x - TU Freiberg

Mechanik für Makro- und Mikroteilchen
Klassische Mechanik
Quantenmechanik
Zustandandsbeschreibung
Bahn eines Teilchens
Ortskoordinate
Geschwindigkeit
bzw. Impuls
Ort und Impuls sind nicht
gleichzeitig bestimmt:
x(t )
dx(t )
v(t ) =
dt
p(t ) = mv(t )
Δx 2 × Δp 2 ≥
h2
4
(Heisenbergsche Unschärferelation)
Wellenfunktion ψ (x, t )
ψ ( x, t ) dx ist die Wahrscheinlichkeit
2
dafür, das Teilchen im Intervall
x...x + dx anzutreffen
Dynamik
d 2x
∂U
m 2 =−
∂x
dt
Stationäre Zustände
0=−
∂U
∂x
i
h ∂ψ ( x, t ) ˆ
= Hψ ( x, t ) (Schrödinger)
2π
∂t
§ 2π E n i ·
t¸
h
©
¹
Ansatz: ψ (x, t ) = ψ n (x ) exp¨ −
Hˆ ψ n ( x ) = E nψ n ( x )
(Schrödinger)
Messwerte
³ dxψ (x t )Aψ (x t ) = ψ A ψ
Funktionen von x(t ) und p(t ) , z.B.
Gesamtenergie
A(t ) =
p (t )
E=
+ U ( x(t ))
2m
Operatoren Â
2
*
, ˆ
,
ˆ
h ∂
xˆ = x , Uˆ = U , p x Ÿ
2π i ∂x
1
Aufgaben zur Quantenmechanik
Separations-Ansatz
1) Zeigen Sie, dass die Schrödinger - Gleichung für das Elektron im Wasserstoffatom in zwei
Differentialgleichungen für den Radial- und den Winkelanteil separiert werden kann.
2) Formulieren Sie die die Schrödinger - Gleichung in kartesischen Koordinaten für ein
Elektron, das sich frei in einem Quadrat der Fläche a^2 bewegt. Die Ränder haben
unüberwindlich hohe Potenziale.
3) Formen Sie die Schrödinger - Gleichung für den starren Rotator in 2 gewöhnliche
Differentialgleichungen um! Wie lautet der φ – abhängige Anteil der Wellenfunktion?
Aus welcher Bedingung entsteht die Quantenzahl m?
Linearer Oszillator
4) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion Ȍ0 = C exp(- Į x^2) eine Lösung der Schrödinger –
Gleichung für den linearen Oszillator ist, wenn Į geeignet festgelegt wird! Wie groß ist die
Energie E0?
Normierung der Wellenfunktion
5) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten N:
a) ψ (φ ) = N exp(iφ ) , b) ψ (φ ) = N cos(φ ) , c) ψ (r ) = N exp(− r / r0 ) und
d) ψ (r ,θ , φ ) = Nr sin θ cos φ exp(− r / 2r0 )
(Wertebereiche: 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ θ < π und 0 ≤ r < ∞ )
Zwischenmolekulare Wechselwirkungen
1) Für ein System elektrischer Ladungen sei die Summe aller Teilladungen gleich Null.
Zeigen Sie, dass in diesem Fall das Dipolmoment unabhängig von der Wahl des
Koordinatenursprungs ist!
Weshalb ist die Angabe des Dipolmoments nur für ein elektrisch neutrales System sinnvoll?
2) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinaten eines Kalziumions (2nm,
2nm, 2nm) und die eines Sulfidions (5nm, 6nm, 2nm). Wie groß ist das Dipolmoment des
Systems?
&
&
3) Wie groß ist die Wechselwirkungsenergie eines Dipols u mit einem elektrischen Feld E ?
Wie groß ist die Wechselwirkungsenergie eines Dipols von u = 2*10^(-20) Cm mit einem
Elektron im Abstand von 5nm, wenn der Winkel zwischen der Dipolzentrum-ElektronenAchse und dem Dipol 60° beträgt?
4) Bestimmen Sie den Betrag des Dipolmoments eines Wassermoleküks (Partialladung für H:
0.33e, Abstand H-O: 95.7 pm, Bindungswinkel: 104.6°)!
2
Aufgaben
Heisenbergsche Unschärferelation
Ein Teilchen sei in einem Potentialtopf gefangen (1d-Modell). Zeigen Sie, dass die
Heisenbergsche Unschärferelation für dieses Teilchen erfüllt ist. Das Modell kann verwendet
werden, um die kinetische Energie des H-Atoms abzuschätzen. Vergleichen Sie das Ergebnis
dieser Abschätzung mit der kinetischen Energie eines Nukleons im Atomkern.
(H-Atom, a = 10^(-10) m, Nukleon a’= 10^(-15) m)
Komplexe Zahlen
Beweisen Sie die Eulersche Formel exp(i ij) = rcosij + i r sinij durch
Potenzreihenentwicklung !
Aufgaben:
- Zerlegen in Real- und Imaginärteil: z = (1+2i)/(1-5i), z = (1 + i) r exp(i ij)
- Beweisen der Additionstheoreme mit der Eulerschen Formel
Freies Teilchen mit vorgegebenem Impuls, Teilchenstrom
Leiten Sie mit der zeitabhängigen Schrödingergleichung einen Ausdruck für den
Wahrscheinlichkeitsstrom jx (1d-Fall) her.
Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion Ȍ(x) = A exp(ikx) eine Eigenfunktion des
Impulsoperators ist. Wie hängt die Wellenzahl k mit dem Teilchenimpuls px zusammen ?
Wie groß ist der Teilchenstrom jx und der elektrische Strom Jx, wenn das Teilchen ein
Elektron ist ?
Potentialsschwellen, Tunneleffekt
Für eine Potentialschwelle gelte V = V0 *H(x) mit V0 > 0 (H(x), Heaviside Sprungfunktion).
Ein Teilchen habe den Impuls px und treffe von links auf die Potentialschwelle. Bestimmen
Sie die Wellenfunktion des Teilchens Ȍ(x) für x < 0 und x > 0, wobei die kinetische Energie
des Teilchens a) kleiner und b) größer als V0 sein soll.
3
Aufgaben
Gleichzeitig scharf bestimmte physikalische Größen
1) Physikalische Größen sind gleichzeitig scharf bestimmt, wenn ihre Operatoren
vertauschbar sind (d.h es gilt Op1 Op2 – Op2 Op1 = 0). Wenden Sie dieses Prinzip auf Ortsund Impulsmessungen an und stellen Sie einen Zusammenhang zum Heisenbergschen
Unschärferelation her!
Rotator
2) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Drehimpulses und der Energie eines einachzigen
Rotators! Liefen Energie und Impuls des Rotators gleichzeitig scharfe Werte?
(Drehimpulsoperator: Lz = h/(2ʌ i) ˜/˜φ für 2d-Rotator mit starrer Drehachse, Operator für
Rotationsenergie (Lz)2/2I)
3) Welche Werte (Eigenwerte) können a) der Gesamtdrehimpuls und b) die
Drehimpulsprojektion auf eine Achse (z-Achse) bei einem 3d-Rotator (z. B. Hantelmodell)
annehmen?
Haben die Drehimpulsprojektionen auf die z-Achse und auf die x-Achse gleichzeitig scharfe
Werte?
(Lz = x py-y px, Lx = y pz – z py )
Variationsrechnung
4) Wie kann mit einer Variationsmethode die Energie des Grundzustandes eines Systems
näherungsweise bestimmt werden?
Schätzen Sie mit den Variationsansätzen
a) ȥ = A x (L-x) und
b) ȥ =A ( x (L-x) +B x2 (1-x)2 )
die Enegie eines freien Teilchens in einem ‚Kasten’ 0 < x < L ab. Vergleichen Sie die
Ergebnisse mit dem exakten Wert.
5) Bestimmen Sie für das Wasserstoffatom mit der Variationsmethode unter Verwendung des
Ansatzes ȥ = C exp(-br) eine Abschätzung für die Energie des Grundzustandes.
Pauli-Prinzip
6) 5 Fermionen mit dem Spin ½ befinden sich in einer Box der Länge L (eindimensionales
Modellsystem). Es soll keine Wechselwirkung zwischen den Fermionen auftreten. Bestimmen
Sie die Systemenergie für den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand.
Elektrostatische Wechselwirkung
7) Berechnen Sie den Betrag des Dipolmoments eines Wassermoleküls (Partialladung für H:
0.32e, Abstand H-O: 95.7 pm, Bindungswinkel: 104.6°)!
8) Berechnen Sie die elektrostatische Wechselwirkung zwischen einem Ca2+-Ion und einem
Cl- -Ion im Abstand von 0.3 nm im Vakuum!
9) Wie groß ist die Wechselwirkung eines Dipols u = 2*10-20 Cm mit einem Elektron im
Abstand von 5 nm, wenn der Winkel zwischen der Dipolzentrum-Elektron-Achse und dem
Dipol 60° beträgt?
4
Der Tunneleffekt
Barrieren, die nach der klassischen Mechanik unüberwindbar sind,
werden von Mikroteilchen beim Tunneleffekt überwunden.
Aufgabe: Ein Teilchen mit dem Impuls px = hk/2ʌ trifft auf eine
Potenzialschwelle der Höhe V0. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass das Teilchen die Schwelle überwindet? Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit einer Reflektion an der Schwelle?
Hinweise: Lösen Sie die Schrödinger-Gleichung für die beiden
Gebiete x < 0 und x > 0. An der Grenze x = 0 ist die Wellenfunktion
Ȍ(x) und ihre erste Ableitung stetig.
V(x)
V0
x=0
x
5
Aufgaben zur Quantenmechanik
Separations-Ansatz
1) Zeigen Sie, dass die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom in zwei
Differentialgleichungen für den Radial- und den Winkelanteil separiert werden kann.
2) Formulieren Sie die die Schrödingergleichung in kartesischen Koordinaten für ein
Elektron, das sich frei in einem Quadrat der Fläche a^2 bewegt. Die Ränder haben
unüberwindlich hohe Potenziale.
3) Formen Sie die Schrödingergleichung für den starren Rotator in 2 gewöh nliche
Differentialgleichungen um! Wie lautet der φ – abhängige Anteil der Wellenfunktion?
Aus welcher Bedingung entsteht die Quantenzahl m?
Linearer Oszillator
4) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion Ȍ0 = C exp(- Į x^2) eine Lösung der Schrödinger –
Gleichung für den linearen Oszillator ist, wenn Į geeignet festgelegt wird! Wie groß ist die
Energie E0?
Rotator
5) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Drehimpulses und der Energie eines einachsigen
Rotators! Haben Energie und Impuls des Rotators gleichzeitig scharfe Werte?
(Drehimpulsoperator: Lz = h/(2ʌ i) ˜/˜φ für 2d-Rotator mit starrer Drehachse, Operator für
Rotationsenergie (Lz)2/2I)
Pauli-Prinzip
6) 5 Fermionen mit dem Spin ½ befinden sich in einer Box der Länge a (eindimensionales
Modellsystem). Es soll keine Wechselwirkung zwischen den Fermionen auftreten. Bestimmen
Sie die Systemenergie für den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand.
Aufstellen der Schrödingergleichung
7) Stellen Sie die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom auf! (Es kann die Gültigkeit
der Born-Oppenheimer-Näherung vorausgesetzt werden.)
8) Stellem Sie die Schrödingergleichung für folgende Systeme auf:
a) He- Atom
b) Linearer Oszillator
c) Wasserstoff-Molekül
6
Der einachsige Rotator (Rotation nur um die z - Achse)
y
m1
R
ࢥ
x
m2
ȝ = m1m2/(m1+m2)
Aufgabe:
Bestimmen Sie den Drehimpuls und die Energie des
einachsigen Rotators! Können Energie und Drehimpuls
gleichzeitig scharfe Werte annehmen?
Lösungshinweise:
Drehimpuls in der klassischen Mechanik: Lz = x py – y px
Quantenmechanisch: Lz = (h/2ʌi) ˜/˜ࢥ
Kinetische Energie in der klassischen Mechanik: E = (Lz)2/2I
Operator: H = (Lz)2/2I
(Trägheitsmoment I = ȝR2)
7
Übungsaufgaben aus Klausuren
1) Stellen Sie die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom auf! (Es kann die Gültigkeit
der Born-Oppenheimer-Näherung vorausgesetzt werden.)
2) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten N der Wellenfunktionen
a) ψ (φ ) = N exp(iφ ) und b) ψ (φ ) = N cos(φ ) und c) ψ ( x ) = N sin (π x / d ) , wobei der Winkel φ
und die Koordinate x die Wertebereiche 0 ≤ φ < 2π und 0 ≤ x ≤ d haben.
3) Geben Sie den Impulsoperator px für die Bewegung eines Elektrons parallel zur x-Achse
an. Berechnen Sie für ein Elektron, das sich in dem Bereich 0 < x < ʌ befindet (Kasten mit
1/ 2
unendlich hohen Wänden) aus der Wellenfunktion Ψ ( x) = (2 / a ) sin (π x /a) den
Erwartungswert des Impulses p x . Bestimmen Sie außerdem als Maß für die
Impulsunschärfe die Differenz p x2 − p x
2
.
4) Der Abstand zwischen einem Elektron und einem Positron betrage d = 1 nm. Wie groß ist
die Wechselwirkungsenergie und das elektrische Dipolmoment der Ladungen.
5) Bestimmen Sie den Betrag des Dipolmoments eines Wassermoleküks (Partialladung für H:
0.33e, Abstand H-O: 95.7 pm, Bindungswinkel: 104.6°)!
6) Geben Sie die allgemeine Form der Bilanzgleichung einer skalaren Erhaltungsgröße an.
Wie unterscheidet sich diese Gleichung von der Bilanzgleichung einer skalaren
Nichterhaltungsgröße.
7) Formulieren Sie die die Schrödinger - Gleichung in kartesischen Koordinaten für ein
Elektron, das sich frei in einem Quadrat der Fläche a^2 bewegt. Die Ränder haben
unüberwindlich hohe Potenziale.
6) Geben Sie eine Formel an, mit der man aus den relativen Besetzungszahlen (bzw.
Besetzungswahrscheinlichkeiten) P1=N1/N und P2=N2/N die Entropie eines
Zweiniveausystems bestimmen kann (N Anzahl der Teilchen)! Wie groß wird die Entropie in
den Grenzfall T ĺ 0 und bei hohen Temperaturen T?
Die charakteristische Temperatur șosz = hv/k für die Schwingung eines zweiatomigen
Moleküls wurde zu 1200 K bestimmt. N0 und N1 seien die Anzahl der Oszillatoren im
Grundzustand bzw. im ersten angeregten Zustand. Wie groß ist das Verhältnis der
Besetzungszahlen N1/N0 für die Temperatur T = 300 K?
10) Geben Sie jeweils eine Formel für die Zustandssumme, die Freie Energie, die Energie, die
Entropie und die Wärmekapazität eines Systems aus N gleichartigen linearen Oszillatoren
(mit der Eigenfrequenz ν bzw. der charakteristischen Temperatur θ0 = hν/k) an!
12) Für ein System aus N freien Teilchen erhielt man die Einteilchenzustandssumme
q = CT 3 / 2V (Boltzmannschen Statistik), wobei C eine Konstante, T die Temperatur, V das
Volumen und N die Teilchenzahl ist. Bestimmen Sie daraus die freie Energie F, die Entropie
S, die Energie E, die Wärmekapazität Cv , den Druck p und das chemische Potential μ.
8
Übungsaufgaben aus Klausuren
1) Stellen Sie die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom auf!
2) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten N der Wellenfunktionen
a) ψ (φ ) = N exp(iφ ) b) ψ (φ ) = N cos(φ ) und c) ψ ( x ) = N sin (π x / d ) ,
wobei der Winkel φ und die Koordinate x die Wertebereiche 0 ≤ φ < 2π und 0 ≤ x ≤ d
haben.
3) Geben Sie den Impulsoperator px für die Bewegung eines Elektrons parallel zur x-Achse
an. Berechnen Sie für ein Elektron, das sich in dem Bereich 0 < x < a befindet (Kasten mit
1/ 2
unendlich hohen Wänden) aus der Wellenfunktion Ψ ( x) = (2 / a ) sin (π x /a) den
Erwartungswert des Impulses p x . Bestimmen Sie außerdem als Maß der Impulsunschärfe
die Differenz p x2 − p x
2
.
4) Der Abstand zwischen einem Elektron und einem Positron betrage d = 1 nm. Wie groß sind
die Wechselwirkungsenergie und der Betrag des elektrischen Dipolmoments der Ladungen.
5) Geben Sie die allgemeine Form der Bilanzgleichung für eine skalare Erhaltungsgröße an.
Wie unterscheidet sich diese Gleichung von der Bilanzgleichung einer skalaren
Nichterhaltungsgröße.
6) Für ein System aus N freien Teilchen ergab sich die Einteilchenzustandssumme zu
q = CT 3 / 2V (Boltzmannsche Statistik), wobei C eine Konstante, T die Temperatur, V das
Volumen und N die Teilchenzahl ist. Bestimmen Sie daraus die freie Energie F, die Entropie
S, die Energie E, die Wärmekapazität Cv , den Druck p und das chemische Potential μ.
7) Wie kann man im Rahmen der Boltzmannschen Statistik aus den relativen
Besetzungszahlen P1=N1/N und P2=N2/N die Entropie eines Zweiniveausystems bestimmen
(N Anzahl der Teilchen)? Wie groß wird die Entropie in den Grenzfällen T ĺ 0 und bei
hohen Temperaturen
T >> İ2/k (İ2, Energie des oberen Niveaus)?
8) Die charakteristische Temperatur șosz = hv/kB für den Schwingungsfreiheitsgrad eines
zweiatomigen Moleküls betrage 1200 K. N0 und N1 seien die Anzahl der Oszillatoren im
Grundzustand bzw. im ersten angeregten Zustand. Wie groß ist das Verhältnis der
Besetzungszahlen N1/N0 für die Temperatur T = 300 K?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Elementarladung e0=1,6*10-19C; Dielektrizitätskonstante (im Vakuum) İ0 = 8,854*10-12C2J1 -1
m ;
h und kB bezeichnen das Plancksche Wirkungsquantum bzw. die Boltzmannsche Konstante;
y
³ sin ( By ) dy = 2 −
2
sin (2 By )
;
4B
1
³ sin( By) cos(By )dy = 2B sin (By )
2
9
Aufwendigere Aufgaben
Rotator
1) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Drehimpulses und der Energie eines zweidimensionalen
Rotators! Können Energie und Impuls des Rotators gleichzeitig bestimmt werden?
2) Welche Werte (Eigenwerte) können a) der Gesamtdrehimpuls und b) die
Drehimpulsprojektion auf eine Achse (z-Achse) bei einem 3d-Rotator (z. B. Hantelmodell)
annehmen?
Haben die Drehimpulsprojektionen auf die z-Achse und auf die x-Achse gleichzeitig scharfe
Werte?
Identische Teilchen
3*) 2 Fermionen mit dem Spin ½ befinden sich in einer Box der Länge L (eindimensionales
Modellsystem). Es soll keine Wechselwirkung zwischen den Fermionen auftreten. Bestimmen
Sie die Systemenergie und die Wellenfunktion für den Grundzustand.
4) Wie groß ist die Energie des Grundzustandes eines Gases aus N wechselwirkungsfreien
Fermionen mit dem Spin ½ in einer kubischen Box mit dem Volumen L3.
(Einfaches Modell für das Elektronengas in Metallen.)
Welchen Beitrag liefert die Austauschwechselwirkung zum Druck und zur Kompressibilität
eines Festkörpers? (me = 9.1 * 10-27 kg, Ne/V=8.5*1028 /m3 für Cu)
Die Austauschwechselwirkung verhindert, dass ein Neutronenstern durch seine eigene
Schwerkraft zusammengedrückt wird.
Nahe der Oberfläche eines Neutronensterns betrage die Dichte eines Neutronendichte ȡ = 1015
kg/m3 (mn = 1.7*10-27 kg). Welchen Druck verursacht die Austauschwechselwirkung? Wie
groß ist die Kompressibilität der Neutronenmaterie (Fermi-Gas)?
5*) Stellen Sie mögliche Wellenfunktionen der Elektronen für Helium aus Produkten von
Wasserstoff-Wellenfunktionen dar. Wie unterscheiden sich Para- und Orthohelium?
Variationsmethode
6*) Wie kann mit einer Variationsmethode die Energie des Grundzustandes eines Systems
näherungsweise bestimmt werden?
Bestimmen Sie für das Wasserstoffatom mit der Variationsmethode unter Verwendung des
Ansatzes ȥ = C exp(-br) eine Abschätzung für die Energie des Grundzustandes.
7) Schätzen Sie mit dem Ansatz ȥ = C x (L-x) +D x2 (1-x)2 die Energie eines freien Teilchens
in einem ‚Kasten’ 0 < x < L ab. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Wert.
10
Aufgaben zur Thermodynamik irreversibler Prozesse
1) Schreiben Sie die Beziehungen zwischen den Kräften und Flüssen für Prozesse der
Wärmeleitung und 2 chemische Parallelreaktionen in Matrixschreinweise auf!
Verwenden Sie dabei die thermodynamisch exakten Kräfte!
2) Formulieren Sie die Beziehung zwischen Kräften und Flüssen als Matrixgleichung für
den Fall, dass Wärme und Ladung transportiert werden. Verwenden Sie die
thermodynamisch exakten Kräfte.
3) Geben Sie die allgemeine Form der Bilanzgleichung für eine spezifische skalare
Größe a an! Welche Besonderheit gibt es für die Bilanz von Erhaltungsgrößen?
4) Bestimmen Sie aus dem Summanden – 1/T div(Jq) in der Entropiebilanz einen
diffusen Entropiestrom und die thermodynamische Kraft der Wärmeleitung!
5) Was versteht man unter einem stationären Zustand 1. Grades?
6) Schreiben Sie die Beziehungen zwischen Kräften und Flüssen für Prozesse des
Wärmetransports und des Transports elektrischer Ladung in Matrixschreibweise auf!
Leiten Sie daraus die Gleichungen für den Peltier-Effekt und den Seebeck-Effekt unter
Angabe der Bedingungen für Kräfte und Ströme ab!
7) Leiten Sie die Kontinuitätsgleichung für das spezifische Volumen unter Verwendung
der substantiellen Ableitung ab!
8) Was besagt das Curie-Prinzip?
9) Formen Sie den Ausdruck iji div(Ji+ȡiv) unter Berücksichtigung von grad(iji) = - Fi so
um, dass ein Teil dem Strom und ein Teil dem Quellterm in der Bilanz der
potenziellen Energie (ijim) zugeordnet werden kann! Was gehört zum Quellterm?
10) Zeigen Sie die Äquivalenz der mit lokaler und substantieller Zeitableitungen
formulierten Bilanzen der Entropie:
→
ds
ρ = − div J s + σ
dt
→
→
→
→
∂ρs
ds ∂s →
=
= −div J s ,tot + σ mit
+ v grads und J s = J s ,tot − ρs v
∂t
dt ∂t
11) Die Wärmestromdichte in einem isotropen Festkörper genügt dem Gesetz
→
J q = Lqq grad (1 / T ) ≅ −λgradT . Leiten Sie mit Hilfe der Energiebilanz eine
Gleichung her, die den Temperaturausgleich beschreibt!
12) Welche Gestalt hat der Impulsstromtensor einer ruhenden Flüssigkeit?
11
Irreversible Thermodynamik
1) Welche Transformationseigenschaften hat ein Vektor bei Drehung des
Koordinatensystems? Ein Vektor habe die Komponenten V = (Vx, Vy, Vz) in einem
kartesischen Koordinatensystem. Das Koordinatensystem wird um die z-Achse (Drehwinkel
30°) gedreht. Wie groß sind die Komponenten (Vx’,Vy’,Vz’) des Vektors im gedrehten
Koordinatensystems.
Wie transformieren sich Skalare und Tensoren zweiter Stufe bei Drehung des
Koordinatensystems?
Zeigen Sie, dass div V = ˜Vx/˜x+˜Vy/˜y+˜Vz/˜z ein Skalar ist.
3) Eine Flüssigkeit strömt durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt. Leiten Sie eine
Gleichung für die lokale Massenbilanz ab. Verallgemeinern Sie das Ergebnis auf den Fall
einer beliebigen Strömung! In welche allgemeine mathematische Form lassen sich Bilanzen
von skalaren und vektoriellen Erhaltungsgrößen überführen?
4) Wie unterscheiden sich die Ströme in der Entropiebilanz bei Verwendung der lokalen und
der substantiellen Zeitableitung?
5) Die Wärmestromdichte je in einem isotropen Festkörper genügt dem Gesetz je = - ț gradT.
Leiten Sie mit Hilfe der Energiebilanz eine Gleichung her, die den Wärmeausgleich in dem
Festkörper beschreibt (Wärmeleitung ohne Konvektion).
In einem Stab der Länge L sei zu einem Zeitpunkt t = 0 die Temperaturverteilung
T(t=0,x)=f(x) vorgegeben. Wie lässt sich der Temperaturausgleich beschreiben unter der
Annahme, dass die Stabenden (x=0 und x=L) auf eine konstante Temperatur T0 gehalten
werden.
Bestimmen Sie den Temperaturverlauf T(r) in der Umgebung einer erhitzten Kugel im
stationären Zustand.
6) Wie kann der lokale Erhaltungssatz für den Impuls in einem Kontinuum formuliert werden.
Der Impulsstromtensor für eine nicht kompressible reibungsfreie Flüssigkeit ist durch
Ȇij = p įij + ȡVi Vj gegeben. Leiten Sie eine Bewegungsgleichung der Flüssigkeit ab.
Wie kann die Reibung (Viskosität) berücksichtigt werden?
12
Aufgaben Statistik
1) Nullpunktsentropie
CO und einige andere AB-Moleküle haben im Kristallzustand zwei energetisch fast
gleichwertige Anordnungen (Orientierungen CO und OC). Daraus resultiert ein
Entropiebeitrag, der auch am absoluten Nullpunkt nicht verschwindet. Wie groß ist die
Nullpunktsentropie. Hinweis: Verwenden Sie die Boltzmannsche Entropiedefinition
S = k ln W!
2) Kombinatorik
A) Reihenfolge
Auf wie viel verschiedene Weisen können 3 Bücher gestapelt werden.
B) Anzahl der Aufteilungen
Wie groß ist die Anzahl der Aufteilungen von N Elementen auf p Fächer.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, zwei Geschenke auf 2 Personen aufzuteilen?
C) Aufteilung mit Nebenbedingungen
Wie groß ist die Anzahl der Aufteilungen von N Elementen auf p Fächer, so dass
N1 Elemente im ersten Fach,
N2 Elemente im zweiten Fach,
:
Np Elemente im p-ten Fach sind?
Wie viele verschiedene Aufteilungen der Karten sind beim Kartenspiel ‚Skat’ möglich?
3) Mischungsentropie idealer Mischungen
Ein idealer Mischkristall bestehe aus NA Atome der Sorte A und NB Atome der Sorte B (N =
NA + NB). Wie groß ist die Anzahl der Konfigurationen W des Systems, wenn jeder der N
Gitterplätze entweder von einem Atom der Sorte A oder der Sorte B besetzt ist. Bestimmen
Sie mit der Beziehung S = k lnW und der Stirlingschen Formel die Entropie des
Mischkristalles. Wie groß sind die chemischen Potentiale?
4) Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
Verwenden Sie die Lagrange - Parametermethode, um folgenden Satz zu beweisen:
Unter allen Rechtecken mit einem vorgegebenen Umfang hat das Quadrat den größten
Flächeninhalt!
5) Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
Die Entropie für ein System, das sich jeweils mit der Wahrscheinlichkeit Pi in einem der n
Zustände (i=1,2,…,n) befindet, kann mit der Beziehung
¦
n
S = −k
Pi ln Pi
i =1
bestimmt werden. Zeigen Sie, dass dieser Ausdruck maximal wird, wenn Pi = 1/n für i = 1,2,3
.. n gilt (Gleichverteilung). Welche Verteilung führt auf ein Maximum der Entropie S, wenn
die Nebenbedingung für die Gesamtenergie
¦PE
n
E=
i
i
= const
i =1
einbezogen wird?
13
6) Geben Sie eine Formel an, mit der man aus den relativen Besetzungszahlen (bzw.
und
P2=N2/N
die
Entropie
eines
Besetzungswahrscheinlichkeiten)
P1=N1/N
Zweiniveausystems bestimmen kann (N Anzahl der Teilchen). Wie groß wird die Entropie in
den Grenzfall T ĺ 0 und bei hohen Temperaturen T?
7) Boltzmannsche Verteilung
Die Oberflächentemperatur der Sonne beträgt 6000K. Wie viele H-Atome befinden sich im
ersten angeregten Energieniveau bezogen auf den Grundzustand?
8) Boltzmannsche Verteilung und thermodynamische Funktionen für ein Zwei-NiveauSystem
In einem Paranagmet können für bestimmte Fragestellungen die magnetischen Freiheitsgrade
unabhängig von den übrigen Freiheitsgraden des Festkörpers behandelt werden. Ein Spin 1/2System hat in einem Magnetfeld zwei verschiedene Spinausrichtungen. Bei paralleler
Orientierung von Spin (z-Komponente) und Magnetfeld (in Richtung der z-Achse) ist die
Energie niedriger ( ε 1 = − μH ) als bei antiparalleler Ausrichtung ( ε 2 = μH ). Folgende
Größen sind für ein System aus N Spins zu bestimmen:
A) Boltzmannsche Verteilung (Darstellung N1/N bzw. N2/N gegen T oder 1/T)
B) Freie Energie, Entropie, Wärmekapazität
C) Suszeptibilität
9) System aus Oszillatoren
Die charakteristische Temperatur șosz für die Schwingung eines zweiatomigen Moleküls
wurde zu 1200 K bestimmt. N0 und N1 seien die Anzahl der Oszillatoren im Grundzustand
bzw. im ersten angeregten Zustand. Wie groß ist das Verhältnis der Besetzungszahlen N1/N0
für die Temperatur T = 300 K?
10) Geben Sie jeweils eine Formel für die Zustandssumme, die Freie Energie, die Energie, die
Entropie und die Wärmekapazität eines Systems aus N gleichartigen linearen Oszillatoren
(mit der Eigenfrequenz ν bzw. der charakteristischen Temperatur θ0 = hν/k) an!
System aus Rotatoren
11) Wie groß ist für T = 50 K das Verhältnis aus den Besetzungszahlen des Grundzustandes
und des ersten angeregten Zustandes für einen Rotator (Molekül AB, ungleiche Kerne A und
B, θrot sei 10K)?
Freie Teilchen mit Boltzmannscher Statistik behandelt
12) Für ein System aus N freien Teilchen erhielt man die Einteilchenzustandssumme
f = CT 3 / 2V (Boltzmannschen Statistik), wobei C eine Konstante, T die Temperatur, V das
Volumen und N die Teilchenzahl ist. Bestimmen Sie daraus die freie Energie F, die Entropie
S, die Energie E, die Wärmekapazität Cv , den Druck p und das chemische Potential μ.
Freie Teilchen und kanonische Gesamtheit
13) Für ein System aus N freien Teilchen ergab sich die kanonische Zustandssumme zu
(
)
N
Z = CT 3 / 2V / N ! , wobei V das Volumen, T die Temperatur und C eine Konstante ist.
Bestimmen Sie daraus F, S, E, die thermische Zustandsgleichung, die Wärmekapazitäten CV
und das chemische Potential!
14
15
16
17
18
19
20
1) Stellen Sie die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom auf!
2) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten N der Wellenfunktionen
a) ψ (φ ) = N exp(iφ ) b) ψ (φ ) = N cos(φ ) und c) ψ ( x ) = N sin (π x / d ) ,
wobei der Winkel φ und die Koordinate x die Wertebereiche 0 ≤ φ < 2π und 0 ≤ x ≤ d
haben.
3) Geben Sie den Impulsoperator px für die Bewegung eines Elektrons parallel zur x-Achse
an. Berechnen Sie für ein Elektron, das sich in dem Bereich 0 < x < a befindet (Kasten mit
1/ 2
unendlich hohen Wänden) aus der Wellenfunktion Ψ ( x) = (2 / a ) sin (π x /a) den
Erwartungswert des Impulses p x . Bestimmen Sie außerdem als Maß der Impulsunschärfe
die Differenz p x2 − p x
2
.
4) Der Abstand zwischen einem Elektron und einem Positron betrage d = 1 nm. Wie groß sind
die Wechselwirkungsenergie und der Betrag des elektrischen Dipolmoments der Ladungen.
5) Geben Sie die allgemeine Form der Bilanzgleichung für eine skalare Erhaltungsgröße an.
Wie unterscheidet sich diese Gleichung von der Bilanzgleichung einer skalaren
Nichterhaltungsgröße.
6) Für ein System aus N freien Teilchen ergab sich die Einteilchenzustandssumme zu
q = CT 3 / 2V (Boltzmannsche Statistik), wobei C eine Konstante, T die Temperatur, V das
Volumen und N die Teilchenzahl ist. Bestimmen Sie daraus die freie Energie F, die Entropie
S, die Energie E, die Wärmekapazität Cv , den Druck p und das chemische Potential μ.
7) Wie kann man im Rahmen der Boltzmannschen Statistik aus den relativen
Besetzungszahlen P1=N1/N und P2=N2/N die Entropie eines Zweiniveausystems bestimmen
(N Anzahl der Teilchen)? Wie groß wird die Entropie in den Grenzfällen T ĺ 0 und bei
hohen Temperaturen
T >> İ2/k (İ2, Energie des oberen Niveaus)?
8) Die charakteristische Temperatur șosz = hv/kB für den Schwingungsfreiheitsgrad eines
zweiatomigen Moleküls betrage 1200 K. N0 und N1 seien die Anzahl der Oszillatoren im
Grundzustand bzw. im ersten angeregten Zustand. Wie groß ist das Verhältnis der
Besetzungszahlen N1/N0 für die Temperatur T = 300 K?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Elementarladung e0=1,6*10-19C; Dielektrizitätskonstante (im Vakuum) İ0 = 8,854*10-12C2J1 -1
m ;
h und kB bezeichnen das Plancksche Wirkungsquantum bzw. die Boltzmannsche Konstante;
y
³ sin ( By ) dy = 2 −
2
sin (2 By )
;
4B
1
³ sin( By) cos(By )dy = 2B sin (By )
2
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