Das Zyklotron

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Das Zyklotron
In einem Zyklotron wird ein, in einer Ionenquelle erzeugtes, positives Ion, meist Proton in dem elektrischen Feld zwischen den
D-förmigen Dosen beschleunigt. Diese Dosen
sind hohle Metallhalbzylinder, die senkrecht
von einem starken Magnetfeld durchsetzt werden. Wenn die Ionen sich in diesen Dosen befinden, dann sind sie in einem faradayischen Käfig und gewinnen keine kinetische Energie, werden aber auf eine Kreisbahn gelenkt. Verlassen sie die Dose werden sie durch das zwischenzeitlich umgepolte
E-Feld wieder beschleunigt. Das E-Feld wird
technisch durch eine Wechselspannung realisiert, welche mit der Frequenz f umgepolt
wird.
Abbildung 1: Schematischer Aufbau
Ansatz
FL = FZ →
mv 2
r
= qvB
Abhängigkeiten
f ∼ r und v ∼ r und f ∼
1
T
1. Je größer die Geschwindigkeit v ist, umso größer ist der Radius
2. Je größer die Frequenz, umso kleiner die Umlaufdauer T
3. Da die höhere Geschwindigkeit v mit einem größeren Radius r einhergeht ist die Umlaufdauer
T konstant, d.h. das Umpolen der Spannung kann immer mit der gleichen Frequenz f erfolgen.
Spezielle Anwendungen
Siehe hierzu Abitur 2008 LK-Vorschlag 2: Aufgabe 1f
Wenn die Protonen sehr hohe Geschwindigkeiten erreichen, muss man relativistische Effekte
berücksichtigen. Diese führen dazu, dass Teilchen mit einem Zyklotron obiger Bauart (auch bei
ggf. vergrößerten Abmessungen) nur auf eine bestimmte maximale Energie beschleunigt werden
können, weil sie, wie man sagt aus dem Takt“ geraten. Erklären Sie, welcher relativistische
”
Effekt in diesem Fall eine entscheidende Rolle spielt. Erläutern Sie qualitativ, warum die Protonen aus dem Takt“ geraten und daher nur auf eine bestimmte maximale Energie beschleunigt
”
werden können.
1. Mit wachsender Geschwindigkeit v muss dynamische Masse berücksichtigt werden
2. Umlaufdauer gemäß T =
2πmp
qB
nicht mehr konstant sondern wächst mit Masse
3. Protonen erreichen den Spalt nicht mehr zu dem für die optimale Beschleunigung günstigsten
Zeitpunkt, sondern kommen verspätet an
4. Werden weniger beschleunigt bzw. werden gebremst, wenn sie bei umgekehrter Polung der Wechselspannung den Spalt erreichen → Maximum der Energie der Protonen vorhanden!
Aufgaben
Warum wird das klassische Zyklotron für Elektronen kaum verwendet?
(Das klassische Zyklotron funktioniert nur, solange die geladenen Teilchen keinen nennenswerten Massenzuwachs
durch die Beschleunigung erfahren. Generell gilt, dass bei Geschwindigkeit von etwa über 0,1 c der Massenzuwachs zu berücksichtigen ist.)
Ab welcher Beschleunigungsspannung muss der Massenzuwachs berücksichtigt werden?
(eU = 12 mv 2 → U = 2.6kV )
Zeigen Sie, dass die Umlaufdauer im Zyklotron unabhängig vom Radius der Kreisbahn
ist.
Ansatz: FL = FZ
Zusätzlich: v = st und U = 2πr
v = st → v = Ut = 2πr
t
vt = 2πr
t = 2πr
v
Daraus folgt, dass für die Umlaufdauer gilt: T =
2πr
v
→ Für einen Halbkreis gilt: t =
πr
v
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