Trigonometrie

Projekt "Podpora
výuky v cizích jazycích na SPŠT"
Trigonometrie
MATN2
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
1
Trigonometrie
Trigonometrie je oblastí matematiky, která se zabývá řešením úloh v obecném
trojúhelníku (v doslovném překladu z řečtiny znamená toto slovo měření trojúhelníku).
Již na základní škole a v 1. ročníku jste řešili úlohy týkající se trojúhelníku pravoúhlého
nebo rovnoramenného. My se v této kapitole naučíme řešit trojúhelník obecný. Nejdříve si
však zopakujeme to, co bychom již měli z dřívějška znát.
1.Opakování
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C platí:
Pythagorova věta: Součet obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami je roven obsahu čtverce
sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku.
+ .
Sinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny protilehlé tomuto úhlu a délky přepony.
sinα sin Kosinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny přilehlé tomuto úhlu a délky přepony.
cosα
cosβ Tangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny protilehlé tomuto úhlu a odvěsny přilehlé.
tgα tg Kotangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny přilehlé tomuto úhlu a odvěsny protilehlé.
cotg cotgα 2
.
Trigonometrie
Trigonometrie je ein Bereich der Mathematik, der sich mit Lösungen von Aufgaben
im Gemeindreieck beschäftigt (in der wortgetreuen Übersetzung vom Griechischen bedeutet
dieses Wort ein Dreieckmessen).
Schon in der Grundschule und im ersten Studiengang haben sie Aufgaben beschäftigt,
die Rechtwinkel- oder Gleichschenkdreieck betreffen. Wir lernen in diesem Kapitel
Gemeindreieck zu lösen. Zuerst wiederholen wir das, was wir schon aus der Vergangenheit
kennen sollten.
1.Wiederholen
Im Rechtwinkeldreieck ABC mit dem Rechtwinkel beim Eckpunkt C gilt:
Pythagoreischer Lehrsatz: Die Gesamtzahl der Inhalte von Vierecken, die über den Katheten
konstruiert sind, kommt dem Inhalt des Viereckes, das über der Kathete des
Rechtwinkeldreiecks konstruiert ist, gleich.
+ .
Sinus des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Länge der Kathete, die diesem Winkel
gegenüberliegend ist, und der Länge der Hypotenuse.
sinα sin Kosinus des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Länge der Kathete, die diesem Winkel
anliegen ist, und der Länge des Hypotenuse.
cosα
cosβ Tangens des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Längen der diesem Winkel
gegenüberliegenden Kathete und der anliegenden Kathete.
tgα tg Kotangens des Scharfwinkels ist das Verhältnis der Längen der diesem Winkel anliegenden
Kathete und der gegenüberliegenden Kathete.
cotg cotgα 3
.
Obr.1.1.
Cvičení
1. Na břehu řeky je změřena vzdálenost || 20kolmá na směr . Z bodu je
vidět bod na protějším břehu pod úhlem 65°. Jak široká je řeka v místech , ?
2. Dvě přímé ulice se křižují v úhlu o velikosti β 51°. Místo na jedné z těchto ulic,
vzdálené od křižovatky 1625m, má být spojeno nejkratší cestou s druhou ulicí. Jak
dlouhá bude tato spojka?
2. Sinová věta
V předchozím článku jsme ukázali, jak lze užít znalosti o goniometrických funkcích
při řešení úloh, jejichž matematizací dospějeme k úkolu nalézt velikosti některých stran či
úhlů v pravoúhlém trojúhelníku.
Nyní se postupně seznámíme s několika větami, které mají základní důležitost při
hledání velikostí stran a úhlů v libovolném trojúhelníku (tede ne pouze v pravoúhlém).
V tomto článku uvedeme sinovou větu:
Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c, platí:
(*)
Poměr délky strany a hodnoty sinu velikosti protilehlého úhlu je v trojúhelníku konstantní.
( α |∢BAC|, β |∢ABC|, γ |∢ACB|, a |BC|, b |AC|, c |AB| )
4
Bild.1.1.
Übungen
1. Am Flussufer ist die Entfernung || 20senkrecht zur Richtung abgemessen.
Vom Punkt ist der Punkt m gegenüberliegendem Ufer unter dem Winkel 65 zu
sehen. Wie breit ist der Fluss in den Punkten , ?
2. Zwei geraden Straßen kreuzen sich in der Winkelgröße β 51°. Die Stelle an einer
dieser Straßen, die von der Kreuzung 1625m entfernt ist, soll mit dem kürzesten Weg
mit der anderen Straße verbunden werden. Wie lang wird dieser Verbindungsweg
sein?
2. Sinussatz
Im vorgegangenem Artikel haben wir gezeigt, wie man die Kenntnisse über
goniometrischen Funktionen beim Aufgabenlösen nutzen kann,
durch deren
Mathematisierung wir die Aufgabe erreichen, die Größen von einigen Seiten und Winkeln im
Rechtwinkeldreieck zu finden.
Jetzt lernen wir schrittweise ein paar Sätze kennen, die die Grundwichtigkeit beim
Suchen von Seiten- und Winkelgrößen im beliebigen Dreieck (also nicht nur im
Rechtwinkeldreieck) haben.
In diesem Artikel führen wir den Sinussatz an:
Für jedes Dreieck ABC, dessen innere Winkel die Größen α,β,γ und die Seiten den Längen a,
b, c haben, gilt:
(*)
Das Verhältnis der Seitenlänge und des Sinuswertes der Größe des gegenüberliegenden
Winkels ist im Dreieck konstant.
( α |∢BAC|, β |∢ABC|, γ |∢ACB|, a |BC|, b |AC|, c |AB| )
5
Sinovou větu užíváme k výpočtu neznámých délek stran a velikostí úhlů trojúhelníku v těchto
dvou případech:
a) je-li dána délka jedné strany a velikosti dvou vnitřních úhlů;
b) jsou-li dány délky dvou stran a velikost vnitřního úhlu proti jedné z nich.
Obr.2.1.
Příklad 1
V trojúhelníku ABC je dáno: α 0,845, β 0,682, c 5,24cm. Vypočítejte délky
zbývajících stran a velikost vnitřního úhlu γ.
Řešení.
Z věty usu o shodnosti trojúhelníků plyne, že bude existovat právě jedno řešení, tj. γ, a, b
budou určeny jednoznačně.
a) V každém trojúhelníku je součet velikostí všech vnitřních úhlů roven π, a proto
|∢| , - . / . - . 0,845 . 0,682 ≐ 1,615
b) S užitím sinové věty určíme délku strany BC, tj. a:
sin / sin ,
Odtud:
∙
sin /
0,748
≐ 55,24 ∙
8 cm ≐ 3,92cm
sin ,
0,999
6
Den Sinussatz nutzt man zur Berechnung von unbekannten Seitenlängen und Winkelgrößen
des Dreiecks in diesen zwei Fällen:
a) wenn die Länge einer Seite und die Größe von zwei Innenwinkels gegeben ist;
b) wenn die Längen von zwei Seiten und die Größe eines Innenwinkels, das gegenüber einer
von ihnen ist, gegeben ist .
Bild.2.1.
Beispiel 1
Im Dreieck ABC ist gegeben: α 0,845, β 0,682, c 5,24cm. Berechnen Sie die Größen
von den zwei Seiten und die Größe des Innenwinkels γ.
Lösung:
Vom Satz Winkel-Seite-Winkel über die Gemeinsamkeit von Dreiecken geht hervor, dass es
gerade eine Lösung ist, d.h. γ, a, b werden eindeutig bestimmt.
a) In jedem Dreieck ist die Gesamtzahl von Größen aller Innenwinkel gleich π, und
deswegen:
|∢| , - . / . - . 0,845 . 0,682 ≐ 1,615
b) Mit Nutzung des Sinussatzes bestimmen wir die Seitenlänge BC, d.h. a:
sin / sin ,
Hiervon:
∙
sin /
0,748
≐ 55,24 ∙
8 cm ≐ 3,92cm
sin ,
0,999
7
c) Pomocí sinové věty vypočítáme nakonec délku strany AC, čili b:
sin / sin Z toho:
∙
sin 0,630
≐ 53,92 ∙
8 cm ≐ 3,30cm
sin /
0,748
Závěr: γ≐1,615,a≐3,92cm, b≐3,30cm
Přiklad 2
V trojúhelníku ABC je dáno: , 72°10′, 8,54, 10,82. Určete velikost
zbývajících vnitřních úhlů a délku strany a.
Řešení.
Z věty Sus o shodnosti trojúhelníků vyplývá, že α, β, a budou určeny jednoznačně.
a) Nejprve s užitím sinové věty vypočítáme velikosti úhlu ABC, tj. β:
sin sin ,
sin 8,54
∙ sin , ∙ sin 72°10′ ≐ 0,789 ∙ 0,9520 ≐ 0,751
10,82
K určení β je třeba vyřešit rovnici sin 0,751 o neznámé ∈ <0°, 180°=. Tato rovnice má
dva kořeny:
> ≐ 48°40′
≐ 131°20′
však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC v uvažovaném trojúhelníku, protože
? , ≐ 203°30′ a přitom víme, že součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je
180°. Je tedy 48°40@ .
8
c) Mit Hilfe des Sinussatzes berechnen wir am Ende die Seitenlänge AC, also b:
sin / sin Daraus:
∙
sin 0,630
≐ 53,92 ∙
8 cm ≐ 3,30cm
sin /
0,748
Schlussfolgerung: γ≐1,615,a≐3,92cm, b≐3,30cm
Beispiel 2
Im Dreieck ABC ist gegeben: , 72°10′, 8,54, 10,82. Bestimmen Sie die
Größen von übrigen Innenwinkeln und die Seitenlänge a.
Lösung.
Vom Satz Seite-Winkel-Seite über die Gemeinsamkeit von Dreiecken geht hervor, dass α, β,
a werden eindeutig bestimmt.
a) Zuerst berechnen wir mit Hilfe des Sinussatzes die Winkelgrößen ABC, d.h. β:
sin sin ,
sin 8,54
∙ sin , ∙ sin 72°10′ ≐ 0,789 ∙ 0,9520 ≐ 0,751
10,82
Zur Bestimmung β ist es nötig, die Gleichung sin 0,751 über die Unbekannte
∈ <0°, 180°=zu lösen. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln:
> ≐ 48°40′
≐ 131°20′
kann aber nicht die Größe des Innenwinkels ABC im geplanten Dreieck sein, weil
? , ≐ 203°30′ und dabei wissen wir, dass die Gesamtzahl von Größen aller Innenwinkeln
im Dreieck 180°ist. Es ist also 48°40@ .
9
b) Určíme velikost úhlu CAB, tj. α:
/ 180° . . , ≐ 180° . 48°40@ . 72°10@ 59°10′
c) Zbývá vypočítat délku strany BC , tj. a. Využijeme opět sinovou větu:
/
sin / sin ,
A
E,FGFH
∙ B ≐ C10‚82 ∙ E,IFEJcm ≐9,79cm
Závěr: / ≐ 59°10′ , ≐ 48°40′ , ≐ 9,76cm
Sinovou větu lze v některých případech s výhodou užít při výpočtu obsahů
trojúhelníků.
Nejprve uvedeme jednu větu:
Pro obsah S trojúhelníku, jehož strany mají délky a, b, c a vnitřní úhly velikosti α, β, γ, platí
1
1
1
K sin , sin sin /
2
2
2
Důkaz.
Obr.2.2.
Víme, že obsah trojúhelníku lze vypočítat podle vzorce
>
K L ,
(1)
kde L je výška ke straně BC. Dále platí, že
L sin ,
10
(2)
b) Wir bestimmen die Winkelgröße CAB, d.h. α:
/ 180° . . , ≐ 180° . 48°40@ . 72°10@ 59°10′
c) Es bleibt die Seitenlänge BC zu berechnen, d.h. a. wir nutzen wieder den Sinussatz:
∙
A
B
≐ C10‚82 ∙
E,FGFH
E,IFE
/
sin / sin ,
Jcm ≐9,79cm
Schlussfolgerung: / ≐ 59°10′ , ≐ 48°40′ , ≐ 9,76cm
Den Sinussatz kann man in einigen Fällen mit Vorteil bei der Berechnung von
Dreieckinhalten nutzen.
Zuerst führen wir einen Satz an:
Für den Inhalt S des Dreieckes, dessen Seiten die Längen a, b, c und die Innenwinkelgrößen
α, β, γ haben, gilt
1
1
1
K sin , sin sin /
2
2
2
Beweis.
Bild.2.2.
Wir wissen, dass den Dreieckinhalt man nach der Formel
>
K L ,
(1)
wo L die Höhe zur Seite BC ist, berechnen kann. Es gilt weiter, dass
L sin ,
11
(2)
a také
L sin .
(3)
Dosadíme-li do (1) vztah (2), dostaneme
>
K sin ,;
po dosazení (3) do (1) obdržíme
>
K sin .
>
Poslední ze tří vztahů uvedených ve větě můžeme získat např. s využitím vzorce K L
.
Příklad 3
Určete obsah trojúhelníku, je-li dáno: 25,10 dm, / 63°, 38° .
Řešení.
Nejdříve pomocí sinové věty vypočítáme b, pak určíme γ a nakonec dosadíme dané a
>
vypočtené údaje do vzorce K sin ,.
sin sin /
25,1
25,1
∙ sin 5
∙ sin 38°8 M ≐ 5
⋅ 0,61578 M ≐ 17,34M
sin /
sin 63°
0,8910
, 180° . / . 180° . 63° . 38° 79°
1
1
K sin , ≐ 5 ⋅ 25,1 ⋅ 17,4 ⋅ sin 79°8 M ≐ <217,62 ∙ 0,9816=M ≐ 213,6M
2
2
Závěr: Obsah trojúhelníku je přibližně 213,6M .
12
und auch
L sin .
(3)
Wenn wir in (1) die Beziehung (2) einsetzen, bekommen wir
>
K sin ,;
Nach der Einsetzung (3) in (1) bekommen wir
>
K sin .
Das letzte von den im Satz angeführten Verhältnissen kann man z.B. mit Hilfe von der Formel
>
K L
bekommen.
Beispiel 3
Bestimmen Sie den Dreieckinhalt, wenn es angegeben ist: 25,10 dm, / 63°, 38° .
Lösung.
Zuerst berechnen wir mit Hilfe vom Sinussatz b, dann bestimmen wir γ und zum Schluss
>
setzen wir die gegebenen und berechneten Angaben in die Formel K sin , ein.
sin sin /
25,1
25,1
∙ sin 5
∙ sin 38°8 M ≐ 5
⋅ 0,61578 M ≐ 17,34M
sin /
sin 63°
0,8910
, 180° . / . 180° . 63° . 38° 79°
1
1
K sin , ≐ 5 ⋅ 25,1 ⋅ 17,4 ⋅ sin 79°8 M ≐ <217,62 ∙ 0,9816=M ≐ 213,6M
2
2
Schlussfolgerung: Der Dreieckinhalt ist ungefähr 213,6M .
13
Cvičení:
1. Větu sinovou lze formulovat také takto: poměr délek dvou stran v trojúhelníku se rovná
poměru hodnot sinů velikostí protilehlých úhlů. Uměl byste upravit vztah (∗) tak, aby toto
znění vyjadřoval?
2. Dokažte sinovou větu pro případ pravoúhlého trojúhelníku.
3. Určete délky zbývajících stran a velikosti zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jeli dáno:
a) 20 cm, / 45° , 30°
b) 11,3 cm, / 1,135° , , 0,611°
c) 8,6 mm, 11,4 mm, , 74°20′
d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1,868°
4. Určete velikost všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li
P 3 P 5 , , 2/
5. Určete obsah trojúhelníku ABC, je-li dáno:
a) 6,4 dm, 4,7 dm, , 68°
d) 12,8 m, 9,6 m, 0,977°
3. Kosinová věta
Sinovou větu můžeme užít k určení neznámých délek stran a velikostí vnitřních úhlů
trojúhelníku tehdy, jestliže dva ze tří daných prvků jsou délka strany a velikost úhlu ležícího
proti ní. Tato věta nám však neumožní řešit trojúhelník, ve kterém jsou dány délky dvou stran
a velikost úhlu jimi sevřeného. V uvedeném případě můžeme použít kosinovou větu.
14
Übungen:
1. Den Sinussatz kann man auch so formulieren: das Verhältnis von Längen zwei
Dreieckseiten ist dem Verhältnis der Sinuswerte von Größen von gegenüberliegenden
Winkeln gleich. Könnte Sie das Verhältnis (∗) so bearbeiten, damit das diese Fassung
ausdrückt?
2. Beweisen Sie den Sinussatz für den Fall des Rechtwinkeldreieckes.
3. Bestimmen Sie die Längen von den übrigen Seiten und die Größen von den übrigen
Innenwinkeln des Dreiecks ABC, wenn es gegeben ist:
a) 20 cm, / 45° , 30°
b) 11,3 cm, / 1,135° , , 0,611°
c) 8,6 mm, 11,4 mm, , 74°20′
d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1,868°
4. Bestimmen Sie die Größen aller Innenwinkeln des Dreiecks ABC, wenn es gegeben ist:
P 3 P 5 , , 2/
5. Bestimmen den Inhalt des Dreiecks ABC, wenn es gegeben ist:
a) 6,4 dm, 4,7 dm, , 68°
d) 12,8 m, 9,6 m, 0,977°
3. Kosinussatz
Den Sinussatz kann man zur Bestimmung von unbekannten Dreieckseitenlängen und Innenwinkelgrößen zu der Zeit nutzen, wenn zwei von drei gegebenen Elementen die
Seitenlänge und die gegenüber der Seite liegende Winkelgröße sind. Dieser Satz ermöglicht
uns aber nicht das Dreieck zu lösen, in dem die Längen von zwei Seiten und die Größe des
von ihnen eingeschlossenen Winkels gegeben sind. In diesem Fall können wir den
Kosinussatz nutzen.
15
Kosinová věta
Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c platí:
a) ? . 2bccos /
b) ? . 2cacos c) ? . 2abcos ,
Příklad 1
Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jehož délky stran jsou 6,9 mm,
4,3 mm, 3,1 mm.
Řešení.
Využijeme např. nejprve část a) kosinové věty k výpočtu α:
? . 2bccos /
Z toho
cos / R S R TR
UV
W,XR SX,>R TY,IR
∙W,X∙X,>
≐ .0,7318.
Odtud / ≐ 137°
Velikost úhlu β, můžeme opět vypočítat z kosinové věty, část b). (Mohli bychom také použít
sinovou větu, neboť známe dvě strany a velikost úhlů proti jedné z nich.)
? . 2abcos ,
Z toho
cos R S
R T R
X,>R SY,IR TW,XR
∙X,>∙Y,I
Odtud plyne 25°10′.
16
≐ 0,9053 .
Kosinussatz
Für jedes Dreieck ABC, dessen Innenwinkelgrößen α,β,γ und Seitenlängen a, b, c sind, gilt:
a) ? . 2bccos /
b) ? . 2cacos c) ? . 2abcos ,
Beispiel 1
Berechnen Sie die Innenwinkelgrößen des Dreiecks ABC, dessen Seitenlängen 6,9 mm,
4,3 mm, 3,1 mm sind.
Lösung:
Wir nutzen z.B. zuerst den Teil a) des Kosinussatzes zur Berechnung von α:
? . 2bccos /
Daraus
cos / R S R TR
Von hier / ≐ 137°
UV
W,XR SX,>R TY,IR
∙W,X∙X,>
≐ .0,7318.
Die Winkelgröße β, kann man wieder aus dem Kosinussatz berechnen, der Teil b). (Wir
könnten auch den Sinussatz nutzen, denn wir zwei Seiten und die Größe des gegenüber einer
von ihnen liegenden Winkels kennen.)
? . 2abcos ,
Daraus
cos Von hier folgt 25°10′.
R S
R T R
X,>R SY,IR TW,XR
∙X,>∙Y,I
17
≐ 0,9053 .
Pro γ platí:
, 180° . / . ≐ 180° . 137° . 25°10@ 17°50′
Závěr: / ≐ 137°, ≐ 25°10@ , , ≐ 17°50′,
Příklad 2
V trojúhelníku ABC je 51,34 cm, 34,75 cm, , 64°30′.
Vypočítejte c, α, β.
Řešení.
Nejprve užitím kosinové věty určíme c:
? . 2 cos , <51,34 ? 34,75 . 2 ∙ 51,34 ∙ 34,75 ∙ cos 64°30′=
≐ 2307,24 ≐ 48,03cm
Pomocí sinové věty určíme nyní např. <bychomovšemmohlyvypočítattakézčástia=
kosinovévěty=:
sin sin sin 34,75
∙ sin , ≐
∙ sin 64°30′ ≐ 6,6530
48,03
Odtud > 40°46′ ; 139°14′ ; číslo však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC
( j a tedy j ,, protože proti kratší straně leží menší úhel). Platí tedy, že |∢| > ≐ 40°46@ .
Zbývá určit α:
/ 180° . . , ≐ 180 . 40°46@ . 64°30@ 74°44′
Závěr: ≐ 48,03, ≐ 40°46@ , / ≐ 74°44′
18
Für γ gilt:
, 180° . / . ≐ 180° . 137° . 25°10@ 17°50′
Schlussfolgerung: / ≐ 137°, ≐ 25°10@ , , ≐ 17°50′,
Beispiel 2
Im Dreieck ABC ist 51,34 cm, 34,75 cm, , 64°30′.
Berechnen Sie c, α, β.
Lösung:
Zuerst mit dem Kosinussatz bestimmen wir c:
? . 2 cos , <51,34 ? 34,75 . 2 ∙ 51,34 ∙ 34,75 ∙ cos 64°30′=
≐ 2307,24 ≐ 48,03cm
Mit Hilfe des Sinussatzes bestimmen wir jetzt z.B. < könnten wir aber auch aus dem
Teila=desKosinussatzesberechnen=:
sin sin sin 34,75
∙ sin , ≐
∙ sin 64°30′ ≐ 6,6530
48,03
Von hier > 40°46′ ; 139°14′ ; Zahl kenn aber nicht die Größe des Innenwinkels
ABC sein ( j also j ,, weil gegenüber der kürzeren Seite das kürzere Winkel liegt). Es
gilt also, dass |∢| > ≐ 40°46@ .
Es bleibt übrig α zu bestimmen:
/ 180° . . , ≐ 180 . 40°46@ . 64°30@ 74°44′
Schlussfolgerung: ≐ 48,03, ≐ 40°46@ , / ≐ 74°44′
19
Cvičení:
1. Určete délky zbývajících stran a velikostí zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je
li dáno:
a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm
b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm
c) 64,1cm, 29,3cm, / 48°20′
d) 0,15cm, 0,27m, 110°59′
2. Vypočítejte velikost největšího nitřního úhlu trojúhelníku ABC, v němž je 74,
53m, 45m.
3. Určete velikost úhlu ACB v trojúhelníku ABC, pro který platí:
a) ? . b) ? ? 4 Užití trigonometrie v praxi
Uvedeme několik příkladů možností využití trigonometrických vzorců při řešení úloh
z praxe.
Příklad 1
Nosník KLM a rameny KM a LM je upevněn na svislé stěně (viz. obr.), / 35°, 72°.
V bodě M je nosník zatížen břemenem o tíze r 15000N. Vypočítejte velikost tahu na
rameno KM nosníku a velikost tlaku na rameno LM, tj. velikosti sil s> a s .
20
Übungen:
1. Bestimmen Sie die Längen von den übrigen Seiten und die Größen von den übrigen
Innenwinkeln des Dreiecks ABC, wenn es folgendes gegeben ist:
a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm
b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm
c) 64,1cm, 29,3cm, / 48°20′
d) 0,15cm, 0,27m, 110°59′
2. Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Dreiecks ABC, in dem 74, 53m,
45m sind.
3. Bestimmen Sie die Winkelgröße ACB im Dreieck ABC, für das folgendes gilt:
a) ? . b) ? ? 4 Verwendung der Trigonometrie in der Praxis
Wir führen ein paar Möglichkeiten der Verwendung von trigonometrischen Formeln
beim Lösen von praktischen Aufgaben an.
Beispiel 1
Der Träger KLM mit den Armen KM und LM ist am senkrechten Wand befestigt (sieh das
Bild), / 35°, 72°. Im Punkt M ist der Träger mit der Last mit dem Gewicht r 15000N belastet. Berechnen Sie die Ziehungsgröße auf den Arm KM des Trägers und die
Druckgröße auf den Arm LM, d.h. die Größen der Kräfte s> und s .
21
Obr.4.1.
Řešení.
MNOP je rovnoběžník (jde o tzv. rovnoběžník sil). Je tedy
|tu| |vw|
|∢vtu| . /, |∢tvu| /, |∢vut| 180°
(viz obr.)
Obr.4.2.
Určíme nyní velikosti obou hledaných sil; užijeme sinovou větu:
a)
xy
z
A
<{TA=
s> r
A
<{TA=
C15000 ∙
XF°
XH°
J t ≐ 14300t
22
Bild 4.1.
Lösung:
MNOP ist ein Parallelogramm (es handelt sich um sgn. Parallelogramm der Kräfte). Es ist
also
|tu| |vw|
|∢vtu| . /, |∢tvu| /, |∢vut| 180°
(Sie das Bild)
Bild 4.2.
Wir bestimmen jetzt die Größen von beiden gesuchten Kräften; wir nutzen den Sinussatz:
a)
xy
z
A
<{TA=
A
XF°
s> r <{TA= C15000 ∙ XH°J t ≐ 14300t
23
b)
xR
z
<>GE°T{=
|}~<{TA=
s r ∙
<>GE°T{=
<{TA=
C15000 ∙
>EG°
XH°
J t C15000 ∙
H°
XH°
J t ≐ 237000t
Závěr: Velikost síly s> je přibližně 14300N, velikost síly s se rovná přibližně 23700N.
Příklad 2
Je třeba určit vzdálenost míst U a V, která jsou oddělená rybníkem. K tomuto účelu byla od
místa U vytyčená přímá trasa se stanovišti K a L (viz obr. 2.55). Bylo naměřeno: / 115°30′, 104°30′; vzdálenost míst U, K je 110 metrů, vzdálenost K, L je 65 metrů.
obr.4.3.
Řešení.
Pomocí sinové věty nejprve určíme délku strany VL v trojúhelníku LKV a potom užitím
kosinové věty vypočteme délku strany UV v trojúhelníku LUV.
V trojúhelníku LKV je |∢€| 180° . / a |∢€| 180° . . <180° . /= / . .
Podle sinové věty je:
|€|
|€|
sin sin</ . =
|€| |€| ∙
sin sin 104°20′
‚65 ∙
ƒ 325
sin</ . =
sin 11° 10′
24
b)
xR
z
<>GE°T{=
|}~<{TA=
s r ∙
<>GE°T{=
<{TA=
C15000 ∙
>EG°
XH°
J t C15000 ∙
H°
XH°
J t ≐ 237000t
Schlussfolgerung: Die Kraftgröße s> ist ungefähr 14300N, die Kraftgröße s ist ungefähr
23700N gleich.
Beispiel 2
Es ist nötig, die Entfernung von zwei Stellen U und V zu bestimmen, die von einem Teich
getrennt. Zu diesem Zweck wurde von der Stelle U eine gerade Trasse mit den Standorten K
und L abgesteckt (sieh das Bild 2.55). Es wurde abgemessen: / 115°30′, 104°30′; die
Entfernung der Stellen U, K ist 110 Meter, die Entfernung K, L ist 65 Meter.
Bild 4.3.
Lösung:
Mit Hilfe des Sinussatzes bestimmen wir zuerst die Seitenlänge VL im Dreieck LKV und dann
mit der Verwendung des Kosinnussatzes berechnen wir die Seitenlänge UV im Dreieck LUV.
Im Dreieck LKV ist |∢€| 180° . / und |∢€| 180° . . <180° . /= / . .
Nach dem Sinussatz ist:
|€|
|€|
sin sin</ . =
|€| |€| ∙
sin sin 104°20′
‚65 ∙
ƒ 325
sin</ . =
sin 11° 10′
25
V trojúhelníku VLU platí podle kosinové věty:
|€| |€| ? |€| . 2 ∙ |€| ∙ |€„| ∙ sin / ≐
<325 ? 45 . 2 ∙ 325 ∙ 45 ∙ cos 115°30′= 120242 |„| 347
Závěr: Vzdálenost míst U a V je přibližně 347 metrů.
Cvičení:
1. Kosmická loď byla spatřena v určitém okamžiku pod výškovým úhlem o velikosti 23°10′ a její vzdálenost od pozorovacího místa na Zemi byla 592km (viz obr.). V jaké výšce
nad Zemí byla loď v okamžiku pozorování? (Poloměr Země … ≐ 6378km.)
Obr.4.4.
2. Je třeba zjistit výšku věže (viz obr.). Bylo naměřeno: / 30°34′.), 41°, vzdálenost
míst A, B je 14metrů.
Obr.4.5.
26
Im Dreieck VLU gilt nach dem Kosinussatz:
|VL| |VL| ? |VL| -2 ∙ |VL| ∙ |LU| ∙ sin α ≐ Š325 ? 45 -2 ∙ 325 ∙ 45 ∙ cos 115°30'Œm 120242m
|„| 347
Schlussfolgerung: Die Entfernung der Stellen U und V ist ungefähr 347 Meter.
Übungen:
1. Das Raumschiff wurde im bestimmten Augenblick unter dem Höhewinkel mit der Größe
23°10′ entdeckt und ihr Entfernung vom Aussichtspunkt auf der Erde 592km war (sieh
das Bild). In welcher Höhe über der Erde war das Schiff im Aussichtsaugenblick? (der Radius
der Erde: … ≐ 6378km)
Bild 4.4.
2. Es ist nötig die Turmhöhe (sieh das Bild) festzustellen. Es wurde abgemessen: / 30°34′.), 41°, die Entfernung der Stellen A, B ist 14 Meter.
Bild 4.5.
27
3. Síly s> , s , jejichž velikosti jsou po řadě 14N a 7,8N, působí v bodě A a svírájí úhel o
velikosti / 61°10′. Určete velikost síly sX , která působí též v bodě A a ruší účinek sil s> ,
s .
Obr.4.6.
4. Ze dvou oken, která jsou 8,8m nad sebou v budově stojí přímo u řeky, je vidět ve směru
kolmém na tok řeky místo A na protějším břehu řeky pod hloubkovými úhly / 12°50′,
6°10′ (viz obr.). Určete šířku řeky.
Obr.4.7.
5. Z místa A ležícího 158 metrů nad vodorovnou rovinou procházející patou věže (viz obr.
2.60) je vidět vrchol B věže pod hloubkovým úhlem o velikosti / 19°10′ a patu P věže pod
hloubkovým úhlem o velikosti 28°30′. Určete výšku věže.
Obr.4.8.
28
3. Die Kräfte s> , s , deren Größen in der Reihe 14N a 7,8N sind, wirken im Punkt A und
schließen den Winkel von der Größe / 61°10′ ein. Bestimmen Sie die Kraftgröße sX , die
auch im Punkt A wirkt und schließt die Wirkung der Kräfte s> , s .
Bild 4.6.
4.Von zwei Fenstern, die 8,8m übereinander im Gebäude sind und sind direkt am Fluss, ist in
der senkrechten Richtung auf den Flussstrom die Stelle A an dem gegenüberliegenden
Flussufer unter Tiefen Winkeln / 12°50′, 6°10′ zu sehen (sieh das Bild). Bestimmen
sie die Flussbreite.
Bild 4.7.
5. Von der A, die 158 m über der waagrechten Ebene liegt und durch die Turmferse geht
(sie das Bild 2.60) sind der Turmgipfel B unter dem tiefen Winkel mit der Größe / 19°10′
und die Turmferse P unter dem tiefen Winkel 28°30′ zu sehen. Bestimmen Sie die
Turmhöhe.
Bild 4.8.
29
Literatura:doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv:Matematika pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť, 3. část
30
Literatur: doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv: Matematika pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť, 3. část
31