Übungsblatt 5 - Universität Zürich

Universität Zürich, 16. September 2016
Vorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium
Übungsblatt 5: Funktionen, Abzählbarkeit und komplexe Zahlen
Aufgabe 1. Sei X = {a, b}, Y = {4, }.
Definieren die unten aufgeführten Vorschriften eine Funktion von X nach Y ?
Falls ja, sind sie injektiv, surjektiv, bijektiv?
(a) a
b
/4
(b)
/
a
/4
b
(c)
a
b
4
?
(d)
a
/4
?
b
Was passiert, wenn links (Buchstaben) und rechts (Figuren) nicht mehr die gleiche Anzahl von
Objekten steht? Gibt es injektive, surjektive Funktionen?
Aufgabe 2. Zeichne den Graphen einer reellen Funktion f : [0, 1] → [0, 1] mit folgenden Eigenschaften (falls möglich!):
(a) monoton steigend und surjektiv;
(b) streng monoton fallend und nicht injektiv;
(c) monoton steigend und monoton fallend;
(d) surjektiv, aber nicht injektiv;
(e) injektiv, aber nicht surjektiv;
(f) streng monoton fallend und nicht surjektiv.
Aufgabe 3.
(a) Bestimme den grösstmöglichen Definitionsbereich innerhalb der reellen Zahlen für die folgenden Funktionen:
f (x) :=
√
3
x2 −
p
4 − x2 ,
g(x) :=
p
1 − |x|,
und h(x) :=
1
.
[x]
Dabei bezeichnet [x] die sogenannte Gaussklammer, welche folgendermassen definiert ist:
[x] := grösstes Element der Menge {n ∈ Z | n ≤ x}
(b) Gib eine möglichst grosse Teilmenge von R an, auf der f (x) := x + [x] injektiv ist.
(c) Zeige, dass f (x) := 3x2 + 6x + 13 auf {x ∈ R | x > −1} injektiv ist.
Aufgabe 4. Zeige folgende Aussagen.
(a) Falls A abzählbar ist und B ⊆ A, so ist auch B abzählbar.
(b) Falls An eine abzählbare Menge ist für jedes n ∈ N, so ist auch
[
An = {x | ∃n ∈ N : x ∈ An }
n∈N
abzählbar.
Aufgabe 5. Sei f : A → B eine bijektive Funktion. Zeige, dass falls A abzählbar ist, so ist auch
B abzählbar, und falls A überabzählbar ist, so ist auch B überabzählbar.
Aufgabe 6. Welche der folgenden Mengen sind abzählbar?
(a) R \ Q
(b) Q2 = Q × Q
(c) die Menge X aller Funktionen {0, 1} → N
(d) die Menge Y aller Funktionen N → {0, 1}.
Aufgabe 7.
(a) Berechne folgende komplexe Zahlen.
(1) in , n ∈ Z
(2)
1−i
1+i
(3) ii
(b) Berechne alle 8. Einheitswurzeln. Hinweis: Verwende Polynomdivision.
Aufgabe 8. Verwende die Eulersche Formel, um folgende Gleichheiten zu beweisen:
(a) die Formel von de Moivre:
(cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx)
für x ∈ R und n ∈ N.
(b) die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y.
Aufgabe 9. Zeige, dass, wenn man zwei komplexe Zahlen dividiert, man wieder eine komplexe
Zahl erhält. Konkret: Falls z, w ∈ C mit w 6= 0, so ist auch v := wz ∈ C. Berechne v sowohl in
der Koordinatendarstellung (Real- und Imaginärteil) als auch in der Polardarstellung.
Aufgabe 10. Man verteilt 25 Quadrate auf einem karierten Brett der Grösse 25 × 25, und
zwar so, dass sie bezüglich einer Diagonale symmetrisch verteilt sind und keine zwei Quadrate
aufeinander liegen. Beweise durch Widerspruch, dass mindestens eines der Quadrate auf der
Diagonalen liegt.