Logik und Algebra - von Andreas Zeh

Skript
Logik und Algebra
Mathematische Grundlagen
Andreas Zeh-Marschke
Version 7.2 - 005
Diplom-Mathematiker Andreas Zeh-Marschke
Tauberring 16 b, 76344 Eggenstein-Leopoldshafen
E-Mail Andreas(at)Zeh-Marschke.de
Homepage http://www.Zeh-Marschke.de
Impressum
c
Copyright:
2016
(Version:
7.2 - 005)
Layout und Satz: Andreas Zeh-Marschke
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen und
so weiter in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu
der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und MarkenschutzGesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen.
2
Version 7.2 - 005
Inhaltsverzeichnis
1. Aussagen
1.1. Aussagen und Aussageformen
1.2. Verknüpfung von Aussagen . .
1.3. Aussagenlogik . . . . . . . . .
1.4. Prädikatenlogik . . . . . . . .
1.5. Beweisverfahren . . . . . . . .
1.6. Aufgaben . . . . . . . . . . .
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5. Strukturen
5.1. Verknüpfungen und Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
97
101
103
2. Mengen
2.1. Mengen . . . . . . . . . . . .
2.2. Teilmengen und Potenzmenge
2.3. Operationen von Mengen . . .
2.4. Klasseneinteilung . . . . . . .
2.5. Kartesisches Produkt . . . . .
2.6. Aufgaben . . . . . . . . . . .
3. Relationen
3.1. Grundlagen . . . . .
3.2. Eigenschaften . . . .
3.3. Äquivalenzrelationen
3.4. Ordnungsrelationen .
3.5. Aufgaben . . . . . .
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4. Abbildungen
4.1. Definition von Abbildungen
4.2. Eigenschaften . . . . . . . .
4.3. Mengen von Abbildungen .
4.4. Aufgaben . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
5.4. Moduln und Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5. Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6. Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6. Boolesche Algebren
6.1. Boolesche Algebra . . . . . . . .
6.2. Normalformen . . . . . . . . . .
6.3. Konstruktion der Normalformen
6.4. KV-Diagramme . . . . . . . . .
6.5. Schaltnetze . . . . . . . . . . .
6.6. Aufgaben . . . . . . . . . . . .
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L. Lösungen der Aufgaben
L.1. Aussagen . . . . . .
L.2. Mengen . . . . . .
L.3. Relationen . . . . .
L.4. Abbildungen . . . .
L.5. Strukturen . . . . .
L.6. Boolesche Algebren
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Literatur
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Version 7.2 - 005
Abbildungsverzeichnis
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Teilmenge . . . . . . . . .
Transitive Teilmengen . .
Durchschnitt von Mengen
Mengendiagramm . . . . .
Klasseneinteilung . . . . .
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3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Darstellung Relation als Grafik . . . . . .
Beispiel: Ortsverbindungen . . . . . . . . .
Beispiel: Ordnungsrelation . . . . . . . . .
Beispiel: maximale und minimale Elemente
Ordnungsrelation Teiler von 36 . . . . . .
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4.1. Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2. Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3. Urbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1. disjunkte Zerlegung . . . . . .
6.2. KV-Diagramm n = 2 . . . . .
6.3. KV-Diagramm n = 2 a . . . .
6.4. KV-Diagramm n = 3 . . . . .
6.5. KV-Diagramm n = 4 . . . . .
6.6. KV-Diagramm n = 3 . . . . .
6.7. KV-Diagramm n = 4, Beispiel
6.8. NOT-Gatter . . . . . . . . . .
6.9. AND-Gatter . . . . . . . . . .
6.10. OR-Gatter . . . . . . . . . . .
6.11. NOR-Gatter . . . . . . . . . .
6.12. NAND-Gatter . . . . . . . . .
6.13. XOR-Gatter . . . . . . . . . .
6.14. Halbaddierer . . . . . . . . . .
6.15. Halbaddierer (Symbol) . . . .
6.16. Volladdierer . . . . . . . . . .
6.17. Volladdierer (Symbol) . . . .
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130
130
5
Tabellenverzeichnis
1.1. Beispiel Wahrheitstafel . . . . . . . . . . .
1.2. Wahrheitstafel Negation . . . . . . . . . .
1.3. Wahrheitstafel Konjunktion . . . . . . . .
1.4. Wahrheitstafel Disjunktion . . . . . . . . .
1.5. Wahrheitstafel Implikation . . . . . . . . .
1.6. Wahrheitstafel Äquivalenz . . . . . . . . .
1.7. Beispiel Auswertung Wahrheitstafel . . . .
1.8. Liste 1-stellige Verknüpfungen . . . . . . .
1.9. Liste 2-stellige Verknüpfungen, Teil 1 . . .
1.10. Liste 2-stellige Verknüpfungen, Teil 2 . . .
1.11. Beweis ¬A = A ∧ A = A ∨ A . . . . . . . .
1.12. Beweis Satz vom ausgeschlossenen Dritten
1.13. Beweis Regel von de Morgan . . . . . . . .
1.14. Beweis Satz zum modus tollens . . . . . .
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3.1. Darstellung Relation in Tabellenform . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1. Abbildungsvorschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1. Boolesche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2. Beispiel 3-stellige boolesche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3. Beispiel: Min-Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4. Quine-McCluskey Boolesche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.5. Quine-McCluskey Stufe 0, disjunktive Normalform . . . . . . . . . . 116
6.6. Quine-McCluskey Stufe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.7. Quine-McCluskey Stufe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.8. Beispiel Max-Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.9. Beispiel mit vier Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.10. Beispiel mit vier Aussagen, Klassen, Stufe 0 . . . . . . . . . . . . . 119
6.11. Beispiel mit vier Aussagen, Klassen, Stufe 1 . . . . . . . . . . . . . 119
6.12. Beispiel mit vier Aussagen, Tabelle Min-Terme und Primimplikanten120
6.13. Boolesche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.14. Schalttabelle Halbaddierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Version 7.2 - 005
7
Tabellenverzeichnis
6.15. Schalttabelle Volladdierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8
Version 7.2 - 005
Vorwort
Vorwort zur Version 7.1
Dieses Skript entstand aus Vorlesungen, die ich an der Dualen Hochschule BadenWürttemberg - Karlsruhe (ehemalige Berufsakademie Karlsruhe), erstmals im
Frühjahr 2001 im Studiengang Wirtschaftsinformatik im Fachbereich Wirtschaft,
gehalten habe. Im zweiten Semester wird das Thema Logik und Algebra im
Umfang von etwa 30 Stunden inklusive Übungen behandelt. Daher können in der
Vorlesung in diesem Skript die Themen Logik und Algebra nur angerissen werden.
Für die weite Reise ins Innere der Mathematik und für die Frage des Einsatzes
mathematischer Theorie in die Praxis der Anwendung kann dies nur ein erster
Startpunkt sein.
Was soll im Rahmen einer solchen Vorlesung gelehrt werden? Was ist wichtig? Dies
ist keine leichte Frage, denn die Mathematik und auch das Thema Logik und Algebra ist reichhaltig und bietet viele interessante Aspekte. Für die Auswahl kann
man sich dann die Frage stellen, was ist für einen Wirtschaftsinformatiker wichtig? Hierzu zitiere ich Prof. Ernst Denert, den Gründer des Softwarehauses sd&m
(software design & management), der auf die Frage, was man als Informatiker beherrschen sollte antwortete (siehe Denert 2000): „Am wichtigsten ist: Denken und
zwar systematisch, logisch, abstrakt und strukturiert!“. Weiter sagt er: „Nichts ist
praktischer als eine gute Theorie“. Dem kann ich beipflichten. Trotzdem werde
ich versuchen, neben der Theorie auch praktische Beispiele zu bringen, um damit
(hoffentlich) das Verständnis zu fördern.
Des weiteren möchte ich Peter Hartmann beipflichten, der im Vorwort zu seinem
Buch Mathematik für Informatiker (Hartmann 2002) geschrieben hat: „Genauso wie Sie eine Programmiersprache nicht durch das Lesen der Syntax lernen
können, ist es unmöglich Mathematik zu verstehen ohne mit Papier und Bleistift
zu arbeiten“. Das heißt, dass man sich intensiv mit der Mathematik beschäftigen muss, um sie zu verstehen und dass man viel üben muss. Das ist mit Arbeit
verbunden, aber ohne dies geht es nicht.
Version 7.2 - 005
9
Tabellenverzeichnis
Anforderungen wandeln sich schnell und werden sich wohl auch immer schneller
wandeln. Daher muss man sich schnell in neue Themen einarbeiten. Dafür ist eine
stabile und solide Basis nötig. Dazu ist es notwendig, dass man denkt, um das
vorhandene Wissen richtig einzusetzen. Daher werde ich in der Vorlesung Logik
und Algebra auf Beweise nicht ganz verzichten, denn Beweise sind eine Möglichkeit, um das Denken zu üben. Das Denken darf sich jedoch nicht allein auf die
Mathematik konzentrieren. Wichtig ist ein übergreifendes Denken. Wobei dies ein
langer Entwicklungsprozess sein wird, der im Rahmen nur einer Vorlesung nicht
erreicht werden kann. Dieses Skript stellt eine Einführung dar, um eine Basis für
die Arbeit zu schaffen. Ich hoffe, dass mir dies einigermaßen gelungen ist, obwohl
ich weiß, dass es schwierig ist, das mathematische Verständnis zu übermitteln.
In den Übungsaufgaben versuche ich neben den theoretischen Aspekten auch immer wieder praktische Anwendungen mit einzubringen. In der praktischen Anwendung besteht meistens die Schwierigkeit, aus den Problemen den mathematischen
Kern zu erarbeiten, um eine klare mathematische Aufgabe zu erhalten.
Im Literaturverzeichnis sind einige grundlegende und weiterführende Bücher aufgeführt. Bücher, welche das Thema Logik und Algebra behandeln, oder Teilaspekte
dieses Skripts beleuchten. Diese Literatur kann daher als Vertiefung aufgefasst werden, die jedoch in der Regel weit mehr beinhalten als dieses Skript. Manchmal habe
die Bücher auch andere Herangehensweisen an die Thematik, was sehr spannend
sein kann, denn es gibt viele Wege, sich der Mathematik zu erschließen.
Am nächsten zu den Inhalten der Vorlesung passt das Buch von Staab 2007. Die
Inhalte werden auch gut von Hartmann 2002, Lehmann und Schulz 2004, Meinel
und Mundhenk 2002, Schichl und Steinbauer 2009 und Struckmann und Wätjen
2007 dargestellt. Die anderen Referenzen in der Literaturliste beziehen sich auf
Bücher, die teilweise deutlich über den Stoff der Vorlesung gehen: Beutelspacher
und Zschiegner 2002, Henze 2005, Knauer 2001, Lau 2004b, Lau 2004a, Schmidt
2000, Steger und Schickinger 2002, G. Teschl und S. Teschl 2006 und Witt 2001. Die
Bücher Arens 2008 und Eichholz und Vilkner 2002 sind eher Nachschlagewerke.
Die erste Version des Skripts entstand 2001. Im Laufe der Jahre wurden Anpassungen und Ergänzungen, sowohl auf fachlicher, als auch auf technischer Art umgesetzt. Von daher wird das Skript ständig Veränderungen unterzogen. Das Skript
wurde mit TEX, genauer mit LATEXerstellt.
Ein Skript ist niemals fertig. Durch neue Erkenntnisse gibt es immer wieder neue
interessante Sachverhalte, die eingearbeitet werden können. Veränderungen in den
Schwerpunkten bedingen ebenso Veränderungen. Daher werde ich von Zeit zu Zeit
immer wieder einzelne Kapitel anpassen.
10
Version 7.2 - 005
Tabellenverzeichnis
Ich habe versucht Fehler herauszunehmen, ohne neue Fehler zu machen - nicht
immer ganz einfach. Wenn Fehler entdeckt werden, so bitte ich, dass mir diese
Fehler gemeldet werden, damit ich diese Fehler in einer neuen Version korrigieren
kann. Auch Anregungen und weitere Anmerkungen sind gerne willkommen.
Andreas Zeh-Marschke
Eggenstein-Leopoldshafen, Februar 2014
Vorwort zur Version 7.2
Gegenüber der Version 7.1 des Skripts habe ich versucht Fehler zu beseitigen, die
leider enthalten waren. Ich befürchte, dass weiterhin Fehler im Skript vorhanden
sind.
Im Kapitel Relationen (siehe Kapitel 3) habe ich den Unterabschnitt zu Komposition von Relationen und zur Inversen Relation im Abschnitt Grundlagen etwas
erweitert.
Darüber hinaus habe ich einige Anpassungen vorgenommen, insbesondere im Kapitel zu Booleschen Algebren (siehe Kapitel 6), in den Abschnitten zur Konstruktion
der Normalformen (siehe Abschnitt 6.3) und KV-Diagramme (siehe Abschnitt 6.4).
Für diese Anregungen hierzu bedanke ich mich ganz herzlich bei Dr. Christopher
Jung.
Andreas Zeh-Marschke
Eggenstein-Leopoldshafen, 07.03.2016
Version 7.2 - 005
11
Kapitel 1.
Aussagen
In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe der mathematischen Logik eingeführt. Wir beschäftigen uns dabei mit einigen Themen, die wir für das mathematische Denken, die mathematische Sprechweise und das Beweisen benötigen. Es
kann und soll damit im Rahmen dieser Einführung die mathematische Logik nur
insoweit eingeführt werden, wie dies für das weitere Verständnis benötigt wird. Als
Ziel kann hier die Einführung in das logische Denken und die Durchführung von
logischen Schlussfolgerungen genannt werden. Logische Schlussfolgerungen, die gelernt und später auch angewendet werden. Ein weiteres Ziel ist es, mathematische
Formulierungen kennen zu lernen, mathematische Formulierungen, die nicht nur
in der Mathematik, sondern auch in anderen Bereichen (zum Beispiel Wirtschaftswissenschaften, Ingenieurwesen, . . . ) eingesetzt werden. Die Einführung in diesem
Kapitel ist damit nur sehr knapp und geht somit nicht bis zu den philosophischen
Fragen der Logik. Das würde den Rahmen ganz und gar sprengen.
Die klare Formulierung von Aussagen ist in allen Bereichen notwendig, nicht nur in
der Mathematik. Beispielsweise ist die Spezifikation einer Software ohne klare Aussagen, Aussagen, die vollständig und widerspruchsfrei sind, nicht denkbar. Auch
andere Wissenschaften erfordern klare Aussagen und Folgerungen aus Aussagen.
Auch in Programmiersprachen sind logische Konzepte implementiert. Um diese
Konzepte zu verstehen, ist die Kenntnis von Aussagen eine unabdingbare Basis.
Zuerst werden Aussagen und Aussageformen (Abschnitt 1.1) und Verknüpfungen von Aussagen (Abschnitt 1.2) betrachtet, um das Grundgerüst zu erhalten. Danach werden Sätze der Aussagenlogik (Abschnitt 1.3) untersucht und
bewiesen. Im anschließenden Abschnitt 1.4 wird die Prädikatenlogik angerissen,
die den Sprachumfang erweitert. Der abschließende Abschnitt 1.5 beschäftigt sich
mit Beweisverfahren, die im weiteren Verlauf angewendet werden.
Version 7.2 - 005
13
1.1. Aussagen und Aussageformen
1.1. Aussagen und Aussageformen
Aussagen
Zur präzisen mündlichen oder schriftlichen Formulierung von Sachverhalten ist die
Mathematik, aber nicht allein die Mathematik, dazu übergegangen, Aussagen zu
treffen, die teilweise in natürlicher Sprache und teilweise in einer künstlichen und
formalisierten Sprache wiedergegeben werden. Betrachten wir dazu zuerst einige
Sätze und untersuchen die Frage, welche Sätze Aussagen darstellen, auch wenn wir
erst danach eine Definition für Aussagen vornehmen werden:
1. 2 + 3 = 5
Dies ist eine wahre Aussage.
2. 4 ist eine Primzahl
Dies ist eine falsche Aussage, das heißt Aussagen müssen nicht immer wahr
sein, sie können auch falsch sein!
3. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Dies ist eine wahre Aussage, die bereits vom griechischen Mathematiker Euklid (um 300 v.Chr.) vor etwa 2.300 Jahren bewiesen wurde.
4. Die Gleichung xn + y n = z n hat, außer der trivialen Lösung, keine
ganzzahligen Lösungen für n größer als 2
Dies ist eine Aussage, die von französischen Mathematiker Pierre de Fermat
(1601 - 1665)1 etwa 1637 aufgestellt wurde. Die Aussage ist als großer Fermat’scher Satz oder Fermats letzter Satz bekannt. Sie wurde erst 1993 / 1995
vom britischen Mathematiker Andrew Wiles (*1953) bewiesen2 .
5. Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.
Die Aussage ist die Goldbach’sche Vermutung, benannt nach dem deutschen
Mathematiker Christian Goldbach (1690 - 1764).
(Beispiele: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7) Dies ist
eine Aussage, von der noch nicht bekannt ist, ob sie wahr oder falsch ist.
1
Eine Kurzbiographie über Pierre de Fermat: Klaus Barner; Das Leben Fermats; in Mitteilungen
der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Heft 3/2001
2
Eine interessante und lesenswerte Beschreibung der Geschichte des Satzes von Fermat, von
den Grundlagen bis zu seiner Lösung, mit vielen historischen Anmerkungen steht in Simon
Singh; Fermats letzter Satz; dtv, 2000
14
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
6. Es ist Vollmond.
Dies ist eine Aussage, die manchmal wahr ist, manchmal jedoch falsch. Der
Wahrheitsgehalt hängt von der Zeit ab. Hier erreicht man dann die temporale
Logik, welche zeitliche Zusammenhänge einbezieht.
7. Brasilia ist die Hauptstadt von Brasilien.
Dies ist eine wahre Aussage, nicht aus der Mathematik. Der Wahrheitswert
einer solchen Aussage kann sich im Laufe der Zeit verändern. Die Aussage
„Rio de Janeiro ist die Hauptstadt von Brasilien“ war bis 1960 eine wahre
Aussage, seit 1960 nicht mehr, denn dann wurde Brasilia die Hauptstadt von
Brasilien.
8. Guten Morgen!
Dies ist keine Aussage, sondern ein Ausruf.
9. Dieser Satz ist falsch.
Diesen Satz werden wir später, nach unserer Definition von Aussagen noch
genauer betrachtet.
10. Diese Person ist groß.
Auch diesen Satz werden wir nach der Definition von Aussagen noch betrachtet.
Auf der Basis dieser Beispiele definieren wir nun, was wir unter einer Aussage
verstehen.
Definition 1.1 (Aussage). Ein sprachliches Gebilde A heißt Aussage, wenn man
eindeutig entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist. Der Aussage kann somit
eindeutig der Wahrheitswert „wahr“ oder „falsch“ zugeordnet werden. Ist A
eine Aussage, dann sei w(A) der zugehörige Wahrheitswert der Aussage.
Dies ist keine klare Definition, da auf Begriffe zurückgegriffen wird, die selber nicht
exakt definiert sind.
Im Folgenden werde ich oftmals statt „wahr“ auch andere Begriffe oder Kurzzeichen
verwenden. Den englischen Begriff „true“ oder die Kürzel W , w, T , t oder 1.
Für „falsch“ wird auch der englische Begriff „false“ oder die Kürzel F , f oder 0
verwendet.
Diese Definition von Aussagen basiert auf dem Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten, das heißt auf der Tatsache, dass eine Aussage entweder wahr oder falsch ist.
Daher spricht man hier von zweiwertiger Logik. Es gibt Kulturkreise, in denen
das Prinzip der zweiwertigen Logik nicht gilt, in denen es neben „wahr“ und
Version 7.2 - 005
15
1.1. Aussagen und Aussageformen
„falsch“ auch noch andere Wahrheitswerte gibt, zum Beispiel „vielleicht“ oder „unbestimmt“ oder sogar noch andere Abstufungen.3
Betrachten wir nun den Satz „Dieser Satz ist falsch.“. Auf den ersten Blick ist es
eine Aussage. Daher können wir uns jetzt fragen, ob diese Aussage wahr oder falsch
ist, denn einer Aussage muss nach unserer Definition eindeutig ein Wahrheitswert
zugeordnet werden können. Wenn es eine wahre Aussage ist, dann besagt der Satz,
dass die Aussage des Satzes falsch ist, dass es also eine falsche Aussage ist. Also
kann es keine wahre Aussage sein. Ist es dann eine falsche Aussage? Wenn die
Aussage des Satzes falsch ist, dann besagt dies, dass die Aussage des Satzes wahr
ist!? Auch das führt zu einem Widerspruch. Es kann nicht entschieden werden, ob
der Satz wahr oder falsch ist. Somit ist es keine Aussage (nach unserer Definition)!
Es ist eine Paradoxie, die zu tiefer gehenden, philosophischen Problemen der Logik
führt, die hier nicht näher beleuchtet werden.
Beim Satz „Diese Person ist groß.“ ist es ebenfalls schwer zu bestimmen, ob dieser
Satz wahr oder falsch ist. Die Größe bezieht sich hierbei auf die Körpergröße. Für
Pygmäen ist eine Person mit 1,70 m Körperlänge eine große Person, für Basketballspieler ist dies jedoch nicht groß. Dies führt in die moderne Entwicklung der
Fuzzy Logik, die bewusst mit Unschärfen arbeitet. Die Fuzzy Logik wird hier nicht
weiterverfolgt.
Aussageformen
Es gibt andere Formulierungen, für die man keinen Wahrheitswert zuordnen
kann:
• P(x) := „x ist eine Primzahl“
• T(x, y) := „x ist ein Teiler von y“
• S(x, y, z) := „x ist die Summe von y und z“
Wenn man jedoch für die Platzhalter x, y oder z konkrete Werte aus einem Grundbereich von Werten einsetzt, dann ergeben sich hieraus Aussagen, denen man einen
Wahrheitswert zuordnen kann. Dies führt uns zur nachfolgenden Definition.
3
siehe hierzu John D. Barrow; Ein Himmel voller Zahlen - Auf den Spuren mathematischer
Wahrheit; rororo, 1999
16
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
Definition 1.2 (Variable, Aussageform). Eine Variable über einem Grundbereich
ist ein Symbol, für das spezielle Objekte eines Grundbereichs eingesetzt werden können. Eine mit Hilfe mindestens einer Variablen ausgedrückte Formulierung heißt
Aussageform oder Prädikat, wenn beim Einsetzen von bestimmten Objekten
des Grundbereichs für die Variable(n) eine Aussage entsteht.
Auch diese Definition agiert mit schwammigen Begriffen.
Für die obigen Aussageformen gelten:
• w(P (3)) = w; w(P (4)) = f ; w(P (5)) = w
• w(T (2, 3)) = f ; w(T (2, 4)) = w
• w(S(5, 2, 3)) = w
Durch die Einsetzung von konkreten Werten aus dem Grundbereich in die Aussageformen werden konkrete Aussagen gebildet, für die jeweils ein Wahrheitswert
bestimmbar ist.
In Java, aber auch in anderen Programmiersprachen, gibt es den primitiven Datentyp boolean mit den beiden möglichen Werte „true“ und „false“. Dies ist eine
Darstellung der Wahrheitswerte. Eine Aussage ist dann einfach eine Boolesche Variable. Bei der Programmierung haben wir es mit vielen Aussageformen zu tun.
Jede Methode mit einem Rückgabewert vom Typ boolean ist eine Aussageform
• public boolean istPrimzahl ();
• public boolean istTeilerVon (long zahl);
• public boolean istSummeVon (double x, double y);
1.2. Verknüpfung von Aussagen
Im Nachfolgenden beschäftigen wir uns mit Verknüpfungen von Aussagen, das
heißt mit Verbindungen von mehreren Aussagen und wie ausgehend von Aussagen andere Aussagen gebildet werden können. Diese Verknüpfungen kennen wir
auch aus dem Alltag. Es sind dies die Verknüpfungen „nicht“, „und“, „oder“,
„wenn, dann“ und „genau dann, wenn“. In der Aussagenlogik werden diese Verknüpfungen so festgelegt, dass sich der Wahrheitswert der Verknüpfung eindeutig
aus den Wahrheitswerten der Teilaussagen ergibt, unabhängig davon, ob zwischen
Version 7.2 - 005
17
1.2. Verknüpfung von Aussagen
den Teilaussagen ein inhaltlicher Zusammenhang besteht oder jedoch kein Zusammenhang besteht. Auch wenn wir die Verknüpfungen teilweise aus dem Alltagsleben kennen, so ist deren mathematische Definition und Deutung manchmal etwas
anders als in der Umgangssprache.
Zur Darstellung der Aussagen verwenden wir eine Wahrheitstafel oder Verknüpfungstafel. Durch eine Belegung der Teilaussagen mit Wahrheitswerten und
die Belegung der Verknüpfung mit Wahrheitswerten erhält man die vollständige
Darstellung der Verknüpfung. Die Wahrheitstafel in Tabelle 1.1 zeigt als Beispiel
die Wahrheitstafel für die und-Verbindung.
A B
w w
w f
f w
f f
A∧B
w
f
f
f
Tabelle 1.1.: Beispiel Wahrheitstafel
Kommen wir nun zur Definition der einzelnen Verknüpfungen.
Negation
Definition 1.3 (Negation). Es sei A eine beliebige Aussage. Eine Aussage C
heißt Negation der Aussage A, falls C genau dann wahr ist, wenn A falsch ist
und falsch, wenn A wahr ist. Die Negation von A wird mit C = ¬A oder mit
C = not(A) oder mit C = A bezeichnet.
Die Negation von A wird auch durch die Wahrheitstafel in Tabelle 1.2 dargestellt.
A
w
f
¬A
f
w
Tabelle 1.2.: Wahrheitstafel Negation
Auch wenn hier nur eine Aussage verwendet wird, sprechen wir hier von einer
Verknüpfungen, einer 1-stelligen Verknüpfung.
Beispiel 1.1. Ist A die Aussage, dass eine Kugel ist rot ist, dann ist ¬A die
Aussage, dass die Kugel nicht rot ist.
18
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
Konjunktion
Definition 1.4 (Konjunktion). Es seien A und B beliebige Aussagen. Eine Aussage C heißt Konjunktion oder und-Verknüpfung oder and-Verknüpfung der
Aussagen A und B, falls C genau dann wahr ist, wenn A wahr ist und B wahr
ist. Die Konjunktion von A und B wird mit C = (A ∧ B) oder mit C = (A and B)
bezeichnet.
Die Konjunktion von A und B wird durch die Wahrheitstafel in Tabelle 1.3 dargestellt.
Alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte für A und B sind mit dem
Ergebnis der Verknüpfung dargestellt.
A B
w w
w f
f w
f f
A∧B
w
f
f
f
Tabelle 1.3.: Wahrheitstafel Konjunktion
Beispiel 1.2. Ist A die Aussage, dass eine Kugel rot ist und B die Aussage, dass
auf einer Kugel eine gerade Zahl ist, dann ist die Aussage C = (A∧B) die Aussage,
dass eine Kugel rot ist und eine gerade Nummer hat.
Beispiel 1.3. Ist A die wahre Aussage, „2 ist gerade“ und B die falsche Aussage
„3 ist gerade“, so ist die Aussage (A ∧ B) („2 ist gerade und 3 ist gerade“) eine
falsche Aussage.
Disjunktion
Definition 1.5 (Disjunktion). Es seien A und B beliebige Aussagen. Eine Aussage C heißt Disjunktion oder Adjunktion oder oder-Verknüpfung oder orVerknüpfung der Aussagen A und B, falls C genau dann wahr ist, wenn A wahr
ist oder B wahr ist (oder A wahr ist und B wahr ist). Die Disjunktion von A und
B wird mit C = (A ∨ B) oder C = (A or B) bezeichnet.
Version 7.2 - 005
19
1.2. Verknüpfung von Aussagen
Die Verwendung von „oder“ im mathematischen Sinne ist ein nicht ausschließendes
„oder“. In der Umgangssprache verwendet man das „oder“ oftmals als „exklusives
oder“, also als „entweder . . . oder“. Dies ist zu beachten. Wir verwenden immer das
nicht-ausschließende „oder“. Ein ausschließendes „oder“ werden wir später noch
kennen lernen.
Die Disjunktion von A und B wird durch die Wahrheitstafel in Tabelle 1.4 dargestellt.
A B
w w
w f
f w
f f
A∨B
w
w
w
f
Tabelle 1.4.: Wahrheitstafel Disjunktion
Beispiel 1.4. Ist A die Aussage, dass eine Kugel rot ist und B die Aussage, dass
auf einer Kugel eine gerade Zahl ist, dann ist die Aussage C = (A∨B) die Aussage,
dass die Kugel rot ist oder eine gerade Nummer hat. Die Kugel kann auch rot sein
und eine gerade Nummer haben.
Beispiel 1.5. Ist A die wahre Aussage, „2 ist gerade“ und B die falsche Aussage
„3 ist gerade“, so ist die Aussage (A ∨ B) („2 ist gerade oder 3 ist gerade“) eine
wahre Aussage.
Implikation
Definition 1.6 (Implikation). Es seien A und B beliebige Aussagen. Eine Aussage
C heißt Implikation oder Subjunktion oder Folgerung von A nach B, falls
C genau dann wahr ist, wenn A und B wahr sind oder aber A falsch ist. Die
Implikation von A nach B wird mit C = (A → B) bezeichnet.
Die Implikation von A und B wird durch die Wahrheitstafel in der Tabelle 1.5
dargestellt.
Mit dieser Definition haben viele Personen, die vom normalen Sprachgebrauch
ausgehen Schwierigkeiten, denn in der vorletzten Zeile steht, dass man von etwas
Falschem etwas Richtiges folgern kann. Das ist auf den ersten Blick merkwürdig,
aber ich habe bereits oben erwähnt, dass die mathematische Definition manchmal
etwas anderes ist.
20
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
A B
w w
w f
f w
f f
A→B
w
f
w
w
Tabelle 1.5.: Wahrheitstafel Implikation
Beispiel 1.6. Es sei A die wahre Aussage „2 ist gerade“ und B die wahre Aussage
„4 ist gerade“. Die Aussage A → B ist ebenfalls wahr.
Beispiel 1.7. Es sei A die falsche Aussage „1 = -1“ und B die wahre Aussage
„12 = (−1)2 “. Auch die Aussage A → B ist wahr.
Aus etwas Falschem kann alles gefolgert werden!
Äquivalenz
Definition 1.7 (Äquivalenz). Eine Aussage C heißt Äquivalenz oder Bijunktion von A und B, falls C genau dann wahr ist, wenn A wahr ist und B wahr
ist oder aber A falsch ist und B falsch ist. Die Äquivalenz von A und B wird mit
C = (A ↔ B) bezeichnet.
Die Äquivalenz von A und B wird durch die Wahrheitstafel in Tabelle 1.6 dargestellt.
A B
w w
w f
f w
f f
A↔B
w
f
f
w
Tabelle 1.6.: Wahrheitstafel Äquivalenz
Damit sind die fünf wichtigsten Verknüpfungen (Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz) eingeführt. Sie werden auch Junktoren genannt.
Version 7.2 - 005
21
1.2. Verknüpfung von Aussagen
Bei der Darstellung von Ausdrücken kann es zu Problemen kommen, wenn man
keine Klammern setzt oder wenn man keine Vereinbarung über die Reihenfolge der
Verknüpfungen festlegt. Beispiel: A ∧ B ∨ C.
Daher vereinbaren wir: Die Junktoren ¬, ∧, ∨, → und ↔ binden jeweils stärker
als die Nachfolger in dieser Liste. Daher kann man den Ausdruck A ∧ B ∨ C auch
als (A ∧ B) ∨ C schreiben, während A ∧ (B ∨ C) etwas anderes darstellt.
Im Zweifelsfall sollte man eher etwas mehr Klammern schreiben als zu wenig, um
mögliche Fehlerquellen zu vermeiden.
Beispiel 1.8. Mit Hilfe einer Wahrheitstafel können auch zusammengesetzte Aussagen schrittweise gelöst werden. Betrachten wir hierzu die zusammengesetzte Aussage (A → B) ∨ (A ∧ C) und betrachten den Wahrheitswert der Aussage in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der elementaren Aussagen A, B und C. (siehe
Tabelle 1.7)
A B
w w
w w
w f
w f
f w
f w
f f
f f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
(A
w
w
w
w
f
f
f
f
0.
→ B) ∨ (A
w w w w
w w w w
f
f w w
f
f f w
w w w f
w w w f
w f w f
w f w f
1. 0. 2. 0.
∧ C)
w w
f f
w w
f f
f w
f f
f w
f f
1. 0.
Tabelle 1.7.: Beispiel Auswertung Wahrheitstafel
Die zusammengesetzte Aussage wurde schrittweise gelöst. In der untersten Zeile
steht, in welcher Reihenfolge die Teilaussagen gelöst wurden. Dabei steht „0.“ für
die einfache Übertragung der Basiswerte. Gleiche Zahlenwerte in der letzten Zeile
bedeuten, dass die Ergebnisse auf dieser Ebene in beliebiger Reihenfolge gebildet
werden können.
Die Erstellung von Wahrheitstafeln für Aussagen kann auch mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms erstellt werden. Diese Programme bieten logische Funktionen und Ausdrücke. Auch moderne Programmiersprachen bieten Konstrukte für
die Bearbeitung von logischen Ausdrücken.
22
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
Wir haben einige 1- und 2-stelligen Verknüpfungen kennen gelernt. Wir wollen nun
alle 1- und 2-stelligen Verknüpfungen kennen lernen. Einige dieser Verknüpfungen
haben besondere Namen und sind (insbesondere in der Informatik) bedeutend. Um
zu sehen, welche weiteren Verknüpfungen es noch gibt, können wir die möglichen
Verknüpfungen systematisch erarbeiten.
1-stellige Verknüpfungen
Es sei A eine Aussage, dann gibt es vier 1-stelligen Verknüpfungen. Das heißt, es
gibt vier Möglichkeiten, wie die Wahrheitwerte in Abhängigkeit des Wahrheitwertes von A verteilt sein können. In der Tabelle 1.8 werden die möglichen 1-stelligen
Verknüpfungen dargestellt:
A
w
f
V1
true
w
w
V2
V3
id(A) ¬A
w
f
f
w
V4
f alse
f
f
Tabelle 1.8.: Liste 1-stellige Verknüpfungen
In dieser Wahrheitstafel sind in der ersten beiden Zeilen die Aussagen oder einstelligen Verknüpfungen aufgeführt, in den beiden nachfolgenden Zeilen die möglichen
Verteilungen der Wahrheitswerte von Vi (A), für i = 1, 2, 3, 4 bei gegebenem Wahrheitswert der Aussage A. In der zweiten Zeile stehen die kurzen Bezeichnungen
der Verknüpfung. Die Bezeichnungen dieser Verknüpfungen sind in der Literatur
allerdings nicht einheitlich.
Die Verknüpfungen true(A) und false(A) sind unabhängig vom Wahrheitswert
von A stets wahr beziehungsweise f alsch. Die Verknüpfung id(A) ist die Identität
von A, so dass als einzige nicht-triviale 1-stellige Verknüpfung die Negation ¬A,
not(A) oder A bleibt.
2-stellige Verknüpfungen
Zweistellige Verknüpfungen gibt es insgesamt 16, die in den Tabellen 1.9 und 1.10
vollständig aufgeführt sind. In der Tabelle stehen die Wahrheitswerte von Vi (A, B)
für i = 1, 2, . . . , 16 in Abhängigkeit der Wahrheitswerte von A und B.
Version 7.2 - 005
23
1.2. Verknüpfung von Aussagen
A B
w w
w f
f w
f f
V1
true
w
w
w
w
V2
∨
w
w
w
f
V3
w
w
f
w
V4
id(A)
w
w
f
f
V5
→
w
f
w
w
V6
id(B)
w
f
w
f
V7
↔
w
f
f
w
V8
∧
w
f
f
f
Tabelle 1.9.: Liste 2-stellige Verknüpfungen, Teil 1
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
V9
∧
f
w
w
w
V10
∨
f
w
w
f
V11
¬B
f
w
f
w
V12
f
w
f
f
V13
¬A
f
f
w
w
V14
f
f
w
f
V15
∨
f
f
f
w
V16
f alse
f
f
f
f
Tabelle 1.10.: Liste 2-stellige Verknüpfungen, Teil 2
Aus der Wahrheitstafel kann man erkennen, dass die Verknüpfungen aus dem
zweiten Teil aus der Negation der Verknüpfungen aus dem ersten Teil entsteht. Es
gilt Vi (A, B) = ¬(V17−i (A, B)) für i = 1, . . . , 16.
Die Verknüpfung V3 setzt sich zusammen aus A ∨ ¬B oder aber B → A, die Verknüpfungen V1 , V4 und V6 sind trivial, so dass sich alle 2-stelligen Verknüpfungen
auf die fünf Verknüpfungen ¬, ∨, ∧, → und ↔ zurückführen lassen. Daraus ergibt
sich die
Bemerkung 1.8. Die 2-stelligen Verknüpfungen lassen sich alle allein mit Hilfe
der Junktoren darstellen.
Die Verknüpfungen „→“ und „↔“ lassen sich allein mit Hilfe der Verknüpfungen
„¬“, „∨“ und „∧“ darstellen lassen:
Bemerkung 1.9. Es seien A und B beliebige Aussagen dann gelten
(A ↔ B) ⇔ (A → B) ∧ (B → A)
(A → B) ⇔ ¬A ∨ B .
(1.1)
(1.2)
Damit ergibt sich sogar die
24
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
Bemerkung 1.10. Die 2-stelligen Verknüpfungen lassen sich alle allein mit Hilfe
der Verknüpfungen „¬“, „∨“ und „∧“ darstellen.
Dies ist auch der Grund, wieso in einigen Programmiersprachen, zum Beispiel in
Java, und in Tabellenkalkulationsprogrammen oftmals nur die logischen Operatoren „¬“, „∨“ und „∧“ realisiert sind.
Einige Verknüpfungen aus der obigen Tabelle haben einen besonderen Namen, die
in der Tabelle auch bereits eingetragen sind.
• ∧ = ¬∧ (nicht und; nicht zugleich; nand),
• ∨ = ¬∨ (nicht oder; weder noch; nor)
• ∨ = exclusive or (exklusives oder; entweder oder; xor)
Die Verknüpfungen haben ihre besondere Bedeutung in der Schaltalgebra, die auf
der nachfolgenden Bemerkung beruht.
Bemerkung 1.11. Die 2-stelligen Verknüpfungen lassen sich alle allein mit den
Verknüpfung „∨“ beziehungsweise „∧“ darstellen.
Beweis: Es gelten die nachfolgenden Äquivalenzen, die leicht nachgerechnet werden
können.
¬A ⇔ (A ∧ A)
⇔ (A ∨ A)
(1.3)
A ∧ B ⇔ (A ∧ B) ∧(A ∧ B)
⇔ (A ∨ A) ∨(B ∨ B)
(1.4)
A ∨ B ⇔ (A ∧ A) ∧(B ∧ B)
⇔ (A ∨ B) ∨(A ∨ B)
(1.5)
A → B ⇔ A ∧(A ∧ B)
⇔ (B ∨(A ∨ B)) ∨(B ∨(A ∨ B))
(1.6)
Diese Äquivalenzen können beispielsweise mittels Wahrheitstafeln bewiesen werden. Dies führe ich an Hand der erste Äquivalenz aus, siehe Tabelle 1.11.
Version 7.2 - 005
25
1.3. Aussagenlogik
A
w
f
¬A
f
w
A∧A
f
w
A∨A
f
w
Tabelle 1.11.: Beweis ¬A = A ∧ A = A ∨ A
Es kann aber auch ohne Wahrheitstafeln bewiesen werden, durch Äquivalente Umformungen.
(A ∧ B) ∧(A ∧ B)
⇔ ¬(A ∧ B)
⇔ ¬(¬(A ∧ B))
⇔ A∧B
Die Ausführung des Beweises der restlichen Äquivalenzen kann als einfache Übung
durchgeführt werden.
1.3. Aussagenlogik
Wenn A eine beliebige Aussage ist, dann ist die Verknüpfung A ∨ ¬A stets wahr,
während die Verknüpfung A ∧ ¬A stets falsch ist, unabhängig vom Wahrheitswert
von A. Dies führt zur nachfolgenden Definition.
Definition 1.12 (Tautologie). Eine Aussage heißt eine Tautologie, wenn sie
stets eine wahre Aussage ist. Eine Aussage heißt eine Kontradiktion, wenn sie
stets eine falsche Aussage ist.
Allgemein gültige Aussage (Tautologien) heißen auch Sätze der Aussagenlogik. Sie
bilden die Basis für die mathematische Logik und das Beweisen. Wir werden im
Folgenden einige Tautologien aufstellen und beweisen.
Satz 1.13 (Satz vom ausgeschlossenen Dritten). Es sei A eine Aussage, dann
ist
A ∨ ¬A
(1.7)
eine Tautologie.
26
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
A
w
f
A ∨ ¬A
w w f
f w w
0. 2. 1.
Tabelle 1.12.: Beweis Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Beweis:
Der Beweis kann mit Hilfe einer Wahrheitstafel (siehe Tabelle 1.12) erbracht werden.
Dies bedeutet, dass eine Aussage wahr oder falsch ist. Dies hängt auch damit
zusammen, dass wir eine 2-wertige Logik behandeln. Ansonsten gäbe es neben
wahr und falsch noch weitere Wahrheitszustände.
Satz 1.14 (Satz vom Widerspruch). Es sei A eine Aussage, dann ist
¬(A ∧ ¬A)
(1.8)
eine Tautologie.
Die Aussage (A ∧ ¬A) ist eine Kontradiktion. Dies bedeutet, dass eine Aussage
nicht gleichzeitig wahr und falsch sein kann.
Satz 1.15 (Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz). Es seien A, B und
C Aussagen. Es gelten das Assoziativgesetz
(A ∧ B) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C)
(A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C)
(1.9)
(1.10)
, das Kommutativgesetz
A∧B ↔B∧A
A∨B ↔B∨A
(1.11)
(1.12)
A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).
(1.13)
(1.14)
und das Distributivgesetz
Version 7.2 - 005
27
1.3. Aussagenlogik
Das Assoziativgesetz ermöglicht es, einfach A ∧ B ∧ C beziehungsweise A ∨ B ∨ C
zu schreiben, ohne dass man Klammern setzen muss. Dies erleichtert oftmals die
Schreibarbeit. Das Assoziativgesetz gilt auch für mehr als drei Aussagen. Diese
drei Gesetze erinnern stark an die entsprechenden Gesetze bei der Arithmetik mit
„+“ und „·“, doch beim Distributivgesetz ist zu sehen, dass es Unterschiede gibt.
Satz 1.16 (Satz von der doppelten Verneinung). Es sei A eine Aussage,
dann gilt
¬(¬(A)) ↔ A
(1.15)
Die doppelte Verneinung einer Aussage hebt sich gegenseitig aus, es entsteht wieder
die ursprüngliche Aussage.
Satz 1.17 (Regeln von de Morgan). Es seien A und B Aussagen, dann gelten
(a) ¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B
(b) ¬(A ∨ B) ↔ ¬A ∧ ¬B
(1.16)
(1.17)
Die Negation einer and-Verknüpfung ist die or-Verknüpfung der Negationen der
Aussagen. Ebenso ist die Negation einer or-Verknüpfung die and-Verknüpfung der
Negationen. Die Regeln von de Morgan sind nach dem britischen Mathematiker
Augustus de Morgan (1806 - 1871) benannt.
Beweis: Es soll ¬(A ∧ B) ↔ (¬(A) ∨ ¬(B)) bewiesen werden.
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬ (A ∧ B) ↔
f
w
w
w
f
w
w
f
w
w
f
w
2.
1.
3.
¬A ∨ ¬B
f
f
f
f
w w
w w f
w w w
1. 2. 1.
Tabelle 1.13.: Beweis Regel von de Morgan
Durch ersetzen von A durch ¬A und B durch ¬B in der obigen Äquivalenz, erhalten wir, dabei hilft auch der Satz von der doppelten Verneinung,
¬(¬A ∧ ¬B) ↔ (¬(¬A) ∨ ¬(¬B)) ↔ A ∨ B .
(1.18)
Negation auf beiden Seiten und nochmalige Anwendung des Satzes der doppelten
Verneinung ergibt die zweite Regel von de Morgan.
28
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
⇔
⇔
⇔
¬(A ∨ B)
(doppelte Verneinung)
¬(¬(¬A) ∨ ¬(¬B))
(Regel von de Morgan, a)
¬(¬(¬A ∧ ¬B))
(doppelte Verneinung)
¬A ∧ ¬B
Die nachfolgenden Sätze sind wichtige Sätze für die Beweisverfahren.
Satz 1.18. Es seien A, B und C beliebige Aussagen, dann gelten
1. Kontrapositionssatz
(A → B) ↔ (¬B → ¬A)
(1.19)
2. Satz zum modus ponens / Abtrennungsregel
((A → B) ∧ A) → B
(1.20)
3. Satz zum modus tollens
(A → B) ∧ ¬B → ¬A
(1.21)
4. Satz zum modus barbara / Kettenschlussregel
[(A → B) ∧ (B → C)] → (A → C)
(1.22)
Beweis: (teilweise) Satz zum modus tollens: Der Beweis ist als Wahrheitstabelle in
der Tabelle 1.14 zu sehen.
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
(A → B) ∧ ¬B
w
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w w
1.
2. 1.
→ ¬A
w
f
w
f
w
w
w
w
3. 1.
Tabelle 1.14.: Beweis Satz zum modus tollens
Version 7.2 - 005
29
1.4. Prädikatenlogik
Der Beweis kann jedoch auch ohne Wahrheitstafel, durch äquivalente Umformungen erfolgen.
(A → B) ∧ ¬B
⇔
(¬A ∨ B) ∧ ¬B
⇔
Distributivgesetz
(¬A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬B)
⇔
Satz 1.13 (Satz vom Widerspruch)
(¬A ∧ ¬B) ∨ f alse
⇔
¬A ∧ ¬B
⇒
¬A
Die weiteren Aussagen können leicht als Übung bewiesen werden.
1.4. Prädikatenlogik
Für die Formulierung mathematischer Theorien reicht die Aussagenlogik noch nicht
aus. In der Aussagenlogik werden Aussagen betrachtet. In der Prädikatenlogik
werden Prädikate oder Aussageformen betrachtet.
Bei der weiteren Analyse von Aussagen stößt man auf Subjekte, Prädikate und
sogenannte quantifizierbare Redeteile wie „für alle“ und „es gibt“. Subjekte sind
Namen für Dinge aus einer bestimmten vorgegebenen Individualmenge, Prädikate sind Namen für Relationen4 auf dieser Individualmenge. 1-stellige Prädikate
heißen Eigenschaften. Weiter führt man die Quantoren „∀“ („für alle“ oder Generalisator) und „∃“ („es gibt“ oder Partikularisator) ein. Darüber hinaus gibt es
noch das Gleichheitszeichen „=“ und Vergleichsoptionen „<“ und „>“, um Identitäten darstellen zu können. Führt man noch Funktionen5 (in n Variablen) ein,
die jedoch genau genommen nur ((n + 1)-stellige) Relationen sind, so haben wir
die Elemente der Prädikatenlogik der 1. Stufe mit Identität, um damit mathematische Aussagen formulieren zu können. Dies und die Erweiterung in höhere
Stufen wird hier nicht weiter ausgeführt. Wir werden an einigen Beispielen die
Prädikatenlogik betrachten.
4
5
Relationen werden wir erst später genauer kennen lernen
Funktionen werden wir erst später genauer kennen lernen
30
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
Beispiele:
1. Es existiert (mindestens) eine Primzahl größer 5 und kleiner 9.
Sei P das 1-stellige Prädikat (Eigenschaft) „ist Primzahl“, dann lässt sich
dies darstellen als
∃n ∈ N : P (n) ∧ (5 < n < 9) .
(1.23)
2. Für alle reelle Zahlen x größer 0 existiert (mindestens) eine natürliche Zahl
n, so dass 1/n kleiner x ist:
∀(x ∈ R+ ) : ∃ (n ∈ N) : 1/n < x .
(1.24)
Damit hilft die Prädikatenlogik bei klaren Beschreibung mathematischer Aussagen.
Die Prädikatenlogik wird an dieser Stelle nicht weiter detailliert. Wir werden sie
jedoch immer wieder anwenden und dadurch genauer kennen lernen.
1.5. Beweisverfahren
Unter einem Beweis versteht man die Ableitung einer Aussage aus anderen Aussagen nach bestimmten, logischen Schlussregeln. Wir werden hier einige der Beweisverfahren an konkreten Beispielen betrachten. Ziel eines Beweises ist es immer,
aus einem gegebenen Satz von wahren Aussagen durch logische Schlussfolgerungen
eine Behauptung zu bestätigen.
Gegenbeispiel
Nicht jede Behauptung ist wahr. Die Anführung eines einzigen Gegenbeispieles
ist eine Möglichkeit, eine Behauptung zu widerlegen. Eine Möglichkeit, die man
immer in Erwägung ziehen sollte. Für die Widerlegung einer Aussage genügt ein
einziges Gegenbeispiel. Für einen Beweis einer Aussage reichen auch viele Beispiele
nicht.
Version 7.2 - 005
31
1.5. Beweisverfahren
Vollständiges Durchrechnen
Ebenfalls eine einfache Möglichkeit ist das vollständige Durchrechnen aller
Fälle. Dies ist jedoch nur dann möglich, wenn es endlich viele Fälle gibt. Es ist
nur dann wirklich einfach, wenn die Anzahl der möglichen Fälle klein ist. In den
ersten Abschnitten wurden einige Beweise dadurch geführt. Mit dem Aufkommen
der Computer sind derartige Beweise verstärkt aufgekommen. Ein berühmtes Beispiel ist der Beweis des Vierfarbenproblem6 , das mit Hilfe der Reduzierung auf
endliche viele Untersuchungsfälle und dem anschließenden Durchrechnen mittels
eines Computerprogramms gelöst wurde.
Direkter Beweis
Beim direkten Beweis wird eine Aussage aus einer wahren Aussage durch direkte
logische Schlussregeln hergeleitet. Als Basis dient hierbei der Satz zum modus
ponens.
((A → B) ∧ A) → B
(1.25)
Beispiel 1.9. Beispiel für einen direkten Beweis:
Behauptung: Es sei n eine ungerade natürliche Zahl, dann ist auch n2 eine ungerade Zahl. Hierbei sei „n ist ungerade“ die Ausssage A und „n2 ist ungerade“
die Aussage B.
Beweis: Da n eine ungerade natürliche Zahl ist, existiert eine Zahl k, mit
n = 2k + 1. Damit gilt
n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1
.
(1.26)
Somit ist auch n2 eine ungerade Zahl.
Damit wurde die Aussage direkt bewiesen.
Indirekter Beweis
Der indirekten Beweis basiert auf dem Kontrapositionssatz, der folgenden Äquivalenz:
(A → B) ↔ (¬B → ¬A)
6
(1.27)
Wie viele Farben reichen aus, um eine beliebige Karte so einzufärben, dass je zwei aneinander
grenzende Länder unterschiedliche Farben haben? Diese Problem wurde von Francis Guthrie
(englischer Mathematiker) 1852 formuliert. Erst 1977 gelangen Kenneth Appel und Wolfgang
Haken mit Hilfe eines Computerprogrammes der Beweis.
32
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
Es wird somit von der Negation der Aussage B ausgegangen und daraus die Negation der Aussage A bewiesen.
Beispiel 1.10. Beispiel für einen indirekten Beweis:
Behauptung: Ist n2 eine gerade Zahl, dann ist auch n eine gerade Zahl.
Beweis: A sei die Aussage „n2 ist gerade“, B sei die Aussage „n ist eine gerade
Zahl“. Die Negation zu B ist die Aussage „n ist ungerade“. Aus dem Beispiel zum
direkten Beweis haben wir gesehen, dass dann n2 eine ungerade Zahl ist, dies ist
die Negation von A. Aus der Negation von B folgt die Negation von A, damit folgt
aus A die Aussage B.
Damit wurde die Aussage indirekt bewiesen.
Beweis durch Widerspruch
Der Beweis durch Widerspruch basiert auf dem Satz zum modus tollens.
(A → B) ∧ ¬B → ¬A
(1.28)
Wenn aus der Aussage A die Aussage B folgt, jedoch die Negation von B wahr
ist, dann ist kann die Aussage A nicht wahr sein, denn ansonsten würde auch die
Aussage B wahr sein, was ein Widerspruch darstellt. Somit ist die Negation von
A wahr.
Beispiel 1.11. √Beispiel für einen Beweis durch Widerspruch:
Behauptung: √2 ist irrational.
2 rational ist, dann gibt es teilerfremde, natürliche Zahlen p und
Beweis: Wenn
√
p
q, so dass 2 = q gilt. Damit ergibt sich 2q 2 = p2 . Damit ist p2 gerade und damit
auch p (siehe Beispiel zum indirekten Beweis). Somit gibt es eine Zahl k, so dass
p = 2k gilt. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich 2q 2 = 4k 2 . Hier kann man
durch 2 kürzen und man erhält q 2 = 2k 2 . Damit ist q 2 gerade und somit auch q.
Dies widerspricht
√ jedoch der Annahme, dass p und q teilerfremd sind, also ist die
Annahme, dass 2 rational ist falsch!
√
Damit wurde die Aussage, dass 2 irrational ist, indirekt bewiesen.
Der Beweis durch Widerspruch ist nur möglich, wenn man von der 2-wertigen
Logik ausgeht, denn dann ist eine Aussage entweder wahr oder falsch!
Version 7.2 - 005
33
1.6. Aufgaben
Vollständige Induktion
Beim Beweis durch vollständige Induktion beweist man eine Aussage der Form
∀n ∈ N : A(n), indem zuerst die Aussage für n = 1 bewiesen wird (Induktionsbeginn oder Induktionsverankerung). In der Induktionsannahme wird angenommen,
dass A(n) gilt. Im Induktionsschritt von n auf n + 1 wird die Aussage A(n + 1),
basierend auf der Aussage A(n) (manchmal auch auf den Aussagen A(n − 1), . . .)
bewiesen: (A(n) → A(n+1)). Durch wiederholte Anwendung des Satzes des modus
ponens gilt A(n) für alle n ∈ N.
Beispiel 1.12. Beispiel für einen Beweis durch vollständige Induktion:
Behauptung:
∀n ∈ N :
n
X
i=
i=1
n(n + 1)
2
(1.29)
Beweis: Die Aussage A(n) ist für n ∈ N
A(n) :
n
X
i=
i=1
Induktionsbeginn: Es gilt A(1), denn
P1
i=1
n(n + 1)
2
i=1=
(1.30)
1(1+1)
.
2
Induktionsannahme: A(n) gilt.
Induktionsschritt von n auf n + 1:
n+1
X
i=1
i=
n
X
i + (n + 1) =
i=1
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
+ (n + 1) =
2
2
(1.31)
Beim ersten Gleichheitszeichen wurde der Term für n + 1 so umgeformt, dass
ein Term entsteht, für den die Induktionsannahme verwendbar ist. Beim mittleren
Gleichheitszeichen wurde die Induktionsannahme verwendet.
In den nachfolgenden Kapiteln wird es noch oft die Gelegenheit geben, die verschiedenen Beweisverfahren einzusetzen.
1.6. Aufgaben
Aufgabe 1.1. Es seien A, B und C Aussagen. Erstellen Sie die Wahrheitstafeln
für die nachfolgenden logischen Aussagen
34
Version 7.2 - 005
Kapitel 1. Aussagen
1. (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ C)
2. (A → (B ∨ C)) ∧ (A ∨ B)
3. (A ∧ B) ↔ (B ∨ C)
4. (¬A → B) ∨ (B ∧ C)
Aufgabe 1.2. Es seien A, B und C Aussagen. Bestimmen Sie die Wahrheitstafeln
der nachfolgen Aussageformen
1. (A ∧ B) ∨ C
2. A ∧ (B ∨ C)
3. (A ∨ B) ∧ C
4. A ∨ (B ∧ C)
Aufgabe 1.3. Erstellen Sie Wahrheitstafeln mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms ihrer Wahl.
Aufgabe 1.4. Erstellen Sie Wahrheitstafeln mit Hilfe eines Programms in einer
beliebigen Programmiersprache Ihrer Wahl.
Aufgabe 1.5. Zeigen Sie, dass die logischen Verknüpfungen ¬, ∧, ∨ und → allein
durch den logischen Operator ∧ darstellbar sind.
Aufgabe 1.6. Zeigen Sie, dass die logischen Verknüpfungen ¬, ∧, ∨ und → allein
durch den logischen Operator ∨ darstellbar sind.
Aufgabe 1.7. Es seien A und B zwei beliebige Aussagen. Zeigen Sie, dass
(A → B) ↔ (¬B → ¬A)
eine Tautologie ist. (Kontrapositionssatz)
Aufgabe 1.8. Beweisen Sie den Satz zum modus ponens.
Aufgabe 1.9. Zeigen Sie, dass die nachfolgenden Aussagen Tautologien sind:
(a) (A → B) ↔ (¬A ∨ B)
(b) (A ↔ B) ↔ ((A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B))
(c) (A ↔ B) ↔ ¬(A ∨ B)
(d) (A ∨ B) ↔ ¬(A ∨ B)
(e) (A ∧ B) ↔ ¬(A ∧ B)
Aufgabe 1.10. Es seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen Tautologien (Sätze der Aussagenlogik) sind.
Version 7.2 - 005
35
1.6. Aufgaben
1. (splitten) [(A ∨ B) → C] ↔ [(A → C) ∧ (B → C)]
2. (verschieben) [(A ∧ B) → C)] ↔ [A → ¬B ∨ C]
3. (tauschen) [(A ∧ B) → C)] ↔ [(A ∧ ¬C) → ¬B]
4. (aggregieren) [(A → B) ∧ (A → C)] ↔ [A → (B ∧ C)]
Aufgabe 1.11. Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
∀n ∈ N :
n
X
i=1
36
i2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Version 7.2 - 005
Kapitel 2.
Mengen
In diesem Kapitel werden die wichtigsten Grundbegriffe und Notationen, der Mengenlehre eingeführt. Begriffe und Symbolik der Mengenlehre und der formalen Logik zusammen gestatten eine präzise Formulierung mathematischer Aussagen.
Zuerst werden Mengen eingeführt (Abschnitt 2.1), bevor dann Teilmengen und
die Potenzmenge definiert werden (Abschnitt 2.2). Im Abschnitt 2.3 werden
Operationen von Mengen betrachtet und die Mengenarithmetik untersucht. Im
anschließenden Abschnitt 2.4 werden Klasseneinteilungen das heißt Zerlegungen
von Mengen betrachtet, die eine Verbindung zu Äquivalenzrelationen haben, die
erst im nächsten Kapitel betrachtet werden, beschrieben. Ein wichtiges Beispiel von
Mengen, die ebenfalls im nachfolgenden Kapitel eine weiter gehende Bedeutung
haben, ist das kartesische Produkt, welches im abschließenden Abschnitt 2.5
definiert wird.
2.1. Mengen
Definition und Beschreibung
Die grundlegende Definition einer Menge geht zurück auf den deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845 - 1918).
Definition 2.1 (Menge). Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter,
wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem
Ganzen. Die Objekte, die zu einer Menge zusammengefasst werden heißen Elemente der Menge.
Ist M eine Menge und x ein Objekt, so schreibt man x ∈ M , wenn x ein Element
von M ist und x ∈
/ M , wenn x nicht Element von M ist.
Version 7.2 - 005
37
2.1. Mengen
Mengen können entweder durch die Aufzählung ihrer Elemente oder die Angabe der
Eigenschaften der Elemente der Menge beschrieben werden. Die Elemente werden
in geschweifter Klammer geschrieben.
Einige Beispiele von Beschreibungen von Mengen:
Beispiel 2.1. A sei die Menge aller Farben einer Verkehrsampel.
A := {rot, gelb, grün}
Beispiel 2.2. B sei die Menge aller möglichen Farbzustände einer Verkehrsampel.
B := {rot, rot-gelb, grün, gelb, gelb-blinkend, aus}
Beispiel 2.3. C sei die Menge aller geraden Zahlen.
Beispiel 2.4. D sei die Menge aller Quadratzahlen kleiner als 100.
D := {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
Beispiel 2.5. E sei die Menge der Studentinnen und Studenten einer Vorlesung.
Die Beschreibung von Mengen kann auch mit Hilfe von Prädikaten erfolgen.
Beispiel 2.6. Es sei P3 das Prädikat „ist gerade“, also P3 (x) die Aussageform „x
ist gerade“. Weiter sei C := {x | P3 (x)} die Menge, deren Elemente diejenigen
Objekte sind, für welche die Aussage P3 (x) wahr ist.
Beispiel 2.7. Es seien P4 das Prädikat „ist Quadratzahl“ und P4 (x) die Aussageform „x ist Quadratzahl“. Weiter seien Q4 das Prädikat „ist kleiner als 100“
und Q4 (x) die Aussageform „x ist kleiner als 100“. Die Menge der Quadratzahlen
kleiner als 100 kann durch D := {x | P4 (x) ∧ Q4 (x)} beschrieben werden.
Die obige Definition der Menge kann zu Widersprüchen führen. Die Bildung der
„Menge“ M aller Mengen X, die nicht Element von sich selbst sind, führt zu einem
Widerspruch. Gehört M selbst zu dieser Menge oder nicht? Dies ist unter dem Namen Antinomie von Russell bekannt, benannt nach dem britischen Mathematiker
und Philosoph Bertrand Russell (1872 - 1970, Nobelpreis für Literatur 1950). Diese
Problematik wird hier nicht weiter verfolgt. Daher beschäftigen wir uns nur mit
der sogenannten „naiven“ Mengenlehre.
Wichtige Mengen
Beispiele wichtiger Mengen aus der Mathematik:
38
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
1. Menge der natürlichen Zahlen1 : N
N = {n | n ist natürlicheZahl}
= {1, 2, 3, . . .}
(2.1)
2. Menge der natürlichen Zahlen mit der 0: N0
N0 = {n | n ist natürliche Zahl oder (n = 0)}
= {0, 1, 2, . . .}
(2.2)
3. Menge der Primzahlen: P
P = {p | p ist P rimzahl}
= {2, 3, 5, 7, 11, . . .}
(2.3)
4. Menge der ganzen Zahlen: Z
Z = {z | z ist ganze Zahl}
= {0, ±1, ±2, ±3, . . .}
(2.4)
5. Menge der rationalen Zahlen: Q
Q = {x | x ist rationale Zahl}
p
= {x = | p ∈ Z und q ∈ Z\{0}}
q
(2.5)
6. Menge der reellen Zahlen: R
R = {x | x ist reelle Zahl}
(2.6)
7. Menge der positiven Zahlen: X +
X + = {x | x ∈ X und (x > 0)}
(2.7)
(X = Z, Q oder R)
8. Menge der negativen Zahlen: X −
X − = {x | x ∈ X und (x < 0)}
(2.8)
(X = Z, Q oder R)
1
Die 0 zählt bei mir nicht zu den natürlichen Zahlen!
Version 7.2 - 005
39
2.1. Mengen
9. Menge der positiven Zahlen inklusive der 0: X0+
X0+ = {x | x ∈ X und (x ≥ 0)}
(2.9)
(X = Z, Q oder R)
10. Menge der negativen Zahlen inklusive der 0: X0−
X0− = {x | x ∈ X und (x ≤ 0)}
(2.10)
(X = Z, Q oder R)
11. X>α Menge der Zahlen, größer α (x > α)
X>α = {x | x ∈ X mit (x > α)}
(2.11)
(X = Z, Q oder R)
12. X≥α Menge der Zahlen, größer oder gleich α (x ≥ α)
X≥α = {x | x ∈ X mit (x ≥ α)}
(2.12)
(X = Z, Q oder R)
13. X<α Menge der Zahlen, kleiner α (x < α)
X<α = {x | x ∈ X mit (x < α)}
(2.13)
(X = Z, Q oder R)
14. X≤α Menge der Zahlen, kleiner oder gleich α (x ≤ α)
X≤α = {x | x ∈ X mit (x ≤ α)}
(2.14)
(α, β) = {x ∈ X | α < x < β}
(2.15)
(α, β] = {x ∈ X | α < x ≤ β}
[α, β) = {x ∈ X | α ≤ x < β}
(2.16)
(X = Z, Q oder R)
15. Intervalle
offenes Intervall
halboffene Intervalle
abgeschlossenes Intervall
[α, β] = {x ∈ X | α ≤ x ≤ β}
(2.17)
(X = Z, Q oder R)
40
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
16. Menge der komplexen Zahlen: C
C = {x | x ist komplexe Zahl}
(2.18)
Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1}
(2.19)
17. Für n ∈ N sei
Gleichheit von Mengen
Definition 2.2 (Mengengleichheit). Zwei Mengen M und N heißen gleich (M =
N ), wenn sie dieselben Elemente enthalten.
M = N :⇔ ∀x : (x ∈ M ) ↔ (x ∈ N )
(2.20)
Die Reihenfolge, mit der die Elemente in einer Menge aufgeführt werden ist nicht
von Bedeutung. Genauso können Elemente mehrmals aufgeführt werden, ohne
dass sich die Menge ändert. Daher sind folgende Mengen identisch: {1, 2, 3} =
{2, 1, 3} = {2, 3, 2, 1}.
Wenn Elemente in einer Menge mehrmals vorkommen dürfen, dann ist dies eine
Multimenge, die jedoch nicht weiter behandelt wird.
Elementanzahl und leere Menge
Definition 2.3 (endliche Menge, leere Menge). Es sei M eine Menge, dann ist
|M | die Anzahl der Elemente von M . Eine Menge M heißt endliche Menge,
wenn |M | < ∞ gilt, ansonsten heißt sie eine unendliche Menge .
Die Menge ∅, die keine Elemente enthält heißt leere Menge.
Für eine unendliche Menge kann man die Elemente nicht einzeln aufführen. Für eine endliche Menge ist dies machbar, jedoch nicht immer praktikabel. Dann werden
die Elemente über ihre Eigenschaften aufgeführt.
Version 7.2 - 005
41
2.2. Teilmengen und Potenzmenge
2.2. Teilmengen und Potenzmenge
Teilmenge
Definition 2.4 (Teilmenge). Es seien M und N zwei Mengen. Die Menge N heißt
Teilmenge von M (N ⊆ M ), wenn jedes Element von N auch Element von M
ist. Die Menge M heißt dann auch Obermenge von N .
N ⊆ M :⇔ ∀x : (x ∈ N ) → (x ∈ M )
(2.21)
Die Menge N heißt echte Teilmenge von M (N ⊂ M ), wenn N eine Teilmenge
von M ist, jedoch N ungleich M ist.
N ⊂ M :⇔ (N ⊆ M ) ∧ (N 6= M ) .
(2.22)
Ist N keine Teilmenge von M , so schreibt man N 6⊆ M .
Für alle Mengen M gelten M ⊆ M und ∅ ⊆ M . Die leere Menge und die Menge
selbst sind also stets Teilmengen einer Menge, dies sind die trivialen Teilmengen
einer Menge. Ist N eine echte Teilmenge von M , dann gibt es Elemente in M , die
nicht Elemente von N sind.
M
N
Abbildung 2.1.: Teilmenge
Zur Veranschaulichung und leichteren Erfassung mengentheoretischer Zusammenhänge bedient man sich häufig Punktmengen in der Ebene (siehe Abbildung 2.1).
Diese Abbildungen heißen Mengendiagramme oder auch Euler-Diagramme
oder Venn-Diagramme. Sie sind benannt nach dem schweizer Mathematiker
Leonhard Euler (1707 - 1783) und dem britischen Logiker John Venn (1834 - 1923).
Die Mengendiagramme dienen nur der Veranschaulichung! Sie können einem beim
Beweisen als Anschauung helfen, sie ersetzen jedoch keinen Beweis!
42
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
Für wichtige Mengen aus der Mathematik gilt:
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
(2.23)
Aus der Definition der Gleichheit für Mengen und der Definition für Teilmengen
ergibt sich
Bemerkung 2.5. Es seien M und N Mengen, dann gilt:
(M = N ) ⇔ (M ⊆ N ) ∧ (N ⊆ M ) .
Beweis:
M =N
⇔
∀x : (x ∈ N ) ↔ (x ∈ M )
⇔
∀x : (x ∈ N ) → (x ∈ M ))∧
∀x : (x ∈ M ) → (x ∈ N ))
⇔
(N ⊆ M ) ∧ (M ⊆ N ) .
(2.24)
(Definition der Gleichheit)
(Aussagenlogik)
(Definition der Teilmenge)
Für den Beweis einer Mengengleichheit wird oftmals nachgewiesen, dass sich die
beiden Mengen gegenseitig als Teilmengen enthalten.
Die Teilmengenbeziehung ist transitiv.
Bemerkung 2.6. Es seien L, M und N Mengen, dann gilt (Transitivität):
(N ⊆ M ) ∧ (M ⊆ L) → (N ⊆ L) .
(2.25)
Ist N eine Teilmenge von M und M eine Teilmenge von L, dann ist N auch eine
Teilmenge von L.
Beweis: Die Grafik (siehe Abbildung 2.2) dient nur der Veranschaulichung. Der
formale Beweis ist kurz. Für jedes x ∈ N gilt:
(x ∈ N )
⇒
N ist Teilmenge von M (N ⊆ M )
(x ∈ M )
⇒
M ist Teilmenge von L (M ⊆ L)
(x ∈ L)
Version 7.2 - 005
43
2.2. Teilmengen und Potenzmenge
L
M
N
Abbildung 2.2.: Transitive Teilmengen
Beispiel 2.8. Es seien M = {1, 2} und N = {2, 3, 4}. Welche der folgenden
Aussagen sind richtig?
• M ⊆ N?
Nein, da 1 ∈ M , aber 1 ∈
/ N.
• N ⊆ M?
Nein, da 4 ∈ N , aber 4 ∈
/ M.
• M = N?
Nein, da 4 ∈ N , aber 4 ∈
/ M.
• M 6= N ?
Ja.
• {2, 4} ⊆ N ?
Ja.
• 2 ∈ M?
Ja.
• 2 ⊆ M?
Nein, dies ist nicht einmal ein gültiger Ausdruck, da 2 keine Menge ist, so
dass keine Teilmengenbeziehung bestehen kann. Gültig wären die Aussagen
2 ∈ M oder {2} ⊆ M .
• {2, {3, 4}} ⊆ N ?
Nein, die Menge auf der linken Seite besteht aus zwei Elementen, aus der 2
und aus der Menge mit den Elementen 3 und 4. Das zweite Element ({3, 4})
ist jedoch kein Element von N (sondern eine Teilmenge von N ). Für die
Teilmengenbeziehung müsste es jedoch Element von N sein.
44
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
Potenzmenge
Die Teilmengen einer Menge lassen sich selber wiederum zu einer Menge zusammenfassen.
Definition 2.7 (Potenzmenge). Die Mengen aller Teilmengen einer Menge M
heißt Potenzmenge von M : P(M ).
P(M ) := {T | T ⊆ M }
(2.26)
Beispiel 2.9.
1. Es sei M = ∅, also die leere Menge, dann ist P(M ) = {∅},
also die Menge, die nur ein Element hat, nämlich die leere Menge. Man
beachte somit, dass P(M ) nicht die leere Menge ist, sondern die Menge, die
nur aus der leeren Menge besteht!
2. Es sei M = {a} eine Menge, die aus einem Element besteht. Damit ist die
Potenzmenge die Menge, die aus der leeren Menge und der Menge selbst
besteht, denn das sind die einzigen Teilmengen der Menge M , also P(M ) =
{∅, M }.
3. Es sei M = {a, b} eine Menge mit genau zwei Elementen, dann ist P(M ) =
{∅, {a}, {b}, M }.
Für endliche Mengen kann die Elementanzahl der Potenzmenge einfach angegeben
werden.
Bemerkung 2.8. Es sei M eine endliche Menge mit n = |M | Elementen, dann
hat die Potenzmenge von M genau 2n Elemente.
(|M | = n) → (|P(M )| = 2n )
(2.27)
Der Beweis kann durch vollständige Induktion geführt werden, was hier jedoch
nicht ausgeführt wird.
Eine Teilmengenbeziehung überträgt sich auch auf die Potenzmengen.
Bemerkung 2.9. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Ist M eine Teilmenge
von N , dann ist die Potenzmenge von M eine Teilmenge der Potenzmenge von N .
M ⊆ N → P(M ) ⊆ P(N )
(2.28)
Beweis: als Übung
Version 7.2 - 005
45
2.3. Operationen von Mengen
2.3. Operationen von Mengen
Wie kann mit Mengen gerechnet werden, welche Operationen gibt es und welche
Regeln gibt es für die Operationen gibt.
Durchschnitt und Vereinigung
Die wichtigsten Verknüpfungen von Mengen sind der Durchschnitt und die Vereinigung.
Definition 2.10 (Durchschnitt, Vereinigung). Es seien M und N beliebige Mengen.
(a) Die Menge der Elemente, die sowohl in der Menge M , als auch in der Menge
N sind, heißt der Durchschnitt (M ∩ N ) von M und N .
M ∩ N := {x | (x ∈ M ) ∧ (x ∈ N )}
(2.29)
(b) Die Menge der Elemente, die in der Menge M oder in der Menge N sind, heißt
die Vereinigung (M ∪ N ) von M und N .
M ∪ N := {x | (x ∈ M ) ∨ (x ∈ N )}
(2.30)
M
M ∩N
N
Abbildung 2.3.: Durchschnitt von Mengen
Die Abbildung (siehe 2.3) veranschaulicht den Durchschnitt und die Vereinigung.
Der Durchschnitt der Mengen M und N beinhaltet nur die kleine innere Fläche,
die mit M ∩ N bezeichnet ist. Die Vereinigung beinhaltet die Fläche, die von M
und N bedeckt wird.
46
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
Die Eigenschaft, dass der Durchschnitt zweier Mengen die leere Menge ist, ist eine
besondere Eigenschaft.
Definition 2.11 (disjunkt). Sind M und N zwei beliebige Mengen, mit leerem
Durchschnitt (M ∩ N = ∅), dann heißen M und N disjunkt, und man kann statt
M ∪ N auch M + N schreiben.
Verallgemeinerter Durchschnitt und Vereinigung
Durchschnitt und Vereinigung lassen sich nicht nur für zwei Mengen definieren. Ist
I eine beliebige (endliche oder unendliche) Indexmenge und ist jedem i ∈ I eine
Menge Mi zugeordnet, so definiert man den verallgemeinerten Durchschnitt
der Mengen Mi mittels
\
Mi := {x | ∀i ∈ I : x ∈ Mi } .
(2.31)
i∈I
Es ist die Menge der Elemente, die in jeder der Mengen Mi enthalten ist.
Weiter definiert man mittels
[
Mi := {x | ∃i ∈ I : x ∈ Mi }
(2.32)
i∈I
den verallgemeinerte Vereinigung der Mengen Mi . Es ist die Menge der Elemente, die in mindestens einer Mengen Mi enthalten ist.
Ist die Indexmenge gleich der leeren Menge, so ist der Durchschnitt die Grundmenge (!) und die Vereinigung die leere Menge (!), da die Bedingung i ∈ I nicht
erfüllt ist.
Assoziativ-, Kommutativ- und Distributionsgesetz
Für das Rechnen mit Mengen gelten folgende Aussagen:
Satz 2.12 (Assoziativ-, Kommutativ- und Distributionsgesetz). Es seien M , N
und L beliebige Mengen. Dann gelten die Assoziativgesetze
M ∪ (N ∪ L) = (M ∪ N ) ∪ L
M ∩ (N ∩ L) = (M ∩ N ) ∩ L ,
Version 7.2 - 005
(2.33)
(2.34)
47
2.3. Operationen von Mengen
die Kommutativgesetze
M ∪N =N ∪M
M ∩N =N ∩M
(2.35)
(2.36)
M ∪ (N ∩ L) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ L)
M ∩ (N ∪ L) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ L) .
(2.37)
(2.38)
und die Distibutivgesetze
Mit Hilfe der Mengendiagramme (siehe Abbildung 2.4) lassen sich diese Sätze leicht
veranschaulichen.
N
L
M
Abbildung 2.4.: Mengendiagramm
Formal beweisen wir eines der Distributivgesetze.
x ∈ M ∩ (N ∪ L)
↔
(Definition Durchschnitt)
(x ∈ M ) ∧ (x ∈ (N ∪ L))
↔
(Definition Vereinigung)
(x ∈ M ) ∧ ((x ∈ N ) ∨ (x ∈ L))
↔
(Distributivgesetz - Aussagen)
((x ∈ M ) ∧ (x ∈ N ))∨
((x ∈ M ) ∧ (x ∈ L))
↔
(Definition Durchschnitt)
(x ∈ M ∩ N ) ∨ (x ∈ M ∩ L)
↔
(Definition Vereinigung)
x ∈ (M ∩ N ) ∪ (M ∩ L)
48
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
Somit wurde gezeigt, dass jedes Element x ∈ M ∩ (N ∪ L) auch Element von
(M ∩ N ) ∪ (M ∩ L), also M ∩ (N ∪ L) ⊆ (M ∩ N ) ∪ (M ∩ L) und umgekehrt. Wir
haben damit die beidseitige Teilmengenbeziehung gezeigt, und somit die Idendität
der beiden Mengen.
Das Assoziativgesetz gilt nicht nur für drei Mengen, sondern auch für mehre Mengen. Daher kann hierbei auf die Klammersetzung verzichtet werden.
Für das Rechnen mit Mengen sind folgende Regeln oftmals nützlich:
Bemerkung 2.13. Es seien M und N beliebige Mengen, dann gelten
M ∩ (M ∪ N ) = M
M ∪ (M ∩ N ) = M
M ∩M =M
M ∪M =M
(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)
Für die leere Menge und die Grundmenge gelten folgende Aussagen:
Bemerkung 2.14. Es sei M eine beliebige Teilmenge der Grundmenge G, dann
gelten
M ∩∅=∅
M ∪∅=M
M ∩G=M
M ∪G=G
(2.43)
(2.44)
(2.45)
(2.46)
Durchschnitt und Vereinigung bei Potenzmengen
Wie wirken sich der Durchschnitt und die Vereinigung von zwei Mengen auf die
Potenzmengen aus, welchen Beziehungen gibt es?
Bemerkung 2.15. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Dann gelten
(a) Die Potenzmenge des Durchschnitts der Mengen M und N ist gleich dem
Durchschnitt der Potenzmengen der Mengen M und N .
P(M ∩ N ) = P(M ) ∩ P(N )
(2.47)
(b) Die Vereinigung der Potenzmengen der Mengen M und N ist eine Teilmenge
der Potenzmenge der Vereinigung der Mengen M und N .
P(M ) ∪ P(N ) ⊆ P(M ∪ N )
Version 7.2 - 005
(2.48)
49
2.3. Operationen von Mengen
Beweis: Übung. Bei (a) ist die gegenseitige Teilmengenbeziehung zu zeigen. Bei
(b) ist nur die eine Richtung nachzuweisen. Wieso gilt die Gegenrichtung nicht?
Finden Sie dazu ein Gegenbeispiel.
Differenz und Komplement
Im nachfolgenden seien M , N und L stets beliebige Mengen, die Teilmenge einer
festen Grundmenge G sind.
Definition 2.16 (Differenz, Komplement). (a) Es seien M und N beliebige Mengen, dann heißt
M \N := {x | (x ∈ M ) ∧ (x ∈
/ N )}
(2.49)
die Differenz der Mengen M und N . In der Differenz sind die Elemente von M ,
die nicht in N sind.
(b) Es sei M eine beliebige Teilmenge von G, dann heißt die Menge
{G (M ) := {x ∈ G | x ∈
/ M } = G\M
(2.50)
das Komplement von M bezüglich G. Es enthält die Elemente der Grundmenge,
die nicht in M sind.
Ist die Grundmenge G allgemein bekannt, so kann man das Komplement einer
Menge M kurz als M schreiben. Durch die Umformulierung {G (M ) := {x ∈ G |
¬(x ∈ M )} wird der Zusammenhang zwischen Komplementbildung und der aussagenlogischen Negation deutlich.
Es ergibt sich sofort, dass M und {G (M ) disjunkt sind und dass M + {G (M ) = G
ist.
Bemerkung 2.17. Es seien M und N beliebige Teilmengen einer Grundmenge
G, dann gilt
M \N = M ∩ {G (N ) .
(2.51)
Beweis: Übung
Definition 2.18 (symmetrische Differenz). Es seien M und N Mengen, dann
heißt
M 4N := (M \N ) + (N \M )
(2.52)
die symmetrische Differenz von M und N .
50
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
Veranschaulichen Sie sich die Differenz.
Bemerkung 2.19. Es seien M und N beliebige Teilmengen, dann gilt
M 4N = (M ∪ N )\(M ∩ N ) .
(2.53)
Beweis: Übung
Regeln von de Morgan
Satz 2.20 (Regel von de Morgan). Es seien M und N beliebige Teilmengen der
Grundmenge G, dann gelten die Sätze von de Morgan
{G (M ∪ N ) = {G (M ) ∩ {G (N )
{G (M ∩ N ) = {G (M ) ∪ {G (N ) .
(2.54)
(2.55)
Ist die Grundmenge G bekannt, so schreibt man kurz
(M ∪ N ) = M ∩ N und
(M ∩ N ) = M ∪ N .
Version 7.2 - 005
(2.56)
(2.57)
51
2.4. Klasseneinteilung
Beweis der ersten Aussage:
x ∈ {G (M ∪ N )
↔
(x ∈ G) ∧ (x ∈
/ (M ∪ N ))
↔
(x ∈ G) ∧ ¬(x ∈ (M ∪ N ))
↔
(x ∈ G)∧
¬((x ∈ M ) ∨ (x ∈ N ))
↔
(x ∈ G)∧
((¬(x ∈ M )) ∧ (¬(x ∈ N )))
↔
((x ∈ G) ∧ (¬(x ∈ M )))
∧((x ∈ G) ∧ (¬(x ∈ N )))
↔
((x ∈ G) ∧ (x ∈
/ M ))
∧((x ∈ G) ∧ (x ∈
/ N ))
↔
(x ∈ {G (M ) ∧ (x ∈ {G (N ))
↔
x ∈ {G (M ) ∩ {G (N )
(Definition Komplement)
(Negation)
(Definition Vereinigung)
(Satz von de Morgan - Aussagen)
(Assoziativgesetz)
(Negation)
(Definition Komplement)
(Definition Durchschnitt)
Auf Grund der Definition der Mengengleichheit gilt damit die behauptete Aussage.
Der andere Teil kann analog bewiesen werden.
Auch für Familien von Mengen gelten die verallgemeinerter Sätze von de Morgan
.
{G (
\
Mi ) =
[
i∈I
{G (Mi )
(2.58)
{G (Mi )
(2.59)
i∈I
i∈I
{G (
[
Mi ) =
\
i∈I
2.4. Klasseneinteilung
Im folgenden sei I stets eine beliebige Indexmenge.
Definition 2.21 (Klasseneinteilung). Es sei {Mi | i ∈ I)} eine Familie von beliebigen nicht leeren Teilmengen einer Grundmenge. Die Familie von Mengen heißt
52
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
(paarweise) disjunkt, wenn für alle i, j ∈ I die Mengen Mi und Mj disjunkt
sind:
{Mi | i ∈ I} paarweise disjunkt :⇔ ∀i, j ∈ I, i 6= j : Mi ∩ Mj = ∅ .
(2.60)
Eine Familie von Mengen heißt Klasseneinteilung oder disjunkte Zerlegung
oder Partition von G, wenn sie paarweise disjunkt ist und die verallgemeinerte
Vereinigung der Mengen gleich der Grundmenge ist.
M2
M4
M1
M6
M3
M5
Abbildung 2.5.: Klasseneinteilung
Klasseneinteilung treffen wir an vielen Stellen an.
Beispiel 2.10. Es sei G die Menge aller derzeit lebenden Menschen, M die Menge
der Menschen männlichen Geschlechts und F die Menge der Menschen weiblichen
Geschlechts, dann gilt M ∩ F = ∅ und M ∪ F = G, so dass dies eine Klasseneinteilung ist. Wir haben zwei disjunkte Klassen.
Beispiel 2.11. Die natürlichen Zahlen lassen sich in die disjunkten Mengen der
geraden und der ungeraden Zahlen zerlegen.
Beispiel 2.12. Ist P die Menge der Produktion der Automobile eines Werkes
an einem Tag. Es werden die verschiedenen Baumuster B1 , . . . , Bn produziert und
seien T1 , . . . , Tn die Menge der Autos der Tagesproduktion mit diesen Baumustern,
dann ist {Ti ; i = 1, . . . , n} die Klasseneinteilung der Tagesproduktion P .
Durch die Klasseneinteilung einer Menge G ist jedes Element von G genau in einer
Teilmenge der Klasseneinteilung enthalten.
Definition 2.22 (Äquivalenzklassen). Sind zwei Elemente x, y in der gleichen
Teilmenge einer Klasseneinteilung, so heißen sie äquivalent (x ∼ y). Die Teilmengen der Klasseneinteilung heißen auch Äquivalenzklassen. Ein Element einer Äquivalenzklasse heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse.
Version 7.2 - 005
53
2.4. Klasseneinteilung
Für Äquivalenzklassen gibt es einige Eigenschaften, die bei der Behandlung von
Relationen noch genauer betrachtet werden.
Bemerkung 2.23. Es seien x, y und z Elemente aus einer Menge G mit einer
Klasseneinteilung. Für die Äquivalenz ∼ der Klasseneinteilung gelten:
(a) Für jedes x ∈ G ist x ∼ x, das heißt, dass die Klasseneinteilung reflexiv ist.
(b) Ist x ∼ y, sind also x und y in derselben Äquivalenzklasse, dann gilt auch
y ∼ x, das heißt, dass die Klasseneinteilung symmetrisch ist.
(c) Ist x ∼ y und y ∼ z, dann ist auch x ∼ z, das heißt, dass die Klasseneinteilung
transitiv ist.
Beispiel 2.13. Die Menge der ganzen Zahlen Z wird bezüglich des Rests bei
der Division durch 6 in sechs verschiedene Äquivalenzklassen aufgeteilt. Für i =
0, 1, 2, 3, 4, 5 seien Ti die Menge der ganzen Zahlen, die bei der Division durch 6
den Rest i haben.
Ti = {x ∈ Z | ∃n ∈ Z : x = 6n + i}
(2.61)
Dies definiert eine Klasseneinteilung: Z = T0 + T1 + T2 + T3 + T4 + T5 .
Für einen Repräsentanten und jeden Vertreter einer der Klassen T2 , T4 oder T6
gilt, dass er durch zwei teilbar ist. Die Repräsentanten der Klassen T3 und T6
sind jeweils durch 3 teilbar. Daher können in den Klassen T2 , T3 , T4 und T6 keine
Primzahlen enthalten sein. (Ausnahme: 2 und 3 selbst). Durch die gemeinsame Eigenschaft der Zahlen der Klassen kann dies für jedes Element der Klasse bewiesen
werden.
Ist n eine beliebige natürliche Zahl, so kann die Menge Z in n disjunkte Teilmengen bezüglich der Division durch n zerlegt werden. Die Teilmengen Ti für
i = 0, 1, . . . , n − 1, werden folgendermaßen gebildet:
Ti := {x ∈ Z | ∃k ∈ Z : x = kn + i}
(2.62)
Diese Teilmengen bilden eine Klasseneinteilung der ganzen Zahlen. Die Menge
Zn = {0, 1, . . . , n − 1} bildet ein Repräsentantensystem. Dieses Repräsentantensysten werden wir im Folgenden noch begegnen. Es hat eine wichtige Bedeutung
in der Informatik.
Die Klassenaufteilung ist ein häufig verwendetes Verfahren, um die Problemlösung
oder andere Aufgaben auf eine begrenzte Zahl von Fällen zu reduzieren. Bei Meinungsumfragen werden die Befragten in bestimmte Klassen eingeteilt, um dann
Aussagen über die Vertreter dieser Klassen im allgemeinen zu erhalten.
Auch die Fallunterscheidungen ist eine Klasseneinteilung. Auch Fallunterscheidungen kommen an vielen Stellen vor, zum Beispiel bei der Definition von mathematischen Funktionen, bei der Berechnung der privaten Steuerlast, in Programmvorgaben, um nur einige wenige Beispiele zu nennen.
54
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
2.5. Kartesisches Produkt
In vielen Fällen ist es sinnvoll, geordnete Paare (x, y) von Elementen x ∈ X und
y ∈ Y zweier Mengen X und Y zu betrachten. Dabei heißt x die erste Komponente
und y die zweite Komponente. Ein Beispiel hierfür ist das 2-dimensionale Koordinatensytem, bei dem X = R und Y = R gilt. Die Gleichheit zweier geordneter
Paare wird
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) :⇔ (x1 = x2 ) ∧ (y1 = y2 ) .
(2.63)
Die Mengen X und Y können jedoch auch beliebige Mengen sein.
Definition 2.24 (Kartesisches Produkt). Es seien X und Y zwei beliebige Mengen, dann heißt die Menge
X × Y := {(x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y } ,
(2.64)
also die Menge der geordneten Paare (x, y) mit x ∈ X und y ∈ Y das kartesische Produkt der Mengen X und Y . Die Elemente dieses kartesischen Produktes
heißen auch geordnete 2-Tupel.
Das kartesische Produkt ist nach dem französischen Philosoph und Mathematiker
Renè Descartes (1596 - 1650) benannt. Das kartesische Produkt ist selber wieder
eine Menge, deren Elemente die geordneten 2-Tupel sind.
In der Regel ist X ×Y ungleich Y ×X. Die Gleichheit ist hier die Mengengleichheit.
Diese Aussage kann anhand des ersten Beispiel sofort gesehen werden.
Beispiel 2.14. Es seien X = {1, 2, 3} und Y = {a, b}, dann ist
X × Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
(2.65)
Y × X = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} .
(2.66)
und
Die beiden kartesischen Produkte sind ungleich.
Beispiel 2.15. Es seien P = {p1 , p2 , p3 , p4 } eine Menge von Produkten und L =
{l1 , l2 , l3 } eine Menge von Lieferanten. Dann ist P × L das kartesische Produkt der
Produkte und Lieferanten.
Beispiel 2.16. Es seien X = Y = N, dann ist N × N die Menge der geordneten
Paare von natürlichen Zahlen.
Version 7.2 - 005
55
2.6. Aufgaben
Beispiel 2.17. Es seien X = Y = R, dann ist R × R die Menge der geordneten
Paare von reellen Zahlen, der 2-dimensionale Anschaungsraum.
Die Definition des kartesischen Produktes kann verallgemeinert werden. Das Produkt kann auch für drei oder mehr Mengen gebildet werden.
Definition 2.25 (Kartesisches Produkt). Es sei n ∈ N. Desweiteren seien beliebige nicht leere Mengen X1 , X2 , . . . , Xn gegeben. Dann heißt die Menge
n
Y
Xi := {(x1 , x2 , . . . , xn ) | ∀ni=1 xi ∈ Xi } ,
(2.67)
i=1
die Menge aller (geordneten) n-Tupel (x1 , x2 , . . . , xn ) mit xi ∈ Xi für alle i ∈
{1, 2, . . . , n} das kartesische Produkt von X1 , X2 , . . . , Xn .
Statt ni=1 Xi schreibt man auch X1 × X2 × · · · × Xn . Die Definition kann auch
auf Folgen von Mengen {Xn }n∈N verallgemeinert werden.
Q
Ist n = 2, so nennt man X1 × X2 auch Paarmenge. Für n = 1 ist das kartesische
Produkt gleich der Menge X1 . Sind X1 = X2 = · · · = Xn = X, so schreibt man
Q
für ni=1 Xi auch kurz X n . Beispiele für spezielle kartesische Produkte sind R2 und
R3 , die 2- und 3-dimensionalen Anschungsräume.
Bemerkung 2.26. Es seien für n ∈ N die Mengen X1 , X2 , . . . , Xn endlich mit
Q
Q
den Elementanzahlen |Xi | = mi . Dann gilt | ni=1 Xi | = ni=1 mi .
2.6. Aufgaben
Aufgabe 2.1. Geben Sie die folgenden Mengen reeller Zahlen in der aufzählenden
Schreibweise an:
(a) A := {x | x + 2 = 5}
(b) B := {x | x2 − 1 = 3}
(c) C := {x | x3 = −8}
(d) D := {x | (x − 3)2 = 36}
(e) E := {x | x2 = −1}
Aufgabe 2.2. Bestimmen Sie alle Teilmengen von A = {a}, B = {a, b} und
C = {a, b, c}.
Aufgabe 2.3. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Beweisen Sie: Ist M
eine Teilmenge von N , dann ist P(N ) eine Teilmenge von (N ) ist:
M ⊆ N → P(M ) ⊆ P(N ) .
56
(2.68)
Version 7.2 - 005
Kapitel 2. Mengen
Aufgabe 2.4. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Beweisen Sie, dass die
Potenzmenge vom Durchschnitt gleich dem Durchschnitt der Potenzmengen ist:
P(M ) ∩ P(N ) = P(M ∩ N )
(2.69)
Aufgabe 2.5. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Beweisen Sie, dass die
Vereinigung der Potenzmengen eine Teilmenge der Potenzmenge der Vereinigung
ist:
P(M ) ∪ P(N ) ⊆ P(M ∪ N )
(2.70)
Gilt auch die Umkehrung? Beweisen Sie dies oder widerlegen Sie die Umkehrung.
Aufgabe 2.6. Es seien A und B beliebige Mengen und G eine Grundmenge.
Beweisen Sie, dass A\B = A ∩ {G (B) gilt, dass also die Differenz A ohne B gleich
dem Durchschnitt von A mit dem Komplement von B ist.
Aufgabe 2.7. Es seien A und B beliebige Mengen. Beweisen Sie
A4B = (A ∪ B)\(A ∩ B) ,
(2.71)
dass also die symmetrische Differenz gleich der Differenz der Vereinigung vom
Durchschnitt ist.
Aufgabe 2.8. Es seien M und N beliebige Mengen mit der Grundmenge G. Beweisen Sie, die Regel von de Morgan, dass also
{G (M ∩ N ) = {G (M ) ∪ {G (N )
(2.72)
gilt.
Aufgabe 2.9. Es seien G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} eine Grundmenge, M =
{2, 3, 4, 7, 9} und N = {1, 4, 5, 9}. Bestimmen Sie:
(a) M ∩ N
(b) M ∪ N
(c) M \N
(d) N \M
(e) {G (M )
(f) {G (N )
(g) M ∆N
Version 7.2 - 005
57
2.6. Aufgaben
Aufgabe 2.10. Es sei G = {n ∈ N | n < 12}, A = {1, 2, 4, 8, 9} und B =
{2, 3, 5, 7, 11} Bestimmen Sie
(a) A ∩ B
(b) A ∪ B
(c) A\CG (B)
(d) B\A
(e) Geben Sie eine Menge C mit so wenig wie möglich Elemente an, so dass A ∪
B ∪ C = G ist.
Aufgabe 2.11. Es seien Ti := {n ∈ N | i teilt n} die Menge der Vielfachen von i
für i ∈ N. Bestimmen Sie für beliebige i, j ∈ N Ti ∩ Tj .
Aufgabe 2.12. Es seien X, Y und Z beliebige Mengen. Zeigen Sie
(a) X × (Y ∩ Z) = (X × Y ) ∩ (X × Z)
(b) X × (Y ∪ Z) = (X × Y ) ∪ (X × Z)
Veranschaulichen Sie sich die Mengen mit Hilfe einer Skizze im 2-dimensionalen
Anschaungsraum.
Aufgabe 2.13. Es seien X1 , X2 , Y1 und Y2 beliebige Mengen. Zeigen Sie
(a) (X1 × X2 ) ∩ (Y1 × Y2 ) = (X1 ∩ Y1 ) × (X2 ∩ Y2 )
(b) (X1 × X2 ) ∪ (Y1 × Y2 ) ⊆ (X1 ∪ Y1 ) × (X2 ∪ Y2 )
(c) Gilt auch die Umkehrung von (b)? Beweisen Sie entweder die Umkehrung oder
zeigen Sie an Hand eines Gegenbeispiels, dass die Umkehrung nicht gilt.
Veranschaulichen Sie sich die Mengen mit Hilfe einer Skizze im 2-dimensionalen
Anschauungsraum.
Aufgabe 2.14. Es seien X1 , X2 , Y1 und Y2 beliebige Mengen. Zeigen Sie
(X1 ⊆ X2 ) ∧ (Y1 ⊆ Y2 ) → (X1 × Y1 ) ⊆ (X2 × Y2 ) .
58
(2.73)
Version 7.2 - 005
Kapitel 3.
Relationen
Zu einem der fundamentalen Begriffen der Mathematik gehört der Begriff der Relation, der im Abschnitt 3.1 grundlegend definiert wird. Den Relationen liegt das
kartesische Produkt von Mengen zugrunde. Relationen beschreiben Beziehungen
zwischen Elementen von Mengen. Die Eigenschaften von Relationen werden anschließend (Abschnitt 3.2) definiert.
Relationen finden wir auch in vielen Bereichen des täglichen Lebens, zum Beispiel in den Beziehungen zwischen Menschen: „Andreas ist befreundet mit Bernd“,
„Claudia ist verheiratet mit Dieter“ und „Ernst ist Vater von Franz“. Auch die
Stücklistenstruktur „ist Teil von“ ist eine Relation. Relationen finden auch in der
Informatik eine wichtige Anwendung. Ein relationales Datenbankmodell basiert auf
Relationen. Diese Beispiele sollen nur andeuten, dass der Begriff der Relationen
um uns herum oft vorkommt.
Zwei wichtige Typen von Relationen, die wir genauer betrachten werden sind
die Äquivalenzrelation (Abschnitt 3.3) und die Ordnungsrelation (Abschnitt
3.4).
3.1. Grundlagen
Die Definition einer Relation ist sehr einfach.
Definition 3.1 (Relation). Es seien X1 , X2 , . . . , Xn beliebige nicht leere Mengen,
dann heißt jede Teilmenge R ⊆ X1 × X2 × · · · × Xn des kartesischen Produktes
eine n-stellige Relation der Mengen X1 , X2 , . . . , Xn .
Zwei Relationen heißen gleich, wenn sie als Mengen gleich sind.
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59
3.1. Grundlagen
Die 1-stelligen Relationen einer Menge sind genau die Teilmengen der Menge. Als
0-stellige Relationen werden die Elemente der Menge aufgefasst. Eine 2-stellige
Relation heißt auch binäre Relation.
Beispiele
Zur Verdeutlichung der Definition einige Beispiele von Relationen.
Beispiel 3.1. Es seien X = {1, 2, 3} und Y = {a, b}. Daraus ergeben sich für das
kartesische Produkte X × Y
X × Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} .
(3.1)
Durch R := {(1, a), (2, b), (3, a), (3, b)} ist eine Relation definiert, die mittels einer
Tabelle oder einer Grafik beschrieben werden kann.
Die Relation ist hier als Tabelle (siehe Tabelle 3.1) oder als Grafik (siehe Abbildung
3.1) dargestellt.
a
b
1
X
2
3
X
X X
Tabelle 3.1.: Darstellung Relation in Tabellenform
1
a
2
b
3
Abbildung 3.1.: Darstellung Relation als Grafik
Beispiel 3.2. Es seien P = {p1 , p2 , p3 , p4 } eine Menge von Produkten und L =
{l1 , l2 , l3 } eine Menge von Lieferanten. Dann ist P × L das kartesische Produkt
der Produkte und Lieferanten. Wenn der Lieferant l1 die Produkte p1 und p2 , der
Lieferant l2 die Produkte p1 , p3 und p4 und der Lieferant l3 die Produkte p2 und p4
liefert, so kann die Relation R „wird geliefert von“ dargestellt werden durch
R = {(p1 , l1 ), (p2 , l1 ), (p1 , l2 ), (p3 , l2 ), (p4 , l2 ), (p2 , l3 ), (p4 , l3 )}
60
(3.2)
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
Beispiel 3.3. Es sei M = {A, B, C, D} eine Menge von vier Orten. Die Relation
R der Ortsverbindungen auf M sei definiert durch die Eigenschaft, dass das Tupel
(X, Y ) genau dann in der Relation enthalten ist, wenn es eine Verbindung vom
Ort X zum Ort Y gibt. Existiert eine direkte Verbindung von Ort X nach Ort Y ,
dann bedeutet das nicht, dass es auch eine direkte Verbindung von Ort Y zum Ort
X gibt. Es sei
R = {(A, B), (B, A), (A, C), (C, D),
(D, A), (B, D), (D, B), (B, C), (C, B)} .
(3.3)
Die Relation kann auch als Grafik dargestellt werden (siehe Abbildung 3.2). Hierbei
wird durch einen gerichteten Pfeil von X nach Y dargestellt, dass das Tupel (X, Y )
in der Relation ist, dass es somit eine direkte Verbindung von X nach Y gibt.
A
B
C
D
Abbildung 3.2.: Beispiel: Ortsverbindungen
Beispiel 3.4. Es sei X = Y = R, dann ist
K2 := {(x, y) ∈ R2 | (x2 + y 2 = 4)}
(3.4)
eine Relation von R2 . Grafisch sind es die Punkte im 2-dimensionalen Anschaungsraum, die auf einem Kreis mit Radius 2 um den Ursprung liegen.
Beispiel 3.5. Es sei X = Y = N, dann sind
R := {(x, y) ∈ N2 | (x ≤ y)}
(3.5)
R := {(x, y) ∈ N2 | (x < y)}
(3.6)
und
Relationen von N2 . Veranschaulichen Sie sich die Menge grafisch.
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61
3.1. Grundlagen
Beispiel 3.6. Es sei X = Y = N, dann ist
R := {(x, y) ∈ N2 | (x − y = 1) ∨ (y − x = 1)}
(3.7)
eine Relation von N2 .
Beispiel 3.7. Es sei M eine beliebige Menge und X = Y = P(M ) die Potenzmenge von M , dann ist
T := {(U, V ) | (U ⊆ M ) ∧ (V ⊆ M ) ∧ (U ⊆ V )}
(3.8)
eine Relation von P(M )2 .
Beispiel 3.8. Es sei X = Y = Z, dann ist für n ∈ N
Rn := {(x, y) ∈ Z2 | n|(x − y)}
(3.9)
eine Relation von Z2 . Ein Tupel (x, y) ist in der Relation, wenn die Differenz der
beiden Zahlen durch n teilbar ist.
Für n = 1 ist R1 = Z2 , also trivial.
Für n = 2 ist R2 die Menge der ganzzahligen 2-Tupel, für welche die Differenz der
beiden Zahlen durch 2 teilbar ist. So sind die Tupel (0, 0), (0, 2), (1, 3), (12, −6)
Elemente der Relation, während (17, 12) nicht zur Relation gehört.
Für n = 5 sind beispielsweise die Tupel (0, 0), (0, 5), (0, 10), (1, 6), (2, 7), (3, 8),
(5, 0) und (17, 12) in der Relation. Nicht in der Relation sind beispielsweise (0, 1),
(0, 2), (0, 3), (0, 4) und (12, 8).
Verdeutlichen Sie sich, welche Elemente in der Relation
Rn = {(x, y) ∈ Z2 | n|(x − y)}
(3.10)
für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6 enthalten sind.
Inverse Relation und Komposition
Für die Relationen können einige spezielle Operationen definiert werden. Die Inversion und die Komposition.
Definition 3.2 (Inverse Relation). Es sei R ⊆ X × Y eine binäre Relation. Die
inverse Relation R−1 ist definiert durch
R−1 = {(y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ R} .
62
(3.11)
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
Ist (x, y) eine Element aus R ⊆ X × Y , dann ist (y, x) ein Element aus R−1 ⊆
Y × X.
Beispiel 3.9 (Inverse Relation). Es sei X = Y = N und R ⊆ X × Y = N2 .
Hierbei sei R definiert durch
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 2)} .
(3.12)
R−1 = {(1, 1), (2, 1), (4, 1), (3, 2), (2, 4)} .
(3.13)
Dann gilt
Definition 3.3 (Komposition). Es seien R ⊆ X × Y und S ⊆ Y × Z binäre
Relationen. Die Komposition R ◦ S ist eine Relation zwischen X und Z. Sie ist
definiert durch
R ◦ S = {(x, z) ∈ X × Z | ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}
(3.14)
Die Komposition R ◦ S beinhaltet somit die Tupel (x, z) ∈ X × Z, für die es ein
Element y ∈ Y gibt, so dass sowohl (x, y) ∈ R, als auch (y, z) ∈ S gelten. Statt
R ◦ S schreibt man auch kurz RS.
Beispiel 3.10 (Komposition). Es sei X = Y = Z = N, R ⊆ X × Y = N2 und
S ⊆ Y × Z = N2 . Hierbei sei R definiert durch
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 2)}
(3.15)
S = {(1, 3), (2, 2), (1, 4), (3, 5)} .
(3.16)
R ◦ S = {(1, 3), (1, 4), (1, 2), (2, 5), (4, 2)}
(3.17)
und S durch
Dann gilt
Beispiel 3.11 (Komposition). Es sei X = Y = N, R ⊆ X × Y = N2 . Hierbei sei
R definiert durch
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 2)} .
(3.18)
R2 = R ◦ R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} .
(3.19)
Dann gilt
Weiterhin gilt R3 = R2 .
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63
3.2. Eigenschaften
3.2. Eigenschaften
Definition der Eigenschaften
Für 2-stellige Relationen R ⊆ X × Y , mit beliebigen nicht leeren Mengen X und
Y schreibt man auch xRy statt (x, y) ∈ R. Im nachfolgenden betrachten wir
hauptsächlich 2-stellige Relationen R ⊆ X × X, mit einer beliebigen Menge X.
Man spricht dann auch von einer Relation auf X.
Definition 3.4 (Eigenschaften von Relationen). Es sei X eine beliebige, nicht
leere Menge. Eine Relation R ⊆ X × X heißt
1. reflexiv, falls für alle x ∈ X, (x, x) ∈ R gilt:
∀x ∈ X : (x, x) ∈ R .
(3.20)
Es muss somit für jedes Element aus der Grundmenge gelten, dass es zu sich
selbst in Beziehung steht.
2. irreflexiv, falls für alle x ∈ X, (x, x) ∈
/ R gilt:
∀x ∈ X : (x, x) ∈
/R.
(3.21)
Alle Elemente steht nicht zu sich selbst in Beziehung.
3. symmetrisch, falls für alle x, y ∈ X aus (x, y) ∈ R folgt, dass auch (y, x) ∈
R gilt:
∀(x, y ∈ X) : (x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R .
(3.22)
Wenn ein Element (x, y) aus der Relation ist, dann ist auch (y, x) aus der
Relation.
4. asymmetrisch, falls für alle x, y ∈ X aus (x, y) ∈ R folgt, dass (y, x) ∈
/R
gilt:
∀(x, y ∈ X) : (x, y) ∈ R → (y, x) ∈
/R.
(3.23)
Wenn ein Element (x, y) aus der Relation ist, dann ist (y, x) nicht aus der
Relation.
5. antisymmetrisch, falls für alle x, y ∈ X aus (x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R
folgt, dass dann x = y gilt:
∀(x, y ∈ X) : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → (x = y) .
(3.24)
Wenn sowohl (x, y), als auch (y, x) aus der Relation sind, dann gilt x = y.
64
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
6. transitiv, falls für alle x, y, z ∈ X aus (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R folgt, dass
auch (x, z) ∈ R gilt:
∀(x, y, z ∈ X) : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R .
(3.25)
Wenn (x, y) und (y, z) aus der Relation sind, dann ist auch (x, z) aus der
Relation.
7. vollständig, falls für alle x, y ∈ X (x, y) ∈ R oder (y, x) ∈ R gilt:
∀(x ∈ X) and (y ∈ X) : (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R .
(3.26)
Mindestens eines der Paare (x, y) und (y, x) ist in der Relation.
Besonders zu beachten ist, dass die Eigenschaften symmetrisch und antisymmetrisch nicht die „Negation“ zueinander sind. Das heißt eine Relation die nicht
symmetrisch ist, ist damit nicht automatisch antisymmetrisch. Und eine Relation,
die nicht antisymmetrisch ist, ist nicht automatisch damit symmetrisch. Ebenso
wenig ist eine Relation, die nicht symmetrisch ist, asymmetrisch.
Wenn eine Relation vollständig ist, dann bedeutet dies, dass zu zwei Elementen x
und y stets (x, y) oder (y, x) (oder auch beide) in der Relation sind.
Einige Beispiele für Relationen:
Beispiel 3.12. Es sei X = Y = N, dann ist R := {(x, y) | x ≤ y)} eine Relation
von N2 . Die Relation ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig.
Beispiel 3.13. Es sei X = Y = N, dann ist R := {(x, y) | x < y)} eine Relation
von N2 . Die Relation ist irreflexiv, transitiv und antisymmetrisch, jedoch nicht
reflexiv oder symmetrisch.
Beispiel 3.14. Es sei X = Y = R, dann ist R := {(x, y) | x ≤ y)} eine Relation
von R2 . Die Relation ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig.
Beispiel 3.15. Es sei X = Y = R, dann ist R := {(x, y) | x2 + y 2 = 4} eine
Relation von R2 . Die Relation ist symmetrisch.
Beispiel 3.16. Es seien X = Y = Z und n ∈ N, dann ist R := {(x, y) | n|(x − y)}
eine Relation von Z2 . Die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.
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65
3.2. Eigenschaften
Besondere Relationen
Die wichtigsten Relationen erfüllen gleichzeitig mehrere der Eigenschaften reflexiv,
symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv und vollständig.
Definition 3.5 (Äquivalenzrelation, Ordnungsrelation). Es seien X eine beliebige,
nicht leere Menge und R ⊆ X × X eine Relation auf X.
1. R heißt Äquivalenzrelation auf X, falls sie reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. In diesem Fall schreibt man a ≈ b anstelle von (a, b) ∈ R und
man sagt „a ist äquivalent zu b“.
2. R heißt Ordnungsrelation auf X, falls sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. In diesem Fall schreibt man a b anstelle von (a, b) ∈ R und
man sagt „a ist kleiner gleich b“.
3. R heißt Präferenzrelation auf X, falls sie reflexiv, transitiv und vollständig ist. In diesem Fall schreibt man a b anstelle von (a, b) ∈ R und
sagt „a ist höchstens so gut wie b“.
Bevor wir die Äquivalenz- und Ordnungsrelationen genauer betrachten einige Beispiele für solche Relationen:
Beispiel 3.17. Es sei X = Y = N, dann ist R≤ := {(x, y) | x ≤ y)} eine Relation
von N2 . Die Relation ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig und
daher eine (vollständige) Ordnungsrelation (auf N).
Beispiel 3.18. Es sei X = Y = R, dann ist R≤ := {(x, y) | x ≤ y)} eine Relation
von R. Die Relation ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig und
daher eine (vollständige) Ordnungsrelation (auf R).
Beispiel 3.19. Es sei M eine beliebige, nicht leere Menge und X = Y = P(M )
die Potenzmenge von M , dann ist R := {(U, V ) | (U ⊆ V )} eine Relation auf
P(M ). Die Relation ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv und daher eine
Ordnungsrelation (auf P(M )). Die Relation ist jedoch nicht vollständig.
Beispiel 3.20. Es sei X = R, dann wird durch R := {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ |y|} eine
Präferenzrelation auf R definiert. Sie ist reflexiv, transitiv und vollständig, jedoch
weder symmetrisch noch antisymmetrisch, daher ist es eine Präferenzrelation.
Beispiel 3.21. Es sei X eine Menge von Gütern. Jedem x ∈ X sei ein Wert
u(x) zugeordnet, der als Nutzen von x interpretiert wird. Dann wird durch R :=
{(x, y) ∈ X 2 | u(x) ≤ u(y)} eine Präferenzrelation auf X definiert. Sie ist reflexiv,
transitiv und vollständig, jedoch weder symmetrisch noch antisymmetrisch, daher
ist es eine Präferenzrelation.
66
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
3.3. Äquivalenzrelationen
Äquivalenzen
Betrachten wir nun genauer die Äquivalenzrelationen. Eine Äquivalenzrelation ist
eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Betrachten wir zuerst
dazu einige Beispiele.
Beispiel 3.22. In der Geometrie ist die Parallelität von Geraden eine Äquivalenzralation auf der Menge der Geraden.
Beispiel 3.23. Die Anzahl der Elemente einer Menge (Mächtigkeit) ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der endlichen Mengen.
Beispiel 3.24. Es sei X = Z, dann ist für n ∈ N\{1}
Rn := {(x, y) | (n|(x − y)} ⊆ Z2
(3.27)
eine Relation. Die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv, daher ist die
Relation eine Äquivalenzrelation. Ist (x, y) ∈ Rn dann schreibt man auch x ≡
y modulo n oder x ≡n y und sagt „x ist kongruent zu y modulo n“.
Sind x und y kongruent modulo n, dann besitzen x und y bei der Division durch
n den selben Rest.
Für n = 1 wäre R1 = Z2 . Daher ist dieses Beispiel einfach und wird im weiteren
nicht vertieft.
Beispiel 3.25. Es sei X = N. Jedem n ∈ N wird durch q(n) die Quersumme
zugeordnet. Durch
R := {(x, y) ∈ N2 | q(x) = q(y)}
(3.28)
ist eine Äquivalenzrelation auf N definiert wird.
Die Elemente einer Menge, die bezüglich einer Äquivalenzrelation zueinander äquivalent sind bilden eine Teilmenge der Menge. Diese Teilmengen betrachten wir nun
genauer.
Definition 3.6 (Äquivalenzklasse). Es sei X eine beliebige Menge und R ⊆ X ×X
eine Äquivalenzrelation auf X. Für jedes x ∈ X heißt die Menge
[x] := {y ∈ X | y ≈ x}
(3.29)
die Äquivalenzklasse von x.
Version 7.2 - 005
67
3.3. Äquivalenzrelationen
Eine Äquivalenzrelation [x] enthält somit all diejenigen Elemente der Menge, die
zu x äquivalent sind. Für Äquivalenzklassen gelten folgende Aussagen:
Bemerkung 3.7. Es sei X eine beliebige Menge und R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation auf X, dann gelten:
1. Jede Äquivalenzklasse ist ungleich der leeren Menge.
2. Sind zwei Elemente x und y äquivalent, dann sind die Äquivalenzklassen [x]
und [y] von x und y identisch.
3. Jedes Element gehört zu genau einer Äquivalenzklasse.
4. Je zwei Äquivalenzklassen sind entweder identisch oder disjunkt.
Beweis:
1. Da x ∈ [x] gilt, ist eine Äquivalenzklasse nicht die leere Menge.
2. Wenn x ≈ y gilt, dann gilt für ein z ∈ X:
z ∈ [x] ↔ z ≈ x ↔ z ≈ y ↔ z ∈ [y]
(3.30)
Die mittlere (Aussagen-)Äquivalenz gilt auf Grund der Transitivität der Relation, da x ≈ y gilt. Damit hat man die Mengenidentität von [x] und [y]
gezeigt, da jedes Element von [x] auch Element von [y] ist und umgekehrt.
Also wurde die gegenseitige Teilmengenbeziehung gezeigt.
3. Da x ∈ [x], gehört x mindestens zu einer Äquivalenzklasse. Falls x ∈ [y] und
x ∈ [z] gelten, dann folgt daraus, dass x ≈ y und x ≈ z gilt. Auf Grund der
Transitivität der Relation ist dann y ≈ z und somit [y] = [z]. Damit gehört
x zu maximal einer und zu genau einer Äquivalenzklasse.
4. Folgt direkt aus den obigen Aussagen.
Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge X zerlegt damit X in paarweise disjunkte,
nicht leere Mengen, die Äquivalenzklassen. Es entsteht somit eine Klasseneinteilung. Genauso folgt aus einer Klasseneinteilung einer Menge eine Äquivalenzrelation, indem zwei Elemente genau dann in einer Äquivalenzklasse sind, wenn sie zur
selben Klasse bezüglich der Klasseneinteilung gehören.
68
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
Quotientenmenge
Eine Äquivalenzrelation erzeugt eine neue Menge, die Menge der Äquivalenzklassen
von X. Hierbei muss man beachten, dass die Elemente der Klasseneinteilung selber
Mengen sind, nämlich die Äquivalenzklassen.
Definition 3.8 (Quotientenmenge). Es sei X eine beliebige, nicht leere Menge
und R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation auf X, dann heißt die Menge der Äquivalenzklassen von X nach R
X/R := {[x] | x ∈ X}
(3.31)
die Quotientenmenge von X nach R.
Ein Element y ∈ [x] heißt Repräsentant der Klasse [x].
Eine Menge V heißt vollständiges Repräsentantensystem von X/R, wenn
V genau ein Element aus jeder Klasse von X/R enthält.
Beispiel 3.26. Die Geraden mit paralleler Richtung bilden die Äquivalenzklassen.
Die Parallelität von Geraden führt zum Begriff der Richtung.
Beispiel 3.27. Die Mengen mit gleicher Elementanzahl bilden die Äquivalenzklassen auf der Menge der endlichen Mengen. Die Mächtigkeit von Mengen führt zum
Begriff der Kardinalität.
Beispiel 3.28. Für jedes n ∈ N\{1} ist
Rn := {(x, y) | n|(x − y)} ⊆ Z2
(3.32)
eine Relation. Ist (x, y) ∈ Rn dann schreibt man auch x ≡ y modulo n und sagt,
„x ist kongruent zu y modulo n“. Für n ∈ N\{1} gibt es n Repräsentanten der
Quotientenmenge Z/Rn . Die Klassen seien [0], [1], . . . , [n−1]. Die Repräsentanten
seien 0, 1, . . . , n − 1. Durch
[x] + [y] := [x + y]
(3.33)
[x] · [y] := [x · y]
(3.34)
und
wird auf der Quotientenmenge Z/Rn =: Zn eine Addition und eine Multiplikation
definiert.
1. Rn ist eine Äquivalenzrelation.
Version 7.2 - 005
69
3.4. Ordnungsrelationen
2. Für beliebiges n ∈ N\{1} und i = 0, 1, . . . , n − 1 gilt
[i] = {z ∈ Z | ∃x ∈ Z : z = xn + i}
(3.35)
Beispiel 3.29. Es sei M = N × N die Menge der 2-Tupel mit natürlichen Zahlen.
Eine Relation R ⊆ M × M sei definiert durch:
((a, b) , (c, d)) ∈ R :⇔ (a + d = b + c) .
(3.36)
Statt ((a, b) , (c, d)) ∈ R schreibt man auch (a, b) ∼ (c, d).
R ist eine Äquivalenzrelation auf M = N × N. Die Quotientenmenge (N × N)/R
oder (N × N)/ ∼ ist äquivalent zu den ganzen Zahlen Z.
3.4. Ordnungsrelationen
Ordnungen
Kommen wir nun zu den Ordnungsrelationen. Es seien M eine Menge und R ⊆
M × M eine Ordnungsrelation. Eine Relation ist eine Ordnungsrelation, wenn sie
reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Statt (x, y) ∈ R schreibt man x y
und sagt „x ist kleiner (oder gleich) y“ ist.
Für Ordnungsrelationen werden wir noch einige weitere Begriffe einführen.
Definition 3.9 (teilweise geordnet, streng geordnet). Eine binäre Relation auf
einer Menge M heißt Ordnungsrelation, teilweise Ordnung oder partielle
Ordnung, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Die Menge M
heißt dann geordnete Menge (M, ) oder teilweise geordnete Menge.
Wenn eine Relation transitiv, jedoch nicht reflexiv ist, dann heißt die Relation eine
strenge Ordnungsrelation. Eine Menge mit einer strengen Ordnungsrelation
heißt streng geordnete Menge.
Für ein teilweise geordnete Menge schreibt man auch kurz tgo Menge oder poset
„partially ordered set“.
Es sei M eine Menge. Ist R ⊆ M × M eine Ordnungsrelation, so kann daraus eine
strenge Ordnungsrelation gebildet werden, indem die Relation R\D ⊆ M × M gebildet wird, mit D := {(x, x) | x ∈ M }. Es wird somit die „Diagonale“ der Menge
M entfernt. Auf der anderen Seite kann aus einer strengen Ordnungsrelation eine
Ordnungsrelation gebildet werden, indem diese „Diagonale“ zur Relation hinzugefügt wird. Daher kann man zwischen einer Ordnungsrelation und einer strengen
Ordnungsrelation hin- und herschalten.
70
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
Beispiel 3.30. Die Mengen (N, ≤), (Z, ≤), (Q, ≤) und (R, ≤) mit der uns bekannten kleiner-gleich-Beziehung sind geordnete Mengen.
Die Mengen (N, <), (Z, <), (Q, <), (R, <) sind streng geordnete Mengen.
Beispiel 3.31. Es sei M eine Menge, dann ist (P(M ), ⊆) eine geordnete Menge.
(P(M ), ⊂) ist eine streng geordnete Menge.
Beispiel 3.32. Die Menge (N, |) mit der Ordnungsrelation
x y :⇔ x|y
(3.37)
ist eine geordnete Menge.
In diesem Beispiel ist die Ordnungsrelation durch die Teilbarkeit der Zahlen bestimmt.
Beispiel 3.33. Für alle n ∈ N gilt, dass n|n gilt, daher ist die Relation reflexiv.
Es seien n, m ∈ N. Wenn n|m und m|n gilt, dann folgt daraus n = m, somit ist
die Relation antisymmetrisch. Wenn für n, m, l ∈ N gilt: n|m und m|l, dann gilt
auch n|l, und daher ist die Relation transitiv. Somit ist die Relation insgesamt
eine Ordnungsrelation.
Definition 3.10 (linear geordnet). Eine Ordnungsrelation auf einer Menge M
heißt total geordnet, konnex oder linear geordnet, wenn für alle Elemente x,
y der Menge M x y oder y x gilt.
(M, ) linear geordnet :⇔ ∀(x, y ∈ M ) : (x y) ∨ (y x) .
(3.38)
Bei einer total geordneten Menge verwendet man oftmals auch das Symbol ≤ statt
. Damit verdeutlicht man die Nähe zur totalen Ordnung auf den Zahlenmengen
N, Z, Q und R.
Bei einer linear geordneten Menge können die Elemente der Menge linear angeordnet werden. Es kann für zwei Elemente der Menge stets angegeben werden, welche
von beiden Zahlen kleiner ist.
Beispiel 3.34. (N, ≤), (Z, ≤), (Q, ≤) und (R, ≤) sind linear geordnete Mengen.
Beispiel 3.35. Es sei M eine Menge, dann ist (P(M ), ⊆) keine linear geordnete
Menge.
Beispiel 3.36. (N, |) ist keine linear geordnete Menge.
Version 7.2 - 005
71
3.4. Ordnungsrelationen
Ordnungsdiagramme
Ordnungsstrukturen endlicher Mengen (M, ) lassen sich in einfachen Fällen übersichtlich in einem Diagramm darstellen. Diese Diagramme heißen Ordnungsdiagramm oder Hasse-Diagramm, benannt nach dem deutschen Mathematiker
Helmut Hasse (1898 - 1979). Jedem Element der Menge wird ein Punkt der Zeichenebene zugeordnet. Ist a b, so wird ein Pfeil von a nach b gezeichnet. Es
kann vereinbart werden, dass eie Element b oberhalb eines Elements a gezeichnet
wird, wenn a b ist. Darüber hinaus werden a und b einfach verbunden. Ein
Pfeil ist nicht notwendig, da durch die Anordnung „unten - oben“ die Pfeilrichtung entnommen werden kann. Um die Anzahl der Linien zu reduzieren, werden
keine Verbindungen eines Elements mit sich selbst gezeichnet, das heißt, dass die
reflexive Eigenschaft nicht dargestellt wird. Darüber hinaus wird a nicht mit b
verbunden, wenn b auch über andere Punkte mit a verbunden ist, das heißt, die
transitive Eigenschaft wird nicht dargestellt.
Beispiel 3.37. Es sei M = {n ∈ N | 1 < n < 10} und x y :⇔ x|y. Dann
kann die Ordnungsrelation folgendermaßen grafisch mit Hilfe eines Ordnungs- oder
Hasse-Diagramm dargestellt werden (siehe Abbildung 3.3).
8
9
6
7
4
5
3
2
Abbildung 3.3.: Beispiel: Ordnungsrelation
Maximale und minimale Elemente, größte und kleinste
Elemente
Beispiel 3.38. Es sei M = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 25} mit der Ordnungsrelation a b :⇔ a|b. Das Ordnungsdiagramm hat folgendes Aussehen (siehe Abbildung 3.4) In
72
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
12
25
6
7
4
5
3
2
Abbildung 3.4.: Beispiel: maximale und minimale Elemente
diesem Beispiel gibt es kein Element, das größer als 12, 25 oder 7 ist. Schränken
wir die Menge auf die Element {2, 3, 4, 6, 12} ein, dann ist die 12 sogar größer als
jedes andere Element der Menge. Dies führt zu Definitionen von ausgezeichneten
Elementen einer geordneten Menge.
Definition 3.11 (maximales Element, größtes Element, minimales Element,
kleinstes Element). Es sei (M, ) eine geordnete Menge. Ein Element m aus M
heißt maximales Element von M (m = maxEl(M )), wenn es kein Element
gibt, das größer als m ist:
m = maxEl(M ) :⇔ (m ∈ M ) ∧ [∀(x ∈ M ) : m ≤ x → x = m] .
(3.39)
Ein Element g aus M heißt größtes Element von M (g = grEl(M )), wenn g
größer als jedes andere Element von M ist:
g = grEl(M ) :⇔ (g ∈ M ) ∧ ∀(x ∈ M ) : x ≤ g .
(3.40)
Ein Element m aus M heißt minimales Element von M (m = minEl(M )),
wenn es kein Element gibt, das kleiner als m ist:
m = minEl(M ) :⇔ (m ∈ M ) ∧ [∀(x ∈ M ) : x ≤ m → x = m] .
(3.41)
Ein Element k aus M heißt kleinstes Element von M (k = klEl(M )), wenn k
kleiner als jedes andere Element von M ist:
k = klEl(M ) :⇔ (k ∈ M ) ∧ ∀(x ∈ M ) : k ≤ x .
Version 7.2 - 005
(3.42)
73
3.4. Ordnungsrelationen
Für ein maximales Element gibt es keine Elemente in der Menge, die größer sind als
dieses maximale Element. Ein größtes Element ist größer als jedes andere Element.
Das ist ein kleiner, aber entscheidender Unterschied, der zu beachten ist. Für
minimale und kleinste Elemente gilt dies analog.
Eine Menge kann durchaus mehrere maximale oder minimale Element haben.
Wenn ein größtes oder kleinstes Element existiert, dann sind diese eindeutig.
Beispiel 3.39. Im Beispiel 3.38 sind 12, 25 und 7 maximale Elemente, die Zahlen
2, 3, 5 und 7 sind minimale Elemente. Es gibt kein größtes oder kleinstes Element.
Wie man sieht, kann ein Element zugleich maximales und minimales Element sein.
Für die Teilmenge 2, 3, 4, 6, 12 ist 12 ein größtes Element. Ein größtes Element
einer Menge muss nicht existieren. Genausowenig ein kleinstes Element.
Obere und untere Schranke, Supremum und Infimum
Beispiel 3.40. Betrachten wir nun die Teilmenge
F := {x ∈ Q | x = 1 −
1
, n ∈ N}
n
(3.43)
der geordneten Menge (Q, ≤). Alle Elemente der Menge sind kleiner 2 oder auch
kleiner 3/2 oder auch kleiner 1. Somit gibt es Element aus der Obermenge Q von
F , die eine obere Schranke für die Elemente der Menge von F bilden.
Dies führt zu folgenden Definitionen.
Definition 3.12 (Schranke, beschränkt). Es sei (M, ) eine geordnete Menge und
T eine Teilmenge von M mit der selben Ordnungsrelation. Ein Element o aus M
heißt obere Schranke von T (o = obSch(T )), wenn alle Elemente von T kleiner
oder gleich o sind
o = obSch(T ) :⇔ (o ∈ M ) ∧ ∀(x ∈ T ) : x o .
(3.44)
Existiert eine obere Schranke für eine Menge T , so heißt die Menge nach oben
beschränkt.
Ein Element u aus M heißt untere Schranke von T (u = untSch(T )), wenn
alle Elemente von T größer oder gleich u sind
u = untSch(T ) :⇔ (u ∈ M ) ∧ ∀(x ∈ T ) : u x .
(3.45)
Existiert eine untere Schranke für eine Menge T , so heißt die Menge nach unten
beschränkt.
74
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
Eine obere oder untere Schranke einer Menge T muss nicht in der Menge T selbst
enthalten sein, sie können in einer Obermenge existieren. Wenn eine Menge T ein
größtes oder ein kleinstes Element hat, dann ist dieses Element auch zugleich eine
obere oder untere Schranke für die Menge M .
Beispiel 3.41. Für die obige Menge F (siehe Beispiel 3.40) betrachten wir die
Menge S der oberen Schranken und stellen die Frage nach dem kleinsten Element
dieser Menge. In diesem Beispiel ist 1 das kleinste Element der oberen Schranken.
Die 1 ist nicht in der Menge F enthalten, jedoch in der Obermenge Q.
Definition 3.13 (Grenze, Supremum, Infimum). Ein Element o aus M heißt obere Grenze von T (o = obGr(T )), wenn o das kleinste Element der Menge der
oberen Schranken von T ist. Das Element o heißt dann auch Supremum von T :
o = obGr(T ) :⇔ (o ∈ M ) ∧ o = klEl(S)
(3.46)
mit S = {s | s = obSch(M )}.
Ein Element u aus M heißt untere Grenze von T (u = untGr(T )), wenn u das
größte Element der Menge der unteren Schranken von T ist. Das Element u heißt
dann auch Infimum von T :
u = untGr(T ) :⇔ (u ∈ M ) ∧ u = grEl(S)
(3.47)
mit S = {s | s = untSch(M )}.
Eine obere oder untere Grenze muss nicht immer existieren.
Beispiel 3.42. Betrachten wir das Beispiel der Menge
W := {x ∈ Q | x2 ≤ 2} ⊆ Q .
(3.48)
Die Menge W ist nach oben beschränkt, denn beispielsweise 2; 1,5 oder √
1,42 sind
obere Schranken. Es gibt jedoch keine obere Grenze von W in Q, da 2 keine
rationale Zahl ist. Erst wenn man nicht Q, sondern R als Obermenge betrachtet,
hat die Menge W eine obere Grenze.
Beispiel 3.43. Es sei A := {t ∈ N | (t|36) and(t < 15)} mit der Ordnungsstruktur, die durch a ≤ b :⇔ a|b definiert ist. Die Elemente der Menge A sind
A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}. Das Ordnungsdiagramm ist in Abbildung 3.5 zu sehen.
Die 9 und die 12 sind maximale Elemente, denn es gibt keine Elemente in der
Menge, die größer sind. Die 6 hingegen ist kein maximales Element, da die 12
größer als die 6 ist. Ein größtes Element existiert nicht, denn die 12 ist gemäß
Version 7.2 - 005
75
3.5. Aufgaben
12
4
6
2
9
3
1
Abbildung 3.5.: Ordnungsrelation Teiler von 36
der Ordnungsstruktur nicht größer als 9, da die 9 kein Teiler der 12 ist. In der
Obermenge der natürlichen Zahlen gibt es verschiedene obere Schranken bezüglich
der Ordnungsstruktur, zum Beispiel die 36 oder auch die 72. Die 18 ist keine obere
Schranke, denn die 12 ist kein Teiler der 18, also ist die 18 nicht größer als jedes
Element der Menge. Das Supremum ist die 36.
Die 1 ist minimales Element, kleinstes Element und Infimum der Menge.
3.5. Aufgaben
Aufgabe 3.1. Eine reflexive und transitive Relation R sei sowohl symmetrisch,
als auch antisymmetrisch. Was können Sie daraus für die Relation folgern?
Aufgabe 3.2. Es sei X = Y = R, dann ist R≤ := {(x, y) | x ≤ y)} eine
Relation von R2 . Zeigen Sie, dass die Relation reflexiv, antisymmetrisch, transitiv
und vollständig ist. Daher ist es eine (vollständige) Ordnungsrelation (auf R).
Aufgabe 3.3. Es sei M eine beliebige Menge und X = Y = P(M ) die Potenzmenge von M , dann ist R := {(U, V ) | (U ⊆ V )} eine Relation auf P(M ). Zeigen
Sie, dass die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv und daher eine Ordnungsrelation (auf P(M )) ist. Zeigen Sie, dass die Relation nicht vollständig ist.
Aufgabe 3.4. Für jedes n ∈ N sei
Rn := {(x, y) ∈ Z2 | (n|(x − y)}
(3.49)
eine Relation. Ist (x, y) ∈ Rn dann schreibt man auch x ≡ y modulo n und
sagt, dass „x kongruent zu y modulo n“ ist. Für n ∈ N gibt es n Repräsentanten
76
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
der Quotientenmenge Z\ mathcalRn . Die Klassen seinen [0], [1], . . . , [n − 1], die
Repräsentanten seien 0, 1, . . . , n − 1. Durch
[x] + [y] := [x + y]
[x] · [y] := [x · y]
(3.50)
(3.51)
wird auf der Quotientenmenge Z/Rn =: Zn eine Addition und eine Multiplikation
definiert.
(a) Zeigen Sie, dass Rn eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Zeigen Sie, dass für beliebiges n ∈ N und i = 0, 1, . . . , n − 1 gilt
[i] = {z ∈ Z | ∃x ∈ Z : z = xn + i}
(3.52)
gilt.
(c) Erstellen Sie die Additions- und Multiplikationstafel für Zn für n = 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 und 10.
Aufgabe 3.5. Es sei M = N × N die Menge der 2-Tupel mit natürlichen Zahlen.
Eine Relation R ⊆ M × M sei definiert durch:
((a, b) , (c, d)) ∈ R :⇔ (a + d = b + c)
(3.53)
Statt ((a, b) , (c, d)) ∈ R schreibt man auch (a, b) ∼ (c, d).
1. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf M = N × N ist.
2. Bestimmen Sie die Elemente der Äquivalenzklassen von (1, 1), (1, 2) und
(2, 1).
Die Quotientenmenge (N × N)/R oder (N × N)/ ∼ ist äquivalent zu den ganzen
Zahlen Z.
Aufgabe 3.6. Es sei M = R2 \{(0, 0)} und R ⊆ M × M eine Relation, die
definiert ist durch
((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ∈ R :⇔ x1 y2 = x2 y1
(3.54)
Ist ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ∈ R, dann schreibt man auch (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ).
(a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen [(0, 1)], [(1, 0)], [(1, 1)] und [(1, a)] (a ∈
R).
Version 7.2 - 005
77
3.5. Aufgaben
Aufgabe 3.7. Es sei X = Y = R, dann ist R := {(x, y) | (x ≤ y)} ⊆ R2 eine
Relation. Zeigen Sie, dass diese Relation eine Ordnungsrelation ist.
Aufgabe 3.8. Es sei M = {n ∈ N | 1 < n < 10} und R ⊆ N × N eine Relation,
die definiert ist durch (x, y) ∈ R :⇔ x|y (x ist ein Teiler von y).
(a) Bestimmen Sie alle Elemente von M und R.
(b) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation ist.
(c) Zeichen Sie das Ordnungsdiagramm der Relation.
(d) Zeigen Sie, dass R keine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 3.9. Es sei Tn := {t ∈ N | t|n} für n ∈ N eine Teilmenge von N mit
der Ordnungsrelation R, die durch die Teilbarkeit definiert ist: (x, y) ∈ R :⇔ x|y.
Bestimmen Sie die Elemente der Mengen T2 , T3 , T4 , T6 , T12 und T24 und zeichnen
Sie die Ordnungsdiagramme.
Aufgabe 3.10. Es sei Tn := {t ∈ N | t|n} für n ∈ N eine Teilmenge von N mit
der Ordnungsrelation R, die durch die Teilbarkeit definiert ist: (x, y) ∈ R :⇔ x|y.
Es seien p und q Primzahlen. Bestimme die Elemente von Tn und zeichnen Sie die
Ordnungsdiagramme für n = p, p2 , p3 , p4 , pq, p2 q, p3 q, p2 q 2 .
Aufgabe 3.11. Es sei A := {t ∈ N | (t|72) and (t < 20)} die Menge der Teiler von
72, die kleiner als 20 sind. Es gelte die Ordnungsstruktur, die durch a ≤ b :⇔ a|b
definiert ist.
(a) Bestimmen Sie die Elemente von A.
(b) Zeichnen Sie das Ordnungsdiagramm.
(c) Bestimmen Sie alle maximalen, minimalen, größten und kleinsten Elemente
von A, falls diese existieren.
(d) Bestimme das Supremum und das Infimum, falls diese existieren.
Aufgabe 3.12. Es sei die Ordnungsrelation auf N, die durch a b :⇔ a|b
definiert ist. Es sei A := {t ∈ N | (t|108) ∧ (t < 20)} die Menge der Teiler von
108, die kleiner als 20 sind. Es gelte die obige Ordnungsstruktur.
(a) Bestimmen Sie die Elemente von A.
(b) Zeichnen Sie das Ordnungsdiagramm.
(c) Geben Sie die minimalen und maximalen Elemente an, sowie (falls sie existieren) das größte und das kleinste Element.
(d) Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum, falls diese existieren.
78
Version 7.2 - 005
Kapitel 3. Relationen
Aufgabe 3.13. Es sei ≤ die Ordnungsrelation auf N, die durch a b :⇔ a|b
definiert ist. Es sei A := {t ∈ N| (t|216) and (t > 2) and (t < 50)} mit der obigen
Ordnungsstruktur.
(a) Bestimmen Sie die Elemente von A.
(b) Zeichnen Sie das Ordnungsdiagramm.
(c) Geben Sie die minimalen und maximalen Elemente an, sowie (falls sie existieren) das größte und das kleinste Element.
(d) Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum, falls diese existieren.
Aufgabe 3.14. Es sei ≤ die Ordnungsrelation auf N, die durch a b :⇔ a|b definiert ist. Es sei A := {t ∈ N | (t|360)∧t > 9)∧(t < 100)} die Menge der Teiler von
360, die größer als 9 und kleiner als 100 sind. mit der obigen Ordnungsstruktur.
(a) Bestimmen Sie die Elemente von A.
(b) Zeichnen Sie das Ordnungsdiagramm.
(c) Geben Sie die minimalen und maximalen Elemente an, sowie (falls sie existieren) das größte und das kleinste Element.
(d) Bestimme das Supremum und das Infimum, falls diese existieren.
Aufgabe 3.15. Es sei M = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x1 ≤ x2 } die Menge der Tupel (x1 , x2 )
mit x1 ≤ x2 . Eine Relation R auf M ist definiert durch:
((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) ∈ R :⇔ (x1 ≤ y1 ) and (y2 ≤ x2 )
(3.55)
Statt ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) ∈ R kann man auch (x1 , x2 ) w (y1 , y2 ) schreiben. Die Tupel
(x1 , x2 ) können als Intervalle auf R interpretiert werden.
(a) Zeigen Sie, dass durch R eine Ordnungsrelation definiert wird.
(b) Zeigen Sie, dass es keine linear geordnete Ordnungsrelation ist.
Version 7.2 - 005
79
Kapitel 4.
Abbildungen
Eine spezielle Relation ist die Abbildung. Auf Grund der Wichtigkeit für den gesamten Bereich der Mathematik, werden Abbildungen genauer betrachtet. Nach
der Definition von Abbildungen (Abschnitt 4.1) werden Eigenschaften von Abbildungen (siehe Abschnitt 4.2) erläutert. Im Abschnitt 4.3 betrachten wir Mengen
von Abbildungen.
4.1. Definition von Abbildungen
Begriffserläuterung
Definition 4.1 (Abbildung). Es seien X und Y zwei beliebige, nicht leere Mengen
und f ⊆ X × Y eine Vorschrift, die jedem Element von X genau ein Element aus
Y zuordnet:
∀x ∈ X ∃1 y ∈ Y : (x, y) ∈ f .
(4.1)
Das Tripel (f, X, Y ) oder kurz f heißt Abbildung von X nach Y . Wir schreiben
dafür auch:
f : X → Y , x 7→ f (x) = y .
(4.2)
Die Menge X heißt der Definitionsbereich von f . Die Menge Y heißt der Wertebereich von f . Die Menge
f (X) := {y ∈ Y | ∃x ∈ X : f (x) = y}
(4.3)
heißt Bild von f , und die Menge
graph(f ) := {(x, f (x)) | x ∈ X}
(4.4)
heißt Graph von f .
Version 7.2 - 005
81
4.1. Definition von Abbildungen
X
Y
f
f (X)
Abbildung 4.1.: Abbildung
Auf Grund der Eigenschaft f ⊆ X × Y ist f eine Relation von X × Y . Die
zusätzliche Eigenschaft ist eben, dass es für jedes Element von x ∈ X genau ein
Element y ∈ Y gibt, so dass (x, y) ∈ f ist. Es wird zwischen der Abbildung f und
dem Wert f (x) der Abbildung f an der Stelle x unterschieden.
Das Bild von f ist eine Teilmenge von Y (f (X) ⊆ Y ), der Graph von f ist eine
Teilmenge des kartesischen Produktes von X und Y (graph(f ) ⊆ X × Y ).
Definition 4.2 (Gleichheit). Zwei Abbildungen f : X → Y und g : X → Y heißen
gleich, wenn f (x) = g(x) für alle x ∈ X gilt.
f = g :⇔ ∀x ∈ X : f (x) = g(x) .
(4.5)
Hierbei ist auch wichtig, dass die Definitionsbereiche und die Wertebereiche identisch sind.
Beispiele
Beispiel 4.1.
f : N → N, n 7→ f (n) = n + 1
(4.6)
f : N → N, n 7→ f (n) = 2n
(4.7)
f (N) = N\{1}
Beispiel 4.2.
f (N) = {2, 4, 6, 8, . . .}
82
Version 7.2 - 005
Kapitel 4. Abbildungen
Beispiel 4.3.
f : Z → Z, z 7→ f (z) = z + 1
(4.8)
f (Z) = Z
Beispiel 4.4.
f : N → Z, n 7→ f (n) :=

n/2
−(n − 1)/2
falls n gerade
falls n ungerade .
(4.9)
f (N) = Z
Beispiel 4.5.
f : R → R, x 7→ f (x) = x2
(4.10)
f (R) = R+
0
Beispiel 4.6.
f : R → R, x 7→ f (x) =
√
x
(4.11)
ist keine Abbildung, da nicht jedem x ∈ R genau ein Wert zugewiesen werden
kann, da zum Einem die Wurzel von negativen Zahlen in R nicht definiert ist,
und zum Anderen für positive Werte von x ∈ R die Wurzel zwei Lösungen hat,
die positive und die negative Wurzel. Schränkt
man die Vorschrift auf positive
√
+
Werte ein f : R+
→
R
,
x
→
7
f
(x)
=
+
x
dann
erhält man eine Abbildung, mit
0
0
+
+
f (R0 ) = R0
Beispiel 4.7. Es sei X eine Menge von Gütern, durch u : X → R, x 7→ u(x),
wobei u(x) der Nutzen des Gutes x darstellt, wird eine Abbildung definiert.
Beispiel 4.8. Es sei M eine (endliche) Menge und P(M ) die Potenzmenge von
M , dann wird durch
f : P(M ) → N0 , T 7→ f (T ) := |T |
(4.12)
eine Abbildung definiert. Die Abbildung ordnet jeder Menge die Anzahl der Elemente der Menge zu.
Version 7.2 - 005
83
4.1. Definition von Abbildungen
Abbildungen und Teilmengen
Auch für Teilmengen A ⊆ X und B ⊆ Y können wir die Wirkung einer Abbildung
f : X → Y betrachten.
Definition 4.3 (Bild, Urbild). Es sei f : X → Y eine Abbildung. Für A ⊆ X
heißt die Menge
f (A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ A : f (x) = y}
(4.13)
das Bild von A unter f . Für B ⊆ Y heißt die Menge
f −1 (B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B}
(4.14)
das Urbild von B unter f . Für ein y ∈ Y setzen wir
f −1 (y) := {x ∈ X | f (x) = y} = f −1 ({y})
(4.15)
In den beiden Abbildungen 4.2 und 4.3 sind die Beziehungen grafisch dargestellt.
Y
X
f
A
f (A)
Abbildung 4.2.: Bild
Bei einer Abbildung f : X → Y und Teilmengen A ⊆ X und B ⊆ Y können wir
für Bild und Urbild feststellen:
Bemerkung 4.4. Es sei f : X → Y eine Abbildung und A ⊆ X und B ⊆ Y ,
dann gelten
(a) Die Menge A ⊆ X ist eine Teilmenge der Urbildmenge vom Bild von A:
A ⊆ f −1 (f (A)) .
(4.16)
(b) Das Bild vom Urbild einer Menge B ⊆ Y ist eine Teilmenge von B:
f (f −1 (B)) ⊆ B .
84
(4.17)
Version 7.2 - 005
Kapitel 4. Abbildungen
X
Y
f
f −1 (B)
B
Abbildung 4.3.: Urbild
Beweis:
(a) Ist a ∈ A, dann ist f (a) ∈ f (A) auf Grund der Definition von f (A). Damit ist
a ein Element der Menge, deren Bilder in f (A) sind. Diese Menge ist gemäß der
Definition gleich dem Urbild von f (A) (a ∈ {x ∈ X | f (x) ∈ f (A)} = f −1 (f (A))).
Damit ist A ⊆ f −1 (f (A)) gezeigt.
⇒
a∈A
→ f (a) ∈ f (A)
→ a ∈ {x ∈ X | f (x) ∈ f (A)} = f −1 (f (A))
A ⊆ f −1 (f (A))
(b) Auf Grund der Definitionen gelten f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} und damit
auch f (f −1 (B)) = {y ∈ Y | ∃a ∈ f −1 (B) : f (a) = y}. Ist b ∈ f (f −1 (B)), dann
existiert ein a ∈ f −1 (B) mit f (a) = b. Da a ∈ f −1 (b) ist, gilt somit b = f (a) ∈ B.
Somit ist die Teilmengenbeziehung f (f −1 (B)) ⊆ B gezeigt.
⇒
b ∈ f (f −1 (B))
→ ∃a ∈ f −1 (B) : f (a) = b
→ b = f (a) ∈ B
f (f −1 (B)) ⊆ B
Die Umkehrungen gelten nicht, was man an nachfolgenden Beispielen sehen kann,
so dass dies (in der Regel) keine Mengengleichheiten sind! Später werden wir sehen,
unter welchen Bedingungen die Mengengleichheit doch gilt.
Beispiel 4.9. Gegeben sei die Abbildung f : R → R, x 7→ f (x) = x2 . Dann gilt für
A = {1}, f (A) = {1} und f −1 (f (A)) = {1, −1}.
Version 7.2 - 005
85
4.1. Definition von Abbildungen
Beispiel 4.10. Gegeben sei die Abbildung f : N → N, n 7→ f (n) = 2n. Dann gilt
für B := {1, 2}, f −1 (B) = {1} und f (f −1 (B)) = {2}
Für Verknüpfungen von Mengen und Abbildungen können Regeln angegeben werden.
Bemerkung 4.5. Es seien f : X → Y eine Abbildung und A, B ⊆ X, dann gelten
(a) Das Bild des Durchschnitts ist die Teilmenge des Durchschnitts der Bilder
f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B) .
(4.18)
(b) Das Bild der Vereinigung ist gleich dem Durchschnitt der Bilder.
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) .
(4.19)
Beweis: Übung. Wieso gilt bei (a) nicht die Gleichheit?
Weiter gilt
Bemerkung 4.6. Es sei f : X → Y eine Abbildung, und A, B ⊆ Y , dann gelten
(a) Das Urbild des Durchschnitts ist gleich dem Durchschnitt der Urbilder:
f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B) .
(4.20)
(b) Das Urbild der Vereinigung ist gleich der Vereinigung der Urbilder:
f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) .
(4.21)
Beweis:
(a) Es sei x ∈ f −1 (A∩B), dann folgt daraus, dass f (x) ∈ A∩B ist. Somit ist f (x) ∈
A und f (x) ∈ B. Somit gilt x ∈ f −1 (A) und x ∈ f −1 (B) und damit x ∈ f −1 (A) ∩
f −1 (B). Auch die Umkehrung gilt. Also gilt die gegenseitige Teilmengenbeziehung
und damit die Mengengleichheit.
↔
↔
↔
↔
x ∈ f −1 (A ∩ B)
f (x) ∈ A ∩ B
f (x) ∈ A ∧ f (x) ∈ B
x ∈ f −1 (A) ∧ x ∈ f −1 (B)
x ∈ f −1 (A) ∩ f −1 (B).
Beweis Teil b) als Übung.
86
Version 7.2 - 005
Kapitel 4. Abbildungen
Funktionen
Funktionen sind eine andere Bezeichnung für Abbildungen. In der Algebra spricht
man meist von Abbildungen. In der Analyses spricht man meist von Funktionen.
4.2. Eigenschaften
injektiv, surjektiv und bijektiv
Definition 4.7. Es sei f : X → Y eine Abbildung. Sie heißt injektiv oder eineindeutig, wenn für zwei unterschiedliche Elemente x1 und x2 von X die Bilder
f (x1 ) und f (x2 ) unterschiedlich sind:
∀x1 , x2 ∈ X : (f (x1 ) = f (x2 )) → (x1 = x2 ) .
(4.22)
Sie heißt surjektiv, falls es zu jedem Element y ∈ Y ein Element x ∈ X gibt, mit
f (x) = y:
∀(y ∈ Y ) : ∃(x ∈ X) : f (x) = y .
(4.23)
Sie heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
Ist die Abbildung injektiv, dann gibt es keine zwei Elemente in X, die auf das
selbe Element in Y abgebildet werden. Ist die Abbildung surjektiv, dann gibt es
zu jedem Element von Y mindestens ein Urbild in X. Damit gilt
Bemerkung 4.8. Es sei f : X → Y eine Abbildung. Es gelten
f injektiv :⇔ ∀y ∈ Y : |f −1 (y)| ≤ 1
f surjektiv :⇔ ∀y ∈ Y : |f −1 (y)| ≥ 1
f bijektiv :⇔ ∀y ∈ Y : |f −1 (y)| = 1
(4.24)
(4.25)
(4.26)
Bei einer surjektiven Abbildung f : X → Y gilt dann f (X) = Y .
Bei einer bijektiven Abbildung hat das Urbild jedes Elementes y ∈ Y genau ein
Element. Das bedeutet, dass jedem von Y genau ein Element aus X zugeordnet
ist. Das ist die grundlegende Eigenschaft für eine Abbildung.
Definition 4.9 (Umkehrabbildung). Es sei f : X → Y eine bijektive Abbildung,
dann gibt es zu jedem y ∈ Y genau ein x ∈ X mit f (x) = y und man schreibt
f −1 (y) = x. Die hierdurch definierte Abbildung f −1 : Y → X heißt Umkehrabbildung von f .
Version 7.2 - 005
87
4.2. Eigenschaften
Beispiele und spezielle Abbildungen
Beispiel 4.11.
f : N → N, n 7→ f (n) = n + 1
(4.27)
f ist injektiv, jedoch nicht surjektiv.
Beispiel 4.12.
f : N → N, n 7→ f (n) = 2n
(4.28)
f ist injektiv, jedoch nicht surjektiv.
Beispiel 4.13.
f : Z → Z, z 7→ f (z) = z + 1
(4.29)
f ist injektiv und surjektiv.
Beispiel 4.14.
f : N → Z, n 7→ f (n) :=

n/2
−(n − 1)/2
falls n gerade
falls n ungerade .
(4.30)
f ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.
Beispiel 4.15.
f : R → R, x 7→ f (x) = x2
(4.31)
Die Funktion f ist nicht injektiv, da beispielsweise f (1) = f (−1), jedoch 1 6= −1
gilt. Die Funktion f ist auch nicht surjektiv, da f (R) = R+
0 . Schränkt man die
+
Abbildung auf R0 ein, dann ist die Abbildung injektiv und surjektiv, also bijektiv.
Beispiel 4.16.
+
f : R+
0 → R0 , x 7→ f (x) =
√
(4.32)
x
Die Funktion f ist eine injektive und surjektive, also bijektive Abbildung.
Beispiel 4.17. Es seien Mi Mengen (i = 1, 2, . . . , n). Für jedes i = 1, 2, . . . , n sei
die Abbildungen
fi : M1 × M2 × · · · × Mn → Mi , (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ xi
(4.33)
definiert. Die Abbildungen fi sind surjektiv. Die Abbildung fi heißt die i-te Projektion.
88
Version 7.2 - 005
Kapitel 4. Abbildungen
Beispiel 4.18. Es seien M eine Menge und A eine Äquivalenzrelation. Durch
k : M → M/A, x 7→ [x]
(4.34)
wird eine Abbildung definiert. Sie ist surjektiv. Sie heißt kanonische Abbildung.
Beispiel 4.19. Es sei M eine Menge und U ⊆ M eine Teilmenge von M . Durch
ı : U → M, u 7→ ı(u) = u
(4.35)
wird eine Abbildung definiert. Die Abbildung ist injektiv. Sie heißt Inklusionsabbildung oder Einbettung von U in M und ist eine Einbettung von U in M .
Beispiele dafür sind die Einbettungen von N in Z, Z in Q und Q in R.
Einige besondere Abbildungen seien noch definiert.
Definition 4.10 (konstante Abbildung). Es sei f : X → Y eine Abbildung. Sie
heißt konstant oder konstante Abbildung, falls alle Werte von X auf das selbe
Element von Y abgebildet werden.
∀x1 , x2 ∈ X : f (x1 ) = f (x2 )
(4.36)
Definition 4.11 (Einschränkung). Eine Abbildung g : U → Y heißt Einschränkung von f : X → Y , wenn U eine Teilmenge von X ist und für alle Elemente x
aus U f (x) = g(x) gilt.
U ⊆ X ∧ ∀x ∈ U : f (x) = g(x) .
(4.37)
Man schreibt dann g = f /U .
Definition 4.12 (Fortsetzung). Eine Abbildung g : O → Y heißt Fortsetzung
von f : X → Y , wenn O eine Obermenge von X ist und g/X = f gilt.
X⊆O
∧
g/X = f
(4.38)
Beispiel 4.20. Es sei die Abbildung f : R → R\{1}, x 7→ (x2 − 1)/(x − 1). Die
Abbildung g : R → R, x 7→ x + 1 ist eine Fortsetzung von f .
Definition 4.13 (Identität). Es sei f : X → X eine Abbildung. Sie heißt Identität von X (idX ), falls jedes Element der Menge X auf sich selbst abgebildet
wird:
∀x ∈ X : f (x) = x .
Version 7.2 - 005
(4.39)
89
4.2. Eigenschaften
Eine Abbildung, deren Definitionsbereich N, die Menge der natürlichen Zahlen ist,
heißt Folge. Im allgemeinen notiert man eine Folge in der Form (a1 , a2 , a3 , . . .)
oder {ai }i∈N .
Beispiel 4.21. Es sei f die Abbildung von N nach Z, die gegeben ist durch
f : N → Z, z 7→ z + 1
(4.40)
Die Abbildung ist injektiv, aber nicht surjektiv. Der Definitionsbereich kann jedoch
so angepasst werden, dass die Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv ist, also
bijektiv.
Beispiel 4.22. Es sei die Abbildung
f : N → Z, n 7→ f (n) :=

n/2
−(n − 1)/2
falls n gerade
falls n ungerade .
(4.41)
Die Abbildung f ist bijektiv. Für den Nachweis müssen Fallunterscheidungen
durchgeführt werden.
In der Bemerkung 4.4 konnten nur die Teilmengenbeziehungen A ⊆ f −1 (f (A)) und
f (f −1 (B)) beweisen werden. Nun wird gezeigt, unter welchen Bedingungen sogar
Mengengleichheit gilt.
Bemerkung 4.14. Es sei f : X → Y eine Abbildung, A ⊆ X und B ⊆ Y
(a) Ist f injektiv, dann gilt auch f −1 (f (A)) ⊆ A und somit f −1 (f (A)) = A.
(b) Ist f surjektiv, dann gilt auch B ⊆ f (f −1 (B)) und somit B = f (f −1 (B)).
Beweis:
(a) Es sei a ∈ f −1 (f (A)). Da f −1 (f (A)) = {x ∈ X | f (x) ∈ f (A)} ist, gilt somit
f (a) ∈ f (A). Da f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : f (x) = y} ist, existiert ein x ∈ A
mit f (x) = f (a). Da f injektiv ist, gilt x = a, also a ∈ A, da x ∈ A. Somit ist
f −1 (f (A)) ⊆ A. Zusammen mit Bemerkung 4.4 ergibt sich die Mengengleichheit.
→
→
→
→
⇒
a ∈ f −1 (f (A)) = {x ∈ X | f (x) ∈ f (A)}
f (a) ∈ f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : f (x) = y}
∃x ∈ A : f (x) = f (a)
x = a (da f injektiv)
a∈A
f −1 (f (A)) ⊆ A
(b) Es sei b ∈ B, dann existiert ein a ∈ X und f (a) = b ∈ B, da f surjektiv ist.
Damit ist a ∈ f −1 (B) und somit b = f (a) ∈ f (f −1 (B)). Also gilt B ⊆ f (f −1 (B)).
Zusammen mit Bemerkung 4.4 ergibt sich die Mengengleichheit.
90
Version 7.2 - 005
Kapitel 4. Abbildungen
⇒
b∈B
→ ∃a ∈ X : f (a) = b ∈ B
→ a ∈ f −1 (B)
→ b = f (a) ∈ f (f −1 (B))
B ⊆ f (f −1 (B))
Komposition von Abbildungen
Zum Abschluss betrachten wir noch die Verknüpfungen von Abbildungen.
Definition 4.15 (Komposition). Es seien f : V → W und g : X → Y Abbildungen
mit f (V ) ⊆ X, so wird durch (g ◦ f )(v) := g(f (v)) eine Abbildung g ◦ f : V → Y
definiert. Diese Abbildung heißt Komposition von f mit g.
Für die Umkehrabbildung der bijektiven Abbildung f : X → Y gilt f −1 ◦ f = idX
und f ◦ f −1 = idY . Im Falle von X = Y spricht man auch von der inversen
Abbildung.
Beispiel 4.23. Es seien
2
f : R → R+
0 , x 7→ f (x) = x
√
+
g : R+
0 → R0 , x 7→ g(x) = + x
(4.42)
(4.43)
zwei Abbildungen. Die Abbildung f ist surjektiv, aber nicht injektiv. Die Abbildung
g ist bijektiv, mit der Umkehrabbildung
+
2
g −1 : R+
0 → R0 , x 7→ g(x) = x .
(4.44)
+
+
Es gilt f (R) = R+
0 und g(R0 ) = R0 . Die Abbildung
+
(g ◦ f ) : R+
0 → R0 , x 7→ |x|
(4.45)
ist surjektiv, aber nicht injektiv. Die Abbildung
+
(f ◦ g) : R+
0 → R0 , x 7→ x
(4.46)
ist bijektiv, es gilt sogar, dass f ◦ g die Identität auf R+
0 ist.
Beispiel 4.24. Es seien f : R → R, x 7→ f (x) = x2 und g : R → R, x 7→ g(x) =
x − 1 zwei Abbildungen, dann gelten
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = x2 − 1 und
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 1) = (x − 1)2 = x2 − 2x + 1 .
Version 7.2 - 005
(4.47)
(4.48)
91
4.2. Eigenschaften
An diesem Beispiel sieht man, dass in der Regel die Kompositionen g ◦ f und f ◦ g
nicht identisch sind, die Komposition von Abbildungen allerdings nicht kommutativ ist.
Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, das heißt, es gilt für Abbildungen
f : V → W , g : W → X und h : X → Y :
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f ,
(4.49)
da (h ◦ (g ◦ f ))(v) = h((g ◦ f )(v)) = h(g(f (v))) = (h ◦ g)(f (v)) = ((h ◦ g) ◦ f )(v)
gilt.
Ist f : X → Y eine Abbildung, so gelten idY ◦ f = f und f ◦ idX = f .
Beispiel 4.25. Es seien f und g zwei Abbildungen von R nach R mit den Vorschriften
f : R → R, x 7→ f (x) = x3 und
g : R → R, x 7→ g(x) = x − 1 .
(4.50)
(4.51)
(a) Bestimmen Sie, ob die Abbildungen injektiv und / oder surjektiv sind.
Aus f (x1 ) = f (x2 ) folgt x31 = x32 und somit x1 = x2 . Daher ist die Abbildung f
√
√
injektiv. Sei y ∈ R. Mit x = 3 y gilt f (x) = ( 3 y)3 = y. Somit ist die Abbildung f
surjektiv und somit bijektiv.
Aus g(x1 ) = g(x2 ) folgt x1 − 1 = x2 − 1, also x1 = x2 und die Abbildung g ist
injektiv. Für y ∈ R ist mit x = y + 1 g(x) = y. Damit ist die Abbildung g surjektiv.
Somit ist die Abbildung g bijektiv.
(b) Wenn die Abbildungen bijektiv sind, dann geben Sie die Umkehrabbildungen
an.
√
Die Umkehrabbildungen sind f −1 (x) = 3 x beziehungsweise g −1 (x) = x + 1 (c)
Bilden Sie g ◦ f .
Es gilt
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x3 ) = x3 − 1 .
(4.52)
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 1) = (x − 1)3
= x3 − 3x2 + 3x − 1 .
(4.53)
(d) Bilden Sie f ◦ g.
Beispiel 4.26. Es seien f und g zwei Abbildungen:
f : R3 → R2 : (x, y, z) 7→ (x, y + z) und
g : R2 → R2 : (x, y) 7→ (x + y, x − y) .
92
(4.54)
(4.55)
Version 7.2 - 005
Kapitel 4. Abbildungen
(a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Abbildung f injektiv und surjektiv ist.
Wegen f ((0, 0, 1)) = (0, 1) = f ((0, 1, 0)) ist nicht injektiv.
Ist (u, v) ∈ R2 , so ist f ((u, v, 0)) = (u, v) und somit ist die Abbildung f surjektiv.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Abbildung g injektiv und surjektiv ist.
Aus g((x1 , y1 )) = g((x2 , y2 )) folgt (x1 + y1 , x1 − y1 ) = (x2 + y2 , x2 − y2 ) und somit
x1 = x2 und y1 = y2 . Also folgt (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ), also ist g injektiv.
Ist (u, v) ∈ R2 , so ist g(((u + v)/2, (u − v)/2)) = (u, v), also ist g surjektiv.
(c) Bilden Sie die Abbildung g ◦ f .
Es gilt (g ◦ f )((x, y, z)) = g(f ((x, y, z))) = g((x, y + z)) = (x + y + z, x − y − z).
4.3. Mengen von Abbildungen
In den vorherigen Abschnitten wurden jeweils eine Abbildung und deren Eigenschaften betrachtet. Jetzt wollen wir Mengen von Abbildungen betrachten. Dazu
jedoch zuerst ein kleines Beispiel.
Beispiel 4.27. Es sei M = 1, 2 und N = 1, 2, 3 zwei Mengen mit zwei beziehungsweise drei Elementen. Wie viele Abbildungen f : M → N gibt es? Auf Grund der
kleinen Anzahl von Elementen sind die Abbildungen leicht zu bestimmen. Für jede
Abbildung ist jeweils nur f (1) und f (2) anzugeben, um die Abbildung zu bestimmen.
Dies wir in der Tabelle 4.1 aufgeführt. Es werden die verschiedenen Abbildungen
fi : M → N, x 7→ fi (x) .
(4.56)
angegeben.
Das bedeutet, dass es neun verschiedene Abbildungen von M nach N gibt.
Dies ist nur ein kleines Beispiel, so dass es noch übersichtlich ist. Sind M und
N endliche Mengen mit m = |M | und n = |N | Elementen, dann gibt es nm
verschiedene Abbildungen.
Von den neun Abbildungen im obigen Beispiel ist keine Abbildung bijektiv. Dies
scheitert bereits daran, dass M und N nicht gleichviele Elemente haben. Dies ist eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung. Wenn M und N zwei jeweils
3-elementige Mengen sind, dann gibt es insgesamt 27 verschiedene Abbildungen.
Von diesen Abbildungen sind jedoch nur sechs Abbildungen injektiv, surjektiv und
bijektiv.
Version 7.2 - 005
93
4.4. Aufgaben
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
fi (1) fi (2)
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
3
3
Tabelle 4.1.: Abbildungsvorschrift
Definition 4.16 (Menge von Abbildungen). Es seien M und N zwei beliebige
Mengen. Die Menge
Abb(M, N ) := {f | f : M → N }
(4.57)
heißt Menge der Abbildungen von M nach N . Ist M = N , so schreibet man
kurz Abb(M ) statt Abb(M, M ) und sagt kurz Menge der Abbildungen von M.
Bij(M ) := {f ∈ Abb(M ) | f ist bijektiv }
(4.58)
ist die Menge der bijektiven Abbildungen von M.
4.4. Aufgaben
Aufgabe 4.1. Es sei f : X → Y eine Abbildung, A ⊆ X und B ⊆ Y
(a) Zeigen Sie, dass A ⊆ f −1 (f (A)) gilt.
(b) Ist f injektiv, dann gilt auch f −1 (f (A)) ⊆ A und somit f −1 (f (A)) = A.
(c) Zeigen Sie, dass f (f −1 (B)) ⊆ B gilt.
(d) Ist f surjektiv, dann gilt auch B ⊆ f (f −1 (B)) und somit B = f (f −1 (B)).
Aufgabe 4.2. Es seien f : X → Y eine Abbildung und A, B ⊆ X. Zeigen Sie:
(a) f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B)
(b) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
(c) In (a) kann nicht das Gleichheitszeichen gesetzt werden.
94
Version 7.2 - 005
Kapitel 4. Abbildungen
Aufgabe 4.3. Es sei f : X → Y eine Abbildung, und A, B ⊆ Y . Zeigen Sie:
(a) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
(b) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)
Aufgabe 4.4. Es sei f die Abbildung von N nach Z, die gegeben ist durch
f : N → Z, z 7→ z + 1
(a) Zeigen Sie, dass f injektiv ist.
(b) Zeigen Sie, dass f nicht surjektiv ist.
(c) Erweitern Sie den Definitionsbereich oder schränken Sie den Wertebereich ein,
so dass die Abbildung bijektiv wird.
Aufgabe 4.5. Es seien f und g zwei Abbildungen und R+ := {x ∈ R | x > 0}.
Die Abbildungen sind definiert durch f : R+ → R+ , x 7→ f (x) = 1/x und g : R+ →
R+ , x 7→ 2x.
(a) Zeigen Sie, dass g eine bijektive Abbildung ist.
(b) Zeigen Sie, dass f eine bijektive Abbildung ist.
(c) Bestimmen Sie die Abbildung f ◦ g.
(d) Bestimmen Sie die Abbildung g ◦ f .
Aufgabe 4.6. Es seien f und g zwei Abbildungen von R nach R mit den Vorschriften f : R → R, x 7→ f (x) = (x + 1)2 und g : R → R, x 7→ g(x) = (x − 1)3 .
(a) Bestimmen Sie, ob die Abbildungen injektiv sind.
(b) Bestimmen Sie, ob die Abbildungen surjektiv sind.
(c) Bilden Sie g ◦ f .
(d) Bilden Sie f ◦ g.
Aufgabe 4.7. Es seien zwei Abbildungen f und g definiert durch
f : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ (x + y, y + z)
g : R2 → R3 , (x, y) 7→ (x, x + y, y) .
(4.59)
(4.60)
(a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass f surjektiv / injektiv ist.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass g surjektiv / injektiv ist.
(c) Bestimmen Sie f ◦ g.
(d) Bestimmen Sie g ◦ f .
Version 7.2 - 005
95
Kapitel 5.
Strukturen
Ich werde hier algebraische Strukturen nur kurz einführen. Algebraische Strukturen sind Mengen mit Operationen auf den Elementen der Menge. Daher werden
zuerst (Abschnitt 5.1) Verknüpfungen und Operationen definiert und grundlegende Eigenschaften von (zwei-stelligen) Verknüpfungen beschreiben. Danach werden
verschiedene algebraische Strukturen eingeführt: Gruppen (Abschnitt 5.2), Ringe
und Körper (5.3), Moduln und Vektorräume (Abschnitt 5.4) und Verbände (Abschnitt 5.5). Die Darstellung ist nur sehr knapp. Im wesentlichen werden nur die
Begriffe eingeführt. Eine schöne und ausführliche Einführung kann bei Lau (Lau
2004b und Lau 2004a) gefunden werden.
5.1. Verknüpfungen und Operationen
Verknüpfungen
Definition 5.1 (Verknüpfung). Es seien A, B und M nicht-leere Mengen. Es sei
◦ eine Abbildung von A × B nach M
◦ : A × B → M, (a, b) 7→ ◦(a, b) = a ◦ b .
(5.1)
Wenn A = B = M gilt, dann nennt man die Abbildung eine innere Verknüpfung oder binäre Verknüpfung .
Wenn A 6= B = M gilt, dann nennt man die Abbildung äußere Verknüpfung
1. Art.
Wenn A = B 6= M gilt, dann nennt man die Abbildung äußere Verknüpfung
2. Art.
Version 7.2 - 005
97
5.1. Verknüpfungen und Operationen
Beispiel 5.1 (innere Verknüpfungen). Die bekannte Addition und Multiplikation
bei M = N oder M = Z oder M = Q oder M = R ist ein Beispiel für eine innere
Verknüpfung.
Schnittmenge oder Vereinigung zweier Teilmengen einer gegebenen Menge N (M =
P(N )) ist ebenso ein Beispiel für eine innere Verknüpfung.
Beispiel 5.2 (äußere Verknüpfungen 1. Art). Die Multiplikation eines Vektors mit
einer Zahl ist eine äußere Verknüpfung.
Beispiel 5.3 (äußere Verknüpfungen 2. Art). Das Skalarprodukt zweier Vektoren
eines Raumes, das Ergebnis ist wieder ein Vektor im Raum.
Definition 5.2 (Definitionsbereich, Wertebereich). Es sei A eine nicht-leere Menge. Für n ∈ N0 sei ∅ ⊂ D ⊆ An . Eine Abbildung
f : D → A, (a1 , . . . , an ) 7→ f (a1 , . . . , an )
(5.2)
mit n ≥ 0 heißt eine n-stellige Operation . Die Menge D heißt Definitionsbereich von f und wird auch mit D(f ) bezeichnet.
Die Menge W (f ) = {f (a1 , . . . , an )|(a1 , . . . , an ) ∈ D(f )} heißt der Wertebereich
von f .
Die 2-stelligen Operationen sind dabei die inneren oder binären Verknüpfungen.
Eigenschaften von Verknüpfungen
Für Verknüpfungen werden nun einige besondere Eigenschaften dargestellt. Dazu
sei M eine nicht-leere Menge und ◦ eine innere Verknüpfung (2-stellige Operation)
auf M .
◦ : M × M → M, (a, b) 7→ a ◦ b
(5.3)
Definition 5.3 (Assoziativgesetz). Die innere Verknüpfung ◦ heißt assoziativ,
wenn das Assoziativgesetz gilt:
(Ass)
∀a, b, c ∈ M : a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c
.
(5.4)
Das Assoziativgesetz besagt, dass es bei der Bearbeitung der Verknüpfungen nicht
darauf ankommt, welche Verknüpfung man zuerst ausführt. Dieses Assoziativgesetz, welches in der Definition auf drei Elemente beschränkt ist, gilt auch für
beliebig viele Elemente. Wenn ein Element a n-mal mit sich selbst verknüpft wird,
dann schreibt man
a
. . ◦ a} = an .
| ◦ .{z
(5.5)
n−mal
98
Version 7.2 - 005
Kapitel 5. Strukturen
Definition 5.4 (Kommutativgesetz). Die Verknüpfung ◦ heißt kommutativ,
wenn das Kommutativgesetz gilt:
(Kom)
∀a, b ∈ M : a ◦ b = b ◦ a .
(5.6)
Bei einer kommutativen Verknüpfung können die Elemente vor der Verknüpfung
vertauscht werden. Beispiele für kommutative Verknüpfungen sind die Addition
und die Multiplikation bei Zahlen (N, Z, Q, R, C). Nicht kommutativ ist dagegen
die Subtraktion bei Zahlen, denn 1 − 2 ist etwas anders als 2 − 1.
Wenn eine additive Verknüpfung vorliegt, dann schreibt man für die Verknüpfung
statt ◦ auch einfach +. Bei einer multiplikativen Verknüpfung schreibt man · und
lässt den Punkt manchmal weg, wenn es keine Verwechslungen geben kann.
Definition 5.5 (neutrales Element). Ein Element e ∈ M heißt neutrales Element bezüglich ◦, falls
(N eu)
∀a ∈ M : a ◦ e = a = e ◦ a
(5.7)
gilt.
Bei einer additiven Verknüpfung heißt das neutrale Element auch Nullelement,
während es bei einer multiplikativen Verknüpfung auch Einselement heißt.
Bemerkung 5.6. Es sei (M ; ◦) eine algebraische Struktur. Wenn (M ; ◦) ein neutrales Element besitzt, dann ist dieses neutrale Element eindeutig bestimmt.
Beweis Angenommen, das neutrale Element sei nicht eindeutig und es seien e1
und e2 zwei beliebige neutrale Elemente. Es gilt dann, auf Grund der Eigenschaften
der neutralen Elemente:
e1 = e1 ◦ e2 = e2 .
(5.8)
Definition 5.7 (inverses Element). Es sei (M ; ◦) eine algebraische Struktur mit
einem Einselement e. Gibt es zu einem Element a ∈ M ein Element b ∈ M mit
a◦b=e=b◦a ,
(5.9)
so heißt b inverses Element zu a. Für das inverse Element schreibt man auch
kurz a−1 .
Version 7.2 - 005
99
5.1. Verknüpfungen und Operationen
Bemerkung 5.8. Es sei (M ; ◦) eine algebraische Struktur mit dem neutralen
Element e. Wenn ein Element a ∈ M ein inverses Element a−1 hat, so ist dieses
Element eindeutig bestimmt.
Es gilt darüber hinaus
(a−1 )−1 = a .
(5.10)
Beweis Es seien a−1 und â zwei verschiedene inverse Elemente von a, dann gilt
â = â ◦ e = â ◦ (a ◦ a−1 ) = (â ◦ a) ◦ a−1 = e ◦ a−1 = a−1 .
(5.11)
Für Potenzen an ergänzt man die Festlegung durch a0 = e und a−n = (an )−1 .
Definition 5.9 (Erzeugendensystem). Es sei (M ; ◦) eine algebraische Struktur.
Eine Menge E ⊆ M heißt ein Erzeugendensystem oder Basis von (M ; ◦), falls
es zu jedem a ∈ M Elemente b1 , . . . , bk ∈ E, k ≥ 1 gibt und
a = b1 ◦ . . . ◦ bk
(5.12)
gilt.
Beispiele
Beispiel 5.4. Für die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung ist E = {1} ein Erzeugendensystem.
Beispiel 5.5. Für die Menge der natürlichen Zahlen mit der Multiplikation als
Verknüpfung (N; ·) ist die Menge der Primzahlen mit der 1 (P ∪ {1}) ein Erzeugendensystem.
Im nachfolgenden kommen einige Beispiele von Verknüpfungen.
Beispiel 5.6. Die bekannte Addition auf den Mengen N, Z, Q, R und C ist eine
assoziative und kommutative Verknüpfung. Außer für N existiert jeweils ein neutrales Element, die 0. Bei den Mengen Z, Q, R und C existiert zu jedem Element
ein inverses Element.
Beispiel 5.7. Die bekannte Multiplikation auf den Mengen N, Z, Q, R und C
ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung. Das neutrale Element der Verknüpfung ist jeweils die 1. Bei den Mengen Q, R und C existiert zu jedem Element,
außer für das neutrale Element der Addition 0, ein inverses Element.
100
Version 7.2 - 005
Kapitel 5. Strukturen
Beispiel 5.8. Es sei M eine beliebige Menge. (P(M ), ∩) ist eine Menge mit einer
assoziativen und kommutativen Verknüpfung. Die Menge M ist das neutrale Element der Verknüpfung. (P(M ), ∪) ist ebenso eine Menge mit einer assoziativen
und kommutativen Verknüpfung. Die leere Menge ∅ ist das neutrale Element der
Verknüpfung.
Beispiel 5.9. Es sei Zn die Menge der Restklassen modulo n. Die auf dieser Menge
definierte Addition beziehungsweise Multiplikation sind assoziativ und kommutativ.
Das neutrale Element der Addition ist [0], das neutrale Element der Multiplikation
ist [1]. Ist n = p ∈ P so hat jedes Element, außer dem Nullelement, ein inverses
Element. Ist n ∈
/ P, so haben nicht alle Elemente ein inverses Element. Es haben
nur diejenigen Elemente x ein Inverses, die relativ prim zu n ist, für die gilt, dass
ggT (x, n) = 1 gilt.
Beispiel 5.10. Die ∧-Verknüpfung bei Aussagen ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung, mit dem neutralen Element true. Die ∨-Verknüpfung bei
Aussagen ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung mit neutralem Element f alse.
Beispiel 5.11. Die Addition auf der Menge der (n, m)-Matrizen über R ist eine
assoziative und kommutative Verknüpfung mit dem neutralen Element der NullMatrix. Jede Matrix hat ein inverses Element.
Beispiel 5.12. Die Multiplikation auf der Menge der (n, n)-Matrizen über R ist
eine assoziative Verknüpfung mit der neutralen Element der Einheitsmatrix.
Beispiel 5.13. Auf der Menge Abb(X, X) der Abbildungen auf einer Menge X ist
durch die Verknüpfung von Abbildungen eine assoziative definiert. Sie ist (in der
Regel) nicht kommutativ. Es existiert ein neutrales Element, die identische Abbildung. Die bijektiven Abbildungen haben eine inverse Abbildung, also ein inverses
Element bezüglich der Verknüpfung.
Beispiel 5.14. Es sei M die Menge der Gleitkommazahlen mit einer m-stelligen
Mantisse und einem e-stelligen Exponenten. Die Addition beziehungsweise die Multiplikation der Gleitkommazahlen ist eine Verknüpfung, die nicht assoziativ ist!
5.2. Gruppen
Wir haben für Verknüpfungen vier grundlegende Eigenschaften: „assoziativ“,
„kommutativ“, „Existenz neutrales Element“ und „Existenz inverses Element“. Je
nachdem, welche dieser Eigenschaften eine Verknüpfung auf einer Menge besitzt,
erhält diese Menge mit dieser Verknüpfung einen besonderen Namen.
Version 7.2 - 005
101
5.2. Gruppen
Definition 5.10 (Halbgruppe, Monoid, Gruppe). Es sei (X; ◦) eine nicht-leere
Menge mit einer binären Operation.
Die Menge (X; ◦) heißt Halbgruppe, wenn die binäre Operation assoziativ ist.
Die Menge (X; ◦) heißt Monoid, wenn die binäre Operation assoziativ ist und es
ein neutrales Element e gibt. Das bedeutet, dass ein Monoid eine Halbgruppe ist,
die ein neutrales Element besitzt.
Die Menge (X; ◦) heißt Gruppe, wenn die Verknüpfung assoziativ ist, es ein neutrales Element e gibt, und jedes Element ein inverses Element bezüglich der Verknüpfung besitzt. Das bedeutet, dass eine Gruppe ein Monoid ist, bei der jedes
Element ein inverses Element besitzt.
Eine Halbgruppe, ein Monoid oder eine Gruppe (X; ◦) heißen kommutativ, wenn
die binäre Operation kommutativ ist.
Die bereits oben aufgeführten Beispiele werden nochmals betrachtet:
Beispiel 5.15. (N; +) ist eine kommutative Halbgruppe. (N0 ; +) ist ein kommutatives Monoid.
(Z; +), (Q; +), (R; +) und (C; +) sind kommutative Gruppen mit dem neutralen
Element 0.
(N; ·), (Z; ·), (Q; ·), (R; ·) und (C; ·) sind kommutative Monoide mit dem neutralen
Element 1.
Die Mengen (Q\{0}; ·), (R\{0}; ·) und (C\{0}; ·) sind kommutative Gruppen.
Beispiel 5.16. Es sei M eine beliebige Menge. (P(M ); ∩) ist ein kommutatives
Monoid, mit dem neutralen Element M . (P(M ); ∪) ist ein kommutatives Monoid,
mit dem neutralen Element ∅.
Beispiel 5.17. (Zn ; +) ist eine kommutative Gruppe, mit dem neutralen Element
[0]. (Zn \[0]; ·) ist ein kommutatives Monoid, mit neutralem Element [1]. Ist n ∈ P,
dann ist (Zn \[0]; ·) sogar eine kommutative Gruppe.
Beispiel 5.18. Die Menge der (n, m)-Matrizen über R mit der Addition ist ein
kommutatives Monoid, mit dem neutralen Element der Null-Matrix.
Beispiel 5.19. Die Menge der (n, n)-Matrizen über R mit der Matrizenmultiplikation ist ein Monoid, jedoch nicht kommutativ, mit der Einheitsmatrix als neutrales
Element. Diejenigen Matrizen, deren Determinante ungleich 0 sind, sind invertierbar, haben also ein inverses Element, eine inverse Matrix.
Beispiel 5.20. Die Menge Abb(X, X) der Abbildungen auf einer Menge X mit der
Verknüpfung von Abbildungen ist ein Monoid, mit dem neutralen Element der Identität. Die Menge der bijektiven Abbildungen von X Bij(X) = {f ∈ Abb(X, X) |
f ist bijektiv} ist eine Gruppe.
102
Version 7.2 - 005
Kapitel 5. Strukturen
Beispiel 5.21. (Z[X]; +), die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus Z ist
eine kommutative Gruppe. Die Addition ist dabei die komponentenweise Addition.
Ebenso sind (Q[X]; +), (R[X]; +) und (C[X]; +) additive Gruppen.
Beispiel 5.22. Es sei Σ ein Alphabet und Σ∗ die Menge der Wort über dem Alphabet inklusive dem leeren Wort. Mit der Verbindung der Worte als Verknüpfung
und ist die Menge ein Monoid.
5.3. Ringe und Körper
Im ersten Abschnitt haben wir Mengen mit einer inneren Verknüpfung betrachtet,
jetzt untersuchen wir Mengen mit zwei inneren Verknüpfungen.
Definition 5.11 (Ring, Körper). Eine Menge X mit zwei binären Operationen
+ : X × X → X, (x, y) 7→ x + y
· : X × X → X, (x, y) 7→ x · y
(5.13)
(5.14)
heißt Ring (X; +, ·), wenn (X; +) eine kommutative Gruppe, (X; ·) eine Halbgruppe ist und wenn für alle x, y, z ∈ X die Distributiv-Gesetze
x · (y + z) = (x · y) + (x · z) und
(x + y) · z = (x · z) + (y · z)
(5.15)
(5.16)
gelten. Ist (X; ·) eine kommutative Halbgruppe, dann heißt der Ring kommutativ.
Eine kommutativer Ring (X; +, ·) heißt Körper, wenn (X\{0}; ·) eine kommutative Gruppe ist, das heißt wenn jedes Element außer dem Nullelement ein inverses
Element bezüglich der Operation · besitzt. Das neutrale Element der kommutativen
Gruppe (X; +) heißt Nullelement.
Wenn (X; ·) ein neutrales Element hat, dann heißt dieses Element Einselement.
Mit X × wird die Menge der invertierbaren Elemente von (X; +, ·) bezüglich ·
bezeichnet. Ist X ein Körper, so gilt X × = X\{0}.
Beispiel 5.23. (Z; +, ·) ist ein kommutativer Ring. (Q; +, ·), (R; +, ·) und (C; +, ·)
sind Körper. Das Nullelement ist jeweils 0, das Einselement ist jeweils 1.
Beispiel 5.24. (Zn ; +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Nullelement [0] und Einselement [1].
Version 7.2 - 005
103
5.3. Ringe und Körper
Durch [x] + [y] := [x + y] und [x] · [y] := [x · y] wird auf der Quotientenmenge Z/Rn
eine Addition und eine Multiplikation definiert. Mit dieser Addition und Multiplikation bildet die Menge der Äquivalenzklassen einen Ring, den Restklassenring
modulo n und wird mit Zn oder mit Z/nZ bezeichnet.
Ist n = p ∈ P eine Primzahl, dann ist Z/Rp mit der oben definierten Addition und
Multiplikation ein Körper, ein Körper mit endlich vielen Elementen, er heißt der
Restklassenkörper modulo p und wird mit Zp oder mit Fp bezeichnet.
Beispiel 5.25. Die Menge der (n, n)-Matrizen über R mit der Matrizenaddition
und -multiplikation ist ein kommutativer Ring mit Nullelement (Nullmatrix) und
Einselement (Einheitsmatrix). Die Matrizen, deren Determinante ungleich 0 sind,
sind invertierbar.
Beispiel 5.26. (Z[X]; +, ·), die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus Z ist
ein kommutativer Ring. Hierbei ist die Addition die komponentenweise Addition
und die Multiplikation die übliche Polynommultiplikation. Ebenso sind (Q[X]; +, ·),
(R[X]; +, ·), (C[X]; +, ·) und (R[X]; +, ·) mit einem Ring R sind kommutative Ringe, mit Nullelement 0 und Einselement 1.
Beispiel 5.27. Es sei M eine Menge, (P(M ); ∪, ∩) ist ein kommutativer Ring
mit Nullelement ∅ und Einselement M .
Beispiel 5.28. Es sei A eine Menge von Aussagen (A; ∨, ∧) ist ein kommutativer
Ring mit Nullelement f alse und Einselement true.
Ist (X; +, ·) ein Ring, und ist 0 das neutrale Element bezüglich +, so gilt auf jeden
Fall, dass wenn x = 0 oder y = 0 ist, dass dann auch x · y = 0 gilt. Gilt auch die
Umkehrung, das heißt, dass aus x · y = 0 auch folgt, dass x = 0 oder y = 0 gilt, so
heißt der Ring ein Integritätsring.
Beim Ring (Z4 ; +, ·) gilt die Umkehrung nicht, denn [2] · [2] = [0], obwohl keiner
der Faktoren das Nullelement ist.
Einfache Beispiel für Integritätsringe (die keine Körper sind) sind die bekannten
Mengen (Z; +, ·) und (Q[X]; +, ·). In Integritätsringen können Aussagen zur Zahlentheorie aufgestellt werden. Eine Primfaktorzerlegung, wie in Z gibt es analog
auch beispielsweise in Q[X].
Beispiel 5.29. Ist n ∈ N\P, also keine Primzahl, dann ist (Zn ; +, ·) kein Körper ist, da nicht jedes Element ungleich dem Nullelement ein inverses Element
bezüglich der Multiplikation besitzt.
Beispiel 5.30. Es sei M eine beliebige Menge. Dann ist (P(M ); ∪, ∩) ein kommutativer Ring ist. Das Nullelement ist ∅ und das Einselement ist M .
104
Version 7.2 - 005
Kapitel 5. Strukturen
5.4. Moduln und Vektorräume
Definition 5.12 (Vektorraum). Es seien (V ; +) eine kommutative Gruppe,
(K; +, ·) ein Körper mit dem Einselement 1 und ·K eine äußere Verknüpfung:
·K : K × V → V, (α, v) 7→ α ·K v
(5.17)
mit den Eigenschaften ∀α, β ∈ K; ∀v, w ∈ V gilt:
α ·K (v + w) = α ·K v + α ·K w ,
(α + β) ·K v = α ·K v + β ·K v ,
(α · β) ·K v = α ·K (β ·K v) und
1 ·K v = v .
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
(V ; +, K, ·K ) (oder kurz (V ; +)) heißt ein Vektorraum über dem Körper K.
Bei der skalaren Multiplikation wird der Index K meist weggelassen, da es keine
Verwechslung geben kann.
Beispiel 5.31. (Rn ; +) ist ein Vektorraum über dem Körper R für n ∈ N.
Beispiel 5.32. Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst.
Beispiel 5.33. Die Menge der Polynome über einem Körper K bilden mit der
bekannten Addition und und der komponentenweisen Multiplikation der Polynome
ist ein Vektorraum über K.
Im Rahmen der linearen Algebra werden Vektorräume untersucht. Die Lösungen
eines linearen Gleichungssystems bilden einen Vektorraum.
Wird statt einem Körper (K; +, ·) nur ein Ring (R; x, ·) zu Grunde gelegt, dann
spricht man von einem Modul.
5.5. Verbände
Definition 5.13 (Verband). Es sei V eine nicht-leere Menge mit den zwei 2stelligen Operationen t (Vereinigung) und u (Durchschnitt). (V, t, u) heißt ein
Verband, wenn sowohl t als auch u kommutativ und assoziativ sind. Darüber
Version 7.2 - 005
105
5.6. Aufgaben
hinaus sind die Operationen idempotent und absorptiv, das heißt es gelten das
Idempotenzgesetz
∀x ∈ V : x t x = x ∧ x u x = x
(5.22)
und das Absorptionsgesetz
∀x, y ∈ V : x t (x u y) = x ∧ x u (x t y) = x .
(5.23)
Das Idempotenzgesetz und das Absoprtionsgesetz gelten nicht für die bekannte
Addition und Multiplikation auf den natürlichen, ganzen, rationalen oder reellen
Zahlen, so dass diese Mengen (mit diesen Operationen) keine Verbände sind.
Nun einige Beispiele von Verbänden:
Beispiel 5.34. Es sei A Aussagen und t die Konjunktion und u die Disjunktion,
dann ist (A, t, u) ein Verband.
Beispiel 5.35. Es sei V = N0 und a t b := kgv(a, b) und a u b := ggt(a, b). Dann
ist (N0 , kgV, ggT ) ein Verband.
Beispiel 5.36. Es sein M eine nicht-leere Menge. Die Menge (P(M ), ∪, ∩) ist
ein Verband.
Dies sind nur einige kurze Anmerkungen zu Verbänden. Es gibt noch viele Eigenschaften zu ergründen. Ein bedeutendes Beispiel für einen Verband ist die Boolesche Algebra, die jedoch nicht in diesem Kapitel genauer untersucht wird.
5.6. Aufgaben
106
Version 7.2 - 005
Kapitel 6.
Boolesche Algebren
In diesem Kapitel wird die algebraische Struktur Boolesche Algebra genauer
untersucht. Sie ist nach dem englischen Mathematiker und Logiker George Boole
(1815 - 1864) benannt. Zwei Beispiele von booleschen Algebren haben wir bereits
kennen gelernt: die Aussagenlogik und die Mengenalgebra. Ein drittes Beispiel, die
Schaltalgebra werden wir in diesem Kapitel kennen lernen. Die Schaltalgebra hat
dabei eine sehr große Ähnlichkeit zur Aussagenlogik.
Betrachten wir zuerst genauer, was eine boolesche Algebra ist (Abschnitt 6.1).
Dann betrachten wir Normalformen (Abschnitt 6.2) und ein Verfahren zur Konstruktion von Normalformen (Abschnitt 6.3). Dann werden wir KV-Diagramme
betrachten (Abschnitt 6.4), die für kleine Umfänge eine alternative Möglichkeit
ist, Normalformen zu erstellen. Abschließend (Abschnitt 6.5) werden Schaltnetze
einführend betrachtet.
6.1. Boolesche Algebra
Aussagen und die Potenzmenge einer Menge haben viele Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Entsprechungen. Beide sind kommutative Ringe. Darüber hinaus
gibt es weitere Eigenschaften, welche diese beiden kommutativen Ringe von anderen kommutativen Ringen, zum Beispiel den ganzen Zahlen unterscheidet. Aussagen und Potenzmengen einer Menge sind Beispiele von Booleschen Algebren. Ein
weiteres Beispiel für eine boolesche Algebra, ist die Schaltalgebra.
Es sei M eine Menge und P(M ) die Potenzmenge dieser Menge. Auf dieser Potenzmenge gibt es die 2-stelligen inneren Verknüpfungen ∩ und ∪. Die Konjunktion ∩,
der Durchschnitt von Mengen, und die Disjunktion ∪, die Vereinigung von Mengen,
sind assoziativ, kommutativ und distributiv.
Version 7.2 - 005
107
6.1. Boolesche Algebra
Für Aussagen gibt es die 2-stelligen inneren Verknüpfungen ∧ und ∨. Die Konjunktion (and-Verknüpfung) und Disjunktion (or-Verknüpfung) sind ebenfalls assoziativ, kommutativ und distributiv.
Darüber hinaus gibt es ein neutrales Element der Konjunktion. Für die Potenzmenge P(M ) ist es die Menge M selbst. Bei den Aussagen ist es die Tautologie
true (immer wahr). Dieses neutrale Element der Konjunktion heißt Einselement.
Auch für die Disjunktion gibt es ein neutrales Element, das Nullelement heißt.
Es ist für die Potenzmenge P(M ) die leere Menge ∅. Bei den Aussagen ist es die
Kontradiktion f alse (immer falsch).
Sind A und B Teilmengen von M (A, B ⊆ M ), so gelten A ∪ (A ∩ B) = A
und A ∩ (A ∪ B) = A. Entsprechendes gilt für Aussagen A ∨ (A ∧ B) = A und
A ∧ (A ∨ B) = A. Diese Eigenschaft heißt adjunktiv. Die ganzen Zahlen habe
diese Eigenschaft nicht!
Darüber hinaus gibt es eine Negation. Bei der Potenzmenge P(M ) ist dies die
Komplementbildung. Für eine Teilmenge A ⊆ M ist die Komplementmenge {M (A)
die Negation. Bei Aussagen ist die Negation die not-Funktion. Die Negation ist
involutiv, das heißt, es gilt das Involutionsgesetz. Dies bedeutet, dass die doppelte
Verneinung wieder den Ursprung selbst ergibt:(Mengen) {M ({M (A)) = A und
(Aussagen) ¬(¬(A)) = A.
Es gelten für eine Teilmenge A ⊆ M , dass A ∩ {M (A) = ∅ und A ∪ {M (A) = M
gilt. Entsprechendes gilt auch für Aussagen A: A∧¬A = f alse und A∨¬A = true.
Die Negation ist somit komplementär.
Weiter gelten die Regeln von de Morgan bei Mengen
{M (A ∪ B) = {M (A) ∩ {M (B)
{M (A ∩ B) = {M (A) ∪ {M (B)
(6.1)
¬(A ∧ B) = ¬(A) ∨ ¬(B)
¬(A ∨ B) = ¬(A) ∧ ¬(B) .
(6.2)
und bei Aussagen
Auch diese Eigenschaft haben die ganzen Zahlen nicht.
Diese Eigenschaften fassen wir jetzt zu einer Definition zusammen.
Definition 6.1 (Boolesche Algebra). Es sei V eine Menge, in der zwei 2-stellige
innere Verknüpfungen ∧ (Konjunktion) und ∨ (Disjunktion) und eine 1-stellige
Negation ( ) definiert sind. Die Menge V mit diesen Verknüpfungen heißt ein
108
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
boolescher Verband oder boolesche Algebra, wenn gelten:
(1) (V ; ∧, ∨) ist ein kommutativer Ring mit einem Nullement n bezüglich der Disjunktion ∨ und einem Einselement e bezüglich der Konjunktion ∧.
(2) Die Regeln von de Morgan gelten, ∀a, b ∈ V :
a∨b = a∧b
(6.3)
a∧b = a∨b .
(3) Die Verknüpfungen sind adjunktiv, ∀a, b ∈ V :
a ∧(a ∨ b) = a
a ∨(a ∧ b) = a .
(6.4)
(4) Die Verknüpfungen sind involutiv, ∀a ∈ V :
a=a.
(6.5)
(5) Die Verknüpfungen sind komplementär, ∀a ∈ V :
a∧a = n
a∨a = e .
(6.6)
Abgekürzt schreibt man (V ; ∧, ∨, , n, e) für die Boolesche Algebra. Noch kürzer
schreibt man manchmal auch nur (V ; ∧, ∨), wenn die anderen Elemente bekannt
und klar sind.
Statt den Symbolen ∧, ∨ und werden oftmals auch die Symbole ⊗ für das Boolesche Produkt, die Konjunktion, ⊕ für die Boolesche Summe, die Disjunktion, und
∼ für das Boolesche Komplement, die Negation verwendet. Das neutrale Element
der des Booleschen Produkts wird mit 1 bezeichnet, das neutrale Element der Booleschen Summe wird mit 0 bezeichnet. Die Verwendung von (∩ und ∪) oder (∧
oder ∨) oder (u oder t) ist möglich. Die Verwendung orientiert sich teilweise an
der konkreten Realisierung der Booleschen Algebra. Bei Mengen wird eher ∩ und
∪ verwendet. Bei Aussagen wird eher ∧ und ∨ verwendet.
Die Gültigkeit der Regeln von de Morgan kann aus den anderen Eigenschaften
gefolgert werden, so dass diese Eigenschaft streng genommen nicht mit in die
Definition aufgenommen werden muss. Dies führe ich hier nicht aus.
Beispiel 6.1. Es sei M eine beliebige, nicht leere Menge. Die Potenzmenge
(P(M ); ∩, ∪, {M , ∅, M ) ist eine Boolesche Algebra.
Version 7.2 - 005
109
6.2. Normalformen
Beispiel 6.2. Es sei B = {w, f } die Menge der Wahrheitswerte wahr und f alsch.
Dann ist (B; ∧, ∨, ¬, f, w) eine Boolesche Algebra. Für die Wahrheitswerte kann
man statt w, f auch wahr, f alsch oder true, f alse oder t, f oder manchmal auch
1, 0 schreiben, wobei die letzte Variante eher zur Schaltalgebra gehört.
Für die Schaltalgebra betrachten wir zuerst die Menge B = {0, 1}, die Menge
der Schaltkonstanten oder Boolesche Konstanten. Die Operationen in der Schaltalgebra entsprechen den Operationen der Aussagenlogik. Mit den Verknüpfungen
(and-Verknüpfung, or-Verknüpfung und Negation) die so definiert werden wie die
logischen Funktionen bei der Aussagenlogik. Manchmal schreibt man statt 0 und
1 auch O und L.
Beispiel 6.3. Es sei B = {0, 1} die Menge der Schaltkonstanten oder boolschen
Konstanten. Die Menge (B; and, or, not, 0, 1) ist eine boolesche Algebra, die Schaltalgebra.
Die Mengen wurden in Kapitel 2, die Aussagen in Kapitel 1 intensiv betrachtet.
Die Schaltalgebra wird in diesem Kapitel genauer betrachtet.
Es seien a1 , . . . , an ∈ B eine Menge von Schaltvariablen oder booleschen Variablen, welche nur die Werte aus B annehmen können. Eine Abbildung
f : Bn → B, (a1 , . . . , an ) 7→ f (a1 , . . . , an )
(6.7)
heißt eine Schaltfunktion. Die technische Realisierung einer Schaltfunktion heißt
Schaltung.
Die technische Realisierung der booleschen Konstanten entspricht einer offenen
Leitung (0) oder einen geschlossenen Leitung (1). Die Realisierung der andVerknüpfung erfolgt durch die Hintereinanderschaltung zweier Schalter, während
die Realisierung der or-Verknüpfung durch die Parallelschaltung zweier Schaltungen dargestellt wird. Die Funktion Negation wird durch einen Schalter realisiert,
der im Ruhezustand Strom durchlässt und wenn er geschaltet ist keinen Strom
durchlässt.
6.2. Normalformen
Wenn wir zwei zusammengesetzte Aussagen haben, dann wollen wir feststellen, ob
die beiden Aussagen identisch sind. Haben wir zwei Gebilde aus Mengen, dann
wollen wir wissen, ob die jeweils resultierende Menge identisch ist. Haben wir zwei
110
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
Schaltungen, dann wollen wir wissen, ob sie die selbe Schaltfunktion realisieren.
Dazu werden wir zuerst Normalformen bestimmen.
Zur Definition von Normalformen von booleschen Algebren werden wir oftmals
Beispiele aus der Mengenalgebra oder der Aussagenlogik nehmen, um es anschaulicher zu machen.
Betrachten wir eine Grundmenge M und darin drei Teilmengen A, B und C (siehe
6.1 Abbildung ).
A
B
C
M
Abbildung 6.1.: disjunkte Zerlegung
Die gesamte Menge M ist zerlegt in acht disjunkte Teile, diese sind:
A∩B∩C
A∩B∩C
A∩B∩C
A∩B∩C
A∩B∩C
A∩B∩C
A∩B∩C
A∩B∩C
Diese Terme heißen auch Min-Terme, da sie (für diese Konstellation) nicht weiter teilbar sind. Diese Min-Terme sind n-stellige Konjunktionen, in der jede Menge
oder deren Negation enthalten ist. Die einzelnen Min-Terme sind paarweise disjunktiv.
Jede beliebige Menge, die auf Grund einer Verknüpfung der Mengen A, B und C
erstellt wird, kann als Vereinigung von solchen Min-Termen dargestellt werden. So
gilt beispielsweise
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) .
Version 7.2 - 005
(6.8)
111
6.2. Normalformen
Diese Grundstruktur wird jetzt allgemeiner für boolesche Algebren, für mehr als
drei Basisvariablen und nicht nur für Min-Terme, sondern auchfür Max-Terme
dargestellt.
Definition 6.2 (disjunktive Normalform, konjunktive Normalform). Es sei
(V, ∧, ∨) eine Boolesche Algebra mit den Verknüpfungen Konjunktion (∧) und
Disjunktion (∨). Eine boolesche Funktion mit n booleschen Variablen heißt ein
Min-Term, wenn es eine n-stellige Konjunktion ist, bei der jede Variable oder
deren Negation enthalten ist. Eine boolesche Funktion mit n booleschen Variablen
heißt disjunktive Normalform , wenn es die Disjunktion von Min-Termen ist.
Eine Boolesche Funktion mit n Booleschen Variablen heißt ein Max-Term, wenn
es eine n-stellige Disjunktion ist, bei der jede Variable oder deren Negation enthalten ist. Eine boolesche Funktion mit n booleschen Variablen heißt konjunktive
Normalform , wenn es die Konjunktion von Max-Termen ist.
Jede beliebige boolesche Funktion von n Variablen kann in eine DNF oder in eine
KNF gebracht werden kann.
Betrachten wir dazu ein kleines Beispiel mit zwei Variablen.
A B
1 1
1 0
0 1
0 0
f (A, B)
1
0
1
0
Tabelle 6.1.: Boolesche Funktion
Die Tabelle 6.1 zeigt eine boolesche Funktion f (A, B) über einer booleschen Algebra mit den zwei Variablen A und B. Hierbei steht „1“ für W (wahr) oder „Element
in der Menge“ und „0“ für F (falsch) oder „Element nicht in der Menge“.
Diese Funktion lässt sich als disjunktive und konjunktive Normalform darstellen.
Für Aussagen gilt:
Disjunktive Normalform:
f (A, B) = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ B)
(6.9)
Konjunktive Normalform:
f (A, B) = (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ B)
112
(6.10)
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
In der Mengenschreibweise:
Disjunktive Normalform:
f (A, B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
(6.11)
f (A, B) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)
(6.12)
Konjunktive Normalform:
6.3. Konstruktion der Normalformen
Die Konstruktion der DNF und der KNF, ausgehend von einer booleschen Funktion
und die Minimierung dieser Formen werden jetzt genauer betrachtet.
Ist f (x1 , . . . , xn ) eine boolesche Funktion mit n Variablen, so lässt sich die DNF
konstruktiv ermitteln.
Dazu betrachten wir zuerst ein Beispiel mit den drei Variablen A, B und C (siehe
Tabelle 6.2). Es sei f (A, B, C) die Menge, der Element, die in keiner der Teilmengen
A, B und C sind, oder diejenigen Element, die genau im Durchschnitt zweier
Mengen sind, jedoch nicht im Durchschnitt aller drei Mengen.
A
1
1
1
1
0
0
0
0
B
1
1
0
0
1
1
0
0
C
1
0
1
0
1
0
1
0
f (A, B, C)
0
1
1
0
1
0
0
1
Tabelle 6.2.: Beispiel 3-stellige boolesche Funktion
Für jede mögliche Belegung von A, B oder C wird der Wert der Funktion
f (A, B, C) angegeben. Dies wird in der Tabelle dargestellt. Hierbei steht 1 beziehungsweise 0 für „in der Menge enthalten“ beziehungsweise „nicht in der Menge
enthalten“. Für Aussagen wäre es entsprechend „wahr“ oder „falsch“.
Wir bestimmen jetzt die disjunktive Normalform.
Version 7.2 - 005
113
6.3. Konstruktion der Normalformen
In der Wertetabelle (siehe 6.2) sind alle Möglichkeiten für die Variablen aufgeführt. Aus der Kombination der 0 − 1-Werte lassen sich die (in diesem Fall acht
verschiedenen) Min-Terme bestimmen. Die Zeilen, in denen für f (A, B, C) eine 0
steht, können entfernt werden. (siehe 6.3)
A B
1 1
1 0
0 1
0 0
C
0
1
1
0
f(A,B,C)
1
1
1
1
Tabelle 6.3.: Beispiel: Min-Terme
In den verbleibenden Zeilen wird eine 1 in den Spalte von A, B oder C durch A,B
oder C direkt ersetzt, eine 0 wird durch die Negation A, B oder C ersetzt.
Die Elemente der Zeilen werden durch Konjunktion verbunden, das liefert die MinTerme. Diese Min-Terme werden abschließend durch die Disjunktion verbunden.
Damit haben wir die disjunktive Normalform konstruktiv ermittelt.
Es ergibt sich somit
f (A, B, C)
(6.13)
= (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
als die DNF der Funktion mit Mengen dargestellt und
(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C)
(6.14)
mittels Aussagen.
Ist f (X1 , . . . , Xn ) eine boolesche Funktion mit n Variablen, so lässt sich die disjunktive Normalform gemäß diesem Vorgehen konstruktiv ermitteln:
Algorithmus zur Bestimmung der Disjunktive Normalform
(1) Ermittle die Wertetabelle der Booleschen Funktion f (X1 , . . . , Xn ).
(2) Eliminiere die Zeilen, für die der Wert der Funktion 0 ist.
(3) Ersetze eine 1 durch die Variable Xi und eine 0 durch die Negation von Xi ,
also Xi .
(4) Verbinde die Teile der Zeilen durch Konjunktion - Erzeugung der Min-Terme.
(5) Verbinde die Zeilen durch Disjunktion. - Erzeugung der DNF.
Die KNF kann analog ermittelt werden.
114
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
Algorithmus zur Bestimmung der Konjunktiven Normalform
(1) Ermittle die Wertetabelle der Booleschen Funktion f (X1 , . . . , Xn ).
(2) Eliminiere die Zeilen, für die der Wert der Funktion 1 ist.
(3) Ersetze eine 1 durch die Negation der Variablen Xi , also durch Xi und eine 0
durch Xi .
(4) Verbinde die Teile der Zeilen durch Disjunktion - Erzeugung der Max-Terme.
(5) Verbinde die Zeilen durch Konjunktion. - Erzeugung der KNF.
Konstruktion einer Minimalform Algorithmus von
Quine-McClusky
Die DNF und die KNF können sehr umfangreich werden. Wie kann dies für die
Auswertung effektiver dargestellt werden?
Ausgehend von der disjunktiven Normalform oder auch von der konjunktiven Normalform kann die Darstellung vereinfacht oder minimiert werden. Dazu werden wir
das Verfahren von Quine-McClusky anwenden. Dieses Verfahren wurde vom amerikanischen Logiker Willard Van Orman Quine (1908-2000) entwickelt und vom
amerikanischen Informatiker Edward J. McCluskey (*1929) verfeinert.
Das Grundprinzip ist, dass dabei stets zwei Terme zusammengefasst werden, wenn
sie sich nur in einem Punkt unterscheiden. Beispielsweise unterscheiden sich die
Terme A ∩ B und A ∩ B nur durch B beziehungsweise B. Bedingt durch die Regeln
in einer Booleschen Algebra (genauer gesagt auf Grund desDistributivgesetzes)
ergibt sich:
(A ∧ B) ∨(A ∧ B) = A ∧(B ∨ B) = A .
(6.15)
Damit kann (A ∧ B) ∨(A ∧ B) durch A ersetzt werden.
Der Algorithmus von Quine-McCluskey zur Erzeugung einer Minimalform
für die disjunktive Normalform hat die folgende Schrittfolge.
Algorithmus von Quine-McClusky, disjunktive Form
(1) Ausgangspunkt ist die disjunktive Normalform der Booleschen Funktion. Es
werden nur diejenigen Zeilen betrachtet, deren Funktionswert 1 ist. Dies ist die
Tabelle zur Stufe 0. Setze Stufe = 0.
(2) Baue eine neue Tabelle für Zeilen auf (Stufe = Stufe + 1), die am Anfang noch
leer ist.
(3) Betrachte alle Paare von Zeilen in der Tabelle (Stufe - 1). Wenn sich die zwei
Zeilen nur an einer Stelle unterscheiden, dann bilde eine neue Zeile, die alle Werte
aus den beiden Quellzeilen übernimmt. An der Stelle, an der sich die beiden Zeilen
Version 7.2 - 005
115
6.3. Konstruktion der Normalformen
unterscheiden wird ein − gesetzt. Die beiden Quellzeilen werden abgehakt, als
Zeichen dafür, dass sie bereits verwendet wurden. Diese neue Zeile wird in die
Tabelle (Stufe) eingetragen.
(4) Lösche alle doppelte Zeilen in der Tabelle (Stufe).
(5) Wenn die Tabelle (Stufe) mehr als eine Zeilen enthält, dann gehe zurück zu
Schritt (2), ansonsten mit dem nächsten Schritt fortfahren.
(6) Wandle alle nicht abgehakten Zeilen aus allen Tabelle in eine Konjunktion um,
„1“ durch die Variable ersetzen, „0“ durch die Negation der Variablen und „-“
weglassen, die Elemente der Zeile mit der Konjunktion verbinden. Alle Zeilen mit
der Disjunktion verbinden.
A
1
1
1
1
0
0
0
0
B
1
1
0
0
1
1
0
0
C
1
0
1
0
1
0
1
0
f (A, B, C)
1
0
1
1
0
1
1
1
Tabelle 6.4.: Quine-McCluskey Boolesche Funktion
Für das nachfolgende Beispiel wird die Wertetabelle (siehe 6.4 als Ausgangsbasis
hergezogen. In dieser Tabelle ist die boolesche Funktion f in Abhängigkeit der
drei Variablen A, B und C angegeben. Hierbei steht wieder 1 beziehungsweise 0
für „in der Menge enthalten“ beziehungsweise „nicht in der Menge enthalten“. Für
Aussagen wäre es entsprechend „wahr“ oder „falsch“.
Zeile
0a
0b
0c
0d
0e
0f
A B
1 1
1 0
1 0
0 1
0 0
0 0
C
1
1
0
0
1
0
verwendet
√
√
√
√
√
√
Tabelle 6.5.: Quine-McCluskey Stufe 0, disjunktive Normalform
Ausgehend von der 0 − 1-Wertetabelle werden für diejenigen Zeilen, die sich nur
116
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
an einer Stelle unterscheiden, in dem die eine Zeile eine 0, die andere Zeile eine
1 hat, eine neue Zeile in einer neuen Tabelle (siehe Tabelle 6.6) erstellt, die an
dieser unterschiedlichen Stelle einen Strich (−) hat. In der Ursprungstabelle (siehe
Tabelle 6.5) erhält die Zeile einen Haken („verwendet“).
Stufe 1
Zeile entstand aus
1a
0a,0b
1b
0b,0c
1c
0b,0e
1d
0c,0f
1e
0d,0f
1f
0e,0f
A
1
1
0
0
B
0
0
0
0
verwendet
C
1
1
0
0
-
√
√
√
√
Tabelle 6.6.: Quine-McCluskey Stufe 1
Dieses Vorgehen setzt man fort. Beim nächsten Schritt (Stufe 2) werden wiederum
die Zeilen (aus Stufe 1) miteinander verglichen. Wenn sie sich nur an einer Stelle
unterscheiden, wobei diesmal als gleichen Zeichen neben der 0 und der 1 auch der
Strich (−) zählt. Doppelte Zeilen werden dabei eliminiert (siehe Tabelle 6.7)
Zeile entstand aus
2a
1b,1f
2b
1c,1d
A
-
B
0
0
C
-
Haken
Tabelle 6.7.: Quine-McCluskey Stufe 2
Die Zeilen 2a und 2b in der Stufe 2 (siehe Tabelle 6.7) sind identisch, somit kann
eine davon gelöscht werden. Diejenigen Zeilen (über alle Stufen), die keinen Haken haben, sind die Primteile der Darstellung. Die ursprüngliche Aussage in der
disjunktiven Normalform kann auch dargestellt werden durch
(A ∧ C) ∨ (A ∧ C) ∨(B)
(6.16)
(A ∧ C) ∨ (A ∧ C) ∨ (B)
(6.17)
(A ∩ C) ∪ (A ∩ C) ∪ (B)
(6.18)
eine etwas einfachere Form der Darstellung, aber nicht mehr disjunkt.
Bei der Bestimmung der konjunktiven Normalform können wir ähnlich vorgehen,
hier werden die Zeilen mit einer 1 in f (A, B, C) entfernt. Eine 1 wird durch die
Version 7.2 - 005
117
6.3. Konstruktion der Normalformen
Negation ersetzt, eine 0 durch das Element selbst. Anschließend werden die Elemente der Zeilen durch Disjunktion verbunden, so dass wir Max-Terme erhalten,
die abschließend durch Konjunktion verbunden werden.
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
f(A,B)
1
0
0
1
Tabelle 6.8.: Beispiel Max-Terme
In der Tabelle 6.8 ist ein Beispiel einer booleschen Funktion dargestellt. Die konjunktive Normalform dieser Funktion ist (dargestellt mittels Aussagen)
f (A, B) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ B)
(6.19)
Hinweis: Im Schritt drei des Algorithmus wird gesagt, dass alle Paare von Zeilen
betrachtet werden sollen. Dies geht auch etwas kürzer. Dazu werden die Min-Terme
in Klassen eingeteilt. Zwei Min-Terme gehören zur selben Klasse, wenn die Anzahl
der negativen Elemente gleich ist. Wenn es insgesamt n Terme gilt, dann gibt es
(maximal) n − 1 Klassen Ki . Dabei bezeichne i in Ki die Anzahl der negativen
Elemente. In der ersten Stufe sind dann nur die Terme aus benachbarten Klassen
zu vergleichen. In späteren Runden müssen dann auch nur Zeilen aus benachbarten
Klassen verglichen werden.
Einfaches Beispiel
Dazu ein Beispiel, welches aus Staab 2007 entnommen ist.
Gegeben sei die Boolesche Funktion f : B4 → B durch die Wertetabelle siehe
Tabelle 6.9.
In diesem Beispiel gibt es acht Min-Terme. Diese können in fünf Klassen gemäß
der Anzahl der negativen Elemente in den Min-Termen eingeteilt werden. Diese
Klassenaufteilung in in der Tabelle 6.10 dargestellt.
Es müssen nur die Paare aus benachbarten Klassen getestet werden, da ansonsten
die Unterschiede bei mehr als bei einem Element sind. Daraus ergeben sich neue
Klassen, die in der Tabelle 6.11
118
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
A B
0 0
0 0
0 1
1 0
1 0
1 1
1 1
1 1
C D
0 0
1 1
1 1
0 0
0 1
0 0
0 1
1 1
f(A,B,C,D)
1
1
1
1
1
1
1
1
Tabelle 6.9.: Beispiel mit vier Aussagen
Klasse
K0
K1
K2
K3
K4
Min-Term
A∧B ∧C ∧D
A∧B ∧C ∧D
A∧B ∧C ∧D
A∧B ∧C ∧D
A∧B ∧C ∧D
A∧B ∧C ∧D
A∧B ∧C ∧D
A∧B ∧C ∧D
Tabelle 6.10.: Beispiel mit vier Aussagen, Klassen, Stufe 0
Klasse
K0/1
K1/2
K2/3
K3/4
Min-Term
B ∧C ∧D
A∧B ∧D
A∧C ∧D
A∧C ∧D
A∧B ∧C
A∧B ∧C
A∧C ∧D
B ∧C ∧D
Tabelle 6.11.: Beispiel mit vier Aussagen, Klassen, Stufe 1
Version 7.2 - 005
119
6.3. Konstruktion der Normalformen
In der nächsten Stufe müssen wiederum benachbarte Klassen verglichen werden, ob
sich eine Verkürzung ergibt. Aus dem Vergleich der Klassen K1/2 und K2/3 ergibt
sich nur noch der Term A ∧ C. Damit ergibt sich die Disjunktive Normalform der
Booleschen Funktion
f (A, B, C, D) =(A ∧ B ∧ D) ∨(B ∧ C ∧ D) ∨(A ∧ C ∧ D)
(6.20)
∨(B ∧ C ∧ D) ∨(A ∧ C) .
Definition 6.3 (Primimplikanten, wesentliche Primimplikanten, unwesentliche
Primimplikanten). Die Terme, die beim Algorithmus von Quine-McClusky entstehen, die nicht mehr weiter vereinfacht, also durch Ausklammernung und Elementen, vereinfacht werden können, heißen Primimplikanten.
Ein Primimplikant, welches als einziges Primimplikant für das Erzeugen eines
Min-Terms verantwortlich ist heißt wesentliches Primimplikant . Alle andere
Primimplikanten heißen unwesentliches Primimplikanten .
Wenn ein wesentliches Primimplikant weggelassen wird, dann ändert sich die Boolesche Funktion wesentlich.
Es besteht nun die Aufgabe, die wesentlichen Primimplikanten zu erkennen. Dazu
wird eine Matrix (siehe Tabelle 6.12) erstellt, in der die gefundenen Primimplikanten ausgeführt werden (diese bilden die Zeilen) und die Min-Terme, welche die
Spalten bilden. Ein Kreuz bedeutet dabei, dass der Min-Term für das Entstehen
des Primimplikantes beteiligt war.
Min-Terme:
Primimplikant
A∧B ∧D
B ∧C ∧D
A∧C ∧D
B ∧C ∧D
A∧C
A
∧B
∧C
∧D
A
∧B
∧C
∧D
X
X
Tabelle 6.12.: Beispiel mit vier
Primimplikanten
120
A
∧B
∧C
∧D
A
∧B
∧C
∧D
A
∧B
∧C
∧D
A
∧B
∧C
∧D
A
∧B
∧C
∧D
A
∧B
∧C
∧D
X
X
X
X
X
X
X
Aussagen,
X
X
Tabelle
X
Min-Terme
und
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
Wenn in einer Spalte nur ein Kreuz ist, dann ist das dazugehörige Primimplikant
ein wesentliches Primimplikant, da das Kreuz nur durch das entsprechende Primimplikant erzeugt werden kann, nicht durch ein anderes. Daher sind in diesem
Beispiel die hinteren drei Primimplikanten wesentlich.
Die beiden ersten Primimplkanten in der Tabelle können für die ersten sieben
Min-Terme weggelassen werden. Nur für den letzten Min-Term werden die Primimplikanten benötigt, aber nur eines von beiden, um eine minimale disjunktive
Normalform zu erzeugen. Da beide Primimplikanten die gleiche Länge haben, ist
es egal, welches man nimmt. Ansonsten würde man das kürzere Verwendung. Als
minimale disjunktive Normalformen ergeben sich daher
f (A, B, C, D) = (A ∧ C ∧ D) ∨(B ∧ C ∧ D) ∨(A ∧ C) ∨(A ∧ B ∧ D)
(6.21)
f (A, B, C, D) = (A ∧ C ∧ D) ∨(B ∧ C ∧ D) ∨(A ∧ C) ∨(B ∧ C ∧ D)
(6.22)
oder
Größeres Beispiel
Hier ein etwas größeres Beispiel, mit neun Variablen. In einem Betrieb werden
verschiedene Produkte zusammen gebaut. Es gibt zwei verschiedene Gehäuse G1
und G2, drei verschiedene Baugruppen B1, B2 und B3 und vier verschiedene Zusatzkomponenten Z1, Z2, Z3 und Z4. Für den Zusammenbau gibt es verschiedene
Regeln, die zu beachten sind:
(1) Im Produkt ist genau ein Gehäuse enthalten.
(2) Im Produkt ist genau eine Baugruppe enthalten. (3) Jede Zusatzkomponente
kann entweder genau einmal eingebaut sein oder nicht.
(4) In das Gehäuse G1 können nur die Baugruppen B1 oder B2 eingebaut werden.
(5) In das Gehäuse G2 können nur die Baugruppen B2 oder B3 eingebaut werden.
(6) Wenn die Baugruppe B2 eingebaut ist, jedoch nicht im Gehäuse G1, dann
benötigt man die Zusatzkomponente Z2.
(7) Wenn die Baugruppe B1 oder B3 eingebaut wurde, dann benötigt man auch
die Zusatzkomponente Z1.
(8) Wenn das Gehäuse G1 mit der Baugruppe B1 oder das Gehäuse G2 mit der
Baugruppe B3 zusammengebaut wird, dann wird die Zusatzkomponente Z4 benötigt.
(9) Wenn das Gehäuse G2 mit der Baugruppe B3 zusammen gebaut wird, dann
darf die Zusatzkomponente Z2 nicht enthalten sein.
Diese Informationen können in logische Aussagen umgewandelt werden:
Version 7.2 - 005
121
6.4. KV-Diagramme
• (G1 ∨ G2) ∧ ¬(G1 ∧ G2) = G1 ∨ G2
• (B1 ∨ B2 ∨ B3) ∧ ¬(B1 ∧ B2) ∧ ¬(B1 ∧ B3) ∧ ¬(B2 ∧ B3)
• G1 → (B1 ∨ B2)
• G2 → (B2 ∨ B3)
• (G1 ∧ B2) → Z2
• (B1 ∨ B2) → Z1
• ((G1 ∧ B1) ∨ (G2 ∧ B3) → Z4
• (G2 ∧ B3) → Z2
Wir haben insgesamt neun verschiedene Objekte. Daher gibt es 29 = 512 verschiedene Möglichkeiten für die Belegung mit wahr (Objekt ist im Produkt) und f alsch
(Objekt ist nicht im Produkt). Die DNF enthält diejenigen Zeilen, die baubar sind.
Dies sind immerhin noch 30 Zeilen. Diese 30 Zeilen sind damit der Ausgangspunkt
des Algorithmus zur Bestimmung der Minimalform, die Stufe 0. Die Bearbeitung
des Algorithmus benötigt vier Stufen, um zu terminieren. Die Minimalform lautet:
(G1 ∧ G2 ∧ B1 ∧ B2 ∧ B3)
(6.23)
∨(G1 ∧ G2 ∧ B1 ∧ B2 ∧ B3 ∧ Z1 ∧ Z4)
∨(G1 ∧ G2 ∧ B1 ∧ B2 ∧ B3 ∧ Z2)
∨(G1 ∧ G2 ∧ B1 ∧ B2 ∧ B3 ∧ Z1 ∧ Z2 ∧ Z4)
Diese Minimalform kann in einem Programm umgesetzt werden, um zu prüfen, ob
eine Kombination von Bauteilen baubar ist oder nicht. In der Realität gibt es weit
mehr Komponenten und viel mehr Regeln.
6.4. KV-Diagramme
Für wenige Variablen kann die Ermittlung der disjunktiven Normalform einfach
gestaltet werden, dazu dient das Karnaugh-Veitch-Diagramm (KVD) . Es ist
übersichtlich für zwei, drei oder vier Variablen. Es wurde von dem amerikanische
Physiker und Informatiker Maurice Karnaugh (*1924) und dem amerikanischen
Informatiker Edward W. Veitch (*1924) in den 1950er Jahren entwickelt wurde.
122
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
Betrachten wir dies zuerst mit zwei Variablen. Dazu wird eine Boolesche Funktion
(Beispiel siehe Tabelle 6.13) umgewandelt in ein KVD (siehe Abbildung 6.2).
f (A, B)
0
1
0
1
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Tabelle 6.13.: Boolesche Funktion
Außen stehen die beiden Variablen und deren mögliche Belegung. Innen werden
die Funktionswerte notiert.
B
f(A,B):
0
0
A
1
1
0
2
1
3
Abbildung 6.2.: KV-Diagramm n = 2
Hierbei notieren wir nur die Funktionswerte 1. Leere Felder bedeuten Funktionswert 0. Wenn zwei 1er in benachbarten Feldern stehen, dann kann daraus durch
Ausklammern eine vereinfachte Form gefunden werden. Im zweiten Beispiel eines
KVD mit zwei Variablen (siehe Abbildungen 6.3) können zwei 2er-Blöcke identifiziert werden.
B
f(A,B):
1
0
A
1
1
0
2
1
3
Abbildung 6.3.: KV-Diagramm n = 2 a
Zum einen ist es die untere Zeile (entspricht B) und die linke Spalte (entspricht A).
Damit kann die DNF für diese Funktion sofort abgelesen werden, es ist A or B.
Version 7.2 - 005
123
6.4. KV-Diagramme
A
f(A,B,C):
B
C
0
1
5
4
2
3
7
6
Abbildung 6.4.: KV-Diagramm n = 3
B
f(A,B,C,D):
C
A
D
0
1
5
4
2
3
7
6
10
11
15
14
8
9
13
12
Abbildung 6.5.: KV-Diagramm n = 4
124
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
Für drei Variablen (siehe Abbildungen 6.4) und vier Variablen (siehe Abbildung
6.5) sind die KVDs noch übersichtlich.
Wichtig ist, dass sich zwischen benachbarten Feldern die Belegung nur an einer
Stelle unterscheiden. Somit sind 2er-Blöcke vorhanden, wenn benachbarte Felder
eine 1 beinhalten. Größere zusammenhängende Blöcke von Einsen können als 4er
Block oder als 8er Block zusammengefasst werden und durch Ausklammerung
gebildet werden. 4erBlöcke sind dabei Quadrate aus vier Elemente sein, wobei
die Tabellen so betrachtet werden, als wären die obere Zeile mit der unteren Zeile
verbunden und als wäre die rechten Elemente mit den linken Elementen verbunden.
Bei vier Variablen können auch die vier Eckpunkte gemeinsam einen 4er Block
bilden. Darüber hinaus können auch Zeilen (und bei vier Variablen auch Spalten)
einen 4er Block bilden.
Bei vier Variablen kann es auch 8er Blöcke geben. Dies sind dann zwei benachbarte
Zeilen oder zwei benachbarte Spalten.
Dazu einige Beispiele.
Für drei Variablen nehmen wir das Beispiel aus Tabelle 6.4. Mit diesem Beispiel
haben wir uns den Algorithmus von Quine-McClusky betrachtet. Zuerst bauen wir
das KVD auf (siehe Abbildung 6.6).
A
f(A,B,C):
C
1
0
B
1
1
1
2
1
5
0
3
1
4
1
7
0
6
Abbildung 6.6.: KV-Diagramm n = 3
Hier zeigt sich ein 4er Block, bestehend aus den Spalten 00 und 10. Dies entspricht
dem Term B. Weiter gibt es 2er Blöcke, die durch den 4er Block noch nicht vollständig abgedeckt sind. In der oberen Zeile die ersten beiden Elemente, entspricht
dem Term A ∧ C und in der unteren Zeile die letzten beiden Elemente, entspricht
dem Term A ∧ C. Daraus ergibt sich als DNF der Ausdruck,
(A ∧ C) ∨ (A ∧ C) ∨ B
(6.24)
wie wir es auch mit dem Algorithmus von Quine-McClusky gefunden haben.
Für vier Variablen betrachten wir das KVD in Abbildung 6.7
Version 7.2 - 005
125
6.5. Schaltnetze
B
f(A,B,C,D):
D
0
0
1
1
0
C
2
0
3
0
A
10
1
1
9
0
4
0
7
11
0
8
1
5
0
6
1
15
0
14
1
13
0
12
Abbildung 6.7.: KV-Diagramm n = 4, Beispiel
Hier sind zwei 4er Blöcke identifizierbar. Die zweite Zeile ist ein 4er Block, welcher
dem Term C ∧D entspricht. Das Quadrat von Einsen in den letzten beiden Spalten
ist ein weiterer 4er Block, welcher dem Term A ∧ D entspricht. Somit kann hier
die DNF
(A ∧ D) ∨ (C ∧ D)
(6.25)
abgelesen werden.
6.5. Schaltnetze
Eine boolesche Funktion f : Bn → B ist eine Abbildung mit n Eingängen und
einem Ausgang. An den Eingängen bedeutet „0“ kein Strom, offen und „1“ Strom,
geschlossen.
Definition 6.4 (Gatter). Ein Gatter oder Schaltgatter ist eine technische Realisierung einer logischen Schaltfunktion, welches Eingangssignale in Ausgangssignale umwandeln.
Wichtige Gatter habe spezielle Symbole, die im nachfolgenden aufgeführt sind. Die
Schaltsymbole sind nach der internationalen Norm IEC 60617 genormt.
Das NOT-Gatter (siehe Abbildung 6.8) repräsentiert die logische Operation
not.
Hier sind zwei Versionen hinterlegt, einmal mit und einmal ohne Kasten. Die Version ohne Kasten, stellt eine Negation dar, die noch öfters vorkommen wird.
126
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
1
Abbildung 6.8.: NOT-Gatter
Das AND-Gatter (siehe Abbildung 6.9) repräsentiert die logische Operation
and.
&
Abbildung 6.9.: AND-Gatter
Das OR-Gatter (siehe Abbildung 6.10) repräsentiert die logische Operation or.
≥1
Abbildung 6.10.: OR-Gatter
Das NOR-Gatter (siehe Abbildung 6.11) repräsentiert die logische Operation
nor. Die Operation nor entspricht der Operation not or. Dies ist in der Abbildung
zu sehen. Nach dem Symbol für das OR − Gatter kommt das (kleine) Zeichen für
die Negation.
Das NAND-Gatter (siehe Abbildung 6.12) repräsentiert die logische Operation
nand. Die Operation nand entspricht der Operation not and und dies ist wiederum
in der Abbildung zu sehen. Nach dem Symbol für ein AN D − Gatter ist die
Negation aufgeführt.
Das XOR-Gatter (siehe Abbildung 6.13) repräsentiert die logische Operation
xor.
Das sind die wichtigen Gatter, aus denen man Schaltnetze bauen kann.
Als erstes werden wir einen Halbaddierer zusammen stellen. Ein Halbaddierer
addiert zwei Bit-Werte und gibt den Stellenwert und den Übertrag aus. Es gibt
zwei Eingänge, die mit a und b bezeichnet werden. Hier kommt dann jeweils das
Eingangssignal „Strom = 1“ oder „kein Strom = 0“ an. Es gibt zwei Ausgänge,
der Stellenwert s und der Übertrag c.
Version 7.2 - 005
127
6.5. Schaltnetze
≥1
Abbildung 6.11.: NOR-Gatter
&
Abbildung 6.12.: NAND-Gatter
=1
Abbildung 6.13.: XOR-Gatter
a
0
0
1
1
b s = f1 (a, b) c = f2 (a, b)
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
Tabelle 6.14.: Schalttabelle Halbaddierer
128
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
Die Schalttabelle für den Halbaddierer ist in Tabelle 6.14 hinterlegt. Die Funktion f1 (a, b) entspricht der xor-Funktion, die Funktion f2 (a, b) entspricht der andFunktion. Daher kann der Halbaddierer mit einem AN D-Gatter und einem XORGatter erstellt werden (siehe Abbildung 6.14).
a
=1
b
&
s
c
Abbildung 6.14.: Halbaddierer
Werden andere Gatter, die zur Verfügung stehen, verwendet, dann sieht der Halbaddierer intern anders aus, die äußere Gestalt sieht identisch aus. Beispielsweise
kann ein Halbaddierer alleine mit Hilfe von N AN D − Gattern oder mit Hilfe von
N OR − Gattern realisiert werden. Wenn jetzt ein Halbaddierer verwendet wird,
dann verwenden wir ein spezielles Symbol für den Halbaddierer (siehe Abbildung
6.15)
a
b
HA
s
c
Abbildung 6.15.: Halbaddierer (Symbol)
Für die Addition von n-bit Zahlen, werden neben den Stellen auch Überträge aus
vorherigen Addition berücksichtigt. Somit haben wir für jede Stelle drei Eingänge
(die beiden Stellen der Eingabezahlen und der Übertrag aus der vorherigen Stelle)
und zwei Ausgänge (der Stellenwert und der Übertrag zur nächsten Stelle). Die
Schalttabelle für den Volladdierer ist in Tabelle 6.15 hinterlegt.
Ein Volladdierer kann mit Hilfe von zwei Halbaddierern und einem OR-Gatter
realisiert werden (siehe Abbildung 6.16).
Andere (auch kompaktere Möglichkeiten) der Umsetzung sind möglich. Hierzu
werden andere Gatter verwendet. Dies wird hier nicht genauer dargestellt. Ein
Volladdierer wird mit Hilfe eines Symbols dargestellt (siehe Abbildung 6.17). Ein
Volladdierer hat drei Eingänge und zwei Ausgänge.
Version 7.2 - 005
129
6.5. Schaltnetze
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b c1
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
s = f1 (a, b, c1 )
0
1
1
0
1
0
0
1
c2 = f2 (a, b, c1 )
0
0
0
1
0
1
1
1
Tabelle 6.15.: Schalttabelle Volladdierer
c1
a
b
s
HA c
s
c2
HA c
≥1
Abbildung 6.16.: Volladdierer
c1
a
b
s
VA
c2
Abbildung 6.17.: Volladdierer (Symbol)
130
Version 7.2 - 005
Kapitel 6. Boolesche Algebren
Ein n-Bit-Addierer kann nun aus (n − 1)-Volladdierern und einem Halbaddierer
zusammen gebaut werden. Für die erste Stelle wird der Halbaddierer verwendet
(da gibt es noch keinen Übertrag). Wenn der Übertrag vom letzten Volladdierer
(die höchste Stelle) ungleich 0 ist, dann hat die n-Bit-Addition einen Überlauf
erzeugt.
Näher gehe ich auf Schaltnetze nicht ein.
6.6. Aufgaben
Aufgabe 6.1. Die boolesche Funktion f sei durch die folgende Wertetabelle gegeben:
A B f (A, B)
1 1
1
1 0
1
0 1
0
0 0
1
(a) Veranschaulichen Sie sich die Funktion an Hand eines Mengendiagramms.
(b) Bestimmen Sie die disjunktive Normalform von f .
(c) Bestimmen Sie die konjunktive Normalform von f .
Aufgabe 6.2. Es seien A, B und C Teilmengen einer Menge M . Bestimmen Sie
die disjunktive Normalform von {M (A ∪ B ∪ C) ∪ ({M (A) ∩ B ∩ C).
Aufgabe
ben:
A B
1 1
1 1
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0
0 0
6.3. Die boolesche Funktion f sei durch die folgende Wertetabelle gegeC
1
0
1
0
1
0
1
0
f (A, B, C)
1
1
0
1
1
0
0
1
(a) Veranschaulichen Sie sich die Funktion an Hand eines Mengendiagrammes.
Version 7.2 - 005
131
6.6. Aufgaben
(b) Bestimmen Sie die disjunktive Normalform von f .
(c) Minimieren Sie die disjunktive Normalform von f .
(d) Bestimmen Sie die konjunktive Normalform von f .
(e) Minimieren Sie die konjunktive Normalform von f .
132
Version 7.2 - 005
Anhang L.
Lösungen der Aufgaben
Hier sind die Lösungen der Aufgaben aus dem Skript.
Version 7.2 - 005
133
L.1. Aussagen
L.1. Aussagen
Lösung L.1.1. Es werden die Wahrheitstabellen erstellt.
A B
w w
w w
w f
w f
f w
f w
f f
f f
A B
w w
w w
w f
w f
f w
f w
f f
f f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
A B
w w
w w
w f
w f
f w
f w
f f
f f
134
C
w
f
w
f
w
f
w
f
D=
A ∧ ¬B
f
f
w
w
f
f
f
f
1.
E=
A→D
w
w
w
f
w
w
w
w
2.
C
w
f
w
f
w
f
w
f
D∨E
f
f
w
w
w
f
w
f
2.
D=
B∨C
w
w
w
f
w
w
w
f
1.
D=
A∧B
w
w
f
f
f
f
f
f
1.
E =
¬A ∧ C
f
f
f
f
w
f
w
f
1.
E∧F
w
w
w
f
w
w
f
f
3.
D↔E
w
w
f
w
f
f
f
w
2.
F =
A∨B
w
w
w
w
w
w
f
f
1.
E=
B∨C
w
w
w
f
w
w
w
f
1.
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
A B
w w
w w
w f
w f
f w
f w
f f
f f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
E=
D=
¬D A → B
f
w
f
w
w
f
w
f
f
w
f
w
f
w
f
w
2.
1.
E∨F
w
f
w
w
w
f
f
f
3.
F =
B∧C
w
f
f
f
w
f
f
f
1.
Lösung L.1.2. Es wird die Wahrheitstabelle erstellt.
A B
w w
w w
w f
w f
f w
f w
f f
f f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
(A ∧ B)
∨C
w
w
w
f
w
f
w
f
A∧
(B ∨ C)
w
w
w
f
f
f
f
f
(A ∨ B)
A∨
∧C
(B ∧ C)
w
w
f
w
w
w
f
w
w
w
f
f
f
f
f
f
Lösung L.1.3.
Lösung L.1.4.
Lösung L.1.5. Es werden äquivalente Umformungen durchgeführt.
=
=
A∧ A
¬(A ∧ A)
¬A
=
=
=
(A ∧ B) ∧(A ∧ B)
¬(¬(A ∧ B) ∧ ¬(A ∧ B))
(A ∧ B) ∨ (A ∧ B)
Regel von de Morgan
A∧B
Version 7.2 - 005
135
L.1. Aussagen
=
=
=
(A ∧ A) ∧(B ∧ B)
¬(¬(A ∧ A) ∧ ¬(B ∧ B))
¬(¬A ∧ ¬B)
A∨B
Regel von de Morgan
Wegen (A → B) = (¬A ∨ B) und den oben aufgeführten Nachweisen, ist auch die
Implikation allein mit ∧ darstellbar.
Lösung L.1.6. Es werden äquivalente Umformungen durchgeführt.
=
=
A∨A
¬(A ∨ A)
¬A
=
=
=
(A ∨ A) ∨(B ∨ B)
¬(¬(A ∨ A) ∨ ¬(B ∨ B))
¬(¬A ∨ ¬B)
(A ∧ B)
Regel von de Morgan
=
=
=
(A ∨ B) ∨(A ∨ B)
¬(¬(A ∨ B) ∨ ¬(A ∨ B))
((A ∨ B) ∧ (A ∨ B))
Regel von de Morgan
A∨B
Wegen (A → B) = (¬A ∨ B) und den oben aufgeführten Nachweisen, ist auch die
Implikation allein mit „∨“ darstellbar.
Lösung L.1.7. Es werden äquivalente Umformungen durchgeführt.
A→B
⇔
¬A ∨ B
⇔
doppelte Verneinung
¬A ∨ ¬(¬B)
⇔
kommutativ
¬(¬B) ∨ ¬A
⇔
¬B → ¬A
136
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
Lösung L.1.8. Es werden äquivalente Umformungen durchgeführt.
(A → B) ∧ A ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
(¬A ∨ B) ∧ A
(¬A ∧ A) ∨ (B ∧ A))
f alse ∨ (B ∧ A)
(B ∧ A)
B
Lösung L.1.9. (a)
A
w
w
f
f
A⇒B
w
f
w
w
B
w
f
w
f
¬A ∨ B
w
f
w
w
(b)
A↔B
⇔
(A → B) ∧ (B → A)
⇔
(a)
(¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A)
⇔
Distributivgesetz
[¬A ∧ (¬B ∨ A)]∨
[B ∧ (¬B ∨ A)]
⇔
Distributivgesetz
[¬A ∧ ¬B] ∨ [¬A ∧ A]∨
[B ∧ ¬B] ∨ [A ∧ B]
⇔
Satz vom ausgeschlossenen Dritten
[¬A ∧ ¬B] ∨ [A ∧ B]
(c)
A B
w w
w f
f w
f f
Version 7.2 - 005
A⇔B
w
f
f
w
1.
¬
w
f
f
w
2.
(A ∨ B)
f
w
w
f
1.
137
L.1. Aussagen
(d)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∨B
f
f
f
w
1.
¬
f
f
f
w
2.
(A ∨ B)
w
w
w
f
1.
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧B
f
w
w
w
1.
¬
f
w
w
w
2.
(A ∧ B)
w
f
f
f
1.
(e)
Lösung L.1.10. (splitten)
[(A ∨ B) → C] ↔ [(A → C) ∧ (B → C)]
(A ∨ B) → C
⇔
¬(A ∨ B) ∨ C
⇔
Regel von de Morgan
(¬A ∧ ¬B) ∨ C
⇔
Distributivgesetz
(¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ C)
⇔
(A → C) ∧ (B → C)
(verschieben)
138
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
[(A ∧ B) → C)] ↔ [A → (¬B ∨ C)]
(A ∧ B) → C
⇔
¬(A ∧ B) ∨ C
⇔
Regel von de Morgan
(¬A ∨ ¬B) ∨ C
⇔
Assoziativgesetz
¬A ∨ (¬B ∨ C)
⇔
A → (¬B ∨ C)
(tauschen)
[(A ∧ B) → C)] ↔ [(A ∧ ¬C) → ¬B]
(A ∧ B) → C
⇔
A → (¬B ∨ C)
⇔
(A ∧ ¬C) → ¬B
(aggregieren)
[(A → B) ∧ (A → C)] ↔ [A → (B ∧ C)]
(A → B) ∧ (A → C)
⇔
(¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C)
⇔
Distributivgesetz
¬A ∨ (B ∧ C)
⇔
A → (B ∧ C)
Lösung L.1.11. Induktionsbeginn: Für n = 1 ist die Aussage wahr:
1
X
i=1
i2 = 1 =
1(1 + 1)(2 · 1 + 1)
6
Induktionsannahme: die Aussage gilt für n
Version 7.2 - 005
139
L.1. Aussagen
Induktionsschritt von n auf n + 1:
n+1
X
i2 =
i=1
n
X
i2 + (n + 1)2
i=1
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
6
=
Beim mittleren Gleichheitszeichen wurde die Induktionsannahme verwendet.
140
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
L.2. Mengen
Lösung L.2.1. (a) A = {3}
(b) B = {2, −2}
(c) C = {−2}
(d) D = {−3, 9}
(e) E = ∅
Lösung L.2.2. P(A) = {∅, A}
P(B) = {∅, {a}, {b}, B}
P(C) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, C}
Lösung L.2.3. Es ist zu zeigen, dass jedes Element der Potenzmenge von M auch
ein Element der Potenzmenge von N ist. Es ist somit zu zeigen
T ∈ P(M ) → T ∈ P(N )
gemäß der Definition der Teilmenge.
T ∈ P(M )
⇒
Definition Potenzmenge
T ⊆M
⇒
Transitivität (T ⊆ M ⊆ N )
T ⊆N
⇒
Definition Potenzmenge
T ∈ P(N )
Lösung L.2.4. Es ist die gegenseitige Teimengenbeziehung nachzuweisen, also
T ∈ P(M ) ∩ P(N ) ⇒ T ∈ P(M ∩ N )
und
T ∈ P(M ∩ N ) ⇒ T ∈ P(M ) ∩ P(N ) .
T ∈ P(M ) ∩ P(N )
⇔
Definition Durchschnitt
T ∈ P(M ) ∧ T ∈ P(N )
⇔
Definition Potenzmenge
(T ⊆ M ) ∧ (T ⊆ N )
⇔
Transitivität
T ⊆M ∩N
⇔
Definition Potenzmenge
T ∈ P(M ∩ N )
Version 7.2 - 005
141
L.2. Mengen
Lösung L.2.5. Es ist die Teilmengenbeziehung zu zeigen:
T ∈ P(M ) ∪ P(N ) → T ∈ P(M ∪ N ) .
T ∈ P(M ) ∪ P(N )
⇒
Definition Vereinigung
T ∈ P(M ) ∨ T ∈ P(N )
⇒
Definition Potenzmenge
(T ⊆ M ) ∨ (T ⊆ N )
⇒
Transitivität T ⊆ M ⊆ M ∪ N
Transitivität T ⊆ N ⊆ M ∪ N
T ⊆M ∪N
⇒
Definition Potenzmenge
T ∈ P(M ∪ N )
Mit M = {1, 2}, N = {3, 4} und T = {2, 3} erhält man ein Beispiel dafür, dass
die Gegenrichtung nicht gilt, denn T ∈ P(M ∪ N ), jedoch T 6∈ P(M ) ∪ P(N ).
Lösung L.2.6. Es werden die Definitionen von Differenz, Komplement und Durchschnitt eingesetzt.
A\B
= {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈
/ B)}
Definition Differenz
= {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ {G (B))}
Definition Komplement
= A ∩ {G (B)
Definition Durchschnitt
Lösung L.2.7. Bei diesem Beweis werden Schritt für Schritt Definitionen und
bekannte Aussagen eingesetzt
142
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
A4B
=
Definition symmetrische Differenz
(A\B) + (B\A)
=
Aufgabe 2.6
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
=
Distributivgesetz mehrmals
(A ∪ B) ∩ (A ∪ A)
∩(B ∪ B) ∩ (A ∪ B)
X ∪X =G
=
(A ∪ B) ∩ G ∩ G ∩ (A ∪ B)
X ∩G=X
=
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B)
=
Regel von de Morgan
(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)
=
Aufgabe 2.6
(A ∪ B)\(A ∩ B)
Lösung L.2.8. Hier werden schrittweise Umformungen durchgeführt indem vorhandenen Definitionen ausgenutzt werden, um die Behauptung in die Aussagenlogik
zu übertragen. Dort haben wir die Regel von de Morgan bereits bewiesen.
Version 7.2 - 005
143
L.2. Mengen
x ∈ {G (M ∩ N )
⇔
(Definition Komplement)
(x ∈ G) ∧ (x ∈
/ (M ∩ N ))
⇔
(Definition Negation)
(x ∈ G) ∧ ¬(x ∈ (M ∩ N ))
⇔
(Definition Durchschnitt)
(x ∈ G)∧
¬((x ∈ M ) ∧ (x ∈ N ))
⇔
(Aussagenlogik Satz von de Morgan)
(x ∈ G)∧
((¬(x ∈ M )) ∨ (¬(x ∈ N )))
⇔
(Distributivgesetz)
((x ∈ G) ∧ (¬(x ∈ M )))
∨((x ∈ G) ∧ (¬(x ∈ N )))
⇔
(Definition Negation)
((x ∈ G) ∧ (x ∈
/ M ))
∨((x ∈ G) ∧ (x ∈
/ N ))
⇔
(Definition des Komplements)
(x ∈ {G (M ) ∨ (x ∈ {G (N ))
⇔
(Definition Vereinigung)
x ∈ {G (M ) ∪ {G (N )
Lösung L.2.9. (a) M ∩ N = {4, 9}
(b) M ∪ N = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
(c) M \N = {2, 3, 7}
(d) N \M = {1, 5}
(e) {G (M ) = {1, 5, 6, 8}
(f) {G (N ) = {2, 3, 6, 7, 8}
(g) M ∆N = {1, 2, 3, 5, 7}
Lösung L.2.10. (a) A ∩ B = {2}
(b) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11}
(c) A\CG (B) = {2}
(d) B\A = {3, 5, 7, 11}
(e) C = {6, 10}
144
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
Lösung L.2.11. Behauptung: Ti ∩ Tj = Tk mit k = kgV (i, j), (kgV = kleinstes
gemeinsames Vielfaches)
Zu zeigen ist die gegenseitige Teilmengenbeziehung zwischen Ti ∩ Tj und Tk , also
x ∈ Ti ∩ Tj ⇔ x ∈ Tk
⇔
⇔
⇔
⇔
x ∈ Ti ∩ Tj
x ∈ Ti ∧ x ∈ Tj
(i|x) ∧ (j|x)
k = kgV (i, j)|x
x ∈ Tk
Lösung L.2.12. Für den Beweis wird insbesondere die Definition des kartesischen
Produkts, aber auch die Regeln der Mengenarithmetik verwendet.
(a)
(a, b) ∈ X × (Y ∩ Z)
⇔
kartesisches Produkt
(a ∈ X) ∧ (b ∈ Y ∩ Z)
⇔
Definition Durchschnitt
(a ∈ X) ∧ ((b ∈ Y ) ∧ (b ∈ Z))
⇔
Assoziativgesetz
A∧A=A
(a ∈ X) ∧ (b ∈ Y ) ∧ (a ∈ X) ∧ (b ∈ Z)
⇔
kartesisches Produkt
((a, b) ∈ X × Y ) ∧ ((a, b) ∈ X × Z)
⇔
Definition Durchschnitt
((a, b) ∈ (X × Y ) ∩ (X × Z)
(b)
(a, b) ∈ X × (Y ∪ Z)
⇔
kartesisches Produkt
(a ∈ X) ∧ (b ∈ Y ∪ Z)
⇔
Definition Vereinigung
(a ∈ X) ∧ ((b ∈ Y ) ∨ (b ∈ Z))
⇔
Distributivgesetz
((a ∈ X) ∧ (b ∈ Y )) ∨ ((a ∈ X) ∧ (b ∈ Z))
⇔
kartesisches Produkt
((a, b) ∈ X × Y ) ∨ ((a, b) ∈ X × Z)
⇔
Definition Vereinigung
((a, b) ∈ (X × Y ) ∪ (X × Z)
Version 7.2 - 005
145
L.2. Mengen
Lösung L.2.13. (a) Für den Beweis werden schrittweise Definitionen und bekannte Regeln eingesetzt.
(x1 , x2 ) ∈ (X1 × X2 ) ∩ (Y1 × Y2 )
⇔
Definition Durchschnitt
(x1 , x2 ) ∈ (X1 × X2 )
∧ (x1 , x2 ) ∈ (Y1 × Y2 )
⇔
kartesisches Produkt
[(x1 ∈ X1 ) ∧ (x2 ∈ X2 )]
∧ [(x1 ∈ Y1 ) ∧ (x2 ∈ Y2 )]
⇔
Assoziativgesetz
[(x1 ∈ X1 ) ∧ (x1 ∈ Y1 )]
∧ [(x2 ∈ X2 ) ∧ (x2 ∈ Y2 )]
⇔
Definition Durchschnitt
[(x1 ∈ X1 ∩ Y1 )]
∧ [(x2 ∈ X2 ∩ Y2 )]
⇔
kartesisches Produkt
(x1 , x2 ) ∈ (X1 ∩ Y1 ) × (X2 ∩ Y2 )
Daraus ergibt sich die gegenseitige Teilmengenbeziehung und daher die Identität
der Mengen.
(b) Hier wird nicht bei jedem Teilschritt die beidseitige Folgerung funktionieren.
146
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
(x1 , x2 ) ∈ (X1 × X2 ) ∪ (Y1 × Y2 )
⇔
Definition Vereinigung
(x1 , x2 ) ∈ (X1 × X2 )
∨ (x1 , x2 ) ∈ (Y1 × Y2 )
⇔
kartesisches Produkt
[(x1 ∈ X1 ) ∧ (x2 ∈ X2 )]
∨ [(x1 ∈ Y1 ) ∧ (x2 ∈ Y2 )]
⇔
Distributivgesetz
[(x1
∧ [(x1
∧ [(x2
∧ [(x2
∈ X1 ) ∨ (x1
∈ X1 ) ∨ (x2
∈ X2 ) ∨ (x1
∈ X2 ) ∨ (x2
∈ Y1 )]
∈ Y2 )]
∈ Y1 )]
∈ Y2 )]
⇒
Bedingungen weglassen
[(x1 ∈ X1 ) ∨ (x1 ∈ Y1 )]
∧ [(x2 ∈ X2 ) ∨ (x2 ∈ Y2 )]
⇔
Definition Vereinigung
(x1 ∈ X1 ∪ Y1 ) ∧ (x2 ∈ X2 ∪ Y2 )
⇔
kartesisches Produkt
(x1 , x2 ) ∈ (X1 ∪ Y1 ) × (X2 ∪ Y2 )
Daraus ergibt sich (X1 × X2 ) ∪ (Y1 × Y2 ) ⊆ (X1 ∪ Y1 ) × (X2 ∪ Y2 ).
(c) Die Umkehrung gilt nicht, was mit dem Beispiel X1 = {a}, Y1 = {b}, X2 = {1}
und Y2 = {2} gezeigt werden kann. Das Tupel (a, 2) ist im kartesischen Produkt
der Vereinigungen, jedoch nicht in der Vereinigung der kartesischen Produkte.
Lösung L.2.14. Zu zeigen ist, dass jedes Element auf X1 × X2 auch Element in
Y1 × Y2 gilt. Sei dazu (a, b) ∈ (X1 × Y1 ). Dann gilt auf Grund der Defintion des
kartesischen Produkts a ∈ X1 und b ∈ Y1 . Da die Teilmengenbeziehungen X1 ⊆ X2
und Y1 ⊆ Y2 gelten folgt daraus a ∈ X2 und b ∈ Y2 und damit (a, b) ∈ (X2 × Y2 ) .
Version 7.2 - 005
147
L.3. Relationen
L.3. Relationen
Lösung L.3.1. Da die Relation R symmetrisch ist, gilt für alle 2-Tupel (x, y) ∈ R,
dass auch für das 2-Tupel (y, x) gilt, dass (y, x) ∈ R ist. Da nun wiederum die
Relation auch antisymmetrisch ist, gilt somit, da sowohl (x, y) als auch (y, x) in der
Relation sind, dass dann x = y gilt. Somit ist die Relation die „Gleichheitsrelation“.
R = {(x, y) | x = y}
Lösung L.3.2. reflexiv: ∀x ∈ R : x ≤ x → ∀x ∈ R : (x, x) ∈ R≤
antisymmetrisch: Seien (x, y) ∈ R≤ und (y, x) ∈ R≤ ⇒ x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y
transitiv: Seien (x, y) ∈ R≤ und (y, z) ∈ R≤ → x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z →
(x, z) ∈ R≤
vollständig: ∀x, y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x → (x, y) ∈ R≤ ∨ (y, x) ∈ R≤
Lösung L.3.3. reflexiv: ∀U ∈ P(M ) : U ⊆ U → ∀U ∈ P(M ) : (U, U ) ∈ P(M )
antisymmetrisch: Seien (U, V ) ∈ P(M ) und (V, U ) ∈ P(M ) → U ⊆ V ∧ V ⊆ U
⇒U =V
transitiv: Seien (U, V ) ∈ P(M ) und (V, W ) ∈ P(M ) → U ⊆ V ∧ V ⊆ W →
U ⊆ W → (U, W ) ∈ P(M )
vollständig: Es seien M = {a, b}, A = {a} und B = {b}. Es gilt weder A ⊆ B
noch B ⊆ A.
Lösung L.3.4. (a) ∀n ∈ N
• ∀x ∈ Z:
x − x = 0 → n|(x − x) → (x, x) ∈ Rn
⇒ reflexiv
• ∀x, y ∈ Z:
(x, y) ∈ Rn → n|(x − y) → n|(y − x) → (y, x) ∈ Rn
⇒ symmetrisch
• ∀x, y, z ∈ Z:
(x, y) ∈ Rn ∧ (y, z) ∈ Rn → n|(x − y) ∧ n|(y − z) → n|(x − y) + (y − z) →
n|(x − z) → (x, z) ∈ Rn
⇒ transitiv
148
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
(b) Es sei A = {z ∈ Z | ∃x ∈ Z : z = xn + i}. Dann gelten
z ∈ [i] ↔ (z, i) ∈ Rn ↔ n|(z − i) ↔ ∃x ∈ Z : xn = z − i ↔ ∃x ∈ Z : z = xn + i
↔z∈A
⇒ Damit gilt sowohl [i] ⊆ A und A ⊆ [i], so dass die Gleichheit gilt.
Da die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, ist es eine Äquivalenzrelation.
(c)
n=2
+
0
1
0
0
1
1
1
0
·
0
1
0
0
0
1
0
1
·
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
·
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
·
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
n=3
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
n=4
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
n=5
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
4
4
0
1
2
3
4
0
4
3
2
1
n=6
Version 7.2 - 005
149
L.3. Relationen
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
·
0
1
2
3
4
5
5
5
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
Lösung L.3.5. Vorbemerkung: Im folgenden seien stets a, b, c, d, e und f ∈ N
und die Rechenregeln für die natürlichen Zahlen werden angewendet. Des weiteren
gilt:
x ∈ M ⇔ ∃a, b ∈ N : x = (a, b)
Um nachzuweisen, dass die Relation eine Äquivalenzrelation ist, muss nachgewiesen werden, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
∀a, b ∈ Na + b = a + b ⇒ (a, b) ∼ (a, b) → ∀x ∈ M : x ∼ x
=⇒ reflexiv
(a, b) ∼ (c, d) ⇒ a + d = b + c ⇒ c + b = d + a ⇒ (c, d) ∼ (a, b)
=⇒ symmetrisch
(a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a + d = b + c) ∧ (c + f = d + e)
⇒ a + d + c + f = b + c + d + e ⇒ a + f = b + e ⇒ (a, b) ∼ (e, f )
=⇒ transitiv
[(1, 1)] = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), . . .}
[(2, 1)] = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), . . .}
[(1, 2)] = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), . . .}
∼
=0
∼
=1
∼
= -1
Lösung L.3.6.
• ∀x, y ∈ R : xy = xy → (x, y) ∼ (x, y) ⇒ die Relation ist reflexiv.
• (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) → x1 y2 = x2 y1 → x2 y1 = x1 y2 → (x2 , y2 ) ∼ (x1 , y1 ) ⇒
die Relation ist symmetrisch
• (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) and (x2 , y2 ) ∼ (x3 , y3 ) → x1 y2 = x2 y1 and x2 y3 = x3 y2 →
x1 y2 x2 y3 = x2 y1 x3 y2 → x1 y3 = x3 y1 → (x1 , y1 ) ∼ (x3 , y3 ) → die Relation ist
transitiv
Ist x2 = 0 , dann gilt y2 6= 0 und damit muss x1 = 0 und ebenso x3 = 0
gelten. Wenn y2 = 0 gilt, dann folgt daraus y1 = 0 und y3 = 0:
150
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
⇒ die Relation ist eine Äquivalenzrelation
[(0, 1)] = {(x, y)|(x, y) ∼ (0, 1)} = {(0, y)|y ∈ R× }
[(1, 0)] = {(x, 0)|x ∈ R× }
[(1, 1)] = {(x, x)|x ∈ R× }
[(1, a)] = {(x, ax)|x ∈ R× }
Lösung L.3.7.
• ∀x ∈ R : x ≤ x → (x, x) ∈ R
⇒ reflexiv
• (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y
⇒ antisymmetrisch
• (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z → (x, z) ∈ R
⇒ transitiv
Da die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, ist es eine Ordnungsrelation.
Lösung L.3.8.
(a) M = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8),
(5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9)}
(b)
• ∀x ∈ M : x|x → (x, x) ∈ R
⇒ reflexiv
• (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x|y and y|x → x = y
⇒ antisymmetrisch
• (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → x|y ∧ y|z → x|z → (x, z) ∈ R
⇒ transitiv
Da die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, ist es eine Ordnungsrelation.
(c)
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151
L.3. Relationen
9
8
7
6
4
5
AA
A
A
3
2
(d) 2|4 → (2, 4) ∈ R, jedoch (4, 2) ∈
/ R, da 4 kein Teiler von 2 ist.
Lösung L.3.9. T2 = {1, 2}, T3 = {1, 3}, T4 = {1, 2, 4}, T6 = {1, 2, 3, 6}, T1 2 =
{1, 2, 3, 4, 6, 12}, T2 4 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24},
Lösung L.3.10. Übung
Lösung L.3.11. (a) A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18}
(b)
8
12
@
@
18
@
@
4
@
@
6
@
@
9
@
@
3
2
@
@
1
(c) minimales Element = kleinstes Element = 1
maximale Element: 8, 12, 18; größtes Element existiert nicht
(d) Infimum = 1; Supremum = 72
Lösung L.3.12. (a) A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}
(b)
152
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
12
@
@
4
@
@
18
@
@
6
@
@
2
@
@
9
3
1
(c) minimales Element = kleinstes Element = 1
maximale Element: 12, 18; größtes Element existiert nicht
(d) Infimum = 1; Supremum = 36
Lösung L.3.13. (a) A = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36}
(c) maxEl(A) = {24, 27, 36}, minEl(A) = {3, 4}, größtes und kleinstes Element
existiert nicht.
(d) sup(A) = 216, inf (A) = 1
Lösung L.3.14. (a) A = {10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90}
(c) maxEl(A) = {40, 60, 72, 90}, minEl(A) = {10, 12, 15, 18}, größtes und kleinstes Element existiert nicht.
(d) sup(A) = 360, inf (A) = 1
Lösung L.3.15. (a)
∀x1 , x2 ∈ R: (x1 ≤ x1 ) ∧ (x2 ≤ x2 )
→ (x1 , x2 ) w (x1 , x2 )
⇒ die Relation ist reflexiv
(x1 , x2 ) w (y1 , y2 ) ∧ (y1 , y2 ) w (x1 , x2 )
→ (x1 ≤ y1 ) ∧ (y2 ≤ x2 ) ∧ (y1 ≤ x1 ) ∧ (x2 ≤ y2 )
→ x1 = y 1 ∧ x2 = y 2
→ (x1 , x2 ) = (y1 , y2 )
⇒ die Relation ist antisymmetrisch
(x1 , x2 ) w (y1 , y2 ) ∧ (y1 , y2 ) w (z1 , z2 )
→ (x1 ≤ y1 ) ∧ (y2 ≤ x2 ) ∧ (y1 ≤ z1 ) ∧ (z2 ≤ y2 )
→ (x1 ≤ z1 ) ∧ (z2 ≤ x2 )
→ (x1 , x2 ) w (z1 , z2 )
⇒ die Relation ist transitiv
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153
L.3. Relationen
⇒ die Relation ist eine Ordnungsrelation!
(b) (1,2) 6w (2,3), (2,3) 6w (1,2).
154
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
L.4. Abbildungen
Lösung L.4.1.
(a)
a∈A
→ f (a) ∈ f (A)
→ a ∈ {x ∈ X|f (x) ∈ f (A)} = f −1 (f (A))
⇒
A ⊆ f −1 (f (A))
(b)
→
→
→
→
⇒
a ∈ f −1 (f (A)) = {x ∈ X|f (x) ∈ f (A)}
f (a) ∈ f (A) = {y ∈ Y |∃x ∈ A : f (x) = y}
∃x ∈ A : f (x) = f (a)
x = a (da f injektiv)
a∈A
f −1 (f (A)) ⊆ A
(c) Auf Grund der Definitionen gelten f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} und damit
auch f (f −1 (B)) = {y ∈ Y | ∃a ∈ f −1 (B) : f (a) = y}
b ∈ f (f −1 (B))
→ ∃a ∈ f −1 (B) : f (a) = b
→ b = f (a) ∈ B
, da a ∈ f −1 (B) = {x ∈ A | f (x) ∈ B}
−1
⇒
f (f (B)) ⊆ B
(d) Es sei b ∈ B. f surjektiv ⇒ ∃a ∈ X : f (a) = b ∈ B ⇒ a ∈ f −1 (B) ⇒
b = f (a) ∈ f (f −1 (B)).
Lösung L.4.2.
(a) y ∈ f (A ∩ B)
⇒
⇒
⇒
⇒
(b)
y ∈ f (A ∪ B)
⇔
⇔
⇔
⇔
∃x ∈ A ∩ B : f (x) = y
∃x ∈ A : f (x) = y ∧ ∃x ∈ B : f (x) = y
y ∈ f (A) ∧ y ∈ f (B)
y ∈ f (A) ∩ f (B)
∃x ∈ A ∪ B : f (x) = y
∃x1 ∈ A : f (x1 ) = y ∨ ∃x2 ∈ B : f (x2 ) = y
y ∈ f (A) ∨ y ∈ f (B)
y ∈ f (A) ∪ f (B)
(c) Es sei f : R → R, x 7→ x2 eine Abbildung und A = {1}, B = {−1}. Dann
gelten A ∩ B = ∅, f (A) = {1}, f (B) = {1} und somit f (A) ∩ f (B) = {1}.
Version 7.2 - 005
155
L.4. Abbildungen
Lösung L.4.3.
(a)
x ∈ f −1 (A ∩ B)
⇔ f (x) ∈ A ∩ B
⇔ f (x) ∈ A ∧ f (x) ∈ B
⇔ x ∈ f −1 (A) ∧ x ∈ f −1 (B)
⇔ x ∈ f −1 (A) ∩ f −1 (B).
(b)
x ∈ f −1 (A ∪ B)
⇔ f (x) ∈ A ∪ B
⇔ f (x) ∈ A ∨ f (x) ∈ B
⇔ x ∈ f −1 (A) ∨ x ∈ f −1 (B)
⇔ x ∈ f −1 (A) ∪ f −1 (B).
Lösung L.4.4. (a) f (n) = f (m) ⇒ n + 1 = m + 1 ⇒ n = m ⇒ f ist injektiv.
(b) Die 1 hat kein Urbild in dieser Abbildung.
(c) Man wähle D = Z.
Lösung L.4.5. (a) Aus g(x1 ) = g(x2 ) folgt 2x1 = 2x2 und somit x1 = x2 , also
ist g injektiv. Es sei u ∈ R+ , dann ist g(u/2) = u und somit ist g surjektiv. Da g
injektiv und surjektiv ist, ist g auch bijektiv.
(b) Aus f (x1 ) = f (x2 ) folgt 1/x1 = 1/x2 und somit x1 = x2 , also ist f injektiv.
Es sei u ∈ R+ , dann ist f (1/u) = u und somit ist f surjektiv. Da f injektiv und
surjektiv ist, ist f auch bijektiv.
(c) Es ist (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (2x) =
1
.
2x
(d) Es ist (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(1/x) = x2 .
Lösung L.4.6. (a) Wegen f (−2) = 1 = f (0) ist f nicht injektiv. Wenn g(x1 ) =
g(x2 ) gilt, dann folgt daraus (x1 − 1)3 = (x2 − 1)3 und somit x1 − 1 = x2 − 1, also
x1 = x2 und damit ist g injektiv.
(b) Negative reelle Zahlen haben kein
Urbild und der Abbildung f , daher ist f nicht
√
3
surjektiv. Es sei u ∈ R, dan gilt f ( u + 1) = u und somit ist f surjektiv.
(c) Es ist (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g((x + 1)2 ) = ((x + 1)2 − 1)3 = (x2 + 2x)3 .
(d) Es ist (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)3 ) = ((x − 1)3 + 1)2 = (x3 − 3x2 + 3x)2
Lösung L.4.7. (a) Es ist f (1, 0, 1) = (1, 1) = f (0, 1, 0), also ist f nicht injektiv.
Es sei (u, v) ∈ R2 , dann gilt f (u, 0, v) = (u, v) und die Abbildung ist surjektiv, also
ist f bijektiv.
156
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
(b) Wenn g(x1 , y1 ) = g(x2 , y2 ) gilt, dann folgt daraus (x1 , x1 + y1 , y1 ) = (x2 , x2 +
y2 , y2 ). Daraus x1 = x2 und y1 = y2 , also ist g injektiv. Das Element (0, 1, 0) ∈ R3
hat kein Urbild und somit ist g nicht surjektiv.
(c) Es ist (f ◦ g)(x, y) = f (g(x, y)) = f (x, x + y, y) = (2x + y, x + 2y).
(d) Es ist (g ◦f )(x, y, z) = g(f (x, y, z)) = g(x+y, y +z) = g(x+y, x+2y +z, y +z).
Version 7.2 - 005
157
L.5. Strukturen
L.5. Strukturen
158
Version 7.2 - 005
Anhang L. Lösungen der Aufgaben
L.6. Boolesche Algebren
Lösung L.6.1. (b) DNF: f (A, B) = (A ⊗ B) ⊕ (A⊗ ∼ B) ⊕ (∼ A⊗ ∼ B))
(c) KNF: f (A, B) = (A⊕ ∼ B)
Lösung L.6.2. Es gilt
A ∪ B ∪ C ∪ (A ∩ B ∩ C) = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) .
Lösung L.6.3. (b)
DNF: f (A, B, C) = (A ⊗ B ⊗ C) ⊕ (A ⊗ B⊗ ∼ C) ⊕ (A⊗ ∼ B⊗ ∼ C) ⊕ (∼
A ⊗ B ⊗ C) ⊕ (∼ A⊗ ∼ B⊗ ∼ C)
(c)
Stufe 0
Zeile
0a
0b
0c
0d
0e
(disjunktive Normalform)
A B C Haken
√
1 1 1
√
1 1 0
√
1 0 0
√
0 1 1
√
0 0 0
Stufe 1
Zeile entstand aus
1a
0a,0b
1b
0a,0d
1c
0b,0c
1d
0c,0e
A
1
1
-
B
1
1
0
C
1
0
0
Haken
f (A, B, C) = (A ⊗ B) ⊕ (B ⊗ C) ⊕ (A⊗ ∼ C) ⊕ (∼ B⊗ ∼ C)
(d)
KNF: f (A, B, C) = (∼ A ⊕ B⊕ ∼ C) ⊗ (A⊕ ∼ B ⊕ C) ⊗ (A ⊕ B⊕ ∼ C)
(e)
Stufe 0
Zeile
0a
0b
0c
(konjunktive Normalform)
A B C Haken
√
1 0 1
0 1 0
√
0 0 1
Stufe 1
Zeile entstand aus
1a
0a,0c
Version 7.2 - 005
A
-
B C
0 1
Haken
159
L.6. Boolesche Algebren
f (A, B, C) = (B⊕ ∼ C) ⊗ (A⊕ ∼ B ⊕ C)
160
Version 7.2 - 005
Namensliste
Appel, Kenneth, 32
Boole, George, 107
Cantor, Georg, 37
Haken, Kenneth, 32
Hasse, Helmut, 72
Karnaugh, Maurice, 122
Descartes, Renè, 55
McCluskey, Edward J., 115
Morgan, Augustus de, 28, 51, 52
Euklid, 14
Euler, Leonhard, 42
Quine, Willard Van Orman, 115
Fermat, Pierre de, 14
Veitch, Edward W., 122
Venn, John, 42
Goldbach, Christian, 14
Guthrie, Francis, 32
Version 7.2 - 005
Wiles, Andrew, 14
161
Abkürzungen
DNF - disjunktive Normalform, 112
KNF - konjunktive Normalform, 112
Version 7.2 - 005
KVD
Karnaugh-Veitch-Diagramm,
122
163
Liste der Algorithmen
Bestimmung
form,
Bestimmung
form,
Disjunktive Normal114
Konjunktive Normal115
Version 7.2 - 005
Quine-McClusky, disjunktive Form,
115
165
Literatur
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9783827417589.
Beutelspacher, Albrecht und Marc-Alexander Zschiegner (2002). Diskrete Mathematik für Einsteiger: Mit Anwendungen in Technik und Informatik. 1. Aufl.
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Hartmann, Peter (2002). Mathematik für Informatiker: Ein praxisbezogenes Lehrbuch. 1. Aufl. Programm Mathematik Informatik. Braunschweig und Wiesbaden:
Vieweg. isbn: 9783528031817.
Henze, Norbert (2005). Mathematik für Wirtschaftsingenieure und für
naturwissenschaftlich-technische Studiengänge. 2., überarb. und erw. Aufl.
Vieweg-Studium : Mathematik. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. isbn:
9783528131906.
Knauer, Ulrich (2001). Diskrete Strukturen - kurz gefasst. SpektrumHochschultaschenbuch. Heidelberg [u.a.]: Spektrum Akad. Verl. isbn:
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und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen. Springer-Lehrbuch. Berlin und Heidelberg: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. isbn: 9783540203988.
Lehmann, Ingmar und Wolfgang Schulz (2004). Mengen - Relationen - Funktionen:
Eine anschauliche Einführung. 2., überarb. und erw. Aufl. Lehrbuch : Mathematik. Stuttgart, Leipzig und Wiesbaden: Teubner. isbn: 9783519221524.
Version 7.2 - 005
167
Literatur
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168
Version 7.2 - 005
Index
∧, 25
∨, 25
∨, 25
and-Verknüpfung, 19
oder-Verknüpfung, 19
or-Verknüpfung, 19
und-Verknüpfung, 19
Abbildung, 81
Abbildung, inverse, 91
Absorptionsgesetz, 106
absorptiv, 106
Abtrennungsregel, 29
Adjunktion, 19
adjunktiv, 108
Algorithmus von Quine-McCluskey,
115
AND-Gatter, 127
antisymmetrisch, 64
assoziativ, 98
Assoziativgesetz, 27, 47, 98
asymmetrisch, 64
Aussage, 15
Aussageform, 17
Basis, 100
beschränkt, nach oben, 74
beschränkt, nach unten, 74
Beweis durch Widerspruch, 33
Beweis, direkt, 32
Beweis, indirekt, 32
bijektiv, 87
Bijunktion, 21
Bild, 81, 84
Version 7.2 - 005
binäre Relation, 60
binäre Verknüpfung, 97
boolesche Algebra, 109
booleschen Variable, 110
boolescher Verband, 109
Definitionsbereich, 81, 98
Differenz, 50
Differenz, symmetrische, 50
direkten Beweis, 32
disjunkt, 47
disjunkt, paarweise, 53
disjunkte Zerlegung, 53
Disjunktion, 19
disjunktive Normalform, 112
Distibutivgesetz, 48
Distributivgesetz, 27
Durchrechnen, vollständig, 32
Durchschnitt, 46
echte Teilmenge, 42
Einbettung, 89
eineindeutig, 87
Einschränkung, 89
Einselement, 99, 103, 108
Element, größtes, 73
Element, inverses, 99
Element, kleinstes, 73
Element, maximales, 73
Element, minimales, 73
Elemente, 37
endliche Menge, 41
Erzeugendensystem, 100
Euler-Diagramm, 42
169
Index
falsch, 15
false, 15, 23
Folge, 90
Folgerung, 20
Fortsetzung, 89
Gatter, 126
Gatter, AND-, 127
Gatter, NAND-, 127
Gatter, NOR-, 127
Gatter, NOT-, 126
Gatter, OR-, 127
Gatter, XOR-, 127
Gegenbeispiel, 31
geordnet, linear, 71
geordnet, total, 71
geordnete 2-Tupel, 55
geordnete Menge, 70
gleich, 41, 59, 82
Graph, 81
Grenze, obere, 75
Grenze, untere, 75
Gruppe, 102
größtes Element, 73
Halbaddierer, 127
Halbgruppe, 102
Hasse-Diagramm, 72
id, 23
idempotent, 106
Idempotenzgesetz, 106
Identität, 23, 89
Implikation, 20
indirekten Beweis, 32
Induktion, vollständige, 34
Infimum, 75
injektiv, 87
Inklusionsabbildung, 89
innere Verknüpfung, 97
Integritätsring, 104
inverse Relation, 62
170
inversen Abbildung, 91
inverses Element, 99
involutiv, 108
irreflexiv, 64
Junktoren, 21
kanonische Abbildung, 89
Karnaugh-Veitch-Diagramm, 122
kartesische Produkt, 55, 56
Kettenschlussregel, 29
Klasseneinteilung, 53
kleinstes Element, 73
kommutativ, 99, 102
Kommutativgesetz, 27, 48, 99
Komplement, 50
komplementär, 108
Komposition, 63, 91
Konjunktion, 19
konjunktive Normalform, 112
konnex, 71
konstant, 89
konstante Abbildung, 89
Kontradiktion, 26
Kontrapositionssatz, 29
Körper, 103
leere Menge, 41
linear geordnet, 71
Max-Term, 112
maximales Element, 73
Menge, 37
Menge der Abbildungen von M nach
N , 94
Menge der Abbildungen von M, 94
Menge der bijektiven Abbildungen
von M, 94
Menge, endliche, 41
Menge, geordnet, 70
Menge, leere, 41
Menge, streng geordnet, 70
Version 7.2 - 005
Index
Menge, tgo, 70
Menge, unendliche, 41
Menge,teilweise geordnet, 70
Mengendiagramm, 42
Min-Term, 112
Min-Terme, 111
minimales Element, 73
Modul, 105
Monoid, 102
Multimenge, 41
n-stellige Operation, 98
nach oben beschränkt, 74
nach unten beschränkt, 74
NAND-Gatter, 127
Negation, 18
neutrales Element, 99
NOR-Gatter, 127
NOT-Gatter, 126
Nullelement, 99, 103, 108
obere Grenze, 75
obere Schranke, 74
Obermenge, 42
Operation, 98
Operation, n-stellig, 98
OR-Gatter, 127
Ordnung, partielle, 70
Ordnung, teilweise, 70
Ordnungsdiagramm, 72
Ordnungsrelation, 66, 70
Ordnungsrelation, strenge, 70
Paarmenge, 56
partielle Ordnung, 70
Partition, 53
poset, 70
Potenzmenge, 45
Primimplikant, 120
Primimplikant, unwesentlich, 120
Primimplikant, wesentliches, 120
Projektion, 88
Version 7.2 - 005
Prädikat, 17
Prädikatenlogik, 30
Präferenzrelation, 66
Quine-McCluskey, Algorithmus von,
115
Quotientenmenge, 69
reflexiv, 64
Regeln von de Morgan, 28
Relation, 59
Relation auf, 64
Relation, binär, 60
Relation, inverse, 62
Repräsentant, 53, 69
Repräsentantensystem, 69
Restklassenkörper modulo p, 104
Restklassenring modulo n, 104
Ring, 103
Ring, kommutativer, 103
Satz vom ausgeschlossenen Dritten,
26
Satz vom Widerspruch, 27
Satz von der doppelten Verneinung,
28
Satz zum modus barbara, 29
Satz zum modus ponens, 29
Satz zum modus tollens, 29
Schaltalgebra, 110
Schaltfunktion, 110
Schaltgatter, 126
Schaltung, 110
Schaltvariable, 110
Schranke, untere, 74
streng geordnete Menge, 70
strenge Ordnungsrelation, 70
Subjunktion, 20
Supremum, 75
surjektiv, 87
symmetrisch, 64
symmetrische Differenz, 50
171
Index
Tautologie, 26
Teilmenge, 42
Teilmenge, echte, 42
teilweise geordnete Menge, 70
teilweise Ordnung, 70
tgo Menge, 70
total geordnet, 71
transitiv, 65
true, 15, 23
Tupel, geordnetes 2-, 55
Umkehrabbildung, 87
unendliche Menge, 41
untere Grenze, 75
untere Schranke, 74
unwesentliches Primimplikant, 120
Urbild, 84
Variable, 17
Vektorraum, 105
Venn-Diagramm, 42
verallgemeinerte Vereinigung, 47
verallgemeinerten Durchschnitt, 47
Verband, 105
Vereinigung, 46
Verknüpfung, 97
Verknüpfung, binäre, 97
172
Verknüpfung, innere, 97
Verknüpfung, äußere 1. Art, 97
Verknüpfung, äußere 2. Art, 97
Verknüpfungstafel, 18
Volladdierer, 129
vollständig, 65
vollständige Induktion, 34
vollständiges Repräsentantensystem,
69
wahr, 15
Wahrheitstafel, 18
Wahrheitswert, 15
Wertebereich, 81, 98
wesentliches Primimplikant, 120
XOR-Gatter, 127
Zerlegung, disjunkte, 53
Äquivalenz, 21
Äquivalenzklasse, 67
Äquivalenzklassen, 53
Äquivalenzrelation, 66
äquivalent, 53
äußere Verknüpfung 1. Art, 97
äußere Verknüpfung 2. Art, 97
Version 7.2 - 005