Proseminar Lineare Algebra LA Gym Mengentheoretische

Proseminar Lineare Algebra LA Gym
Mengentheoretische Topologie
Trennungseigenschaften
Dirk Lauschner
14.01.2014
Einleitung
Diese Ausarbeitung behandelt die Seiten 83 bis 93 der Seminarlektüre: Querenburg, Boto von (2001): Mengentheoretische Topologie. 3., neubearbeitete und
erweiterte Auflage, Berlin u.a.: Springer.
Teil VI
Trennungseigenschaften
In metrischen Räumen lassen sich disjunkte, abgeschlossene Mengen durch disjunkte, offene Umgebungen trennen. In beliebigen topologischen Räumen braucht
dies keineswegs zu gelten. In einem Raum X, versehen mit der indiskreten Topologie, lassen sich noch nicht einmal zwei verschiedene Punkte durch disjunkte
Umgebungen voneinander trennen; denn die Topologie auf X besitzt nur die offene Menge X und ∅. Die Existenz genügend vieler offener Mengen, die gewisse
Mengen voneinander trennen, fordert man durch sogenannte Trennungsaxiome.
A: Trennungseigenschaften topologischer Räume
6.1
Definition.
Ein topologischer Raum X heißt
T0 − Raum, wenn von je zwei verschiedenen Punkten einer eine Umgebung besitzt, welche den anderen Punkt nicht enthält;
T1 − Raum, wenn von je zwei verschiedenen Punkten aus X jeder eine Umgebung besitzt, die den anderen Punkt nicht enthält;
T2 − Raum oder Hausdorff-Raum, wenn je zwei verschiedene Punkte aus X disjunkte Umgebungen besitzen;
T3 − Raum, wenn jede abgeschlossene Menge A ⊂ X und jeder Punkt x ∈ X\A
disjunkte Umgebungen besitzen;
T3a − Raum, wenn es zu jeder abgeschlossenen Menge A ⊂ X und jedem
x ∈ X\A eine stetige Funktion f : X → [0, 1] gibt mit f (x) = 1 und f (A) ⊂ {0};
T4 − Raum, wenn es zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Teilmengen disjunkte Umgebungen gibt.
Die für Ti -Räume geforderten Eigenschaften heißen Ti − Axiome oder
T rennungsaxiome.
T1 -Räume erhalten bezüglich weiterer Trennungseigenschaften besondere Bezeichnungen:
6.2
Definition.
Ein topologischer Raum heißt:
- regulär, wenn er ein T3 - und ein T1 -Raum ist,
- vollständig-regulär, wenn er ein T3a - und ein T1 -Raum ist,
- normal, wenn er ein T4 - und ein T1 -Raum ist.
1
Abbildung 1: Aus: B.v.Querenburg, Mengentheoretische Topologie, 2001, S. 84
6.3
Beziehungen zwischen den Trennungsaxiomen.
(a) Jeder T1 -Raum ist ein T0 -Raum. Die Umkehrung gilt nicht;
denn: die Topologie O< auf R ergibt einen T0 -Raum, aber keinen T1 -Raum.
(b) Jeder T2 -Raum ist ein T1 -Raum. Die Umkehrung gilt nicht.
Beweis:
T2 ⇒ T1 klar, denn:
T2 ⇒ Seien x, y ∈ X, x 6= y mit x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅ mit U, V ⊂ X
offen, dann ergibt sich aus U ∩ V = ∅ insbesondere auch x ∈
/ V, y ∈
/ U.
Daraus folgt direkt das T1 -Axiom.
T1 ; T2 Gegenbeispiel:
Annahme: Sei X die unendliche Menge, versehen mit der cofiniten Topologie Ocof
(Ocof enthält Komplemente der endlichen Teilmengen von X.)
Dann ist (X, Ocof ) ein T1 -Raum, da für x, y ∈ Xx 6= y beliebig nach Def.
von Ocof auch X\{y} und X\{x} ⊂ (X, Ocof ), diese bilden jeweils Um| {z }
| {z }
=:U
=:V
gebungen zu x bzw. y.
Aber: (X, Ocof ) ist kein T2 -Raum, da mit U ∩ V = ∅ folgen würde:
X ⊂ X\ (U ∩ V ) = (X\U ) ∪ (X\V ) und damit wäre X als Vereinigung
| {z }
| {z } | {z }
=∅
{y}
{x}
endlicher Teilmengen endlich .
(c) Ein T3 -Raum braucht weder T2 - noch T1 -Raum zu sein;
denn: Jede nicht einpunktige Menge mit der indiskreten Topologie erfüllt
T3 , aber nicht T2 und nicht T1 .
(d) Jeder T3a −-Raum ist ein T3 -Raum;
denn: Ist A 6= ∅ eine abgeschlossene Menge eines T3a -Raumes X und
x ∈ X\A, dann gibt es eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit f (A) = {0}
und f (x) = 1.
2
In f −1 ([0, 1/2[) und f −1 (]1/2, 1]) erhält man offene, disjunkte Umgebungen von A bzw. x.
(e) Ein T4 -Raum braucht kein T3 -Raum zu sein.
Beweis:
T4 ; T3 Gegenbeispiel:
X := {1, 2, 3, 4} O := {{1}{1, 2}{1, 3}{1, 2, 3}, X, ∅}, nach Def. Topologie
offen, damit sind die Komplemente abgeschlossen: {2, 3, 4}, {3, 4}, {2, 4}, {4}, X, ∅,
diese abgeschlossenen Teilmengen sind nur disjunkt, wenn ∅ eine der Mengen ist (da alle anderen die 4 enthalten). Daraus ergibt sich das T4 -Axiom
Aber:
(X, O) ist kein T3 -Raum, da 1 und {4} nicht trennbar sind durch ein U
offen, da kein U die {4} enthält.
(f) Metrische Räume sind nach Satz 1.25 T2 −, T4 , und T3a −Räume, also auch
T0 − T1 − und T3 −Räume.
Aus 6.2 und 6.3 (und dem Lemma von Urysohn) ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen den Ti -Räumen:
Lemma von
Urysohn
normal
⇓
T4
z}|{
⇒
6.4
vollst. regulär ⇒ regulär
⇓
⇓
T3a
⇒
T3
z}|{
⇒ Hausdorff
k
T2
⇒ T1
⇒ T0
Für die Ti - Axiome gibt es jeweils äquivalente Umformulierungen, die in den
folgenden Sätzen gezeigt werden:
6.4
Satz.
Für einen topologischen Raum X sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) X ist ein T1 -Raum
(b) Jede einpunktige Menge ist abgeschlossen
(c) Jede Teilmenge A ⊂ X ist der Durchschnitt aller ihrer Umgebungen
Beweis:
(a) ⇒ (b)
T1 -Raum: Seien x, y ∈ X mit x 6= y beliebig und x ∈ U, y ∈ V mit y ∈
/ U, x ∈
/ V.
Sei x fest. Dann gibt
es
zu
jedem
y
=
6
x
ein
U
mit
x
∈
/
U
.
y
y
[
Dann ist {x} = X\ { Uy |y ∈ X\{x}}.
|{z}
offen
|
{z
}
offen
|
{z
}
abgeschlossen
(b) ⇒ (c)
Sei x ∈
/ A. Nach
Vorraussetzung ist {x} abgeschlossen also X\{x} offen.
T
Es ist A = {X\{x}|x ∈
/ A}
3
Sei UA eine beliebige Umgebung von A mit UA 6⊂ X. Dann gilt UA ⊂ X\{x}
für ein x T
∈
/ A.
T
Also gilt {UT
{X\{x}|x ∈
/ A} = A.
A |UA Umgebung von A} ⊂
Da auch A ⊂ {UA |UA Umgebung von A} gilt, wegen A ⊂ UA für eine beliebige
Umgebung UA folgt A = {UA |UA Umgebung von A}
(c) ⇒ (a)
Da nach (c) jede Teilmenge A ⊂ X der Durchschnitt all ihrer Umgebungen ist,
ist insbesondere auch {x} der Durchschnitt aller Umgebungen von x. Somit gibt
es zu jedem y 6= x eine Umgebung von x die y nicht enthält.
6.5
Satz.
Für einen topologischen Raum X sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) X ist Hausdorff’sch.
(b) Für jeden Punkt x ∈ X ist der Durchschnitt aller seiner abgeschlossenen
Umgebungen gleich der Menge {x}
(c) Die Diagonale ∆ ⊂ X × X ist abgeschlossen in X × X.
Beweis:
(a) ⇒ (b)
T
X Hausdorff ⇒ {x} = U mit U abgeschlossene Umgebung von x.
Sei y 6= x. Dann ist zu zeigen: Es gibt abgeschlossene Umgebung U von x, so
dass y ∈
/ U . Sei Oy eine offene Umgebung von y mit x ∈
/ Oy .
Dann ist U := X\Oy abgeschlossen und x ∈ U . Insbesondere existiert eine offene Umgebung Ox von x mit:
x ∈ Ox ⊂ U ⇒ U Umgebung von x mit y ∈
/ U.
(b) ⇒ (a)
Es seien y 6= x Punkte von X. Nach Vorraussetzung existiert eine abgeschlossene
Umgebung U ∈ U (x) mit y ∈
/ U . Dann ist X\U eine zu U disjunkte Umgebung
von y.
(c) ⇔ (a)
Ist X ein T2 -Raum und ist (x, y) ∈
/ ∆, dann existieren Umgebungen U ∈ U (x)
und V ∈ U (y) mit U ∩ V = ∅. Also ist U × V eine zu ∆ disjunkte Umgebung
von (x, y), also (x, y) ∈
/ ∆. Somit ist ∆ abgeschlossen.
Ist ∆ abgeschlossen und x 6= y, also (x, y) ∈
/ ∆, so gibt es eine offene Umgebung
U × V von (x, y) mit (U × V ) ∩ ∆ = ∅. Dann aber sind U und V disjunkte
Umgebungen von x bzw. y.
6.6
Satz.
Ein topologischer Raum X ist genau dann ein T3 -Raum, wenn es zu jedem
Punkt x und jeder x enthaltenden offenen Menge O eine offene Umgebung U
von x gibt, deren Abschluss in O liegt:
x ∈ O ⇒ ∃ U offen mit x ∈ U ⊂ U ⊂ O.
Beweis: ⇒“
”
Da x ∈ O offen, ist X\O abgeschlossen und nach T3 gibt es disjunkte offene
4
Umgebungen W ⊃ X\O und U mit x ∈ U , W ∩ U = ∅
Daher ist X\W abgeschlossen, womit gilt U ⊂ U ⊂ X\W ⊂ O. Also insbesondere auch U ⊂ O.
⇐“
”
x ∈ O ⇒ ∃U offen mit x ∈ U ⊂ U ⊂ O
Sei A eine abgeschlossene Teilmenge von X mit x ∈
/ A (oder x ∈ X\A)
z.z.: A und x besitzen disjunkte Umgebungen (T3 ).
Da A abgeschlossen, ist X\A offen. Da X\A offen, gibt es U ⊂ X\A offen mit
x ∈ U ⊂ U ⊂ X\A
⇒ A ⊂ X\U offen ⇒ |{z}
U ∩ X\U = ∅ ⇒ T3 .
| {z }
x∈
6.7
A⊂
Satz.
Für einen topologischen Raum sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) X ist ein T3a -Raum.
(b) Die Topologie von X besitzt als Basis das Mengensystem
B = {f −1 (U )|U ⊂ R offen, f : X → R stetig}
Beweis:
(a) ⇒ (b)
Def. von Basis: x ∈ V, V offen ⇒ ∃ |{z}
B ∈ B, x ∈ B ⊂ V .
offen
−1
⇒ für gegebene Basis B := f (R\{0}) ∈ B offen.
⇒x∈B ⊂V.
(b) ⇒ (a)
Sei A ⊂ X abgeschlossen, x ∈
/A
x ∈ X\A offen
⇒ ∃B ∈ B, x ∈ B ⊂ X\A
Nach Def. von B ist also x ∈ g −1 (U ) ⊂ X\A, g : x → R stetig.
⇒ Sei g eine Hilfsfunktion mit g : X → R stetig, x ∈ g −1 (U ) ⊂ X\A, U ⊂ R
offen. y ∈ A ⇒ g(y) ∈
/ U, g(x) ∈ U ⊂ R
Sei h eine stetige Hilfsfunktion mit: h : R → [0, 1] , h(R\U ) = 0, h(g(x)) = 1
h(y) 6= 0 ⇔ y ∈ (g(x) − , g(x) + )
|
{z
}
⊂U
f : X → [0, 1] , f : h ◦ g
⇒ f (x) = h(g(x)) = 1
f (A) = 0
Somit ist f die gesuchte Funktion und als Komposition stetiger Funktionen auch
stetig.
5
Abbildung 2: zeigt die stetige Hilfsfunktion h
6.8
Satz.
Ein topologischer Raum X ist genau dann ein T4 -Raum, wenn es zu jeder Umgebung U von A abgeschlossen, eine offene Menge O gibt, so dass A ⊂ O ⊂ O ⊂ U .
B: Vererbbarkeit von Trennungseigenschaften
6.9
Satz.
Ein Unterraum eines T0 -, T1 -, T2 -, T3 -, T3a -Raumes ist wieder ein T0 -, T1 -, T2 -,
T3 - bzw. T3a -Raum. Deshalb ist jeder Unterraum eines (vollständig) regulären
Raumes auch (vollständig) regulär.
6.10
Satz.
Ein abgeschlossener Unterraum eines normalen (bzw. T4 -)Raumes ist ein normaler (bzw. T4 -)Raum.
Beweis: Die Aussage folgt daraus, dass abgeschlossene Teilmengen eines abgeschlossenen Unterraums von X auch abgeschlossen in X sind.
6