Übungsblatt 5 - Universität Zürich

Werbung
Universität Zürich, 16. September 2016
Vorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium
Übungsblatt 5: Funktionen, Abzählbarkeit und komplexe Zahlen
Aufgabe 1. Sei X = {a, b}, Y = {4, }.
Definieren die unten aufgeführten Vorschriften eine Funktion von X nach Y ?
Falls ja, sind sie injektiv, surjektiv, bijektiv?
(a) a
b
/4
(b)
/
a
/4
b
(c)
a
b
4
?
(d)
a
/4
?
b
Was passiert, wenn links (Buchstaben) und rechts (Figuren) nicht mehr die gleiche Anzahl von
Objekten steht? Gibt es injektive, surjektive Funktionen?
Aufgabe 2. Zeichne den Graphen einer reellen Funktion f : [0, 1] → [0, 1] mit folgenden Eigenschaften (falls möglich!):
(a) monoton steigend und surjektiv;
(b) streng monoton fallend und nicht injektiv;
(c) monoton steigend und monoton fallend;
(d) surjektiv, aber nicht injektiv;
(e) injektiv, aber nicht surjektiv;
(f) streng monoton fallend und nicht surjektiv.
Aufgabe 3.
(a) Bestimme den grösstmöglichen Definitionsbereich innerhalb der reellen Zahlen für die folgenden Funktionen:
f (x) :=
√
3
x2 −
p
4 − x2 ,
g(x) :=
p
1 − |x|,
und h(x) :=
1
.
[x]
Dabei bezeichnet [x] die sogenannte Gaussklammer, welche folgendermassen definiert ist:
[x] := grösstes Element der Menge {n ∈ Z | n ≤ x}
(b) Gib eine möglichst grosse Teilmenge von R an, auf der f (x) := x + [x] injektiv ist.
(c) Zeige, dass f (x) := 3x2 + 6x + 13 auf {x ∈ R | x > −1} injektiv ist.
Aufgabe 4. Zeige folgende Aussagen.
(a) Falls A abzählbar ist und B ⊆ A, so ist auch B abzählbar.
(b) Falls An eine abzählbare Menge ist für jedes n ∈ N, so ist auch
[
An = {x | ∃n ∈ N : x ∈ An }
n∈N
abzählbar.
Aufgabe 5. Sei f : A → B eine bijektive Funktion. Zeige, dass falls A abzählbar ist, so ist auch
B abzählbar, und falls A überabzählbar ist, so ist auch B überabzählbar.
Aufgabe 6. Welche der folgenden Mengen sind abzählbar?
(a) R \ Q
(b) Q2 = Q × Q
(c) die Menge X aller Funktionen {0, 1} → N
(d) die Menge Y aller Funktionen N → {0, 1}.
Aufgabe 7.
(a) Berechne folgende komplexe Zahlen.
(1) in , n ∈ Z
(2)
1−i
1+i
(3) ii
(b) Berechne alle 8. Einheitswurzeln. Hinweis: Verwende Polynomdivision.
Aufgabe 8. Verwende die Eulersche Formel, um folgende Gleichheiten zu beweisen:
(a) die Formel von de Moivre:
(cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx)
für x ∈ R und n ∈ N.
(b) die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y.
Aufgabe 9. Zeige, dass, wenn man zwei komplexe Zahlen dividiert, man wieder eine komplexe
Zahl erhält. Konkret: Falls z, w ∈ C mit w 6= 0, so ist auch v := wz ∈ C. Berechne v sowohl in
der Koordinatendarstellung (Real- und Imaginärteil) als auch in der Polardarstellung.
Aufgabe 10. Man verteilt 25 Quadrate auf einem karierten Brett der Grösse 25 × 25, und
zwar so, dass sie bezüglich einer Diagonale symmetrisch verteilt sind und keine zwei Quadrate
aufeinander liegen. Beweise durch Widerspruch, dass mindestens eines der Quadrate auf der
Diagonalen liegt.
Herunterladen
Random flashcards
Medizin

5 Karten Sophia Gunkel

lernen

2 Karten oauth2_google_6c83f364-3e0e-4aa6-949b-029a07d782fb

Erstellen Lernkarten