ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Grundlagen der Physik 1 Mechanik und spezielle Relativität 13. 01. 2006 Othmar Marti [email protected] Experimentelle Physik Universität Ulm (c) Ulm University – p. 1/21 DO CENDO · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Relativistische Beschleunigung DO CENDO Die von B gemessene longitudinale ′ Beschleunigung a ist grösser als die von A gemessene Beschleunigung 2 3/2 v ′ a=a 1− 2 c (c) Ulm University – p. 2/21 · ITÄT U M Bewegte Masse · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Gedankenexperiment zur Bestimmung der relativistischen Masse c ist maximale Geschwindigkeit Alle Inertialsysteme sind äquivalent Lage des Schwerpunktes muss konsistent beschrieben werden ⇒ m = m(v) (c) Ulm University – p. 3/21 DO CENDO · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Masse und Geschwindigkeit DO CENDO Die mit der Geschwindigkeit v bewegte Masse (in ihrem Ruhesystem mit m0, Ruhemasse) hat den Wert m0 m(v) = p 1 − v 2/c2 (c) Ulm University – p. 4/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Masse und Geschwindigkeit DO CENDO Nach der relativistischen Mechanik entspricht einer (geschwindigkeitsabhängigen) Masse die Energie 2 E = m(v)c . (c) Ulm University – p. 5/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Relativistische kinetische Energie DO CENDO Die relativistische kinetische Energie ist 2 1 2 Ekin, rel = E−m0c = m0c p 1 − v 2/c2 ! −1 (c) Ulm University – p. 6/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Relativistischer Impuls DO CENDO Der relativistische Impuls ist analog zum klassischen Impuls definiert: m0 v p = m(v)v = q v2 1 − c2 (c) Ulm University – p. 7/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Relativistische Kraft DO CENDO Die relativistische Kraft ist analog zum 2. Newtonschen Gesetz durch dp d (m(v)v) = F = dt dt gegeben. (c) Ulm University – p. 8/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Relativistischer Energiesatz DO CENDO Relativistischer Energiesatz q E = m20c4 + c2p2 (c) Ulm University – p. 9/21 · ITÄT Relativistische Energie und Beschleunigung U M · C UR · SCIENDO DO CENDO Relativistische Beschleunigung Relativistische Beschleunigung 3 1 2.5 0.8 v 2 1.5 a ANDO · U N ERS L IV 0.6 0.4 1 0.2 0.5 0 0 0 0.5 1 1.5 t 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t Zeitverlauf der relativistischen Geschwindigkeit (links) und der relativistischen Beschleunigung bei konstanter Kraft. (c) Ulm University – p. 10/21 · ITÄT U M Relativistische Energie · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV DO CENDO Relativistische Energie 4.5 4 3.5 Ekin 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t Verlauf der kinetischen Energie bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall. (c) Ulm University – p. 11/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Relativistische Position DO CENDO Relativistische Position 4.5 4 3.5 3 x 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t Verlauf der zurückgelegten Distanz bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall. (c) Ulm University – p. 12/21 · ITÄT U M · Relativistische Zeit Relativistische Zeit 3 2.5 2 τ C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t Verlauf der Eigenzeit bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall. (c) Ulm University – p. 13/21 DO CENDO · ITÄT U M Weg und Eigenzeit · Weg und Eigenzeit 1e+012 1e+010 1e+008 1e+006 10000 x(τ) C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV 100 1 0.01 0.0001 1e-006 1e-008 0 5 10 15 20 25 τ Zurückgelegte Strecke als Funktion der Eigenzeit. (c) Ulm University – p. 14/21 DO CENDO · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Lorentz-Transformation Beschreibung eines Punktereignisses in zwei gegeneinander bewegten Bezugssystemen (c) Ulm University – p. 15/21 DO CENDO · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Alternative Konstruktion zur Lorentz-Transformation Andere Berechnung der Lorentztransformation (c) Ulm University – p. 16/21 DO CENDO · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Lorentz-Transformation DO CENDO Lorentz-Transformation x − ut x = q u2 1 − c2 ′ ′ y = y ′ z = z ux t − ′ c2 t = q u2 1 − c2 ′ ′ x − ut x = q u2 1 − c2 y = y′ z = z′ ux′ ′ t − c2 t = q u2 1 − c2 (c) Ulm University – p. 17/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV DO CENDO Grösse Ortskoordinaten Zeitkoordinaten Länge Lorentz-Transformation und Galilei-Transformation Galilei-Transformation klassische Physik x; y; z Lorentz-Transformation relativistische Physik x; y; z t ict x = x + vt ′ ′ x = √x +vt2 ′ 1−v /c2 vx′ /c2 +t′ t= √ 2 2 1−v /c p p Abstand r = x2 + y 2 + z 2 r = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 Vergleich von Galilei- und Lorentz-Transformation Zeit t = t′ ′ (c) Ulm University – p. 18/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Zwillingsparadoxon Weltlinie beim Zwillingsparadoxon (c) Ulm University – p. 19/21 DO CENDO · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Zwillingsparadoxon DO CENDO Zwillingsparadoxon: Fahrplan der Signale, die A und B austauschen (c) Ulm University – p. 19/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Starrer Körper DO CENDO Definition: ein Körper ist starr, wenn rij für beliebige i′ s und j ′ s jederzeit konstant ist. (c) Ulm University – p. 20/21 · ITÄT U M Starrer Körper · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Schwerpunktsystem (c) Ulm University – p. 20/21 DO CENDO · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Starrer Körper DO CENDO Koordinatensystem zur Berechnung der Rotation eines starren Körpers (c) Ulm University – p. 20/21 · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Starrer Körper Definition der Eulerschen Winkel (c) Ulm University – p. 20/21 DO CENDO · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Kräfte am starren Körper Angriffspunkt einer Kraft in einem starren Körper. (c) Ulm University – p. 21/21 DO CENDO · ITÄT U M · C UR · SCIENDO ANDO · U N ERS L IV Kräfte am starren Körper Definition eines Kräftepaares. (c) Ulm University – p. 21/21 DO CENDO ·