Übungen mit Lösungen

Tutorium Mathematik TBB1, WIB1
Prof. Dr. Peter Plappert
Fakultät Grundlagen
Aufgabenblatt D2 – Differenzialrechnung 2
Aufgabe 1
Die Funktion K ( x) = x 3 − 10 x 2 + 60 x + 100 beschreibt die Gesamtkosten bei der Produktion von x
ME eines Gutes.
a) Berechnen Sie die Grenzkosten für die Produktionsmenge x = 10 ME.
b) Berechnen Sie die Grenz-Stückkosten für die Produktionsmenge x = 10 ME.
c) Die Produktionsmenge x = 10 ME wird auf x = 10,1 ME angehoben. Wie verändern sich
c1) die Gesamtkosten
c2) die Stückkosten?
Führen Sie eine Näherungsrechnung unter Benutzung Ihrer Ergebnisse aus a) und b) durch.
d) Vergleichen Sie die Näherungswerte aus c) mit den exakten Werten.
e) Berechnen Sie die Elastizität der Gesamtkosten bezüglich der Produktionsmenge an der Stelle
x = 10 ME. Reagieren die Gesamtkosten hier elastisch oder unelastisch auf eine Änderung der
Produktionsmenge?
f) Interpretieren Sie den Zahlenwert aus e).
g) Die Produktionsmenge x = 10 ME wird um 2,5 % angehoben. Wie ändern sich die
Gesamtkosten (näherungsweise) prozentual?
Aufgabe 2
x
+ 10) 2 beschreibt, welcher Preis p [in GE/ME] sich erzielen
10
lässt, wenn x ME eines bestimmten Gutes abgesetzt werden. Bei der Herstellung dieser x ME
entstehen Gesamtkosten von K ( x) = 10000 + 10 x .
Die Funktion p( x) = 500 − 0,2 ⋅ (
a)
b)
c)
d)
e)
Bestimmen Sie Umsatzfunktion U (x) und Gewinnfunktion G (x) .
Wie groß sind Preis, Umsatz und Gewinn, wenn 200 ME des Gutes abgesetzt werden?
Berechnen Sie Grenzumsatz und Grenzgewinn für die Absatzmenge x0 = 200 ME.
Wie sind die Zahlenwerte aus c) zu interpretieren?
Berechnen Sie jeweils die Elastizität
e1) des Preises bezüglich der Absatzmenge,
e2) des Umsatzes bezüglich der Absatzmenge,
e3) des Gewinns bezüglich der Absatzmenge;
jeweils an der Stelle x0 = 200 ME.
f) Welche der Größen Preis, Umsatz, Gewinn reagiert (an der Stelle x0 = 200 ME) elastisch auf
eine Änderung der Absatzmenge?
g) Die Absatzmenge 200 ME wird um 0,5 % erhöht. Wie ändern sich dabei (näherungsweise)
prozentual
g1) Preis g2) Umsatz g3) Gewinn?
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Aufgabe 3
Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K ( x) = 40 +
30
.
3− x
a) Berechnen Sie die Grenzkosten bei x = 1 ME.
b) Berechnen Sie die Elastizität der Kosten bezüglich des Outputs bei x = 1 ME.
c) Wenn die Herstellungsmenge x = 1 ME um 0,05 ME erhöht wird, wie ändern sich dann
(näherungsweise) die Gesamtkosten
c1) in GE?
c2) prozentual?
Aufgabe 4
Die folgende Produktionsfunktion x(r ) beschreibe den Ertrag x in Abhängigkeit eines Inputfaktors
1
r ≥0:
x(r ) = − r 3 + 2r 2 + 13r . Berechnen Sie
27
a) den Gesamtertrag,
b) den Durchschnittsertrag,
c) den Grenzertrag,
d) die Inputelastizität des Ertrags;
jeweils für die Inputmenge r0 = 3 ME.
Aufgabe 5
Bearbeiten Sie diese Aufgabe ohne Taschenrechner.
Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion x( p ) = 9 − p − 1 .
a) Bestimmen Sie die Umsatzfunktion U ( p) .
b) Berechnen Sie jeweils für den Preis p = 5 GE/ME
b1) Grenzumsatz b2) Preiselastizität des Umsatzes.
c) Interpretieren Sie die Zahlenwerte aus b1) und b2).
Aufgabe 6
Gegeben sind die Funktionen p(x) , U (x) , K (x) , G (x) aus Aufgabe 2 mit Definitionsbereich
D = [0; 400] . Berechnen Sie
a)
b)
c)
d)
das globale Maximum des Umsatzes
das globale Minimum des Umsatzes
das globale Maximum des Gewinns
das globale Minimum des Gewinns.
Weisen Sie jeweils nach, dass es sich um ein Extremum handelt.
Aufgabe 7*
Gegeben sind eine Gesamtkostenfunktion K (x) und die zugehörige Durchschnittskostenfunktion
K ( x)
. Dann gilt für die Elastizitäten
k ( x) =
x
(*)
ε k ( x 0 ) = ε K ( x0 ) − 1 .
a) Überprüfen Sie die Formel (*) für die Kostenfunktion K (x ) aus Aufgabe 1 an der Stelle
x0 = 10 .
b) Beweisen Sie die Formel (*) allgemein.
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Ergebnisse zum Aufgabenblatt D2
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Aufgabe 1 a) K ′ (10) = 160 b) k ′ (10) = 9
c1) Gesamtkosten steigen um ca. 16 GE. c2) Stückkosten steigen um ca. 0,9 GE/ME.
d) Gesamtkosten steigen um 16,201 GE. Stückkosten steigen um 0,911 GE/ME.
16
e) ε K (10) =
≈ 2,29
f) Erhöht man die Produktionsmenge x = 10 ME um 1 %, steigen die
7
16
Gesamtkosten um ca.
% ≈ 2,29 % .
7
40
g) Gesamtkosten steigen um ca.
% ≈ 5,71 %
7
Aufgabe 2
a) U ( x ) = −0,002x 3 − 0,4x 2 + 480x , G ( x ) = −0,002x 3 − 0,4x 2 + 470x − 10000
b) p(200) = 320 GE/ME, U ( 200) = 64000 GE, G( 200) = 52000 GE.
c) U ′ ( 200) = 80 , G ′ ( 200) = 70
d) Erhöht man die Absatzmenge x 0 = 200 ME um 1 ME,
so wächst der Umsatz um ca. 80 GE und der Gewinn um ca. 70 ME.
3
1
7
e1) ε p (200) = − = −0,75 , ε U (200) = = 0,25 , ε G (200) =
≈ 0,2692
4
4
26
f) keine, da ε p (200) < 1 , ε U (200) < 1 , ε G (200) < 1
3
1
% = 0,375 % , Umsatz steigt um ca. % = 0,125 % ,
8
8
7
% = 0,13 %
Gewinn steigt um ca.
52
g) Preis sinkt um ca.
15
= 7,5
2
3
c1) Kosten steigen um ca. = 0,375 GE
8
Aufgabe 3 a) K ′ (1) =
Aufgabe 4 a) x ( 3) = 56
d) ε x (3) =
b)
b) ε K (1) =
3
≈ 0,136
22
c2) Kosten steigen um ca.
x ( 3) 56
=
≈ 18,67
3
3
15
% ≈ 0,682 %
22
c) x ′ ( 3) = 24
9
≈ 1,29
7
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Aufgabe 5 a) U ( p) = p 9 − p − p
p
1
1
b1) U ′ ( p) = 9 − p −
− 1 , U ′ (5) = −
b2) ε U (5) = −
4
4
2 9− p
c) Erhöht man den Preis p = 5 GE/ME um 1 GE/ME, so sinkt der Umsatz um ca. 1 4 GE. (*)
Erhöht man den Preis p = 5 GE/ME um 1 %, so sinkt der Umsatz um ca. 1 4 %.
[Anmerkung: Die Näherungsrechnung (*) ist hier sehr ungenau. Eine Erhöhung von 5 GE/ME auf
6 GE/ME ist aber auch keine „kleine“ Änderung.]
Aufgabe 6
U ′( x ) = 0 ⇒ x ≈ 223,93 (die andere Lösung x ≈ −357,26 ist ökonomisch sinnlos). Wegen
U ′′ ( 223,93) < 0 liegt an dieser Stelle ein (lokales) Maximum vor. Das Maximum beträgt
U ( 223,93) ≈ 64970,76 . Untersuchung der Randpunkte von D: U ( 0) = 0 , U ( 400) = 0 .
a) b) Folglich ist das globale Maximum U ( 223,93) ≈ 64970,76 und das globale Minimum
U ( 0) = U ( 400) = 0 .
G ′( x ) = 0 ⇒ x ≈ 221,04 (die andere Lösung x ≈ −354,38 ist ökonomisch sinnlos). Wegen
G ′′(221,04) < 0 liegt an dieser Stelle ein (lokales) Maximum vor. Das Maximum beträgt
G(221,04) ≈ 52745,88 .
Untersuchung der Randpunkte von D: G (0) = −10000 , G(400) = −14000 .
c) d) Folglich ist das globale Maximum G(221,04) ≈ 52745,88 und das globale Minimum
G(400) = −14000 .
Aufgabe 7*
9
= ε K (10) − 1 , wie behauptet.
7
′
K ′ ( x) ⋅ x − K ( x)
⎛ K (x) ⎞
b) Es ist k ′ ( x ) = ⎜
.
⎟ =
⎝ x ⎠
x2
x ⋅ k ′( x0 )
x
x0
K ′( x0 ) ⋅ x0 − K ( x0 )
= 0 ⋅ k ′( x0 ) =
⋅
Damit ist ε k ( x0 ) = 0
K ( x0 )
k ( x0 )
k ( x0 )
x0 2
x0
a) ε k (10) =
x0 2 K ′( x0 ) ⋅ x0 − K ( x0 ) K ′( x0 ) ⋅ x0
=
⋅
=
− 1 = ε K ( x0 ) − 1
K ( x0 )
K ( x0 )
x0 2
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