Felder und Komponenten

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Felder und Komponenten
SS 2005
Kevin Bitterli
Lukas Bossard
Fabian Schneiter
Martin Wirz
Christoph Zysset
1
Inhaltsverzeichnis
1 Ebene Welle
1.1 Lösung der Maxwell’schen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
2 Reflexion und Transmission
2.1 Senkrechter Einfall einer ebenen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Schräger Einfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
17
3 Leitungstheorie
3.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 TEM-Wellen auf verlustlosen Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Verlustbehaftete Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
20
28
4 Hohlleiter
4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Moden im Rechteckhohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Grössen im Rechteckhohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
32
33
5 Dielektrischer Wellenleiter
5.1 Allgemeines . . . . . . . .
5.2 Schichtwellenleiter . . . .
5.3 Streifenwelenleiter . . . .
5.4 Faserwellenleiter . . . . .
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34
34
34
35
35
6 Antennen
6.1 Einführung . . . . . . . . . . .
6.2 Hertzscher Dipol . . . . . . . .
6.3 Gebräuchliche Antennen . . . .
6.4 Antennenparameter . . . . . .
6.5 Berechnung des Antennenfeldes
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38
38
38
38
38
39
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2
1
1.1
1.1.1
Ebene Welle
Lösung der Maxwell’schen Gleichung
Die Maxwell’schen Gleichungen
In einem homogenen, linearen, isotropen und ladungsfreiem (̺ = 0) Medium gelten die folgenden
Maxwell’schen Gleichungen.
~
∂H
∂t
~
rotE
= −µ
~
rotH
~ + ǫ
= σE
~
div E
~
div H
=
0
(3)
=
0
(4)
(1)
~
∂E
∂t
(2)
Lineares Material
~ = µH
~
B
~ = ǫD
~
D
~
J~ = σ E
Homogenes Material, zeitlich konstant
µ 6= µ(~r, t)
ǫ 6= ǫ(~r, t)
σ 6= σ(~r, t)
Ladungsfreies Material
̺=0
1.1.2
Lösung
~ = grad div A
~ − ∆A,
~ sowie div rotA
~ = 0 folgt durch
Mit Hilfe der Vektoridenditäten rot rotA
Entkoppelung der Gleichungen (1) und (2) die Wellengleichung.
Vektorielle Wellengleichung
~ = µǫ
∆E
∂2 ~
E
∂t2
und
~ = µǫ
∆H
∂2 ~
H
∂t2
(5)
Skalare Wellengleichung mit Ausbreitungsrichtung z
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
= µǫ
2
∂z
∂t2
und
∂ 2 Hy
∂ 2 Hy
= µǫ
2
∂z
∂t2
(6)
Lösung im Frequenzbereich In der Praxis rechnet man meistens mit zeitharmonischen Feldern, d.h. solchen mit der Zeitabhängigkeit ejωt . In den Wellengleichungen (6) kann somit der
∂
∂
∂
∂
zeitliche Differentialoperator durch jω ersetzt werden. Aus ∂x
≡ 0, ∂y
≡ 0, ∂z
≡ j kz und ∂t
≡ jω
folgt:
~ = −k 2 E
~
∆E
und
Dies führt auf die Bekannte Wellengleichung
~ = −k 2 E
~
∆H
utt = c2 δu
und kann durch Separation oder d’Alembert gelöst werden.
3
(7)
Allgemeine Lösung
1.2
1.2.1
E x (z) = E 0 e±jkz
wobei E 0 = E0 ejωt (Phasor)
E x (z, t) = ℜ E 0 e±jkz+jωt = E0 cos (±kz + ωt + arg (E 0 ))
Die ebene Welle
Darstellung
~ (~r, t)
E
~ (~r, t)
H
~ 0 cos ωt − ~k · ~r + ϕ = E
~ 0 e(ωt−~k·~r + ϕ) = E · e−jk~r
= E
0
~ 0 cos ωt − ~k · ~r + ϕ = H
~ 0 e(ωt−~k·~r + ϕ) = H · e−jk~r
= H
0
(8)
(9)
P hasenkonst
Ausbreitungskonst
z}|{
p
z}|{
α +j β ) = β − j
k = −j γ = −j jωµ (σ + jωǫ) = −j(|{z}
|{z}
W ellenzahl
Daempf ungskonst
2π
1
T = =
f
ω
ω = 2πf
α
|{z}
verlustlos:=0
1.2.2
Wellenausbreitung
~
E
X
6
6
~k ∝ S
~
Z
~
Y H
~
~
In Worten: Daumen in E-Richtung,
Zeigefinger in H-Richtung.
Dann zeigt der Mittelfinger
~
in k-Richtung (Ausbreitungsrichtung).
1.2.3
Verlustloser Fall
√
Verlustloser Fall: σ = 0 ⇒ α = 0 ⇒ k = β = ω µǫ
−jωz
−jωz
E x (z) = E +
+ E−
0e
0e
−jωz
−jωz
+ H−
H x (z) = H +
0e
0e
Bei reeller Wellenimpedanz sind Phasenverschiebungen φE und φH identisch. Dies ist beim verlustlosten Fall so. Magnetische und elektrische Feldstärke sind in Phase.
Wellenimpedanz
E+
E−
E
0
0
+ =
− 6=
H
H0
H0
r
µ
ωµ
=
ZW =
β
ǫ
ZW =
Wellenimpedanz im Freiraum
ZW 0 =
r
µ0
= 120πΩ ≈ 377Ω
ǫ0
4
Phasenkonstante
ω
2π
ω
√
β = ω µǫ = =
=
v
fλ
λ
Ausbreitungsgeschwindigkeit
v=
ω
dz
ω
= =
k
β
dt
1
v = √ =f ·λ
µǫ
v ist also die Geschwindigkeit mit der sich die Wellenfront voranbewegt.
Wellenlänge
λ=v·T =
v
f
Wellenlängen und Frequenz stehen also immer in einem festen Verhältnis zueinander. Für die
Freiraumwellenlänge gilt
c
λ0 =
f
Für die Wellenlänge in einem Medium gilt
c 1
1
= √
λ = λ0 √
µr ǫr
f µr ǫr
1.2.4
Verlustbehafteter Fall
2
σ 6= 0 ⇒ γ = (α + jβ)) = jωµ (σ + jωǫ)
k 2 = −jωµ(σ + jωǫ)
k = β − jα
Ex (z, t)
Hy (z, t)
= E0+ e−αz cos(ωt − βz + φ)
(10)
=
(11)
E0+ −αz
e
cos(ωt − βz + φ + ΘZW )
|ZW |
Dämpfung und Phase
α
β
= ω
r
µǫ
2
= ω
r
µǫ
2
sr
sr
σ
+1−1
ωǫ
σ
+1+1
ωǫ
5
≥0
Np
m
≥0
rad
m
~ und H-Feld
~
Wellenimpedanz Die Wellenimpedanz wird komplex → Esind phasenverschoben, was bedeutet, dass zu jeder Zeit die magnetsiche Feldstärke der elektrischen nacheilt. Die
Phasengeschwindigkeit für beide Komponenten ist allerdings die gleiche.
s
E+
jωµ
ωµ
Zw = 0+ = p
=
σ + jωǫ
H0
−jωµ (σ + jωǫ)
Die Phasenverschiebung lässt sich berechnen mit
σ
1
ΘZw = arctan
2
ωǫ
Wie stark verlustbehaftet ein Medium ist, kann durch den Verlusttangens charakterisiert werden.
σ
Leitungsstromdichte J c
= tan Θ =
ωǫ
Verschiebungsstromdichte J d
Phasengeschwindigkeit
v=
ω
β
λ=
2π
β
Wellenlänge
1.2.5
Dielektrika/Leiter
~ = (jωǫ + σ)E
~
Maxwell: rotH
Gute Dielektrika σ ≪ ωǫ
Dies führt zur Vereinfachung
r
σ µ
α ≈
2 ǫ
σ2
√
β ≈ ω µǫ 1 +
8ω 2 ǫ2
r σ
3σ 2
µ
1+j
−
ZW ≈
ǫ
2ωǫ 8ω 2 ǫ2
Hieraus geht hervor, dass bei kleinen Verlusten (σ klein) β sich weniger verändert als α. Die
Ausbreitungsgeschwindigkeit v = ωβ ist gegenüber derjenigen im verlustlosen Fall leicht reduziert.
6
Gute Leiter σ ≫ ωǫ
Dies führt zur Vereinfachung
p
π
√
k ≈
jωµσ = ωµσe−j 4
r
ωµσ
α=β ≈
2
r
r
r
1+j
jωµ
ωµ j π
πf µ
4
=
e =
(1 + j) =
ZW ≈
σ
σ
σ
σδ
r
4π
2π
λ=
≈
β
f µσ
In einem guten Leiter eilt die magnetische Feldstärke der elektrischen um 45 =
H+
0
E+
0
E+
0
(12)
π
4
nach. Dies folgt
π
4
direkt aus (12) mit der Beziehung
= Zw = |Zw | · e−j . Ausserdem ist die Wellenimpedanz
kleiner als in einem guten Dielektrikum, woraus eine entsprechen grosse magnetische Feldstärke
resultiert.
1.2.6
Skinneffekt
Eindringtiefe δ: Distanz, nach der die Amplitude mit dem dämpfungsfaktor Faktor e−αz auf 1/e
abgeklungen ist.
Die Feldamplitude gilt
E0 e−αz = E0 e−αδ = E0 e−1
mit
δ=
1
α
Für gute Leiter gilt vereinfacht
1
1
δ ≈ p ωµσ = √
πf µσ
2
Zw ≈
1+j
σδ
Auswirkung des Skineffekts Kupfer ist nicht unbedingt das beste Metall zur Stromleitung.
Silber ist noch besser geeignet. Um bei hohen Frequenzen die durch den verrigerten effektiven
Leiterquerschnitt entstehenden Verluste (hervorgerufen durch den Skineffekt) zu reduzieren, wird
Kupferdraht oftmals mit einer dünnen Schicht Silber umgeben.
7
1.2.7
Polarisation
Die Polarisationsrichtung wird für das E-Feld angegeben. Es gibt verschiedene Arten von Polarisationen. In linearen Medien kann jede allgemein polarisierte Welle als Superposition von zwei
linear polarisierten Wellen gewonnen werden. Daher lässt sich jede Polarisationsart lässt sich in
einen x- und einen y-Anteil aufspalten. Je nach Phasenverschiebung der beiden Komponenten
entstehen andere Polarisationsformen.
Ex
Ey
= Ex0 cos (ωt − βz + ϕx )
= Ey0 cos (ωt − βz + ϕy )
Keine Phasenverschiebung Rightarrow Lineare Polarisation Lineare Polarisation
|ϕx − ϕy | = nπ
Ex0 6= Ey0
Die Richtung der Polarisation entspricht der Richtung des elektrischen Feldvektors
Zirkulare Polarisation
|ϕx − ϕy | = (2n + 1)
π
2
Ex0 = Ey0
Elliptische Polarisation
|ϕx − ϕy | =
6 n
Übersicht
π
2
Ex0 6= Ey0
~ sin(ωt)
~
~ cos(ωt) + ℑE
E(t)
= ℜE
0
0
linear
zirkular
elliptisch
⇔
⇔
⇔
~
ℜE
0
~
ℜE
0
||
⊥
~
ℑE
0
~
ℑE
0
alle andern Fälle
8
Mittlere Leistung durch Fläche
Pav =
2
~
1 E 1
Re {E × H} · A =
·A
2
2 ZW
9
2
2.1
Reflexion und Transmission
Senkrechter Einfall einer ebenen Welle
Wir betrachten hier eine ebene Welle, die auf eine Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Materialen trifft. An solch einer Grenzfläche wird ein Teil der elektromagnetischen Welle transmittiert
und ein Teil reflektiert. Wir wollen hier betrachten, was sich am Wellenverhalten ändert. Dazu
betrachten wir eine in +z-Richtung laufende, ebene Welle.
E ix
−jk1 z
= E+
1e
H iy
=
E+
1 −jk1 z
e
Zw1
Zur Notation: Die hochgestellten Indizes i, r und t geben Auskunft darüber, ob die Welle einfallend (i), reflektiert (r) oder transmittiert (t) ist. Das hochgestellte + oder - gibt an, ob sich die
Wellen in positive oder negative Richtung ausbreitet. Der tiefgestellte Indizes x,y oder z gibt die
Ausbreitungsrichtung an. Und schlussendlich noch die tiefgestellten Zahlen. Diese geben an, in
welchem Medium wir uns befinden.
Um die neuen Amplituden der Reflektierten und Transmitierten zu berechnen, führen wir zwei
neue Koeffizienten ein. Nämlich den Reflexionskoeffizienten Γ und de Transmissionskoeffizienten
T.
Γ
=
Zw2 − Zw1
E−
1
+ =
Z
E1
w2 + Zw1
T
=
E+
2Zw2
2
+ =
Zw2 + Zw1
E1
Zwischen T und Γ existiert ein einfacher Zusammenhang.
T =1+Γ
Im allgemeinen Fall sind Γ und T komplex. Also kann man sie als Kombination von Betrag und
Phase schreiben.
Γ
T
= |Γ| ejφΓ
= |T | ejφT
Ganz allgemein kann man nun die einfallende, reflektierten und transmittierten E und H Felder folgendermassen
Wir berücksichtigen, dass wir eine konstante Anfangsphase φ1
+ schreiben.
jφ1 .
besitzen: E +
1 = E1 e
−α z
1
Exi = E +
cos(ωt − β1 z + φ1 )
1 e
+
E 1
e−α1 z cos(ωt − β1 z + φ1 − φZw1 )
Hyi =
|Zw1 |
+α z
1
cos(ωt + β1 z + φ1 + φΓ )
Exr = ΓE +
1 e
+
ΓE 1
Hyr = −
e+α1 z cos(ωt + β1 z + φ1 − φZw1 + φΓ )
|Zw1 |
−α z
2
cos(ωt − β2 z + φ1 + φT )
Ext = T E +
1 e
+
T E 1
Hyt =
e−α2 z cos(ωt − β2 z + φ1 − φZw2 + φT )
|Zw2 |
10
Der entsprechende Mittelwert des Poynting Vektors für die transmittierte Welle ist:
2
1 E +
1T
t
~
Sav =
e−2α2 z cos(φZw2 )~ez
2 |Zw2 |
2.1.1
Verlustlose Medien
Hier befassen wir uns mit verlustlosen Dielektrika. Das heisst, dass α1 = α2 = 0, k1 = β1 , k2 = β2
und Zw1 , Zw2 , Γ und T reell sind. Zuerst betrachten wir die Phasorenschreibweise und nehmen die
Phasenverschiebung φ1 = 0 an.
E ix
−jβ1 z
= E+
1e
H iy
=
E rx
=
E+
1 −jβ1 z
e
Zw1
+jβ1 z
ΓE +
1e
E tx
ΓE +
1 +jβ1 z
e
Zw1
−jβ2 z
= T E+
1e
H ty
=
H ry
= −
T E+
1 −jβ2 z
e
Zw2
Nun noch die Formeln in der Zeitbereichsform. Die Amplitude schreiben wir als Betrag des Phasors
des E-Feldes.
Exi = E +
1 cos(ωt − β1 z + φ1 )
+
E 1
Hyi =
cos(ωt − β1 z + φ1 )
Zw1
Exr = Γ E +
1 cos(ωt + β1 z + φ1 )
+
Γ E 1 cos(ωt + β1 z + φ1 )
Hyr = −
Zw1
Ext = T E +
1 cos(ωt − β2 z + φ1 )
+
T E 1 Hyt =
cos(ωt − β2 z + φ1 )
Zw2
Oft interessiert das totale Feld im Medium 1.
E x1 = E ix + E rx
H y1 = H iy + H ry
−jβ1 z
+jβ1 z
= E+
+ ΓE +
1e
1e
=
ΓE +
E+
1 −jβ1 z
1 +jβ1 z
e
−
e
Zw1
Zw1
Die Gleichungen in Phasorenschreibweise haben einen entscheidenden Vorteil wenn man die vollständige Reflexion betrachtet. Dann geben die totalen einfallende und reflektierte Welle einen Cosinus,
bzw. einen Sinus.
2.1.2
Vollständige Reflexion
Eine vollständige Reflexion an einer Grenzfläche kann auftreten, wenn Zw2 = 0 oder Zw2 → ∞.
Der erste Fall entspricht einem Kurzschluss, der zweite einem Leerlauf.
11
Leerlauf
Γ=1
Daraus erhalten wir für die totalen Felder an der Grenzfläche z = 0:
E x1
H y1
= 2E +
1
= 0
Kurzschluss Der Kurzschluss ist ein sehr interessanter Fall. Er entspricht nämlich gerade der
Reflexion an einem perfekten Leiter. Zuerst wollen wir den Reflexionskoeffizienten Γ berechnen.
Wir verwenden Zw2 = 0.
−Zw1
Zw2 − Zw1
=
= −1
Γ=
Zw2 + Zw1
Zw1
Nun kann man die totalen Felder im Medium 1 an der Grenzfläche z = 0 berchnen.
E x1
=
0
H y1
=
2
H+
1
Zw1
Nun schreiben wir die totalen Felder allgemein und rufen uns dazu die Definition von Sinus und
Cosinus in Erinerung.
sin(x) =
cos(x) =
1 jx
e − e−jx
2j
1 jx
e + e−jx
2
Mit diesen Definitionen und Γ = −1 schreiben wir die Felder als Phasoren nun so:
−jβ1 z
− e+jβ1 z = −2jE +
E x1 = E +
1 e
1 sin(β1 z)
+
+
E1
E
H y1 =
e−jβ1 z + e+jβ1 z = 2 1 cos(β1 z)
Zw1
Zw1
Setzen wir nun voraus, dass der Phasor kein Argument besitzt (φ1 = 0) und schreiben die
Gleichungen im Zeitbereich.
jωt
= 2 E +
Ex1 = ℜ −2jE +
1 sin(β1 z)e
1 sin(β1 z) sin(ωt)
E + E+
Hy1 = ℜ 2 1 cos(β1 z)ejωt = 2 1 cos(β1 z) cos(ωt)
Zw1
Zw1
12
Bemerkungen:
1. Es entsteht eine stehende Welle, die sich weder in +z noch in −z Richtung ausbreitet. Sie
oszilliert aber zeitlich.
2. Die Amplitude des elektrischen Feldes ist an der Grenzfläche z = 0 Null. Dies muss so sein,
weil die Randbedingung eines perfekten Leiters eingehalten werden muss. Nämlich, dass das
elektrische Feld eines perfekten Leiters identisch Null ist (vgl. FuK I Skript, Seite 185).
3. Die maximale Amplitude des elektrischen Feldes der stehenden Welle ist doppelt so gross
wie die Amplitude der einfallenden elektrischen Welle. Ihre Maximalwerte befinden sich an
π
3π
den Stellen z = − λ4 , z = − 3λ
4 usw. und tretten zu den Zeiten ωt = 2 , ωt = 2 usw..
4. Bei z = − λ2 , z = − 3λ
2 usw. ist das elektrische Feld immer Null. Es tritt destruktive Interferenz
auf.
5. Das magnetische Feld ist zum elektrischen Feld zeitlich um 90◦ phasenvereschoben.
Schlussendlich kann man mit dem Poynting Vektor noch zeigen, dass der Leistungstransport der
Welle tatsächlich Null ist.
o
1 n~
tot
~∗
~av
ℜ E×H
S
=
2
1
E +∗
1
=
sin(β
z)2
ℜ −2jE +
cos(β
z)
~ez = 0
1
1
1
2
Zw1
Da das gesammte Vektorprodukt imaginär ist, gibt es keinen reellen Leistungstransport.
2.1.3
Überlagerung von zwei Wellen
Für stehende Wellen kann man den Betrag der elektrischen Feldstärke mit Hilfe des Reflexionskoeffizienten leicht darstellen.
1 + Γej2β1 z |E x1 | = E +
1
Für eine stehende Welle an einem perfekten Leiter kann man diese Formel einfach nachvollziehen.
Nehmen wir an, dass die Grenzfläche bei z = 0 ist und wir wissen bereits das Γ = −1 ist an einem
perfekten Leiter. Setzt man nun diese Zahlen in der Formel ein, sieht man, dass es 0 gibt.
Wir können sogar noch weitere Bedingungen ableiten. Für alle 2β1 z = −2nπ (n = 0, 1, 2, 3, ...)
tritt ein Feldminima auf. Also können wir schreiben:
zmin = −n
λ1
2
Eine ähnliche Formel können wir auch für die Feldmaxima aufschreiben.
zmax = −(2n + 1)
13
λ1
4
2.1.4
Standing Wave Ration, SWR
Meistens ist man jedoch am so genannten Stehwellenverhältnis SWR interessiert. Dies ist ein
Verhältnis zwischen der maximalen und minimalen Amplitude des elektrischen Feldes vor der
Grenzfläche. Das SWR gilt allgemein für zwei aneinandergrenzende Dielektrika.
SW R =
|E x1 |max
1 + |Γ|
=
|E x1 |min
1 − |Γ|
oder
|Γ| =
SW R − 1
SW R + 1
Falls man einen Übergang in ein verlustbehaftetes Dielektrikum hat, dann wird der Reflexionsfaktor komplex und die Welle wird mit e−αz gedämpft.
2.1.5
Mehrschichtige Wand
Allgemeine Definitionen Zuerst wollen wir die Formel der Impedanz und des Reflexionskoeffizienten verallgemeinern bevor wir eine mehrschichtige Wand betrachten.
Zuerst betrachten wir den Reflexionskoeffizienten. Nehmen wir wieder an, dass sich bei z = 0 eine
Grenze zwischen zwei Dielektrika befindet. Also ist Γ12 an der Grenzfläche:
Γ12 =
Zw2 − Zw1
Zw1 + Zw2
Da nun ein Teil der einfallenden Welle reflektiert wird ergibt sich bekanntlich eine Überlagerung
zweier Wellen im Gebiet des Mediums 1 (z < 0). Daher definieren wir uns ein ortsabhängiges Γin ,
welches genau diesen Umstand berücksichtigt.
Γin (z) = Γ12 e2jk1 z
Machen wir nun für die Impedanz eine ähnliche Überlegung. Nämlich, dass sie wegen der Überlagerung der einfallenden und reflektierten Welle auch einen anderen Wert hat als Zw1 , welches
gerade an der Grenzfläche gilt. Definieren wir uns nun ein Zin (z) wie folgt:
Zin (z) =
E1
1 + Γe2jk1 z
1 + Γin (z)
E + 1 + Γe2jk1 z
=
Z
= Zw1
= 1+ ·
w1
2jk1 z
2jk1 z
H1
1
−
Γe
1
−
Γe
1
− Γin (z)
H1
Eine oft gebrauchte Formel ist der Eingangsreflexionsfaktor für eine dreischichtige Wand.
Γin (z = −d) =
Γ12 + Γ23 e−j2β2 d
1 + Γ12 Γ23 e−j2β2 d
14
Mehrschichtige Wand Betrachten wir nun eine Wand aus zwei Schichten. Als Medium 4 bezeichnen wir den bereich z > 0. Als Medium 3 ein Dielektrikum der Dicke d3 . Es befindet sich
zwischen z = 0 und z = −d3 . Medium 2 hat eine Dicke von d2 und erstreckt sich von z = −d3 bis
z = −(d2 + d3 ). Und schlussendlich Medium 1, welches die einfallende Welle beinhaltet und den
gesammten Raum z < −(d2 + d3 ) ausfüllt.
Medium 4: Hier haben wir nur eine in +z laufende Welle. Daher ist es einfach den Reflexionskoeffizienten an der Grenze zwischen Medium 3 und 4 zu berechnen.
Γ34 =
Zw4 − Zw3
Zw4 + Zw3
Medium 3: Für die rechtslaufende Welle in diesem Medium gilt natürlich der Reflexionskoeffizient
Γ34 . Wir wollen nun den Reflexionskoeffizienten für die linkslaufende Welle an der Materialgrenze
zwischen Medium 3 und Medium 2 berechnen. Hier kommt nun das Γin ins Spiel. Nennen wir es
hier Γ3 .
Γ3 = Γ34 e−2jk3 d2
Nun können wir auch Z an der Materialgrenze berechnen. Bezeichnen wir es als Z3 .
Z3 = Zw3
1 + Γ3
1 − Γ3
Mit diesen zwei Grössen können wir nun auch Γ23 berechnen.
Γ23 =
Z3 − Zw2
Z3 + Zw2
Medium 2: Hier stellen wir die selben Überlegungen an wie in Medium 3.
Γ2 = Γ23 e−2jk2 (d2 +d3 )
1 + Γ2
Z2 = Zw2
1 − Γ2
Z2 − Zw1
Γ12 =
Z2 + Zw1
Medium 1: Auch hier sind die Überlegungen sehr ähnlich wie in den Medien 2 und 3.
1 + Γ12
1 − Γ12
Z − Zw1
Γ=
Z + Zw1
Z = Zw1
15
16
2.2
2.2.1
Schräger Einfall
Schräger Einfall auf verlustlose Medien
Nehmen wir an wir haben eine Welle, die sich nicht parallel zu einer Koordinatenachse ausbreitet,
sonder in der Richtung eines Vektors ~r der x, y und z Komponenten besitzt. Bezeichnen nun die
Winkel φx , φy und φz die Winkel zwischen der jeweiligen Koordinatenachse und dem Vektor ~r, so
können wir das elektrische Feld wie folgt schreiben.
~ = E + · e−jk(x cos φx +y cos φy +z cos φz )~eE
E
0
Hier bezeichnet ~eE die Richtung des elektrischen Feldes.
Das magnetische Feld ergibt sich zu:
+
~ = ~ek × ~eE E 0 e−jk(x cos φx +y cos φy +z cos φz )
H
Zw
Die Vektoren des elektrischen und magnetischen Feldes spannen offensichtlich eine Ebene auf. Betrachten wir nun zwei solche Ebenen im Abstand der Wellenlänge λ dann schneiden beide Ebenen
die Koordinatenachsen an bestimmten Punkten. Betrachtet man nun die Strecke zwischen den
zwei Punkten auf der x-Achse gibt es dort eine projizierte Wellenlänge λx . Dies selbe Betrachtung
kann man nun auch für die beiden anderen Achsen durchführen.
2π
kx
2π
λy =
ky
2π
λz =
kz
λx =
=
=
=
2π
λ
=
k cos φx
cos φx
2π
λ
=
k cos φy
cos φy
2π
λ
=
k cos φz
cos φz
Das selben kann man auch für die Phasengeschwindigkeit machen.
ω
kx
ω
vy =
ky
ω
vz =
kz
vx =
2.2.2
=
=
=
v
cos φx
v
cos φy
v
cos φz
Polarisationen
Für die weitere Betrachtung müssen wir hier uns mit den Begriffen der parallelen und senkrechten
Polarisation vertraut machen.
Stellen wir uns eine Ebene vor, die die Grenze zwischen zwei Medien darstellt. Weiter treffe unter
irgend einem Winkel eine Welle auf diese Ebene. Die Normale auf diese Ebene und der Vektor der
Welle spannen zusammen eine Ebene auf, die Einfallsebene genannt wird. Steht nun das elektrische Feld senkrecht auf diese Ebene nennt man die Welle senkrecht polarisiert, liegt das elektrische
Feld in der Einfallsebene nennt man die Welle parallel polarisiert.
Wir brauchen zur kompleten Beschreibung noch drei Winkel. Nämlich den Winkel der einfallenden, reflektierten und transmitierten Welle. Die Winkel werden immer zwischen dem ~k Vektor
und der Normalen auf die Grenzebene gemessen. Also liegt nun φi , der Einfallswinkel, zwischen
dem ~k Vektor der einfallenden Welle und der Normalen der Grenzschicht. Analog führen wir noch
φr für den Reflexionswinkle und φt für den Transmissionswikel ein.
17
Parallele Polarisation Von Interesse sind hier auch wie beim senkrechten Einfall der Reflexionsund Transmissionskoeffizient.
Γk =
E−
1
E+
1
=
Zw2 cos φt − Zw1 cos φi
Zw2 cos φt + Zw1 cos φi
Tk =
E+
2
E+
1
=
2Zw2 cos φi
Zw2 cos φt + Zw1 cos φi
Zwischen Γ und T gibt es auch hier wieder einen Zusammenhang.
1 + Γk = T k
cos φt
cos φi
Senkrechte Polarisation
Γ⊥ =
E−
1
E+
1
=
Zw2 cos φi − Zw1 cos φt
Zw2 cos φi + Zw1 cos φt
T⊥ =
E+
2
E+
1
=
2Zw2 cos φi
Zw2 cos φi + Zw1 cos φt
1 + Γ⊥ = T ⊥
Brewster Winkel Eine Welle kommt von einem wenig dichten Material auf ein dichteres Material (ǫr1 < ǫr2 ). Dabei ist zu beobachten, dass der Reflexionsfaktor der parallel polarisierten Welle
für einen gewissen Einfallswinkel φi Null ist. Dieser Winkel wird Brewster Winkel genannt.
v
u µ2 ǫ1
u µ1 ǫ2 − 1
u sin φB
=
i
t ǫ 2
1
−1
ǫ2
Für nichtmagnetische Materialien (µ1 = µ2 = µ0 ) vereinfacht sich die Gleichung noch.
r
ǫ2
sin φB
=
i
ǫ1 + ǫ2
r
ǫ2
n2
tan φB
=
=
i
ǫ1
n1
Totalreflexion Ein weiterer Spezialfall tritt ein, wenn man entweder cos φi oder cos φt Null
werden lässt. Beide Male wird |Γ| = 1. Interessant ist nur der Fall cos φt = 0 weil dann φt = 90◦ .
Hier führt man den kritischen Winkel φc ein.
r
ǫ2
sin φc =
ǫ1
Der andere Fall ist einfach eine Welle die sich parallel zur Grenzschicht ausbreitet.
2.2.3
Schräger Einfall auf verlustbehaftetes Medium
Wir untersuchen, was passiert, wenn eine Welle schräg auf ein verlustbehaftetes Medium auftrifft. Im Prinzip ist alles das selbe, ausser, dass man fürs Medium 2 k2 und die Wellenimpedanz
Zw2 komplex ansetzen muss. Dazu haben wir das scho bekannte komplexe c ǫ. Hier nochmals die
Definition.
σ2
c
ǫ2 = ǫ2 − j
ω
18
Wir benützen nun das Brechungsgesetz von Snellius.
r c
√
k2
sin φi
µ2 ǫ2
ω µ2 c ǫ2
=
=
= √
sin φt
µ1 ǫ1
ω µ1 ǫ1
k1
Da der Cosinus für die Formeln wichtig ist macht man eine kleine Umformung und erhält dann.
s
k 2 sin2 φt
cos φt = 1 + 1
= A + jB
(α2 + jβ2 )2
Das transmittierte Magnetfeld sieht dann so aus:
+
~ t = E 2 e−αz z e−j(βx x+βz z)~ey
H
2
Zw2
Dabei verwendet wurden folgende Abkürzungen
αz
= α2 A − β2 B
βx
βz
= k1 sin φi
= β2 A + α2 B
Dies führt zu einem neuen Ausdruck für die Skintiefe.
δ2 =
2.2.4
1
1
=
αz
α2 A − β2 B
Schräger Einfall auf guten Leiter
Ist σ2 genug gross, dann geht φt gegen Null. Das gibt für das magnetische Feld folgende Formel.
+
~ t ≈ E 2 e−α2 z e−j(k1 sin φi x+β2 z)
H
2
Zw2
Daraus kann man den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für parallele Polarisation leicht
bestimmen.
Γk
≈
Tk
≈
−1
2Zw2
Zw1
Schlussendlich können wir noch Angaben über die Feldstärke machen.
E+
2
H+
2
2Zw2 E +
1
Zw1
≈ 2H +
1
≈
19
3
3.1
Leitungstheorie
Allgemein
Um eine Wellenführung zu erreichen verwendet man Wellenleiter. Der Poynting Vektor der Welle
zeigt dann immer in Richtung des Leiters. Der einfachste Wellenleiter besteht aus zwei Drähten,
zwischen denen sich eine TEM-Welle ausbreitet.
Die Annahme, dass eine Spannungs- oder Stromänderung am Leitungsanfang ohne Zeitverzögerung am Leitungsende auftritt ist in guter Näherung richtig, wenn die Leitungslänge wesentlich
kleiner als die Wellenlänge der Wechselspannung ist.
Bei kurzen Wellenlängen, z.B. wenn diese in der Grössenordnung der Leitungslänge liegen, kann
sich die Leitung unter bestimmten Bedingungen wie eine Induktivität, Kapazität oder ein Resonanzkreis verhalten. Die Leitung wird also selbst zum Bauelement. Ursachen dafür sind stehende
Spannungswellen auf der Leitung. Diese treten auf, wenn die Leitung mit einer anderen als ihrer
charakteristischen Impedanz abgeschlossen ist. In diesem Fall wird Energie reflektiert bzw. nicht
die maximale in der einfallenden Welle vorhandene Energie an den Verbraucher weitergegeben.
TEM Transversal Elektromagnetisch; E- und H-Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
3.2
TEM-Wellen auf verlustlosen Leitung
Ez = Hz = 0,
~
E = ZW
~ × E~z
~ = ZW H
E
~
H ~ ⊥H
~
sowieE
~
~ = 1 e~z × E
und H
ZW
Für zeitvariable Felder ist es im allgemeinen nicht möglich, eine Spannung zwischen zwei Leitern
eindeutig zu definieren. Eine Ausnahme bildet jedoch die TEM-Welle. Die Spannung U folgt
~ T über
eindeutig an jeder Stelle z als Linienintegral der transversalen elektrischen Feldstärke E
einen beliebigen Integrationspfad.
Z
~1
~ T · dl
U (z, t) =
E
b1
Der Stom auf der Leiteroberfläche kann ebenfalls eindeutig bestimmt werden als Linienintegral
~ T um eine geschlossene Kontur. Diese liegt in der transversalen xy-Ebene und umschliesst
von H
den Leiter.
I
I
~2 = 1
~2
I(z, t) =
H~T · dl
En dl
ZW b2
b2
Koaxialleitung (TEM)
20
3.2.1
Kapazität der Leitung
Das transversale elektrische Feld zwischen den Leitern entsteht durch die Ladungen auf den Leiteroberflächen. Kapazität je Einheitslänge
I
ǫ
~2
C′ =
En dl
U b2
3.2.2
Induktivität der Leitung
Der Strom des einen Leiters und der zurückfliessende Strom des anderen produzieren das transversale magnetische Feld. Induktivität je Einheitslänge
Z
µ
′
~n
~ T dl
H
L =
I b1
Für den hier vorausgesetzten verlustlosen Fall ist die Induktivität pro Einheitslänge L′ auch
als äussere Induktivität bekannt. Für verlustbehaftete Leiter dringt das Feld dem Skineffekt entsprechend in den Leiter ein und verursacht auch dort einen induktiven Effekt. Diese Induktivität
pro Einheitslänge wird innere Induktivität genannt. Die gesamte Induktivität pro Einheitslänge
Leitung ist die Summe aus beiden Induktivitäten.
3.2.3
Charakteristische Impedanz der Leitung
charakteristische Leitungsimpedanz Z0
Z0 =
U
ǫ
L′
= ZW ′ = ZW
I
C
µ
Z0 2 =
L′
C′
L′ C ′ = µǫ
Somit genügt es, nur einen der Leitungsparameter zu berechnen. Oftmals ist es einfacher, die
Kapazität zu berechnen.
Wellenimpedanz ZW
ZW
E
= ZW 0
=
H
21
r
µr
=
ǫr
r
µ
ǫ
3.2.4
Leitungsersatzschaltbild
Zweidrahtleitung der Länge l und Ersatzschaltbild pro Länge ∆z.
Wellengleichungen
E-Feld Gleichungen.
Die Wellengleichungen für Strom und Spannung sind analog zu H- und
Zeitbereich
∂ 2 U (z, t)
∂z 2
2
∂ I(z, t)
∂z 2
∂ 2 U (z, t)
∂t2
2
∂ I(z, t)
= L′ C ′
∂t2
= L′ C ′
U (z, t)
= U0+ cos(ωt − βz + φ+ ) + U0− cos(ωt + βz + φ− )
I(z, t)
=
U−
U0+
cos(ωt − βz + φ+ ) + 0 cos(ωt + βz + φ− )
Z0
Z0
Frequenzbereich
∂ 2 U (z)
∂z 2
∂ 2 I(z)
∂z 2
= −ω 2 L′ C ′ U (z)
= −ω 2 L′ C ′ I(z)
−jβz
+jβz
U (z) = U +
+ U−
0e
0e
I(z) =
U−
U+
0 −jβz
e
+ 0 e+jβz
Z0
Z0
Geschwindigkeit
v=√
1
L′ C ′
22
Ausbreitungskonstante β
√
β = ω L′ C ′
Charakteristische Impedanz
ωL′
=
Z0 =
β
3.2.5
r
L′
C′
Impedanz und Reflexion
Sobald die Spannungs- bzw. Stromwelle auf eine Impedanz trifft, die nicht der charakteristischen
Impedanz der Leitung entspricht, wird ein Teil der Leistung reflektiert. Als Folge davon erhaletn
wir eine stehende Welle auf der Leitung.
Reflexion
Zweidrahtleitung; Reflexion
Reflexionsfaktor
Γ(z) =
jβz
U−
0e
+ −jβz
U0 e
Leitungsimpedanz
Z(z) =
U (z)
1 + Γ(z)
= Z0
I(z)
1 − Γ(z)
Diese wird manchmal auch Eingangsimpedanz genannt, weil es diejenige Impedanz ist, die die Welle noch vor der Lastimpedanz sieht, sozusagen am Eingang der Leitung, die mit ZL abgeschlossen
ist.
Direkt an der Last erhalten wir
Z(z = l) = ZL = Z0
1 + ΓL
1 + Γ(z = l)
= Z0
1 − Γ(z = l)
1 − ΓL
ΓL = Γ(z = l) =
ZL − Z0
ZL + Z0
Für den Reflexionsfaktor bei Leitungseingang kann der Lastreflexionsfaktor um l zurückgedreht
werden. (Siehe unten)
Gesamtspannung
U (z)+ + U (z)− = U +
Z (1 + Γ(z))
23
Gesamtstrom
3.2.6
I(z)+ + I(z)− = I +
Z (1 + Γ(z))
Impedanztransformation
Zweidrahtleitung; Impedanztransformation
In der Leitungstheorie ist es gebräuchlich, von der Abschlussimpedanz rückwärts zum Generator zu gehen. Man definiert dann der einfachheit halber das Leitungsende als Referenzebene z = 0.
Der Reflexionsfaktor an jeder beliebigen Stelle der Leitung berechnet sich dann nach
Γ(z = −d) = ΓL e−j2βd
Z(0)
= ZL
1 + Γ(z)
ZL + jZ0 tan(βd)
= Z0
1 − Γ(z)
Z0 + jZL tan βd
ZL + jZ0 tan(βl)
Z(−l) = Z0
= Zin
Z0 + jZL tan βl
Z(z) = Z(−d) = Z0
Dieser Ausdruck für Z(−d) ist recht aufschlussreich: Er zeigt, dass für ZL 6= Z0 die Leitungsimpedanz sich tangensförmig über der Leiterlänge verhält, also keineswegs ein konstanter Wert
ist.
Z(−d) kann auch als Eingangsimpedanz für die nachfolgende Leitung inklusive Abschlussimpedanz
verstanden werden.
Elektrische Länge
βd =
2πd
ωd
=
v
λ
24
3.2.7
Spezialfälle
Zin = Z0
ZL + jZ0 tan(βl)
Z0 + jZL tan(βl)
λ/2-Leitung
tan(βl) = 0 βl = nπ
l=n
λ
2
Zin = ZL
λ/4-Leitung
tan(βl) → ∞
βl = (2n + 1)
π
2
l = (2n + 1)
λ
4
Zin =
Z02
ZL
Diese Transformation kann zur Reflexionsverhinderung verwendet werden, da über die Wahl von
Z0 eines kurzen Leiterstückes ein bestimmtes Zin erzeugt werden kann (Achtung: geht sicher bei
reellen Impedanzen). Komplexe Impedanzen müssen zuerst kompensiert werden. Beispiel: mittels
Leerlauf (bzw. Kurzschluss) nach der Lastimpedanz in der Hochfrequenztechnik oder Kapazität
(und Induktivität) zu kompensieren. Z02 = Zin ZL
λ/8-Leitung
tan(βl) = 1
βl = (4n + 1)
π
4
tan(βl) = −1 βl = (4n + 3)
π
4
l = (4n + 1)
λ
8
l = (4n + 3)
Zin = Z0
λ
8
ZL + jZ0
Z0 + jZL
Zin = Z0
ZL − jZ0
Z0 − jZL
Kurzschluss
ZL = 0
Zin = jZ0 tan(βl) = jZ0 tan
2πl
λ
= ZSC
Γ = −1
Leerlauf
ZL → ∞
Zin =
Angepasster Abschluss
ZL = Z0
Z0
Z0
= ZOC
= −j
j tan(βl)
tan 2πl
λ
Zin = Z0
25
Γ=0
Γ=1
3.2.8
Mehrfachreflexion
Entsprechen Generatorimpedanz und Lastimpedanz nicht der charakteristischen Leitungsimpedanz, treten analog zum Schichtenmodell Mehrfachreflexionen auf.
3.2.9
Stehwellenverhältnis SWR
Die Standing wave ration kann wieder mittels Verhältnis der grössten zur kleinsten Amplitude
berechnet werden.
1 + |ΓL |
SWR =
1 − |ΓL |
SWR → ∞ ⇒ Leitungsende Kurzschluss oder Leerlauf
SWR − 1
SWR + 1
1 + ΓL
ZL = Z0
1 − ΓL
|ΓL | =
3.2.10
Leistungsfluss entlang einer Leitung
Mittels Poynting-Vektor für TEM-Wellen gilt:
P (z) =
2
1
1 |U (z)| 2
ℜ {U (z)I ∗ (z)} =
1 − | Γ|
2
2 Z0
Totaler Leistungsfluss Die Leistung kann in hinlaufenden und rücklaufenden Teil aufgespaltet
werden.
2
P (z) = P + − P − = P + (1 − |Γ| )
P
+
=
2
1 U +
0
2 Z0
2
P−
= |Γ| P +
+
U lässt sich aus der Generatorspannung U , der Innenimpedanz des Generators ZG und der
G
0
Leitungsimpedanz Z0 berechnen.
G −Z0
ΓG = Z
ZG +Z0 ist eine theoretische Umrechnung der Innenimpedanz in einen Reflexionsfaktor.
U+
0 =
U G Z0
1 − ΓG
U
= G
−j2βl
(ZG + Z0 )(1 − ΓG ΓL e
)
2 1 − ΓG ΓL e−j2βl
Spezialfälle Generator angepasst
ΓG = 0
U+
0
→ ZG = Z0
U
= G
2
Last angepasst
ΓL = 0
U+
0
→ ZL = Z0
Z0
U
= UG
= G (1 − ΓG )
ZG + Z0
2
26
3.2.11
Verfügbare Leistung
Die vom Generator in das Netzwerk eingespeiste Leistung kann bei schlechter Abstimmung der
Komponenten reflektiert werden. Die mittlere Leistung, die in das Netz fliesst berechnet sich zu
2
P (Zin ) =
|U | Re {Zin }
1
Re {U in I in } = G
2
2 |Zin + ZG |2
Für die weitere Betrachtung gilt
Zin
ZG
= Rin + jXin
= RG + jXG
allseitige Anpassung Die maximale Leistung gibt der Generator bei allseitiger Anpassung
Z0 = ZG = ZL = Zin ab.
2
1 |U G |
Pin = PA =
8 Z0
Last an Leitung angepasst ZL = Z0 6= ZG Der Generator ist nicht an die Leitung angepasst,
wodurch er weniger Leistung liefert, als er könnte.
Pin =
Z0
1
2
|U G |
2
2
(Z0 + RG )2 + XG
Generator an Leitung angepasst Die Generatorimpedanz wird an die Leitungsimpedanz
angepasst ZG = Zin , Γin = 0, ΓL 6= 0. Es bildet sich eine stehende Welle auf der Leitung.
Pin =
1
RG
2
|U |
2 + X2 )
2 G 4(RG
G
konjugiert komplexe Anpassung für maximalen Leistungstransfer (Leistungsanpassung) Wir versuchen Zin an ein gegebens ZG anzupassen, wobei wir mit den Ableitungen nach
Real- und Imaginärteil erhalten:
Rin = RG , Xin = −XG
Pin = PA =
∗
⇒ Zin = ZG
1
1
2
|U G |
2
4RG
Selbst Systeme mit bester Anpassung, auf deren Leitungen keine Reflexionen auftreten, sind nicht
zwangsläufig die beste Wahl, da die Verlustleistung an ZG beträchtlich sein kann. Dies kann nur
durch verkleinerung von ZG verbessert werden.
27
Leistung durch Bauelemente (Last)
PL =
3.2.12
1
1
1
2
{ZL } |IL | = {ZL }
2
2
2
|UL |
Einfügungs- und Reflexionsverluste
Reflexionsverlust Lr auf einer verlustlosen Leitung ist überall gleich gross (|Γ| unabhängig
von z). Auf einer verlustbehafteten Leitung allerdings eine Funktion des Ortes (|Γ| = |ΓL | e−αd ).
Lr = 10 log
1
P+
= 10 log 2 = −20 log |Γ|
−
P
|Γ|
Achtung: Eine grosse Zahl von Lr bedeutet einen kleinen Verlust.
Einfügungsverlust Li
Ula , Ila , Pla :
wird v.a. im Zusammenhang mit Zweitoren benutzt.
Ulb Ulb Plb
= 20 log Li = 10 log
= 20 log Pla
Ula Ila Jeweilige Grösse vor dem Lastwiderstand mit Zweitor
Ulb , Ilb , Plb :
3.3
Jeweilige Grösse vor dem Lastwiderstand ohne Zweitor
Verlustbehaftete Leitungen
Bisher wurde nur der verlustlose Fall betrachtet, d.h. die Leiter wurden als ideal angenommen.
Denkt man sich die Leiter als Dielektrika sind sie nicht mehr ideal und entsprechend drigt die
Welle nach dem Skineffekt in die Leiter ein und breitet sich in diesen mit stark verringerter
Phasengeschwindigkeit aus. Wegen den Randbedingungen entstehen Ez Komponenten und damit
sind es keine TEM-Wellen Ez = Hz = 0 mehr.
Erste Leitungsgleichung: Maschenregel
dU (z)
= −(R′ + jωL′ )I(z) = −Z ′ I(z)
dz
Mit
L′e + L′i = L′
L′e :
L′i :
äussere Induktivität pro Einheitslänge
innere Induktivität pro Einheitslänge
Die innere Induktivität besteht im Fall der verlustbehafteten Leitung zusätzlich zu der äusseren
Induktivität, die wir im Fall der verlustlosen Leitung mi L′ bezeichnet haben.
28
Zweite Leitungsgleichung: Knotenregel
dI(z)
= −(G′ + jωC ′ )U (z) = −Y ′ U (z)
dz
3.3.1
Wellengleichung auf verlustbehafteter Leitung
Durch Entkoppelung der beiden Leitungsgleichungen kommt man auf die Lösung
−αz −jβz
αz jβz
∓γz
U (z) = U +
e
+ U−
= U±
0e
0e e
0e
U+
U−
U±
0 −αz −jβz
e
e
− 0 eαz ejβz = ± 0 e∓γz
Z0
Z0
Z0
mit
s
r
′
√
Z
R′ + jωL′
=
γ = Z ′Y ′
Z0 =
Y′
G′ + jωC ′
I(z) =
Dies entspricht dem Ersatzschaltbild der verlustbehafteten Leitung.
Weitere Unterschiede zur verlustlosen Leitung:
• Die vorwärts und rückwärtslaufenden Spanungs- und Stromwellen sind gedämpft (∝ e−αz ).
• Vorwärts laufende Spannungen und Ströme sind nicht mehr in Phase.
√
• β ist der Imaginärteil von γ. Für verlustlose Leiter war β = ω L′ C ′ . Für verlustbehaftete
Leitungen wird β grösser und deshalb die Phasengeschwindigkeit v = ω/β kleiner.
Leitungsimpedanz
An der Stelle l (von der Last zum Generator gehend)
Zin (l) = Z0
ZL + Z0 tanh(γl)
Z0 + ZL tanh(γl)
Mittlerer Leistungsfluss in +z-Richtung
+ 2
U 1
0
∗
Pav (z) = Re {U (z)I (z)} =
e−2αz cosφZ0
2
2 |Z0 |
Leitungsreflexionsfaktor
vom Lastende aus gesehen
Γ(l) = ΓL e−2αl e−2jβl
Anhand von drei verschiedenen Beispielen soll das Verhalten einer schwach verlustbehafteten Leitung diskutiert werden.
• Am Ende kurzgeschlossene Leitung ZL = 0
Zin (l) = Z0
tanh αl + j tan βl
1 + j tanh αl tan βl
Leitungslänge l = nλ/2
Zin = Z0 tanh αl ≈ Z0 αl
Leitungslänge l = nλ/4
Zin =
Z0 ≈ Z0
tanh αl αl
29
• Am Ende offene Leitung YL = 0
Yin (l) = Y0 tanh αl ≈ Y0 αl =
αl
Z0
Leitungslänge βl = (2n − 1)π/2
Y0
Y0
1
≈
=
tanh αl
αl
Z0 αl
Yin (l) =
• Am Ende kurzgeschlossene Leitung als Induktivität
Siehe FuKII Skript Seite 121
3.3.2
Leitung mit kleinen Verlusten
1
α≈
2
Z0 ≈
r
L′
C′
r
C′
R
+ G′
L′
√
β ≈ ω L′ C ′
′
1
für ω >>
2
30
!
r
L′
C′
R′
G′
−
L′
C′
4
4.1
Hohlleiter
Allgemeines
Bei einem Hohlleiter wird eine elektromagnetische Welle in ein Rohr gebracht, in dem sie durch
Spiegelung weitergeleitet wird. Somit hat die Feldkomponente, die senkrecht zur Einfallsebene
steht, keine Komponente in effektiver Ausbreitungsrichtung. Das untenstehende Bild erläutert dies
anschaulich für eine TE-Welle (E-Feld transversal). Das E-Feld hat hier also keine Komponenten in
z-Richtung (Ausbreitungsrichtung), im Gegensatz zum H-Feld, welches solche besitzt. Umgekehrt
gibt es auch TM-Wellen, bei denen das H-Feld senkrecht im Leiter steht und dafür das E-Feld
transversale Komponenten besitzt. Diesen Sachverhalt werden auch die weiter unten folgenden
Tabellen zu Rechteck- und Rundhohlleiter anschaulich illustrieren. Im Hohlleiter gibt es keine
TEM-Wellen.
Wobei zusätzlich folgende Gegebenheiten allgemein gelten:
vphase · vgruppe = c2
ω
vphase = λg f =
β mn
(13)
(14)
vgruppe entspricht hierbei der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Energie und Information, sprich
der effektiven Geschwindigkeit des Signals. vphase heisst Phasengeschwindigkeit, welche erstaunlicherweise, gemäss der oben genannten Formel, stets grösser als die Lichtgeschwindigkeit c ist.
λg heisst Hohlleiterwellenlänge. Sie wird kann durch 2π
β berechnet werden und entspricht der Distanz in z-Richtung, nach der sich die Feldverteilungen wiederholen (Hin- und Zurückspiegelung).
Für die Formeln der weiteren Komponenten studiere man die Tabellen weiter hinten. Im weiteren
gelten die Zysset’schen Gleichungen:
λg = q
c
f2
−
2
fc,m,n
s
f =c
31
=
1−
λ
λ
λc
1
1
+
λg
λc,m,n
4.2
Moden im Rechteckhohlleiter
Im Hohlleiter gibt es verschiede Modes, also Muster, wie sich die TE oder TM Wellen spiegelnd
fortbewegen. Sie werden im Rechteckhohlleiter formell durch die natürlichen Zahlen m und n
definiert, die sich aus sin und cos in den Formeln ergeben und der Anzahl Phasen der Sinusoidalschwingungen von E oder H pro Länge (a oder b, wobei a > b) entsprechen. Welche dieser Moden
möglich sind, wird durch die Frequenz der EM-Welle definiert.
Um in sich in einem Mode zu befinden, muss die Wellenfrequenz f grösser als die für den Mode
(TEmn oder TMmn ) erforderliche Cutoff-Frequenz fmn sein. Der Mode mit der kleinsten Frequenz ist stets TE10 . Die Moden TM10 und TM01 gibt es aufgrund von Randbedingungen an den
Materialgrenzen nicht (Maxwell-Gleichungen). Ist die Wellenfrequenz f also kleiner als TE10 , so
ergibt sich aus den Formeln, dass βmn imaginär ist und die Welle exponentiell abklingt. Es findet
dann also keine Wellenausbreitung statt.
Der Mode mit der zweitkleinsten Cutoff-Frequenz kann sowohl TE01 als auch TE20 sein, je nach
Verhältnis zwischen den Seiten a und b. Die obenstehende Darstellung illustriert dies.
•
> 21
b ist also grösser als die Hälfte von a. Dies bedeutet also, dass der Mode TE01 die nächsthöhere Cutoff-Frequenz liefert. Den Frequenzbereich zwischen fcT E10 und fcT E01 nennt man
Mono-modebereich, da in dieser Region nur ein Mode möglich ist, was in der Praxis von
entscheidendem Nutzen sein soll. In der oben gezeigten darstellung sieht man aber, dass der
Monomode-Bereich für die besagten Seitenverhältnisse kleiner wird, je länger b relativ zu a
ist. Somit verschmälert sich auch die mögliche Bandbreite im Leiter und aus diesem Grund
werden in der Praxis mehrheitlich Seitenverhältnisse ≤ 12 gewählt.
•
≤ 21
Ist b kleiner oder gleich lang wie die Hälfte von a, so ist der nächstgrössere Cutoff-Frequenz
diejenige des Modes TM20 , was ebenfalls in der Darstellung ersichtlich ist. Somit liegt der
Monomode-Bereich zwischen den Cutoff-Frequenzen fc10 und fc20 . Diese Frequenzen lassen
sich allgemein relativ einfach berechnen:
b
a
b
a
Untergrenze:
fc10
Obergrenze für
b
a
> 21 : fc01
Obergrenze für
b
a
≤ 21 : fc20
32
1
√
2a µε
1
= √
2b µε
=
1
= 2 · fc10 = √
a µε
(15)
(16)
(17)
4.3
Grössen im Rechteckhohlleiter
TEmn -Moden
Hz
H 0 cos
mπx
a
nπy
b
cos
Ez
TMmn -Moden
e−jβmn z
0
0
E 0 sin
mπx
a
nπy
b
sin
Hx
jβmn mπ
H0
2
akcmn
sin
mπx
a
cos
nπy
b
e−jβmn z
− ZT yM
Hy
jβmn nπ
H0
2
bkcmn
cos
mπx
a
sin
nπy
b
e−jβmn z
Ex
ZT M
ZT E H y
mπ
− jβakmn
E 0 cos
2
Ex
−ZT E H x
nπ
E 0 sin
− jβbkmn
2
k
Zw βmn
=
q
cmn
cmn
mπx
a
sin
nπy
b
e−jβmn z
cos
nπy
b
e−jβmn z
2
ZT M
q
kcmn
q
mπ 2
a
1−
fcnm
f
2
nπ 2
b
+
mπ 2
a
k2 −
= Zw
r
−
nπ 2
b
2ab
(mb)2 +(na)2
√
λcmn
1√
λcnm µε
fcmn
fcmn
ZT M , ZT E
a
b
m
n
k
mπx
a
Zw
1−( fcnm
)
f
Zw βmn
k
βmn
e−jβmn z
E
Ex
ZT E
:
:
:
:
:
:
:
Cutoff-Frequenz des Modes TEmn bzw. TMmn
Impedanz des Dielektrikums bei der Frequenz f im modus m, n (→ Cutoff-Frequenz)
längere Seite des Rechtecks
kürzere Seite des Rechtecks
Anzahl Hubbel auf der längeren Seite
Anzahl Hubbel auf der kürzeren Seite
Ausbreitungskonstante gemäss Kapitel 1 (verlustfreier und verlustbehafteter Fall)
33
5
Dielektrischer Wellenleiter
5.1
Allgemeines
Ein dielektrischer Wellenleiter führt einen elektromagnetische Welle durch fortgesetzte Totalreflexion an einer Grenzschicht vom optisch dichtem Medium 1 (Brechungsindex ↑, rel. Permitivität ↑)
zum optisch dünnerem Medium 2 (Brechungsindex ↓, rel. Permitivität ↓). Jedoch existiert in Medium 2
ein exponentiell abklingendes Feld, welches aber keine Leistung transportiert.
5.2
Schichtwellenleiter
ε3
y
ε2
z
x
2h
ε1
∂2
∂y 2
+ ky2 E z (y) = 0
ky2 = ω 2 ǫµ − β 2
E z ∼ e−jβz
∂
=0
∂x
Mit allgemeiner Lösung E z (y) = AE ejky y + B E e−jky y
Aus Symmetriegründen gibt es zwei linear unabhänginge Lösungen:
ungerade
gerade
y
y
|E|
|E|
5.2.1
TM-Wellen
gerade Lösung
E z (y) = E z (−y)
αy ǫr = −kyII cot(kyII h)
ungerade Lösung
E z (y) = −E z (−y)
αy ǫr = −kyII cot(kyII h)
allgemein
p 2 2
β − ω ǫ 0 µ0
p 2
2
αy =
kyII =
ω ǫ 0 ǫ r µ0 − β
34
5.2.2
TE-Wellen
gerade
αy = −kyII cot(kyII h)
ungerade
αy = −kyII tan(kyII h)
5.2.3
allgemeine Formeln
fc =
mc0
√
4h ǫr − 1
m=
ωcn =
5.3
0, 2, 4 . . .
1, 3, 5 . . .
ungerade
gerade
p
nπ
2h µ0 ǫ0 (ǫr − 1)
nπ
βy (ωc ) =
2h
Streifenwelenleiter
Gebräuchlicher, verlustarmer Wellenleiter im Millimieterwellenbereich bis Infrarot, sowie Licht. In der
Praxis müssen für die Berechnung numerische Verfahren herbeigezogen werden.
5.4
Faserwellenleiter
r1
r2
Gebräuchlich in der optischen Nachrichtentechnik, da nahezu ungebrenzte Bandbreite (∼20 000 GHz)
Die Leistung einer Lichtwelle in der Glasfaser nimmt exponentiell ab. Dämpfungskoeffizient α
α=−
P (z0 + ∆z)
10
log10
∆z
P (z0 )
Brechungsindex / Snellius gilt auch:
n=
√
c0
= ǫr
v
v: Geschwindigkeit im Medium
n2
sin θ1
=
sin θ2
n1
35
Brechzahldifferenz:
n1 − n2
n1
Wenn ein Lichtstrahl auf die Grenzfläche zu einem optisch dünneren Medium trifft (n1 > n2 ) kommt es
zu einer Totalreflexion, falls gilt:
∆n =
θ1 > θ2
n2
n1
sin θc =
Man unterteilt Fasern in Monomodefasern und Multimodefasern. Der Durchmesser des Faserkerns der
Monomodefaser ist so klein, dass sich nur ein einziger Moder ausbreiten kann:
Kern-ø
Aussen-ø
Brechzahldifferenz
Multimode
0.05-0.1 mm
0.125 - 0.2 mm
1-2%
Monomode
0.008 mm
0.125 mm
0.1-0.2%
Ein einkoppeln des Lichtstrahls ist nur für einen Winkel Θ < Θmax möglich, andernfalls wird das Licht
in den Fasermantel eingekoppelt und sehr schnell absorbiert. Dieses faserspeziefische Verhalten beschreibt
die Numerische Apertur NA
q
N A = sin Θmax =
n21 − n22
Die Beschreibung des Feldes im Faserwellenleiter sind mit Bessel/Weber/Neumannschen Funktionen möglich,
gestalten sich jedoch kompliziert.
Im Falle von rotationssymmetrichschen Feldern (m Koeffizient der bösen Funktionen ist null) und
keinerlei Ausbreitung der Welle in z-Richtung, vereinfachen sich die Feldgleichungen folgendermassen:
T E − M oden
J1 (u)
u K1 (w)
=−
J0 (u)
w K0 (w)
T M − M oden
J1 (u)
ǫrII u K1 (w)
=−
J0 (u)
ǫrI w K0 (w)
Ki : modifizierte Hankelfunktion
Ji : Besselfunktion
Die Cutoff-Frequenz der T E01 und T M01 Moden:
fcT E01 ,T M01 ≈
1
p 2.405
2π a ǫ0 µ0 (ǫrI − ǫrII )
Die normalisierte Frequenz ν ist ein Mass für die Anzahl der ausbreitungsfähigen Moden in der
Stufenindexfaser:
2πa
ν= p
λ0 n21 − n22
Für
• ν < 2.405 kann sich nur eine Mode (HE11 ) ausbreiten. Monomodenfaser. Für eine vernünftige
Feldkonzentration muss 2 < ν < 2.405 gelten
36
• ν ≫ 2.405 handelt es sich um einen Multimodefaser
Es gelten die Näherungsformeln:
Pcladding
4
≈ √
Pcore
3 N
ν2
N≈
2
ν ≫ 2.405
37
6
Antennen
6.1
Einführung
Jede Antenne kann sowohl senden als auch empfangen. Ihre Eigenschaften sind dabei in beiden Fällen
gleich. Die Antenne transformiert Leitungswellen in freie Wellen und umgekehrt. Die wichtigsten eigenschaften der zu diesen Wellen gehörenden Felder sind:
• Das elektrische und das magnetische Feld stehen senkrecht aufeinander.
~ und |H|
~ ist konstant gleich der materialabhängigen Wellenim• Das Verhältnis der Beträge
p von |E|
~
~
pedanz: |E|/|H| = Zw = µ/ǫ
• Die Welle breitet sich im homogenen Raum geradlinig aus.
• wird die Welle von einer räumlich begrenzten Anordnung von Quellen erzeugt, fällt ihre Amplitude
weit weg von den Quellen nur mit 1/r ab, im Gegensatz zu den mit 1/r2 abfallenden statischen
Feldern.
6.2
Hertzscher Dipol
Die Eigenschaften der elekromagnetischen Welle werden erst nach einer charalteristischen Distanz d >
√
λ = 1/(f µǫ) sichtbar. Deshalb herrschen nahe am Dipol quasistatische Verhältnisse.
6.3
Gebräuchliche Antennen
6.4
Antennenparameter
Aus Sicht der Zuleitung stellt die Antenne eine einfache Impedanz dar. Man nennt diese Fusspunktimpedanz. Im Idealfall ist die Fusspunktimpedanz reell, weil dann die gesamte in der Zuleitung zur Verfügung
stehende Leidtung auf die Antenne übertragen und somit abgestrahlt wird.
Da eine Antenne nicht in alle Richtungen gleich stark strahlt, kann man ein Richtdiagramm definieren. In der Praxis genügt es oft statt dem Richtdiagramm nur einzelne Parameter daraus anzugeben.
Integriert man die gesamte Leistungsdichte über die ganze Kugeloberfläche erhalt man die totale
StrahlungsleistungPrad . Da auch auf der Antenne selber Leistung verbraucht wird, ist Prad meist kleiner
als die eingespeiste Leistung P. Das Verhältnis
η=
prad
P
ist der Antennwirkungsgrad und wird meistens in prozent angegeben.
Das Richtdiagramm eines idealen Kugelstrahlers ist eine Kugel. Er strahlt in jede richtung die gleiche Leistung Sav = Prad /4π [W pro Raumwinkel] ab. Vergleicht man die Strahlungsdichte einer normalen
Antenne mit der des Kugelstrahlers erhält man den Richtfaktor (directivity).
D(θ, φ) =
S(θ, φ)
Sav
Weiter lässt sich auch der Gewinn (gain) berechnen.
G(θ, φ) = η · D(θ, φ)
Ist man nicht an einem bestimmten winkel sondern an der maximalen Strahlungsdichte interessiert, erhält
man den maximalen Richtfaktor
Smax
4πSmax
D0 =
=
Sav
Prad
Die effektive Sendeleistung:
Pef f = Smax 4π = GP
Es gibt noch eine weitere Beziehung.
|I|2
2
Dabei ist Rs der Stralungswiderstand und symbolisiert den energieverlust durch die Abstrahlung. I ist
die komplexe Amplitude des Stroms am Antennenfusspunkt.
Prad = Rs
38
Aus den Übungen sind folgende Formeln über die Freiraumdämpfung zwischen Sender T und
Empfänger R
λ 2
Pr
Gt Gr
=
Pt
4πd
Pr
Pt
−
= 20 log
dBm
dBm
λ
4πd
+
Gt
Gr
+
dBi
dBi
dBm bedeutet ”bezogen auf 1mW”und dBi bedeutet ”bezogen auf den isotropen Kugelstrahler”
Man kann davon ausgehen, das man sich im Fernfeld befindet, wenn
d≥
2D2
λ
ist, wobei D die grösste Ausdehnung der Antenne ist.
6.5
Berechnung des Antennenfeldes
39
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