Theoretische Physik III: Vorlesungsskript

Fachschaft
Mathematik/Physik
T
ELEK RO
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M
K
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D A
Theoretische Physik III:
Vorlesungsskript
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeines, Formelsprache und etwas \Mathematik"
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2.1 Einfuhrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.1 Das Gausche Gesetz : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.2 Ladungen auf Oberachen und auf Leitern : : : :
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung : : :
2.2.1 Dirichletsche Randbedingungen : : : : : : : : : : :
2.2.2 Neumannsche Randbedingungen : : : : : : : : : :
2.2.3 Beispiele : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.4 Die Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten : : : :
2.2.5 Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten : : : : :
2.2.6 Konforme Abbildungen in der komplexen Ebene :
2.3 Multipolentwicklungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4 Elektrostatik der Dielektrika : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4.1 Polarisation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4.2 Randbedingungen fur die Felder der Elektrostatik
2.4.3 Freundliche Vereinfachungen : : : : : : : : : : : :
2.4.4 Beispiele : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4.5 Elektrostatische Energie : : : : : : : : : : : : : : :
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3.1 Biot-Savart-Gesetz, Ampere-Gesetz, Vektorpotential : : : : : : : :
3.1.1 Das Gesetz von Biot und Savart : : : : : : : : : : : : : : :
3.1.2 Kraft auf Strome in Magnetfeldern, Stromschleifen : : : : :
3.1.3 Das Vektorpotential. Durchutungsgesetz : : : : : : : : : :
3.1.4 Eichungen I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2 Konstruktion eines Feldes aus Quellen und Wirbeln : : : : : : : : :
3.3 Felder lokalisierter Stromverteilungen : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.4 Magnetisierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.5 Randbedingungen fur die Felder der Magnetostatik : : : : : : : : :
3.6 Anwendungen: Losungsmethoden fur Randwertprobleme : : : : : :
3.6.1 Losungen mit Hilfe des Vektorpotentials : : : : : : : : : : :
3.6.2 Verschwindende Stromdichte: Magnetisches Skalarpotential
3.6.3 Harte Ferromagnete 1: M~ = const, ~| = 0 : : : : : : : : : : :
3.6.4 Harte Ferromagnete 2: Eektive Stromdichte : : : : : : : :
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Vorbemerkungen : : : : : : : : : : : : : :
Verwendete Formelsprache. Abkurzungen
Einheiten : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Einige Formeln aus der Vektoranalysis : :
Etwas Mathematik : : : : : : : : : : : : :
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2 Elektrostatik
3 Magnetostatik
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54
iv
INHALTSVERZEICHNIS
4 Elektrodynamik
4.1 Gesetze des elektrischen Stromes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.1.1 Erstes Kirchho-Gesetz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.1.2 Ohmsches Gesetz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.1.3 Joulesche Warme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.2 Lorentz-Kraft und magnetische Induktion : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.3 Selbstinduktion und gegenseitige Induktion. Stromkreise : : : : : : : : : :
4.4 Maxwell-Gleichungen und Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.4.1 Der Maxwell-Term: Verschiebungsstrom : : : : : : : : : : : : : : :
4.4.2 Potentiale. Eichungen II : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.4.3 Mikroskopische und makroskopische Maxwell-Gleichungen : : : : :
4.4.4 Energie- und Impulserhaltung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.5 Transformationseigenschaften der Felder : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.5.1 Drehungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.5.2 Raumliche Spiegelung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.5.3 Zeitumkehr : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.6 Magnetische Monopole : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.7 Elektromagnetische Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.7.1 Ebene Wellen in nichtleitenden Medien : : : : : : : : : : : : : : :
4.7.2 Reexion und Brechung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.7.3 Frequenzabhangigkeit von (!) und (!) : : : : : : : : : : : : : :
4.7.4 Ebene Wellen in leitenden und dissipativen Medien : : : : : : : : :
4.7.5 Kausalitat und Kramers-Kronig-Relationen : : : : : : : : : : : : :
4.8 Wellen in einem Hohlleiter : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.9 Das Feld vorgegebener Ladungen und Stromverteilungen : : : : : : : : : :
4.9.1 Losung der inhomogenen Maxwell-Gleichungen in Lorentz-Eichung
4.9.2 Felder und Strahlung einer lokalisierten, oszillierenden Quelle : : :
4.9.3 Die Dipolstrahlung als wichtiger Spezialfall : : : : : : : : : : : : :
4.9.4 Anwendung: Die lineare Antenne mit symmetrischer Speisung : : :
4.9.5 Hohere multipolare Anteile der Strahlung : : : : : : : : : : : : : :
4.9.6 Strahlung einer beliebig bewegten Ladung : : : : : : : : : : : : : :
4.9.7 Streuung von Licht : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5 Spezielle Relativitatstheorie
5.1 Koordinatentransformationen : : : : : : : : : : : : : :
5.1.1 Die Galilei-Transformation : : : : : : : : : : :
5.1.2 Die Lorentz-Transformation : : : : : : : : : : :
5.2 Das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum : : : : :
5.3 Lorentz-Transformation im Viererraum : : : : : : : : :
5.4 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik : : : : :
5.4.1 Strome, Dichten, Potentiale : : : : : : : : : : :
5.4.2 Maxwell-Gleichungen in Vakuum und Materie :
5.4.3 Transformation der Felder : : : : : : : : : : : :
5.5 Relativistische Mechanik : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.6 Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes : : :
5.6.1 Allgemeine kontinuierliche Systeme : : : : : : :
5.6.2 Elektromagnetische Felder : : : : : : : : : : : :
5.7 Der Energie-Impuls-Tensor : : : : : : : : : : : : : : :
5.7.1 Allgemeine kontinuierliche Systeme : : : : : : :
5.7.2 Elektromagnetische Felder : : : : : : : : : : : :
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94
94
95
100
103
103
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106
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113
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114
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117
118
121
121
121
122
122
124
Kapitel 1
Allgemeines, Formelsprache und
etwas \Mathematik"
1.1 Vorbemerkungen
Dies ist ein Skriptum zur Vorlesung \Theoretische Physik III: Elektrodynamik". Die Vorlesung orientiert
sich stark an einem der Standardwerke der Elektrodynamik, dem \Jackson" [9]. Das Skript soll kein
Lehrbuch ersetzen, sondern einen gegliederten U berblick uber die groe Stoffulle bieten, und dafur ist
es nicht wichtig, die genaue mathematische Herleitung der Losung jeder einzelnen Dierentialgleichung
nachzuvollziehen. Es wurden dagegen an sehr vielen Stellen Hinweise auf Literatur eingestreut, in der
man dann Genaueres uber das entsprechende Thema erfahren kann | wenn man will. Die meisten
Referenzen beziehen sich dabei auf die Standardwerke von Jackson, Greiner [7] und Sommerfeld [16].
Also dann, viel Spa . . .
1.2 Verwendete Formelsprache. Abkurzungen
Die Formelsprache richtet sich weitgehend nach Greiner [7].
Integrale ohne Angabe von Grenzen sind uber den ganzen Raum zu ziehen; seine Dimension kann
man dann den Dierentialen (z. B. \d3r0 ") entnehmen.
Im Falle partieller Integration stehen uber dem entsprechenden \="-Zeichen die Buchstaben \p.I.",
bei Substitutionen (wenn sie nicht oensichtlich sind) ndet man dort die Denition der neuen Variablen:
Z
sin #d# cos # x:==cos#
Z
x dx
Im allgemeinen bezeichnen gestrichene Buchstaben im Integranden eine Variable, uber die integriert
werden soll. Dann pat aber immer auch das Dierential (z. B. \dr0") dazu.
Bei Flachenintegralen wird das Flachenelement als Vektor oder als Skalar multipliziert mit der Flachennormale geschrieben, je nachdem, worauf es gerade ankommt:
I
@V
E~ dF~ I
@V
E~ ~n dF

Der Ubergang
zu krummlinigen Koordinaten wird oft durch eine Buchstabenkombination uber dem
Gleichheitszeichen gekennzeichnet, und dabei bedeuten \PK" Polar-, \ZK" Zylinder-, und \KK" Kugelkoordinaten:
Z
Z
f (~r) d3r KK
= f (~r) r2dr sin # d# d
Die Einstein-Summenkonvention wird ausgiebig angewendet:
~a ~b = "ijk~ei aj bk
1
2
Allgemeines, Formelsprache und etwas \Mathematik"
Wenn die Summation nicht uber alle Indices geht, bzw. die Einstein-Konvention unubersichtlich ware,
werden Summenzeichen verwendet.
Bei trigonometrischen Funktionen wird an einigen Stellen aus Grunden der U bersichtlichkeit das
Argument in den Index des Anfangsbuchstabens verbannt:
s# := sin # c!t := cos(!t)
. . . oder, wenn es keine Verwechslungen geben kann, mit einem entsprechenden Hinweis auch vollig
weggelassen.
Die Konvention, partielle Ableitungen durch ein \@ " mit der tiefgestellten Dierentiationsvariable
zu schreiben ( @@xf = @x2 f ) wird hier nicht verwendet, da diese Schreibweise fur die spezielle Relativitatstheorie reserviert ist. Ebenso bedeuten tiefgestellte x, y oder was auch immer nie partielle Ableitungen,
denn die Gefahr der Verwechslung mit den Komponenten eines Vektors ist zu gro. Lediglich vektorielle
Dierentialoperatoren erhalten ein tiefgestelltes \r0" bzw. \r", wenn nach gestrichenen bzw. ungestrichenen Variablen dierenziert werden soll. . .
r~ r0 = @x@ 0 ; @y@ 0 ; @z@ 0 ,
im Normalfall wird immer nach den ungestrichenen Variablen abgeleitet.
Real- und Imaginarteil einer komplexen Zahl werden auf folgende Weise gewonnen:
x = < (x + iy)
y = = (x + iy)
Tensoren zweiter Stufe werden durch doppelte Unterstreichung gekennzeichnet, wenn das gegenuber der
Indexschreibweise geeigneter erscheint:
E~ ~ek kl El
Der logische Terminus `so da' wird durch `:' abgekurzt:
9 : E~ = r~ Ein Skalar- oder Vektorfeld heit genau dann freundlich, wenn es genugend oft, d. h. im allgemeinen mindestens dreimal stetig partiell dierenzierbar ist, man also die ublichen Dierentialoperatoren
anwenden kann, ohne Randeekte ( -Terme!) berucksichtigen zu mussen.
Es wurde versucht, grotmogliche Konsistenz in der Verwendung von Formelzeichen, andererseits aber
auch U bereinstimmung mit der Standardliteratur zu erreichen. Wegen der mehrfachen Belegung mancher Buchstaben (z. B. fur Flachenladungsdichten und Leitfahigkeiten) ist das aber nicht perfekt
machbar. Trotzdem halten sich die U berschneidungen in Grenzen.
2
2
1.3 Einheiten
Es wird das Gausche (CGS-) Einheitensystem verwendet. Zur Thematik der Einheitensysteme, Umrechnungen usw. siehe [9, Anhang]. Dort bendet sich auch eine Tabelle mit den wichtigsten Gleichungen
in verschiedenen Einheitensystemen.
1.4 Einige Formeln aus der Vektoranalysis
~a (~b ~c)
(~a ~b)(~c d~)
r~ r~
~r(r
~ A~ )
A~
r~ ( A~ )
=
=
=
=
=
=
~b(~a~c) ~c(~a~b)
(~a~c)(~bd~) (~ad~)(~b~c)
0
0
~ r
~ A~
r~ (r~ A~ ) r
~ + r
~ A~
A~ r
1.5 Etwas Mathematik
3
r~ ( A~ )
~ (A~ B~ )
r
r~ (A~ B~ )
r~ (A~ B~ )
Identitaten von Green:
Z
V
~ A~ + r
~ A~
r
~ )B~ + (B~ r
~ )A~ + A~ (r
~ B~ ) + B~ (r
~ A~ )
(A~ r
~ A~ ) A~ (r
~ B~ )
B~ (r
~ B~ ) B~ (r
~ A~ ) + (B~ r
~ )A~ (A~ r
~ )B~
A~ (r
=
=
=
=
~r
~ ) d3 r =
( + r
Z
V
(
) d3 r =
I
I@V
@V
~ dF
~n r
~
(r
r~ )~n dF
Dierentialoperatoren in allgemeinen orthogonalen Koordinaten:
r~ A~ = "ijk h~ehi @x@ (Ak hk )
j k j
1
r~ A~ = h h h ijk @x@ (Ai hj hk )
1 2 3
i
~r = ~ei @
hi @xi
hj hk @
1
@
= h h h ijk @x h @x
i
1 2 3
Dabei ist:
n falls i; j; k zyklisch
ijk = 01 sonst.
i
i
ds2 = gij dxidxj
0
1
h21 0 0
@~
r
@~
r
metrischer Tensor fur orthogonale Koordinaten: (gij ) = @x @x = @ 0 h22 0 A
i j
0 0 h23
( 1 falls i; j; k zyklisch
Levi-Civita-Symbol: "ijk = 1 falls i; j; k antizyklisch
0 sonst.
1.5 Etwas Mathematik
Dieser Abschnitt zeigt einige wichtige Umformungen, Tricks und Funktionen, die fur das Verstandnis
vieler Ableitungen erforderlich sind. Die Aufstellung erhebt jedoch keinen Anspruch auf Vollstandigkeit.
Vielmehr ist es so, da im Laufe des Skripts noch einige Neuheiten eingefuhrt werden, die hier nicht
auftauchen.
Delta-Distribution Einige wichtige Regeln fur die Delta-Distribution sind (siehe auch [7]):
Z
f (x) (x a)dx = f (a)
(f (x)) =
X
i
Z
f (x) 0 (x a)dx = f 0 (a)
1
j@x f (xi )j (x xi )
Die xi sind dabei einfache Nullstellen von f . Es gibt auch eine mehrdimensionale Darstellung:
(~r ~r 0 ) = (x x0 ) (y y0 ) (z z 0 )
In krummlinigen Koordinaten mu noch durch den Betrag der Jacobi-Determinante dividiert werden,
z. B.:
(~r ~r 0 ) PK
= 1 ( 0 ) ( 0)
4
Allgemeines, Formelsprache und etwas \Mathematik"
Da die -Distribution keine Funktion ist, wird hier nicht so besonders ernst genommen | es funktioniert
ja alles, wie es soll. Trotzdem sollte man das immer im Hinterkopf haben.1
Fourier-Transformation Wir denieren die Hin- und Rucktransformation zu
F (!) =
Z
Z
1
f (t) = 2 F (!)e i!td! .
f (t)ei!t dt
Als Abkurzung wird oft
F (!) = Fff (t)g f (t) = F 1 fF (!)g
verwendet. Wichtig sind auch die folgenden Beziehungen zur -Funktion:
Ff (t)g = 1
Ff1g = 2 (!)
Der besonders wichtige Faltungssatz der Fourier-Transformation lautet:
Z
Fff gg = Fff gFfgg , wobei f g = f (x)g(t x)dx
Zu gegebener Zeit sind auch die vielen anderen freundlichen Eigenschaften der Fourier-Transformation
(Verschiebungssatz, Ableitungssatz, Regel uber mehrfache Transformation (FFff (t)g = f ( t)), Transformation der Gau-Kurve, Unscharferelation usw.) nutzlich. [4] bietet einen umfassenden U berblick
uber Theorie und Anwendungen, in [2] ndet man Beziehungen zur digitalen Signalverarbeitung und
eine \Herleitung" der Fourier-Integraltransformation aus der Theorie der Fourier-Reihen, und in [16]
steht wohl die \klassischste" aller Bearbeitungen dieses Themas.
Partielle Integration Einige der in 1.4 genannten Formeln werden ausgiebig fur die partielle Integration benutzt, wenn es um das Verschieben von Dierentialoperatoren im Integranden geht. Ein
Beispiel hierfur ist
Z
Z
h
i
~ r0 A~ (~r 0 )(~r 0) d3r0
~ r0 (~r 0)d3 r0 p:I:
= r
A~ (~r 0)r
Dabei wurde die Identitat
Zh i
r~ r0 A~ (~r 0 )d3r0 .
()
h i
~ = r
~ A~ + A~ r
~
r~ A
verwendet.
Nun hat man es oft mit Feldern zu tun, die auerhalb eines bestimmten Raumbereiches gleich Null
sind oder schnell abfallen, wenn r ! 1 geht. Das erste Integral auf der rechten Seite von () kann dann
mit dem Satz von Gau in ein Oberachenintegral verwandelt werden und verschwindet.
Fur jede Produktregel der Vektoranalysis lat sich im Grunde so eine Integrationsformel angeben.
Wir brauchen praktisch alle.
Orthogonale Funktionensysteme Ein auerst wichtiges Werkzeug bei der Losung vieler Probleme
der Elektrodynamik ist die Moglichkeit, Funktionen nach orthogonalen Funktionensystemen in endliche
oder unendliche Reihen zu entwickeln bzw. als Integraldarstellungen zu schreiben. Beispiele hierfur sind
die Fourier-Reihen und -Integrale und die Legendre-Polynome. Da sich in vielen Buchern, z. B. in [7,
Kap. 3] oder [9, Kap. 2.8] sehr gute Abhandlungen uber dieses Thema nden, soll dieser kurze Hinweis
hier genugen.
Der Satz uber den Cauchy-Hauptwert Dieser Satz aus der Funktionentheorie wird in Abschnitt 4.7.5 bei der Ableitung der Kramers-Kronig-Relationen benotigt. Er wird im folgenden bewiesen.2
1
2
Zur Denition der Delta-Distribution siehe auch American Journal of Physics, Vol. 57, No. 3, Marz 1989, p. 289
Der Rest des Abschnittes stammt aus der Vorlesung von Prof. Kerner uber Analysis IV (Funktionentheorie).
1.5 Etwas Mathematik
5
Der Cauchy-Hauptwert ist in einem groeren Zusammenhang als lediglich in der Funktionentheorie
erklart. Sei allgemein X IRn; p 2 X; f : X n fpg ! IR stetig. Es sei U (p) := fx 2 X : kx pk < g.
Dann deniert
Z
Z
P f (x) dx := lim
f (x) dx
!0
X nU (p)
X
den Cauchyschen Hauptwert. Wir benotigen hier die auf eine Dimension eingeschrankte Denition.
Denition. Sei [a; b] IR; p 2]a; b[; f : [a; b] ! IR stetig. Dann heit
0 Zp 1
Zb
@ f (x) dx + f (x) dxA
P f (x) dx := lim
!0
Zb
a
a
p+
Cauchyscher Hauptwert.3
Wie lat sich im Einzelfall dieser Hauptwert berechnen und was hat er mit der Funktionentheorie
zu tun? Es lat sich jetzt ein Satz beweisen, der die Antwort auf beide Fragen liefert. Zunachst einige
Denitionen:
Denition. Sei D C oen, p 2 D; f : D n fpg ! C holomorph und : [a; b] ! D eine regulare
Kurve durch p. Wie in Abb. 1.1 gezeigt, legt man einen Kreis in D um p (geht immer, da D oen). Dies
Abbildung 1.1: Ein Kreis um p deniert zwei neue Kurven l und r .
deniert zwei neue Kurven l und r , die auerhalb des Kreises mit ubereinstimmen, wobei p \links"
von l liegen soll. Nun ist
Z
Z
Z
Zr
l
R f (z ) dz :=
L f (z ) dz :=
f (z ) dz
f (z ) dz .
Ist K ein Kreis um p mit Radius , so ist nach dem Residuensatz
Z
Z
Z
jz pj=
L f (z ) dz R f (z ) dz =
f (z ) dz = 2i Resp f .
Der zentrale Satz uber den Cauchy-Hauptwert lautet nun folgendermaen.
3
Fur P
Z
Z
schreibt man oft auch p.V. oder
Z
.
(1.1)
6
Allgemeines, Formelsprache und etwas \Mathematik"
Satz. Sei p 2 [a; b] D C, sei f : D nfpg ! C holomorph, und f besitze in p einen Pol 1. Ordnung.
Sei auerdem : [a; b] ! D; t 7! t: Dann existiert P
Zb
a
f (x) dx und es gilt
1
0 Z
Zb
Z
P f (x) dx = 21 @L f (z ) dz R f (z ) dz A =
a
Z = R f (z ) dz + i Resp f =
Z
= L f (z ) dz i Resp f .
Z
Beweis. Sei o.E. p = 0. Im folgenden steht L auch fur L : : :.
a) Zunachst gilt
1 (L + R) (1=:1) 1 (2i Res f + R + R) = R + i Res f (1=:1) L i Res f .
p
p
p
2
2
b) Sei K der Kreis um p mit Radius . Wahle 0 < < , und die Kurven bzw. seien obere
Halbkreise um p = 0 (Abb. 1.2). Die Funktion f hat laut Voraussetzung einen Pol 1. Ordnung in
Abbildung 1.2: Zum Beweis des Satzes uber den Cauchy-Hauptwert.
p, also lautet ihre Laurent-Entwicklung in diesem Punkt
f (z ) = az 1 + a0 + : : :
Wahlt man
g(z ) := f (z ) az 1 = a0 + a1z + : : : ,
so ist g holomorph in D und es gilt f = a z + g. Somit wird
Z dz
Z
Z
f (z ) dz = g(z ) dz + a 1 z .
1
Im Grenzfall ! 0 wird der erste Term auf der rechten Seite verschwinden, da g holomorph
ist. Der zweite Term ist nach dem Residuensatz gleich a 1 i (es wird ja nur der halbe Kreis
durchlaufen). Unter Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ist
Z
Z
f (x) dx
Z
Z
f (z ) dz + f (x) dx + f (z ) dz = 0 ,
1.5 Etwas Mathematik
oder
7
Z
Z
Z
f (x) dx + f (x) dx =
f (z ) dz
Z
f (z ) dz .
(1.2)
Damit kann man die eingangs erwahnte Denition des Cauchy-Hauptwertes einsetzen, jetzt allerdings noch mit > 0 :
0Z 1 0Z
1
Z
Zb
f (x) dx + f (x) dx = @ f (x) dx + f (x) dxA + @ f (x) dx + f (x) dxA =
0a 1 b
Z
Z
Z
Z
(1:2) B
C
= @ f (x) dx
f (z ) dz + f (x) dxA + f (z ) dz =
Z
a
Zb
a
=
Fur ! 0 folgt nun
Z
Zb
R f (x) dx + f (z ) dz
a
0Z 1
Zb
@ f (x) dx + f (x) dxA =
P f (x) dx = lim
!0
a
a
Zb
Z
Zb
= R f (x) dx + lim
!0 f (z ) dz =
a
Zb
= R f (x) dx + i Resp f ,
a
was zu beweisen war.
Z1 dx
Beispiel: Berechne P x3 1 . Die Nullstellen von x3 1 liegen bei 1; und 2, mit
1
Es ist
p
= 1 +2 i 3 .
Abbildung 1.3: Beispiel zur Berechnung eines Hauptwertes.
x3 1 = (x 1)(x )(x 2 ) ,
8
Allgemeines, Formelsprache und etwas \Mathematik"
und damit
Auerdem ist
und damit
x 1
1
Res1 z 3 1 1 = xlim
=
=1 .
!1 (x 1)(x )(x 2 ) (1 )(1 2 ) 3
p
Res z 3 1 1 = ( 1)(1 2 ) = 16 + 6i 3 ,
Z1 dx Satz Z dz
1 = 2i Res 1 + i Res 1 = p3 ,
=
R
+
i
Res
1
z3 1
1 z3 1
3
3
3
x 1
z 1
z 1
3
1
R
denn R ist nach dem Residuensatz gleich der Summe aller Residuen in der oberen Halbebene, und
P
da gibt es nur das bei (Abb. 1.4).
Abbildung 1.4: Das einzige Residuum in der oberen Halbebene liegt bei .
Kapitel 2
Elektrostatik
2.1 Einfuhrung
Die Elektrostatik beschaftigt sich mit der Untersuchung elektrischer Felder, die nicht von der Zeit
abhangen. Das elektrische Feld ist ein Vektor. Es ist deniert uber die Kraft F~ , die es auf eine Probeladung der Starke q ausubt:
F~ = qE~
Es ist bei den folgenden Betrachtungen stets darauf zu achten, da E~ in der Elektrostatik das einzige
physikalisch relevante Feld darstellt. Was man auch immer zur Vereinfachung der Theorie an anderen
Feldern aus E~ konstruieren mag (damit sind vor allem Potentiale gemeint, aus denen sich E~ ableiten
lat, s. u.) | die Physik steckt in diesem Feld, alles andere sind Hilfsgroen!
Da das elektrische Feld nun schon uber die Kraft auf eine Ladung deniert ist, liegt es nahe, Ladungen als Erzeugende von Feldern aufzufassen. Nichts anderes besagt das Coulombsche Gesetz der
Elektrostatik: Seien q1 ; q2 elektrische Ladungen an den Orten ~r1 und ~r2. Die Kraft, die die beiden Ladungen dann aufeinander ausuben, ist proportional ihrem inversen quadratischen Abstand und parallel
zur Verbindungsgeraden gerichtet:
F~ = kq1q2 j~r~r1 ~r~r2j3 = q1E~ =) E~ (~r) = kq2 j~r~r1 ~r~r2j3
(2.1)
1
2
1
2
Eine Punktladung erzeugt also ein radiales elektrisches Feld, das bei zunehmender Entfernung mit r 2
abfallt.
Die Konstante k ist noch zu bestimmen. Sie hangt vom verwendeten Einheitensystem ab:
i) Im SI-(MKSA)-System betragt die Einheitsladung 1 Coulomb= 1As. Um zu konsistenten Einheiten
zu kommen, setzt man
1 ,
k = 4
0
As .
wobei 0 die elektrische Feldkonstante ist. Sie tragt die Einheit Vm
ii) Im Gauschen (CGS-, naturlichen) Einheitensystem ist k quasi in die Elementarladung e0 \hineindeniert". Es ist k = 1, und
e0 4; 80 10 10 perg cm .
Fur elektrische Felder gilt das Superpositionsprinzip: Das Gesamtfeld vieler Ladungen am Ort ~r ist
gleich der Vektorsumme der von den einzelnen Ladungen erzeugten Felder:
N
X
E~ (~r ) = qi j~r~r ~r~rij3
i
i=1
(2.2)
Bekanntlich ist elektrische Ladung auf kleinste Einheiten quantisiert, sie tritt nur in Vielfachen der
Elementarladung auf. Oft ist es jedoch gunstig und statthaft, diese Tatsache zu vergessen und zu
9
10
Elektrostatik
kontinuierlichen Ladungsverteilungen uberzugehen. In (2.2) bedeutet das, da jede Einzelladung qi
durch eine Ladungsdichte am Ort ri zu ersetzen ist, multipliziert mit einem Volumenelement Vi :
Z
N
0
0
~E (~r ) = lim X Vi (~ri ) ~r ~ri 3 = (~r 0 ) ~r ~r0 3 |{z}
V !0 i=0
j~r ~ri j
j~r ~r j dV 0
=d r
(2.3)
3
Man hat also die Summe in ein Integral verwandelt. Um die alte Summendarstellung wieder zu bekommen, mu man oenbar die Ladungsverteilung (~r ) durch einzelne -formige Terme ersetzen, von denen
jeder einer Punktladung entspricht:
(~r ) =
N
X
i=1
qi (~r ~ri )
Aus der Integralformel (2.3) ergibt sich jetzt eine wichtige Eigenschaft des E~ -Feldes: Es ist namlich
Z
Z
0
0
~rr (~r )0 d3r0 = (~r 0 ) ~r ~r0 3 d3 r0 = E~ (~r ) .
j~r ~r j
j~r ~r j
Das elektrische Feld ist also als Gradient eines Skalarfeldes darstellbar. Damit folgt sofort
Z
0
~ E~ = r
~ r
~ = 0 , mit = (~r )0 d3r0 .
r
(2.4)
j~r ~r j
Elektrostatische Felder sind wirbelfrei!
Das Skalarfeld bezeichnet man als elektrostatisches Potential. Es gilt stets
~ .
E~ = r
Mit Hilfe des Potentials ist es nun moglich, einfache Aussagen uber die an bewegten Ladungen geleistete
Arbeit abzuleiten. Die Frage ist: Welche Arbeit wird verrichtet, wenn eine Ladung q in einem Feld E~
von ~r1 nach ~r2 gebracht wird? Das Wegintegral lautet:
A12 =
Z
F~ d~l =
1!2
Z
Z
~ {zd}~l = q ((~r2 ) (~r1))
qE~ d~l = q |r
1!2
1!2 =d
Also ist die verrichtete Arbeit unabhangig vom Weg, d. h. seiner Form, und nur bestimmt durch die
Potentiale am Anfangs- und Endpunkt. Daraus ergeben sich mehrere Folgerungen:
i)
A11 = q((~r1 ) (~r1)) = 0
Wird eine Ladung auf einem geschlossenen Weg transportiert, so ist die dabei verrichtete Arbeit
gleich Null.
ii) Wahlt man einen beliebigen Bezugspunkt als Potential-Nullpunkt, so ist q(~r ) die beim Transport
einer Ladung q an den Ort ~r zu verrichtende Arbeit.
iii) An Grenzachen zwischen Medien ist die Tangentialkomponente des E~ -Feldes stetig. Zum Beweis
betrachte man ein kleines Stuck der Grenzache und wahle einen geschlossenen Integrationsweg,
der zum Teil im Medium 1 und zum Teil in Medium 2 verlauft (Abb. 2.1). Die Wegstucke parallel
zur Grenzache sollen die Lange l haben, die beiden anderen die Lange a. Nun ist
0=
I
C
E~ d~l = Etgi Etga l + (En1 En2 )a ,
und da der letzte Term fur a ! 0 verschwindet, ist die Behauptung bewiesen.
2.1 Einfuhrung
!()+,-./
01234567
89:;<!()
11
Abbildung 2.1: Zum Beweis der Stetigkeit der Tangentialkomponente des E~ -Feldes.
2.1.1 Das Gausche Gesetz
Das Gausche Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen dem elektrischen Flu durch eine ein Volumen begrenzende Oberache und der in diesem Volumen enthaltenen Ladung her. Man betrachte dazu
eine Oberache S , die den Nullpunkt des Koordinatensystems einschliet (umhullt). Ein Flachenstuck
dA auf S lat sich dann darstellen durch
2
dA = rcosd
# ,
wobei # der Winkel ist, den die Flachennormale ~n und der Ortsvektor des Flachenstuckes miteinander
einschlieen. Im Koordinatenursprung sitze nun eine Punktladung q. Der elektrische Flu durch das
Flachenelenent dA ist dann unter Anwendung von (2.1) gegeben durch
~ n dA = q cos2 # dA = q d
.
E~
r
R
Nun ist aber S d
= 4, also wird der Flu durch die gesamte Flache S gleich
I
S
~ n dA = 4q .
E~
(2.5)
Das ist das Gausche Gesetz der Elektrostatik:
Der durch eine geschlossene Oberflache tretende elektrische Flu ist gleich 4 mal der in der Flache eingeschlossenen Ladung.
Der Beweis fur diesen Satz ist aber noch nicht ganz vollstandig. Wir betrachteten bisher nur Ladungen
innerhalb der Oberache. Zu zeigen ist, da eine Ladungsverteilung auerhalb von S nichts zum elektrischen Flu durch S beitragt. Man betrachte dazu Abb. 2.2. Aus ihr geht der Beweisgang unmittelbar
!()+,./0123
456789
Abbildung 2.2: Zum zweiten Teil des Beweises fur das Gausche Gesetz
hervor: Man spaltet von einer geschlossenen Oberache, die eine Ladung q enthalt, einen \leeren" Teil
ab. Da der Flu durch die kleine Verbindungsache f beliebig klein und schlielich zu 0 gemacht
12
Elektrostatik
werden kann, ist klar, da der Flu durch die abgespaltete Flache verschwindet, was zu beweisen war.1
Das Gausche Gesetz lautet also, formuliert fur eine Punktladung:
I
S
E~ ~n dA =
4q falls q innerhalb S
falls q auerhalb S
0
(2.6)
Unter Anwendung des Superpositionsprinzips lat sich das leicht auf eine Ansammlung verschiedener
Punktladungen qi und schlielich auf eine kontinuierliche Ladungsverteilung (~r ) verallgemeinern (es
wird angenommen, da sich alle Ladung innerhalb der Flache S bendet):
I
IS
S
X
E~ ~n dA = 4 qi
Zi
E~ ~n dA = 4 (~r ) d3 r
(2.7)
Aus (2.7) folgt unmittelbar mit Hilfe des Gauschen Satzes der Vektoranalysis
I
@V
E~ ~n dA =
Z
V
r~ E~ (~r ) d3 r
~ E~ (~r ) = 4(~r ) .
=) r
~ hinzu, so ergibt sich
Nimmt man noch die bereits erwahnte Tatsache E~ = r
= 4
(2.8)
(Poisson-Gleichung) ,
was fur den haugen Fall = 0 in die Laplace-Gleichung = 0 ubergeht. Zusammen mit der oben
~ E~ = 0 haben wir so zwei Maxwell-Gleichungen fur stationare Verhaltnisse
hergeleiteten Beziehung r
kennengelernt.
Die Poisson-Gleichung ist eine Dierentialgleichung, deren Losung unmittelbar angegeben werden
kann. Sie lautet
Z
0
(2.9)
(~r ) = j~r(~r ~r)0 j d3r0 .
Die U berprufung dieser Tatsache reduziert sich oensichtlich auf die Verikation der Beziehung
1 j~r ~r 0j = 4 (~r ~r 0 ) ,
(2.10)
oder auch r1 = 4 (r). Da dies fur r 6= 0 gilt, rechnet man sofort nach. Bei r = 0 jedoch ist zunachst
keine Aussage moglich, hier greift man zu einem Trick: Man \nahert" die singulare Funktion 1r durch
die dierenzierbare Funktion
(r) = p 21 2
r +
1
an, die fur ! 0 wieder in r ubergeht. Dann wird unter Anwendung der Formel fur den LaplaceOperator in Kugelkoordinaten (Radialanteil)
@2 p r = 1 @ p 1
(r) = 1r @r
2 r2 + 2 r @r
r 2 + 2
2
= 3 p 5 =: (r) .
r 2 + 2
Fur ! 0 gibt es nun zwei Falle zu unterscheiden:
0 fur r 6= 0
lim (r) =
1 fur r = 0
!0 1
Beweisidee aus [13].
!
rr
1
2 @
p 2 2 3 = r @r p 2 23 =
r +
r +
2.1 Einfuhrung
13
Das ist bisher nichts Neues. Der Vorteil der Funktion besteht nun in ihrer Integrierbarkeit:
Z1@
Z
Z1
Z1
= 4
(r) d3r = 4
r2 (r) dr = 4
(r (r)) dr =
r|2{z
(r}) dr p:I:
0 @r
0
0
=r @r@ r
2
2
?1
= 4 p 2r 2 ??0 = 4
r +
Der Parameter spielt keine Rolle mehr. Damit ist gezeigt, da r1 = 4 (r), und Gleichung (2.9) ist
bewiesen. Die vektoranalytische Beziehung (2.10) ist von groter Wichtigkeit in der gesamten Elektrodynamik und wird im folgenden oft in Herleitungen verwendet.
2.1.2 Ladungen auf Oberachen und auf Leitern
Angenommen, es existiert eine Raumladungsdichte (~r ), die innerhalb eines kleinen Volumens V als
konstant gleich 0 angenommen werden kann. Dann ist die in diesem Volumen enthaltene Ladung gleich
q = 0 V .
Sei nun (~r ) eine auf einer Flache, also zweidimensional, aufgetragene Ladungsdichte. Sie trage die
Einheit einer Ladung pro Flache. Dann ist, falls 0 wieder gleich einer innerhalb einer kleinen Flache
f konstanten Ladungsdichte gesetzt werden darf, die auf dieser Flache enthaltene Ladung gleich
q = 0f .
Ganz analog zum Fall einer Raumladung lat sich nun das von einer wie auch immer geladenen Flache
F erzeugte Feld durch das Potential
Z
0
(~r ) = j~r(~r ~r)0j df
(2.11)
F
beschreiben, falls die konkrete Ladungsverteilung (~r ) bekannt ist.
Man betrachte nun eine konstante Flachenladung . Wie in Abbildung 2.3 gezeigt, wird ein Quader
des Volumens V so in die Flache eingearbeitet, da Boden- und Deckache parallel zu der ladungstragenden Flache liegen. Die \Dicke" des Quaders sei beliebig klein. Von dem Quader wird oensichtlich
!()+,-./012
3456789:;<!
Abbildung 2.3: Zum Verhalten des elektrischen Feldes an geladenen Flachen
eine kleine Flache f ausgeschnitten, die die Ladung q = f tragt. Der elektrische Flu durch @ V
ist dann gleich
I
~ n df = E~ a~n E~ i~n f = 4f .
E~
(2.12)
@ V
Dabei bedeutet E~ a das Feld auf der (willkurlich gewahlten) Auenseite der Flachenladung, E~ i das auf
der Innenseite. Die letzte Gleichung sagt aus, da die Normalkomponente des elektrischen Feldes an
einer geladenen Flache um den Betrag 4 springt.
Aus dem bisher Gesagten lassen sich einige wichtige Schlusse fur das Verhalten elektrischer Felder
in und an Leitern ziehen. Im folgenden wird angenommen, da die Ladungstrager innerhalb des Leiters
in Ruhe sind.
14
Elektrostatik
i) Innerhalb jedes Leiters, in dem die Ladungstrager ruhen, verschwindet das elektrische Feld, da es ja
sonst einen Strom geben mute. Die Konsequenz ist, da in jedem solchen Leiter (also auch uber
seine Oberache) das Potential konstant sein mu.
ii) An der Grenzache vom Leiter in das ihn umgebende Medium ist die Tangentialkomponente des
elektrischen Feldes stetig: E~ a ~n = E~ i ~n. Das wurde fruher schon abgeleitet.
iii) An der Auenseite des Leiters ist das elektrische Feld gleich 4~n, also senkrecht zur Oberache,
da das Feld im Inneren verschwindet (siehe i) und ii)).
iv) Wird ein Leiter in ein elektrisches Feld gebracht, so ordnen sich Ladungen auf seiner Oberache so
zu einer Oberachenladungsdichte an, da das externe Feld im Inneren genau zu 0 kompensiert
wird.
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung
Die Formeln (2.9) und (2.11) genugen dann zur eindeutigen Berechnung des Potentials, wenn alle existierenden Raum- und Flachenladungen genau bekannt sind. Oft sind jedoch nur gewisse Randbedingungen
gegeben (das konnte z. B. das Potential eines Leiters sein), aus denen dann das Potential im restlichen
Raum, in dem dann die Laplace-Gleichung gilt, bestimmt werden mu. Die genaue Ladungsverteilung
auf den Grenzachen ergibt sich dann durch Grenzwertbetrachtungen, wenn das Feld bekannt ist (siehe
vorangegangener Abschnitt).
Mathematische Hilfsmittel stellen dabei die beiden Greenschen Identitaten dar. Um diese abzuleiten,
betrachte man zwei beliebige freundliche Skalarfelder und , und das aus ihnen gebildete spezielle
Vektorfeld A~ :
~ =) r
~ A~ = r
~ r
~ + A~ = r
Weiterhin ist dann
~ n = r
~ ~n = @ ,
A~
@~n
und das fuhrt unter Anwendung des Gauschen Satzes direkt zur ersten Greenschen Identitat:
Z I @
~
~
(2.13)
+ rr dV =
dF
V
@V @~n
Die Ableitung nach der Flachennormale ~n ist als Richtungsableitung zu verstehen. Vertauscht man in
dieser Formel mit (dadurch ergibt sich naturlich wieder eine wahre Aussage) und subtrahiert beide
Gleichungen, so kommt man zur zweiten Greenschen Identitat (manchmal einfach als \Satz von Green"
bezeichnet):
Z
I @ @ ( ) dV =
@~n @~n dF
(2.14)
V
Wir betrachten nun einen Spezialfall. Setzt man
@V
:= j~r 1 ~r 0 j ,
und lat weiter beliebig zu, so liefert Green 2 zusammen mit r1 = 4 (r) und = 4:
Z I @ dF 0
j~r ~r 0 j @~n 0
V
Daraus lat sich | durch die Auflosung des Integrals mit der Deltafunktion im Integranden | ausrechnen, sofern man sich mit dem Aufpunkt ~r innerhalb von V bendet:
1 I 1 @
Z
0
@
dF 0
(2.15)
(~r ) = j~r(~r ~r)0 j d3r0 + 41
0
0
0
0
j
~
r
~
r
j
@~
n
@~
n
j
~
r
~
r
j
@V
V
Diese Formel halt wieder interessante Folgerungen bereit:
4(~r 0 ) (~r ~r 0)
1
@
0
3 0
j~r ~r 0 j ( 4(~r )) d r = @V @~n 0 j~r ~r 0j
1
1
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung
15
i) Falls im Inneren des betrachteten Volumens V keine Ladung existiert, so ist das Potential (fur das
dann die Laplace-Gleichung gilt) dort durch seinen Wert und seine Richtungsableitung bezuglich
der Normalen am Rand eindeutig festgelegt, denn das erste Integral in (2.15) verschwindet dann
(spater wird noch gezeigt werden, da die Angabe von Potential und Ableitung auf dem Rand
sogar eine U berbestimmung darstellt).
ii) Lat man das Volumen V gegen unendlich streben, so verschwindet das Oberachenintegral genau
dann, wenn die Richtungsableitung von (also die Normalkomponente des Feldes) am Rand
schneller als j~r 1~r 0 j abfallt (dann genugt das r02 aus dem Flachenelement nicht mehr zur \Kompensation"). In diesem Fall reduziert sich (2.15) auf (2.9). Das verwundert nicht, denn die PoissonGleichung wurde ja zur Herleitung verwendet.
Wie bereits erwahnt, ist es nicht notwendig, zur Losung der Laplace-Gleichung innerhalb von V
sowohl das Potential als auch seine Richtungsableitung am Rand anzugeben. Man unterscheidet also
zwei Falle: Dirichletsche und Neumannsche Randbedingungen.
2.2.1 Dirichletsche Randbedingungen
Dirichletsche Randbedingungen bedeuten die Vorgabe des Potentials auf dem Rand des betrachteten
Volumens. Man kann nun zeigen, da die Laplace- oder Poisson-Gleichung unter diesen Bedingungen
eindeutig losbar ist.
Dazu nehmen wir an, es gabe tatsachlich zwei unterschiedliche Losungen (~r ) und (~r ) der Gleichung = = 4, fur die dann
(~r ) = (~r ) 8 ~r 2 @V
(2.16)
gilt, d. h beide Losungen erfullen die gleiche Randbedingung. Dann gilt ( ) = = 0.
ein, so ergibt sich
Setzt man in die erste Greensche Identitat fur = = Z 0
@(
V
~
) (
| {z }) +(r(
=0
1
I
))2 A dV = (
@V
) @ (@~n ) dF )
Z
V
~ (
(r
))2 dV = 0 ,
~ ( ) = 0 und somit ( ) = const:
da ( ) auf @V laut (2.16) verschwindet. Damit folgt, da r
in V . Wegen (2.16) ist die Konstante jedoch gleich 0, und die Eindeutigkeit der Losung ist bewiesen.
2.2.2 Neumannsche Randbedingungen
Neumannsche Randbedingungen bedeuten die Vorgabe der Normalkomponente des elektrischen Feldes
@ ) auf @V . Die Eindeutigkeit der Losung ist hier jedoch nur bis auf eine Konstante gegeben. Der
(also @~
n
Beweis ist analog zu dem fur Dirichlet-Randbedingungen, bis auf den letzten Schritt: Die Randbedingung lautet ja jetzt
@(~r ) = @ (~r ) 8 ~r 2 @V ,
(2.17)
@~n
@~n
also mussen die beiden Losungen auf dem Rand nicht mehr gleich sein. Das lat die Freiheit der Wahl
einer beliebigen Konstante fur = const:. Dies ist aber irrelevant, da, wie bereits mehrfach hervorgehoben, nur das elektrische Feld | und nicht das Potential | den physikalischen Gehalt ausmacht.
Somit ist es oensichtlich, da die Festlegung Dirichletscher und Neumannscher Randbedingungen
die Losung uberbestimmt, ja sogar (bei Unvertraglichkeit der beiden Vorgaben) unter Umstanden in
diesem Fall gar keine Losung existiert.
2.2.3 Beispiele
Dieser Abschnitt stellt anhand einiger Beispiele wichtige Methoden zur Behandlung von Randwertproblemen in der Elektrostatik vor. Fur weitergehende Informationen ist [9, Kap. 2] empfehlenswert,
auerdem [16].
16
Elektrostatik
Metallische, geladene Kugel
Man betrachte eine mit der Ladung q aufgeladene, metallische Kugel mit Radius r = a (Abb. 2.4
links). Man hat es also mit einer absolut symmetrischen Ladungsverteilung zu tun, denn es gibt keinen
!()+,-./012
3456789:;<
!(
)+,-./01234
!
()+,-./0123
456789:;<
Abbildung 2.4: Zur elementaren Anwendung des Gauschen Gesetzes der Elektrostatik: Links geladene
Metallkugel im Vakuum, rechts Kugelkondensator.
Grund, weshalb sich die elektrische Ladung auf der Kugeloberache an bestimmten Orten haufen sollte.
Oensichtlich gilt dann fur die Oberachenladungsdichte
q .
= 4a
2
Gesucht ist das Potential innerhalb und auerhalb der Kugel.
Auerhalb: Durch das Vorhandensein einer Oberachenladung mu die Normalkomponente des elektrischen Feldes an der Oberache springen, und zwar um
En = 4 .
Da im Metall das elektrische Feld aber vollig verschwindet, gilt also fur das Feld an der Oberache aus
Symmetriegrunden
(2.18)
E~ (a) = ~er Ena = 4~er = aq2 ~er .
Um nun das elektrische Feld im gesamten umgebenden Raum zu berechnen, legt man eine \imaginare"
Kugelache konzentrisch um die geladene Kugel. Das Gausche Gesetz liefert dann unter Anwendung
der Symmetrie die Identitat
I
E~ (r) dF~ = 4r2 E (r) = 4q .
r
Damit folgt fur das Feld im Auenraum sofort
?
E~ (~r )??ra = q r~r3 .
(2.19)
Fur das elektrische Potential betrachte man den radialen Anteil der Laplace-Gleichung (aus Symmetriegrunden fallen die anderen Terme weg):2
@ 2 (r) = 0
= r1 @r
2
=)
= Ar + B
2 Nat
urlich konnte man auch ein Linienintegral bis zum Radius r berechnen, das fuhrt zum selben Ergebnis. Der
Potentialnullpunkt wird dann durch den Anfangspunkt des Integrationsweges festgelegt.
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung
17
In der allgemeinen Losung sind also noch die beiden Konstanten A und B zu bestimmen. Dazu bildet
~ einen Ausdruck fur das Feld an der Kugeloberache:
man unter Anwendung von E~ = r
?
?
?
~ ?? = @ ?? = ~er A2 ?? = ~er A2 =) A = q; B := 0
E~ n = E~ (r = a) = r
@r r=a
r r=a
a
r=a
Die Konstante B wurde hier zu 0 gewahlt, damit das Potential im Unendlichen verschwindet. Das mu
zwar nicht sein (die Konstante wirkt sich ja bei E~ nicht aus), ist aber oft gunstig.
Innerhalb: Ist r < a, so enthalt die imaginare \Gau-Kugel" keine Ladung, d. h. das Feld im Inneren
der Metallkugel verschwindet. Da die Kugel insgesamt auf dem Potential aq liegt, mu das Potential
innerhalb gleich diesem Wert sein. Insgesamt ergibt sich dann
=)
(r) =
Kugelkondensator
q
aq
r
wenn r a
wenn r > a
!()+,
-./01
23456
.
In einem Metallkorper bende sich ein kugelformiger Hohlraum mit Radius b, darinnen konzentrisch
eine Metallkugel vom Radius a (s. Abb. 2.4 rechts). Auf den Oberachen von Kugel und Hohlraum
seien Ladungen q und q aufgebracht. Gesucht ist die Kapazitat des so entstandenen Kondensators
unter der Annahme, da im Hohlraum Vakuum herrscht.
Unter Anwendung der im vorangegangenen Beispiel erhaltenen Ergebnisse lautet die allgemeine
Losung der Laplace-Gleichung im Zwischenraum
(r) = qr + B .
Der Potentialunterschied zwischen Innen- und Auenache betragt somit
1 1
U = (a) (b) = q a b ,
und die Kapazitat der Anordnung erhalt man zu
C = Uq = 1 q 1 = b ab a .
q a b
(2.20)
Man beachte, da im Grenzfall eines (im Vergleich zu a und b) schmalen Zwischenraumes dieser Ausdruck in den fur die Kapazitat eines Plattenkondensators (siehe nachstes Beispiel) der Flache 4a2
ubergeht, was ja auch zu erwarten ist:
d = b a 0 =)
Plattenkondensator
2
C ad
In den beiden vorangegangenen Beispielen konnten hohe Symmetrien ausgenutzt werden, um Felder
und Potentiale zu bestimmen. So einfach ist es jedoch nicht immer.
Bereits bei einem \simplen" Plattenkondensator (Abb. 2.5 links) mussen vereinfachende Annahmen
gemacht werden, um das Problem | hier die Bestimmung der Kapazitat | uberhaupt angehen zu
konnen. Die Vereinfachung besteht hier in der Vernachlassigung der Randeekte, d. h. bei Annahme
quadratischer Platten soll die Kantenlange einer Platte gro gegen d sein.
18
Elektrostatik
!()+,-./0123
456789:;<!()
+,-./0123456
789:;<!()+,./0123456789
Abbildung 2.5: Randwertprobleme ohne hohe Symmetrie. Links Plattenkondensator, rechts Punktladung vor 1 ausgedehnter, leitender Ebene.
Die Normalkomponente des E~ -Feldes springt an einer Platte aufgrund der Oberachenladung
= q=F um
En = E = E = 4 = 4 Fq .
Hier wurde mit der oben erwahnten Vereinfachung Ernst gemacht: Das Feld wird zwischen den Platten als homogen angenommen (d. h. auch die Flachenladungsdichte ist homogen), auderdem soll es
auerhalb des Kondensators verschwinden. Dann gilt fur den Potentialunterschied
Z
U = 2 1 = E~ d~l = Ed = 4qd
F ,
1!2
und die Kapazitat wird zu
C = Uq = 4Fd .
(2.21)
Punktladung vor leitender Ebene: Spiegelladungen
Man betrachte eine Punktladung q im Abstand a vor einer unendlich ausgedehnten, beliebig gut leitenden Ebene, deren Potential auf 0 festgehalten wird. Gesucht ist das Potential in jedem Raumpunkt
vor der Ebene (Abb. 2.5 rechts).
Hier mu man von dem auerst wichtigen Satz Gebrauch machen: Wenn eine Losung der LaplaceGleichung gefunden ist, die den Randbedingungen gehorcht, so ist dies die einzige Losung (siehe Abschnitt 2.2). Um dies praktisch auswerten zu konnen, macht man meist mit intelligenten Annahmen
einen Ansatz und uberpruft seine Richtigkeit durch nachrechnen bzw. legt noch freie Konstanten fest.
~ E~ = 0 die Tangentialkomponente des E~ -feldes an der Ebene
In diesem Fall wei man, da wegen r
~
verschwinden mu, denn im Metall ist E = 0:
E (z = 0) = 0
Man sucht also fur die Losung ein Feld, das lokal (an der Ebene) senkrecht zur Flache z = 0 steht.
Das vermittelt schon einen Eindruck von der Losung (d. h. ihrer Symmetrie), ist aber noch keine
ausreichende Randbedingung. Auerdem ist naturlich (z = 0) = 0, und dies ist ein Dirichletsches
Randwertproblem.
Ein Feld, das dieser Dirichletschen Bedingung gehorcht, ist leicht zu nden. Es handelt sich um das
Feld zweier entgegengesetzter Punktladungen q und q. Man fuhrt also auf der anderen Seite der Ebene
im Abstand a eine \virtuelle" Punktladung q ein und erfullt so die Randbedingung! Fur das Potential
gilt dann folgender Ansatz:
q
p
(2.22)
(~r ) = p 2 2 q
2
2
2
x + y + (z a)
x + y + (z + a)2
|
{z
Ladung in a
}|
{z
Spiegelladung
}
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung
19
Wie man sofort sieht, erfullt dieses Potential die Randbedingung (z = 0) = 0. Also ist es die einzige
Losung.
Wir suchen nun noch einen Ausdruck fur die durch q auf der Ebene erzeugte Flachenladungsdichte
. Dazu bildet man die Normalkomponente von E~ bei z = 0:
?
4 = En = @@z ??z=0 = 2 22aq 2 3=2 =) () = 2(a2 +aq2 )3=2
(a + x| {z
+ y })
=
2
Das ist eine radialsymmetrische Verteilung um den Ursprung. Wie gro ist nun die auf der Oberache
versammelte Gesamtladung? Integration uber die Flache:
Z1
Z 1 d
=) q0 = 2
= q
() d = aq
0
0 (a2 + 2 )3=2
Also wird von der realen Ladung q auf der Oberache genau die Spiegelladung q erzeugt. Man konnte
sagen, zur Erfullung von Randbedingungen ist der Natur jedes Mittel recht.
Laplace-Gleichung in kartesischen Koordinaten: Langer Kasten mit Potentialunterschieden
Zum Abschlu noch ein komplizierteres Beispiel, das auch gleich die Vorgehensweise bei der Losung der
Laplace-Gleichung in kartesischen Koordinaten zeigt. Gegeben sei ein metallischer Kasten mit rechteckigem Querschnitt, der sich unendlich weit in positive und negative z-Richtung erstrecke (Abb. 2.6).
!()+,./0123
456789
:;<!()
+,-./0
!()+,./0123
456789
:;<!()
+,-./0
Abbildung 2.6: Ein langer, metallischer Kasten mit voneinander isolierten Wanden, die auf verschiedenen Potentialen liegen. Rechts Losung der Laplace-Gleichung mit a = b und
U2 = U1 =2.
Die vier Seitenwande des Kastens seien voneinander isoliert, so da sie auf folgenden Potentialen
liegen konnen:
(x = 0) = U1 (x = a) = U2 (y = 0) = (y = a) = 0
Diese Vorgaben sind oensichtlich Dirichletsche Randbedingungen. Gesucht ist das Potential im
Inneren des Kastens. Da es sich um ein in z -Richtung translationssymmetrisches Problem handelt,
genugt es aus Symmetriegrunden, zwei Dimensionen zu betrachten (es gibt keinen Grund, weshalb eine
z -Richtung irgendwie ausgezeichnet sein sollte, also mu Ez = 0 gelten). Die Laplace-Gleichung lautet
somit
2
2
(2.23)
= @@x2 + @@y2 = 0 .
In solchen Fallen empehlt sich ein sogenannter Separationsansatz zur Losung fur . Man setzt
(x; y) := G(x) H (y) .
20
Elektrostatik
Eingesetzt in die Laplace-Gleichung ergibt sich dann
2
2
= H (y) @@xG2 + G(x) @@yH2 = 0
=)
1 @2G + 1 @2H = 0 .
G @x2 H @y2
(2.24)
Die Funktionen G(x) und H (y) hangen von unabhangigen Variablen ab. Demzufolge kann (2.24) nur
dann erfullt sein, wenn beide Summanden konstant sind:
1 @ 2 G = 1 @ 2 H =: 2 = const.
G @x2
H @y2
Dies sind bereits zwei homogene partielle Dierentialgleichungen zweiter Ordnung. Die erste lautet
@2
@y2
+ 2
H=0 .
(2.25)
Sie ist vom Typ einer einfachen Schwingungsgleichung, deren allgemeine Losung bekanntlich durch
H (y) = sin(y) + cos(y)
(2.26)
gegeben ist, mit noch zu bestimmenden Konstanten und . Zwei der Randbedingungen kann man
bereits hier einsetzen:
H (0) = 0 ) = 0
H (b) = 0 ) b = n , mitn 2 Z.
=) H (y) = sin n
b y
(2.27)
(2.28)
Jetzt noch die zweite Dierentialgleichung und ihre allgemeine Losung:
@2
@x2
2 G = 0
G(x) = ex + e x
=)
(2.29)
Setzt man die Forderung = nb aus (2.28) hier ein, so wird daraus
nx G(x) = n exp nx
+
exp
.
n
b
b
(2.30)
Schlielich gilt also durch Kombination aller unabhangigen Losungen fur :
(x; y) = G(x) H (y) =
1 X
n=1
n exp
nx b
nx n + n exp
y
sin
b
b
(2.31)
Dazu ist einiges zu sagen. Zunachst geht die Summe nur von 1 bis 1, da in die Losung nur alle
unabhangigen Terme aufgenommen werden sollen. Diejenigen fur negatives n lassen sich jedoch aus
denen fur n > 0 linear kombinieren. Auerdem wurde der Faktor aus (2.28) mit in die Konstanten
n und n gezogen.
Zwei Randbedingungen sind noch ubrig. Die fur x = 0 liefert
X
(2.32)
(x = 0) = U1 = (n + n ) sin n
b y .
n
Dies ist oensichtlich eine Fourier-Reihe. Um die Koezienten (n + n ) zu erhalten, nutzt man eine
der Orthogonalitatsrelationen der harmonischnen Analyse aus:
0 n 6= p b
Z b n p sin b y sin b y dy = b n = p = 2 p;n
0
2
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung
21
Multipliziert man also (2.32) mit sin pb y und integriert von 0 bis b, so fallen alle Summenglieder weg,
bis auf jenes mit p = n :
4U p ungerade
Zb b ( + )
p
U1 sin p
y
dy
=
)
(
+
)
=
=
(2.33)
p
p
p
p
0
p gerade
b
2
0
|
{z
}
0
p gerade
=
2 pb p ungerade
Die letzte verfugbare Randbedingung ergibt fur x = a :
1 na
X
na
n e b + n e b sin ny
(x = a) = U2 =
b
n=1
Und mit den gleichen U berlegungen wie bei x = 0 folgt
pa
4pU p ungerade
pa
b
b
p e + p e
= 0 p gerade
.
(2.34)
Fur den Fall, da p gerade ist, bekommt man aus (2.33) und (2.34) die Losungen p = 0 und p = 0.
Ist p ungerade, so ergeben sich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten p und p fur jedes (ungerade)
p. Die Gesamtlosungen lauten dann
4 U1 U2 epa=b ??
??
p = p
?
1 e2ap=b
,
=
=
0
(2.35)
?p gerade
?
p
p
pa=b ?
4
U
U
e
1
2
p ungerade
p = p 1 e2ap=b
Durch Einsetzen in (2.31) bekommt man dann die allgemeine Losung fur . In Abb. 2.6 ist rechts ein
3D-Plot der Losung fur das Potential im Kasten zu sehen, wenn man U2 = U1 =2 und a = b setzt. Dabei
zeigt die z -Richtung nach oben (d. h. man mu sich den Kasten gegenuber dem linken Bild um 90
nach hinten gekippt denken), und in dieser Richtung ist dann auch (x; y) aufgetragen. In der Ebene
z = 0 sind zusatzlich einige A quipotentiallinien eingezeichnet. Das Bild wurde allerdings nicht durch
das Aufsummieren der Reihe, sondern mittels eines numerischen Naherungsverfahrens berechnet [13,
Kap. 3, U bungen].
Das hier in zwei Dimensionen vorgestellte Verfahren lat sich problemlos auf drei Dimensionen
ubertragen. Siehe dazu auch [9, Kap. 2.9].
1
2
2.2.4 Die Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten: Allgemeine Losung
A hnlich wie in dem eben behandelten Beispiel kann man auch in Kugelkoordinaten die LaplaceGleichung zunachst allgemein behandeln, um dann die auftretenden Dierentialgleichungen zu losen
und die freien Konstanten mit Hilfe der Randbedingungen zu bestimmen. Die Gleichung lautet also
@ 2 (r) + 1 @ sin # @ + 1 @ 2 = 0 .
= 1r @r
(2.36)
2
r2 sin # @#
@#
r2 sin2 # @2
Zur Losung bietet sich abermals ein Separationsansatz an:
:= U r(r) P (#)Q()
(2.37)
Da man hier U noch durch r dividiert, ist deshalb gunstig, weil in der Laplace-Gleichung (2.36) nicht
alleine, sondern r nach r abgeleitet wird.
Die einzelnen Ableitungen in (2.36) lauten somit:
@ 2 (r) = @ 2 (UPQ) = PQ @ 2 U
@r2
@r
2
@r2 @ sin # @ = @ sin # U Q @ P = U Q @ sin # @ P
@#
@#
@#
r @#
r @#
@#
@2 = U P @2 Q
@2
r @2
22
Elektrostatik
sin # liefert
Einsetzen dieser Terme in die Laplace-Gleichung und Multiplikation mit r UPQ
@ 1 @2
1 @2
1
@
2
2
(2.38)
r sin # U @r2 U + Pr2 sin # @# sin # @# P + Q @2 Q = 0 .
In dieser Gleichung hangt nur der letzte Summand von ab und mu deshalb konstant sein. Wir setzen
3
2
1 @ 2 Q =: m2 .
Q @2
Die allgemeinen Losungen dieser Dierentialgleichung fur Q() sind3
Q = eim ; 0 < 2 , m 2 Z.
(2.39)
Der Parameter m mu ganzzahlig sein, damit es nach einem vollen \-Umlauf" von 0 bis 2 nicht zu
Zweideutigkeiten kommt. Damit ist das Thema Q eigentlich erledigt, bis auf eine kleine Einschrankung
bei m, auf die wir spater noch kommen. m2 wird jetzt in (2.38) eingesetzt:
r2 sin2 #
1 @2
@ ??
@
1
2=0
sin
#
U
+
P
m
? sin 2 #
U @r2
Pr2 sin # @#
@#
@ m2
2 @2
1
r
@
=0
=)
sin # P
U+
sin2 #}
{z2 } |P sin # @# {z@#
|U @r
=: l(l+1)
= l(l+1)
Aus den ublichen Grunden mu das hier etwas verquer | wenn auch nutzlich, wie sich spater zeigen
wird | eingefuhrte l konstant sein (der erste Teil hangt nur von r ab, der zweite nur von #). Wie gehabt
bekommt man so noch zwei Dierentialgleichungen:
@2 U
@r2
1 @ sin # @ P + l(l + 1)
sin # @#
@#
l(l + 1) U = 0
r2 m2 P = 0
sin2 #
(2.40)
(2.41)
Die Losung fur (2.40) erhalt man noch recht einfach zu
U (r) = Arl+1 + Br l .
(2.42)
Bei (2.41) wird es interessant. Wie sich zeigen wird, ist das die \versteckte" Version einer bekannten
Dierentialgleichung. Um diese Gleichung zu bekommen, substituiert man x := cos #. Dann wird
@
@
p 2
@f .
@
sin # = 1 x , und dx = sin # d# ) @# f (x(#)) = @# (cos #) @x f = sin # @x
(2.41) kann damit so geschrieben werden:
p
@ P + l(l + 1) m2 P = 0
1
sin #) @x
sin2 #
2 m
@
@
2
=) @x (1 x ) @x P + l(l + 1) 1 x2 P = 0
(2.43)
Dies ist die sogenannte Legendre-Dierentialgleichung, deren Losungen man kennt ([5, Kap. 3.3.1.3.4],
in [9, Kap. 3.2] ndet sich eine ausfuhrlichere mathematische Behandlung). Dabei betrachtet man
gunstigerweise folgende Falle:
1 ( sin #) @
sin #
@x
x2 (
@ Q() ja auch positiv sein konnte (wenn man imaginare m auer
Man mag hier auf den Gedanken kommen, da Q1 @
acht lat). Das ist aber unmoglich, da Q() oensichtlich eine Periode von 2 haben und dierenzierbar sein mu. Mit
reellen e-Funktionen ist das aber nicht zu erfullen.
3
2
2
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung
23
Fall 1: m = 0. Die Gleichung, die sich mit dieser Vereinfachung ergibt, heit gewohnliche Legendre-
@ (1 x2) @ P + l(l + 1)P = 0
(2.44)
@x
@x
Wenn
man will, kann man das als eine Eigenwertgleichung fur einen linearen Operator L =
@ (1 x2) @ zu den Eigenwerten l(l + 1) schreiben:
@x
@x
LP = l(l + 1)P
Es zeigt sich, da dieser Operator ein diskretes Spektrum mit unendlich vielen Eigenfunktionen
besitzt. Diese Funktionen sind die sogenannten Legendre-Polynome Pl (x), die z. B. nach der
folgenden Rekursionsformel berechnet werden konnen (Formel von Rodriguez):
dl
2 1)l , l 2 IN0 ,
(2.45)
(
x
Pl (x) = 2l1l! dx
l
denn nur fur diese l erhalt man linear unabhangige Losungen der Dierentialgleichung, die an den
Stellen 1 und 1 beschrankt sind [9]. Man normiert per Konvention die Pl so, da Pl (1) = 1 8l.
Die ersten Polynome in diesem Satz lauten:
Dierentialgleichung:
P0(x)
P1(x)
P2(x)
P3(x)
=
=
=
=
1
x
1 (3x2
2
1 3
2 (5x
1)
3x)
P4 (x)
P5 (x)
P6 (x)
P7 (x)
=
=
=
=
1 (35x4 30x2 + 3)
8
1 (63x5 70x3 + 15x)
8
1
6
4
2
16 (231x 315x + 105x
1
7
5
3
16 (429x 693x + 315x
5)
35x)
Abbildung 2.7 gibt einen Eindruck von den Graphen der Polynome P0 bis P4 . Man sieht (auch
schon aus den Formeln), da die Pl mit steigendem l abwechselnd gerade und ungerade sind. Die
Normierungsbedingung Pl (1) = 1 ist jedoch erfullt. Das Wichtige dabei ist, da die Legendre-
!()+,-./012
3456789:;<
!(
)+,-./01234
56789:;<!()
+,-./012345
!
()+,-./0123
456789:;<
Abbildung 2.7: Die Graphen der ersten funf Legendre-Polynome.
Polynome in [ 1; 1] einen vollstandigen Satz orthogonaler Funktionen bilden. Es gilt die Orthogonalitatsbeziehung
Z1
Pl0 (x) Pl (x) dx = 2l 2+ 1 l;l0 .
(2.46)
1
24
Elektrostatik
Sei jetzt eine beliebige stetige Funktion f (x) deniert auf [ 1; 1]. Dieses f ist dann als Linearkombination im Sinne einer Reihe aus Legendre-Polynomen synthetisierbar:
f (x) =
1
X
l=0
Al Pl (x)
Analog zur Fourier-Zerlegung gewinnt man auch hier die Entwicklungskoezienten Al durch Multiplikation dieser Gleichung mit Pl0 , Integration uber das Synthese-Intervall und Anwendung der
Orthogonalitatsbeziehung:
Z1
1
f (x)Pl0 (x) dx =
Damit folgt
Z1X
1
1 l=0
Z1
Al = 2l 2+ 1
1
Al Pl Pl0 dx (2=:46) 2l0 2+ 1 Al0
f (x)Pl (x) dx .
(2.47)
Nun zuruck zum behandelten Spezialfall m = 0. Nach (2.39) erfat man durch diese Einschrankung
alle Probleme mit azimutaler Symmetrie, d. h. die Geometrie ist unabhangig vom Azimutwinkel
@ G = 0). Damit folgt durch Linearkombination aller un (G ist keine Funktion von , also @
abhangigen Losungen und Anwendung von (2.42):
= (r; #) =
i
Al rl + Bl r (l+1) Pl (cos #)
1h
X
l=0
(2.48)
Dies ist also die allgemeine Losung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten fur Probleme mit
azimutaler Symmetrie (die Konstanten vor den Legendre-Polynomen und die Konstante G wurden
wieder in die Al und Bl aufgenommen und die Substitution x = cos # ruckgangig gemacht). Die
freien Konstanten Al und Bl mussen anhand von Randbedingungen bestimmt werden, dazu folgt
spater noch ein Beispiel.
Ein Hinweis noch zu den Legendre-Polynomen. Oft sind bei der Berechnung bestimmter Integrale
folgende Beziehungen zwischen Legendre-Polynomen und deren Ableitungen sehr nutzlich. Beweise
ndet man in vielen Buchern [16], so da hier nur die Gleichungen wiedergegeben werden:
Pl0+1 xPl0 (l + 1)Pl = 0
lPl 1 lxPl + (x2 1)Pl0 = 0
(2.49)
(2.50)
Fall 2: m 6= 0 ^ m 2 Z. Auerdem sei l m l. Hier schlagt die oben bereits angedeutete
Einschrankung fur den Bereich von m also zu. Die Losungen der Legendre-Differentialgleichung
(2.43) fur diesen Fall werden zugeordnete Legendre-Funktionen genannt:
m
@ (l+m) (x2 1)l
Plm (x) = ( 2l1)l! (1 x2 )m=2 @x
(l+m)
(2.51)
@ m P (x)
Plm (x) = ( 1)m (1 x2)m=2 @x
m l
(2.52)
Oder, in einer anderen Darstellung:
Aus diesen Funktionen gehen, wie man leicht sieht, die Legendre-Polynome wieder hervor, wenn
man m = 0 setzt. Aus den zugeordneten Legendre-Polynomen lat sich ebenfalls ein vollstandiges
System orthonormaler Funktionen ableiten, das nun auf der Einheitskugel deniert ist, d. h. die
\Basisvektoren" hangen von und # ab. Man deniert
s
m)! P m (cos #) eim , mit
Ylm (#; ) := 2l4+ 1 ((ll + m
)! l
lml
(2.53)
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung
25
als Losungen des Azimutal- und Polaranteils der Laplace-Gleichung (die Wurzel dient zur Normierung, siehe unten). Auch hieraus gehen die Legendre-Polynome (bis auf Vorfaktoren) durch
m = 0 wieder hervor. In den Ylm begegnet man wieder den schon aus der Quantenmechanik
bekannten Kugelachenfunktionen. Sie bilden ein Funktionensystem auf der Einheitskugel | die
unabhangigen Variablen sind und # | und gehorchen wieder einer Orthonormalitatsrelation:
Z 2 Z d
0
0
d# sin # Yl0 m0 (#; ) Ylm (#; ) = l;l0 m;m0
(2.54)
Auerdem ist der Funktionensatz Ylm vollstandig (d. h. erzeugend):
1 X
l
X
l=0 m= l
Ylm (#0 ; 0)Ylm (#; ) = ( 0) (cos # cos #0)
(2.55)
Es existiert noch eine nutzliche Beziehung zwischen Funktionen zu positivem und negativem m,
die man aus (2.53) leicht ableitet:
Yl; m = ( 1)m Ylm
(2.56)
Die ersten Kugelachenfunktionen lauten:
8 Y00 = p1
>
4
>
>
>
> Y11
>
>
< Y10
l 2 f0; 1; 2g >
>
>
Y22
>
>
>
Y21
>
>
: Y20
=
=
q3
i
q 3 8 sin # e
8
>
Y33
>
>
< Y32
l=3 >
Y31
>
>
: Y30
4 cos #
q
=
=
=
=
q
1 35 3 3i
4 4 sin # e
q
1 105 sin2 # cos # e2i
4 q2
1 21 sin # (5 cos2 # 1) ei
4 4
q
1 7 (5 cos3 # 3 cos #)
2 4
= 14 q215 sin2 # e2i
= q 815 sin # cos # ei
= 12 45 (3 cos2 # 1)
Die Funktionen fur negative m sind hier nicht angegeben, denn man kann sie uber (2.56) ermitteln.
Sei jetzt eine Funktion g(#; ) vorgegeben. Diese lat sich dann wegen (2.54) und (2.55) schreiben
als Synthese aus Kugelachenfunktionen:
g(#; ) =
1 X
l
X
l=0 m= l
Alm Ylm (#; )
(2.57)
Und die Alm erhalt man durch eine Umformung unter Verwendung von (2.54) wie bei den
Legendre-Polynomen zu
Z
(#; ) g(#; ) .
Alm = d
Ylm
Die Vollstandigkeitsrelation (2.55) garantiert dann wieder, da
1 X
l Z 2
X
l=0 m= l 0
d0
Z
0
d#0 sin #0Ylm (#0 ; 0) g(#0 ; 0) Ylm (#; ) = g(#; ) ,
d. h. die Synthese unter Verwendung der Entwicklungskoezienten Alm liefert tatsachlich wieder
g, wie in (2.57) gefordert.
Jetzt ist man endlich soweit, die volle, allgemeine Losung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten
aufschreiben zu konnen. (2.42) gibt die Losung fur U , und in (2.53) hat man die Losung fur Azimutalund Polaranteil. Also:
(r; #; ) =
1 X
l h
X
l=0 m= l
i
Alm rl + Blm r (l+1) Ylm (#; )
(2.58)
Ein Beispiel soll verdeutlichen, wie man in solchen allgemeinen Ausdrucken durch Einsetzen von
Randbedingungen die freien Konstanten bestimmt.
26
Elektrostatik
Ungeladene, metallische Kugel im homogenen E~ -Feld
Hier geht es um eine metallische Kugel, die in ein ursprunglich homogenes und polar gerichtetes elektrisches Feld E~ = E0~ez gebracht wurde und auf dem Potential = 0 liegt (Abb. 2.8). Gesucht ist das
Potential im umgebenden Raum. Wir nehmen an, da der Kugelmittelpunkt im Koordinatenursprung
!()+,-./01
23456789:;
<!()+,-./0
123456789:
Abbildung 2.8: Eine leitende Kugel wird in ein ursprunglich homogenes elektrisches Feld gebracht und
auf das Potential = 0 gelegt.
liegt. Es existieren hier folgende Randbedingungen:
?
??ra= E0z = E0r cos #
(r = a) = 0
Im Unendlichen soll also das Feld wieder homogen sein. In der allgemeinen Losung der Laplace-Gleichung
fur Kugelkoordinaten (2.58) kann man wegen der azimutalen Symmetrie m = 0 setzen, oder man
verwendet gleich (2.48):
= (r; #) =
i
Al rl + Bl r (l+1) Pl (cos #)
1h
X
l=0
Fur sehr groe r verschwindet der zweite Term in der Klammer und man bekommt
?
(r; #)??r!1=
1
X
l=0
Al rl Pl (cos #) .
(2.59)
Nun lauten die ersten drei Legendre-Polynome Pl (cos #) wie folgt:
P0(cos #) = 1
P1(cos #) = cos #
P2(cos #) = 12 (3 cos2 # 1) ,
und die folgenden Terme enthalten noch hohere Potenzen von cos #. Durch Vergleich mit der zweiten
Randbedingung, da namlich das Potential im Unendlichen proportional zu (r cos #) sein soll, ergeben
sich sofort (fast) alle Koezienten Al :
A0 = const: A1 = E0 Al2 = 0
Die Konstante A0 wird spater noch bestimmt. Die erste Randbedingung ( = 0 auf der Kugel, also bei
r = a) liefert jetzt noch die Bl . Man hat
(r = a) =
i
Al al + Bl a (l+1) Pl (cos #) = 0 .
1h
X
l=0
(2.60)
Hier ist es ratsam, schrittweise die einzelnen Summanden zu untersuchen. Das ist statthaft, da die Pl
ein Orthonormalsystem bilden und sich aus diesem Grund nur trivial zu Null kombinieren lassen, d. h.
fur jedes einzelne l mu der Faktor in der Klammer verschwinden.
i) l 2. Da fur l 2 alle Al verschwinden, mussen auch die Bl gleich 0 sein, das folgt direkt aus der
Orthonormalitat der Pl .
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung
27
ii) l = 1. Hier hat man die Bestimmungsgleichung
A1 a + Ba21 = 0 ,
woraus mit A1 = E0 sofort B1 = E0a3 folgt.
iii) l = 0. Die Bestimmungsgleichung lautet
A0 + Ba0 = 0 .
Angenommen, es wurde B0 6= 0 gelten. Das wurde dann bedeuten, da die Kugel an sich Ladung
truge, was nicht der Fall ist. Also ist B0 = 0, und es folgt unmittelbar auch A0 = 0.
Damit lautet die Losung fur das Potential in dem die Kugel umgebenden Raum:
a3 (r; #) = r2 r E0 cos #
(2.61)
Das ist oenbar die U berlagerung des unrsprunglichen Potentials (ohne Kugel) und eines Dipols, der
durch Ladungsverlagerung auf der Kugeloberache inuenziert wurde. Da fur einen Dipol das Potential
D = ~rrp~3
lautet, ist das auf der Kugel entstehende Dipolmoment gleich
~p = a3E0 ~ez .
Um noch weiter gehende Erkenntnisse uber die Losung von Laplace- und auch Poisson-Gleichung
mit Hilfe von Legendre-Funktionen zu erhalten, untersuchen wir im folgenden die Reihenentwicklung
des allgegenwartigen 1=j~r ~r 0j-Terms nach Legendre-Polynomen. Bekanntlich gilt folgende TaylorEntwicklung:
"
r 2 #
1
r
1
<
2
r 1 + cos r + 2 3 cos 1 r< + : : : (2.62)
2
j~r ~r 0j = r
>
>
>
r> 1 2 rr<> cos + rr<>
1
1
Dabei ist r> der groere, r< der kleinere der beiden Radien r und r0. Das bedeutet also, da die
Reihenentwicklung im konkreten Fall auf zwei Bereiche aufgeteilt werden mu. ist stets der Winkel
zwischen den Vektoren ~r und ~r 0.
Nun sind die Taylor-Vorfaktoren
innerhalb der groen Klammer genau die Legendre-Polynome
p
Pl (cos ), d. h. 1= 1 2x + x2 ist die erzeugende Funktion der Polynome Pl ( ) [16, x22.A]. Damit
folgt unmittelbar
1 rl
1 =X
<
=)
(2.63)
j~r ~r 0 j l=0 r>l+1 Pl (cos ) .
Das ist zwar nicht schlecht, nutzt aber noch wenig, da lediglich einen Zwischenwinkel darstellt (mit
einer Ausnahme: Bei der Berechnung von Potentialen rotationssymmetrischer Ladungsverteilungen auf
der Symmetrieachse ist tatsachlich gleich dem Polarwinkel). Man hatte aber gerne einen Ausdruck in
Abhangigkeit von # und , um in ordentlichen Koordinaten integrieren zu konnen. Hier hilft das Additionstheorem fur Kugelachenfunktionen, das den Zusammenhang zwischen und den Koordinaten #
und herstellt (zum Beweis siehe [9, Kap. 3.6], oder besser [16, x22.31 ]):
Xl 0 0
Ylm (# ; )Ylm (#; )
Pl (cos ) = 2l4+ 1
m= l
(2.64)
28
Elektrostatik
Die Variablen #(0 ) und ( 0 ) sind dabei die dem Vektor ~r ( 0) zugeordneten Polar- und Azimutwinkel.
Damit gewinnt man die folgende Darstellung fur 1=j~r ~r 0 j :
1 X
l
X
4 r<l Y (#0; 0)Y (#; )
(2.65)
=
lm
j~r ~r 0j l=0 m= l 2l + 1 r>l+1 lm
Ein besonders wichtiger Spezialfall ergibt sich wieder fur die azimutale Symmetrie. Hier ist stets m = 0,
und aus (2.64) wird
Pl (cos ) = Pl (cos #0)Pl (cos #) .
1
2.2.5 Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten: Bessel-Funktionen
Die Losung der Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten lauft analytisch auf dieselbe Art und Weise
ab wie in Kugelkoordinaten, nur da man hier fur den Radialanteil auf eine andere bekannte Dierentialgleichung stot und so ein anderes vollstandiges Funktionensystem bekommt als die Ylm . Genaueres
uber dieses Thema ndet man in vielen Buchern uber Elektrodynamik oder Dierentialgleichungen
(z. B. in [16] oder [9, Kap. 3.7]), so da hier nur das Allerwichtigste Erwahnung nden soll.
Die Laplace-Gleichung lautet in Zylinderkoordinaten (r; ; z ):
@2 + 1 @ + 1 @2 + @2 = 0
= @r
2
r @r
r2 @2
@z 2
Wie gewohnt probieren wir einen Separationsansatz:
(r; ; z ) = R(r)Q()Z (z )
Mit exakt den gleichen U berlegungen wie bei den Kugelkoordinaten im vorangegangenen Abschnitt
erhalt man auch hier wieder drei entkoppelte partielle Dierentialgleichungen:
@ 2 Z k2 Z = 0
(2.66)
@z 2
@ 2 Q + 2Q = 0
(2.67)
2
@
@ 2 R + 1 @ R + k2 2 R = 0
(2.68)
@r2
r @r
r2
Fur die ersten beiden Gleichungen lassen sich die allgemeinen Losungen sofort aufschreiben.
(2:66) ) Z (z ) = ekz , mit k > 0
(2:67) ) Q() = ei , mit 2 Z
Bei (2.68) ist noch etwas Umformung notig, um wieder eine bekannte Dierentialgleichung zu bekommen. Man setzt := kr und kommt so zur Besselschen Dierentialgleichung:
@2 R + 1 @ R + 1 2 R = 0
(2.69)
@2
@
2
Zum Gluck sind die Losungen dieser Gleichung | wie auch schon im \Fall Legendre" | bekannt.
Es handelt sich um die Bessel-Funktionen 1. Art J . Sie sind nicht analytisch, sondern nur in Form
unendlicher Reihen darstellbar. Naturlich gelten auch hier wieder die ublichen Orthogonalitats- und
Vollstandigkeitsrelationen. Eine Besonderheit gibt es dabei allerdings. kann ja aus ganz IR gewahlt
werden, und J ist dann eine Losung von (2.69) fur alle . Damit ist aber noch nichts uber die Unabhangigkeit dieser Losungen ausgesagt. In der Tat kann man zeigen, da fur 2 Z die Funktionen J
und J linear abhangig sind: J = ( 1) J 8 2 Z. Also sucht man fur solche alternative, unabhangige Losungen von (2.69). Diese Funktionen sind die Bessel-Funktionen 2. Art, auch Neumannsche
Funktionen N genannt. Sie gehen aus den J durch einen Grenzubergang hervor:
J (x) cos(m) J (x)
N (x) = mlim
!
sin(m)
2.2 Randwertprobleme: Laplace- und Poisson-Gleichung
29
Damit lat sich nun die Losung fur den Radialteil R der Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten
hinschreiben:
X
X
R(r) = A J (kr) + Bm Nm (kr)
(2.70)
m
2.2.6 Konforme Abbildungen in der komplexen Ebene
Mittels konformer Abbildungen in der komplexen Ebene ist es oft moglich, in zwei Dimensionen Losungen fur Potentialprobleme zu nden, die mit den bisher vorgestellten Methoden nur schwer oder uberhaupt nicht angegangen werden konnen. Trotz der Beschrankung auf ebene Probleme ndet sich in der
Elektrostatik fur konforme Abbildungen ein weites Anwendungsfeld.
Zunachst soll jedoch genau deniert werden, was Konformitat eigentlich bedeutet.
Denition. Sei D C oen. Eine holomorphe Abbildung f : D ! C heit konform, wenn gilt:
f 0 (z ) 6= 0 8z 2 D
Insbesondere sind konforme Abbildungen winkeltreu, d. h. wenn sich in D zwei Kurven 1 und 2
im Punkt z0 unter einem Winkel schneiden, so tun sie das im Bildbereich ebenfalls unter , und zwar
im Punkt f (z0 ).
Bevor es aber mit der Anwendung konformer Abbildungen so richtig losgeht, ist es ganz nutzlich, einige allgemeine Betrachtungen zu \zweidimensionalen", d. h. von einer der Raumrichtungen unabhangigen
E~ -Feldern anzustellen. Man betrachte das elektrische Feld E~ = E~ (x; y). Es soll quellenfrei sein, d. h.
r~ E~ = 0. Damit folgt sofort die Existenz eines Vektorpotentials A~ mit r~ A~ = E~ . Auerdem ist
~ E~ = 0, also gilt die Laplace-Gleichung = r
~ E~ = 0. Da man es mit einem rein zweinaturlich r
dimensionalen Problem zu tun hat (das 3D-Analogon ist ein in z -Richtung translationssymmetrisches
Problem), mu das Vektorpotential folgende Form haben:4
0
A~ = @
1
0
0 A
(x; y)
Es gelten also fur die Koordinaten von E~ folgende Bestimmungsgleichungen:
@ = @ Ex = @x
@y
@
@
Ey = @y = @x (2.71)
(2.72)
Das sind aber genau die aus der Funktionentheorie bekannten Cauchy-Riemann-Dierentialgleichungen,
die fur die komplexwertige Funktion
!(z ) = !(x; y) = + i
Holomorphie zur Folge haben. Strapaziert man nun die Analogie zwischen IR2 und C etwas, so ergeben
sich uberraschende Folgerungen.
Einerseits lat sich das Vektorfeld E~ als eine Abbildung
E : C ! C; z 7! Ex + iEy
auffassen. Bildet man
@ + i @ = E + iE = E ,
!0 = @x
x
y
@x
4 Nat
urlich konnten statt der Nullen beliebige Funktionen von x (in der ersten Komponente) und y (in der zweiten)
~ einer Skalarfunktion eingesetzt werden | in der Tat kann man zu dem angeschriebenen A~ jedes Gradientenfeld r
addieren, ohne da sich E~ andert. Solche Betrachtungen sollen jedoch hier auer acht gelassen werden, vor allem weil
dieser Fragenkomplex im Kapitel uber Potentiale und Eichungen noch ausfuhrlich diskutiert wird (Abschnitt 4.4.2).
30
Elektrostatik
so wird klar, da ! so etwas wie ein \U berpotential" zu E~ darstellt und gleichzeitig eine holomorphe
Funktion ist, deren Ableitung im allgemeinen sicher nicht verschwindet. Folglich beschreibt ! | zumindest auf einigen Teilmengen von C | eine konforme Abbildung. Konforme Abbildungen sind winkeltreu.
Da sich im Bildraum von ! die Kurven = const: und = const: senkrecht schneiden, ist klar, denn
es sind ja gerade Real- und Imaginarteil der Funktion. Aus der Konformitat von ! folgt dann zwingend,
da die Kurven (x; y) = const: und (x; y) = const: im Ursprungsraum ebenfalls orthogonal sind! Die
Kurven = const: beschreiben bekanntlich A quipotentiallinien, und auf diesen senkrecht stehen die
Feldlinien von E~ . Also legen die Kurven (x; y) = const: genau den Feldlinienverlauf des E~ -Feldes fest!
Beispiel fur konforme Abbildungen: Linienladung in metallischer Ecke
Als Anwendungsbeispiel fur die Leistungsfahigkeit konformer Abbildungen zur Losung von Randwertproblemen soll hier das Problem einer 2D-Punktladung (d. h. einer 3D-Linienladung) diskutiert
werden,
p
die symmetrisch in einer metallischen Ecke sitzt, und zwar mit einem Abstand von a=2 von jeder
Wand. Beide Wande sind unendlich ausgedehnt und das Metall liegt auf Nullpotential (Abb. 2.9 links).
Gesucht ist das Potential im Raum vor der Ecke. Es handelt sich um ein zweidimensionales Problem,
Abbildung 2.9: Anwendungsbeispiel fur die konforme Abbildung z 7! z 2 =: z 0 . Links ursprungliches,
rechts transformiertes Problem.
das man auch mit den ublichen Methoden (mehrfache Spiegelladungen, siehe unten) losen konnte. Wir
versuchen es hier aber mit einer konformen Abbildung, die die gegebene Geometrie in eine einfachere
transformiert. Eine solche Abbildung kann man oft durch intelligentes Probieren nden. In diesem Fall
bietet sich z. B. die Transformation z 7! z 2 =: z 0 an, die aus dem =4-Winkel einen rechten Winkel
werden lat (Abb. 2.9 rechts). Diese Abbildung ist konform in allen Punkten mit Ausnahme des Nullpunktes, was man verschmerzen kann. Das Problem einer Linienladung (in zwei Dimensionen also einer
Punktladung) vor leitender Ebene istpaber mit Hilfe einer einfachen Spiegelladung leicht zu losen. Jetzt
wird auch die Wahl des Abstandes a deutlich.
Das Potential einer unendlichen Linienladung geht mit dem Logarithmus des Abstandes, wobei
man sich einen beliebigen Nullpunkt aussuchen darf | nur nicht im Unendlichen oder direkt auf der
Ladung. Es gibt mehrere Wege, um das einzusehen. Einer fuhrt uber eine Dierentialgleichung fur den
Radialteil von , dem Potential einer 2D-Punktladung. Das E~ -Feld darf auerhalb der Ladung keine
Quellen haben, also setzt man den Radialanteil der Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten gleich 0:
1 @
1 @ @
@2 = 0
@ = @2
=
+
=
)
2
@ @
@
@
@
@2
Die allgemeine Losung fur ist dann
= A ln .
0
Die Konstante 0 bestimmt den Potentialnullpunkt, und jetzt ist klar, da dieser in endlichem Abstand
von der Ladung liegen mu. Um A zu bestimmen, mu man sich die 2D-Punktladung q trotz allem als
Linienladung vorstellen,
und zwar mit einer Linienladungsdichte . Dieses und q haben die gleiche
, weil
Einheit, namlich esE
es eben die gleichen Groen sind, nur jeweils in drei bzw. zwei Dimensionen.
cm
Legt man nun einen imaginaren Zylinder mit Radius und Lange l konzentrisch um die Linienladung,
2.3 Multipolentwicklungen
31
so erkennt man unter Anwendung des Gauschen Integralsatzes (analog zum Beispiel der geladenen
Kugel auf Seite 16), da das E~ -Feld durch
E~ () = 2r ~e
gegeben ist. Durch eine einfache Integration mit 0 als unterer Grenze (und unter Beachtung von
~ ) bekommt man dann A = 2q. Zusammen mit der Spiegelladung lautet also die Losung fur
E~ = r
das gesuchte Potential
x0 i
h 0
0
0
0
(2.73)
(~r ) = 2q ln
| j~r{z ~a}j ln| j~r{z+ ~a}j , mit ~r = y0
Originalladung Spiegelladung
Der Strich an den Koordinaten deutet an, da man sich im \transformierten" Raum bewegt. Um nun
in das ursprungliche Problem zu schalten, schreibt man das Potential als komplexe Funktion
!(z 0 ) = 2q [ln(z 0 ia) ln(z 0 + ia)] ,
und ist sich daruber im klaren, da <! = . Die Rucktransformation erfolgt jetzt einfach durch Ersetzen
von z 0 durch z 2 = (x + iy)2 , und das gesuchte Potential lautet dann endgultig
iy)2 ia = <!(z 2 ) = 2q ln ((xx +
(2.74)
+ iy)2 + ia .
Naturlich lat sich durch mutiges Einsetzen und konsequentes Nicht-Verrechnen bestatigen, da tatsachlich = 0 erfullt ist.
Sieht man sich das Potential (2.74) noch einmal genauer an, so bemerkt
p man,pda es zwar im
interessanten Bereich (<z; =z > 0) den erwarteten Pol gibt (bei z0 = a=2 + i a=2), jedoch in
den anderen drei Quadranten symmetrisch auch noch Pole existieren. Dabei ergeben die Nullstellen
des Zahlers im Argument des Logarithmus positive, die des Nenners negative Pole (bei z0 ; z0 ; z0 ).
Somit wird deutlich, da man die Randbedingungen auch mittels der Einfuhrung dreier Spiegelladungen
geeigneter Polaritat hatte erfullen konnen.
2.3 Multipolentwicklungen
In diesem Abschnitt wird gezeigt, da man sich das elektrostatische Potential jeder Ladungsverteilung

als eine Uberlagerung
bestimmter \Elementarpotentiale" vorstellen darf. In gewisser Weise ahnelt diese
Vorgehensweise der Entwicklung einer Funktion in eine Taylor-Reihe (die Analogie sollte aber uber die
reine A hnlichhkeit hinaus nicht strapaziert werden).
Man betrachte eine Raumladungsverteilung (~r ), die raumlich um den Nullpunkt lokalisiert sei,
d. h. es existiert eine Kugel mit endlichem Radius R, Volumen
V , und Mittelpunkt im Ursprung des
R
Koordinatensystems, in der die gesamte Ladung Q = d3 r enthalten ist: (~r ) = 0 8r > R. Das
Potential im gesamten Raum errechnet sich bekanntlich zu
Z (~r 0)
(~r ) = j~r ~r 0j d3r0 .
(2.75)
V
Um in der Terminologie der Kugelachenfunktionen zu sprechen, seien jetzt:
r< := j~r 0j
r> := j~r j
Diese Wahl ist aufgrund der oben getroenen Beschrankung fur (~r ) berechtigt, solange man sich
auerhalb der Kugel bendet, was im folgenden stets der Fall sei. Aus (2.65) bekommt man so zunachst
einen Ausdruck fur 1=j~r ~r 0j:
l
1 X
X
4 r0l Y (#0 ; 0)Y (#; )
=
lm
j~r ~r 0 j l=0 m= l 2l + 1 rl+1 lm
1
(2.76)
32
Elektrostatik
Wenn man dies in die Potentialformel (2.75) einsetzt und zusammenfat, dann erhalt man bereits die
Multipolentwicklung des Potentials :
l
1 X
X
4 q Y (#; ) 1 , mit q = Z Y (#0 ; 0)r0l (~r 0 ) d3r0
(~r ) =
(2.77)
lm lm
lm
lm
rl+1
l=0 m= l 2l + 1
Die qlm heien Multipolmomente der Verteilung (~r ). Die erste der beiden Summen in (2.77) enthullt
nach einer gliedweisen Betrachtung das \Wesen" der Multipole:
i) l = 0 ) m = 0. Es folgt
Z
q00 = Y00 (#0; 0)r0 0 (~r 0 ) d3r0 .
Nun ist aber Y00 = p14 , also wird
Z
(~r 0 ) d3r0 = pQ .
4
4
q00 ist das Monopolmoment einer Ladungsverteilung mit der Gesamtladung Q.
ii) l = 1. Hier bleiben fur m die Moglichkeiten m 2 f 1; 0; 1g, uber die dann summiert wird (zweite
Summe!). Im folgenden benotigen wir die Beziehung zwischen den Kugelachenfunktionen mit
in (2.77) schon linear unter dem Integral stehen,
positivem und negativem m, (2.56). Da die Ylm
gilt also auch
.
ql; m = ( 1)m qlm
(2.78)
Zunachst betrachten wir die Falle m = 1 und m = 1. Die zugehorigen Kugelachenfunktionen
lauten
r
r
3
3
i
i
Y11 =
Y1; 1 = 8 sin # e
8 sin # e ,
und damit bekommt man fur die beiden Multipolmomente
r Z
r Z
0
3
3
0
0
i
0
3
0
0
0 i0 0 3 0
q1; 1 = 8 r sin # e (~r ) d r
q 1 ;1 =
8 r sin # e (~r ) d r . (2.79)
Im Fall m = 0 ist es noch einfacher. Hier gilt
r
r Z
3
3
0
0 0 3 0
(2.80)
Y10 = 4 P| 1(cos
{z #}) =) q10 = 4 r cos # (~r ) d r .
q00 = p1
=cos #
Die Zahlen q10, q1; 1 und q11 heien spharische Dipolmomente der Ladungsverteilung . Da es
genau drei sind, ist kein Zufall: sie legen namlich einen Tensor erster Stufe, also einen Vektor
fest. Dies allerdings nicht direkt, sondern nur als Bestimmungsstucke. Um das zu verizieren,
betrachten wir die Beziehung der spharischen zu den kartesischen Momenten px, py und pz , unter
denen man sich dann doch etwas Konkretes vorstellen kann (~p = (px ; py ; pz ) konnte man aus
Konsistenzgrunden (s. u.) als \Dipoltensor" bezeichnen). Es gelten namlich folgende Zerlegungen:
r Z
3 r0 sin #0e i0 (~r 0 ) d3r0 =
q11 =
r 8 Z
r
3
3 (p ip )
0
0
0
3
0
=
(x iy ) (~r ) d r =:
8
8
x y
r Z
q10 = 43 r0 cos #0 (~r 0 ) d3r0 =
r Z
r
3
0
0
3
0
=
z (~r ) d r =: 43 pz
4
r Z
q1; 1 = 83 r0 sin #0ei0 (~r 0) d3 r0 =
r
r Z
3
3
0
0
0
3
0
=
8 (x + iy ) (~r ) d r =: 8 (px + ipy )
2.3 Multipolentwicklungen
33
Die spharischen Dipolmomente sind also mit den kartesischen durch Linearkombinationen verknupft: Wenn die einen bekannt sind, dann sind es auch die anderen.
Man erkennt hier auch die starke A hnlichkeit der kartesischen Dipolmomente mit den Schwerpunktskoordinaten einer Massenverteilung (es wird nur nicht durch die Gesamtladung dividiert).
Und das fuhrt zu einem wichtigen Punkt: Es ist immer moglich, das Koordinatensystem
R so zu
wahlen, da das Dipolmoment verschwindet, vorausgesetzt, die Gesamtladung Q = d3 r ist
ungleich Null (um den Verschiebungsvektor zu bekommen, mu man eben doch | wie beim
Schwerpunkt | durch Q teilen, und dazu mu Q 6= 0 sein).5
iii) l = 2. Die funf Moglichkeiten bei m 2 f 2; 1; 0; 1; 2g liefern die spharischen Quadrupolmomente
der Ladungsverteilung, und diese sind die Bestimmungsgroen fur den Quadrupoltensor (Qij ).
Dieser Tensor zweiter Stufe ist einerseits symmetrisch (siehe spater bei der Taylor-Entwicklung des
Potentials). Auf der anderen Seite gibt es fur m wie erwahnt funf Moglichkeiten, ein symmetrischer
Tensor zweiter Stufe hat jedoch sechs freie Platze. Es wird sich weiter unten herausstellen, da
diese Diskrepanz durch das Verschwinden der Spur, Sp(Qij ) = 0, ausgeglichen wird.
iv- ) l 3. Fur jedes l in diesem Bereich bekommt man 2l + 1 spharische Dipolmomente, die wieder
als Bestimmungsstucke fur Multipoltensoren l-ter Stufe betrachtet werden konnen (diese heien
dann Oktupol-, Hexadekupol- usw. Tensoren). Die Ausdrucke hierfur werden aber sehr schnell sehr
unangenehm, sowohl in spharischen als auch in kartesischen Koordinaten. Im allgemeinen geht
man bei einer Multipolentwicklung nicht uber den Quadrupoltensor hinaus.
Um einen endgultigen U berblick uber den Zusammenhang von spharischen mit kartesischen Multipolmomenten zu bekommen, betrachte man die schon aus (2.62) bekannte Taylor-Entwicklung des
Potentials (2.75) und beachte, da j~r j > j~r 0 j:
1
1
1
j~r ~r 0j = r q1
0
1
2 ~rr~r 0
2
=)
r0
r
2
2
02
2 02
1 ~r~r 3(~r~r ) r r + : : :
r + r3 +
2r5
(~r ) =
1
X
=0
(2.81)
(~r )
Die einzelnen Terme dieser Entwicklung liefern jetzt sofort die kartesischen Multipolmomente und die
zugehorigen Multipolpotentiale:
i)
Z
0 = 1r (~r 0 ) d3r0
|
{z
=Q
}
heit Monopol-Potential der Ladungsverteilung. Es entspricht genau dem Summanden fur l = 0
in der Entwicklung (2.77).
ii)
Z
~
r
1 = r3 ~r 0 (~r 0 ) d3r0 = ~rr~p3
| {z }
(2.82)
=~p
ist das Dipolpotential, und ~p ist der Vektor des Dipolmomentes der Ladungsverteilung (korrekterweise mute man sagen: Bei den Koordinaten von p~ handelt es sich um die kartesichen Dipolmomente; uberhaupt sollte immer der Zusatz \kartesisch" bzw. \spharisch" angegeben werden).
Beispiel: Man betrachte zwei Punktladungen q und q im Abstand a symmetrisch zum Ort ~r 0:
!()+,-./0
Dies ist nur ein Spezialfall eines allgemeineren Satzes: Das auf das erste nicht verschwindende Multipolmoment
folgende Moment kann durch eine Koordinatentransformation stets zu Null gemacht werden.
5
34
Elektrostatik
Damit wird
Z 1 ~a) (~r 0 + 1 ~a) d3 r0 = q ~a + ~a = q~a .
~p = q
2
2
2 2
Rucken die beiden Ladungen \unendlich nahe" aneinander und geht gleichzeitig q gegen unendlich,
so da j~pj erhalten bleibt, dann hat man praktisch einen Punktdipol erzeugt. Das ist auf folgende
Weise einzusehen:
1
a!0 @ 1 ~p~r
1
(~r ) = q
j~r 12 ~aj j~r + 21 ~aj qa @r r = r3
iii) Jetzt kommt endlich der interessante Teil: das Quadrupolpotential. Im folgenden beachte man die
Einstein-Summenkonvention!
Z
2 (~r ) = 21r5 3(~r~r 0)2 r2r0 2 (~r 0 ) d3r0 =
(2.83)
(2.84)
= 21r5 Qij xi xj
~r 0 (~r 0
Die Frage ist nun, wie der Quadrupoltensor (Qij ) genau aussieht. Dazu multipliziert man den
Integranden von (2.83) in Koordinaten aus und ordnet nach den ungestrichenen Variablen, so da
die Summe (2.84) aufgeschrieben werden kann. Man erhalt auf diese Weise
3(~r~r 0)2 r2r02 = Q x x , mit Q = 3x0 x0 r02 .
ij i j
ij
i j ij
Um jetzt Qij zu bekommen, mu man nur noch Qij mit (~r 0) multiplizieren und uber d3r0
integrieren, wie es (2.83) vorschreibt:
Qij =
Z
Qij (~r 0 ) d3r0 =
Z
3x0i x0j ij r0 2 (~r 0) d3 r0
(2.85)
Sofort erkennt man hier die wichtigste Eigenschaft des Quadrupoltensors: seine Symmetrie (QT =
Q). Das hat aber zur Folge, da dieser Tensor durch eine Hauptachsentransformation mittels einer
unitaren Matrix stets diagonalisierbar ist: 9U : QD = U T QU . Die Spaltenvektoren von U sind
dabei die (normierten) Eigenvektoren von Q.
Auerdem ist (Qij ) ganz oensichtlich spurlos, wie man durch bilden der Summe Qii leicht erkennt.
Damit ist das oben bereits erwahnte Ergebnis exakt hergeleitet: Zur eindeutigen Bestimmung des
Quadrupoltensors genugen funf Groen, die anderen vier sind dann festgelegt. Nun lat sich auch
leicht uberprufen, da im Beispiel der beiden Punktladungen der Quadrupoltensor verschwindet,
wenn man ~r 0 = 0 setzt. Dabei kommt es nicht auf die Orientierung des Dipolvektors ~p an. Der
Vollstandigkeit halber seinen hier noch die Beziehungen zu den spharischen Quadrupolmomenten
angegeben:
r Z
q22 = 14 215 (~r 0 )r02 sin2 #0 (cos 0 i sin 0)2 d3r0 =
r Z
r
1
15
1
0
0
0
2
3
0
= 4 2 (~r )(x iy ) d r = 12 215 (Q11 2iQ12 Q22)
r Z
15 (~r 0)r0 2 sin #0 cos #0 (cos 0 i sin 0) d3 r0 =
q21 =
r 8 Z
r
1
15
15 (Q iQ )
0
0
0
0
3
0
=
(
~
r
)
z
(
x
iy
)
d
r
=
23
3 8 13
r 8 Z
q20 = 12 45 (~r 0 )r02 (3 cos #0 1) d3r0 =
r Z
r
1
1
5
0
0
2
0
2
3
0
= 2 4 (~r )(3z r ) d r = 2 45 Q33
q2; 1 = q21
q2; 2 = q22
2.4 Elektrostatik der Dielektrika
35
Die Enwicklung des Potentials nach Multipolmomenten bis zum Quadrupol ist also schlielich gegeben durch
(~r ) = Qr + ~pr~r3 + 21r5 Qij xi xj + : : :
(2.86)
Zur Veranschaulichung des Gelernten betrachte man noch einmal das Beispiel der metallischen Kugel
im homogenen E~ -Feld auf Seite 26. Die dort gefundene Losung fur das Potential kann auf folgende Weise
geschrieben werden:
a3
= E0 cos # r r2 =
}| 3{
z Dipol
~ 0~r + (E~ 0 a3 ) ~r
E
| {z }
r
au. Pot.
Das Potential setzt sich also zusammen aus dem Anteil ohne Kugel und einem Dipolterm, der durch das
Dipolmoment p~ = E~ 0 a3 hervorgerufen wird. Dieses Moment mute man aber auch durch Integration
uber die Ladungsdichte nach (2.82) bekommen. Die Flachenladungsdichte auf der Kugeloberache (nur
dort gibt es Ladungen) lautet
?
3
~ ?? = 1 E0 cos # + 2E0 cos # a3 = 3E0 cos # ,
= 41 E (r = a) = 41 r
r=a 4
a
4
denn an der Oberache steht das Feld radial und verschwindet im Inneren der Kugel. Die Raumladungsdichte ist also dann (~r ) = (r a).6 Damit ergibt sich fur die z Koordinate des Dipolmomentes
pz =
Z
z 0 (~r 0 ) d3r0 =
Z1Z2Z
000
r0 cos #0 34E0 cos #0 (r0 a) r0 2 sin #0 d#0 d0 dr0 = E0a3;
wie es zu erwarten war. Die anderen Koordinaten von ~p verschwinden, was man leicht nachrechnet.
2.4 Elektrostatik der Dielektrika
In diesem Abschnitt wird das Verhalten stationarer elektrischer Felder in Materie untersucht. An diese
Materie sollen dabei folgende Bedingungen gestellt sein:
{ Es ndet kein Stromu im Material statt.
{ Anders als in Metallen soll das elektrische Feld innerhalb des Materials im allgemeinen nicht verschwinden.
{ Die Materie kann polarisiert sein (s. u.), jedoch soll die Gesamtladung unverandert bleiben.
Von dieser Materie kann man sich somit ein hochst einfaches Bild machen, das aber zur Erklarung vieler
Phanomene dienen kann (Abb. 2.10).
2.4.1 Polarisation
Wir betrachten im folgenden zunachst nur Elementardipole. Wenn die Dipole statistisch verteilt gerichtet
sind, so bleibt im Mittel (nach auen) kein Feld ubrig, das durch die Dipole hervorgerufen sein konnte.
Anders verhalt es sich bei Ausrichtung der Dipole in einem aueren Feld (Abb. 2.10 rechts). Um das
mathematisch zu fassen, deniert man zunachst den Vektor
X
P~ (~r ) := Ni h~pi i ,
i
6
Durch die Dirac-Funktion bekommt man noch einmal die Einheit L 1 , also stimmt das mit den Einheiten.
(2.87)
36
Elektrostatik
!()+,-./012
3456789:;<
!(
!
()+,-./0123
456789:;<
Abbildung 2.10: Ein einfaches Modell fur polarisierbare Materie. Ohne aueres Feld E~ ext stehen die
Elementardipole ungeordnet (links). Im angelegten E~ ext -Feld werden sie ausgerichtet.
der Polarisationsvektor oder auch Polarisationsdichtevektor genannt wird. Gleichung (2.87) beschreibt
eine lokale Mittelung uber die mikroskopischen Dipolmomente p~i , wobei der Index i eine bestimmte Auspragung des Dipols, z. B. eine Molekulart, bezeichnet. Die Zahl Ni ist die Anzahl der Elementardipole
dieser Art in einem kleinen Volumenelement am Ort ~r, und h~pii beschreibt die Mittelung der Dipolmomente eines Typs uber dieses kleine Volumen. Die Summe fat dann nur noch alle verschiedenen Dipole
am Ort ~r zusammen.
Man betrachte nun die Situation nicht verschwindender Raumladungsdichte (~r ) und einer vorhandenen Polarisation P~ . Der Beitrag eines kleinen Volumenstuckes dV am Ort ~r 0 zum Gesamtpotential
setzt sich dann zusammen aus den Potentialen der Ladungsdichte und der Polarisation:
0
0
~ 0
d(~r;~r 0 ) = j~r(~r ~r)0 j dV + P (j~r~r )(~r~r 0j3~r ) dV
Durch Integration uber alle Polarisations- und Ladungsdichten bekommt man dann also
1 p:I: Z h
Z 0
i
0) r
3r0 =
~ r0 P~ (~r 0 ) 1 0 d3r0 , (2.88)
~ r0
(~r ) = j~r(~r ~r)0 j + P~ (~r 0 )r
(
~
r
d
0
j~r ~r j
|
{z
} j~r ~r j
=:~
wobei man ~ als eine neue Ladungsverteilung betrachten kann: Das Integral ist ja von der Form einer
Losung fur die Poisson-Gleichung = 4~. Den neu hinzugekommenen Anteil
~ P~
p := r
bezeichnet man als Polarisationsladungsdichte. Es lat sich nun zeigen, da p zum Monopolanteil des
resultierenden Gesamtpotentials keinen Beitrag liefert. Man betrachte ein raumlich begrenztes Dielektrikum, das vollstandig in einem Volumen V enthalten ist. Auerhalb der Materie herrsche Vakuum,
dann ist dort oensichtlich P~ = 0. Integration uber den Rand des Volumens ergibt
Z
@V
P~ dF~ =
Z
V
r~ P~ dV =
Z
V
p dV = 0 ,
da es auf @V ja keine Polarisation geben soll. Also liefert p keinen Beitrag zum Monopolpotential.
Wenn p durch die Ausrichtung von Elementardipolen entstehen soll, dann lohnt eine genauere Untersuchung der Eekte am Rand eines Dielektrikums. Wir betrachten ein kleines, aches Volumen V ,
von dem zwei gegenuberliegende Seiten der Flache F jeweils innerhalb bzw. auerhalb der Materie liegen
sollen (Abb. 2.11). Die Groe p ist die durch die Polarisation an der Oberache erzeugte Flachenladungsdichte, deshalb geht auch das Integral uber p nur uber F . Auf einer kleinen Flache kann man
die Polarisation (und damit auch ihre Normalkomponente) als konstant betrachten, deshalb lat sich
das letzte Integral einfach zu P~ ~nF auflosen. Auerhalb ist P~ = 0, also kann man sagen, da mit einer
polarisationsbedingten Oberachenladung stets ein Sprung in der Polarisation einhergeht.
Hat nun die Einfuhrung der Polarisation auch auf die Maxwell-Gleichungen Auswirkungen? Oder:
Ist es vielleicht moglich, die Polarisation dort irgendwie \einzuarbeiten"? Die Antwort auf diese Fragen
2.4 Elektrostatik der Dielektrika
37
!()+,
-./01
23456
789:;
<!()+
)
Z
Z
p (~r 0 ) d3r0 = p dF =
F
V Z
Z
~ n dF =
=
r~ P~ (~r 0) d3 r0 =
P~
V
@V
~ nF
= P~
Abbildung 2.11: Randeekte bei polarisierter Materie.
ergibt sich aus einer Untersuchung des elektrischen Feldes, das durch das oben ausgedruckte Potential
~ E~ = . Aus (2.88) wei man, da
beschrieben wird. Es gilt r
Zh
i 30
~ r0 P~ d r 0 .
(~r ) = (~r 0 ) r
j~r ~r j
Nun ist also wegen j~r 1~r 0 j = 4 (~r ~r 0 ) :
~ E~ = 4
= r
Zh
i
h
~ P~
~ r0 P~ (~r ~r 0) d3 r0 = 4 r
(~r 0) r
i
~ E~ = 4 kann also nun durch einen Polarisationsterm erganzt werden:
Die \alte" Maxwell-Gleichung r
r~ E~ + 4P~ = 4
(2.89)
| {z }
=:D~
Mit sind hier naturlich nur freie Ladungen bezeichnet | die Polarisationsladungsdichte steckt ja in
r~ P~ . Der Vektor D~ heit Verschiebungsdichte. Somit bekommt man also eine neue, um die Polarisation
erweiterte Maxwell-Gleichung:
r~ D~ = 4 , mit D~ = E~ + 4P~
2.4.2 Randbedingungen fur die Felder der Elektrostatik
~ E~ = 0 lassen sich daraus wichtige Folgerungen fur
Zusammen mit der schon bekannten Gleichung r
das Verhalten von Feldern an Randachen ziehen. Im folgenden steht der hochgestellte Index \i" fur
das Feld innerhalb (bzw. auf einer Seite), der Index \a " fur das Feld auerhalb (bzw. auf der anderen
Seite) der Grenzache zwischen zwei Medien. Die tiefgestellten Buchstaben \tg " bezeichnen den zur
Grenzache tangentialen Anteil eines Feldes, und mit \n" ist die Normalkomponente gemeint.
i) Aus r~ E~ = 0 folgt direkt
Etga = Etgi .
Die Tangentialkomponente von E~ (also E~ ~n, wenn ~n eine Flachennormale bezeichnet) ist also
an einer Grenzache stetig!
ii) Aus r~ D~ = 4 folgt
Dna Dni = 4 ,
wobei eine an der Grenzache sitzende Oberachenladungsdichte darstellt. Damit ist aber nicht
die durch Polarisationssprunge erzeugte Ladung gemeint, sonder nur externe, d. h. freie Ladung.
U blicherweise (man hat es oft mit Isolatoren zu tun) ist = 0, und damit ist dann die Normal~ n) an der Grenzache stetig!
komponente von D~ (also D~
38
Elektrostatik
2.4.3 Freundliche Vereinfachungen
Um in der Praxis mit Dielektrika uberhaupt rechnen zu konnen, machen wir hier einige vereinfachende
Annahmen, die aber | zumindest fur schwache Felder | meist brauchbare Ergebnisse liefern.
i) Lineare Response des Materials. Es sollen die Beziehungen
D~ = (~r )E~ , und P~ = e (~r )E~
(2.90)
gelten, wobei die Tensoren (Dielektrizitat ) und e (elektrische Suszeptibilitat ) nicht von E~
abhangen (dies ware bei ferroelektrischen Materialien der Fall). Zwischen den beiden Tensoren
besteht oensichtlich die Beziehung
= 1 + 4e .
ii) Isotropie des Materials. Die Forderung, da und e Tensoren sein sollen, wird jetzt auch noch
fallengelassen und die Groen werden durch Skalare (bzw. Einheitstensoren multipliziert mit Skalaren) ersetzt.
iii) Homogenitat des Materials. Die Dielektrizitats- und Suszeptibilitatskonstanten sollen ortsunabhangig sein. Die Maxwell-Gleichung fur D~ vereinfacht sich damit zu
r~ E~ = 4 .
Damit lat sich arbeiten.7 Es folgen einige Beispiele.
2.4.4 Beispiele
Plattenkondensator, verscharft
Wir betrachten eine kompliziertere Version des bekannten Plattenkondensators ohne Randeekte
(Abb. 2.12 links). Zwischen zwei Platten der Flache F bendet sich eine dielektrische Schicht der
Dicke d; die jedoch den Kondensator nicht ganz ausfullt. Stattdessen besteht auf beiden Seiten noch ein
Zwischenraum der Breite d1. Aufgrund der von auen angelegten Spannung U liegt die obere Platte auf
!()+,-./0123
456789:;<!()
+,-./0123456
Abbildung 2.12: Beispiele zur Elektrostatik der Dielektrika: Links Plattenkondensator mit Dielektrikum, rechts Punktladung nahe der Grenze zwischen zwei Medien.
dem Potential 1, die untere auf 2 . Wir bezeichnen mit E~ 0 das elektrische Feld, das im Kondensator
ohne Dielektrikum vorhanden ware (da die Feldvektoren sowieso nur eine Komponente haben, werden
Vektorpfeile weggelassen):
U = 1 2 = (2d1 + d)E0 = 2d1E1 + dE2
7
Die allgemeinste lineare Beziehung zwischen D~ und E~ ist durch die allgemeine lineare Response gegeben:
D (~r; t) =
3 Z
X
=1
(~r;~r 0 ; t;t0 )E (~r 0 ; t0 ) d3 r0 dt0
Diese Gleichung bezieht sowohl Zeitverzogerungen als auch jede Art von Orts- und Richtungsabhangigkeit mit ein.
2.4 Elektrostatik der Dielektrika
39
Wie stark sind nun die Felder E~ 1 und E~ 2? Aus der Stetigkeit der Normalkomponente des D~ -Feldes an
den Grenzachen Vakuum/Dielektrikum folgt
E1 = E2 ) U = E1(2d1 + d ) = (2d1 + d)E0 =) E1 = 22dd1++dd E0 ,
1
und damit ist auch E2 bekannt. Folgende Grenzfalle sind hier relevant:
i) d1 ! 0 ) E1 = E0 ) E2 = E0 .
ii) d ! 0 ) E1 = E0 ) E2 = E0= .
Die polarisationsbedingte Oberachenladungsdichte auf dem Dielektrikum errechnet sich zu
p = Pn = 41 (E1 E2 ) = 4 1 E2 = e E2 ,
was im Grenzfall des aufgefullten Kondensators in eE0 ubergeht. Die Flachenladungsdichte auf den
Kondensatorplatten ist gleich
E1 1
U
U
Q
F = = 4 = 4 2d1 + d= = 4(2d1 + d) ,
und das wird wieder zu 4U
d , falls d1 verschwindet. Die Kapazitat des Kondensators ergibt sich dann zu
C = UQ = 4F
d ,
also genau dem -fachen des Vakuum-Kondensators.
Punktladung im dielektrischen Halbraum
In diesem Beispiel wird der Potentialverlauf untersucht, der sich einstellt, wenn eine Punktladung q sich
innerhalb eines Dielektrikums (1) bendet, und zwar im Abstand d zu einem zweiten Dielektrikum
(2 ). Die beiden Materialien sollen jeweils die Halbraume z > 0 und z < 0 ausfullen (Abb. 2.12 rechts).
Die Ladungsverteilung wird also beschrieben durch
= q (~r d~) , mit d~ = d~ez .
Da wir annehmen, da wir es mit einfachen Dielektrika zu tun haben (siehe Abschnitt 2.4.3), konnen
wir fur die beiden Halbraume folgende Feldgleichungen aufstellen:
1
~rE~ = 0 4 fur z > 0
(2.91)
= 0 fur z < 0
Die Stetigkeitsbedingungen fur elektrische Felder an der Grenzache bilden in diesem Problem die
Randbedingungen. Sie lauten
0E 1
0E 1
x
@ Ey A = lim @ Exy A .
lim
(2.92)
z!0
z!0
1 E z
2 E z
Um einen Ansatz fur das Potential zu bekommen, wendet man hier fur das Gebiet z > 0 den schon
bekannten Trick mit der Spiegelladung im Abstand d auf der anderen Seite der Grenzache an | nur
darf man hier nicht erwarten, da die Spiegelladung auch noch gleich q ist:
1
2
+
!
!
??
0
0
q
q
q
1
q
1
ZK
p2 + (z + d)2
= p2
?z>0 = + (z d)2
1 j~r d~j j~r + d~j
1
(2.93)
Die Groe q0 ist also noch zu bestimmen. Im Halbraum z < 0 \sieht" man die reale Ladung bei d~ durch
die Grenzache hindurch, und sie erscheint dort mit dem Wert q00 :
?
00
00
??z<0 = 1 q ~ ZK
= 1 p 2 q
2 j~r dj
2 + (z d)2
40
Elektrostatik
Auch q00 ist noch nicht bekannt. Wie man durch nachrechnen bestatigt, erfullen die Ansatze fur das
Potential die Feldgleichungen (2.91). Wenn man nun noch die Randbedingungen (2.92) erfullen kann
(durch geschickte Wahl von q0 und q00), dann ist die Losung gefunden.
Die Stetigkeit der Normalkomponente von D~ , also i Ez , liefert
@ ??
qd + q0d =! lim E = q00d
lim
E
=
=
?
2 z p
1
z
1
p
3
3 .
z!0
@z z=0
2 + d2 z!0
2 + d2
+
+
=)
q + q0 = q00
Und mit der Stetigkeit der Tangentialkomponente von E~ folgt
@ ??
1 q q0 =! lim = 1 q00
lim
E
=
=
?
z!0
@ z=0 1 p2 + d2 3 z!0 2 p2 + d23 .
+
(2.94)
+
=)
2 (q q0) = 1q00
(2.95)
Die Gleichungen (2.94) und (2.95) bestimmen q0 und q00 eindeutig. Die Losungen lauten
q00 = 2+2 q .
q0 = 2 + 1 q
2 1
2 1
Hier lassen sich drei Falle unterscheiden, die zu verschiedenen charakteristischen Feldverlaufen fuhren
(siehe [9, Abb. 4.5]):
i) 2 > 1. Hier ist das Vorzeichen der Spiegelladung q0 dem der Originalladung entgegengesetzt (man
beachte das ` ' im Ansatz (2.93)), d. h. im Halbraum z > 0 sind die Feldlinien zur Grenzache
hin gekrummt.
ii) 2 < 1. In diesem Fall sind die Feldlinien bei z > 0 von der Grenzache weg gekrummt, da das
Vorzeichen der Spiegelladung mit dem der Originalladung ubereinstimmt.
iii) 2 ! 1. Die Ladung steht dann einer metallischen Flache gegenuber, in die
die Feldlinien senkrecht
eintreten (siehe Abschnitt 2.1.2 auf Seite 14). Hier ist dann auch q = q0 .
Dielektrische Kugel im aueren Feld
Wir betrachten eine Vollkugel mit Radius a aus dielektrischem Material der Dielektrizitatskonstante .
Die Kugel wird in ein anfangs homogenes, parallel zur z -Achse gerichtetes elektrisches Feld gebracht,
dessen Potential
= E0 z = E0 r cos #
lautet. Gesucht sind Potential- und Feldverlauf innerhalb und auerhalb der Kugel.
Es handelt sich um ein Problem mit azimutaler Symmetrie. In den Ansatzen fur die Potentiale in
beiden Bereichen ist deshalb m = 0 zu setzen:
i =
a =
1
X
l=0
Al rl Pl (cos #)
Bl rl + Cl r (l+1) Pl (cos #)
1 X
l=0
(2.96)
(2.97)
Im Ansatz fur den Innenbereich wurden die bei r = 0 singularen Losungen wegen ihrer physikalischen
Sinnlosigkeit gleich weggelassen. Die Randbedingungen ergeben sich aus dem Verhalten des Feldes im
Unendlichen und am Kugelrand. Es gilt
?
??ra = E0 z = E0 r cos # .
Damit folgt sofort
B1 = E0
Bl6=1 = 0 ,
2.4 Elektrostatik der Dielektrika
41
da die Pl einen vollstandigen Satz orthogonaler Funktionen bilden und P1 ( ) / ist. Am Kugelrand mu
~ E~ = 0 die Tangentialkomponente von E~ stetig sein, das ist also die zweite Randbedingung:
wegen r
i ?? =! 1 @ a ??
Etg = a1 @@#
?r=a a @# ?r=a
Es gilt nun
d P (cos #) = sin # d P (x) .
d# l
dx l
Um dies weiterzuverarbeiten, mu man die besondere Darstellung (2.52) verwenden. Aus dieser folgt
fur x = cos # und m = 1
@ P (cos #) .
Pl1(cos #) = @#
l
Die Pl1 bilden aber ebenso ein orthogonales Funktionensystem wie die Pl . Daraus ergibt sich, da man
am Kugelrand (r = a) die Summanden der Ansatze (2.96) und (2.97) einzeln vergleichen darf:
Al al = Bl al + Cl a (l+1) ) Al = Bl + Cl a (2l+1)
Dies fuhrt auf die beiden Beziehungen:
E0 + Ca31
Cl 8 l 6= 1
A1 =
(2.98)
(2.99)
Al = a2l+1
Die Konstante C0 (und folglich A0 ) mu verschwinden, da die Kugel keine freien Oberachenladungen
tragen soll. Nun zunachst zur letzten Randbedingung: der Stetigkeit der Normalkomponente von D~ =
E~ . Es gilt
i ?? =! @ a ??
@@r
?r=a @r ?r=a ) lAl al 1 = lBl al 1 (l + 1)Cla (l+2) ,
woraus sich zwanglos die Gleichungen
A1 = E0 2aC31
(2.100)
l
8 l 6= 1
(2.101)
Al = l +l 1 a2Cl+1
ableiten. Das Gleichungssystem (2.98)-(2.99)-(2.100)-(2.101) wird gelost von den Konstanten
3 + 2 E0
C1 = + 12 a3 E0 Al = Cl = 0 8 l 2
gelost. Damit erhalt man als Losung fur das Potential im Inneren der Kugel
i = +3 2 E0 r| cos
{z #} ,
=z
A1 =
was einem homogenen Feld in z -Richtung entspricht, das aber gegenuber dem ursprunglichen VakuumFeld abgeschwacht ist (falls > 1). Im Auenraum gestaltet sich die Losung zu
3
a = E0 r cos # + + 12 E0 ar2 cos # .
(2.102)
Dies entspricht einem homogenen Anteil (der erste Summand), uberlagert von einem Dipolfeld, das von
dem Dipolmoment
~p = + 21 E0a3~ez
42
Elektrostatik
erzeugt wird. Die Polarisation im Dielektrikum bekommt man dann wegen 4P~ = (1 )E~ aus dem
homogenen Innenfeld zu
P~ = 41 E~ = 43 + 21 E~ 0 ,
und die polarisationsbedingte Oberachenladung ist
p (#) = (P~ a P~ i ) ~n = 43 + 12 E0 cos # .
In der Literatur ndet man oft Ansatze fur die Losung des Problems der dielektrischen Kugel im aueren
Feld, die von (2.102) ausgehen. Dann wird lediglich noch die \Stimmigkeit" mit den Randbedingungen
gepruft. Unser Weg verzichtet jedoch auf solche Annahmen und kommt trotzdem zum richtigen Ziel.
2.4.5 Elektrostatische Energie
In diesem Abschnitt untersuchen wir noch den Energiegehalt des elektrischen Feldes im Vakuum und
in Dielektrika.
Ladungen im freien Raum
Sei qi eine Punktladung in einem Potential (~r ). Dann ist die beim Transport der Ladung von Potentialnullpunkt zum Ort ~ri verrichtete Arbeit gleich
W = qi(~ri ) ,
wie bereits in Abschnitt 2.1 auf Seite 10 festgestellt. Fur die beim Zusammenbringen von zwei Ladungen
aus dem Unendlichen aufgewandte Energie ergibt sich dann also W = qiqj =j~ri ~rj j. Dies lat sich leicht
auf N Punktladungen verallgemeinern:
N
N
N X
i 1 qq
X
X
X
qiqj
i j =1
W=
i=1 j =1 j~ri ~rj j 2 i=1 j =1 j~ri ~rj j
i6=j
Schlielich geht man zu Raumladungsdichten uber. Es gilt
ZZ (~r ) (~r 0)
3 3 0
qi = i Vi ) W = 21
j~r ~r 0 j d r d r ,
und wenn man berucksichtigt, da
Z
0
(~r ) = j~r(~r ~r)0 j d3r0 ,
dann folgt
Z
(2.103)
W = 12 (~r ) (~r ) d3r .
Mit Hilfe der bekannten Poisson-Gleichung = 4 konnen wir (2.103) noch weiter massieren:
Z
Z
Z
~ j2d3r = 1 jE~ j2d3 r
) W = 81 (~r )(~r ) d3r p:I:
= 81 jr
8
Wenn das ein Ausdruck fur die Gesamtenergie ist, dann liegt es nahe, die Energiedichte
w := 81 jE~ j2
zu denieren. Wir testen diese Denition gleich am Beispiel zweier Punktladungen an den Orten ~r1 und
~r2. Das elektrische Feld ist
E~ = qj1~r(~r ~r ~rj13) + qj2~r(~r ~r ~rj23) ,
1
2
2.4 Elektrostatik der Dielektrika
43
und die Energiedichte wird dann zu
w = 81 j~r
|
q12 + q22 + 2q1q2(~r ~r1)(~r ~r2 )
~r1 j4 {z j~r ~r2j4} j~r ~r1j3j~r ~r2 j3
!
.
(2.104)
Selbstenergie
In diesem Ausdruck gibt es zwei Terme, die jeweils nur von einer Ladung abhangen und Selbstenergie
genannt werden. Die Selbstenergie steckt in dem von der Ladung erzeugten Feld und ist keine potentielle
Energie, die aus dem Vorhandensein einer zweiten Ladung resultiert. Man sieht das auf folgende Weise
ein: Sei w0 die Energiedichte ohne Selbstenergie-Anteil. Dann gilt
Z
Z
Z
W 0 = w0(~r ) d3r = q41q2 j(~r~r ~r~r2j3)(j~r~r ~r~r1j)3 d3 r p:I:
= q41q2 j~r 1 ~r j j~r 1 ~r j d3r = j~r q1q2~r j .
1
2
1
2
1
2
Das ist genau der schon weiter oben abgeleitete Ausdruck fur die potentielle Energie zweier Punktladungen.
Die U berraschung wird von der Selbstenergie bereitgehalten: Integriert man uber die beiden entsprechenden Terme in (2.104), so erhalt man divergente Ausdrucke! Oensichtlich ist in bezug auf die
Energiedichte das Modell \Punktladung" nicht adaquat, obwohl es ja fur viele Anwendungen ausreicht.
Man behilft sich mit der Vorstellung einer kleinen metallischen Kugel, auf der auen die Ladung q
achenartig aufgetragen ist. Da das Feld im Inneren verschwindet (siehe Beispiel auf Seite 16), ist das
Integral fur die Selbstenergie nicht mehr divergent, sondern bekommt fur eine Ladung den Wert q2 =2a,
falls a der Radius der Kugel ist.
Energiedichte im Dielektrikum
Die Betrachtungen zur Energiedichte in Dielektrika fuen auf der Tatsache, da die Polarisation (d. h.
die Ausrichtung von Elementardipolen im externen Feld) zusatzliche Beitrage zur elektrostatischen
Energie liefert. Der Ausdruck (2.103) erfat diese aber nicht von alleine. Stattdessen betrachtet man
eine kleine A nderung W der Gesamtenergie, die von einer kleinen A nderung der Ladungsdichte
hervorgerufen wird. Es gilt
Z
Z
1
0
0
3
0
~ D~ (~r 0 ) d3r0 .
W = (~r ) (~r ) d r = 4 (~r 0 )r
~ D~ verwendet. Zusammen mit E~ = r
~ erhalt man durch partielle
Dabei wurde die Identitat = 41 r
Integration
Z
W = 41 E~ (~r 0 ) D~ (~r 0 ) d3r0 ,
woraus fur die Gesamtenergie W folgt:
ZZ D~
E~ (~r 0) D~ (~r 0 ) d3r0
W = 41
0
(2.105)
Bei der etwas diusen inneren Integration stellt man sich vor, da das D~ -Feld vom Anfangswert 0 auf
den Endwert D~ \aufgedreht" wird, wobei dann naturlich E~ und D~ voneinander abhangen. Bei linearer
Antwort des Materials (D~ = E~ ) wird dann
Z D~
0
und die Energiedichte ist
Z D~
~E D~ = 1
(E~ D~ ) = 21 E~ D~ ,
2
0
(2.106)
w = 81 E~ D~ .
Reagiert das Medium nichtlinear (Hysterese etc. ), so gilt diese Formel naturlich nicht. Dann mu (2.105)
wirklich berechnet werden.
44
Elektrostatik
Kapitel 3
Magnetostatik
3.1 Biot-Savart-Gesetz, Ampere-Gesetz, Vektorpotential
3.1.1 Das Gesetz von Biot und Savart
Als \Aufhanger" fur die Magnetostatik dient folgende experimentell gefundene, dierentielle Beziehung
zwischen einem Leitungsstrom I und der von ihm erzeugten magnetischen Induktion (auch Fludichte
genannt):
0
dB~ = k0 Id~l j~r~r ~r~r0j3
(3.1)
!()+,-./01
23456789:;
<!()+,-./0
123456789:
;<!()+,-./
Abbildung 3.1: Zum Biot-Savart-Gesetz, links allgemeine dierentielle Beziehung, rechts Spezialfall
eines langen geraden Drahtes.
Die Konstante k0 hat im Gau-System den Wert 1=c, wobei c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
V s . Warum gerade hier die
darstellt, und im SI/MKSA-System dem Wert 4 , mit 0 = 4 10 7 Am
Lichtgeschwindigkeit auftaucht, wird spater noch klar werden.
0
Beispiel: Magnetische Induktion eines 1 langen Drahtes, der vom Strom I durchossen
wird
Siehe Abb. 3.1:
jd~l (~r ~r 0 )j = dlj~r ~r 0 j sin(#) . Auerdem:
B~ = Ic
Z
0
d~l j~r~r ~r~r0 j3
45
46
Magnetostatik
Die Felder aller einzelnen Leitungselemente zeigen in die gleiche Richtung, also:
jB~ j = B = IR
c
Z1
Z
dl
dx
x:=l=R 2I 1
=
2
2
3
=
2
2)3=2 =
(
R
+
l
)
Rc
(1
+
x
1
0
|
{z
}
=1
2I
= cR
Dies ist das Biot-Savart-Gesetz, hier fur den unendlich langen Draht. Die Feldlinien bilden ein perfektes
Wirbelfeld um den Draht als Achse mit einer 1=r-Charakteristik.
Fur die weiteren Betrachtungen empehlt sich die Einfuhrung der Stromdichte ~| statt des Leitungsstromes I :
Z
0
(3.2)
Id~l = ~|(~r ) df dl = ~|(~r ) d3r =) B~ = 1c ~|(~r 0 ) j~r~r ~r~r0j3 d3 r0
Damit ist es moglich, aus jeder beliebigen Stromverteilung ~j (~r) die durch sie erzeugte magnetische
Induktion zu berechnen.
3.1.2 Kraft auf Strome in Magnetfeldern, Stromschleifen
Ist dF~ die auf ein Stromelement I1 d~l1 durch die Fludichte B~ hervorgerufene Kraft, so gilt:
dF~ = Ic1 (d~l1 B~ )
(3.3)
Betrachtet man das Feld B~ 2 einer geschlossenen Stromschleife mit Strom I2 , das die Ursache fur die
Kraft auf eine zweite Stromschleife mit Strom I1 ist, so erhalt man sofort aus (3.2) und (3.3):
F~12 = F~21 = Ic12I2
I I d~l1 (d~l2 (~r ~r 0))
j~r ~r 0 j3
(3.4)
Dies ist das Amperesche Gesetz uber die Kraft zwischen Stromschleifen, das sich durch folgende \baccab"-Umformung...
d~l1 (d~l2 (~r ~r 0 )) = d~l d~l1 (~r ~r 0 )
2
j~r ~r 0 j3
j~r ~r 0 j3
!
0
(d~l1 d~l2 ) j~r~r ~r~r0j3
auch in der Form
I I (d~l1 d~l2)(~r ~r 0)
~F12 = I1 I2
(3.5)
c
j~r ~r 0j3
schreiben lat. Dabei fallt der `bac'-Term bei der Integration weg, denn die Klammer beschreibt das
totale Dierential eines 1=j~r ~r 0 j-Potentials. Bei einer Integration uber geschlossene Kurven oder von
1 nach 1 wird so etwas bekanntlich verschwinden.
In seiner allgemeinsten Form lautet dieses Gesetz folgendermaen: Gegeben sei eine Stromverteilung
~|(~r ) in einem Magnetfeld B~ (~r ). Dann ist nach (3.3) die auf die Stromverteilung wirkende Gesamtkraft
gleich
Z
~F = 1 d3r~|(~r ) B~ (~r ) ,
(3.6)
c
wobei sich die Integration uber den ganzen Raum erstreckt.
3.1 Biot-Savart-Gesetz, Ampere-Gesetz, Vektorpotential
47
3.1.3 Das Vektorpotential. Durchutungsgesetz
Man betrachte noch einmal Gleichung (3.2). Fur den Bruch (~r ~r 0 )=j~r ~r 0 j3 gilt bekanntlich
1 ~r ~r 0 = r
~
r j~r ~r 0 j ,
j~r ~r 0 j3
also wird
1 Z ~|(~r 0)
Z
1
3 0
3
0
~
~r
~B = 1 ~|(~r 0 ) r
c
j~r ~r 0 j d r = c rr j~r ~r 0j d r .
B~ ist also als Rotation eines Vektorfeldes darstellbar:
Z
0
A~ (~r ) = 1c j~r~|(~r ~r)0 j d3 r0
(3.7)
A~ (~r ) heit Vektorpotential des B~ -Feldes.1 Dieses Ergebnis wird spater in etwas verallgemeinerter Form
noch groe Bedeutung haben.
Es lassen sich nun einige wichtige Folgerungen ziehen:
a) Da B~ = r~ A~, gilt
~ A~ (~r )
B~ (~r ) = r
mit
r~ B~ = r~ (r~ A~ ) = 0 =)
Z
V
Die Fludichte ist quellenfrei, oder etwas suggestiver:
r~ B~ dV =
I
@V
B~ dF~ = 0
(3.8)
Es gibt keine magnetischen Ladungen!
Man beachte, da wir angenommen haben, Magnetfelder wurden allein von Stromdichten erzeugt
| nichts anderes besagt ja das Biot-Savart-Gesetz. Dann folgt die Quellenfreiheit ganz naturlich.
Sie ist also ein Ergebnis einer Annahme, die bisher noch durch kein Experiment widerlegt werden
konnte. Gleichung (3.8) ist eine weitere Maxwell-Gleichung. Sie wurde hier in dierentieller Form
und in Integralform angegeben.
b) Es gilt:
~ B~ = r
~ r
~ A~ = r
~ (r
~ A~ ) A~
r
(3.9)
Nun ist aber
Z
Z
1 30
1
~r(r
~ A~ ) = 1 r
~ r 1 0 d3r0 p:I:
~ r0 ~|(~r 0)
~ r ~|(~r 0) r
~
=
r
r
r
c
c
j~r ~r 0 j d r .
| j~r{z ~r }j
r~ r0 j~r ~r 0 j
1
~ ~| gelten, so verschwindet dieses Integral,
Soll fur Strome die Kontinuitatsgleichung @
@t = r
solange man sich in der Magnetostatik bendet, wo @
@t = 0 (diese Einschrankung fuhrt spater
auf eine Inkonsistenz in den Maxwell-Gleichungen, s. Abschnitt 4.4.1). Auerdem ist noch wegen
r1 = 4 (r) :
Z
A~ = 1c ~|(~r 0)r j~r 1 ~r 0j d3r0 =) A~ = 4c ~|(~r )
(3.10)
Die Bestimmung des Vektorpotentials und damit der Fludichte entspricht also der Losung dieser
drei \Poisson-Gleichungen" fur die Komponenten von A~ , was naturlich aquivalent zu (3.7) ist.
1 Bei der Berechnung dieses Integrals ist zu beachten, da es sich bei dem Integranden nicht um ein Skalarfeld, sondern
um ein Vektorfeld handelt. Ist es in nicht-kartesischen Koordinaten gegeben, so hangt die Lage des lokalen Dreibeins von
der Position im Raum ab, die Einheitsvektoren andern sich also uber der Integration. Deshalb formt man so etwas vorher
in kartesische Koordinaten um. Dann tritt dieses Problem nicht auf (s. auch [9, Kap. 5.5]).
48
Magnetostatik
Damit ist ein Teil einer weiteren Maxwell-Gleichung abgeleitet, und zwar fur den Spezialfall stationarer
Felder2:
Z
Z
I
~ B~ dF~ = B~ d~s = 4 ~| dF~
(3.11)
r~ B~ = 4c ~| =)
r
c
F
@F
| F {z }
=I
Diese Gleichung, das Amperesche Durchutungsgesetz, ermoglicht | ebenso wie das Gausche Gesetz
der Elektrostatik | die Berechnung der magnetischen Induktion in hochsymmetrischen Anordnungen.3
3.1.4 Eichungen I
~ (r
~ ) = 0,
Aus dem Integralcharakter des Vektorpotentials lat sich ein wichtiger Schlu ziehen: Da r
kann man zu einem Vektorpotential ein vollig beliebiges Gradientenfeld hinzuaddieren, ohne da sich
dadurch die magnetische Fludichte andert:
~ A~ = r
~ (A~ + r
~ )
B~ = r
Die Transformation
~
A~ ! A~ + r
(3.12)
wird Eichtransformation genannt. Die Allgemeine Formel fur das Vektorpotential lautet somit:
Z
0
~
A~ (~r ) = 1c j~r~|(~r ~r)0 j d3r0 + r
(3.13)
~ A~ jede beliebige Form annehmen kann, denn durch eine einfache
Dies bedeutet aber, da die Groe r
~ r (1=j~r ~r 0j) erhalt man
~ r0 (1=j~r ~r 0 j) = r
partielle Integration und unter Verwendung von r
z =0
}| {
Z
0
~
0
r
1
r~ A~ = c j~rr ~|(~r~r 0 j) d3r0 + ,
(3.14)
~ A~ = 0 (Coulomb-Eichung), so ist also fur
was eine Dierentialgleichung fur darstellt. Wahlt man r
eine Laplace-Gleichung zu losen. Aus der Formel (3.13) fur A~ ist allerdings zu erkennen, da die
~ immer erfullt ist, da stets r
~ ~| = 0
Coulomb-Eichung in der Magnetostatik auch schon ohne Eichfeld r
gilt.
3.2 Konstruktion eines Feldes aus Quellen und Wirbeln
Strom{ und Ladungsdichte bilden die \Ursache" elektrischer und magnetischer Felder. Da es sich dabei
laut den Maxwell-Gleichungen, wie sie uns bisher bekannt sind, um die Quellen und Wirbel dieser
Felder handelt, stellt sich die Frage, auf welche Weise uberhaupt ein Feld durch seine Quellen und
~ (~r ) = V~ (~r ) + U~ (~r ), so da
Wirbel festgelegt ist. Gegeben sei ein Vektorfeld W
~ V~ = 0 ) V~ = r
~
r
r~ U~ = 0 ! U~ = r~ A~
) W~ = r~ + r~ A~ .
Die Felder und A~ sind also zu bestimmen. Nun gilt
r~ W~ = r~ V~ = ~ ~ ~
~ A~ = r
~ r
r~ W~ = r~ r
A A
2 Zum Zusammenhang von Amp
ere-Gesetz und Biot-Savart-Gesetz, insbesondere zur Einschrankung auf stationare
Strome, siehe American Journal of Physics, Vol. 57, No. 1, Jan. 1989, pp. 57-59
3 Ein Beispiel hierzu, in dem auch gleich auf die Problematik unphysikalischer Limetes (unendlich d
unne, stromfuhrende
Flachen) eingegangen wird, ndet sich in American Journal of Physics, Vol. 55, No. 2, Feb. 1987, pp. 166-167
3.3 Felder lokalisierter Stromverteilungen
49
~ A~ = 0 wird r
~ W~ = A~ . Also sind zur Bestimmung
und unter Anwendung der Coulomb-Eichung r
~
der Potentiale und A zwei Poisson-Gleichungen zu losen:
~ W~
= r
(3.15)
~
~
~
A = r W
(3.16)
Die Losungen dieser Gleichungen sind aber wohlbekannt. Sie lauten fur den gesamten Raum
Z ~ ~ 0
(~r ) = 41 rj~rr0 W~r(~r0 j ) d3r0
(3.17)
Z ~0 ~ 0
(3.18)
A~ (~r ) = 41 rrj~r W~r 0(j~r ) d3r0 .
~ aus seinen Quellen und Wirbeln rekonstruiert werden:
Nun kann also das Feld W
Z ~ r0 W~ (~r 0)
Z r~ r0 W~ (~r 0)
3 r0 + 1 r
3 0
~ (~r ) = 1 r
~ r
~
W
d
(3.19)
4
j~r ~r 0 j
4
j~r ~r 0j d r
3.3 Felder lokalisierter Stromverteilungen
In diesem Abschnitt wird gezeigt, da eine beliebige lokalisierte Stromverteilung aus genugender Entfernung eine Dipolcharakteristik hat.
Wir betrachten Formel (3.7) fur das Vektorpotential und gehen davon aus, da ~|(~r ) auf einen
endlichen Raumbereich begrenzt ist; auerdem soll der Koordinatenursprung ebenfalls innerhalb der
Verteilung liegen. Legt man dann eine Kugelache um den Ursprung und berechnet das Vektorpotential
an einem Punkt auerhalb dieser Kugel, so kann man j~rj > j~r 0 j annehmen. In erster Naherung gilt dann:
1 1 + ~r ~r 0
(3.20)
j~r ~r 0 j r r3
Ersetzt man folglich in Formel (3.7) fur das Vektorpotential den 1=j~r ~r 0j-Bruch durch diese Entwicklung, so ergibt das:
Z
Z
A~ (~r ) = cr1 ~|(~r 0 ) d3r0 + cr~r3 ~r 0~|(~r 0) d3 r0
. . . oder fur die i-te Komponente:
Z
Z
1
~
r
0
3
0
Ai = cr ji (~r ) d r + cr3 ~r 0ji (~r 0 ) d3r0
Um dies in eine einfachere, suggestive Form zu bringen, betrachte man die Identitat
Zh
(3.21)
i
~ r0 f (~r 0) d3r0 = 0 ,
~ r0 g(~r 0) + g(~r 0 )~|(~r 0 ) r
f (~r 0)~|(~r 0 ) r
(3.22)
die fur beliebige freundliche Skalarfelder f (~r 0) und g(~r 0 ) gilt. Zum Beweis genugt nachrechnen (die
~r 0-Abhangigkeiten werden weggelassen):
Z
Z
Z
Zh
i 3 0 p:I: Z ~
3
0
3
0
3
0
~
~
~
~
0
0
0
0
0
f r~ r0 (f~|) d3 r0 =
grr (f~|) d r + rr (fg~|) d r
f~|rr g + g~|rr f d r = rr (fg~|) d r
. . . das erste und das dritte Integral konnen mit dem Satz von Gau in Oberachenintegrale verwandelt werden. Da ~| raumlich begrenzt ist, verschwinden diese. Weiter gilt dann unter Verwendung von
r~ ~| = 0 . . .
=
Zh
i
~ r0 ~|)f d3r0 =
~ r0 g + gr
~ r0 ~|)g + (~|r
~ r0 f + f r
(~|r
Zh
i
~ r 0 g d3 r 0
~ r0 f + f~|r
g~|r
Das ist genau das Negative des Ausdrucks auf der linken Seite von (3.22), also ist die Behauptung
bewiesen.
Wir untersuchen jetzt folgende Spezialfalle:
50
Magnetostatik
a) Seien f = 1; g = x0i:
Dann wird (3.22) zu
Z
Z
0i
@x
3
0
jk @x0 d r = ji (~r 0 ) d3r0 = 0 ,
k
|{z}
ik
d. h. der Monopolterm in der Entwicklung (3.21) verschwindet, was man auch mit dem Gauschen
~ ~| = 0 erkennt.
Satz und der Wahrheit r
b) Seien f = x0i; g = x0j :
Aus (3.22) folgt
Z
(x0i jj + x0j ji ) d3 r0 = 0
Damit lat sich der zweite Term in (3.21) umformen:
Z
X Z
X Z
~r ~r 0 ji d3r0 = xj x0j ji d3 r0 = 21 xj (x0i jj x0j ji ) d3r0 =
j
j
Z
Z
X
1
1
0
3
0
= 2 "ijk xj (~r ~|)k d r = 2 ~r (~r 0 ~|) d3r0
j;k
Fur das Vektorpotential kann man also schreiben:
Z
~A = 1 3 ~r (~r 0 ~|) d3r0
2cr
| {z }
=2c~m
1Z
~ ~r
m
~ = 2c ~r 0 ~|(~r 0 ) d3r0 =) A~ (~r ) = m
r3
(3.23)
Hierbei bedeutet m
~ das Dipolmoment oder magnetische Moment der Stromverteilung. Also gilt:
~
~) m
~ A~ = 3~r(~r5m
(3.24)
B~ = r
r
r3
3.4 Magnetisierung
Genau wie im Fall der dielektrischen Polarisation kann man sich von der Wirkung eines Magnetfeldes
in Materie ein Modell konstruieren, das auf der Ausrichtung mikroskopischer Dipole im aueren Feld
beruht. Dadurch wird eine Magnetisierung bzw. makroskopische Momentdichte im Material erzeugt.
Wir fangen an zu denieren :
X
~ ii
M~ (~r ) := Ni hm
i
Dabei ist Ni die Zahl magnetischer Dipole vom \Typ i" (d. h. z. B. einer bestimmten Molekulart) pro
Volumenelement und < m
~ i > das uber dieses Volumen bei ~r gemittelte magnetische Moment eines
Dipols vom Typ i. Die Summe addiert dann die lokalen Momentdichten aller Dipoltypen. Angenommen,
es gibt noch eine makroskopische Stromverteilung ~|(~r ), so wie im vorangehenden Abschnitt. Dann gilt
fur das Vektorpotential oenbar:
Z ~
Z
0
0
A~ (~r ) = 1c j~r~|(~r ~r)0 j d3r0 + M (~rj~r) ~r(~r0 j3 ~r ) d3 r0 .
(3.25)
~ r0 (1=j~r ~r 0 j) = (~r ~r 0 )=j~r ~r 0 j3 kann man das zweite Integral umformen:
Wegen r
Z
1 Z ~ ~ 0
0
~
~
M (~r ) rr0 j~r ~r 0 j d3r0 = rrj0~r M~r 0(j~r ) d3r0
3.5 Randbedingungen fur die Felder der Magnetostatik
Damit wird
z
=:~| i
}|
( )
51
{
Z 0 ~ r0 M~ (~r 0)
~A(~r ) = 1 ~|(~r ) + cr
d3 r 0
(3.26)
c
j~r ~r 0 j
~ M~ kann man sich als den Beitrag der Magnetisierung
Die sogenannte eektive Stromdichte ~|(i) = cr
zur Gesamtstromdichte vorstellen. Damit erhalten wir eine erweiterte Maxwell-Gleichung, die nun auch
Magnetisierungseekte berucksichtigt:
(3.27)
r~ B~ = r~ (r~ A~ ) = 4c (~| + ~|(i) ) = 4c ~| + 4r~ M~
~ (B~ 4M~ ) = 4 ~|
=) r
(3.28)
c
Wir denieren die magnetische Feldstarke4 H~ (~r ) zu:
H~ := B~ 4M~
(3.29)
. . . und somit gilt
r~ H~ = 4c ~|
(3.30)
Wir sind jetzt in der Lage, die Maxwell-Gleichungen fur zeitunabhangige Prozesse aufzuschreiben:
~ B~ = 0
r
r~ D~ = 4
~r H~ = 4c ~|
~r E~ = 0
Erganzt werden diese durch die Materialgleichungen
D~ = E~ + 4P~
B~ = H~ + 4M~
(3.31)
(3.32)
Der Zusammenhang zwischen E~ und D~ bzw. B~ und H~ kann u. U. sehr kompliziert werden | unberechenbar kompliziert (im allgemeinen Fall tensoriell (d. h. anisotrop) und inhomogen). Es ist jedoch oft
statthaft, vereinfachende Annahmen uber diese Relationen zu machen, insbesondere, wenn man es mit
schwachen Feldern zu tun hat. Eine der einfachsten denkbaren Beziehungen ist naturlich die Linearitat :
D~ = E~ B~ = H~
(3.33)
heit Permeabilitatszahl des Materials. Es lassen sich hier zwei Falle unterscheiden:
> 1 : Paramagnetismus. Der Sto \bundelt" die magnetischen Feldlinien.
< 1 : Diamagnetismus. Der Sto schliet magnetische Felder mehr oder weniger stark aus sich aus.
Ist der Zusammenhang zwischen Induktion und Feldstarke nichtlinear, und dabei recht gro (z. B.
einige 1000), so spricht man von Ferromagnetismus. Die Eekte sind hier diziler, z. B. im Fall der
magnetischen Hysterese, wo das Verhalten eines Stoes von seiner magnetischen Vorgeschichte abhangt
[9, Kap. 5.8].
3.5 Randbedingungen fur die Felder der Magnetostatik
Genau wie in der Elektrostatik unterliegen die Felder der Magnetostatik an der Grenzache zwischen
Medien bestimmten Randbedingungen. Aus dem Maxwell-Gleichungen lassen sich diese schnell ableiten.
Im folgenden ist ~n der Normalenvektor auf die Grenzache:
4 In der Literatur ndet man verwirrenderweise f
ur B~ und H~ jeweils verschiedene Namen. Wir verwenden fur H~ die
Bezeichnung Feldstarke und fur B~ die Bezeichnung Induktion oder Fludichte. \Magnetfeld" ist ein allgemeiner
Terminus und keinem der Felder fest zugeordnet.
52
Magnetostatik
a) r~ B~ = 0 ) ~nB~ (i) = ~nB~ (a). Die Normalkomponente von B~ ist also an der Grenzache stetig.
Dies erhalt man sofort durch Anwendung des Gauschen Satzes auf ein kleines Volumen, das ein
Stuckchen Grenzache enthalt, und von dem man zunachst die Dicke gegen 0 gehen lat.
b) r~ H~ = 0 falls ~| = 0 ) ~n H~ (a) = ~n H~ (i). Also ist die Tangentialkomponente von H~ stetig.
Hier verwendet man den Satz von Stokes bzgl. eines Integrationsweges, der im einen Material hinund im anderen wieder zurucklauft.
Die Bedingungen fur die Normalkomponente von H~ und die Tangentialkomponente von B~ erhalt man
dann einfach durch Einsetzen in die Materialgleichungen. Dann lauten also die Stetigkeitsbedingungen
der Magnetostatik (bei linearer Antwort des Materials):
~nB~ (i) = ~nB~ (a)
a
~nH~ (i) = i ~nH~ (a)
( )
( )
i
~n B~ (i) = a ~n B~ (a)
~n H~ (i) = ~n H~ (a)
( )
( )
(3.34)
Betrachtet man den Spezialfall eines Materials mit sehr groer Permeabilitat ((i) 1) im Vakuum
((a) = 1), so liefert die Bedingung fur die Normalkomponente von H~ , da | auer im Fall eines zur
Oberache perfekt parallelen Feldes | H~ praktisch senkrecht zur Oberache steht: Man hat dann eine
Situation analog zu der an der Oberache von Metallen in der Elektrostatik.
3.6 Anwendungen: Losungsmethoden fur Randwertprobleme
Die Frage ist nun, wie man aus gegebenen Strom- und Materialverteilungen mit Hilfe der Maxwell- und
Materialgleichungen die Induktion bestimmen kann. Wie sich zeigen wird, ist das nur eine Frage der
Einhaltung bestimmter Randbedingungen bei der Losung der Dierentialgleichungen.
3.6.1 Losungen mit Hilfe des Vektorpotentials
Aus den Gleichungen
~ A~ und r
~ H~ = 4 ~| und B~ = H~
B~ = r
c
erhalt man durch gegenseitiges Einsetzen
~ 1r
~ A~ = 4 ~| .
r
c
~ A~ = 0), die ja in der Magnetostatik immer erfullt ist,
Unter Zugrundelegung der Coulomb-Eichung (r
~
~
~
~
~
~
~
wird dies wegen A = r(rA) r r A zu
(3.35)
A~ = 4
c ~|
Das sind drei \Poisson-Gleichungen" fur die Komponenten von A~ , die sich prinzipiell losen lassen.
3.6.2 Verschwindende Stromdichte: Magnetisches Skalarpotential
~ H~ = 0. Daraus folgt, da es ein magnetisches Skalarpotential M geben mu, so
Aus ~| = 0 folgt r
da
~ M .
H~ = r
(3.36)
Bei linearer Antwort des Materials gilt dann
r~ B~ = 0 ) r~ (r~ M ) = 0 .
Das gilt allgemein; die Vereinfachung
M = 0
(3.37)
3.6 Anwendungen: Losungsmethoden fur Randwertprobleme
53
gilt zumindest fur stuckweise konstantes . Es ist also wieder einmal eine Laplace-Gleichung zu losen;
~ M .
man beachte, da bei konstantem auch fur B~ ein Skalarpotential existiert: B~ = r
Eines ist wichtig bei den letzten beiden Abschnitten: Betrachtet man die Situation in einem Raum,
in dem Materialien mit verschiedenen Permeabilitaten aneinandergrenzen, so mussen die Losungen
von (3.37) bzw. (3.35) in den verschiedenen Bereichen uber die Stetigkeitsbedingungen (3.34) zusammenpassen.
3.6.3 Harte Ferromagnete 1: M~ =
const, ~
|
=0
In Materialien, in denen die Momentdichte M~ fest vorgegeben ist, hat ein von auen angelegtes Magnet~ M .
feld keinen Einu auf die Magnetisierung. Bei verschwindender Stromdichte gilt weiterhin H~ = r
Dann ist
r~ B~ = r~ H~ + 4M~ = M + 4r~ M~ = 0 .
Also wieder eine Poisson-Gleichung. Deniert man eine eektive magnetische Ladungsdichte
~ M~ ) M = 4M ,
M := r
so lautet die Losung der Poisson-Gleichung fur das Potential M wie ublich
1 Z r~ r0 M~ (~r 0) p:I: Z
0 )r
3r0 =
~
~
0
M =
M
(
~
r
d
(3.38)
r j~r ~r 0 j d3r0 =
j~r ~r 0 j
Z M~ (~r 0)
~
(3.39)
= rr j~r ~r 0j d3r0
Dabei wurde vorausgesetzt, da M~ auf einen endlichen Raumbereich begrenzt ist.
Bendet man sich in groem Abstand von der Materieverteilung, so kann man naherungsweise
1=j~r ~r 0 j 1=r setzen und erhalt
Z
~ =m
~ ~r , mit m
~rm
M r
M~ (~r 0 ) d3r0 .
(3.40)
~
=
r r3
Der Vektor m
~ heit Gesamtmagnetisierung oder gesamtes magnetisches Moment der Materieverteilung.
Man sieht also, da jede Materieverteilung mit fester Magnetisierung aus genugend groem Abstand
eine Dipolcharakteristik hat.
Fur die Praxis erweist es sich oft als gunstig, Materieverteilungen als unstetig zu betrachten, d. h.
am Rand der Materie fallt M~ sprunghaft von einem endlichen Wert auf 0 ab (betrachte z. B. das Beispiel eines zylinderformigen Stabmagneten mit homogener Magnetisierung parallel zur Achse). In (3.38)
enthalt die Divergenz von M~ dann -formige Randterme (in manchen Buchern ndet man dafur Ausdrucke wie \Flachendivergenz" [15] oder \Sprungdivergenz" [17], zuweilen zusammen mit einem neuen
Dierentialoperator \Div"). Man stelle sich ein kleines Volumen (am besten einen achen Zylinder) vor,
der ein Stuckchen Randache enthalt (Abb. 3.2).
Abgesehen von dieser mehr intuitiven Darstellung kann man sich das auch mathematisch ein bichen
klar machen. Wir betrachten der Einfachheit halber den Fall, da ein Vektorfeld M~ fur negative z-Werte
verschwindet und fur positive z-Werte irgendwie aussieht:
M~ (~r ) := M~ 0 (~r )(z ) .
Wir bilden nun das Volumenintegral uber die Divergenz von M~ :
Z
r~ M~ (~r )d3 r =
=
Z
Zh
i
~ M~ 0 (~r ) + M~ 0(~r )~ez (z ) d3 r =
(z )r
Z
~ M~ 0 (~r )d3 r + M~ 0(~r )~ez (z )d3 r
(z )r
54
Magnetostatik
!()+,-./01234
56789:;<!()+,
-./0123456789
:;<!()+,-./01
Abbildung 3.2: Zum Verstandnis der Randeekte bei unstetiger Magnetisierung. Zur Divergenz tragen
nur die M~ -Anteile bei, die senkrecht zu den Randachen des innitesimalen Volumens
V stehen.
Das erste Integral ist klar. Das zweite mochte man gerne als Flachenintegral bzgl. der Normalenrichtung
aus dem \Feldvolumen" heraus schreiben. Es gilt aber hier ~n = ~ez , also:
Z
Z
r~ M~ (~r )d3 r = (z )r~ M~ 0 (~r )d3r
Z
M~ 0 (~r )~nd2r
Damit versteht man nun die endgultige Formel fur das magnetische Skalarpotential (dadurch, da der
j~r ~r 0j-Nenner dazukommt, andert sich nichts am Rechengang!):
Z r~ r0 M~ (~r 0)
I ~n0M~ (~r 0)
3r0 +
M (~r ) =
d
dF 0
V j~r ~r 0j
F j~r ~r 0j
(3.41)
Man kann M := ~nM~ als eektive Oberachenladungsdichte denieren.
Eines ist zu beachten: Die Formel (3.39) ist immer gultig, egal, ob das M~ -Feld unstetig ist oder nicht.
Man sieht das leicht ein, wenn man sich zunachst dieses Feld an den Sprungstellen mit einer Skalarfunktion moduliert denkt, die die Randunstetigkeiten ausgleicht, und erst nach (3.39) den Grenzubergang
zur Unstetigkeit vollzieht.
Dennoch ist (3.41) nutzlich, z. B. dann, wenn die Materie im Innern homogen magnetisiert ist. Dann
fallt nur das Oberachenintegral ins Gewicht und die Berechnung wird oft recht einfach.
Aufgabe: Gegeben ist ein Zylinder der Lange L mit Radius R, der parallel zu seiner Achse homogen
mit der Momentdichte M~ magnetisiert ist. Berechne B~ - und H~ -Feld auf der Achse innerhalb und
auerhalb des Zylinders (die Berechnung auerhalb der Achse ist zwar moglich, fuhrt aber | je nach
Ansatz | entweder auf unendliche Reihen oder elliptische Integrale).
3.6.4 Harte Ferromagnete 2: Eektive Stromdichte
Man betrachte noch einmal Formel (3.35). Wir nehmen an, da es keine makroskopische Stromdichte
gibt, jedoch soll irgendwo eine Magnetisierung M~ existieren. Dann gibt es, wie bereits erwahnt, dennoch
~ M~ (siehe (3.26)):
eine Stromdichte, die eektive magnetische Stromdichte ~|M = cr
A~ = 4c ~|M
Die Losung fur das Vektorpotential lautet dann allgemein:
Z ~ r0 M~ (~r 0)
3 0
~A(~r ) = r
j~r ~r 0 j d r
Wie im Falle der magnetischen Ladungsdichte kann man auch hier Betrachtungen bzgl. unstetiger
Magnetisierung anstellen, um diese Formel in ein Integral uber ein beschranktes Volumen plus ein
Oberachenintegral zu verwandeln. Es ergibt sich ganz analog:
I M~ (~r 0) ~n0
Z ~ r0 M~ (~r 0)
3
0
~A(~r ) = r
dr+
dF 0
(3.42)
F j~r ~r 0j
V j~r ~r 0 j
3.6 Anwendungen: Losungsmethoden fur Randwertprobleme
55
Das von einer homogen magnetisierten Kugel erzeugte Feld im Vakuum
!()+,-./
01234567
89:;<!()
+,-./012
Fur die Magnetisierung gilt (siehe Abb. 3.3):
Abbildung 3.3: Die homogen magnetisierte Kugel
n
~~
M~ = 0M0~ez innerhalb
auerhalb ) rM = 0 innerhalb.
Wir wahlen die Methode des magnetischen Skalarpotentials. Es tritt wegen der homogenen Magnetisierung nur der Oberachenterm von (3.41) auf:
I M~
Z
l
~ n0 dF 0
X
< Y (#0; 0)Ylm (#; )
2
M = j~r ~r 0j = M0 a d
0 cos #0 2l4+ 1 rl+1
r> lm
F
l;m
mit dF 0 = a2 sin #0d#0d0 = a2 d
0. r> bedeutet wieder den groeren, r< den kleineren der beiden
~ n = M0 cos #. Man beachte nun, da
Radien a und r. Die magnetische Oberachenladung ist M = M~
r
4 Y (#0; 0) .
3 10
Aufgrund der Orthonormalitatsrelationen fur Kugelachenfunktionen bleibt also von der Summe zum
Gluck nur ein Term ubrig, namlich der fur m = 0; l = 1:
4 M r cos # fur r < a
4
r
<
2
M (~r ) = 3 M0 a r2 cos # = 43 M0 a3 cos # fur r > a
>
3 0 r
cos #0 =
2
Mit r cos # = z und der Ersetzung m
~ := 4a3 M~ wird dies zu
3
4
ur r < a
M (~r ) = m~3~rM0 z f
f
ur r > a
r
Damit erhalt man fur die Felder im Inneren:
~ M = 4 M~ B~ = H~ + 4M~ = 8 M~
H~ = r
3
3
. . . also homogene Felder. Im Auenraum gilt
~ ~r) m
~
H~ = B~ = 3~r(rm
3
r3 .
Von auen sieht also die Kugel genau wie ein magnetischer Dipol aus. Tatsachlich ist es der einzige
Korper, der homogen magnetisiert diese Eigenschaft besitzt (so wie es auch in der Elektrostatik bei
homogener Ladungsdichte die Kugel war, die nach auen wie ein reiner Monopol wirkte).
Man beachte, da die Normalkomponente des H~ -Feldes an der Kugeloberache aufgrund der eektiven Oberachenladung M \springt", wahrend B~ naturlich quellenfrei ist. Im Inneren der Kugel weisen
H~ und B~ sogar in verschiedene Richtungen!
3
56
Magnetostatik
Kapitel 4
Elektrodynamik
4.1 Gesetze des elektrischen Stromes
4.1.1 Erstes Kirchho-Gesetz
Der Zusammenhang zwischen Leitungsstrom und Stromdichte lautet bekanntlich
Z
Id~l = ~|d3r
) I = ~|dF~ .
F
(4.1)
Das bedeutet nichts anderes, als da man den durch eine Flache F ieenden Gesamtstrom I erhalt,
wenn man uber dieser Flache die Stromdichte ~| integriert (naturlich inclusive cosinus durch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor).
Wir wollen zunachst stationare Strome betrachten, wobei @
@t = 0, woraus uber die Kontinuitatsglei~ ~| = 0 folgt. Schon jetzt ist es moglich, z. B. das erste Kirchho-Gesetz, d. h. die Knotenregel,
chung r
abzuleiten. Wir betrachten eine Stromverzweigung (Abb. 4.1):
!()+,-.
/012345
6789:;<
!()+,-.
/012345
6789:;<
Abbildung 4.1: Eine Stromverzweigung mit Teilstromen und den Grenzachen, durch die sie hindurchtreten
Z
~ ~| = 0 )
r
~|dF~ +
| F {z
I
1
Hierbei wurde der Satz von Gau
I
}
1
@V
~|dF~ =
Z
~|dF~ +
| F {z
I
2
Z
57
V
}
2
r~ ~|dV
Z
~|dF~ = 0
| F {z
I
3
3
}
58
Elektrodynamik
verwendet. Eigentlich mu man sich das Flachenintegral bei der Verzweigung um die gesamte Anordnung
herum gezogen denken. Da aber auerhalb der Leiter kein Strom iet, genugt es, die Flachenstucke Fx
zu betrachten.
4.1.2 Ohmsches Gesetz
Das Ohmsche Gesetz besagt, da zwischen der an einem Leiter angelegten Spannung U und dem durch
sie bewirkten Strom I ein linearer Zusammenhang besteht:
(4.2)
I = UR
Die Proportionalitatskonstante 1=R ist der Kehrwert des elektrischen Widerstandes R. Betrachtet man
einen zylinderformigen Leiter des Querschnittes F und der Lange l, so ergibt sich fur den elektrischen
Widerstand eine Proportionalitat zu l und eine umgekehrte Proportionalitat zu F :
l =) I = U
R = F
(4.3)
F
l
ist dabei als elektrische Leitfahigkeit deniert. Zusatzlich zu den Maxwell-Gleichungen erhalt man
somit eine weitere Materialgleichung:
(4.4)
~| = E~ , oder auch: ji = ik Ek
Das bedeutet, da der Leitfahigkeitstensor im allgemeinen Fall eine anisotrope, raumlich inhomogene
Beziehung ( = (~r )) zwischen Stromdichte und elektrischem Feld vermittelt.
4.1.3 Joulesche Warme
Um zu untersuchen, wie elektrische Energie in Warme umgesetzt wird, betrachten wir die Entladung
eines Kondensators: Ein Kondensator mit der Kapazitat C tragt die Ladung Q. Parallel zu ihm liegt
ein Widerstand R.
!()+,-./0
123456789
:;<!()+,-
Abbildung 4.2: Entladung eines Kondensators uber einen Widerstand. Rechts: Der Entladestrom I
mu durch die Flache hindurch, die die obere Platte vollstandig umschliet.
Bezeichnet man mit U die elektrische Spannung (die Potentialdierenz) zwischen den Kondensatorplatten (oder was immer die ladungstragenden Teile sind | auch der Mensch bildet zusammen mit
der Erde einen Kondensator, der u. U. auf respektable Spannungen aufgeladen sein kann), so gilt laut
Denition der Kapazitat:
(4.5)
Q(t) = C U (t), auerdem ist I (t) = UR(t)
Man stelle sich nun eine geschlossene Flache vor, die eine der Kondensatorplatten vollstandig umschliet
und folglich an einer Stelle von der Zuleitung durchstoen wird (Abb. 4.2 rechts). Wendet man auf das
so erzeugte Volumen V die Kontinuitatsgleichung an, so folgt:
Z
Z
I
@ = r
~ ~| ) @ d3r =
~ ~| d3r =
r
~| dF~ = I
@t
@t V
V
@V
4.2 Lorentz-Kraft und magnetische Induktion
59
R
Mit @t@ d3 r = Q_ erhalt man die bekannte Beziehung
dQ(t) = I (t) = U (t) = Q(t) .
(4.6)
dt
R
CR
Die Losung fur diese Dierentialgleichung lautet oensichtlich
Q(t) = Q0 e t=RC
) U (t) = CQ = U0 e t=RC .
(4.7)
Die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie betragt bekanntlich W = 12 CU 2. Damit erhalt
man die im Widerstand umgesetzte Warmeleistung zu
_
(4.8)
P (t) = W_ = CU dU
dt = U Q = U (t) I (t) .
4.2 Lorentz-Kraft und magnetische Induktion
Die Lorentz-Kraft ist die auf ein Teilchen der Ladung q und der Geschwindigkeit ~v in einem Magnetfeld
B~ ausgeubte mechanische Kraft:
(4.9)
F~ = qc ~v B~
Diese Beziehung ist experimentell ermittelt und kann (bis jetzt noch) nicht aus theoretischen Ansatzen
hergeleitet werden.
Wir werden im folgenden einen ersten Bezug zwischen elektrischen und magnetischen Erscheinungen
aufbauen, und zwar mittels eines Experiments, bei dem sich eine geschlossene Leiterschleife (also ein
Medium, das bewegliche Ladungen enthalt) durch ein nicht notwendigerweise homogenes Magnetfeld
B~ mit der Geschwindigkeit ~v bewegt. Wir nehmen ferner an, da keine elektrischen Felder, also auch
keine rein elektrostatischen Krafte auf das Teilchen existieren (Abb. 4.3).
!()+,-./
01234567
89:;<!()
Abbildung 4.3: Bewegung einer Leiterschleife durch ein Magnetfeld
Das experimentelle Ergebnis ist hier, da man (unter bestimmten Bedingungen) einen Stromu
messen kann. Geht man nun davon aus, da ein Stromu durch ein elektrisches Feld zustande kommt
(genauso war ja das E~ -Feld deniert, namlich uber die Kraft auf eine Probeladung), so kann man
annehmen, da durch die Bewegung der Leiterschleife durch das B~ -Feld ein elektrisches Feld E~ ind
induziert 1 wurde:
(4.10)
=)
F~ = qc ~v B~ = qE~ ind
Dies ist ein auerst wichtiger Punkt: Man kann also in einem Leiter dadurch einen Stromu erzeugen,
da man ihn in einer bestimmten Richtung durch ein B~ -Feld bewegt, namlich so, da ~v B~ uber die
Leiterlange integriert nicht verschwindet (die Integration deshalb, weil sich ja die Spannung, die den
Strom dann zur Folge hat, durch Aufsummieren aller E~ -Feldanteile errechnet). Genauso lat sich sagen,
1 Leider taucht der Terminus \Induktion" sowohl als Bezeichnung f
ur das B~ -Feld auf (magnetische Induktion), als auch
fur die Beschreibung des Vorgangs der Erzeugung elektrischer Felder aus zeitveranderlichen Magnetfeldern. Meist ist aber
klar, was gemeint ist.
60
Elektrodynamik
da man durch die Bewegung ein neues, elektrisches Feld erzeugt hat. Hier nden wir die erste Verbindung von elektrischen und magnetischen Erscheinungen. Auerdem kommt zum ersten Mal Dynamik
in die Sache:
Die Verbindung zwischen elektrischen und magnetischen
Erscheinungen wird von nichtstationaren Vorgangen vermittelt !
Wie gro ist nun die Spannung genau, die den Stromu im Leiter bewirkt? Aus (4.10) folgt durch
Integration entlang der Leiterschleife:
I
I 1 ~
~
Uind = Edl =
~v B~ d~l
@F
@F c
Die Leiterschleife bewegt sich in der Zeit t um den Vektor ~r. Also gilt:
I ~ 1I ~ ~ 1Z ~ ~
1
r
~
~r B dl = c
dl ~r B = c BdA
(4.11)
) Uind t = c
~v = t
@F
@F
A
Im vorletzten Schritt wurde hier das Spatprodukt \durchrotiert". Das letzte Integral wird uber die
Mantelache gezogen, die die Leiterschleife bei ihrer Bewegung uberstreicht | das orientierte Flachenelement von A wird oensichtlich durch dA~ = d~l ~r beschrieben (s. Abb. 4.4).
!()+,-./012
3456789:;<
!
()+,-./0123
Abbildung 4.4: Ein Stuck der Leiterschleife, vergroert. Das Mantelachen-Element ist die Flache,
die d~l und ~r bei der Bewegung der Leiterschleife aufspannen.
Betrachten wir nun die beiden Zeitpunkte t und t + t. Wahrend des kurzen Intervalls hat sich die
Leiterschleife um ~r weiterbewegt. Bildet man aus der eben erwahnten Mantelache und den von der
Leiterschleife eingeschlossenen Flachen vor und nach der Bewegung die Umhullung eines abgeschlossenen
~ B~ = 0:
Volumens V , so gilt wegen r
I
@V
~ A~ = 0 =
Bd
Z
~ A~ +
Bd
Mantel
Z
~ ~
DeckelBdA
Boden
Bei den \Deckel"- und \Boden"-Integralen ist naturlich das Flachenelement dA~ nicht mehr gleich dem
in Abb. 4.4 angegebenen Ausdruck. Dann folgt aus (4.11)
Z
Z
Z
1
1
~
~
~
~
~
~
Uind t = c DeckelBdA = c
BdA
BdA .
Deckel
Boden
Boden
Das Vorzeichen des \Boden"-Integrals wurde hier umgedreht, weil die Orientierung des Normalenvektors
auf Deckel und Boden gleich sein soll. Dann ist namlich der Ausdruck in der eckigen Klammer gleich
der Ableitung des Deckel- (oder Boden-) Integrals nach der Zeit multipliziert mit t. Damit folgt:
@ Z Bd
~ F~
Uind = 1c @t
F
| {z }
=:
4.3 Selbstinduktion und gegenseitige Induktion. Stromkreise
61
Das Integral bezeichnet den magnetischen Flu oder Induktionsu durch die von der Leiterschleife
umschlossene Flache F . Auerdem ist naturlich
I
Z
~ E~ ) dF~ .
Uind = E~ ind d~l Stokes
=
(r
@F
F
Wir erhalten so eine auf nichtstationare Vorgange verallgemeinerte Maxwell- Gleichung:
I
() r~ E~ = 1c @t@ B~
(4.12)
E~ ind d~l = 1c @@t
@F
Diese Gleichung ist auch als das Faraday'sche Induktionsgesetz bekannt. Vor allem die Integralform ist
bei der Berechnung von Induktionsspannungen in symmetrischen Anordnungen nutzlich.
Der uns bisher bekannte Satz von Maxwell-Gleichungen lautet mit dieser Erganzung also (in dierentieller Form):
@ B~
r~ E~ = 1c @t
r~ D~ = 4
(4.13)
4
r~ B~ = 0
r~ H~ = c ~|
4.3 Selbstinduktion und gegenseitige Induktion. Stromkreise
In den folgenden Betrachtungen wird vorausgesetzt, da man es mit quasistationaren Verhaltnissen
zu tun hat. Der Terminus \quasistationar" ist exakt so deniert, da in den vollstandigen MaxwellGleichungen der Verschiebungsstrom (s. Kap. 4.4.1) vernachlassigt, Induktionsvorgange (FaradayGesetz!) jedoch berucksichtigt werden. Eigentlich ist also mit den Gleichungen, die bis jetzt abgeleitet
sind, keine andere als eine quasistationare Elektrodynamik beschreibbar. Furs erste soll jedoch die Veranschaulichung genugen, da in den betrachteten Situationen die Zeit, die das Licht zur Zurucklegung
der Strecke zwischen zwei entfernten Punkten einer Leiteranordnung benotigt, verschwindend klein sein
soll.
Man betrachte nun n Stromkreise, in denen die Strome Ik ; k = 1 : : :n ieen. Sei j der Induktionsu durch die vom j -ten Stromkreis eingeschlossene Flache Fj . Dieser Flu wird erzeugt durch die
Magnetfelder aller anderen Kreise und vom Feld des j -ten Kreises selbst:
n
X
1 = 1 Z Bd
~
~
Ljk Ik
(4.14)
F
=
c j c Fj
k=1
Die Ljk sind dabei Proportionalitatskonstanten. Man bezeichnet Ljj als Selbstinduktivitat des Stromkreises j , und Ljk ; j 6= k, als gegenseitige Induktivitat des j -ten mit dem k-ten Kreis.
Diese Koezienten kann man etwas genauer betrachten. Der von einem bestimmten Stromkreis k
durch sein Magnetfeld Bk im Kreis j bewirkte Induktionsu (das ist einer der Summanden in (4.14))
berechnet sich zu: (keine Summation!)
Z
I
I
I
Ljk Ik = 1c |{z}
= 1c
B~ k dF~j Stokes
d~lj A~ k = c2
d~lk ~ Ik ~
d~lj
Fj
@Fj
@Fk jlj lk j
@Fj
~ ~
=(rA)k
Hier wurde die lineare Antwort eines eventuell vorhandenen Mediums () vorausgesetzt.2 Damit gilt
also fur die gegenseitige Induktion
I I d~lj d~lk
=)
Ljk = Lkj .
(4.15)
Ljk = c2
@Fj @Fk j~lj ~lk j
2
Das ist hier nicht \hineingeschmuggelt" worden. Man betrachte die Maxwell-Gleichung
r~ H~ = 4 ~| .
c
Gilt nun B~ = H~ , so kann man das H~ -Feld eigentlich vergessen und schreibt
r~ B~ = 4 ~| .
c
Also ist das B~ -Feld einfach -mal starker als ohne Material, da die Rotation ein linearer Operator ist.
62
Elektrodynamik
Also ist bei der gegenseitigen Induktion keiner der beiden Stromkreise ausgezeichnet.
Nach den eben angestellten Untersuchungen zu der Wechselwirkung vieler Stromkreise betrachte
man nun wieder n Stromkreise, die diesmal jedoch neben Induktivitaten auch je einen ohmschen Widerstand Rj ; j = 1 : : :n enthalten. Auerdem bende sich in jedem Kreis eine Spannungsquelle, die dort
eine Spannung Uja einpragt (Abb. 4.5).
!()+,-./
01234567
89:;<!()
Abbildung 4.5: Stromkreise mit gegenseitigen und Selbstinduktivitaten, in denen von auen zusatzlich
Spannungen eingepragt sind.
Sei j wieder der Induktionsu durch den j -ten Kreis. Dann gilt die Maschenregel (keine Summation)
Ij Rj = Uja + Uji = Uja 1c _ j .
Dabei ist Uji die im Stromkreis induzierte Spannung (Faraday-Gesetz!). Dann ist wegen (4.14) (keine
Summation uber j !):
n
X
Uja = Ljk dIdtk + Ij Rj
(4.16)
k=1
Man betrachte nun folgende Spezialfalle:
a) n = 1; U a = 0. Dann gilt
=)
I (t) = I0 e tR=L
L dI
dt + IR = 0
Der Quotient R=L heit Zeitkonstante der Anordnung.
b) n = 1; U a = U0 cos !t. Es ergibt sich eine inhomogene Dgl. bekannten Typs.
=)
I = I0 cos(!t ')
(4.17)
(4.18)
Allerdings gilt das erst im eingeschwungenen Zustand (die Losung der homogenen Dgl. ist ja eine
abklingende e-Funktion, siehe a). Dann gilt weiter:
I0 = p 2 U0 2 2 und ' = arctan !L
(4.19)
R
R +! L
Den Wurzelausdruck im Nenner der ersten Gleichung bezeichnet man als Impedanz der gegebenen
R-L-Anordnung. Die Wurzel ist eine \pythagoraische Summe". Man beachte schon hier den Bezug
zu den komplexen Zahlen.
Im allgemeinen Fall schreibt man fur harmonische Vorgange lieber e-Funktionen statt die unhandlichen
sin- und cos-Terme und nimmt dann den Realteil, um zu physikalischen Groen zuruckzukommen:
I (t) = < I~(t) = I0 < ei(!t ')
Die Tilden uber den komplexen Wechselgroen werden im folgenden weggelassen, wenn klar ist, da es
sich um solche handelt.
4.3 Selbstinduktion und gegenseitige Induktion. Stromkreise
63
Hinweis: In der Literatur herrscht Uneinigkeit uber das bei der Maschenregel zu verwendende Zahlpfeilsystem. Wir setzen hier die Summe aller Spannungen im Maschenumlauf gleich Null. Die Richtung,
in der die Spannungspfeile in der Masche eingetragen werden, ist eigentlich egal, wenn man nur eine
einheitliche Konvention uber die Polaritaten trit | z. B. da ein Pfeil immer vom positiven zum negativen Pol einer Spannungsquelle geht (bei Wechselspannungen ist sogar das irrelevant, hier bewirkt das
Umdrehen des Zahlpfeiles eben eine Phasendrehung um ). Bei den Verbrauchern, die ja keine Pole im
Sinne einer Spannungsquelle haben, kann man den Pfeil in der Tat irgendwie antragen. Beim Umlauf
in der Masche werden nun die Spannungen negativ gezahlt, deren Pfeile entgegen der Umlaufrichtung
(die mit der Stromrichtung ubereinstimmen sollte) zeigen. Im Lauf der Rechnung ergeben sich dann
automatisch die richtigen Polaritaten, bezogen auf die gewahlte Richtung der Zahlpfeile.
Man kann nun noch einen Schritt weiter gehen und einen Stromkreis betrachten, der ohmsche,
induktive und kapazitive Elemente enthalt, zusammen mit einer eingepragten Spannung U a (Abb. 4.6).
!()+,./0123
456789
Abbildung 4.6: R, L, C und U a bilden einen gedampften Schwingkreis mit auerer Anregung.
Auch hier fuhrt die Maschenregel auf eine bekannte lineare Dierentialgleichung, diesmal jedoch von
zweiter Ordnung:
c
a
(4.20)
L dI
dt + IR = U U
Mit I = C dUdtc aus Gl. (4.5) wird dies zu
c
d2 U c = U a .
U c + RC dU
+
LC
dt
dt2
Aus dieser einfachen Dierentialgleichung bekommt man nun eine sehr leistungsfahige Methode zur
Berechnung von Wechselstromkreisen. Wir nehmen an, die Erregerspannung sei harmonisch in der Zeit:
U a (t) = U0 ei!t
=)
I (t) = I0 ei(!t ')
Dies ergibt sich aus der Losung der inhomogenen Dgl. fur U c , das ja mit I nur uber eine Ableitung
verknupft ist (s.o.). Also besteht zwischen der Erregerspannung und dem Strom im Kreis eine Phasenverschiebung. Eingesetzt in die Dgl. ergibt sich (dank der harmonischen Zeitabhangigkeiten | man
beachte die komplexen Groen)
~U a = RI~ + i!LI~ iI~ = R~ I~ , mit R~ = R + i !L 1
(4.21)
!C
!C .
Also ein Ohmsches Gesetz, nur jetzt mit komplexen Wechselgroen und einem komplexen Widerstand
R~ . R~ vermittelt durch sein Argument die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung, wie dies
durch (4.21) zum Ausdruck kommt.
Man sieht hier sofort, da bei fehlendem ohmschem Anteil in R~ die Phasenverschiebung genau =2
betragt, denn dann ist R~ rein imaginar. Den Betrag jR~ j nennt man Impedanz, wie oben beim Spezialfall
\RL" bereits erwahnt.
Da sich R = <(R~) nicht andern kann, erhalt man genau dann minimale Impedanz, d. h. grotmoglichen Eektivstrom, wenn j=(R~ )j minimal ist, d. h. wenn
1 (Resonanzbedingung).
(4.22)
!2 = LC
64
Elektrodynamik
Mit Hilfe dieser komplexen Widerstande lat sich das Verhalten von Schaltungen mit induktiven, kapazitiven und ohmschen Elementen genauso leicht berechnen, als hatte man es nur mit ohmschen Groen
zu tun. Man setzt einfach die komplexen Werte in die bekannnten Ohmschen und Kirchhoschen Gesetze ein und bildet zum Schlu z. B. den Betrag, um Spannungsverhaltnisse zu berechnen bzw. bestimmt
die Phase, um Verschiebungen festzustellen. Das Verhaltnis von Eingangs- zu Ausgangsspannung, und
deren Phasenverschiebung lat sich so in Schaltungen wie der in Abb. 4.7 leicht berechnen (siehe auch
[13, Kap. 8]).
!()+,-./
01234567
89:;<!()
Abbildung 4.7: Ein RLC -Netzwerk, bei dem Eingangs- und Ausgangsspannung phasenverschoben sind.
Das eben Gesagte lat sich naturlich auch | wie eingangs bei den einfacheren Schaltungen auch
beschrieben | auf beliebig viele induktiv gekoppelte Stromkreise erweitern, es ergeben sich dann eben
Systeme von gekoppelten Dierentialgleichungen. Die zu (4.20) analoge Gleichung lautet dann fur den
j -ten Stromkreis analog (keine Summation uber j !):
n
X
k=1
Ljk dIdtk + Rj Ij = Ujc + Uja
Es gibt n Kreise, also hat man ein System von n gekoppelten, linearen, inhomogenen Dierentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koezienten.
4.4 Maxwell-Gleichungen und Erhaltungssatze
4.4.1 Der Maxwell-Term: Verschiebungsstrom
~ H~ in (4.13) noch einmal genauer. Aus ihr folgt durch Bildung der
Man betrachte die Gleichung fur r
Divergenz
r~ ~| = 4c r~ (r~ H~ ) = 0 .
~ ~| = @
Dies widerspricht aber der Kontinuitatsgleichung, die ja r
@t lautet. Man beachte hierzu auch
noch einmal Abb. 4.2 rechts. Dort wird der Sachverhalt unmittelbar deutlich.
Oensichtlich \fehlt" etwas in der eben erwahnten Maxwell-Gleichung. Es gilt nun:
~ D~ ) @ = 1 r
~@~
4 = r
@t 4 @t D
=)
1 @~ !
~
r~ ~| + @
@t = r ~| + 4 @t D = 0
Man kann also in der unvollstandigen Maxwell-Gleichung die Stromdichte ~| durch einen Term erweitern,
der proportional zu @t@ D~ ist, und so einen Ausdruck gewinnen, dessen Divergenz tatsachlich immer verschwindet. Der fehlende \Maxwell-Term" (dieser Term war es, der den Maxwell-Gleichungen erst ihren
gemeinsamen Namen verlieh) hat die Dimension einer Stromdichte. Fur ihn hat sich die ungluckliche Bezeichnung Verschiebungsstrom eingeburgert (s. auch [9] und [13, Kap. 9]). Damit lautet die vollstandige
Maxwell-Gleichung
@ D~ .
r~ H~ = 4c ~| + 1c @t
(4.23)
Um zu verizieren, da die Einfuhrung des Verschiebungsstromes auch wirklich Sinn macht, testen
wir die neue Maxwell-Gleichung anhand einer genaueren Untersuchung des zu Abb. 4.2 auf Seite 58
gehorenden Beispiels.
4.4 Maxwell-Gleichungen und Erhaltungssatze
65
Dort erhielten wir fur den Stromu im Leiter folgende Zeitabhangigkeit:
I (t) = I0 e t=RC = UR0 e t=RC
Die Kondensatorplatten haben die Flache A und den Abstand d. Wir sehen den Kondensator als ideal
an, d. h. Streufelder werden nicht berucksichtigt (der Abstand der Platten ist genugend klein) und das
Feld im Inneren soll homogen sein. Da sich das Ganze im Vakuum abspielt, ist E~ = D~ und B~ = H~ . Fur
die elektrische Feldstarke gilt dann
U0 e t=RC .
E~ (t) = ~ez Ud(t) = ~ez Ud0 e t=RC , und damit D~_ = E~_ = ~ez dRC
Auerhalb des Kondensators ist sowohl der Verschiebungsstrom als auch der Leitungsstrom Null. Trotzdem kommt es darauf an, auf welche Weise man das entstehende Magnetfeld um den Leiter berechnet.
Wir unterscheiden zwei Falle, die zum gleichen Ergebnis fuhren sollten:
!()+,-./01
23456789:;
<!()+,-./0
123456789:
Abbildung 4.8: Ein Kondensator wird entladen. Das Magnetfeld um den Leiter kann mit dem Satz von
Stokes auf zwei Arten berechnet werden. Der Verschiebungsstrom stellt die Gleichheit
der Ergebnisse sicher.
i) Berechnung durch Anwendung des Stokesschen Satzes auf die Gleichung
r~ B~ = 4c ~| .
Der Verschiebungsstrom verschwindet, wenn man die Integrationsache auerhalb des Kondensators wahlt (Abb. 4.8 links). Es gilt (die Normalenrichtung auf die Flache F1 wird in Richtung des
Stromusses gewahlt):
Z
Z
~r B~ dF~ = 4 ~| dF~ = 4 I (t)
c
c
F
F
1
1
ii) Die zweite Moglichkeit besteht darin, die Integrationsache durch den Kondensator zu legen
(Abb. 4.8 rechts). Hier verschwindet der Leitungsstrom, und es ist
r~ B~ = 1c E~_
zu integrieren:
Z
Z
AU0 e t=RC = 4 I (t) ,
r~ B~ dF~ = 1c @t@ E~ dF~ = 1c dRC
c
F
F
2
2
wegen I0 = U0 =R und C = A=4d. Das Minuszeichen aus der Zeitableitung wird durch das dem
Normalenvektor entgegen gerichtete E~ -Feld kompensiert.
66
Elektrodynamik
Die beiden Ansatze fuhren also zum gleichen Ergebnis. Ware der Verschiebungsstrom nicht in den
Maxwell-Gleichungen enthalten, so ergabe sich hier (wie schon oben im allgemeinen Fall) ein Widerspruch! Naturlich funktioniert das fur jeden beliebigen Stromverlauf I (t).
Nunmehr konnen die jetzt wirklich kompletten Maxwell-Gleichungen aufgeschrieben werden:
r~ E~ = 1c @t@ B~
~ D~ = 4
r
(4.24)
~ B~ = 0
r
~r H~ = 4 ~| + 1 @ D~
c
c @t
Und die Materialgleichungen fur Medien mit linearer Antwort lauten:
D~ = E~ B~ = H~
~| = E~
(4.25)
Mit diesem vollstandigen Satz von Gleichungen hat man das Rustzeug fur die klassische Elektrodynamik in der Hand.
Auf geht's.
4.4.2 Potentiale. Eichungen II
Die Maxwell-Gleichungen enthalten sechs Variable (E~ ; B~ ), die zu ihrer vollstandigen Losung zu berechnen sind. Im folgenden wird gezeigt, da dieses Gleichungssystem uberbestimmt ist, und da zur
Beschreibung der Elektrodynamik, d. h. zur Festlegung aller Felder, vier Variablen in zwei Gleichungen
genugen.
~ B~ = 0 folgt bekanntlich: 9A~ : r
~ A~ = B~ . Eingesetzt in die Maxwell-Gleichung fur r
~ E~
Aus r
ergibt das:
~r E~ + 1 @ (r
~
~ A~ ) = r
~ E~ + 1 @ A~ = 0 =) 9 : E~ + 1 @ A~ = r
c @t
c @t
c @t
~ 1 @ A~
=)
E~ = r
(4.26)
c @t
Man beachte, da hier genau dann das gewohnte Skalarpotential aus der Elektrostatik darstellt, wenn
man es mit stationaren Vorgangen zu tun hat. Insofern ist der erste Term auf der rechten Seite als
\elektrostatischer", der zweite als \induktiver" Anteil des E~ -Feldes zu bezeichnen.
Wir betrachten jetzt nur die Situation im Vakuum, also ist = = 1 ) D~ = E~ und B~ = H~ .
Dann folgt mit (4.26) aus
@ (r
~ A~ ) = 4 .
~rE~ = 4 ) r
~ r
~ + 1 @ A~ = 4
=)
+ 1c @t
(4.27)
c @t
Das ist die erste der erwahnten Gleichungen. Die vier Variablen stecken in und A~ . Nun geht es noch
darum, B~ zu eliminieren. Von Maxwell wei man
2
~ B~ 1 @ E~ = 4 ~| , und nach (4.26) ist @ E~ = r
~ @ 1 @ 2 A~ .
r
| {z } c @t
c
@t
@t c @t
~ r
~ A~ =r
~ (r
~ A~ ) A~
=r
Das alles eingesetzt ergibt die zweite gesuchte Gleichung:
4
2
1
@
@
1
~
~
~
~
~
A c2 @t2 A r rA + c @t = c ~|
(4.28)
Also hat man die vier Maxwell-Gleichungen (gekoppelte partielle Dgl. erster Ordnung) auf zwei gekoppelte inhomogene partielle Dgl. zweiter Ordnung
@ (r
~ A~ ) = 4
(A)
+ 1c @t
4.4 Maxwell-Gleichungen und Erhaltungssatze
67
@ 2 A~ r
~ A~ + 1 @ = 4 ~|
~ r
A~ c12 @t
(B)
2
c @t
c
reduziert und damit gleichzeitig die Elektrodynamik auf den Potentialen A~ und aufgebaut, statt
auf den realen, physikalischen Feldern E~ und B~ . Da aber die Felder Ableitungen der eben erwahnten
Potentiale sind, hat man bei diesen gewisse Freiheiten:
Elektromagnetische Felder sind eichinvariant !
Was das genau bedeutet, wird im folgenden klar.
Es ware ja beispielsweise wunschenswert, wenn die beiden eben abgeleiteten Dierentialgleichungen
~ A~ folgt,
entkoppelt waren. Und genau das ist durch die Eichinvarianz moglich geworden. Aus B~ = r
~
~
wie bereits in Abschnitt 3.1.4 erwahnt, da B unverandert bleibt, wenn man zu A den Gradienten einer
~ , mit = (~r; t). Da in der Gleichung (4.26) fur E~
skalaren Funktion addiert: A~ ! A~ 0 = A~ + r
das Vektorpotential vorkommt, gilt also fur das E~ -Feld:
~ 0 1 @ A~ 1 @ r
~= r
~ 0 + 1 @ 1 @ A~
~E ! E~ 0 = r
~ 0 1 @ A~ 0 = r
c @t
c @t
c @t
|
{zc @t } c @t
=
!
Damit sich das E~ -Feld bei der erwahnten Transformation fur A~ | so wie B~ | nicht andert, mu der
Klammerausdruck gleich sein. Das impliziert die folgende Transformation fur :
@
! 0 = 1c @t
(4.29)
Eichung bedeutet also, die Potentiale, aus denen die Felder abgeleitet werden, so zu \verbiegen", da
sich E~ und B~ nicht andern. Wie (4.29) zeigt, hangen dabei die Eichungen von und A~ voneinander ab.
Der Sinn des Ganzen ist nun, diese Freiheiten so auszunutzen, da in der aktuellen \mathematischen Situation" die Gleichungen moglichst einfach werden. Man beachte, da noch uberhaupt nicht
speziziert ist | jedes Skalarfeld ist geeignet. Dadurch sind noch alle Moglichkeiten oen, denn in den
bisherigen Erorterungen ist noch uberhaupt keine besondere Forderung an gestellt worden!
Lorentz-Eichung So stort zum Beispiel der Klammerterm in Gleichung (B). Gibt es also ein , so
da diese Klammer verschwindet? Die Bedingung lautet:
2
1 @ r
@ =! 0
~ A~ = 12 @ 2 r~ A~ + 1c @t
=)
(4.30)
c @t
c @t
Setzt man diesen Ausdruck direkt in Gleichung (A) ein, so ergibt sich
@ 2 = 4 .
c12 @t
(4.31)
2
Das ist oensichtlich eine inhomogene Wellengleichung fur , die A~ nicht enthalt. Man beachte, da
durch das Wegfallen des Klammerterms auch (B) zu einer inhomogenen Wellengleichung, und zwar fur
A~ , wird:
@ 2 A~ = 4 ~|
A~ c12 @t
(4.32)
2
c
Trotz allem ist noch immer nicht bestimmt. Man betrachte noch einmal die Bedingung (4.30). Sie
gilt ja fur die neuen, bereits geeichten Potentiale. Versieht man diese Potentiale mit einem Strich, die
\alten" jedoch nicht, so lautet (4.30):
@ 1 @2 r~ A~ 0 + 1c @t@ 0 = 0 = r~ A~ + + 1c @t
c2 @t2
68
Elektrodynamik
Hier wurde Gleichung (4.29) verwendet. Es folgt unmittelbar
@2 = r
~ A~ + 1 @ .
(4.33)
c12 @t
2
c @t
Das ist also die Bedingung, der gehorchen mu. Es handelt sich abermals um eine inhomogene
Wellengleichung, bei der die Inhomogenitat aus einem Ausdruck besteht, der die alten, \ungeeichten"
Potentiale A~ und enthalt. Gleichung (4.33) heit auch Lorentz-Bedingung, und die Forderung (4.30)
heit Lorentz-Eichung. Durch diese Manahmen bewirkt man also eine Entkopplung der Gleichungen
(A) und (B) und erhalt zwei inhomogene Wellengleichungen fur die Potentiale und A~ , namlich (4.31)
und (4.32). Man beachte, da man hier ganz nebenbei die Existenz elektromagnetischer
=)
Wellen vorausgesagt hat, denn die Wellengleichungen drucken ja nichts anderes aus, als
da die betroenen Felder Wellencharakter besitzen.
Erwahnenswert ist noch, da im Spezialfall stationarer Verhaltnisse die Lorentz-Bedingung oensichtlich zu einer Poisson-Gleichung wird:
@
@
~ A~
=)
= r
@t = @t = 0
Seien nun die Potentiale A~ und so beschaen, da sie schon der Lorentz-Eichung unterliegen,
~ A~ + 1c @t@ = 0. Die Frage ist dann, ob es immer noch moglich ist, eine Skalare Funktion zu
d. h. r
nden, mit der diese Potentiale geeicht werden konnen, ohne da sich die Felder andern. Aus (4.33)
folgt unmittelbar, da genau dann die Forderungen erfullt, wenn es einer homogenen Wellengleichung
gehorcht:
@2 = 0
(4.34)
c12 @t
2
Eine Eichung unter Verwendung dieses nennt man eingeschrankte Eichtransformation, denn man
beschrankt sich ja auf solche , die der Bedingung (4.34) genugen.
Coulomb-Eichung Bereits in Abschnitt 3.1.4 wurde die Coulomb-Eichung vorgestellt, die an das
~ A~ 0 = 0 stellt. Fur das Eichfeld ist dann eine Poisson-Gleichung
neue Vektorpotential die Forderung r
~
~
~
zu losen: = rA (dieses A ist jetzt das alte, ungeeichte Vektorpotential). Zieht man wieder die
~ A~ = 0 ein, so gewinnt man aus (A) die BestimGleichungen (A) und (B) zu Rate und setzt dort r
mungsgleichung fur :
@ (r
~ A~ ) = 4 ^ r
~ A~ = 0 =) = 4 .
+ 1c @t
(4.35)
Bekannterweise lautet die Losung fur diese Poisson-Gleichung
Z (~r 0; t)
(4.36)
(~r ) = j~r ~r 0 j d3 r0 .
Gleichung (B) wird unter der Coulomb-Eichung zu einer inhomogenen Wellengleichung fur A~ :
@ 2 A~ = 4 ~| + 1 r
~@
A~ c12 @t
(4.37)
2
c
c @t Dies kann man noch etwas vereinfachen. Es lat sich namlich zeigen, da ein bestimmter Anteil der
Stromdichte ~| den -Term auf der rechten Seite kompensiert. Dazu zeigt man zunachst, da sich jedes
Vektorfeld ~|(~r; t) in einen quellenfreien und einen wirbelfreien Anteil aufspalten lat:
Z ~ r0~|(~r 0; t)
Z r~ r0 ~|(~r 0; t)
3r0 + 1 r
3 0
~ r
~
(4.38)
~|(~r; t) = 41 r
d
0j
0j d r
j
~
r
~
r
4
j
~
r
~
r
{z
} |
{z
}
|
=~|l
=~|t
4.4 Maxwell-Gleichungen und Erhaltungssatze
69
Den ersten Summanden auf der rechten Seite nennt man den longitudinalen Anteil ~|l , den zweiten den
transversalen Anteil ~|t des Feldes ~|. Oensichtlich gilt wie gefordert
r~ ~|t = 0 ^ r~ ~|l = 0 .
Zum Beweis von (4.38) betrachte man die Vektoridentitat
~ A~
r~ r~ A~ = r~ r
A~ ,
die fur jedes freundliche Vektorfeld A~ gilt. Dann ist also
Z ~|(~r 0; t) Z ~|(~r 0; t) Z ~|(~r 0; t)
3 0
3 0
3 0
~ ~
~r r
~
j~r ~r 0j d r = r r j~r ~r 0 j d r j~r ~r 0 j d r =
1 Z
Z r~ r0~|(~r 0; t)
Z
p:I:
3
0
0
0
3
0
0
~
~
~
= r ~|(~r ; t)rr0 j~r ~r 0 j d r + ~|(~r ; t) 4 (~r ~r ) d r = r j~r ~r 0j d3r0 + 4~|(~r; t) ,
was zu beweisen war. Hierbei wurde die Identitat j~r 1~r 0 j = 4 (~r ~r 0 ) benutzt. Um nun die
gewollte Vereinfachung zu erhalten, schreibt man ~|l etwas um, indem man die Kontinuitatsgleichung
@
~
@t + r~| = 0 einsetzt:
Z (~r 0; t)
Z @ (~r 0; t)
1
1
@
3
0
@t
~
~
~ @
~|l = 4 r j~r ~r 0 j d r = 4 r @t j~r ~r 0 j d3r0 = 41 r
@t
Der letzte Schritt verwendet dabei die Losung fur aus der Coulomb-Eichung (Gl. (4.36)). Damit gilt:
1r
4
~@
c @t = c ~|l . (4.37) wird so zu
@ 2 A~ = 4 ~| ,
(4.39)
A~ c12 @t
2
c t
da sich der longitudinale Anteil der Stromdichte mit dem -Term veruchtigt.
Betrachtet man nun den Fall verschwindender Strom- und Ladungsdichte, also ~| = 0; = 0, so ist
= 0 und fur A~ gilt wieder eine homogene Wellengleichung:
@ 2 A~ = 0
A~ c12 @t
2
Arnowitt-Fickler-Eichung In manchen Fallen mag es wunschenswert erscheinen, das Vektorpoten-
tial A~ so zu eichen, da eine Komponente, z. B. Az , verschwindet. Dies bezeichnet man als die ArnowittFickler- oder axiale Eichung. Im allgemeinen Fall ist es dann moglich, das A~ -Feld so zu wahlen, da
~ n = 0. Der Einfachhheit halber beschranken
es zu einem beliebigen Normalenvektor ~n orthogonal ist: A~
wir uns hier auf die Elimination der z -Komponente, denn durch eine Drehung des Koordinatensystems
ist der erwahnte allgemeine Fall dann stets erreichbar.
~ die
Man sucht also ein Skalarpotential , so da unter der Transformation A~ ! A~ 0 = A~ + r
~
z -Komponente von A verschwindet. Dazu mu der Gradient von die z -Komponente Az haben. Man
setzt also
Zz
:=
Az (x; y; z 0) dz 0 .
(4.40)
0
Fur die dadurch erzwungene Transformation fur gilt dann wieder (4.29).
4.4.3 Mikroskopische und makroskopische Maxwell-Gleichungen
Wenn auch die Maxwell-Gleichungen durch die Einbeziehung von elektrischer und magnetischer Polarisation bereits die Vorgange in Materie beschreiben konnen, bleibt doch die Frage, ob die makroskopischen Gleichungen (4.24) auch wirklich durch einen geeigneten Mittelungsproze aus den mikroskopischen, leichter beherrschbaren Verhaltnissen hervorgehen. Mikroskopisch gibt es nur die physikalischen
Felder ~e und ~b (wir bezeichnen zur Unterscheidung diese Felder mit kleinen Buchstaben). Die Hilfsgroen d~ und ~h treten nicht auf, da in genugend kleinen Dimensionen alle Dipolmomente als aus freien
70
Elektrodynamik
Ladungen zusammengesetzt zu betrachten sind. Der Mittelungsproze einer beliebigen Funktion F ist
zu verstehen als raumliche Faltung mit einer geeigneten Testfunktion f (~r ):
Z
hF (~r; t)i := f (~r 0 )F (~r ~r 0 ; t) d3r0
R
Die Testfunktion mu dabei die Bedingung f (~r ) d3r = 1 erfullen (vgl. entsprechende Situation in der

Quantenmechanik). Ublicherweise
wahlt man etwas in der Art von
f (~r ) = (R) 3=2e r =R ,
aber solange der Bereich, in dem f wesentlich von 0 verschieden ist (im Beispiel R), gro gegenuber
typischen Molekulabmessungen ist, ist es eigentlich egal, wie diese Funktion genau aussieht. Man leitet
leicht die folgenden Beziehungen ab:
@F (~r; t) D~
E
@
h
F
(
~
r
;
t
)
i
~r hF (~r; t)i = r
F (~r; t)
@t =
@t
Die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen lauten nun:
~ ~e = 1 @ ~b
r
r~ ~e = 4
c @t
(4.41)
4
@
1
r~ ~b = 0
r~ ~b = c ~| + c @t ~e
Die Funktionen und ~|~ stellen die mikroskopische Ladungs- und Stromdichte dar.
Bei den beidenDhomogenen
Gleichungen gibt es mit der Mittelung keine Schwierigkeiten, denn es ist
E
E~ = h~ei und B~ = ~b , also gilt
2
r~ B~ = 0
2
r~ E~ = 1c @t@ B~ .
Probleme bereitet die Mittelung von und ~|. Es lat sich zeigen, da folgende Beziehungen erfullt sind
(siehe [9, Kap. 6.7]):
D~ E
~ M~ + 1 @ D~ @ E~
h(~r; t)i = (~r; t) r~ P~
|(~r; t) = ~|(~r; t) + cr
4 @t
@t
Zusammen mit den Denitionen fur D~ und H~ aus den Materialgleichungen (4.25) bekommt man durch
einsetzen die bekannten Gleichungen
~ H~ = 4 ~| + 1 @ D~
r~ D~ = 4
r
c
c @t
zuruck. Die Sache funktioniert also.
4.4.4 Energie- und Impulserhaltung
a) Der Energiesatz
Bisher haben wir nur in der Elektrostatik Aussagen uber den Energiegehalt des elektrischen Feldes gemacht. Gesucht ist jetzt ein allgemeines Gesetz uber die Energieerhaltung (oder besser: den Energieu)
in elektromagenetischen Feldern. Wir gehen aus von der elektromagnetischen Kraft auf ein geladenes
Teilchen:
(4.42)
F~ = q E~ + 1c ~v B~
Die verbratene Leistung ergibt sich dann zu jedem Zeitpunkt mit
N = ~v F~ = q~vE~ = ~|E~ ,
4.4 Maxwell-Gleichungen und Erhaltungssatze
71
das bedeutet, da das Magnetfeld keine Arbeit am Teilchen verrichtet. Die gesamte in einem Volumen
V umgesetzte Leistung ist dann gleich
Z
Z 1
@
3
0
~
~
~
~
~
~
~|E d r = 4
cE (r H ) E @t D d3r0 .
V
V
Nun ist
~ H~ ) = H~ (r
~ ~ ~ ~ ~
E~ (r
| {z E}) r(E H ) ,
=
@
c @t
1
B~
Z 1
@
@
3
0
~
~
~
~
~
~
~
~
~|E d r = 4
(4.43)
cr(E H ) + E @t D + H @t B d3r0 .
V
V
Mit den freundlichen Annahmen der Linearitat, Homogenitat und Isotropie des Mediums ist dann
@ D~ = 1 @ (E~ D~ )
~ @ B~ = 1 @ (H~ B~ ) .
H
E~ @t
2 @t
@t
2 @t
An dieser Stelle deniert man die Energiedichte zu
w := 81 (E~ D~ + B~ H~ ) ,
(4.44)
und (4.43) wird zur Energie-Bilanzgleichung
Z
Z @w c
~ (E~ H~ ) d3r0 =
~|E~ d3r0 .
(4.45)
r
+
@t
4
V
V
Das mu fur jedes beliebige Volumen V gelten. Also gilt auch die Dierentialgleichung
@w + r
~ S~ = ~|E~ ,
(4.46)
@t
mit der Denition
(Poynting-Vektor) .
S~ = 4c E~ H~
Gleichung (4.46) ist von zentraler Bedeutung. Sie sagt aus, da die Quellen und Senken der Energiestromdichte S~ an Orten veranderlicher Energiedichte liegen und/oder an Orten, wo Leistung durch
Bewegung von Ladung gegen einen Widerstand aufgebracht wird (Joulesche Warme!).
und damit
Z
b) Der Impulssatz
Um ein analoges Gesetz fur den Impuls aufzustellen, geht man wieder von (4.42) aus und berucksichtigt
F~ = ~p_ . Dann gelangt man durch Integration uber ein Volumen V zu
@~p = Z E~ + 1 ~| B~ d3r0 .
(4.47)
@t V
c
Da man Ladung und Geschwindigkeit durch Strom- und Ladungsdichten ersetzt hat, steht im Integranden rechts eine Kraftdichte. Wir betrachten im folgenden nur die Situation im Vakuum, d. h. = = 1.
Dann gilt
)
~E~
= 41 r
1
1
@
1
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
=) E + c ~| B = 4 E rE + c B @t E B (r B ) .
~ B~ 1c @t@ E~
~| = 4c r
Mit
1 B~ @ E~ = 1 @ (E~ B~ ) + 1 E~ @ B~
c
@t
c @t
c
@t
|{z}
~ E~ )
= c(r
72
Elektrodynamik
~ B~ zu addieren, bekommt man also schlielich
und dem Trick, 0 = B~ r
~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 @ ~ ~
E~ + 1c ~| B~ = 41 E~ r
E + B rB E (r E ) B (r B ) 4c @t (E B ) . (4.48)
Der Vektor
1 (E~ B~ )
~g := 4c
heit elektromagnetische Impulsdichte. Der Grund fur diese Bezeichnung wird spater klar. Wie man
sieht, entspricht ~g im Vakuum dem Poynting-Vektor dividiert durch c2. Den Rest von (4.48) kann man
weiterverarbeiten, wenn man die Beziehung
h~~ ~ ~ ~ ~ i @ ArA A (r A) i = @x Ai Ak 12 A~ 2 ik
k
verwendet (Einstein-Konvention!). Der Klammerausdruck stellt oenbar einen Tensor zweiter Stufe dar.
Wir denieren den Maxwellschen Spannungstensor zu
1
1
2
2
~
~
Tik = 4 Ei Ek + Bi Bk 2 (E + B )ik .
Dann gilt, wenn man den Impuls in (4.47) als mechanischen Impuls ~pmech auffat,
!
@ p~ + Z g(~r; t) d3r = Z @ T d3r = I T n dF .
ik k
@t mech | V {z } i V @xk ik
@V
(4.49)
=~pF eld
Der letzte Ausdruck gibt also dann die Kraft an, die insgesamt auf den Rand des betrachteten Volumens
ausgeubt wird. Damit ist der Impulserhaltungssatz fur elektromagnetische Felder hergeleitet. Er besagt
insbesondere, da jedem elektromagnetischen Feld ein Impulsgehalt ~pFeld zuzuordnen ist. Folglich ist
es prinzipiell moglich, mit Hilfe solcher Felder Materie zu bewegen (Strahlungsdruck!).
4.5 Transformationseigenschaften der Felder
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Eigenschaften der elektromagnetischen Felder und Quellen
unter
Drehungen
Spiegelungen
Zeitumkehr.
Als Anwendung fur die abgeleiteten Gesetze wird dann der Hall-Eekt herhalten.
4.5.1 Drehungen
Die Drehung eines Vektors um eine bestimmte Achse soll die Eigenschaft besitzen, da die Lange des
Vektors unverandert bleibt. Allein aus dieser Forderung lat sich die zentrale Bedingung dafur herleiten,
da eine Matrix eine Drehmatrix ist. Sei ~v = (v1 ; v2; v3) ein Vektor und R eine Matrix. Fur die
Transformation
v0 = R v
soll dann also j~v 0j = j~vj gelten:
j~v 0j2 = v0 v0 = R v R v = RT
R v v =! v v )
Also lautet die Bedingung an R Orthogonalitat :
RT = R
1
RT R =! 4.5 Transformationseigenschaften der Felder
73
Mit dem Determinantensatz bekommt man
det RT R = det RT det R = 1 ) det R = 1 .
Fur det R = 1 nennt man die Drehung eigentlich, fur det R = 1 uneigentlich, es handelt sich dann um
eine mit einer Spiegelung verknupfte Drehung.
Wie verhalten sich nun verschiedene Objekte unter Drehungen? Zunachst ist es oensichtlich, da
Skalare unter Drehungen invariant sind. Komplizierter wird es mit dem Kreuzprodukt. Sei A~ = B~ C~ ,
also
A = " B C .
Was passiert mit A~ , wenn B~ und C~ einer Drehung unterworfen werden? Es gilt
A~ 0 = B~ 0 C~ 0 ) A0 = " R B R C = " R B R C R R .
Dabei wurde unter Verwendung der Orthogonalitat von R einfach eine Einheitsmatrix hinten angehangt.
Nun mu man die spezielle Darstellung der Determinante
det R = " R1R2R 3 ) " det R = " RR R
benutzen. Durch sie bekommt man dann
A0 = det RR A ,
und dieses Ergebnis besagt, da sich Kreuzprodukte unter eigentlichen Drehungen ganz normal verhalten, unter uneigentlichen Drehungen aber die zugehorige Spiegelung einfach nicht \mitmachen". Solche
Vektoren heien Pseudovektoren. Durch die Determinante der Drehmatrix wird jede eventuell in der
Drehung enthaltene Spiegelung wieder eliminiert: Pseudovektoren sind invariant unter Spiegelungen.
4.5.2 Raumliche Spiegelung
Hierzu ist das meiste bereits bei den Drehungen abgehandelt worden. Die einer reinen Spiegelung
zugeordnete Transformationsmatrix hat nur Diagonalelemente; sie sind alle vom Betrag 1, wobei eine
ungerade Anzahl (also eines oder alle drei) von ihnen negativ ist. Dann ist also det R = 1. Unter
Spiegelungen wird der Unterschied zwischen Vektoren (auch polare Vektoren) und Pseudovektoren (auch
axiale Vektoren) deutlich:
a) polare Vektoren: ~v ! ~v 0 = ~v
b) axiale Vektoren: A~ ! A~ 0 = A~
Auch bei Skalaren gibt es eine Unterscheidung in Skalare und Pseudoskalare, je nachdem, ob bei Spiegelungen das Vorzeichen bleibt oder sich andert. Demnach ist A~ B~ ein Skalar, falls A~ und B~ Vektoren
sind. Hingegen ist A~ (B~ C~ ) ein Pseudoskalar: er andert unter raumlicher Spiegelung der drei Vektoren
A~ , B~ und C~ sein Vorzeichen.
4.5.3 Zeitumkehr
Zeitumkehr bedeutet die Inversion der Zeitachse: t ! t0 = t. Es ist klar, da sich dabei der Ortsvektor
~r = (x; y; z ) nicht andert, wohl aber seine zeitliche Ableitung: ~v = @t@ ~r ! ~v 0 = ~v .
Wir untersuchen nun die Felder in den Maxwell-Gleichungen fur Vakuum auf ihr Verhalten unter
raumlicher Spiegelung und Zeitumkehr. Zunachst betrachte man
r~ E~ = 4 .
74
Elektrodynamik
~ ein polarer Vektor ist, mu E~ ein polarer Vektor sein. Das Verhalten von E~
Da ein Skalar und r
unter Zeitumkehr ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungsgleichung:
m~r = qE~
Oensichtlich ist ~r invariant (gerade) unter Zeitumkehr, also auch E~ .
Die Fludichte B~ ist ein axialer Vektor, wie sich aus
1@
r
|~ {z E~} = c @t B~
axial
~ E~ ist axial. Auerdem ist B~ oenbar ungerade bezuglich Zeitumkehr, denn r
~ E~
ergibt, denn auch r
ist gerade | die Zeitableitung mu durch ein weiteres Minuszeichen kompensiert werden.
In unserer Betrachtung fehlt noch der Vektor ~|. Aus
r
B~} = 4c ~| + 1c @t@ E~
|~ {z
| {z }
polar
polar
erhalt man ~| als polar und ungerade unter Zeitumkehr. Tabelle 4.1 enthalt eine Zusammenfassung der
Ergebnisse. Abgesehen von den vier hier betrachteten Groen lassen sich auch noch andere (z. B. der
Groe
Art
E~
Vektor
~B Pseudovektor
~|
Vektor
Skalar
Zeitumkehr Spiegelung
gerade
ungerade
ungerade
gerade
polar
axial
polar
invariant
Tabelle 4.1: Das Verhalten der Felder und Quellen unter raumlicher Spiegelung und Zeitumkehr.
Spannungstensor) in dieses Schema einordnen, siehe dazu [9, Kap. 6.11].
Als Anwendung fur die gewonnenen Erkenntnisse betrachten wir den Hall-Eekt. Eine Probe sei
einem magnetischen Feld B~ senkrecht zu einem Stromu I~ ausgesetzt (dieser Strom wird durch ein
aueres elektrisches Feld hervorgerufen). Bekanntlich stellt sich dann entlang der Achse senkrecht zu I~
und B~ ein elektrisches Feld ein. Dieser Vorgang soll genauer untersucht werden. Was man kennt, ist das
Ohmsche Gesetz
~| = E~ ) ji = ik Ek ) Ei = ik jk .
Die letzte Gleichung enthalt ik als tensoriellen spezischen Widerstand. Dieser ist nun irgendeine
Funktion des Magnetfeldes H~ , und unter Berucksichtigung dieser Tatsache und der Eigenschaften der
Felder und Quellen unter raumlicher Drehung soll ein verallgemeinertes Ohmsches Gesetz hergeleitet
werden, das kleine H~ -Felder bis zur zweiten Ordnung berucksichtigt.
Die Transformationsformeln fur die beteiligten Groen lauten
Ei0 = Rip Ep jk0 = Rkq jq Hl0 = Rls Hs det R .
Zunachst mu ik nach Potenzen von H~ entwickelt werden. Fur E~ bedeutet das
Ei = 0ik jk + ikl jk Hl + iklm jk Hl Hm .
(4.50)
Dreht man nun das Koordinatensystem mittels einer orthogonalen Transformationsmatrix, so darf sich
die Struktur dieser Entwicklung nicht andern, nur da jetzt die transformierten Felder eingesetzt sind.
Mit Umbenennung einiger Indizes (das passiert hier ofters) ergibt sich so
Rap Ep = 0ik Rkq jq + akl Rkq ja det R Rls Hs + aklm Rkq jq Rls HsRmt Ht .
4.6 Magnetische Monopole
75
Und dreht man jetzt mit der inversen Matrix wieder zuruck, dann mu das alte E~ -Feld herauskommen,
also ist
Ei = 0ak RaiRkq jq + akl Rai Rkq Rls det R jq Hs + aklm RaiRkq Rls Rmt jq HsHt .
(4.51)
Das mu mit (4.50) ubereinstimmen. Der Koezientenvergleich bzgl. der Ordnungen in H~ liefert dann
die drei Beziehungen
0ik = 0aq Rai Rqk
(4.52)
ikl = det R aqs Rai Rqk Rsl
(4.53)
iklm = aqst Rai Rqk Rsl Rtm
(4.54)
Man sucht jetzt Ausdrucke fur 0ik , ikl und iklm , drei von H~ unabhangige Tensoren. Fur 0ik ist das
einfach. Wir setzen an, da das Medium in 0. Ordnung in H~ isotrop ist. Demzufolge ist 0ik := ik .
Eingesetzt in die rechte Seite von (4.52) gibt das eine wahre Aussage.
Fur ikl macht man einen intelligenten Ansatz. Man probiert
ikl := RH "ikl ,
wobei RH eine Konstante ist (s. u.). Einsetzen in die rechte Seite von (4.53) liefert
RH det R |("aqs Rai{zRqk Rsl }) = RH ikl ,
=det R "ikl
da (det R)2 = 1. Das haut also auch hin.
Bei iklm bieten sich zwei Ansatze an:
iklm := 1 ik lm . Einsetzen in die rechte Seite von (4.54) gibt
1 aq st RaiRqk Rsl Rtm = 1 ik lm ,
also korrekt.
iklm := 2 il km . Die Rechnung geht analog zum ersten Ansatz und fuhrt wieder zu einer korrekten Aussage.
Da beide Ansatze zu richtigen Ergebnissen fuhren, mussen sie auch beide in die Losung aufgenommen
werden.
Die Entwicklung (4.51) lautet dann mit den eben abgeleiteten Ersetzungen
Ei = ik jk RH "ikl jk Hl + 1 ik lm jk Hl Hm + 2 il km jk Hl Hm ,
oder in vektorieller Schreibweise
E~ = ~| + RH H~ ~| + 1~|H~ 2 + 2 (~|H~ )H~ .
(4.55)
Ist kein Magnetfeld vorhanden, so uberlebt nur der erste Ausdruck auf der rechten Seite und das
Medium ist isotrop, wie gefordert. Mit dem Anlegen eines H~ -Feldes erscheinen die hoheren Ordnungen
der Entwicklung und das Material wird anisotrop!
4.6 Magnetische Monopole
~ B~ = 0) ist, wie mehrfach erwahnt,
Die Nichtexistenz von Quellen fur die magnetische Fludichte (r
lediglich ein durch nichts widerlegtes Postulat. In der Tat gibt es bisher noch keine experimentellen
Hinweise auf magnetische \Monopole", also Objekte, die Quellen fur B~ darstellen; jedoch lassen sich
die moglichen Eigenschaften dieser Gebilde recht genau vorhersagen. Auerdem bringt ihre Postulierung
eine hohe Symmetrie in die Maxwell-Gleichungen. In diesem Abschnitt soll die Frage der magnetischen
Monopole jedoch nur kurz angerissen werden.
76
Elektrodynamik
Die mit magnetischen (\m") Ladungs- und Stromdichten erweiterten Feldgleichungen lauten
~ E~ = 1 @ B~ 4 ~|m
r
r~ D~ = 4e
c @t
c
(4.56)
1
4
@
r~ B~ = 4m
r~ H~ = c @t D~ + c ~|e
Aus diesen folgt noch eine eigene \magnetische" Kontinuitatsgleichung:
@ +r
~
@t m ~|m = 0
Welche Auswirkungen hat die Hinzufugung magnetischer Quellen? Man betrachte dazu die folgende
Feldtransformation:
E~ = E~ 0 cos + H~ 0 sin H~ = E~ 0 sin + H~ 0 cos (4.57)
D~ = D~ 0 cos + B~ 0 sin B~ = D~ 0 sin + B~ 0 cos Es lat sich nun leicht zeigen, da diese Transformation die Ausdrucke fur Poynting-Vektor, Energiedichte und Maxwell-Spannungstensor in die gleichen Ausdrucke fur die gestrichenen Felder uberfuhrt.
Anders gesagt, die drei erwahnten Groen sind invariant gegenuber der Transformation (4.57). Beispiel
Poynting-Vektor:
S~ = 4c (E~ H~ ) = 4c (E~ 0 cos + H~ 0 sin ) ( E~ 0 sin + H~ 0 cos ) =
= 4c E~ 0 H~ 0 cos2 H~ 0 E~ 0 sin2 = 4c (E~ 0 H~ 0) = S~ 0
Analog gilt w = w0 und Tik = Tik0 . Konsequenterweise transformiert man nun auch die Quellen unter
Anwendung von
e = 0e cos + 0m sin ~|e = ~|e 0 cos + ~|m 0 sin (4.58)
0
0
m = e sin + m cos ~|m = ~|e 0 sin + ~|m 0 cos .
Aus den beiden Gleichungen fur die Ladungsdichten lat sich 0e als Funktion von e und m ausdrucken:
0e = e cos m sin Und aus den Transformationsformeln fur die Felder gewinnt man
D~ 0 = D~ cos B~ sin ,
also wird
r~ D~ 0 = r~ D~ cos r~ B~ sin = 4(e cos m sin ) = 40e .
Tatsachlich sind die Maxwell-Gleichungen invariant gegenuber der Transformation (4.57)-(4.58). Der
Parameter ist dabei vollig beliebig! Das bedeutet aber, da er so bestimmt werden kann, da die
magnetische Ladung m verschwindet | vorausgesetzt, fur alle Teilchen ist das Verhaltnis 0m =0e gleich.
Man sieht das ein, indem man in der obigen Transformationsformel fur m die linke Seite, also m , gleich
0 setzt. Dann ergibt sich zwanglos
0m = tan .
0
e
In diesem Fall wird dann auch ~|m = 0. Experimentelle Hinweise auf das Vorhandensein magnetischer
Ladung in normaler Materie (Nukleonen) gibt es (innerhalb gewisser Fehlergrenzen) nicht. Das wurde
also heien, da fur diese Teilchen das obige Verhaltnis konstant ist. Bei anderen, kurzlebigen oder
instabilen Teilchen kann man da nicht so sicher sein.
Zum Schlu soll noch die Frage erortert werden, wie es mit dem Verhalten der magnetischen Quellen unter Spiegelung und Zeitumkehr steht. Da B~ axial und ungerade unter Zeitumkehr ist, mu m
ein Pseudoskalar sein, der ebenfalls unter Zeitumkehr ungerade ist. Der Vektor ~|m mu axial und unter Zeitumkehr gerade sein. Fur weitere Informationen zum Thema \magnetische Monopole" ist [9,
Kap. 6.12 ] empfehlenswert, auerdem die dort zitierten Veroentlichungen.
4.7 Elektromagnetische Wellen
77
4.7 Elektromagnetische Wellen
4.7.1 Ebene Wellen in nichtleitenden Medien
Wir betrachten ein lineares, homogenes, isotropes, nicht frequenzabhangiges, also freundliches Medium
(; = const:) ohne Quellen, d. h. = 0 und ~| = 0. Die Maxwell-Gleichungen lauten dann
@ B~
r~ E~ = 1c @t
~ E~ = 0
r
.
@
~rB~ = 0
~
~ B~ =
r
c @t E
Aus den rechten beiden Gleichungen folgt
2
@ (r
~ B~ ) = 2 @ 2 E~ ,
r~ r~ E~ = r~ (|r~{zE~ }) E~ = 1c @t
c @t
=0
und damit die homogene Wellengleichung
@ 2 E~ = 0
E~ v12 @t
(4.59)
2
mit v = c=n und n = p. Die dimensionslose Zahl n heit Brechungsindex des Mediums. Analog leitet
man
@ 2 B~ = 0
B~ v12 @t
(4.60)
2
ab. Man sieht hier, wie wichtig die Einfuhrung des Verschiebungsstromes durch Maxwell fur die Vorhersage elektromagnetischer Wellen war. Egal, welche Wellengleichung man nun betrachtet, gilt fur eine
Komponente des entsprechenden Feldes stets
@ 2 u(~r; t) = 0 .
u(~r; t) v12 @t
2
Eine Losung dieser Dierentialgleichung lautet oenbar
(4.61)
u(~r; t) = ei(~k~r !t) ,
und zwar genau dann, wenn
2
k2 + !v2 = 0 ,
was man durch einsetzen bestatigt. Damit folgt unmittelbar, da j~kj = !=v = p !=c. Dies ist die
Dispersionsrelation fur elektromagnetische Wellen in den betrachteten Medien. Wir untersuchen die
Ausbreitung von Wellen in x-Richtung. Das heit ~k k ~ex und die Grundlosung fur u lautet
u(x; t) = Aei(kx !t) + Be i(kx+!t) = Aeik(x vt) + Be ik(x+vt) .
(4.62)
Das sind zwei Wellen , die sich in positive bzw. negative x-Richtung mit der Phasengeschwindigkeit
v = !=k ausbreiten. Allerdings gibt es noch weitere Losungen. Jede Funktion der Form
u(x; t) = f (x vt) + g(x + vt) =
Z1
1
Z1
A(k) eik(x vt)dk +
B (k) e ik(x+vt) dk
1
ist Losung der Wellengleichung (4.61). Also wieder zwei diesmal beliebige Funktionen (beispielsweise
Impulse), die sich mit der Phasengeschwindigkeit in negative und positive x-Richtung fortbewegen. Hier
nochmals eine Zusammenfassung der verschiedenen Beziehungen von v, n, c, , und k :
k = !v
v = nc
n = p
78
Elektrodynamik
Wie sehen aber vektorielle Losungen von (4.59) und (4.60) aus? Wir probieren den Ansatz
B~ (~r; t) = B~ ei(~k~r !t) ,
E~ (~r; t) = E~ ei(~kr~ !t)
wobei nur der Realteil physikalische Relevanz haben soll. Aus der Quellenfreiheit von E~ und B~ folgt
dann
~kE~ = 0 ^ ~kB~ = 0 =) E~; B~ ? ~k .
Man hat es also mit Transversalwellen zu tun. Die Feldvektoren stehen senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung. Bleibt noch die Frage, wie E~ und B~ zueinander stehen. Aus
@ B~ ) i~k E~ = i ! B~
r~ E~ = 1c @t
c
folgt
~
(4.63)
B~ = nkk E~ .
Dabei ist n wieder der Brechungsindex. Also ist auch B~ ? E~. Mit den Ersetzungen
~
~
~
~e1 := E~
~e2 := B~
~ := kk
jE j
jBj
bilden die drei Vektoren ~e1 , ~e2 und ~ ein Orthonormalsystem. Falls jE~j = E0, dann ist also B~ = nE0~e2 :
das B~ -Feld ist n-mal so stark wie das E~ -Feld.
An dieser Stelle ist es angebracht, etwas uber die Probleme bei Verwendung komplexer Feldgroen zu
sagen. Man mu berucksichtigen, da der Realteil des zeitlichen Mittels des Produktes zweier komplexer
Wechselgroen mit harmonischer Zeitabhangigkeit gleich der Halfte des Produktes der einen Groe mit
dem konjugiert Komplexen der anderen Groe ist:
(4.64)
A~ (~r; t) B~ (~r; t) = 21 (A~ (~r ) B~ (~r ))
Das Zeichen \" kann fur \" oder auch \" stehen. Fur den komplexen Poynting-Vektor der Energiestromdichte bedeutet das also mit den obigen Beziehungen
r
S~ := 21 4c (E~ H~ ) = 8c jE0j2~ .
(4.65)
Die Erkenntnis dabei ist, da Energieausbreitung immer in der Richtung stattndet, in die sich auch
die Welle bewegt. Fur die zeitlich gemittelte Energiedichte gilt
(4.66)
w = 161 (E~ E~ + 1 B~ B~ ) = 8 jE0j2 .
Die Geschwindigkeit des Energiestromes ergibt sich dann aus dem Quotienten
jS~ j = pc = v ,
w
und ist (in diesem Fall) gleich der Phasengeschwindigkeit der Welle. Nun ist auch endlich klar, was die
Konstante c in den Maxwell-Gleichungen bedeutet: es handelt sich um die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit!
Vorhin wurde bemerkt, da die Vektoren ~e1 , ~e2 und ~ ein Orthonormalsystem bilden. Es spricht
jedoch nichts dagegen, eine zweite elektromagnetische Welle anzunehmen, deren E~-Vektor in ~e2-Richtung
zeigt und die der ersten uberlagert ist. Die Darstellung einer allgemeinen ebenen Welle lautet also
E~ (~r; t) = (E1~e1 + E2~e2 ) ei(~k~r !t) .
Die Koezienten vor den Einheitsvektoren konnen naturlich komplex sein und beliebige Phasenfaktoren
beinhalten:
E1 = jE1j ei'
E2 = jE2j ei'
Man unterscheidet hier drei Falle:
1
2
4.7 Elektromagnetische Wellen
79
i) '1 = '2. Diese Welle heit linear polarisiert. In jeder Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
schwingen die E~ -Vektoren entlang einer Geraden.
ii) '1 6= '2. Das ist eine elliptisch polarisierte Welle. Die E~ -Vektoren schwingen auf Ellipsenbahnen.
iii) '1 = '2 =2. Falls auch noch jE1j = jE2j gilt, ist die Welle zirkular polarisiert.
4.7.2 Reexion und Brechung elektromagnetischer Wellen. Fresnelsche Formeln
Wir untersuchen die Situation an der Grenzache zweier Medien mit den Brechungsindizes n und n0.
Eine ebene elektromagnetische Welle mit dem Wellenvektor ~k tree unter dem Winkel auf die Grenzschicht, die in der xy-Ebene liege. Es gibt einen reektierten (Wellenvektor ~k00) und einen gebrochenen
Anteil (Wellenvektor ~k0 ). Die Winkel, die diese beiden Vektoren mit der z -Achse einschlieen, seien 00
und 0 (siehe Abb. 4.9). Zunachst eine Rekapitulation der schon aus der Optik bekannten Gesetzmaig-
!()+,-./0
123456789
:;<!()+,./0123456
Abbildung 4.9: Reexion und Brechung an der Grenzache zwischen zwei Medien
keiten:
i) Reexionsgesetz. Es ist = 00.
sin 0 = n0 .
ii) Snelliussches Brechungsgesetz. Es gilt sin
n
Die Maxwell-Gleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung der Feldgroen. Also muten Reexionsund Brechungsgesetz daraus herleitbar sein. Fur die drei beteiligten ebenen Wellen machen wir die
Ansatze
E~ = E~ 0ei(~kr~ !t)
E~ 0 = p
E~ 00 ei(~k0~r !t)
E~ 00 = E~ 000ei(~k00~r !t) .
B~ = p ~kk E~
B~ 0 = 0 0 ~kk00 E~ 0
B~ 00 = p ~kk0000 E~ 00
Da einfallende und reektierte Welle im selben Medium laufen, ist es klar, da
j~kj = j~k00j = k = !c p .
In der Ebene z = 0 und zum Zeitpunkt t = 0 mussen alle Grenzbedingungen fur die beteiligten
Felder erfullt sein, welche das auch immer sind. Eine Bedingung dafur ist jedenfalls, da dann die drei
Phasenfaktoren ubereinstimmen:
?
?
?
~k~r??
= ~k0~r??z=0 = ~k00~r??z=0
z=0
kx x = kx0 x + ky0 y = kx00x + ky00y
Hierbei wurde ~k gleich in die Ebene y = 0 gelegt. Es folgt, da ~k, ~k0 und ~k00 in einer Ebene liegen, also
ist ky0 = ky00 = 0. Da dann kx = kx00 und (s. o.) k = k00, folgt
kz = kz00
)
= 00 .
80
Elektrodynamik
Das ist aber das Reexionsgesetz! Dagegen folgt aus kx = kx0 :
sin = k0 = n0
k sin = k0 sin 0
)
sin 0 k n
Und damit ist auch das Brechungsgesetz hergeleitet. Man beachte, da wir bis jetzt nichts als die
Wellennatur des Lichtes verwendet haben. Die Maxwell-Gleichungen tauchten noch gar nicht auf!
Die geometrischen Gesetze der Reexion und Brechung werden auch als kinematische Eigenschaften
des Lichtes bezeichnet. Die dynamischen Eigenschaften beschreiben die Strahlungsintensitat und Polarisation der reektierten und gebrochenen Wellen. Sie ergeben sich aus den Stetigkeitsbedingungen fur
die verschiedenen Felder bei z = 0: Tangentialkomponenten
von H~ und E~ , Normalkomponenten von D~
p
~
~
~
~
und B . Unter Verwendung von B = k E=k, k = n!=c und der Linearitat der Medien ergeben
sich folgende Bestimmungsgleichungen:
(E~ 0 + E~ 000) 0 E~ 00 ~n = 0 fur D~
(4.67)
1
~ ~ ~ 00 ~ 00 ~ 0 ~ 0 k E0 + k E0 k E0 ~n = 0
~ ~ 00 ~ 0 E0 + E0 E0 ~n = 0
1
fur B~
fur E~
(4.68)
(4.69)
~ ~ ~ 00 ~ 00
~0 ~0
~
(4.70)
(k E0 + k E0 ) 0 k E0 ~n = 0 fur H
Dabei ist ~n = ~ez . Aus der Optik wei man schon, da diese Gleichungen auf die Fresnelschen Formeln
fuhren. Man unterscheidet dabei bekanntlich zwei Falle:
!()+,-./0123
456789:;<!()
+,-./0123456
789:;<!()+,-
Abbildung 4.10: Konventionen uber Vektoren bei der Herleitung der Fresnelschen Formeln. Links bei
zur Einfallsebene senkrechtem, rechts parallelem E~ 0 .
i) E~ 0 (~n ~k) = 0. Der elektrische Feldvektor der einfallenden Welle steht senkrecht zu der von ~k und
~n aufgespannten Einfallsebene (Abb. 4.10 links). Gleichung (4.67) wird dadurch zu 0 = 0, liefert
also nichts Neues. Aus (4.68) wird
n (E0 sin + E000 sin ) n0 E00 sin 0 = 0 ,
und zusammen mit sin 0 = sin n=n0 ergibt sich
E0 + E000 E00 = 0 .
(4.71)
Auf das gleiche Ergebnis fuhrt auch (4.69). Bleibt noch (4.70), aus der man ahnlich (4.68)
r
s
0 E 0 cos 0 = 0
(4.72)
0 0
ableitet. Aus (4.71) und (4.72) lassen sich die Verhaltnisse E00 =E0 und E000 =E0 bestimmen und
durch Anwendung des Brechungsgesetzes allein auf den Winkel beziehen:
?
2npcos E00 ??? =
(4.73)
E0 ??
n cos + 0 n02 n2 sin2 (E0
E 00) cos 0
4.7 Elektromagnetische Wellen
81
p
?
E000 ?? = n cos 0 pn02 n2 sin2 E0 ???
n cos + 0 n02 n2 sin2 (4.74)
Das \?" bedeutet, da diese Formeln nur fur zur Einfallsebene senkrechtes E~ 0 gelten.
ii) E~ 0 (~n ~k) = 0. Der Vektor E~ 0 liegt in der Einfallsebene (Abb. 4.10 rechts). Die beiden Bestimmungsgleichungen bekommt man ganz analog wie in i) zu
(E0 E000 ) cos E00 cos 0 = 0
(4.75)
r
s
0 E 0 = 0 .
0 0
Und die Fresnelschen Formeln fur zur Einfallsebene parallelem E~ 0-Vektor lauten dann
?
2nn0pcos E00 ?? =
?
E0 ?k
n02 0 cos + n n02 n2 sin2 p
?
E000 ?? = n02 0 cos npn02 n2 sin2 E0 ??k
n02 0 cos + n n02 n2 sin2 00
(E0 + E0 )
(4.76)
(4.77)
(4.78)
In der Praxis kann man oft = 0 setzen. Damit vereinfachen sich dann die Formeln etwas. Gleichung
(4.78) verdient noch etwas mehr Aufmerksamkeit. Der Zahler der rechten Seite kann oensichtlich
verschwinden, und das ist bei
0
tan B = nn
der Fall. Der spezielle Einfallswinkel B heit Brewster-Winkel. Fallt Strahlung, egal welcher Polarisation, unter B auf die Grenzache, so ist der reektierte Anteil linear und senkrecht zur Einfallsebene
polarisiert! Hatte die einfallende Strahlung keine Komponente in dieser Richtung, dann wird eben gar
nichts reektiert.
4.7.3 Frequenzabhangigkeit von (!) und (!)
a) Oszillatormodell fur (!)
Wir betrachten ein Medium der Permeabilitat = 1 und vernachlassigen lokale Feldeekte, d. h. unter
anderem die gegenseitige Beeinussung elementarer Dipole. Demzufolge mussen wir uns auf Medien mit
geringer Dichte, z. B. Gase, beschranken. Als Modell fur die molekulare Polarisierung dient eine kleine
Masse m, die die Ladung q tragt und in einem harmonischen Potential m!02 ~x2 =2 schwingen kann (~x ist
die Auslenkung aus der Ruhelage). Verluste werden durch eine Dampfungskonstante vermittelt, es
herrscht Stokes-Reibung. Die beschreibende Dierentialgleichung lautet dann fur ein einzelnes Molekul
oder Atom:
m (~x + ~x_ + !02 ~x) = qE~ (~x; t)
(4.79)
i!t
i!t
Bei Annahme harmonischer Anregung E~ = E~ 0e
und dem Ansatz ~x = ~x0e
fur die eingeschwungene Losung ergibt sich
~
~x0 = m (!2 qE!20 i! ) .
0
Diese Auslenkung ~x0 aus der Ruhelage bedeutet aber, da ein molekulares Dipolmoment ~p erzeugt wird:
2
~
p~ = q~x0 = qm !2 !E20 i!
0
Das lat sich dann noch auf das auere Feld E~ 0 normieren und man erhalt als molekulare Polarisierbarkeit pro Teilchen
2
(4.80)
= Ej~pj = m (!2 q!2 i! ) = (!) .
0
0
82
Elektrodynamik
Aufgeteilt in Real- und Imaginarteil heit das (siehe auch Abb. 4.11)
2
2
2
<(!) = qm (!2 !!0 2 )2!+ 2 !2
0
2
q
=(!) = m (!2 !2!)2 + 2 !2 .
0
Die Beziehung zur Dielektrizitat schat die Materialgleichung D~ = E~ + 4P~ . Da P~ aber eine Pola-
!()+,-./
01234567
89:;<!()
+,-./012
Abbildung 4.11: Qualitativer Verlauf der komplexen Polarisierbarkeit uber ! im Oszillatormodell
risationsdichte ist (s. 2.87), mu auch irgendwo die Teilchendichte des Mediums eine Rolle spielen. Wir
verallgemeinern gleich auf Materialien der Molekuldichte N , deren Molekule jeweils Z schwingungsfahige Systeme (Elektronen) mit verschiedenen Eigenfrequenzen !j und Dampfungskonstanten j tragen.
Dann ist also
D~ = E~ + 4P~ = (!)E~ ,
mit
Z
2 X
X
fj = Z .
(4.81)
und
(!) = 1 + 4qm N !2 !f2j i!
j =1 j
j
j
Die fj heien Oszillatorstarken. Nun lohnt eine genauere Untersuchung dieser Formel in verschiedenen
Frequenzbereichen.
b) Niederfrequenzverhalten: ! ! 0
Wir unterscheiden zwei Falle:
i) Das Medium ist ein Isolator. Dann gibt es keine freien Ladungstrager und die kleinste Eigenfrequenz
!j ist verschieden von 0. Das hat zur Folge, da lim!!0 (!) existiert:
4q2 N X fj
lim
(
!
)
=
1
+
!!0
m j !j2
ii) In Leitern gibt es freie Elektronen und die niedrigste Eigenfrequenz verschwindet fur einige der Z
Elektronen pro Molekul. Bei ! ! 0 sind also diverse Glieder der Summe in (4.81) divergent. Man
zerlegt dann (!) in konvergente (0 ) und divergente Anteile:
2
(!) = 0 + i4N m! (q f0 i!)
(4.82)
0
~ H~ bemuhen,
Um dieses Ergebnis interpretieren zu konnen, mu man die Maxwell-Gleichung fur r
~
~
~
auerdem die Beziehungen ~| = E und D = 0E . Zusammen mit der harmonischen Zeitabhangigkeit E~ = E~ 0 e i!t ergibt sich dann
~r H~ = 4 ~| + 1 @ D~ = 4 0 @ E~ = i! i4 + 0 E~ .
c
c @t
c
c @t
c !
4.7 Elektromagnetische Wellen
83
Die Stromdichte hat sich veruchtigt, stattdessen gibt es in dem Klammerausdruck eine komplexe,
verallgemeinerte Dielektrizitatskonstante. Identiziert man diese mit (4.82), so bekommt man fur
die Leitfahigkeit
2
(!) = m (f0Nq i!) (Drude-Modell) .
(4.83)
0
Bei niedrigen Frequenzen, genauer wenn ! 0 , ist dieser Ausdruck beinahe ganz reell. Das
bedeutet, im Medium sind Strom und elektrisches Feld praktisch in Phase, und die Leitfahigkeit
hangt fast nicht von ! ab.
c) Hochfrequenzlimes: ! !j
Bei groen Frequenzen dominiert im \Resonanznenner" von (4.81) der !2 -Term; es wird
1
1
!j2 !2 i! !2 ,
und fur (!) bedeutet das
2
3
2
2X
5 =: 1 !p2 .
f
(!) 1 !12 4 4Nq
j
m j
!
|
P
{z
=: !p
2
}
(4.84)
Die Groe !p heit Plasmafrequenz. Da j fj = Z , gilt also
r
2
!p = 2 NZq
m .
Normalerweise gilt (4.84) nur fur ! !p . Allerdings gibt es Falle (Ionosphare), wo die Dampfungskonstante so klein ist, da diese Formel auch fur kleinere Frequenzen bis unter !p richtig ist. Aus (4.84)
ergibt sich dann eine interessante Folgerung fur das Eindringverhalten elektromagnetischer Wellen. Es
ist namlich
q
!2 = !2 !p2 ) !n = ck = !2 !p2 ,
fur = 1, und das bedeutet, da fur Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz die Wellenzahl rein
imaginar wird! Dies hat oenbar ein exponentielles Abklingen der Wellenamplitude zur Folge, falls eine
ebene Welle auf das Medium trit: es wird alles reektiert.
4.7.4 Ebene Wellen in leitenden und dissipativen Medien
Dieses verscharfte Szenario wird hier anhand einiger Spezialfalle diskutiert. Wie ublich geht man von
den Annahmen
B~ = H~
~| = E~
D~ = 0 E~
aus und macht die folgenden Ansatze fur Felder und Quellen
E~ (~r; t) = E~ ei(~k~r !t)
B~ (~r; t) = B~ ei(~kr~ !t)
(~r; t) = ~ ei(~kr~ !t) ,
wobei der Beitrag von zum E~ -Feld vernachlassigt werden soll. Die Maxwell-Gleichungen lauten
i0~kE~ = 4
~kB~ = 0
Nun zu den erwahnten Spezialfallen.
i~k E~ = i!c B~
.
1 i~k B~ = 1 (4 i! )E~
0
c
84
Elektrodynamik
a) = 0.
In diesem Fall ist also auch ~kE~ = 0. Die Vektoren ~k, E~ und B~ bilden ein kartesisches Dreibein, so wie
das fruher schon einmal abgeleitet wurde. Da wir es jetzt aber mit ebenen Wellen zu tun haben, wird
alles einfacher:
~k ~k E~ = ~k (~kE~ ) ~k2 E~ = ! (~k B~ ) = i ! (4 i!0 )E~
|{z}
c
cc
=0
Daraus folgt fur die komplexe Wellenzahl
k2 =
! (! + i4) = !2 0 1 + i4 .
c2 0
c2
!0
(4.85)
Wir unterscheiden nun in Leiter und Isolatoren.
i) = 0: Isolatoren. Damit wird wie gewohnt
k = !c p0 ,
wobei das Vorzeichen bei der Wurzel eben richtig gewahlt wurde.
) Weit weg von jeglichen Resonanzstellen (also Frequenzen
! !j ) ist 0 (!) praktisch reell,
und damit erst recht der Brechungsindex n = p0.
) In der Nahe einer Resonanzstelle hat 0 einen groen Imaginarteil, deshalb ist auch n komplex:
n~ = p = n + i
0
Die dimensionslose Zahl heit Extinktionskoezient. Der Grund fur diese Bezeichnung wird
klar, wenn man den Phasenfaktor der resultierenden ebenen Welle aufschreibt (hier nur in
einer Dimension):
ei(kx !t) = ei!(nx=c t)e x!=c
Das entspricht einer gedampften Welle, und c=! ist gleich der Strecke, auf der die Amplitude
auf 1=e ihres Anfangswertes abfallt.
ii) 6= 0: Leiter. Der -abhangige Term in der Formel fur die Wellenzahl (4.85) verschwindet nicht,
und es wird
s
k = !c 0 1 + i4 ! = k1 + ik2 .
0
In Leitern gibt es also im allgemeinen gedampfte Wellen aufgrund des Imaginarteils der Wellenzahl.
Bei guten Leitern ist 4=!0 1 auch noch bis zu sehr hohen Frequenzen, also ist
r
p
k !c 0i 4! = (1 +c i) 2! = (1 + i)k1 .
0
Die Eindringtiefe d elektromagnetischer Wellen in einen Leiter ist die Strecke, auf der die ursprungliche Amplitude auf 1=e ihres Wertes abgeklungen ist und ergibt sich dann zu
c
d = k1 = p2!
.
1
(4.86)
Sie ist umso kleiner, je groer die Frequenz ist. Dieses Verhalten | Stromverdrangung aus Leitern
bei hohen Frequenzen | wird auch als Skineekt bezeichnet, d demzufolge als Skintiefe.
4.7 Elektromagnetische Wellen
85
b) 6= 0.
Hier betrachten wir nur einen Spezialfall, namlich
4 i!0 = 0 ) ~k B~ = 0 .
(4.87)
Zusammen mit ~kB~ = 0 bedeutet das B~ = 0, es gibt also rein elektrische Schwingungen! Da ~kE~ =
4=i0 = != und wegen B~ = 0 auch ~k E~ = 0, folgt, da E~ k ~k: Longitudinalwellen! Mit den
oben gemachten Ansatzen fur die Felder und Quellen hat man sich darunter Schwankungen in der
Raumladungsdichte vorzustellen. Die Frage ist, bei welcher Frequenz dieser Eekt eintritt. Wie fruher
schon bemerkt, ist die Dielektrizitatskonstante durch darstellbar:
= 0 + i4! = 0
unter der Bedingung (4.87). Setzt man voraus, da die Formel = 1 !p2 =!2 auch fur niedrigere
Frequenzen Gultigkeit hat, dann mu also ! = !p sein: der beschriebene Eekt entsteht bei der Plasmafrequenz.
4.7.5 Kausalitat und Kramers-Kronig-Relationen
Recht allgemeine Kausalitatsbetrachtungen liefern interessante Beziehungen zur Polarisierbarkeit und
damit zur Dielektrizitat. Man geht von einer frequenzabhangigen, linearen, isotropen Relation zwischen
Verschiebungsdichte und Feldvektor aus:
D~ (!) = (!)E~ (!)
Diese Gleichung gilt fur jede einzelne Frequenzkomponente der beiden Vektorfelder. Diese !-abhangigen
Felder (einschlielich ) sind zu verstehen als Fourier-Transformierte der entsprechenden zeitabhangigen
Groen:
D~ (t) = F 1fD~ (!)g = F 1 f(!)E~ (!)g = (t) E~ (t)
Hierbei wurde der Faltungssatz der Fourier-Transformation verwendet. Nun ist
F 1f(!)g = F 1f1 + ((!) 1)g = (t) + G(t) ,
(4.88)
wobei G(t) die inverse Fourier-Transformierte von ((!) 1) ist und deshalb Suszeptibilitatskern genannt
wird. Damit ist dann
D~ (t) = E~ (t) + G(t) E~ (t)
(4.89)
wegen der Distributivitat des Faltungsproduktes3 . Diese Beziehung beschreibt aber eine Nichtlokalitat
in der Zeit: Das D~ -Feld zum aktuellen Zeitpunkt ist abhangig vom E~ -Feld zu anderen Zeiten! Hier
schlagt nun die physikalische Grundpramisse zu, auf der die kommende Argumentation fut: Das D~ Feld kann nur von E~ -Feldern \aus der Vergangenheit" beeinut sein (Kausalitatsprinzip). Fur G(t)
bedeutet das eine wichtige Einschrankung:
G(t) = 0 8 t < 0
Damit wird also
und
D~ (t) = E~ (t) +
(!) = 1 +
Z1
0
Z1
0
(4.90)
G( )E~ (t ) d
G( ) ei! d ,
(4.91)
also im allgemeinen komplex. Drei Tatsachen sind jetzt von Bedeutung:
3 Wichtig ist hier folgendes: Das Faltungsprodukt wird nat
urlich nicht uber t gezogen, sondern uber eine Zwischenvariable , so da als Ergebnis wieder eine t-abhangige Funktion herauskommt.
86
Elektrodynamik
i) Die Felder D~ und E~ sind mebar, also reell. Deshalb mu wegen (4.89) auch G(t) reell sein. Aus der
Theorie zur Fourier-Transformation folgt zusammen mit (4.88) unmittelbar, da (!) hermitesymmetrisch zu sein hat:
(!) = ( ! )
Diese Forderung wurde hier gleich auf komplexe ! erweitert. Dies ist zwar rein physikalisch nicht
sinnvoll, erweist sich aber fur die spatere mathematische Behandlung als gunstig.4
ii) Die Funktion G(t) ist endlich fur alle t. Aus (4.91) folgt dann, da (!) 1 in der oberen !-Halbebene
analytisch, d. h. komplex dierenzierbar und damit bzgl. jedes Punktes in eine Taylor-Reihe
darstellbar ist. Insbesondere fallt (!) 1 mit =! ! 1 exponentiell gegen 0 ab.
iii) Ab jetzt beschranken wir uns auf Dielektrika. Hier mu aus physikalischen Grunden (!) auf der
reellen Achse analytisch sein. Wegen (4.91) ist dann
lim G(t) = 0 .
t!1
Mit der Analytizitat von (!) in der oberen Halbebene lat sich der Cauchy-Integralsatz anwenden, der
einen Zusammenhang zwischen den Werten einer holomorphen Funktion entlang einer geschlossenen
Kurve und jenen innerhalb der Kurve herstellt. Es ist
I (!0) 1
1
(!) 1 = 2i
d!0 ,
C !0 !
wobei C eine geschlossene Kurve ist, fur die Umlaufzahl I (C ; !) = 1 gilt und die ublichen Voraussetzungen fur solche Satze sowieso erfullt sind. Um aus dieser Formel etwas zu gewinnen, wahlt man
einen gunstigen Integrationsweg: Zunachst von 1 bis +1 entlang der reellen Achse und dann als
Abschlu einen Halbkreis mit unendlich groem Radius durch die obere Halbebene, der zum Integral
nichts beitragt (exponentieller Abfall des Zahlers). Da man aber gerne (!) fur ! 2 IR wissen mochte,
mu man durch einen Grenzubergang =! ! 0 gehen lassen. Im Grenzfall von reellen ! ist dann der
Integrationsweg durch einen kleinen Halbkreis mit innitesimalem Radius unterhalb der reellen Achse
zu verbiegen, und was man unter Anwendung des Satzes uber den Cauchy-Hauptwert bekommt, ist die
folgende Gleichung:
1 I (!0 ) 1 d!0 = 1 P Z 1 (!0 ) 1 d!0 + i((!) 1)
(4.92)
lim
2i
!0 2i C !0 ! 1 !0 !
Der Ausdruck auf der linken Seite ergibt (!) 1, wenn man davon ausgeht, da Limes und Integration
hier vertauschbar sind. Das Ganze lat sich jetzt nach 1 auflosen:
1 P Z 1 (!0 ) 1 d!0
(!) 1 = i
(4.93)
1 !0 !
Aufgeteilt in Real- und Imaginarteil erhalt man die sogenannten Dispersions- oder Kramers-KronigRelationen:
Z 1 =(!0)
0
<(!) = 1 + 1 P
(4.94)
!0 ! d!
1
Z 1 <(!0) 1
d!0
(4.95)
=(!) = 1 P
1 !0 !
Die groe Bedeutung dieser Gleichungen liegt in der Tatsache, da sie Real- und Imaginarteil der
Dielektrizitatskonstante eindeutig miteinander verknupfen. Kennt man einen der beiden (z. B. durch
eine Messung), dann lat sich der andere prinzipiell berechnen. Als Voraussetzungen wurden dabei nur
die lineare Response des Mediums und das Kausalitatsprinzip hineingesteckt.
Die Gleichungen (4.94) und (4.95) gelten nicht nur fur den speziellen Fall der dielektrischen Verschiebung, sondern fur alle physikalischen Systeme mit linearer Response (z. B. Oszillatoren mit Anregung
etc.).
+
4 Statt der Fourier-Transformation k
onnte man durchweg auch die Laplace-Transformation anwenden. Die geschilderte
Eigenschaft ergibt sich dann ganz naturlich.
4.8 Wellen in einem Hohlleiter
87
4.8 Wellen in einem Hohlleiter
Als Anwendung fur das bisher Gelernte betrachten wir die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in
einem unendlich langen Rohr mit rechteckigem Querschnitt (Seiten a und b). Das Rohr bestehe aus
ideal leitendem Material ( ! 1), die Situation ist also ganz wie in Abb 2.6 links, nur da die vier
Wande leitend verbunden sein sollen. Die Losung der Feldgleichungen ist sicher von der Form einer
propagierenden Welle, also pro Komponente so etwas wie
f (x; y) ei(kz !t) ,
wobei f eine noch zu bestimmende Funktion ist. Die Randbedingungen fur die Komponenten von E~
und B~ an den Wanden folgen aus der Tatsache, da im Metall kein elektrisches Feld existieren kann.
Demzufolge mu die Tangentialkomponente von E~ verschwinden. Die Normalkomponente von B~ mu
zunachst nur stetig sein | da es aber im Metall kein elektrisches Feld gibt, kann dort das Magnetfeld
allenfalls statisch sein, und das ist bei einer sich ausbreitenden Welle nicht moglich. Also verschwindet
auch die Normalkomponente von B~ , und man hat als Randbedingungen
Ey = Ez = Bx = 0 fur x = 0 und x = a .
Ex = Ez = By = 0 fur y = 0 und y = b
Fur die einzelnen Komponenten macht man jetzt einen Ansatz, dessen Berechtigung durch Einsetzen
in die Maxwell-Gleichungen und Bestimmung von freien Konstanten entsteht:
my i(kz !t)
Ex = cos nx
a sin b e
cos my
ei(kz !t)
Bx = 0 sin nx
a
nx myb i(kz !t)
Ey = sin a cos b e
my i(kz !t)
sin
e
By = 0 cos nx
nxa myb i(kz !t)
Ez = sin a sin b e
my i(kz !t)
Bz = 0 cos nx
a cos b e
m; n 2 IN0
Innerhalb des Hohlleiters herrsche Vakuum, d. h. es ist = = 1. Die richtige Losung der Feldgleichungen mu naturlich auch die Wellengleichung erfullen, und zwar fur jede einzelne Komponente g(~r; t)
von E~ und B~ :
1 @2 (4.96)
c2 @t2 g(~r; t) = 0
Durch Einsetzen lat sich bestatigen, da die Ansatze wirklich (4.96) erfullen, und zwar unter der
Bedingung
n 2 m 2 2 !2
a + b + k = c2 .
Aus dieser Gleichung kann man sofort eine \Ausbreitungsbedingung" fur Wellen im Hohlleiter herleiten:
k ist nur dann reell, wenn gilt
r 2 2
m .
! > !nm , mit !nm = c n
a + b
Man sieht, da sich die Dispersionsbeziehung im Hohlleiter von jener im freien Vakuum unterscheidet,
so lange a und b endlich sind. Das war zu erwarten. Unterhalb einer gewissen Grenzfrequenz !10 (fur
a > b) ist uberhaupt keine Wellenausbreitung moglich! Auch diese Frequenz geht mit wachsendem a
gegen 0.
88
Elektrodynamik
Zu bestimmen sind jetzt noch die Konstanten ( 0 ) , ( 0) und ( 0 ) . Dazu werden die Ansatze in die
Maxwell-Gleichungen eingesetzt:
m
r~ E~ = 0 ) n
(4.97)
a + b = ik
0
0
0
r~ B~ = 0 ) an + m
(4.98)
b = ik
@ B~ ) ik m = i ! 0
(4.99)
r~ E~ = 1c @t
b
c
! 0
(4.100)
n
a ik = i c n = i ! 0
m
(4.101)
b
a
c
!
=
i
(4.102)
r~ B~ = 1c @t@ E~ ) ik 0 0 m
b
c
0 !
0 n
(4.103)
a ik = i c 0 n = i ! +
(4.104)
0 m
b
a
c
Wie sich zeigen lat, sind die Gleichungen (4.102) bis (4.104) als Linearkombinationen von (4.99) bis
(4.101) darstellbar und konnen fur das Weitere auer Acht gelassen werden. Die verbleibenden funf
Gleichungen stellen ein homogenes, lineares Gleichungssystem mit sechs Unbekannten dar. Man hat also
zwei freie Parameter, die mit und 0 bezeichnet werden. Das folgende Gleichungssystem ist aquivalent
zu (4.97) bis (4.101) und stellt die sechs gesuchten Konstanten in Abhangigkeit von und 0 dar:
m ! 0
0 m ! 0 = n
= n
a k + b c a k
b c
!
n
n
m
m
0
0
0
(4.105)
= b k a c = b k + a !c !2 !2 0 = i c2 k2 0
= i c2 k2 Man unterscheidet nun folgende Spezialfalle:
i) 0 = 0, 6= 0. Damit folgt Bz = 0, d. h. man hat ein rein transversales B~ -Feld. Man nennt die
zugehorige Welle TM-Welle (transversal-magnetisch).
Nichttriviale Losungen fur die Felder ergeben sich hier nur, falls n > 0 und m > 0, was man
durch Einsetzen der Gleichungen (4.105) in die Ansatze erkennt. Die niedrigste ausbreitungsfahige
Frequenz fur eine TM-Welle im Hohlleiter ist demnach durch
r
!T M = c a12 + b12
gegeben.
ii) = 0, 0 6= 0. Es folgt Ez = 0, und jetzt ist das E~ -Feld transversal. Man spricht von einer TE-Welle
(transversal-elektrisch).
In diesem Fall hat man schon nichttriviale Losungen, falls einer der beiden Indizes n und m von
Null verschieden ist. Die niedrigste ausbreitungsfahige Frequenz ist
!T E = c
a ,
falls a > b.
In Hohlleitern sind Wellen, die transversal in elektrischem und magnetischem Anteil (TEM-Wellen )
sind nicht ausbreitungsfahig, was man ebenfalls durch Einsetzen von = 0 = 0 erkennt.
Fur die Bezeichnung verschiedener Moden in Hohlleitern, die durch die Werte von n und m gekennzeichnet sind, gibt es ein Nomenklatursystem. Man stellt der Grundeigeschaft der Welle (TM bzw. TE)
die Indizes n und m zur Seite: TMnm bzw. TEnm . Die niederfrequenteste ausbreitungsfahige Welle ist
demnach TE10. Diese Welle wird in der Technik am haugsten angewandt.
Eine eingehende Behandlung der Hohlleiter-Thematik ndet sich in [3].
4.9 Das Feld vorgegebener Ladungen und Stromverteilungen
89
4.9 Das Feld vorgegebener Ladungen und Stromverteilungen
4.9.1 Losung der inhomogenen Maxwell-Gleichungen in Lorentz-Eichung
In Abschnitt 4.4.2 auf Seite 67 wurde die Lorentz-Eichung vorgestellt, die aus den vier MaxwellGleichungen fur die Felder zwei inhomogene Wellengleichungen fur die Potentiale macht:
@ 2 = 4
(4.106)
c12 @t
2
@ 2 A~ = 4 ~|
A~ c12 @t
(4.107)
2
c
Im folgenden werden allgemeine Ausdrucke fur die Losung dieser Gleichungen hergeleitet, und zwar
unter Anwendung Greenscher Funktionen. Die Idee dabei ist, statt der \vollstandigen" Inhomogenitaten
und ~| eine Norm-Inhomogenitat (~r; t) einzufuhren, die Dierentialgleichungen zu losen und dann auf
die eigentliche Losung zuruckzurechnen. Sei also allgemein die folgende Gleichung zu losen:
@ 2 f (~r; t) = 4g(~r; t)
(4.108)
f (~r; t) c12 @t
2
Sei G(~r; t) die Losung fur die Norm-Inhomogenitat, so da
1 @2 c2 @t2 G(~r;~r 0 ; t; t0) = 4 (~r ~r 0) (t t0 ) .
(4.109)
Die Homogenitat des Problems bzgl. Zeit und Raum (G(~r + ~r;~r 0 + ~r; t + t; t0 + t) = G(~r; ~r 0; t; t0))
verlangt, da
G(~r;~r 0 ; t; t0) = G(~r ~r 0 ; t t0) .
Aus der Losung von (4.109) bekommt man dann die Losung von (4.108) oenbar mittels
f (~r; t) =
Z
G(~r ~r 0; t t0) g(~r 0 ; t0) d3 r0dt0 ,
(4.110)
wie man durch Anwendung von c1 @t@ leicht erkennt.
Das Problem besteht also in der Bestimmung von G. Dazu transformieren wir zunachst (4.109) bzgl.
(t t0 ) nach Fourier:
!2 Z
0)
0
i!
(
t
t
0
0
0
G(~r ~r ; !) = e
G(~r ~r ; t t ) d(t t ) ) + c2 G(~r ~r 0 ; !) = 4 (~r ~r 0) (4.111)
Die zeitliche -Funktion wurde dabei zu einer Eins. Gleichung (4.111) heit inhomogene HelmholtzWellengleichung und ist hier speziell mit einer -Inhomogenitat ausgestattet, die nur von j~r ~r 0j
abhangt. Also ist auch
G(~r ~r 0; !) = G(R; !) , mit R = j~r ~r 0 j .
Der physikalische Hintergrund ist, da G die Wellengleichung fur eine Punktformige Quelle lost, also
mu die Losung ebenfalls symmetrisch sein.
In Kugelkoordinaten lautet die Helmholtz-Gleichung fur G dann mit k = !=c:
1 @ 2 (R G(R; !)) + k2G(R; !) = 4 (R) .
R @R2
Wir betrachten diese Gleichung fur zwei Falle:
i) R 6= 0. Hier verschwindet die rechte Seite:
@ 2 (R G(R; !)) + k2 RG(R; !) = 0
@R2
Die allgemeine Losung fur R G lautet dann
R G(R; !) = aeikR + be ikR .
(4.112)
2
2
2
90
Elektrodynamik
ii) Im statischen Fall k ! 0 erfullt G(R; ! ! 0) eine Poisson-Gleichung. Da die Inhomogenitat
punktformig ist, mu G dann eine 1=R-Charakteristik haben (das stimmt mit Vorfaktor! ). Zusammen mit (4.112) ergibt sich die Bedingung
a+b =1 .
Die allgemeine Losung der Helmholtz-Gleichung fur unseren Fall lautet also
G(R; !) = R1 aeikR + be ikR .
(4.113)
Oenbar beschreiben die Terme in der Klammer aus- und einlaufende Kugelwellen. Etwas in der Art
war zu erwarten, denn eine Punktquelle kann kein anisotropes Potential erzeugen. Durch Rucktransformation in den Zeitbereich bezieht man nicht nur eine Frequenz !, sondern alle moglichen ein und
bekommt so eine Vorstellung von der physikalischen Bedeutung der beiden Anteile:
Z
G(R; t t0 ) = 21 e i!(t
Z a
= 21
e
R
= Ra t t0
|
{z
Z
0 ~r 0 ; !) d! = 21 e i!(t t ) R1 aei!R=c + be i!R=c d! =
i!(t t0 R=c) + b e i!(t t0+R=c) d! =
R
R + b t t0 + R .
(4.114)
c
R
c
t0) G(~r
} |
=:G
+
{z
=:G
}
Die Funktionen G+ (R; t t0 ) und G (R; t t0 ) heien retardierte bzw. avancierte Greensche Funktion.
\Retardiert" bedeutet, da ein am Ort ~r zur Zeit t beobachteter Eekt seine Ursache in einer Quelle
hat, die zur Zeit t0 = t R=c um die Strecke R von ~r entfernt war | ein kausales Verhalten, denn ein
Signal benotigt die Zeit R=c, um am Ort ~r Wirkung zu zeigen.
Die avancierte Greensche Funktion dagegen beschreibt ein antikausales Geschehen: Ein Ereignis, das
von ~r um R entfernt ist, hat Auswirkungen bei ~r um die Zeitdierenz R=c fruher als es selbst geschieht.
Die Konstanten a und b in (4.114) sind durch zeitliche Randbedingungen bestimmt. Wir setzen
hier ohne Einschrankung a = 1; b = 0 (beachte a + b = 1). Dann lautet die kausale Losung der
Wellengleichung nach (4.110)
f (~r; t) =
=
=
Z
Z
Z
G+ (~r ~r 0 ; t t0 ) g(~r 0 ; t0) d3r0 dt0 =
g(~r 0; t0 ) t0 t j~r ~r 0 j d3 r0dt0 =
j~r ~r 0 j
c
0
0
g (~r ; t j~r ~r j=c) d3 r0 .
j~r ~r 0 j
In der Lorentz-Eichung ergeben sich also folgende Ausdrucke fur die Potentiale und A~ :
Z ~r 0; t j~r c~r 0 j (~r; t) =
d3 r 0
0j
j
~
r
~
r
Z 0 j~r ~r 0j A~ (~r; t) = 1c
~| ~r ; t
c
j~r ~r 0 j
d3 r 0
(4.115)
(4.116)
Nun ist es also moglich, die von beliebigen, zeitlich veranderlichen Ladungs- und Stromverteilungen
erzeugten Potentiale zumindest prinzipiell zu berechnen. Einen besonders wichtigen Spezialfall stellen
hier bewegte Punktladungen dar, die auf sogenannte Lienard-Wiechert-Potentiale fuhren. Sie werden
in einem der nachsten Abschnitte behandelt.
4.9 Das Feld vorgegebener Ladungen und Stromverteilungen
91
4.9.2 Felder und Strahlung einer lokalisierten, oszillierenden Quelle
In diesem Abschnitt werden die Potentiale und Felder berechnet, die eine lokalisierte, harmonisch oszillierende Quelle erzeugt. Dabei ist die Anwendung gewisser Naherungen unumganglich. Schlielich wird
als wichtiger Spezialfall der Hertzsche Dipol behandelt.
Das Verhalten der Quellen soll stets durch
(~r; t) = (~r ) e i!t
~|(~r; t) = ~|(~r ) e i!t
gegeben sein. Dann wird laut (4.116):
A~ (~r; t) = 1c
|
Z
0
0
d3 r0 j~r~|(~r ~r)0 j ei!j~r ~r j=c e i!t = A~ (~r ) e i!t
{z
=:A~ (~r )
}
(4.117)
Damit wurde die Zeitabhangigkeit des Vektorpotentials abgespalten. Durch Anwendung der Rotation
wird daraus das Magnetfeld B~ :
~ A~ (~r )
B~ (~r; t) = B~ (~r ) e i!t , mit B~ (~r ) = r
Nun gilt laut Maxwell auerhalb der lokalisierten Stromverteilung, d. h. im Vakuum (~| = 0), auerdem
fur harmonische Zeitabhangigkeit:
@ D~ = 1 @ E~ = i ! E~
r~ H~ = r~ B~ = 1c @t
c @t
c
)
~ B~
E~ = ic! r
(4.118)
Aus ~| ist also A~ , daraus B~ und schlielich E~ berechenbar.
Fur die weitere Behandlung fuhrt man einige vernunftige Langenskalen ein. Die Abmessungen der
Quelle seien von der Groenordnung d, die Wellenlange der emittierten Strahlung sei = 2c=!. Der
Abstand des Beobachters von der Quelle sei r = j~rj. Stets gelte
d .
Dann unterscheidet man drei verschiedene Bereiche:
Nahbereich:
dr
U bergangsbereich: d r Fernbereich:
r d; a) Nahbereich.
r ) kr 1. Da sowieso r d, ist die Naherung
eikj~r ~r 0 j 1
vertretbar. Damit ergibt sich fur das Vektorpotential nach (4.117)
A~ (~r ) = 1c
Z ~|(~r 0)
Z
1 l
3r0 = 1 X X 4 Ylm (#; ) ~|(~r 0 ) r0l Y (#0 ; 0) d3 r0 .
d
lm
j~r ~r 0 j
c l=0 m= l 2l + 1 rl+1
Das Vektorpotential folgt ohne Verzogerung den Veranderungen der Stromdichte (es gilt die gewohnte
\statische" Formel), man hat es mit einer quasistationaren Situation zu tun.
92
Elektrodynamik
b) Fernbereich.
Es gilt r ) kr 1. Wir verwenden die Naherungen
0
p
j~r ~r 0 j = ~r2 2~r~r 0 + ~r 02 r 1 ~rr~r2 = r ~n~r 0
fur den Exponenten und
1
1 1 + ~r~r 0 1
1
j~r ~r 0 j r 1 ~r~r 0 =r2 r
r2
r
1
fur den Nenner in (4.117). Dann wird
Z
~A(~r ) eikr 1 ~|(~r 0 ) e ik~n~r 0 d3r0 .
rc
(4.119)
Dieser Ausdruck beschreibt eine von der Quelle auslaufende Welle mit Winkelabhangigkeit, d. h. es
besteht keine Kugelsymmetrie, denn ~n gibt ja die Beobachtungsrichtung ~r=r an! Die aus A~ uber (4.118)
resultierenden B~ - und E~ -Felder sind erstens transversal (das wurde bereits in Abschnitt 4.7.1 auf Seite
78 allgemeiner hergeleitet) und zweitens Strahlungsfelder mit 1=r-Charakteristik. In (4.119) kann man
namlich wegen d ) kr0 1 die e-Funktion unter dem Integral in eine Taylor-Reihe entwickeln:
( ik)m Z ~|(~r 0 )(~n~r 0 )m d3 r0
m=0 m!
1
ikr X
A~ (~r ) ecr
(4.120)
Diese Entwicklung enthalt alle Glieder der Reihe und ist damit vollkommen gleichbedeutend mit (4.119).
Unter der Summe kommt der Abstand r nicht mehr vor, also fallt A~ in jeder Richtung und jeder
Komponente wie r 1 ab (uberlagert mit einer Oszillation aus eikr ). Fur groe r ergibt sich deswegen
auch fur die Felder ein 1=r-Verhalten.

c) Ubergangsbereich.
Die fur Nah- bzw. Fernbereich gemachten Naherungen konnen hier nicht angewendet werden. Genaueres
in [9, Kap. 16.1].
4.9.3 Die Dipolstrahlung als wichtiger Spezialfall
In diesem Abschnitt wird der Dipolanteil der von einer oszillierenden Stromverteilung abgegebenen
Strahlung untersucht. Insbesondere stot man dabei auf das bekannte !4 -Gesetz.
Der Dipolanteil ist in (4.120) in dem Summanden fur m = 0 enthalten. Nimmt man nur diesen Term
in die Naherung auf, so ergibt sich
ikr Z
ikr Z
ikr Z
0 0 3 0
~ r0 ~|(~r 0 )) d3 r0 = i ! e
A~ (~r ) ecr ~|(~r 0 ) d3r0 p:I:
= ecr ~r 0(r
c r ~r (~r ) d r
~ ~| = _ = i! (man kann zeigen, da diese Naherung ebenfalls im Nahbereich gilt). Das Integral
wegen r
stellt aber genau das Dipolmoment ~p der Ladungsverteilung dar. Damit ist also in Dipolnaherung
ikr
A~ (~r ) = ik e r ~p .
(4.121)
Aus A~ bekommt man das B~ - und E~ -Feld laut (4.118) zu
eikr ikr 1
2 (~n p~) e
~
~ A~ = ik r
B~ (~r ) = r
p
~
=
k
1
(4.122)
r
r
ikr
und
ikr
~ B~ = k2(~n ~p) ~n e + [3~n(~np~) p~] 13 ik2 eikr .
~E (~r ) = i r
(4.123)
k
r
r r
4.9 Das Feld vorgegebener Ladungen und Stromverteilungen
93
Fur kr 1 werden in B~ und E~ die Terme von hoherer als erster Ordnung in r 1 klein und konnen
vernachlassigt werden. Man bekommt
ikr
(4.124)
B~ k2 (~n ~p) e r
ikr
E~ k2 (~n ~p) ~n e r = B~ ~n .
(4.125)
Hier wird der Gegensatz zur Elektrostatik oenbar: Die Felder fallen nur noch mit r 1 ab | es handelt
sich um Strahlungsfelder! Die Energiestromdichte wird ja durch den Poynting-Vektor S~ / E~ B~ gegeben und hat damit eine r 2-Charakteristik. Die Integration von S~ uber eine Kugeloberache, die die
Stromverteilung enthalt, liefert also fur den hindurchtretenden Energiestrom unabhangig vom Radius
immer den gleichen Wert. Das bedeutet, da wirklich Energie in den Raum abgegeben wird.
Die Vektoren ~n, B~ und E~ bilden im Fernfeld oenbar ein orthogonales Dreibein. Man kann also
in groer Entfernung von den Quellen fur einen kleinen Raumbereich in guter Naherung mit ebenen
Wellen rechnen. Wie sieht es aber im Nahbereich (kr 1) aus? Hier dominieren die Terme mit hoheren
Potenzen von r in den Nennern von (4.122) und (4.123):
B~ (~r ) rik2 (~n p~)
(4.126)
(4.127)
E~ (~r ) r13 [3~n(~n~p) p~]
In der Nahe der Quellen sind also die B~ -Felder im Vergleich zu den elektrischen Feldern schwach,
insbesondere bei kleinen Frequenzen. Auerdem handelt es sich nicht um Strahlungsfelder.
Zuruck zum Fernfeld. Wir berechnen die zeitgemittelte ausgestrahlte Leistung pro Raumwinkel d
.
Die durch ein Flachenelement df = r2 d
tretende Leistung betragt
dP = r2 d
<(~nS~ ) .
Damit wird (beachte (4.64))
dP = r2 <(~nS~ ) = c r2< h(E~ B~ )~ni ,
d
8
und im Fernfeld wegen (4.124) und (4.125):
dP = c < hr2 h(B~ ~n) B~ i ~ni = ck4 f[[(~n ~p) ~n] (~n p~)] ~ng
d
8
8
Der Ausdruck in der geschweiften Klammer ist ein Spatprodukt, das zu
[(~n ~p) ~n] [(~n ~p) ~n] = [(~n ~p) ~n]2 = [~p ~n(~np~)]2 = ~p2 (~n~p)2
umgeschrieben werden kann. Damit wird
dP = ck4 ~p 2 (~n~p)2 = ck4 p2 sin2 #
(4.128)
d
8 | {z } 8
p (1 cos #)
2
2
mit der Konvention ~p k ~ez . Ausdruck (4.128) beschreibt die bekannte Torus-ahnliche Dipol-Abstrahlcharakteristik.
Die gesamte, vom Dipol im Zeitmittel ausgestrahlte Leistung bekommt man aus (4.128) durch
Integration uber den Raumwinkel:
4 Z 2Z 2
2 # d# d = c k4p2 = p !4
2
P = ck
p
(4.129)
sin
#
sin
8 0 0
3
3c3
Die vom Dipol ausgestrahlte Leistung ist proportional
zur vierten Potenz der Frequenz !
94
Elektrodynamik
4.9.4 Anwendung: Die lineare Antenne mit symmetrischer Speisung
!()+
,-./
0123
4567
Die lineare Antenne (Abb. 4.12) ist eine der einfachsten strahlungsfahigen Anordnungen. Wir nehmen
Abbildung 4.12: Anwendungsfall der linearen Antenne.
an, da der in der Antenne ieende Strom durch
I (z; t) = I (z ) e i!t , mit I (z ) = I0 1 2jdz j
gegeben ist. Aus der Kontinuitatsgleichung folgt sofort fur die zeitfreie Ladungsdichte
i!(z ) = 2d I0 ,
wobei das positive Vorzeichen fur z > 0, das negative fur z < 0 gilt. Damit ist
I0 e i(!t =2) .
(z ) e i!t = 2!d
Die Ladungsverteilung auf der Antenne ist also konstant uber z . Das Dipolmoment ergibt sich so zu
Z d=2
p=
z(z ) dz = I20!d ,
d=2
also !-abhangig! Die gesamte abgestrahlte Leistung ist nach (4.129) dann gleich
2 2 2
P = I012d c!3 .
4.9.5 Hohere multipolare Anteile der Strahlung
Durch die Berucksichtigung von Summanden mit m 6= 0 in (4.120) werden hohere multipolare Anteile
der Strahlung oenbar. Wir betrachten den Fall m = 1 und kommen zur elektrischen Quadrupol{ und
magnetischen Dipolstrahlung:
Z
ikr
A~ (~r ) = ecr ( ik) ~|(~r )(~n~r 0 ) d3r0
(4.130)
Nun kann man den Integranden gunstiger schreiben. Es ist namlich
1 (~n~r 0)~| = 1 [(~n~r 0 )~| + (~n~|)~r 0 ] + 1 (~r 0 ~|) ~n
c
2c
2c
wegen der \bac-cab"-Regel. Wir betrachten zunachst nur den Beitrag des letzten Terms. Dieser erinnert
aber stark an die Denition des magnetischen Moments in (3.23). Es ist
Z
m
~ = 21c ~r 0 ~|(~r 0) d3 r0 ,
4.9 Das Feld vorgegebener Ladungen und Stromverteilungen
also kann man fur den Beitrag des letzten Terms in (4.130)
ikr
A~ 2 (~r ) = e r (ik) ~n m
~
schreiben. Die elektrischen und magnetischen Felder ergeben sich dann zu
ikr
~ A~ = k2~n (~n m
B~ = r
~ )er
ikr
~ B~ = k2 (~n m
~ )er .
E~ = ki r
95
(4.131)
(4.132)
(4.133)
Man sieht, da das Magnetfeld von der Struktur her genau dem elektrischen Dipolfeld aus (4.125)
entspricht, nur da ~p durch m
~ ersetzt ist. Genauer gesagt, E~ und B~ haben (bis auf ein Vorzeichen) die
Rollen getauscht!
Bleibt noch der erste, symmetrische Term in (4.130) zu untersuchen. Es gilt
1 Z [(~n~r 0)~| + (~n~|)~r 0 ] d3r0 = i k Z ~r 0(~n~r 0 )(~r 0 ) d3r0
2c
2
wegen
Z @
Z
Z
@jl d3r0 p:I:
0 (nk x0 )] jl d3r0 =
=
[
x
[(~n~r 0 )~| + (~n~|)~r 0] d3r0
x0i (nk x0k ) @x
@x i k
l
l
~ ~| = _. Was also ubrig bleibt, ist
und der Kontinuitatsgleichung r
h ~ i k2 eikr Z 0 0 0 3 0 k2 eikr Z 0 0 0 3 0
(4.134)
A1 i = 2 r xi(nk xk )(~r ) d r = 2 r nk xixk (~r ) d r .
Oenbar ist es fur die physikalische Situation irrelevant, ob man zu dem Tensor noch eine Konstante
hinzuaddiert. Wahlt man geschickterweise das Negative seiner Spur, so hat man den bekannten Quadrupoltensor
Z
Qik = 3xixk r2 ik (~r ) d3 r .
Da der untersuchte Anteil der Strahlung etwas mit dem Quadrupolmoment zu tun haben mu, kann
man bereits am Auftreten zweiter Momente der Ladungsverteilung in (4.134) erkennen. Das Vektorpotential lat sich also schreiben als
2 ikr
A~ 1 = k6 e r Q~ mit Qi = nk Qik .
(4.135)
In [9, Kap. 9.3] nden sich weitere Ausfuhrungen zur elektrischen Quadrupolstrahlung.
4.9.6 Strahlung einer beliebig bewegten Ladung
Eine durch den Raum bewegte Ladung stellt einen veranderlichen Strom dar, also ist zu erwarten, da
Strahlung in irgend einer Form auftreten wird. In diesem Abschnitt werden die durch bewegte Ladungen
erzeugten Felder untersucht und gezeigt, da jede beschleunigte Ladung strahlen mu und somit Energie
verliert.
Gegeben sei also ein Teilchen der Ladung e und der Bahnkurve ~u(t). Die Teilchengeschwindigkeit
ist also ~v = d~u=dt und der zugehorige Strom lat sich durch
~|(~r 0 ; t0) = e~v (t0) (~r 0 ~u(t0 ))
ausdrucken. Die gesamte Ladung sei in einem Punkt vereint; das bedeutet fur die Ladungsdichte
(~r 0 ; t0) = e (~r 0 ~u(t0 )) .
Wenn Strom{ und Ladungsdichte bekannt sind, konnen uber (4.115) und (4.116) die retardierten Potentiale berechnet werden:
Z
0
0
0 ~A(~r; t) = e ~v (t0 ) (~r ~u(0 t )) t0 t + j~r ~r j dt0 d3r0
c
j~r ~r j
c
96
Elektrodynamik
Durch die zusatzliche t-Integration wird die retardierte Zeit eingefuhrt. Die ~r 0 -Integration kann nun
leicht durchgefuhrt werden, dazu mu man einfach im Integranden ~r 0 durch ~u(t0 ) ersetzen. Da im
folgenden oft die Dierenz (~r ~u(t0 )) = (~r ~r 0 ) auftritt, wahlt man die Substitution
R~ := ~r ~u(t0)
und bekommt schlielich
beziehungsweise analog
Z
R
0
~A(~r; t) = e ~v (t0) t t + c dt0
c
R
Z t0 t + R c dt0 .
(~r; t) = e
R
(4.136)
(4.137)
Hierbei ist zu beachten, da R~ von t0 abhangt. Zur Vereinfachung fuhrt man die Umformung
q := t0 t + Rc
ein. Damit wird
~ v (t0)
dq = 1 + 1 dR ; dR = d R~ 2 1=2 = 1 R~ 2 1=2 2R~ R~_ = R~ R~_ = R~
dt0
c dt0 dt0 dt0
2
R
R ,
also
dq = 1 R~ ~v (t0 ) und dt0 = dq
~ v(t0 ) .
dt0
Rc
1 R~
Rc
Damit kann man (4.136) und (4.137) umschreiben und ausintegrieren und erhalt
?
0 ?
A~ (~r; t) = ec ~v(Rt~ ~v)(t0) ???
R
c ? t0 =t Rc
e ??
.
(~r; t) =
?
R R~ ~vc(t0 ) ?t0 =t Rc
(4.138)
(4.139)
Dies sind die sogenannten Lienard-Wiechert-Potentiale. Die E~ - und B~ -Felder gewinnt man direkt aus
den Integralen (4.136) und (4.137):
@ A~ r
~
E~ = 1c @t
~ A~
B~ = r
Z (q)
Z ~v(t0)
e
0
0
~
mit A(~r; t) = c
R (q) dt und (~r; t) = e R dt
Z 1
0) ~
v
(
t
e
0
~
~
~
=) B = c r R ~v(t ) (q) + r (q) R dt0
Dabei wurde benutzt, da ~v nicht von ~r abhangt. Nach der Kettenregel ist
dq r
~R .
r~ (q) = ddq(q) dR
|{z} |{z}
~
R
=c =R
1
Damit wird
Z
B~ = ec
" ~ 0
#
R ~v (t ) (q) + R~ ~v (t0 ) d (q) dt0 .
R3
cR2 dq
(4.140)
4.9 Das Feld vorgegebener Ladungen und Stromverteilungen
Zur Berechnung von E~ benotigt man
r~ = e
wobei
Also ist
und
Z " R~
97
#
~ e Z ~v (t0 ) @ (q) 0
~ d (q) 0
@
A
R
R3 (q) + cR2 dq dt und @t = c
R @t dt ,
@ (q) = d (q) @q = d (q) .
@t
dq @t
dq
@ A~ = e Z ~v (t0 ) d (q) dt0 ,
@t
c
R dq
!
"
#
Z R~
@ A~ r
R~ ~v (t0 ) d (q) dt0 .
~=e
(4.141)
(
q
)
E~ = 1c @t
3
R
cR2 c2 R dq
Nun geht es an das Auflosen der Integrale. Aufgrund der vielen -Funktionen ist das keine Schwierigkeit.
Es gilt namlich
??1 Z
Z d(q)
Z d(q) dt0
0
dt
d f (t0 ) dt0 =
p:I:
0 ) dt0 =
0 ) dt0 = (q) f (t0 )?
f
(
t
f
(
t
(
q
)
?
?
dq
dt0 dq
dq
dt0 1 R~ ~vRc(t0 )
|
{z 1}
=0
" 0 #??
f (t ) ?
.
= dtd0
~ v(t0 ) ?
?
1 R~
0
q
=0
;t
=
t
Rc
R
c
Die Anwendung dieser Regeln auf die Ausdrucke fur E~ und B~ ergibt dann
h
i
~ R~v (t0 ))c2 1 vc + R~ (R~ c R~v(t0 )) ~v_ (t0 ) ??
(Rc
??
~E (~r; t) = e
~ v(t0 ))3
?t0=t R
(Rc R~
h
i c ?
v
0
2
0
0
_
~
~
~
~
(R ~v(t ))c 1 c + R R (Rc R~v(t )) ~v (t ) =R ??
B~ (~r; t) = e
??
(Rc R~ ~v(t0 ))3
t0 =t
2
(4.142)
2
2
2
R
c
,(4.143)
wobei wieder R~ = ~r u(t0 ). Da, wie man nachvollziehen kann,
~
~ v .
B~ = ~v c E , gilt also: B~ ? E;~
Um die Formeln (4.142) und (4.143) genauer zu untersuchen, teilt man die Ausdrucke in Anteile mit
bzw. ohne ~v_ -Terme auf.
i) Beitrage ohne ~v_ .
Lat man alle Beitrage, die ~v_ enthalten, weg, so hat man genau dann noch exakte Formeln, wenn
sich die Ladung gleichformig bewegt oder ruht. Das elektrische Feld lautet dann
(R~ c R~v (t0))c2 1 vc
E~ = e
(Rc R~ ~v(t0 ))3
2
2
?
??
??
t0=t
.
R
c
(4.144)
Das ist fur groe R proportional zu R 2. Fur das Magnetfeld gilt
(R~ ~v (t0 ))c2 1 vc
~B = e
(Rc R~ ~v(t0 ))3
2
2
?
??
??
t0 =t
R
c
,
(4.145)
98
Elektrodynamik
und auch das geht fur groe R mit R 2. Der Betrag des Poynting-Vektors ist aber proportional
jB~ jjE~ j:
jS~ j / jB~ jjE~ j / R14 .
Das bedeutet also, da eine gleichformig bewegte Ladung nicht strahlen kann. Um nun in den
Formeln noch die lastige Retardierung zu eliminieren, fuhrt man einige Umformungen durch.
Zunachst ist klar, da bei konstanter Geschwindigkeit der Unterschied zwischen R~ (t) und R~ (t0)
nur gleich ~v (t t0 ) sein kann, denn es gilt ja R~ (t0 ) = ~r ~u(t0 ):
R~ (t) = R~ (t0 ) (t t0)~v ) cR~ (t) = cR~ (t0 ) ~v R(t0 ) ,
da R = c(t t0 ). Somit hat man schon einmal die erste Klammer im Zahler von (4.144) allein auf
t statt auf t0 bezogen. Man betrachte nun folgenden Ausdruck:
cR~ (t)
2 2
R~ (t) ~v = c2 R2(t0 ) 2cR~ (t0)~v R(t0 ) + v2 R2(t0 )
|
2
R~ (t) ~v
{z
}
=(R~ (t0 )~v(t0))
2
Damit kann der Nenner in den Ausdrucken fur E~ und B~ umgeschrieben werden:
2
cR(t0) R~ (t0 )~v = cR~ (t)
2 ~
2
R(t) ~v
Erreicht wurde damit also quasi eine Elimination der Variable t0 aus den Feldern. Die Retardierte
Zeit tritt nicht mehr auf:
ec3 R~ (t) 1 vc
eR~ (t) 1 vc
E~ (~r; t) = =
(4.146)
2 2 3=2 2 3=2
~
v
cR~ (t)
R~ (t) ~v
R2 (t) R~ (t) c
2
2
2
2
~v R~ (t) 1 vc
~
B~ (~r; t) = ~v c E = ec 23=2
R2 (t) R~ (t) ~vc
2
2
(4.147)
Im folgenden werden diese Felder fur die Grenzfalle v c und v < c untersucht.
a) v c. Damit ist v=c 0 und die Felder werden zu
~
~
E~ = e RR3((tt)) B~ = ec ~v R3R(t()t) .
Das E~ -Feld ist also in erster Naherung das einer ruhenden Ladung (Abb. 4.13 links).
b) v < c. Hier unterscheiden wir zwei Falle, je nach der gewahlten Beobachtungsrichtung:
) R~ k ~v . Dann fallen die Kreuzprodukte im Nenner von (4.146) weg und es ist
2
jE~ j = Re2 1 vc2 ,
was einem schwachen, statischen Feld entspricht; die Klammer ist klein.
~
) R ? ~v . Dann wird
r 2 1
e
~
jE j = R2 1 vc2 ,
und das ist ein starkes elektrisches Feld, denn die kleine Groe steht jetzt im Nenner
(siehe auch [9, Kap. 11.9]).
4.9 Das Feld vorgegebener Ladungen und Stromverteilungen
!()+,-./0123
456789:;<!()
+,-./0123456
789:;<!()+,-
99
Abbildung 4.13: Andeutung des Feldverlaufs einer bewegten Ladung bei Beobachtung senkrecht zur
Flugrichtung und ~v = const: Links v c, rechts v < c.
Betrachtet man also das Teilchen in Flugrichtung, so wird das Feld umso schwacher sein, je
naher die Teilchengeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit kommt. Bei Beobachtung senkrecht zur Flugrichtung hingegen ndet man dann ein sehr starkes Feld (siehe Abb. 4.13
rechts). Man kann sagen, die Ladung \konzentriert" die Feldlinien in einer Ebene senkrecht
zur Flugrichtung.
ii) Beitrage / ~v_ .
Da wir nun lediglich die Terme betrachten werden, die ~v_ auch enthalten, sind die im folgenden zu
berechnenden E~ - und B~ -Felder als Zusatze bzw. Korrekturen zu den in i) angegebenen Feldern
zu verstehen und erhalten deshalb den Index `2'. Die einzelnen Beitrage lauten
h
i
~ R~v (t0) ~v_ (t0 ) ??
R~ Rc
??
E~ 2 = e
0
3
~
?t0=t R
(Rc R~v (t ))
h i c
R~ R~ (R~ c R~v(t0 )) ~v_ (t0 ) =R ???
B~ 2 = e
??
~ v (t0 ))3
(Rc R~
t0 =t
(4.148)
R
c
.
(4.149)
Das ist bei groen R beides proportional R 1, also gilt
jS~ j / R12
und man hat es mit Strahlungsfeldern zu tun!
Nur beschleunigte Ladungen strahlen Energie ab!
Da
~ ~
B~ 2 = R RE2 , folgt B~ 2 ? E~ 2 .
Auch hier lohnt es sich wieder, die Falle v c und v < c getrennt zu betrachten.
a) v c. Hier kann man in den Nennern den zweiten gegen den ersten Term vernachlassigen,
genauso wie in der innersten Klammer des Zahlers. Damit vereinfachen sich die Felder zu
R~ R~ ~v_
~E2 = e
c2 R3
h
R~ R~ R~ ~v_
~B2 = e
c2 R4
i
100
Elektrodynamik
(die t0 -Abhangigkeit wird im folgenden der Kurze halber weggelassen). Den Zahler im Ausdruck fur das Magnetfeld kann man noch etwas weiter massieren:
h i ~ _
R~ R~ R~ ~v_ = R~ ~v_ R~ R~ R2 R~ ~v_ ) B~ 2 = e Rc2R2~v
| {z }
=0
Wie sieht es in diesem Fall mit der Abstrahlung aus? Der mit den ~v_ -Anteilen assoziierte
Poynting-Vektor lautet
h i
2
S~ = 4c E~ 2 B~ 2 = 4cec4 R15 R~ R~ ~v_ R~ ~v_ ,
und die Klammer lat sich noch vereinfachen:
h ~ ~ _ ~ _ i h ~ ~ _ i ~ _ ~ _ 2 ~
R ~v R
R R ~v R ~v = R R ~v R ~v
|
Fur den Poynting-Vektor bekommt man dann
{z
=0
}
2
R~ R~ ~v_
e2 ~v_ 2 sin2 # , mit # = 6 ~v_ ; R~ .
~
)
j
S
j
=
S~ = 4c3
R5
4c3 R2
Die Abstrahlung ist also in einer Richtung senkrecht zur Momentanbeschleunigung am
groten. Die in den gesamten Raumwinkel abgestrahlte Leistung erhalt man durch Integration zu
Z
v_ 2 2 = 2 e2~v_ 2 .
P = R2jS~ j d
= e2 4~c
(4.150)
3
3 c3
Dies ist das sogenannte Larmor-Gesetz.
b) v < c. Die Rechnung ergibt hier eine starke Ausstrahlung in Richtung ~v (Synchrotronstrahlung).
Genaueres ndet sich in [9, Kap. 14.6].
e2
4.9.7 Streuung von Licht
In diesem Abschitt wird u. a. gezeigt, da das !4 -Gesetz nicht nur fur selbst strahlende Dipole, sondern
auch fur die Streuung von Licht an Dipolen gilt (induzierte Dipolstrahlung ). Dies fuhrt direkt zur
Erklarung der blauen Himmelsfarbe durch Rayleigh.
Gegeben sei also eine einfallende Welle mit E~ e, B~ e und der Einfallsrichtung ~ne. Nach der Streuung
durch Dipole beobachtet man in der Richtung ~ns die gestreute, ausfallende Welle mit E~ s und B~ s . Die
einfallende Welle werde beschrieben durch
E~ e = E~ 0 eik~ne~r B~ e = ~ne E~ e (siehe (4.63)),
und zur Vereinfachung betrachten wir die Situation im Vakuum, d. h. = = 1. Es interessiert die
Streustrahlung im Fernbereich, und es handelt sich, obwohl die Energie ja \von auen" zugefuhrt wird,
um strahlende Dipole. Demzufolge sind die in den Abschnitten 4.9.3 und 4.9.5 abgeleiteten Formeln fur
elektrische und magnetische Dipolstrahlung anwendbar. Es gilt also
ikr
~]
B~ s = ~ns E~ s ,
E~ s = k2 e r [~ns (~p ~ns) ~ns m
wobei ~p das elektrische und m
~ das magnetische Dipolmoment darstellt. Die ausgestrahlte Leistung in
Richtung ~ns pro Flacheneinheit ergibt sich aus dem Anteil des komplexen Poynting-Vektors entlang ~ns :
h h i
i
S~ ~ns = 8c ~ns E~ s ~ns E~ s = 8c ~ns E~ sE~ s ~ns E~ s~ns E~ s =
| {z }
4
~ ]2
= 8c E~ s2 = 8c kr2 [~ns (~p ~ns ) ~ns m
=0
(4.151)
4.9 Das Feld vorgegebener Ladungen und Stromverteilungen
101
Der dierentielle Streuquerschitt ist nun deniert als ausgestrahlte Leistung pro Einheits-Raumwinkel
und einfallendem Flu:
d (~n ;~n ) := r2 8c E~ s2 = k4 [~n (~p ~n ) ~n m
2
(4.152)
s
s ~]
2 s
c E~ 2
d
s e
E
0
8 0
In diesem Ausdruck kommen aber die elektrischen und magnetischen Dipolmomente noch vor. Wir
wollen jedoch induzierte Dipolstrahlung untersuchen, also bleibt noch auszurechnen, wie uberhaupt
Dipole durch die einfallende Strahlung entstehen. Dazu machen wir einige vereinfachende Annahmen.
Zunachst sei die bewegte Ladung q = e. Wenn ! die Frequenz der einfallenden Welle ist und !0 die
Resonanzfrequenz der erregten Dipole, dann entsteht bekanntlich ein Dipolmoment der Form
2~
~p = e mE0 !02 !2 i! 1 .
Vereinfachend wird angenommen, da das magnetische Dipolmoment verschwindet, m
~ = 0. Der totale
Streuquerschnitt, der ja ein Ma fur die \Streufahigkeit" des Dipols darstellt, ergibt sich zunachst zu
Z d
k4 Z p2 + (~p~n )2 2(~p~n )2 d
= p2 k4 Z sin2 # d
=
d
=
=
s
s
d
E02
E02
4
4
= 83 Ek 2 p2 = 83 c4!E 2 p2 .
(4.153)
0
0
Dabei wurde wieder ~p k ~ez gesetzt. Beim Einsetzen des induzierten Dipolmomentes unterscheidet man
zweckmaig zwei Falle.
i) ! !0. Man setzt
p2 e4 ,
E 2 m2 !4
und erhalt
0
0
e2 2 ! 4 .
(4.154)
= 83 mc
2
!0
Dieser totale Wirkungsquerschnitt wurde von Rayleigh bereits 1871 hergeleitet. Die !4 -Abhangigkeit ist verantwortlich fur die blaue Himmelsfarbe: Licht von der Sonne wird umso starker gestreut,
je hoher die Frequenz ist.
ii) ! !0. Dann dominiert der !2-Term im Resonanznenner des Dipolmoments und man setzt
p2 e4 .
E02 m2 !4
Daraus folgt
e2 2 ,
= 83 mc
(4.155)
2
und das ist bis auf m unabhangig vom Material und der eingestrahlten Frequenz. Dieses Phanomen
heit Thomson-Streuung.
102
Elektrodynamik
Kapitel 5
Spezielle Relativitatstheorie
In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Speziellen Relativitatstheorie (SRT) gelegt. Nach Einfuhrung der Viererschreibweise und der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik wird dann noch
auf die relativistische Mechanik eingegangen.
Um vermeintliche Paradoxa zu umgehen, die auf eine allzu anschauliche Vorstellung des MinkowskiRaumes zuruckgehen, wird an vielen Stellen ein sehr \theoretischer" Standpunkt eingenommen. In der
SRT versagt die Anschauung!
5.1 Koordinatentransformationen
Welche Motivation steckt hinter der Einfuhrung der SRT? Um diese grundlegende Frage zu beantworten,
beschaftigt man sich zunachst mit Koordinatentransformationen und leitet dann Widerspruche ab, aus
denen ein neues Verstandnis fur den Aufbau von Raum und Zeit erwachst.
5.1.1 Die Galilei-Transformation
Ein Ereignis ist bezuglich eines Koordinatensystems K deniert als ein vier-Tupel
(x; y; z; t) = (~r; t) .
Ein Beobachter in K \mit" dieses Ereignis an den angegebenen Raumkoordinaten, wenn er bezuglich
K ruht. Ein Ereignis kann von verschiedenen Bezugssystemen aus beobachtet werden, wobei seine
Koordinaten (dazu zahlt auch die Zeit, wie sich spater zeigen wird) in unterschiedlichen Systemen
(d. h. fur verschiedene Beobachter) unterschiedliche Werte haben konnen. In einem System K 0 , das sich
bezuglich K mit einer konstanten Geschwindigkeit ~v bewegt, hat das Ereignis fur einen dort ruhenden
Beobachter gestrichene Raum- und Zeitkoordinaten:
(x0 ; y0 ; z 0; t0) = (~r 0; t0)
Innerhalb der SRT betrachtet man lediglich Inertialsysteme. Ein Inertialsystem ist deniert als ein
Bezugssystem, in dem die Trajektorien dreier von einem Punkt in drei verschiedene Richtungen fortgeschleuderten und dann sich selbst uberlassenen Massenteilchen geradlinig sind und bleiben. Bezuglich
einer Transformation, die den U bergang von einem solchen System in ein anderes vermittelt, sind die
Gesetze der Mechanik, so wie wir sie bisher kennen, forminvariant. Diese Transformation heit GalileiTransformation:
~r 0 = ~r ~vt t0 = t ~v = const:
(5.1)
Als Beispiel betrachte man die Newtonsche Bewegungsgleichung fur ein N-Korper-Problem mit zweiKorper-Wechselwirkungen (Summation uber gleiche Indizes!):
X
vi0 = r
~
0
Vij (j~ri0 ~rj0j)
mi d~
r
i
dt0
j
103
104
Da
Spezielle Relativitatstheorie
ri0 = d~ri0 = ~v ~v , folgt
~vi0 = d~
i
dt0 dt
Auerdem ist (~ri0 ~rj0) = (~ri ~rj ) und damit
vi = r
~ ri X Vij (j~rj
mi d~
dt
j
Die Forminvarianz ist also gezeigt.
d~vi0 = d~vi .
dt0 dt
~rj j) .
In allen Inertialsystemen gelten die Gesetze der Mechanik in gleicher Form!
Soweit ist also alles konsistent. Probleme treten dann auf, wenn man auch die Elektrodynamik einer
Galilei-Transformation unterwirft. Man betrachte beispielsweise die homogene Wellengleichung, die im
Vakuum fur die Potentiale und A~ gilt:
1 @2 c2 @t2 f (~r; t) = 0 , mit f = ; Ai
Bei der Transformation dieser Gleichung nach Galilei bleibt so ziemlich nichts heil. Wir gehen von (~r; t)
auf (~r 0 ; t0) uber. Dabei ist
@f = @f @x0j + @f @t0 und @f = @f @x0j + @f @t0 ,
@xi @x0j @xi @t0 @xi
@t @x0j @t @t0 @t
und weiter
@x0i = , @t0 = 0 , @x0i = v , @t0 = 1 .
i
@xj ij @xi
@t
@t
Einsetzen dieser Transformationen in die zweiten Ableitungen ergibt fur den Laplace-Operator Invarianz:
@f @f
0
@xi = @x0i ) f = r f
Bei der Zeitableitung passiert es dann:
@f = @f v + @f = ~v r
@f ) @ 2 f = 2~v r
@f + @ 2 f + ~v r
~
~
~
~
0
0
0
0
f
f
+
~
v
r
r
j
r
r
r
0
2
@t
@xj
@t0
@t0
@t2
@t0 @t0
Die Wellengleichung nimmt daher im gestrichenen System folgende Form an:
2
~ r0 f = 0
~ r0 @ 0 12 ~v r
~ r0 ~v r
(5.2)
r0 c12 @ 0 2 + c22 ~v r
@t c
@t
Also ist die Wellengleichung nicht invariant gegen die Galilei-Transformation. Oenbar beschreibt diese
den U bergang zwischen zueinander bewegten Systemen nicht adaquat. Die Spezielle Relativitatstheorie
Einsteins bietet hier einen Ausweg. Sie baut lediglich auf zwei einfachen Postulaten auf und erlaubt die
Herleitung einer Transformation, die die o. a. Schwachen nicht aufweist. Die Postulate lauten wie folgt.
Das Relativitatsprinzip
In allen Inertialsystemen gelten die Naturgesetze in
gleicher Form.
Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
In allen Inertialsystemen ist die
Vakuum-Lichtgeschwindigkeit konstant gleich c.
5.1 Koordinatentransformationen
105
Man betrachte als Beispiel fur die Folgen dieser Postulate folgendes Gedankenexperiment: Gegeben
seien zwei Beobachter B und B0 , die sich mit der Geschwindigkeit v in entgegengesetzte Richtungen
bewegen. Irgendwann begegnen sie sich. Einer der Beobachter halte eine Streichholzschachtel mit Reibache, der andere ein Streichholz. Die Frage ist, welcher der beiden Beobachter nach der Begegnung
und dem Aufammen des Streichholzes das Recht hat, zu behaupten, die Kugelwelle des Lichtes breite
sich um ihn herum aus.
Die Antwort ist naturlich, da beide dies behaupten konnen. Man sieht das folgendermaen ein: Das
Ereignis 1 \Lichtblitz" habe in den Systemen K und K 0 folgende Koordinaten:
in K : (x1 ; y1; z1; t1 )
in K 0 : (x01 ; y10 ; z10 ; t01 )
Das Ereignis 2 sei dadurch deniert, da die Lichtwelle verschiedene Punkte in den beiden Systemen
erreicht:
in K erreicht die Lichtwelle den Punkt (x2; y2 ; z3; t2)
in K 0 erreicht die Lichtwelle den Punkt (x02; y20 ; z20 ; t02)
Jetzt wird das zweite Postulat eingesetzt. Da c in beiden Koordinatensystemen gleich ist, gelten in K
bzw. K 0 die Gleichungen
in K : (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 + (z2 z1 )2 c2(t2 t1 )2 = 0 .
in K 0 : (x02 x01 )2 + (y20 y10 )2 + (z20 z10 )2 c2(t02 t01 )2 = 0
Die Kugelwelle bleibt also in beiden Systemen eine Kugelwelle! Die beiden Beobachter sind vollkommen
gleichberechtigt.
Um das bisher Gesagte zu systematisieren, denieren wir den Abstand zwischen zwei Ereignissen 1
und 2 zu
s212 := c2(t2 t1)2 (x2 x1)2 (y2 y1 )2 (z2 z1 )2 .
Das Linienelement und damit die Metrik des betrachteten Raumes ergibt sich dann folgendermaen:
ds2 = c2dt2 dx2 dy2 dz 2
(5.3)
Man beachte, da diese Groe negativ werden kann, obwohl sie als Quadrat geschrieben wird. Welche
Bedeutung das Vorzeichen von ds2 hat, wird spater noch klar werden.
Oensichtlich gilt wegen des zweiten Postulates der SRT, da ein verschwindendes Linienelement in
allen Inertialsystemen verschwindet:
ds2 = 0 =) ds02 = 0
Auerdem gilt fur Linienelemente in verschiedenen Systemen ganz allgemein aus Grunden der Homogenitat und Isotropie des Raumes und der Zeit
ds2 = a ds02 .
(5.4)
Es gibt also eine lineare Beziehung zwischen Linienelementen in verschiedenen Koordinatensystemen.
Die vorangegangenen Denitionen lassen schon vermuten, da die Welt, in der sich die SRT abspielt,
schwer mit unserer Erfahrung in Einklang zu bringen ist. Die Zeit spielt bei der Berechnung von
Abstanden oensichtlich eine entscheidende Rolle. In Abschnitt 5.2 wird dies weiter vertieft.
Furs erste soll die Forderung genugen, da diese \Raumzeit" | wie auch immer sie beschaen ist
| homogen und isotrop sein mu. Die Konstante a in (5.4) kann damit nur vom Betrag der Relativgeschwindigkeit ~v abhangen: a = a(j~vj). Wie gro ist a? Um dies zu beantworten, betrachte man drei
Koordinatensysteme K , K1 und K2 , wobei ~v1 die Relativgeschwindigkeit von K1 zu K und ~v2 die von
K2 zu K angeben soll. Dann gilt
ds2 = a(j~v1j) ds21
ds2 = a(j~v2j) ds22
.
ds21 = a(j~v1 ~v2 j) ds22
106
Spezielle Relativitatstheorie
Aus den ersten beiden Gleichungen folgt
a(j~v1j) ds21 = a(j~v2j) ds22 ) ds21 = aa((jj~~vv2 jj)) ds22 ,
1
und zusammen mit der dritten Gleichung ergibt sich
a(j~v1 ~v2j) = aa((jj~~vv2 jj)) .
1
Hier kommt keinerlei Winkelabhangigkeit vor, obwohl das zu erwarten ware, da es sicher einen Unterschied macht, ob sich K1 und K2 in gleiche oder entgegengesetzte Richtungen bewegen. Die einzige
mogliche Folgerung aus dieser Tatsache ist, da a konstant sein mu. Aus oensichtlichen Grunden ist
daher
a = 1 ) ds2 = ds02 ) s2 = s02 .
(5.5)
Der Abstand zwischen zwei Ereignissen ist also invariant unter einer Transformation in ein anderes
Inertialsystem. Das ist ein Ergebnis, das unsere (zunachst unmotivierte) Wahl des Abstandsbegries
untermauert. Befanden wir uns in einem vierdimensionalen Raum mit euklidischer Geometrie, so ware
der Abstand zu einem beliebig gewahlten Nullpunkt
q
se12 = x21 + x22 + x23 + x24
konstant unter solchen Transformationen. Da sich die beiden Abstandsbegrie ja oensichtlich stark
unterscheiden, ist die euklidiche Vorstellung vom Raum nun endgultig gestorben.
Wir leben im Minkowski-Raum!
Die Beschaenheit eines Raumes ist durch sein Linienelement vollstandig festgelegt. Das MinkowskiLinienelement (5.3) ist von nun an das Ma der Dinge.
5.1.2 Die Lorentz-Transformation (LT)
Von nun an betrachten wir immer zwei Koordinatensysteme K und K 0 , die sich mit der konstanten
Geschwindigkeit
~v = (v; 0; 0)
gegeneinander bewegen. Es gilt also laut (5.5)
c2 t2 x2 = c2 t02 x02 .
Diese Gleichung ist automatisch erfullt, wenn man die Transformation
x = x0 cosh + ct0 sinh
ct = x0 sinh + ct0 cosh
einsetzt. Die Zahl stellt dabei anscheinend so etwas wie einen \Drehwinkel" in der x-t-Ebene dar.
Diese Bezeichnung ist naturlich aufgrund des Auftretens von Hyperbelfunktionen nicht ganz korrekt.
Welche Bedeutung hat nun ? Wir betrachten den Koordinaten-Ursprung in K 0 von K aus. Dann ist
also x0 = 0 und
x = ct0 sinh .
ct = ct0 cosh
Daraus folgt
x v
ct = c = tanh =: ,
5.1 Koordinatentransformationen
107
und mit den Entsprechungen
cosh2
sinh 2 = 1
sinh = p tanh 2
1 tanh
cosh = p 1 2
1 tanh
ergibt sich
x0 + vt0
(5.6)
x = p
1 2
0
0
(5.7)
t = tp+ x =c2
1 y = y0
z = z0 .
Diese Gleichungen beschreiben den U bergang von K nach K 0 korrekt. Der Parameter heit Rapiditat.
Die Transformation heit Lorentz-Transformation und ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet:
Die Umkehrtransformation erhalt man oensichtlich einfach durch die Ersetzung von fur .
Im Grenzfall v c geht die LT in die Galilei-Transformation uber.
Die Maxwell-Gleichungen (und damit auch die Wellengleichung) sind invariant unter LT.
Die LT hat weitreichende und fur den \gesunden Menschenverstand" verwirrende Konsequenzen, die von
der besonderen Beschaenheit des Minkowski-Raumes herruhren. Einige sollen hier erlautert werden.
a) Die Relativitat der Gleichzeitigkeit
Es hat keinen Sinn zu fragen, ob zwei Ereignisse bezuglich zweier gegeneinander bewegter Bezugssysteme
gleichzeitig sind. Man betrachte zwei im Bezugssystem K gleichzeitige Ereignisse 1 und 2 (t = 0), die
jedoch verschiedene x-Koordinaten haben sollen (x 6= 0). Vom System K 0 aus gesehen stellt sich das
folgendermaen dar (man beachte ! ):
t0 = p x=c2
1 x0 = p x 2
1 In K 0 sind also die Ereignisse keineswegs gleichzeitig! Der Begri der Gleichzeitigkeit ist zur Beschreibung von Ereignissen in verschiedenen Koordinatensystemen eben nicht geeignet.
b) Die Lorentz-Kontraktion
Bei einer Langenmessung kommt es darauf an, wie sich ein Beobachter relativ zum zu messenden Objekt
bewegt. Man betrachte einen im System K ruhenden Mastab der Lange L = x2 x1 . In K 0 gilt fur
seine Lange
x2 vt2 p
x1 vt1 = p
x2 x1 (p
t2 t1 )v ,
L0 = x02 (t0 ) x01 (t0 ) = p
(5.8)
2
2
2
1 1 1 1 2
und mittels
ct0 = ctp2 x22 = ctp1 x21 ) t2 t1 = c (x2 x1)
1 1 wird das zu
1 v=c L = L p1 2 .
(5.9)
L0 = p
| {z }
1 2
<1
p
Im gestrichenen System erscheint also der Mastab um den Faktor 1 2 verkurzt! Hier ist kein
\Betrug" geschehen, wie man bei (5.8) vielleicht vermuten konnte. Vielmehr spielt die Relativitat der
108
Spezielle Relativitatstheorie
Gleichzeitigkeit bei der Langenmessung eine entscheidende Rolle. Die Messung geschieht per denitionem gleichzeitig an beiden Enden des Mastabes in K 0 , d. h. nicht gleichzeitig in K !
Man sieht hier, wie wichtig es ist, fur Meprozesse exakte Verfahrensweisen anzugeben. Die Gleichzeitigkeit der Messungen an den beiden Enden des Mastabes ist kein Mu [8].
c) Die Zeitdilatation
Nicht nur auf die Langenmessung hat die LT Auswirkungen. Durch die Verknupfung von Orts{ und
Zeitkoordinaten kann man bereits erwarten, da auch mit der Zeitmessung Seltsames passiert, falls man
Uhren in gegeneinander bewegten Koordinatensystemen beobachtet. Wir fuhren in K 0 eine Zeitmessung
durch, und zwar mit einer Uhr, die zur Zeit t01 loslauft und bei t02 stoppt. Dann ist das Zeitintervall, das
man an der Uhr ablesen kann, gleich
p
p
T 0 = t02 (x0) t01 (x0) = 1c 1 2 (ct2 ct1 ) = T 1 2 ,
denn der Beobachter in K hat eine eigene Uhr, die in seinem System ruht (x2 = x1). Demnach gilt
0
(5.10)
T = p T 2 > T0 .
1 Also beurteilt ein Beobachter eine sich relativ zu ihm bewegende Uhr als langsamer laufend als seine
eigene, mit ihm verbundene Uhr. Ein bekannter experimenteller Beweis fur die Zeitdilatation wird vom
verlangsamten Zerfall schneller Myonen aus der kosmischen Strahlung geliefert.
d) Transformation von Geschwindigkeiten
Eines der erstaunlichsten Ergebnisse der SRT ist die Tatsache, da Geschwindigkeiten nicht mehr einfach
so linear addiert werden durfen. Sei ~u die Geschwindigkeit eines Massenpunktes im System K . In K 0
habe dieser Punkt die Geschwindigkeit ~u0. Der Einfachheit halber nehmen wir an, da der Vektor ~u0 in
der x0 -y0 -Ebene liegt. Es gilt also
0
0
0 = dy
u
u0z = 0 .
u0x = dx
y
0
0
dt
dt
Gesucht ist ~u = (ux ; uy ; uz ). Aus der LT gewinnt man
0
0
dt = dtp+ dx2=c
1 0 + v dt0
dx
dx = p
dy = dy0 dz = dz 0 .
1 2
Damit ist
0 + v dt0
0 p1 2
dx
dy
dy
dx
ux = dt = dt0 + dx0=c uy = dt = dt0 + dx0=c2 ,
und schlielich
u0x + v
ux = 1 +
(5.11)
u0 =c
p
u0y 1 2
uy = 1 + u0 =c2 .
x
x
(5.12)
Auerdem gilt uz = u0z . Das ist das sogenannte Additionstheorem fur Geschwindigkeiten. In der \GalileiWelt" konnten sich die Geschwindigkeit des Massenpunktes und die Relativgeschwindigkeit der Koordinatensysteme zu einem Wert groer c addieren. Das ist im Minkowski-Raum nicht moglich.
Die Lichtgeschwindigkeit c kann durch Koordinatentransformationen nicht erreicht oder u berschritten werden,
wenn alle beteiligten Geschwindigkeiten kleiner c sind!
5.1 Koordinatentransformationen
109
Leicht erkennt man in (5.11) das zweite Postulat der SRT wieder, wenn man u0x = c setzt. Dann wird
ux = c (Vereinfachung: u0y = 0). Auch geht das Additionstheorem im nichtrelativistischen Grenzfall
v c in die \gewohnte" Form uber | in diesem Fall darf man einfach addieren und macht keinen
groen Fehler.
e) Kausalitat
In einer Dimension lat sich der Minkowski-Raum graphisch anschaulich im sogenannten Raum-ZeitDiagramm darstellen. Teilchenbahnen sind darin als Weltlinien zu sehen (Abb. 5.1). Jeder Punkt im
Raum-Zeit-Diagramm entspricht einem Ereignis (~r; t). Weltlinien sind also Mengen von Ereignissen.
Der Lichtkegel ist deniert durch die Gleichung
!()+,-./0123
456789:;<!()
+,-./0123456
789:;<!()+,Abbildung 5.1: Links: Weltlinie im Raum-Zeit-Diagramm. Mitte und rechts: Zeitartige und raumartige
Ereignisse bzw. Abstande.
x2 + y2 + z 2 c2t2 = 0 ,
und eine Gerade, die auf dieser Flache verlauft, beschreibt die Weltlinie eines Photons. Die Transformation, die eine Weltlinie in ein bewegtes System uberfuhrt, lautet bekanntlich
x ct
x0 = p
ct0 = pct x2 .
2
1 1 Per Konvention legt man die Ursprunge der Systeme K und K 0 so fest, da x = 0 und t = 0 gilt, wenn
auch x0 = 0 und t0 = 0 ist. Der Abstand s212 zwischen zwei Ereignissen (~r1 ; t1) und (~r2 ; t2) ist unter LT
invariant, also gilt
2 = t02 r02 mit t12 = t2 t1 , r2 = (~r2 ~r1)2 .
s212 = c2 t212 r12
12
12
12
Man unterscheidet nun drei Arten von Ereignissen.
8 zeitartig 9
8 >0
<
=
<
Ein Ereignis heit : raumartig ; , wenn s2 = c2t2 r2 : < 0 .
lichtartig
=0
Dabei wurde mit s2 der Minkowski-Abstand von (~r = 0; t = 0) bezeichnet. Im folgenden wird o. E.
angenommen, da man sich nur auf der x-Achse bewegt, also y = z = 0 gilt. Wir betrachten zwei
Ereignisse (x1; t1) und (x2 ; t2) und ihren Lorentz-invarianten Minkowski-Abstand s212 = c2 (t1 t2 )2
(x1 x2 )2. Man unterscheidet drei Falle [12, Kap. 1.5]:
i) Zeitartiger Abstand | kausale Verbindung. Falls s212 > 0, gilt also (x1 x2)2 < c2(t1 t2)2, und das
bedeutet, da beide Ereignisse durch ein Lichtsignal verbunden werden konnen. Im MinkowskiDiagramm ist die Verbindungsgerade zwischen ihnen unter mehr als =4 geneigt. Dies hat zur
Folge, da ein Lichtsignal, das von dem fruheren Ereignis ausgeht, immer fruher am Ort des
spateren Ereignisses ankommt als dieses selbst geschieht | ein kausaler Zusammenhang (Abb. 5.1
Mitte). Auerdem gibt es immer ein Inertialsystem K 0 , in dem beide Ereignisse am selben Ort
stattnden, denn
s212 = c2t212 x212 =! c2 t0122 > 0
110
Spezielle Relativitatstheorie
ist erfullt. Bendet man sich am Raumzeit-Punkt (x = 0; t = 0), so kann man also von allen
Punkten im unteren Teil des Lichtkegels Nachrichten empfangen, nicht jedoch von denen im
oberen Teil. Die Halfte des Lichtkegels mit t < 0 heit deshalb absolute Vergangenheit, die mit
t > 0 absolute Zukunft.
ii) Raumartiger Abstand | keine kausale Verbindung. Falls s212 < 0, gilt (x1 x2)2 > c2(t1 t2)2. Ein
Lichtsignal vom fruheren Ereignis kommt also immer zu spat, um auf das spatere Ereignis noch
Einu haben zu konnen (Abb. 5.1 rechts). Durch eine LT lat sich immer ein Inertialsystem K 0
nden, in dem beide Ereignisse zur selben Zeit stattnden, denn es gilt
s212 = c2 t212 x212 =! x212 < 0 .

iii) Lichtartiger Abstand | Uberbr
uckung durch Lichtsignale. Zwei Ereignisse, deren Verbindungsge-
rade im Minkowski-Diagramm genau unter =4 geneigt ist, konnen nur durch ein Lichtsignal
und sonst keinen anderen Vorgang zur Informationsubermittlung verbunden werden. Ihr Abstand
s212 = 0 heit folglich lichtartig.
Folglich bezeichnet man ein einzelnes Ereignis dann als zeitartig, wenn sein Abstand von (x = 0; t = 0)
zeitartig ist.
Das Minkowski-Diagramm eronet eine graphische Moglichkeit zur Durchfuhrung von LorentzTransformationen. Dazu beschreibt man die Koordinatenachsen des bewegten Systems K 0 im Ruhesystem K . Die K 0 -Zeitachse ist demzufolge durch die Gleichung
x0 = 0 ) x ct = 0
gegeben. Dies ist aber wegen < 1 eine Ursprungsgerade mit einer Steigung groer =4. Analog erhalt
man die K 0 -Ortsachse aus t0 = 0 zu ct x0 = 0 als Gerade mit einer Steigung kleiner =4. Die Orts{
und Zeitachsen des gestrichenen Systems sind symmetrisch zum Lichtkegel angeordnet und bilden so ein
schiefwinkliges Koordinatensystem. Eine LT von K nach K 0 besteht folglich einfach aus der Projektion
eines Ereignisses in K auf die Achsen von K 0 unter Beachtung dieser Schiefwinkligkeit [8].
5.2 Das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum
Das Ziel dieses Abschnittes wird es sein, einen Formalismus zu entwickeln, mit dessen Hilfe die Gesetze
der Physik auf eine Weise geschrieben werden konnen, die ihre Invarianz gegen die LT evident macht.
Der erste Schritt fuhrt dabei uber die Einfuhrung der Viererschreibweise.
Seien ct, x, y und z Koordinaten im Minkowski-Raum. Man deniert
x := (x0; x1; x2; x3) = (ct; x; y; z ) , = 0; 1; 2; 3
x := x0; x1; x2; x3 = (ct; x; y; z )
als kovariante (x ) bzw. kontravariante (x ) Vierervektoren. Per Konvention steht ein griechischer
Index fur 0 : : : 3, ein lateinischer fur 1 : : : 3.1 Die Einstein-Konvention, wie wir sie bisher verwendeten,
wird nun eingeschrankt: summiert wird nur noch uber gleichnamige Indizes, wenn sie auf verschiedenen
Ebenen stehen, d. h.
x x =
3
X
=0
x x = s2
xi xi =
3
X
i=1
xi xi .
Die Beschaenheit, d. h. die Geometrie eines Raumes ist durch seine Metrik und damit durch sein
Linienelement eindeutig festgelegt. Es gilt
ds2 = g dx dx .
1
(5.13)
Diese Konvention wird in der Literatur u. U. genau umgekehrt verwendet. Eine allgemeine U bereinkunft gibt es nicht.
5.2 Das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum
Im euklidischen vierdimemsionalen Raum lautet die Metrik
01 0 0 0
B0 1 0 0
g = B
@0 0 1 0
0 0 0 1
111
1
CC ,
A
im Minkowski-Raum hat man dagegen
01 0 0 0 1
B 0 1 0 0 CC .
g = B
@0 0 1 0 A
0 0
0
1
(5.14)
Mit dieser Metrik ist es moglich, Indizes zu heben bzw. zu senken und damit kovariante in kontravariante
Vektoren zu verwandeln und umgekehrt. Oenbar gilt
x = g x und x = g x ,
wobei g die zu g inverse Metrik darstellt. Es gilt g = g und
g g = =
0 6= 1 = .
Wie transformieren sich nun allgemeine Vektoren beim U bergang in ein anderes Koordinatensystem?
Was macht uberhaupt einen kovarianten Vektor aus? Man betrachte die ko- bzw. kontravarianten Vierervektoren
A = A0 ; A1; A2 ; A3 .
A = A0 ; A1; A2; A3
Das Vektorfeld A hange von den Kontinuumskoordinaten ab: A = A (x ). Durch eine LT werde

nun der Ubergang
zu neuen Koordinaten x0 vermittelt. Die ko{ bzw. kontravariante Eigenschaft eines
Vektors ist nun durch sein Transformationsverhalten in das neue System festgelegt:
0
kontravarianter Vektor : A0 = @x
@x A
@x B
kovarianter Vektor : B0 = @x
0 Eine zentrale Forderung unseres Formalismus soll die Invarianz des Skalarproduktes B A gegen LT
sein. Dies ist wegen
@x @x0 B A = B A = B A
B0 A0 = @x
0 @x erfullt (die Stellung der Indizes am Kroneckersymbol wird spater noch klar). Die Motivation fur diese
Forderung ist oensichtlich: Minkowski-Abstande sollen unabhangig vom Koordinatensystem sein.
Den nachsten Schritt bildet die Untersuchung des Transformationsverhaltens von Ableitungen. Nach
der Kettenregel gilt
@ = @x @ ,
@x0 @x0 @x
also lat sich folgende allgemeine Regel aufstellen:
Die Ableitungen nach kovarianten (kontravarianten) Koordinaten verhalten sich wie kontravariante (kovariante)
Vektoren!
112
Spezielle Relativitatstheorie
Fur die Formulierung von Ableitungen hat sich in der SRT eine abkurzende Schreibweise durchgesetzt:
@ @ @ @
@
~
~
@ := @x = @x0 ; r , mit r = @x1 ; @x2 ; @x3
@
@ @ @
@
~
~
@ := @x = @x ; r , mit
r = @x ; @x ; @x .
0
1
2
3
Durch die Stellung der Indizes an den `@ 's wird o. a. Eigenschaft verdeutlicht. Nun ist es moglich, die
Viererdivergenz zu denieren:
0 @A1 @A2 @A3 1 @A0
@A
~ A~
(5.15)
@ A = @ A := @x0 + @x1 + @x2 + @x3 = c @t + r
Durch zweimalige Anwendung dieses Operators bekommt man eine elegante Schreibweise fur den
d'Alembert-Operator:
2
@2 := @ @ = @ 02 = c12 @t
2
@x
Als Anwendung des Formalismus untersuchen wir nun Geschwindigkeit und Beschleunigung.
a) Die Vierergeschwindigkeit
Aufgrund der Zeitdilatation ist es nicht so einfach, einen Ausdruck fur eine Geschwindigkeit hinzuschreiben | nach welcher Zeit soll die Bahnlinie abgeleitet werden? Von besonderer Bedeutung ist hier der
Begri der Eingenzeit. Sie bezeichnet die Zeit , die eine Uhr anzeigt, die mit dem bewegten Korper fest
verbunden ist, d. h. mit ihm bewegt wird. Mit t benennt man die Zeit im Ruhesystem des Beobachters.
Wie bereits hergeleitet, ist
p
2
(5.16)
d = dt 1 2 ) d 2 = dt2 1 2 = c12 (c dt)2 dx2 dy2 dz 2 = dsc2 ,
und damit ist die Eigenzeit invariant unter LT. Man hat also eine Zeit, die zur Denition eines Geschwindigkeitsbegries geeignet ist. Somit deniert man die Vierergeschwindigkeit u zu
1
c
1 dx dt
0 d(ct)
u := dx
d , also u = d = p1 2 , u = dt d = vx p1 2 : : :
=) u = p 1 2 (c;~v) .
(5.17)
1 Es ist dann
ds 2 = c2 .
u u = 1 1 2 c2 vx2 vy2 vz2 = d
(5.18)
b) Die Viererbeschleunigung
Analog zur Vierergeschwindigkeit deniert man die Viererbeschleunigung
d2 x b := du
d = d 2 .
Zwischen Vierergeschwindigkeit und {beschleunigung besteht ein besonderer Zusammenhang. Es ist
namlich nach (5.18)
u + u du = g du u + u b = 2u b ) \b ? u" .
0 = dd |(u{zu}) = du
d
d
d
=c
2
Ein Teilchen bewege sich nur entlang der x-Richtung. Dann ist
u0 = c = c dt ,
u1 vx dx
5.3 Lorentz-Transformation im Viererraum
113
was bedeutet, da der Vektor der Vierergeschwindigkeit immer tangential an der Weltlinie liegt und
damit zeitartig ist. Hingegen ist
0
d p 1 =0
=
c
b0 = du
d
d 1 2
im Ruhesystem des Teilchens, also ist b ein raumartiger Vektor.
5.3 Lorentz-Transformation im Viererraum: Rotationen und
Boosts
Im letzten Abschnitt wurde oft der U bergang zu den Koordinaten eines neuen Inertialsystems x0
vollzogen. Wie ndet man aber die x0, wenn man die Relativgeschwindigkeit der Koordinatensysteme
kennt?
Die allgemeinste lineare Transformation in ein anderes Koordinatensystem wird durch
x0 = L x
vermittelt. Wir suchen die Bedingungen, denen L genugt. Wegen der Invarianz des MinkowskiAbstandes unter LT ist
s2 = s02 = g x0 x0 = g L L x x =! g x x ) g = g L L .
In etwas suggestiverer Notation liest sich das zu
g = LT g L .
Hier erkennt man deutlich die A hnlichkeit zu orthogonalen Transformationen. Weiterhin gilt
(5.19)
(5.20)
T
det
|{z}g = |det{zL } det g det L ) det L = 1 .
=det L
= 1
Man nennt Transformationen mit
det L =
1
eigentliche LT
1 uneigentliche LT
.
Wir untersuchen im folgenden zwei konkrete Beispiele fur L .
i) Rotationen. Man setzt L00 = 1, L0i = Li0 = 0 :
01 0 0 01
C
B0
L = B
@ 0 R CA
0
Die Untermatrix R beschreibt dabei eine Rotation, also eine orthogonale Transformation im euklidischen 3d-Unterraum. Wie gewohnt redet man bei
det L = det R = 1 det L = 1
von
eigentlichen Rotationen.
uneigentlichen
ii) Boosts. Die durch L vermittelte Transformation soll in ein mit der Geschwindigkeit v z. B. in
x-Richtung bewegtes Inertialsystem fuhren. Laut den Gleichungen der LT ist
1
0
0
1
x02 = x2 x03 = x3 ,
x01 = xp x2
x00 = xp x2
1 1 114
Spezielle Relativitatstheorie
was zu
1
0 p1 p 0 0
1
1
CC
BB p p 1
0
0
CC fuhrt.
B
L =B 1 1 @ 0
0
1 0A
2
2
2
2
(5.21)
0
0
0 1
Fur kovariante Ortsvektoren lautet das Transformationsgesetz
x0 = L x , mit L = g L g ,
was zu
0 p1 p
1
0
0
BB p1 p11 CC
0
0
B
CC fuhrt.
L = B 1 1 @ 0
0
1 0A
0
2
2
2
2
0
(5.22)
0 1
Drei Rotationen um und drei Boosts entlang der Raumachsen ergeben sechs unabhangige Parameter
fur die eindeutige Bestimmung einer LT. Man sieht das auch auf eine alternative Weise ein. Die 16
Transformationsgleichungen
g = g L L sind nicht alle unabhangig. Wegen der Symmetrie von g hat man nur zehn unabhangige Gleichungen
und damit sechs freie Parameter [9, Kap. 11.7].
Einige weitere Eigenschaften der LT sind die folgenden:
i) Die LT bilden eine Gruppe. Bei der Hintereinanderausfuhrung zweier LT ergibt sich wieder eine LT.
Diese Gruppe ist aber nicht kommutativ, da es sich ja um Matrix-Multiplikationen handelt. Die
nachsten beiden Eigenschaften sind Folgen dieser Gruppen-Eigenschaft.
ii) Die Identitat ist eine LT. Das ist klar, da sich ein Boost fur = 0 in die Identitat verwandelt.
iii) Zu jeder LT existiert eine Inverse. Die Hintereinanderausfuhrung einer LT und ihrer Inversen fuhrt
also zur Identitat. Man kann die Inverse direkt angeben. Wie oben gezeigt, gilt
g = g L L .
Damit ist
= g g = g| g{z
L } L = L L .
Die gesuchte Inverse lautet
=:L also L = g g L .
5.4 Die Feldgleichungen in kovarianter Form
Der in den letzten Abschnitten entwickelte Formalismus stellt eine extrem leistungsfahige Methode zur
Formulierung der Elektrodynamik dar. Im folgenden werden die Gleichungen der Elektrodynamik so
geschrieben, da sie unter LT forminvariant bleiben.
5.4.1 Strome, Dichten, Potentiale
i) Die Kontiniutatsgleichung. Die Viererdivergenz (5.15) legt schon einen Zusammenhang mit der KG
nahe. Setzt man
so wird die KG einfach zu
j := (c;~|) ,
@ j = 0 ,
(5.23)
5.4 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
115
und da dies einen Skalar darstellt, ist die Gleichung Lorentz-invariant.2 Diese Eigenschaft ist von
nun an fur jede physikalische Gleichung zu fordern. Die Frage ist hier speziell, ob j wirklich ein
Vierervektor ist. Dazu mu sich seine nullte Komponente c als zeitartige Variable transformieren.
Die im Volumenelement d3 x eingeschlossene Ladung ist d3 x. Das Minkowski-Volumenelement
d4x transformiert sich auf folgende Weise:
@(x00; x01; x02; x04) 4
0
d x = @ (x0 ; x1; x2; x4) d4x = d4 x ,
{z
}
|
=j det Lj=1
also ist d4 x eine Lorentz-Invariante. Andererseits ist wegen der Invarianz der elektrischen Ladung
0 d3x0 = d3 x .
Damit ist gezeigt, da eine zeitartige Variable ist: sie transformiert sich wie dx0 [9, Kap. 11.9].
ii) Die Lorentz-Eichung. Die Lorentz-Eichbedingung lautet (siehe (4.30))
~ A~ + 1 @ = 0 .
r
c @t
Mit der Denition
A := ; A~
wird dies zu
@ A = 0 .
(5.24)
Auch das ist als Skalar wieder invariant unter LT. Das gilt oensichlich nicht fur die Coulomb~ A~ = 0.
Eichung r
iii) Vektor{ und Skalarpotential in Lorentz-Eichung. Die Feldgleichungen (4.31) und (4.32) fur die
Potentiale und A~ konnen nun kompakt hingeschrieben werden. Sie lauten zusammen einfach
(5.25)
A = 4c j .
iv) E~ - und B~ -Felder. Aus
den Potentialengewinnt man die physikalischen Felder nach (4.26) und B~ =
r~ A~ . Mit A = ; A~ und @ =
1@;
c @t
r~ ergibt sich beispielsweise fur die x-Komponenten
x @ = @ 0 A1 @ 1 A0
Ex = 1c @A
@t @x
z @Ay = @ 2 A3 @ 3 A2 .
Bx = @A
@y
@z
Im nachsten Abschnitt wird eine konsistente, elegante Formulierung der Maxwell-Gleichungen
vorgestellt.
5.4.2 Maxwell-Gleichungen in Vakuum und Materie
Wir denieren zunachst den antisymmetrischen Feldstarketensor
0 0 E
x
B
E
0
x
B
F =@ A @ A =@ E B
y
z
Ez
By
Ey
Bz
0
Bx
Ez
By
Bx
0
1
CC .
A
(5.26)
2 Man unterscheide zwischen Forminvarianz unter LT (das ist das eigentliche Ziel der kovarianten Formulierung) und
Lorentz-Invarianten, die ihren Wert unter LT beibehalten, so wie die linke Seite von (5.23). Hier ist das beides aufgrund
der skalaren Eigenschaft von @j der Fall.
116
Spezielle Relativitatstheorie
Seine kovariante Form erhalt man durch
0 0 E
x
B
E
0
x
B
F = g F g = @ E B
Ey
Bz
0
z
By Bx
y
Ez
Ez
By
Bx
0
1
CC .
A
Aus diesem gewinnt man den sogenannten dualen Feldstarketensor F uber
0 0
B Bx
F := 1 " F = B
@B
2
y
Bz
Bx
0
Ez
Ey
By Bz
Ez
Ey
0
Ex
Ex 0
1
CC .
A
(5.27)
Analog zum dreidimensionalen Fall ist hier
8 1 falls , , , zyklisch
<
" = : 1 falls , , , antizyklisch .
0 sonst.
(5.28)
Man sieht, da man von F direkt nach F gelangt, wenn man B~ fur E~ und E~ fur B~ einsetzt.
Mit diesen Denitionen konnen die Maxwell-Gleichungen auerst kompakt aufgeschrieben werden. Wir
trennen in inhomogene und homogene Gleichungen.
i) Die inhomogenen Gleichungen. Sie lauten unter Verwendung des Feldstarketensors einfach
@ F = 4c j ,
(5.29)
und diese Formulierung ist, wie man leicht zeigen kann, Lorentz-invariant. Also gilt in jedem
anderen Inertialsystem K 0 die Gleichung
@0 F 0 = 4c j 0 .
ii) Die homogenen Gleichungen. Sie haben die Form
@ F = 0 .
(5.30)
Wie sich zeigen lat, kann man die homogenen Gleichungen auch mit Hilfe des Feldstarketensors
F schreiben:
@ F + @ F + @ F = 0
(5.31)
Diese Gleichung heit auch Jacobi-Identitat (der Beweis erfolgt einfach durch das Einsetzen der
Defnition (5.26)). Da aber die Null auf der rechten Seite ganz automatisch allein durch die Denition von F herauskommt, sind die homogenen Gleichungen ohne jede weitere Annahme automatisch erfullt! Mit anderen Worten: Schreibt man (5.26) hin, so sind die homogenen Gleichungen
bereits impliziert und damit trivial! Beispielsweise bekommt man dann fur = 0, = 1 und
= 2 die z -Komponente der Induktionsgleichung wieder:
1@B
c @t z
@
@
@x Ey + @y Ex =
1 @
~ ~ ~
c @t B + r E = 0
Und fur = 1, = 2 und = 3 ergibt sich
@ B + @ B + @ B =r
~ B~ = 0 .
@x x @y y @z z
z
5.4 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
117
Zum Abschlu soll noch die kovariante Form der Feldgleichungen bei Anwesenheit von Materie diskutiert
werden. Die homogenen Feldgleichungen andern sich uberhaupt nicht. Die inhomogenen haben die Form
@ D~ = 4 ~| .
r~ D~ = 4 r~ H~ 1c @t
c
Mit der Denition
0 0 D D D 1
BB Dx 0 x Hyz Hyz CC
G := @ Dy Hz
(5.32)
0
Hx A
Dz Hy Hx
0
lauten die Maxwell-Gleichungen nun endgultig
(5.33)
@ G = 4c j @ F = 0 ,
(5.34)
und aus den Materialgleichungen D~ = E~ + 4P~ und H~ = B~ 4M~ wird
M = 41 (F 0 0 P
x
B
P
0
x
G ) , mit M = B
@ Py Mz
Pz
My
Py
Mz
0
Mx
Pz
My
Mx
0
1
CC .
A
(5.35)
5.4.3 Transformation der Felder
Wenn man schon die Elektrodynamik kovariant formuliert, dann stellt sich die Frage, wie sich elektrische und magnetische Felder bzw. der Feldstarketensor unter Lorentz-Transformationen verhalten. Die
universelle Transformationsvorschrift fur Tensoren zweiter Stufe lautet
F 0 = L L F .
Das gestrichene System bewege sich mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Richtung. Die zwischen
K und K 0 vermittelnde Transformation ist ein Boost der Form (5.21) und bewirkt, da im gestrichenen
System die Felder folgende Form annehmen:
Ex0 = Ex
p
Ey0 = (Ey Bz ) = 1 2
p
Ez0 = (Ez + By ) = 1 2
Bx0 = Bx
p
By0 = (By + Ez ) = 1 2
p
Bz0 = (Bz Ey ) = 1 2
(5.36)
Spatestens hier wird klar, da elektrisches und magnetisches Feld untrennbar verknupft sind. Der
Feldstarketensor F , nicht die getrennten Felder E~ und B~ liefert die relativistisch konsequente Beschreibung des elektromagnetischen Feldes. Die korrekte Verallgemeinerung von (5.36) fur allgemeine
Geschwindigkeiten ~v lautet
~
~ v ~v
B~ 0 = B~ v2 1 B~
c ~v E
~ v ~v + ~v B~
E~ 0 = E~ v2 1 E~
c
mit
:= p 1 2 .
1 Zu beachten ist, da zu einer Transformation in ein neues Bezugssystem immer auch eine Transformation
der Raumzeit-Koordinaten gehort, denn andere Koordinaten hat der dortige Beobachter ja nicht zur
Verfugung. In K 0 mussen also die Felder als E~ 0 = E~ 0(~x0 ; t0) und B~ 0 = B~ 0 (~x0; t0) ausgedruckt werden. In
den Formeln (5.36) wird diese Tatsache noch nicht berucksichtigt.
118
Spezielle Relativitatstheorie
Die obigen Formeln machen auch deutlich, da beispielsweise ein in einem bestimmten Inertialsystem
rein magnetisches Feld nicht in allen anderen Inertialsystemen auch rein magnetisch zu sein braucht.
Bei der Transformation treten plotzlich elektrische Feldkomponenten auf! Das darf aber nicht zu der
Annahme verfuhren, die Lorentz-Kraft
F~l = ec ~v B~
erwachse rein aus der Transformation des Magnetfeldes in das Bezugssystem eines bewegten Teilchens.
Wie man sich mit Hilfe von (5.36) leicht uberzeugt, gilt diese Aussage nur in niedrigster Ordnung in
v=c [9, Kap. 11,12].
5.5 Relativistische Mechanik: Lagrange- und Hamilton-Formalismus
Ziel dieses Abschnittes wird es sein, die Gesetze der Mechanik kovariant zu formulieren. Aus dem ersten
Postulat der SRT folgt unmittelbar, da dies moglich sein mu.
Die klassische Mechnik kann bekanntlich auf dem Hamiltonschen Variationsprinzip aufgebaut werden:
Zt
(5.37)
S = 0 mit S = L(qi; q_i; t) dt =) dtd @@q_ L @q@ L = 0
i
i
2
t
1
Diese Euler-Lagrange-Gleichungen sind dann die Bewegungsgleichungen des Systems. Sei nun im folgenden stets
:= p 1 2 .
1 Die sogenannte Hamilton-Funktion S soll nun eine Lorentz-Invariante sein. Dazu schreibt man
Z
dt
S = L = L d ,
Zt
2
2
t
1
1
also ist ein L zu nden, so da dies eine Lorentz-Invariante ist. Wir unterscheiden die beiden Falle eines
freien Teilchens und eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld.
a) Freies Teilchen
Oensichtlich kann L hier nur von q_i abhangen. Eine Lorentz-invariante Groe aus der Geschwindigkeit
ist der Ausdruck
u u = c2 ,
und das legt
p
L / c2 ) L = c2 1 2
nahe. Im Limes 1 wird das zu
2
L = c2 1 12 vc2 = c2 2 v2 , = const. .
Daraus folgt = m (Ruhemasse ), und die Lagrange-Funktion fur ein freies Teilchen ist dann
p
L = mc2 1 2 .
Mit diesem L lauten die Euler-Lagrange-Gleichungen
d @ L = d 1 mc2 2 vi = d (m~v ) = 0 ,
dt @ q_i
dt 2
c2
dt
(5.38)
(5.39)
5.5 Relativistische Mechanik
119
was im nichtrelativistischen Grenzfall ! 1 zur bekannten Newtonschen Bewegungsgleichung
d
dt (m~v ) = 0
wird. Wir betrachten nun die Lagrange-Funktion noch etwas genauer. Der kanonische Impuls berechnet
sich zu
dL = mv .
(5.40)
pi = dv
i
i
Das entspricht bis auf den Faktor genau dem nichtrelativistischen Fall. Oenbar mu man davon
ausgehen, da die Masse eines bewegten Korpers um den Faktor groer ist als seine Ruhemasse.
Der gerade berechnete kanonische Impuls hat noch immer drei Komponenten. Wir suchen jetzt einen
Viererimpuls, der in seinen raumartigen Komponenten diesen Impuls enthalt. Es liegt nahe, dazu die
bereits denierte Vierergeschwindigkeit u aus (5.17) heranzuziehen:
p := m ( c;~v)
(5.41)
Die Groe p p = m2 c2 ist dann eine Lorentz-Invariante.
Wie lautet der Ausdruck fur die Gesamtenergie eines freien Teilchens? Damit hatte man dann auch
gleich dessen Hamilton-Funktion. Analog zur klassischen Mechanik gewinnt man die Energie durch eine
Legendre-Transformation aus L :
v2 2
mc
2
2
2
E = pi q_i L = ~p~v L = mv + = mv + mc 1 c2 = mc2
Deswegen lat sich fur den Viererimpuls auch
E (5.42)
p = c ; ~p
schreiben. Aus der Gleichung
2
p p = m2 c2 (5=:42) Ec2 p2
folgt dann fur die Gesamtenergie
p
(5.43)
E = m2 c4 + p2 c2 .
2
Im Fall ~v = 0 ist also E = mc , wobei m die Ruhemasse darstellt. Entwickelt man (5.43) nach kleinen
Geschwindigkeiten, so erhalt man die vertraute Form
E mc2 + 21 mv2
zuruck.
b) Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
Zunachst rekapitulieren wir die \gewohnten" Gleichungen zur Beschreibung eines Teilchens der Ladung
e im elektromagnetischen Feld.
d~p = e E~ + ~v B~
(5.44)
dt
c
~ 1 @ A~
(5.45)
E~ = r
c @t
~ A~
B~ = r
(5.46)
Die Konstruktion der Lagrange-Gleichungen ist hier etwas komplizierter, da man es mit geschwindigkeitsabhangigen Potentialen zu tun hat. Durch Einsetzen der beiden letzten Gleichungen in die erste
erhalt man
!
~
d~p = e r
@
A
1
1
~
~ ~
dt
c @t + c ~v r A .
120
Spezielle Relativitatstheorie
h i
~ = @
Die weitere Behandlung verlangt eine Aufspaltung in Komponenten. Es gilt r
und
x @x
@A @A @A @A h ~ ~i
~v r A x = vy @xy @yx vz @zx @xz =
@Ay
@Az
@Ax
@Ax
@Ax
x
= vx @A
@x + vy @x + vz @x vx @x vy @y vz @z .
Hier wurde im letzten Schritt eine \geschickte Null" addiert. Aus der Identitat
dAx = @Ax + ~v r
~ Ax
dt
@t
gewinnt man schlielich
h ~ ~i @ ~ dAx @Ax
~v r A x = @x ~v A
dt + @t ,
also lat sich schreiben
1 d @ !
dpx = e @ 1 ~vA~
.
~v A~
dt
@x
c
c
dt
@v
x
|
{z
}
d @ 1 ~v A~
= dt
@vx
c
Oder vereinfacht:
dpx = @ + d @ U mit U = e e ~v A~
(5.47)
dt
@x dt @vx
c

Das hat schon starke Ahnlichkeit
mit Lagrange-Gleichungen. In der Tat erhalt man genau (5.47), wenn
man
(5.48)
L = T U = T e + ec ~v A~
setzt. Das korrekte geschwindigkeitsabhangige Potential im elektromagnetischen Feld ist also gefunden.
Mit
u = (c; ~v) und A = ; A~
ist
U = ce u A .
(5.49)
Die relativistische Lagrange-Funktion ergibt sich nun einfach zu
p
(5.50)
L = 1 2 mc2 + ec u A ,
was fur 1 in das gewohnte Ergebnis
L mc2 + 12 mv2 e + ec ~v A~
ubergeht. Die Hamilton-Funktion geht wieder aus L durch eine Legendre-Transformation hervor. Mit
P~ bezeichnen wir den generalisierten Impuls, der in diesem speziellen Fall bekanntlich nicht mit dem
mechanischen Impuls ubereinstimmt.
@L = mv + e A = p + e A
Pi = @v
i c i
i c i
i
@L L = mc2 + e
H = Pivi L = vi @v
i
Der Hamilton-Formalismus verlangt, da H durch den verallgemeinerten Impuls ausgedruckt wird. Dazu
wendet man einen Trick an. Es gelten die Gleichungen
H e = mc
c
~P e A~ = m~v .
c
5.6 Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes
121
Man hebt beide Gleichungen ins Quadrat und subtrahiert die zweite von der ersten. Auf der rechten
Seite steht dann p p = m2 c2, und es ergibt sich
H e 2 e 2
P~ c A~ = m2 c2 ,
c
woraus
r
e A~ 2 + e
c
H = m2 c4 + c2 P~
folgt. Fur 1 bekommt man wie fruher
H 21m P~
(5.51)
e A~ 2 + e + mc2 .
c
5.6 Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes
Im vorigen Abschnitt wurde die Lagrangesche und Hamiltonsche Mechanik auf relativistische Verhaltnisse verallgemeinert, indem Ausdrucke fur Lagrange- und Hamilton-Funktion gefunden wurden. Es ist
jedoch auch moglich, die Elektrodynamik in Lagrangescher Weise auszudrucken und damit die Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit Ladungs{ und Stromdichten zu beschreiben. Dies verlangt
allerdings nach der Einfuhrung einer kontinuerlichen Beschreibungsweise.
5.6.1 Allgemeine kontinuierliche Systeme
Wir ersetzen die Raumkoordinaten qi durch kontinuierliche Felder k (x), was den U bergang zu unendlich vielen Freiheitsgraden kennzeichnet. Der Index k zahlt dabei die Freiheitsgrade pro RaumzeitPunkt durch. Die generalisierte Geschwindigkeit q_i wird durch den Vierergradienten @ k ersetzt, die
Lagrange-Funktion
Z
X
L = Li (q; q_) durch
L (k ; @ k ) d3x .
i
Die Funktion L heit Lagrange-Dichte. Die korrekte Verallgemeinerung der Euler-Lagrange-Gleichungen
auf kontinuierliche Systeme lautet
@L .
@ @ [@@ L ] = @
(5.52)
k
k
Man sieht das auf folgende Weise ein: Nach dem Hamilton-Prinzip soll die Variation der Wirkung
S=
Z
L d3x dt =
Z
L d4 x
verschwinden. Es ist L = L (k ; @k ) und damit
S =
p:I:
=
Z @L
@ L [@ ] d4x =
+
k @ [@ ] k
k
k
Z @
@L
@L
!
4
@k @ @ [@ k ] k d x = 0 8 k .
Der Integrand mu also verschwinden. Daraus ergibt sich direkt (5.52).
5.6.2 Elektromagnetische Felder
Im speziellen Fall elektromagnetischer Felder benutzt man folgende Korrespondenzen:
k ! A
@ k ! @ A bzw. F (5.53)
122
Spezielle Relativitatstheorie
Da das Volumenelement d4 x eine Lorentz-Invariante ist, mu auch (wegen der Invarianz von S ) L eine
Lorentz-Invariante sein. Der Skalar
F F = 2 E~ 2 B~ 2
ist eine solche Invariante. Auch F F ware eine Moglichkeit, jedoch gilt
F F = 12 " F F = 21 " (@ A @ A ) (@ A @ A ) =
= 2 " (@ A ) (@A ) = 2 @ " A @ A .
Die zweiten Ableitungen von A fallen wegen der Eigenschaften von " weg (siehe (5.28)). Da fur
die Wirkung S in (5.53) ein Volumenintegral uber L gebildet werden mu, verschwindet bei freundlichen Feldern der Beitrag von F F zu S (Satz von Gau). In Analogie zur Mechanik fordert man
weiterhin, da der Term j A in L vorkommen soll und postuliert folgende Lagrange-Dichte fur das
elektromagnetische Feld:
(5.54)
L = 161 F F 1c j A
Gelingt es, aus diesem L die Feldgleichungen abzuleiten, dann war das Postulat gerechtfertigt. Zunachst
gilt
1 F F = 1 g g F F = 1 g g @ A @ A (@ A @ A ) .
16 16 16 Damit wird nach einigen Umformungen
1
1
@L
(5.55)
@ [@ A ] = 4 g g F = 4 F ,
und
@ @ [@@LA ] = 41 @ F .
(5.56)
Weiterhin gilt oensichtlich
@L
1
@A = c j ,
(5.57)
@ F = 4c j .
(5.58)
also lauten die Euler-Lagrange-Gleichungen
Das sind aber genau die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (5.29). Die Wahl von L war also gerechtfertigt. Die homogenen Gleichungen sind bereits direkt in der Denition von L \versteckt", denn das
Wegfallen der zweiten Ableitungen von A in F F entspricht genau dem Einsetzen der homogenen
Maxwell-Gleichungen @ F = 0. In der Tat sind schon durch die Denition von F die homogenen
Gleichungen automatisch erfullt (Jacobi-Identitat, siehe (5.31)).
5.7 Der Energie-Impuls-Tensor
In diesem Abschnitt gehen wir zunachst wieder zu allgemeinen kontinuierlichen Systemen zuruck und
untersuchen grundlegende Symmetrien und Erhaltungssatze. Spater werden diese Beziehungen dann
auf das elektromagnetische Feld angewandt.
5.7.1 Allgemeine kontinuierliche Systeme
Wir betrachten zunachst eine allgemeine, innitesimale, x -abhangige Transformation von Koordinaten
x auf Koordinaten x0 :
x0 = R (x) x , mit R (x) = + (x) ) x0 = x + | {z
x}
= (x)
5.7 Der Energie-Impuls-Tensor
123
Die durch so eine Transformation induzierte A nderung k ergibt sich zu
k = k (x + ) k (x) = (x) @ k .
Hier wird fur die x -Abhangigkeit eine vereinfachte Schreibweise gewahlt. Die A nderung des Gradienten
@ k ist gegeben durch
@ k = @ k (x0) @ k .
Gleichzeitig ist aber
1 ( (x + ) (x)) .
@ k = lim
k
k
!0 Wir untersuchen die beiden Ausdrucke in der Klammer. Um die Variation zu berechnen, die aus den
neuen Koordinaten x0 erwachst, sind folgende Ersetzungen zu vollziehen:
k (x + ) ! k x + + | + {z@ (x}) = k (x + ) + ( + @ ) @ k(x + )
=(x+)
k (x) ! k (x + ) = k (x) + @ k (x)
Damit folgt
1 @ ( (x + ) (x)) + @ ( ) @ = @ @ (x) + @ ( ) @ (x) .
@ k = lim
k
k
k
| k
!0 {z k } = @k
Die Variation der Wirkung ist dann gleich
Z @L
@
L
4
S =
@k k + @ [@ k ] [@ k ] d x =
Z @L
@
L
@
L
4
=
@k ( @ k ) + @ [@ k ] ( @ @ k ) + @ [@ k ] @ ( ) @ k d x .
Die ersten beiden Terme im Integranden lassen sich wegen
@L @L
@k ( @ k ) + @ [@ k ] ( @ @ k ) = @ L
vereinfachen, also ist schlielich mit der ublichen partiellen Integration
Z
(5.59)
S =
@ L @ @ [@@ L ] @ k d4 x .
k
Mittels der Denition
~ := @ [@@ L ] @ k L
k
lat sich die Klammer im Integranden von (5.59) als Divergenz eines Tensors schreiben:
S =
Z
@ ~ d4x
(5.60)
In seiner total kontravarianten Form deniert man also den kanonischen Energie-Impuls-Tensor
~ = g ~ = @ [@@ L ] @ k g L .
(5.61)
k
Genau dann, wenn die innitesimale Transformation, von der wir ausgegangen waren, eine Symmetrie
des Systems ist, d. h. S = 0, dann gilt wegen (5.60)
@ = 0 .
(5.62)
124
Spezielle Relativitatstheorie
Dies ist der universelle Erhaltungssatz fur kontinuierliche Systeme. Er hat die Form einer Kontinuitatsgleichung. Wir untersuchen einzelne Komponenten des Energie-Impuls-Tensors. Fur = = 0
ist
L @ L =: H ,
~ 00 = @@
@t
@ @t |{z}
|{z}
p
q_
und das entspricht oenbar der Energiedichte oder Hamilton-Dichte. Die Komponenten ~ 0i heien
Impulsdichte. Aus der Invarianz der Wirkung unter der betrachteten Koordinaten-Transformation folgt
also die Energie- und Impulserhaltung, denn durch Integration von (5.62) uber den gesamten Raum
erkennt man:
@ Z 0 d3 r = 0 ) P := H ; P~ = Z 0 d3r = const:
@t
c
5.7.2 Elektromagnetische Felder
Wie in Abschnitt 5.6.2 setzen wir nun konkret als kontinuierliches System das elektromagnetische Feld
ein. Dann ergeben sich folgende Korrespondenzen:
@L
1 @L
@ [@ k ] ! @ [@ A ] = 4 F
@L 1 @ [@ ] @ k ! 4 F @ A
k
Also bekommt man fur die Situation im Vakuum (keine Quellen) folgenden kanonischen Energie-ImpulsTensor:
~ = 41 F @ A + 161 g F F (5.63)
Leider hat der Tensor in dieser Form unter anderem den schweren Nachteil, nicht eichinvariant zu sein.
Bei einer Eichung des Vektorpotentials mittels
A ! A @ kommt als Zusatzterm wegen des Auftretens einfacher Ableitungen von A oensichtlich
1 F @ @ 4
ins Spiel. Um dies zu umgehen, symmetrisiert man den Energie-Impuls-Tensor, indem man einen Zusatzterm einfuhrt:
:= ~ + 41 F @ A = 41 F F + 161 g FF (5.64)
) = 41 g F F + 161 g F F Im Vakuum (ohne Quellen) kann man leicht zeigen, da immer noch
@ = 0
(5.65)
gilt, wenn man die Gleichungen (5.29) einsetzt. Die einzelnen Komponenten von verdienen eine
genauere Betrachtung:
00 = 81 E~ 2 + B~ 2 = w
0i = 41 E~ B~ = 1c S~
~ 2 ~ 2
1
1
ij
= Tij
= 4 EiEj + Bi Bj 2 ij E + B
5.7 Der Energie-Impuls-Tensor
125
Diese drei Anteile stellen (von oben nach unten) die Energiedichte, den Poynting-Vektor und den Maxwellschen Spannungstensor dar. Schon jetzt konnte man aus (5.65) Erhaltungssatze ableiten, jedoch
sollen zunachst die Verhaltnisse beim Vorhandensein von Quellen geklart werden. Dazu schreibt man
g F F = F F = g F F ,
und damit ist
@ = 41 @ F F + 41 @ F F =) @ = 1c F j .
(5.66)
Fur = 0 wird dies zu
1 @w + r
~ S~ = 1 ~|E~ ,
c @t
c
also dem Poyntingschen Satz (4.46)! Fur = i = 1 : : : 3 erhalt man dagegen
@ 1 hE~ B~ i
@t 4c
i
X
3
@ T = E + 1 h~| B~ i ,
i c
@xj ij
i
j =1
(5.67)
und das ist der Impulssatz (4.49) in dierentieller Form.
Man betrachte die rechte Seite von (5.66) noch einmal genauer. Es ist
f := 1c F j = 1c ~|E~ ; E~ + 1c ~| B~
deniert als Lorentz-Kraftdichte. Wir suchen die Bewegungsgleichungen fur die Wechselwirkung von
Ladungen und Stromen mit elektromagnetischen Feldern. Sei E die kinetische Energiedichte einer Ladungsverteilung . Mit der oensichtlichen Entsprechung
~|E~ = ~v E~ = ddtE
gilt fur den uber ein bestimmtes Volumen V integrierten Viererimpuls
dp = Z f d3 x .
(5.68)
dt
V
Im speziellen Fall eines Punktteilchens der Ladung e sind die Ladungs{ und Stromdichten mit
x (~x ~r(t)) (~x) = e (~x ~r(t))
~|(~x) = e d~
dt
gegeben, womit (5.68) zu der Bewegungsgleichung
d E ; ~p = 1 ~v E~ ; eE~ + 1 e~v B~
(5.69)
dt c
c
c
fuhrt, also zur Lorentz-Kraft. Die Groe E stellt die kinetische Energie des Teilchens dar. Man beachte, da dies keineswegs eine Herleitung der Lorentz-Kraft ist, denn (4.42) bzw. (4.47) wurden beim
U bergang von (5.67) zu (5.68) hineingesteckt. Gleichung (5.69) bzw. (5.68) geben lediglich die kovariante
Formulierung der Lorentz-Kraft wieder.
126
Spezielle Relativitatstheorie
Literaturverzeichnis
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