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Spannung;
daher ist ein Transport bei hoher Spannung sehr vorteilhaft!
230 V
U eff =
1
U 0 = 230V
2
U
Kabel:
schematisch:
380000 V
τ
τ
τ
Verlustleistung in der Leitung:
230 V
1
braun
„Phase“
t
„Null“
t
„Erde“
t
blau
gelb/grün
Transformator
Transformator
166
Verbaucher werden mit „Phase“ und „Null“ verbunden;
„Erde“ dient ausschließlich zum Schutz!
9.3.6 Wirbelstrom
Die Bewegung eines ausgedehnten Leiters in einem inhomogenen
Magnetfeld erzeugt Kreiströme
Drehstrom: 3 Phasen
B
Amplitude: 325 V
U(t)
325 V
167
R
S
T
induzierte Ströme
v
I
t
Magnet
-325 V
max. Differenz:
3 * 325V = 562V
Die Ströme erzeugen Wärme
⇒ bei der Beweung wird Arbeit geleistet
⇒ zwischen Leiter und Magnet wirkt eine „Reibungskraft“
U
Kabel:
braun
„Phase R“
t
Technisch wird diese Kraft in „Wirbelstrombremsen“ genutzt.
„Phase S“
t
9.3.7 Selbstinduktion
Ein zeitabhängiger Strom durch eine
B (t )
schwarz
schwarz
„Phase T“
t
blau
~U
„Null“
t
„Erde“
t
Spule erzeugt ein zeitabhängiges
Magnetfeld; dieses erzeugt in der Spule
eine Gegenspannung
U L = nφɺ
gelb/grün
Drehstrom erlaubt höheren Strom und höhere Spannungen
(wichtig für starke Verbraucher)!
φ ist proportional zum Strom:
( γ hängt von der Spule ab)
φ = γI
168
U L = nγ Iɺ = LIɺ
⇒
L: Induktivität
Beispiel: lange Spule
Selbstinduktion
Einheit: Henry [H] = [Ωs]
n
l
φ = BA = µ0 IA
Hier ist
169
UC =
weiterhin
Q
C
Qɺ 1
Uɺ C = = I
C C
und damit
Beides eingesetzt in die Gleichung für die Spannungen:
also
n
U = nφɺ = nµ0 AIɺ = LIɺ
l
L = µ0
bzw.
1
I + LIɺɺ = 0
C
A 2
n
l
9.3.8 Schwingkreis
⇒
Differentialgleichung
für die Stromstärke im
Schwingkreis
1
Iɺɺ = −
I
LC
Schaltung aus Kondensator und Spule
L
C
UC
UL
In einem geschlossenen
Kreis addieren sich alle
Teilspannungen zu Null:
n
∑U
i =1
Hier:
UC +U L = 0
und damit auch:
Uɺ C + Uɺ L = 0
Es ist
U L = LIɺ
und damit
Uɺ L = LIɺɺ
i
=0
Vergleich mit harmonischem Oszillator
Die Differentialgleichung lautet:
und hat die Lösung
ɺxɺ = −
x(t ) = x0 cos(ωt )
D
x
m
ω=
;
D
m
Für den Schwingkreis lautet die Lösung also
I (t ) = I 0 cos(ωt )
;
ω=
1
LC
Der Strom oszilliert; die Frequenz ist umso kleiner, je größer
L oder C ist!
170
Für die Spannung an der Spule gilt:
171
9.3.9 Elektromagnetische Wellen
U L = LIɺ = LI 0 (−ω sin(ωt )) = U 0 sin(ωt )
Auch die Spannung oszilliert, aber phasenverschoben gegenüber
dem Strom:
Jedes zeitabhängige Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld.
Genauso erzeugt ein zeitabhängiges elektrisches Feld ein Magetfeld.
Herleitung: betrachten einen Kondensator
I(t)
B
I
t
E=
B
E
A
I
U(t)
Elektrisches Feld im Kondensator:
B
t
1 Q
ε0 A
Zeitliche Ableitung:
1 Qɺ
1
Eɺ =
=
I
ε0 A ε0 A
umgeformt:
I = ε 0 AEɺ
τ = 2π LC
Ein Schwingkreis ist das elektromagnetische Analogon
zum mechanischen harmonischen Oszillator!
Annahme: der „Strom“ im Kondensator erzeugt das gleiche
Magnetfeld wie der Strom in den Zuleitungen:
∫
Bds = µ 0 I = µ 0ε 0 AEɺ
A
Damit hat man einen direkten Zusammenhang zwischen
dem Magnetfeld und der zeitlichen Änderung des elektrischen
Felds.
172
Zusammenfassend: für die elektrischen und magnetischen
Felder gilt:
∫
A
∫
Bds = µ 0ε 0 AEɺ
Für beliebig kleine ∆x wird dies:
vereinfachte
„Maxwell‘sche
Gleichungen“
Eds = − ABɺ
173
δE
δB
=−
δx
δt
Analog gilt:
A
(gilt für homogene Felder und
E
A ; B
A
)
Weiter Vereinfachung der Gleichungen: das E-Feld zeige nur in
eine Richtung und variiere senkrecht dazu in seiner Stärke
Damit gilt auch
Hier gilt für das Ringintegral:
E
∫ ds = E2l − E1l
E1
E2
Gleichsetzen ergibt:
A
l
= ( E 2 − E1 )l = ∆El
Damit lautet die Gleichung
∆x
Analog gilt:
∆El = − ABɺ
Integrationsweg
δB
δE
= − µ 0ε 0
δx
δt
δ 2E
δ 2B
=− 2
δtδx
δt
δ 2B
δ 2E
= − µ 0ε 0
δxδt
δx 2
1 δ 2B
δ 2B
=
δt 2 µ 0ε 0 δx 2
δ 2E
δ 2B
=
−
δtδx
δx 2
δ 2B
δ 2E
= − µ0ε 0 2
δxδt
δt
Die Fläche A des Integrationswegs ist gegeben durch:
A = ∆xl
Damit:
∆El = − ∆xlBɺ
⇒
∆E
= − Bɺ
∆x
und damit:
δ 2E
1 δ 2E
=
δt 2 µ0ε 0 δx 2
(das negative
Vorzeichen liegt
an der relativen
Ausrichtung der Vektoren)
174
Allgemein: Wellengleichung elektromagnetische Wellen
1 δ2 δ2 B ( x, t ) =
B ( x, t )
µ 0ε 0 δx 2
δt 2
1 δ2 δ2 E ( x, t ) =
E ( x, t )
µ0ε 0 δx 2
δt 2
Lösung:
(für ebene Welle
in x-Richtung)
B ( x, t ) = B0 cos(kx − ωt )
E ( x, t ) = E0 cos(kx − ωt )
mit
und
ω
k
=
Darstellung:
9.3.10 Erzeugung von elektromagnetischen Wellen
Erzeugung fast immer durch schwingende Dipole („Antennen“)
+
E
E
E
~U
E0 ⊥ B0 ; E0 , B0 ⊥ c
E0 = c B0
-
λ /2
„Nahfeld“
E
in großem
Abstand fast
ebene
Wellenfronten
„abgelöste Wellen: Fernfeld“
Antennen: Abstrahlung (und Empfang) sind optimal, wenn
die Antennenlänge der halben Wellenlänge der Strahlung entspricht
1
µ0ε 0
E
B
Elektromagnetische Wellen sind transversal: die elektrischen
und magnetischen Feldvektoren stehen senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung!
Antenne
Geschwindigkeit der Welle:
c=
175
= 299792458
lopt =
m
s
c
Werte:
λ
2
=
c
2f
f = 250 MHz ⇒
λ=1.2 m,
lopt = 0.6 m
f = 2400 MHz ⇒
λ=0.125 m, lopt = 6.25 cm
(Sender in der Vorlesung)
f = 300 kHz
⇒
λ=1000 m, lopt = 500 m
(Radio, Mittelwelle)
f = 1800 MHz
(Handy)
⇒
λ=16.6 cm,
lopt = 8.4 cm
176
177
9.3.11 Polarisationsfilter
Experimentelle Anmerkung:
Von einer Antene erzeugte elektromagnetische Wellen
sind „polarisiert“: das E-Feld zeigt nur in eine Richtung
(parallel zur Antenne; das B-Feld steht senkrecht dazu)
Nachweis des elektrischen Felds einer Welle:
Antenne
Glimmlampe, zündet bei 90 V
E
Polarisationsfilter absorbieren oder reflektieren Wellen
abhängig von der E-Feld-Richtung
5 cm
Leuchtende Lampe zeigt, dass das elektrische Feld stärker ist
als:
90V
V
E=
= 1800
5cm
m
Beispiel: Metall-Rost
Metalloberflächen „schließen E-Felder kurz“; parallel zur
Oberfläche ist die E-Feldstärke Null
⇒ el.magn. Wellen werden reflektiert
Nachweis des magnetischen Felds einer Welle:
Voraussetzung: gute Leitfähigkeit in Richtung des E-Felds
Drahtschleife
Glühbirne
B
Rost
d
gute Leitfähigkeit in Richtung der Stäbe;
keine senkrecht dazu!
Die Änderung des magnetische Felds induziert einen Strom
in der Schleife; dieser wird durch die leuchtende Birne angezeigt
E
Metallstäbe
E
E-Feld der Welle:
wird reflektiert
wird durchgelassen
⇒ hinter dem Polarisationsfilter ist die Welle senkrecht zu
den Stäben polarisiert.
178
179
9.3.13 Energietransport durch el.magn. Wellen
9.3.12 Optik mit Radiowellen
Metallflächen können als Spiegel eingesetzt werden
Energiedichte eines elektromagnetischen Felds:
1
2
ρ E = (ε 0 E 2 +
1
µ0
B2 )
Einheit: [J/m3]
Normaler Dipol:
Abstrahlung in fast
alle Richtungen
Dipol mit Reflektor:
gerichtete Abstrahlung
(„Parabolantenne“)
Bei einer Welle gilt:
ε0E 2 =
1
µ0
B2
(gleicher Anteil der Energie im E- und B-Feld!)
Reflektion an Ebene: stehende Welle
Spiegel
E-Feld
Welle
Überlagerung
zwischen
einlaufender und
auslaufender Welle
λ/2
An der Oberfläche ist das Feld immer Null:
Schwingungsknoten
Vor dem Spiegel treten in regelmässigen Abständen
Bereiche auf, wo die Feldstärke Null ist!
also
ρ E = ε 0 E 2 = ε 0 E0 2 cos 2 (k r )
Räumlich gemittelt:
ρE =
Damit:
1
1
ε 0 E 2 dV = ε 0 E0 2
VV
2
1
2
∫
ρ E = ε 0 E0 2 =
1 1 2
B0
2 µ0
Energiedichte
einer el.mag.
Welle
Die Welle bewegt sich mit Geschwindigkeit c; der Energiefluß
ist damit:
1
2
φE = cρ E = cε 0 E0 2 =
1 c 2
B0
2 µ0
Einheit: [J/m2s
Die von der elektromagnetischen Welle transportierte Energie
ist proportional zum Quadrat der Feldstärke!
180
9.3.14 Spektrum elektromagnetischer Wellen
Die nachweisbare Strahlung erstreckt sich über mehr als
20 Größenordnungen in der Frequenz!
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electromagnetic_spectrum_c.svg
181
182
Experiment: Messung der Lichtgeschwindigkeit über Laufzeit
10. Optik
10.1. Wellenoptik
Spiegel
gepulster Laser
„Licht sind elektromagnetische Wellen, für die das menschliche
Auge empfindlich ist:
λ ~ 400 – 750 nm
f ~ 7.5x1014 – 4x1014 Hz
Uhr
Laufzeit:
Detektor
t=
L
c
Wie alle elektromagnetischen Wellen breitet sich Licht (im Vakuum)
aus mit Geschwindigkeit
c = 3x108 m/s
10.2. Interferenz
Genauer: betrachten Lichtpuls
E (x)
Bei Überlagerung zweier Lichtwellen addieren sich die elektrischen
(und magnetischen) Felder.
Das Ergebnis hängt von der relativen Phase der Wellen ab.
vPh
vGr
Phasendifferenz φ=0
x
E0 sin(ωt)
E ( t)
„Trägerwelle“
„Einhüllende“
E (t)
Die „Wellenberge“ der Trägerwelle laufen mit
Phasengeschwindigkeit vPh ; die Einhüllende mit
Gruppengeschwindigkeit vGr.
E (t)
t
+
=
t
t
E0 sin(ωt+φ)
Doppelte Amplitude!
Für elektromagnetische Wellen im Vakuum gilt:
vPh = vGr = c
Konstruktive Interferenz der elektrischen Felder
183
184
Phasendifferenz φ=π
Beispiel: Doppelspalt
E0 sin(ωt)
E (t)
E (t )
t
E (t)
+
=
Lichtwellen
überlagern sich
t
λ
t
Amplitude Null!
d
E0 sin(ωt+φ)
Destruktive Interferenz der elektrischen Felder
Zylinderwellen
Darstellung als Funktion des Orts:
E0 sin(kx)
E (x )
In großem Abstand überlagern sich Teilwellen, die in die gleiche
Richtung laufen. Der Phasenunterschied wird bestimmt durch
den Wegunterschied in Ausbreitungsrichtung
x
E(x)
Für diesen gilt:
δ
δ = d sin α
δ
d
x
α
α
E0 sin( k(x+δ) )
Hier:
Konstruktive Interferenz für
δ = nλ
Destruktive Interferenz für
δ = (2n + 1)
Konstruktive Interferenz ergibt sich für
λ
2
n=0,1,2,3…
bzw.
sin α = n
δ = nλ
λ
d
n=0,1,2,3…
185
186
Beispiel: Gitter mit N Spalten
Destruktive Interferenz ergibt sich für
sin α =
δ
2n + 1 λ
2 d
d
n=0,1,2,3…
α
Damit ergibt sich eine Intensitätsverteilung im Abhängigkeit vom
Ablenkungswinkel:
Es ergibt sich vollständig konstruktive
Interferenz, wenn benachbarte
Teilstrahlen um ganze Wellenlängen
versetzt sind:
δ = d sin α = nλ
Damit ergeben sich „Hauptmaxima“
unter den Winkeln:
sin α = n
Intensität
1
λ
d
Destruktive Interferenz ergibt sich, wenn jeweils Paare
von Teilstrahlen im Abstand von Nd/2 um eine halbe
Wellenlänge (oder ungerade Vielfache) versetzt sind:
δ
0
−2
λ
d
−
λ
W in k e l α [ra d ]
d
λ
d
2
λ
d
N
λ
d sin α =
2
2
δ=
d
also
N/2 d
Laser
α
Hier:
sin α =
α
Schirm
λ
Nd
Allgemein ergeben sich Minima bei den Winkeln
Doppelspalt
sin α = (2n + 1)
λ
Nd
n=0,1,2,3…
187
Damit ergibt sich eine Intensitätsverteilung im Abhängigkeit vom
Ablenkungswinkel:
N=6
1
Breite
∼
10.1.2. Polarisation
Licht ist eine elektromagnetische Welle. Der Vektor des
elektrischen Felds kann eine beliebige (und zeitabhängige)
Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung haben.
1. Hauptmaximum
λ
Nd
Intensität
188
E
c
N-1
Minima
λ
B
Nd
Definitionen:
0
−
λ
W inkel α [rad]
λ
d
d
• linear polarisiertes Licht:
der Feldvektor hat eine definierte Richtung
Je größer die Zahl der Spalten, desto schmaler die Hauptmaxima!
Einsatz als Spektrometer: Überlagerung verschiedener
Wellenlängen
2. Beugungsordnung
• Polarisationsrichtung:
Richtung des elektrischen Feldvektors
1. Beugungsordnung
Polarisatioren absorbieren bzw. reflektieren nur Licht einer
Polarisationsrichtung
1 .0
Intensität
0 .8
0 .6
Beispiel:
Polymer mit ausgerichteten Molekülen
0 .4
0 .2
Polymer
Molekülketten (Elektronen
beweglich parallel zur Kette)
0 .0
W in k e l α [r a d ]
Auflösung des Gitterspektrometers:
Spaltenzahl mal Beugungsordnung
Entspricht Metallrost für Radarwellen!
E
wird
absorbiert
E
wird
nicht
absorbiert
189
Wirkung zweier Filter:
Filter parallel
2. Filter läßt alles durch
190
Gekreuzte Polarisatoren dienen zum Nachweis von polarisierender
Wirkung (z.B. durch Verspannungen in Polymeren) oder optischer
Aktivität (Drehung des elektrischen Feldvektors durch chirale
(nicht-spiegelsymmetrische) Moleküle, z.B. Zucker in Lösung
10.1.3. Licht in Materie
Materie ist im Allgemeinen elektrische und magnetisch
polarisierbar.
E-Feld
1. Filter
E-Feld
2. Filter
E-Feld
Wird beschrieben durch zwei einheitenlose Materialgrößen:
2. Filter absorbiert alles
Filter senkrecht
ε:
Dielektrizitätszahl
µ : magnetische Permeabilität
Dadurch verändert sich die Wellengleichung:
E-Feld
1. Filter
E-Feld
2. Filter
E-Feld
Aber: Licht wird wieder transmittiert, falls der Feldvektor zwischen
den gekreuzten Filtern gedreht wird, z.B. durch einen dritten Filter:
δ2 1
δ2 B
(
x
,
t
)
=
B ( x, t )
δ t2
µ µ 0ε ε 0 δ x 2
δ2 1
δ2 E ( x, t ) =
E ( x, t )
δ t2
µ µ 0ε ε 0 δ x 2
Ebene Welle in Materie
und man erhält eine neue Lichtgeschwindigkeit
c=
1. Filter
E-Feld
3. Filter
E-Feld
2. Filter
E-Feld
ω
k
=
1
µ µ 0ε ε 0
=
1
µε
c0
191
Definition:
Damit nehmen ε und der Brechungsindex n im sichtbaren Bereich zu!
n = εµ
Brechungsindex n
192
Beispiel: Brechungsindex von reinem Glas (SiO2)
Damit gilt für die Lichtgeschwindigkeit:
n
1.54
1
c = c0
n
1.52
1.50
Für transparente Isolatoren ist die Permeabilität µ ~ 1;
1.48
damit wird
1.46
n≈ ε
rot
blau
„Dispersion“
1.44
1
2
3
4
5
6
7
8
ε hängt zusammen mit der atomaren Polarisierbarkeit; diese
wiederum hängt von der Frequenz ab (das Atom kann als
gedämpfter harmonischer Oszillator gesehen werden).
10.1.4. Lichtbrechung
Auslenkung
der Elektronen
Die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist
Resonanz
(bei typ. 5-10 eV)
in Materie
Bereich
sichtbares Licht
ω
1
c = c0
n
Die Wellenlänge wird damit
λvac =
im Vakuum
ω0
9
ω [1015 Hz]
λ=
c0
f
c c0 1
=
= λvac
f nf n
Im Medium ändert sich die Wellenlänge (aber nicht die Frequenz)!
193
Beispiele:
194
Berechnung der Lichtbrechung
Senkrechter Einfall auf eine Glasplatte in Luft
Es ist
α‘
λ
λ
c0
λ
c
c0
b
c0
nf
α
b sin α ' = λ ' =
λ/n
Luft
b sin α = λ =
c0
n' f
λ‘
Luft
Glas
Schräger Einfall auf eine Glasplatte in Luft
n
n‘
sin α n '
=
sin α ' n
und damit
Brechungsgesetz
Luft
Beispiel:
Lichtstrahl Luft → Glas
Lot
λ/n
Reflexion
Luft
Glas
Wellenlänge wird kürzer
→ Wellenfront wird verkippt
→ Laufrichtung im Glas ändert sich!
Luft
n=1
Glas
n‘ = 1.5
sin α ' =
n
1
sin α =
sin α
n'
1.5
⇒α '<α
α
α‘
!
( für α=45° wird α‘=28°)
Übergang in optisch dichteres
Medium
→ Brechung hin zum Lot
195
Daraus folgt
Lichtstrahl Glas → Luft
Lot
Reflexion
Glas
n = 1.5
sin α ' =
n
sin α = 1.5sin α
n'
⇒α ' >α
α
sin α g =
n'
n
Grenzwinkel für
Totalreflexion
!
( für α=40° wird α‘=74.6°)
α‘
Luft
n‘ = 1
196
Übergang in optisch dünneres
Medium
→ Brechung weg vom Lot
Zahlenwert: für n‘=1 und n=1.5 wird αg = 42°
(Totalreflexion wird z.B. ausgenutzt in Lichtleitern)
10.1.5. Prisma
Brechung an zwei Grenzflächen
Totalreflexion
Beim Übergang zwischen optischen Medien findet auch immer
Reflexion statt; bei dem Übergang in ein optisch dünneres
Medium wird ab einem Grenzwinkel das gesamte Licht reflektiert.
γ
δ
Gesamtablenkwinkel
n
Totalreflexion
Glas
Glas
Es gilt (im symmetrischen Fall):
Luft
Grenzsituation
sin
γ +δ
2
= n sin
γ
2
Grenzwinkel
sin α ' = 1 =
n
sin α g
n'
n
n‘
αg
α‘=90°
Der Brechungsindex hängt von der Wellenlänge ab
→ verschiedene Wellenlängen werden unterschiedlich
stark abgelenkt!
197
198
Die Brennweiten sind unterschiedlich innerhalb und außerhalb
vom Glas!
weißes Licht
rot
Glas
blau
Je kürzer die Wellenlänge, desto größer die Ablenkung!
Konstant ist dagegen der Brechungsindex geteilt durch
die Brennweite, die Brechkraft D:
D=
10.1.6. Linsen
Brechung an einer gekrümmten Grenzfläche: Halblinse
r
Für die Brennweite
f‘ gilt:
f '=
Einheit: Dioptrien
1 [dpt] = 1 [1/m]
(eine Linse mit einer Brechkraft von 5 dpt hat auf der Luftseite eine
Brennweite von 0.2 m)
n‘
n
n' n n'−n
= =
f
f
r
n'
r
n '− n
f‘
Bündelung
im „Brennpunkt“
Dünne Linsen: Brechkräfte der beiden Grenzflächen addieren
sich.
r: Krümmungsradius
Grenzfläche
r1
r2
Entgegengesetzte Richtung:
D = D1 + D2 =
n'−n n'− n
+
r1
r2
an Luft (n=1):
r
D=
n
n '− 1 n '− 1
+
r1
r2
oder
f
Hier gilt:
f =
n‘
n
r
n '− n
f =
r1r2
1
=
D ( r1 + r2 )( n '− 1)
Linsenschleiferformel
199
bikonvex
Linsentypen:
200
Für das Verhältnis der scheinbaren und wahren Größe
des Gegenstands gilt:
B b
f
f −b
= =
=
G g f +g
f
Sammellinse
f
bikonkav
Sammellinse
Gegenstand
Zerstreuungslinse
Parallelstrahl
G
x
f
B
f
virtuelles Bild (Größe B)
Für die Abstände gilt:
Gegenstand
x
g
10.1.7. Abbildung
Zerstreuungslinse
Bild
b
Parallelstrahl
f
1 1 1
= +
f g b
Hauptstrahl durch
Linsenzentrum
Abbildungsgesetz
Parallelstrahl
G
x
x
g
b
f
Für den Maßstab der Abbildung gilt:
Hauptstrahl durch
Linsenzentrum
f
Die Lichtstrahlen scheinen von einem verkleinerten Gegenstand
zwischen Brennpunkt und Linse zu kommen.
Für die Abstände gilt:
1 1 1
= +
b g f
f: Brennweite
g: Gegenstandsweite
b: Bildweite
B b
f
b− f
= =
=
G g g− f
f
Starke Vergrößerungen sind möglich für kleine g-f !
201
202
10.1.8. Optische Systeme: Mikroskop
Spezialfall: Sammellinse bei g < f (Lupe)
Kombination verschiedener Linsen
virtuelles
Bild
Gegenstand
(Größe G)
Objekt
G
B
x
x
g
f
b
Objektiv
Durch die Lupe erscheint der Gegenstand vergrößert
und weiter entfernt.
Für die Abstände gilt:
1 1 1
= +
g b f
B b
f
f +b
= =
=
G g f −g
f
Prinzipiell erscheint eine beliebige Vergrößerung möglich
(für f – g << f), praktisch ist die Vergrößerung aufgrund
von Abbildungsfehlern auf Werte von etwa 40 beschränkt.
Auge
Abbildung:
Bild auf
Netzhaut
Okular und
Augenlinse
Objektiv
x
Für das Verhältnis der scheinbaren und wahren Größe
des Gegenstands gilt:
Okular
x
x
x
Objekt
Zweimal Vergrößerung um Faktor 10 - 40:
Gesamtvergrößerung 100-1600 !
Frage: gibt es eine prinzipielle Grenze der Vergrößerung?
203
10.1.9. Optisches Auflösungsvermögen
204
Damit das erste Beugungsmaximum in die Linse eintritt, muss
gelten:
α ≤ αL
⇒ sin α ≤ sin α L
Wann kann man zwei Punkte unterscheiden, die von
der gleichen Lichtquelle beleuchtet werden?
Die überlagerten Wellen unterscheiden
sich von der Welle eines Punktes
nur durch die Interferenzstreifen
a
⇒
sin α =
λ
und damit
Es gilt
r
und damit
~f
n sin α L
Numerische Apertur
a≥
Für ein Mikroskopobjektiv ist
r
tan α L ≈
f
sin α L ≈
Linse
λ
Damit lautet die Bedingung dafür, dass zwei Punkte mit Abstand
a noch als getrennt wahrgenommen werden können:
Tatsächlich ist die Auflösungsbedingung noch etwas strenger,
mindestens das erste Beugungsmaximum muss in die abbildende
Linse eintreten, d.h. der Beugungswinkel muss kleiner sein als der
Öffnungswinkel der Linse
αL
Definition:
a≥
A = n sin α L
2a
Falls nun a = λ/2 ist, gilt α = 90 Grad, d.h. unter
kleineren Beobachtungswinkeln wird kein Minimum
wahrgenommen, die Punkte können nicht als
zwei separate Punkte erkannt werden.
Öffnungswinkel
≤ sin α L
na
von den Punkten
ausgehende Lichtwellen
Das erste Beugungsminimum erscheint unter dem Winkel α,
mit
λ
r
r2 + f 2
λ
A
A≈n
r
r2 + f 2
r: Linsenradius
f: Brennweite
n: Brechungsindex des Mediums
205
Allgemein gilt:
Mit frei laufenden Wellen lassen sich keine Strukturen
auflösen, die deutlich kleiner sind als die Wellenlänge
Beispiel:
grünes Licht hat λ = 500 nm
⇒ deutlich kleinere Strukturen (etwa mit Abständen
von 250 nm) lassen sich nicht mehr auflösen
Mit blauem Licht (λ = 460 nm) ist das Auflösungsvermögen
etwas besser als mit rotem Licht (λ = 640 nm)