Beugung an Ultraschallwellen

Beugung an
Ultraschallwellen
7. Februar 2005
Beugung an Ultraschallwellen
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Erzeugung von Ultraschall
3
3 Ausbreitung von Schallwellen
8
3.1
Lösung der Wellengleichung für periodische Anregung . . . .
11
4 Beugung von Licht an Ultraschallwellen
12
5 Intensitätsverteilung des Interferenzmusters
16
6 Apparatur
22
6.1
Beugung an Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
6.2
Schlierenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
7 Aufgaben
23
7.1
Experimentell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
7.2
Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2
Beugung an Ultraschallwellen
1
Einleitung
Mit Ultraschall Bezeichnet man mechanische Schwingungen, deren Frequenzen zwischen 16 kHz, der Hörbarkeitsgrenze des menschlichen Ohrs und etwa 1010 Hz liegen. Der Hörbereich des menschlichen Ohrs erstreckt sich von
etwa 16 bis 16,000 Hz. Frequenzen unterhalb 16 Hz bezeichnet man mit Infraschall (z.B. Erdbeben). Schwingungen mit Frequenzen oberhalb 1010 Hz
werden oft als Hyperschall bezeichnet. Diese obere Frequenzgrenze für den
Ultraschall wird durch den atomaren Aufbau der Materie bestimmt. Die
Wellenlänge des Ultraschall wird hier nur noch einige Gitterkonstanten a
lang (Λ ∼ 103 a ); und im anschliessenden Bereich des Hyperschalls, in den
vor allem die thermischen Bewegungen der Atome und Moleküle fallen, treten dann dementsprechend auch quantenmechanische Effekte stark in den
Vordergrund (Theorie der Phononen (= Schallquanten)). Unterhalb dieser
sehr hohen Frequenzen von 1010 Hz können wir die Materie als ein Kontinuum betrachten d.h. es gelten die Gesetze der Klassischen Akustik, die sich
ursprünglich nur mit dem Problem des Hörschalls befasste.
Zu den physikalischen Anwendungen des Ultraschalls gehören vor allem die
Bestimmung der Elastizitätskonstanten aus Messungen der Schallgeschwindigkeit. Aus Messungen der Schallgeschwindigkeit und Dämpfung lassen sich
im Rahmen von mikroskopischen Theorien oft Schlüsse auf den strukturellen
Aufbau der Materie ziehen. Die Anwendungen des Ultraschalls sind heute
weit über den engeren Bereich der Physik hinaus gewachsen; zu nennen sind
vor allem das Echolot auf Schiffen, die zerstörungsfreie Werkstoffprüfung
und die medizinische Diagnostik im menschlichen Körper. In Entwicklung
befindet sich heute auch ein Ultraschallmikroskop. Neben diesen passiven
Anwendungen gibt es auch eine Anzahl aktiver Anwendungen bei denen die
Schwingungsenergie zur Verrichtung von Arbeitprozessen benützt wird wie
z.B. zum Reinigen (Ultraschallbäder) zum Schweissen von Kunststoffen und
Bearbeiten von keramischen Materialien.
2
Erzeugung von Ultraschall
Die zur Ultraschallerzeugung verwendeten Schwingungs- und Anregungssysteme müssen für den Betrieb bei hohen Frequenzen geeignet sein. Das bedeutet den Wegfall verschiedener bei Hörschallerzeugern benutzter schwingungsfähiger Anordnungen von getrennter Feder und Masse, da deren Eigen-
3
Beugung an Ultraschallwellen
Frequenz
1011
Wellenlänge
Einige interatomere
abstände
Hyperschall
1010
109
108
107
Im Festkörper c ≈ 4000m / s
25 cm ≥ Λ ≥ 0 . 1 µ m
Ultraschall
106
105
104
103
Hörbereich
In Luft c = 330m / s
20 m ≥ Λ ≥ 20 mm
Infraschall
Erdbebenwellen
Λ ≥ 100m
102
101
100
10-1
zum vergleich: Wellenlänge
von grünem Licht λ ≅ 0.5µm
Abbildung 1: Schallbereiche und typische Wellenlängen
frequenz nicht beliebig erhöht werden kann. An deren Stelle treten im Ultraschallbereich schwingungsfähige Kontinua wie gas- oder flüssigkeitsgefüllte
Hohlräume und stab- oder plattenförmige Festkörper. Gegenüber dem Feder-Masse System tritt bei diesen Gebilden anstelle der Feder die Elastizität
des Stoffs und anstelle der Masse die Dichte und die geometrischen Abmessungen, d.h. Feder und Masse sind also stetig über den Schwingungserzeuger
verteilt.
Bis zu Frequenzen von 100 kHz können Ultraschallschwingungen noch mit
rein mechanischen Schwingungserzeugern angeregt werden. Zu diesen mechanischen Schwingungserzeugern gehören vor allem Gas- und Flüssigkeitspfeifen, die nach denselben Prinzipien arbeiten wie eine Reihe von Blasin4
Beugung an Ultraschallwellen
strumenten. Zur Erzeugung von nicht sinusförmigen Schwingungen kann die
Lochsirene verwendet werden.
Weit grössere Bedeutung als mechanischen haben die elektromechanischen
Ultraschallerzeuger. Wie der Name sagt, wird bei diesen Schallerzeugern
elektrische Energie in mechanische Schwingungsenergie umgewandelt. Zu
dieser Gruppe gehören
• Piezoelektrische• Magnetostriktive• Elektrodynamische• Elektrostatische Wandler.
Zur Erzeugung höherer Frequenzen haben vor allem die magnetostriktiven
und die piezoelektrischen Wandler grosse Bedeutung.
Die magnetostriktiven Wandler arbeiten auf dem MagnetostriktionsEffekt. Wird ein Stab aus einem Ferromagnetischen Material, in der Praxis
meistens N, magnetisiert, so ändert sich seine Länge l um einen kleinen Betrag ∆l , da die magnetischen Momente in Richtung des Feldes ausgerichtet
werden und eine Verzerrung des Kristallgitters bewirken. Für einen N-Stab
beträgt die relative Längenänderung ∆l
l in einem magnetischen Feld von 1
1
· 105 m/A) etwa −2.5 · 10−5 .Wird umgekehrt ein magnetischer
Tesla(= 4π
N-Stab durch äussere Kräfte verformt, so ändert sich Magnetisierung, was,
durch einen Spannungsstoss in einer um den Stab gewickelten Induktionsspule, registriert werden kann. Ultraschall kann somit mit diesen Wandlern
erzeugt und registriert werden. Magnetostriktive Schwinger eignen sich vor
allem zur Erzeugung von hohen Schallleistungen bis zu etwa 200 kHz.
Die piezoelektrischen Wandler sind die heute am häufigsten angewandten Schallerzeuger und Detektoren. Es lassen sich damit auch weitaus höhere
Frequenzen (MHz-Bereich) als mit den bisher besprochenen Schallerzeuger
erzielen.
Der piezoelektrische (oder druckelektrische) Effekt wurde im Jahre 1880
von den Gerüdern Curie entdeckt. Er äussert sich darin, dass bei manchen
Kristallen, die einer Druck- oder Zugbeanspruchung in speziellen kristallographischen Richtungen unterworfen werden, auf bestimmten Kristalloberflächen elektrische Ladungen auftreten. Die frei werdenden Ladungen sind
5
Beugung an Ultraschallwellen
der Grösse des Drucks bzw. Der Dehnung proportional. Das Vorzeichen der
Ladungen wechselt, wenn z.B. eine Kompression in eine Dilatation übergeht.
Der umgekehrte piezoelektrische Effekt wurde kurze Zeit später (1881) entdeck. Dieselbe Gruppe von Kristallen reagieren, zwischen zwei Elektronen
gebracht, auf eine angelegte Spannung mit einer Formänderung. Der direkte piezoelektrische Effekt wird für den Nachweis von Ultraschallwellen, der
reziproke piezoelektrische Effekt (Elektrostriktion) für die Erzeugung von
Ultraschallwellen ausgenutzt. Man legt eine Wechselspannung an zwei Kondensatorplatten, zwischen die der Kristall gebracht wird. Er schwingt dann
im Takt der Frequenz der Wechselspannung. Die Längenänderung ist proportional dem piezoelektrischen Modul d und der angelegten elektrischen
Spannung. Da piezoelektrische Kristalle immer anisotrop sind ist d ein Tensor und ∆l hängt dann auch von der Orientierung des angelegten elektrischen
Feldes gegenüber den Kristallachsen ab. Legen wir das Feld parallel zu einer
Hauptachse so gilt
∆l = djj Ul
(Für Quarz bei tiefen Frequenzen ist d11 = 2.3 · 10−12 m/V ).
Analog ist es beim Empfang. Die Amplitude des erzeugten Schallwechseldrucks ist proportional der Spannung an den Kondensatorplatten. Die Proportionalitätsfaktoren sind jedoch nicht in beiden Fällen dieselben. Für die
empfangene Spannung U2 gilt
U2 = hii · ∆l
wobei h die Deformationskonstante ist. (Für Quarz bei tiefen Frequenzen
h11 = 4.9 · 109 V /m). Bei gleicher Längenänderung sind also die Spannungen
2
U1 und U2 voneinander verschieden. Das Verhältnis U
U1 bei gleichem ∆l wird
durch das Quadrat des Kopplungsfaktor k beschrieben.
p
kii = dii · hii
Der Kopplungsfaktor ist bei niedrigen Frequenzen im allgemeinen viel kleiner als eines. Bei Resonanzanregung und geringer Dämpfung kann er aber
nahezu 1 werden. Allen Kristallen, die den piezoelektrischen Effekt zeigen,
ist gemeinsam, dass sie gut isolieren und eine oder mehrere polare Achsen
◦
haben. Dreht man eine polare Achse um 180 , so kommt sie nicht mit sich
selbst zu Deckung (keine identische Lage). In Richtung der polaren Achsen tritt nun der piezoelektrische Effekt auf. Kristalle an denen der piezoelektrische Effekt beobachtet werden kann, sind z.B. Quarz, Lithiumsulfat,
Turmalin, Zinkblende, Seignettesalz und Weinsäure.
6
Beugung an Ultraschallwellen
Am Quarzkristall, den wir als Beispiel betrachten wollen, haben wir drei
solcher polarer Achsen. Der Quarz hat die chemische Formel SiO2 und bildet
hexagonale Kristalle. Jedes Si-Atom hat vier positive Elementarladungen
und jedes O-Atom zwei negative Elementarladungen. Fig. 2(a) Zeigt die
Strukturzelle des Quarzes.
X1
-
-
-
-
-
-
X2
X3
Si +
O-
O-
Si +
Si +
Si +
OSi +
Schwer punkte
der + und Ladungen
Verschoben
Dipolmoment
OSi +
O-
O+
+
+
+
+
+
(b)
(a)
Abbildung 2:
X1 X2 und X3 sind die polaren Achsen. Legen wir nun z.B. in Richtung der
X1 Achse einen Druck an, so kommt es zu der in Fig. 2(b) Wiedergegeben Verschiebung der Atome und einer daraus resultierenden Aufladung der
Oberfläche. Qualitativ dieselbe Verschiebung kann auch erhalten werden,
wenn senkrecht zur X1 Achse eine Schubkraft angelegt wird (transversaler
Piezoeffekt).
Neben dieser Gruppe von piezoelektrischen Einkristallen gibt es auch eine
Reihe von Ferroelektrischen Substanzen. Bei diesen Substanzen wird das
Dipolmoment nicht erst durch Anlegen einer Druck oder Zugspannung erzeugt, sondern die elektrischen Dipole sind bereite innerhalb der kristallinen Einheitszelle vorhanden, ähnlich den magnetischen Momenten in z.B.
F e. Ferroelektrische Substanzen haben aus diesem Grund auch eine sehr
hohe Dielektrizitätskonstante. Durch Anlegen eines elektrischen Feldes bei
einer erhöhten Temperatur können diese elektrischen Dipole genau gleich wie
die magnetischen Dipolmomente in F e mit einem magnetischen Feld ausgerichtet werden. Wird das Ferroelektrische Material bei angelegtem Feld
bis unterhalb einer kritischen Temperatur, die wie bei den Ferromagneten
Curie-Temperatur genannt wird, abgekühlt, so ”frieren” die ausgerichteten
7
Beugung an Ultraschallwellen
elektrischen Dipolmomente ein. Es entsteht ein permanenter makroskopischer elektrischer Dipol. Diese Ausrichtung bleibt weitgehend erhalten solange die probe nicht wieder über die Curie-Temperatur erhöht wird. Oberhalb der Curie-Temperatur verschwindet die Polarisation irreversibel, d.h.
Probe muss dann wieder neu im elektrischen Feld polarisiert werden.
Im Gegensatz zu den am Beispiel des Quarzes besprochenen Piezokristallen brauchen Ferroelektrische Schallwandler nicht einkristallin zu sein, es
genügt polykristallines Material, das durch Sintern preiswert und in jeder
beliebigen Form (Platten, Rohre, Hohlkugeln) hergestellt werden kann. Beispiele sind Bleizirkonat-Titanat (PZT), Bariumtitanat, Bleimetaniobat und
Lithiumniobat.
Im vorliegenden Versuch wird ein PZT-Schwinger verwendet. PZT ist eine
Mischung von P bZr03 und P bT i03 . Je nach Mischungsverhältnis können die
piezoelektrischen Materialkonstanten in gewissen Grenzen variiert werden.
◦
Die Curie-Temperatur liegt für PZT bei etwa 2500 C.
3
Ausbreitung von Schallwellen
Legen wir an ein mechanisches Kontinuum z.B. ein Stab der Lange l und
der Querschnittsfläche F , eine Zug- oder Druckspannung (in Richtung der
Länge) so ändert sich seine Form (∆l und ∆F ).
Für kleine Auslenkungen ∆l aus der unbelasteten Ruhelage gilt für die Verzerrung ∆l
l das Hooke’sche Gesetz
l K
∆l
=
·
l
E F
Dabei ist E der Elastizitätsmodul und K die angelegte Kraft resp. K
F die
Spannung. Für Flüssigkeiten und Gase steht anstelle von El die Kompressibilität H . Bei statischen Spannungen ist die isotherme Kompressibilität
massgebend wogegen bei Hochfrequenzen Wechselbelastungen, wo die Zeit
für den Wärmeausgleich nicht ausreicht, die adiabatiche Kompressibilität zu
werden ist.
Betrachten wir nun im eindimensionalen Fall das dynamische Gleichgewicht
eines Massenelements ρ dF dx in einem Stab oder Flüssigkeit. Die Auslenkung an der Stelle x zur Zeit t bezeichnen wir mit ξ(x, t).
8
Beugung an Ultraschallwellen
unbelastet
x
K
x
K(x1 )
x
KR (x2 ) K (x2 )
belastet
x2=x1+ x
Abbildung 3:
An der Stelle x1 wirkt die angreifende Kraft K(x1 ), für die Längenänderung
ξ(x1 ) − ξ(x2 ) unseres Volumenelements gilt somit
¯
ξ(x1 + ∆x) − ξ(x1 )
∂ξ ¯¯
1 K(x1 )
=
·
=
¯
∆x
∂x x=x1
E
dF
(1)
Bei statischen Kräften (= zeitunabhängig) muss im Gleichgewicht die Kraft
K(x1 ) gerade durch die Reaktionskraft KR (x2 ) = −K(x2 ) kompensiert werden, d.h. K(x1 )−K(x2 ) = 0 . Bei dynamischer Belastung müssen wir jedoch
2
die Trägheit des Volumenelements T = ρ dF dx ∂∂t2ξ berücksichtigen.
K(x1 ) − K(x2 ) =
∂K
∂2ξ
dx = ρ 2 dF dx
∂x
∂t
(2)
weiter folgt durch Differenzieren von Gleichung (1) und Einsetzen in (2)
2
∂2ξ
2∂ ξ
−
c
= 0,
s
∂t2
∂x2
s
cs =
E
resp ·
ρ
r
1
Had · ρ
(3)
Diese Gleichung stellt die für Schallwellen kleiner Amplitude ξ(xt) gültige
Wellengleichung dar. Die allgemeinste Lösung dieser Gleichung hat die Form
ξ(x, t) = f (x − cs t) + g(x + cs t)
(4)
Dabei stellen f und g elastische Auslenkungen beliebiger Form dar, die sich
mit der Schallgeschwindigkeit cs fortpflanzen. Die Welle f bewegt sich in
9
Beugung an Ultraschallwellen
Richtung der positiven x und g in Richtung der negativen x Achse Fig. 4.
f
t1>0
t0=0
cs
c st 1
x0
x
x1
f (x1 , t1 ) = f (x0 , t0 ) = f (x1 − cs t1 )
Abbildung 4:
Gemäss unseren Voraussetzungen gilt die Wellengleichung (3) für longitudinale Wellen (ξ k cs ) in Flüssigkeiten und Gasen. Transversale Wellen (ξ ⊥ cs )
können von Flüssigkeiten und Gasen nicht übertragen werden. Die Gleichung gilt ebenfalls für Dehnungswellen auf dünnen Stäben ( Λ À ∅ =
Durchmesser des Stabs). Diese Dehnungswellen (Fig. 5) entstehen infolge
der Querkontraktion bei der Längenänderung eines Stabs.
Transversalwelle
Longitudinalwelle
Dehnungswelle
Abbildung 5:
Sie sind eine Mischung (linear Kombination) einer longitudinalen und ei10
Beugung an Ultraschallwellen
ner transversalen Welle. Bei unendlich ausgedehnten Medien können sich
diese Querkontraktionen nicht ausbilden, anstelle der einfachen Wellengleichung treten dann kompliziertere elastodynamische Gleichungen. Die Schallgeschwindigkeit hängt dann für longitudinale und transversale Wellen auch
noch vom Querkontraktionskoeffizienten ab. Bei Medien mit geometrischen
Ausdehnungen von der Grössenordnung der Wellenlänge hängt die Schallgeschwindigkeit auch noch von diesen Abmessungen resp. der Wellenlänge
Λ ab.
3.1
Lösung der Wellengleichung für periodische Anregung
Da wir in unserem Versuch den piezoelektrischen Wandler mit Sinusschwingungen der Frequenz Ω anregen, erwarten wir in der Flüssigkeit auch periodische Wellen. Wir machen also den Ansatz
ξ(x, t) = α1 ei(Ωt−Kx) + α2 ei(Ωt+Kx)
mit K =
Ω
cs
=
(5)
2π
Λ =Wellenzahl.
α1 ist die Amplitude der vom Wandler ausgehenden Welle und α2 ist die
Amplitude der bei l reflektierten Welle. αα12 stellt den Reflektionsfaktor dar.
AeiΩt
x=l
x=0
x
Abbildung 6:
An der Stelle x = 0 ist wegen der piezoelektrischen Anregung
11
Beugung an Ultraschallwellen
ξ(0, t) = AeiΩt
(6)
An der Stelle l wollen wir Totalreflexion voraussetzen, das wäre der Fall
wenn die abschliessende Wand unendlich hart wäre.
Also
ξ(l, t) = 0
(7)
Aus diesen beiden Randbedingungen und dem Ansatz (5) erhalten wir eine
stehende Welle
ξ(x, t) = A ·
sin(K(l − x)) iΩt
·e
sin(Kl)
(8)
Hätten wir umgekehrt bei x = l keine Reflexion, d.h. vollkommene Transmission oder Absorption, so wäre α2 = 0 und wir hätten nur eine auslaufende
Welle. Die Wirklichkeit bei unserem Versuch ist indessen irgendwo dazwischen. Die Randbedingungen sind dann entsprechend anders zu formulieren.
Wenn ξ1 (x, t) die Welle im anschliessenden Medium ist, müssen wir bei x = l
fordern, dass die Auslenkungen und die Kräfte gleich sind.
Also
4
ξ(l1 , t) = ξ1 (l, t),
E
∂ξ1
∂ξ
= E1
∂x
∂x
(9)
Beugung von Licht an Ultraschallwellen
Im Jahre 1932 entdeckten Debye und Sears in den USA und Lucas und Biquard in Frankreich, dass transparente Medien, durch die Ultraschallwellen
gesendet werden, das Lieht beugen. Dieser Effekt hat seine Ursache in den
periodischen Änderungen des Brechungsindexes, die ihrerseits wiederum von
den örtlich periodischen Druckänderungen der Ultraschallwelle verursacht
werden. Fig. 7 zeigt den experimentellen Aufbau zur Beobachtung der von
Ultraschall erzeugten Beugung des Lichts.
Als Lichtquelle dient ein dünner Spalt, der durch die Lampe La beleuchtet
wird. Die Linse L1 wird im Abstand ihrer Brennweite nach dem Spalt aufgestellt und erzeugt somit einen breiten Strahl von parallelem Licht. Dieses
Licht durchdringt anschliessend ein transparentes Medium (Gas, Flüssigkeit
12
Beugung an Ultraschallwellen
oder Festkörper) in welchem man mittels eines Ultraschallwandlers Q senkrecht zur Einfallrichtung des Lichts eine elastische Walle erzeugt. Für Untersuchungen an Flüssigkeiten und Gasen benötigt man ein Gefäss mit planparallelen Glaswänden. Die zweite Linse L2 projiziert ein reales Bild S 0 des
Spaltes S auf einen Schirm, eine Mattscheibe oder eine Photoplatte. Wird
die Ultraschallwelle angeregt, so beobachtet man auf beiden Seiten von S 0
mehrere Ordnungen des Spektrums der Lampe La. Durch Einführen eines
Filters F in den Strahlengang erzeugen wir monochromatisches Licht und
beobachten neben S 0 in jeder Ordnung nur noch einen Interferenzstreifen.
La
L
S
L1
L2
Q
Abbildung 7:
Um dieses Phänomen zu verstehen müssen wir annehmen, dass die örtlich periodischen Druckänderungen der elastischen Welle den Brechungsindex des
Mediums lokal ändern. Die Flächen konstanter Phase S(x, y, z) der Lichtwelle sind dann nicht mehr Ebenen (S(x, y, z) = k0 x für Lichtausbreitung in
x-Richtung) sondern werden eine Funktion mit der Periode der Ultraschallwelle, denn in einem Bereich mit höherem Brechungsindex n bewegt sich
die Lichtwelle langsamer als im Bereich eines niedrigeren Brechungsindex
(c = cn0 ).
Beschreiben wir eine elastische Welle anstelle der Auslenkung ξ(y, t) durch
die lokale Dichte ρ(y, t) so erhalten wir, wie man sich leicht selbst überzeugt
ρ(y, t) = ρ0 + ρ0 ·
∂ξ(y, t)
∂y
Für den Brechungsindex n(y, t) erwarten wir entsprechend
13
(10)
Beugung an Ultraschallwellen
n(y, t) = n0 + ∆n(y, t)
(11)
Der Zusammenhang zwischen dem Brechungsindex resp. der Dielektrizitätskonstanten ε und der Dichte ρ wird durch die aus der Theorie der Dielektrizitätskonstanten bekannte Clausius-Mossotti Gleichung beschrieben
1 ε−1
1 NL
·
·
=
· α = const.
ρ ε+2
3ε0 M
(12)
Dabei ist NL die Loschmidt’sche Zahl, M das Molekulargewicht und α die
Polarisierbarkeit der Atome oder Moleküle. Die Polarisierbarkeit dürfen wir
als von Dichte unabhängig betrachten. Bei optischen Frequenzen und nicht
magnetischen Medien µ = 1 ist ε = n2 . Wir erhalten somit aus (12)
∆ρ =
3ρ∆ε
(ε + 2)(ε − 1)
(13)
und weiter mit (10) (11) und ∆ε = 2n · ∆n
∆n(y, t) =
(n20 + 2)(n20 − 1) ∂ξ(y, t)
·
6n0
∂y
(14)
Die Lichtwelle E(x, y, z, t) (oder auch die Feldvektoren D,H und B) gehorcht
ebenso wie die Ultraschallwelle einer Wellengleichung. Die Wellengleichung
für das Licht gewinnt man aus den Maxwell’schen Gleichungen
∂B
∂t
(15)
∂D
∂t
(16)
∇×E =−
∇×H =
∇·D =0
(17)
B = µ0 µH
(18)
14
Beugung an Ultraschallwellen
D = ε0 εE
(19)
Die genaue Wellengleichung für ein inhomogenes Medium ε = ε(r, t) wird
sehr kompliziert. Für ein homogenes Medium ε = const. erhalten wir durch
Ableiten von (16) nach der Zeit und wegen (18) und (15) auf einfache Art
die Wellengleichung
Ã
!
~
~
~
∂2D
∂H
1
∂B
=∇×
=∇×
·
=
∂t2
∂t
µ0 µ ∂t
h
i
³
´
1
~ = − 1 ∆E
~ − ∇(∇ · E)
~
−
∇× ∇×E
µ0 µ
µµ0
⇒
~
∂2E
1
~ =0
· ∆E
−
2
∂t
εε0 µµ0
(20)
wobei analog wie bei der Schallwelle (εε0 µµ0 )−1/2 der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Phase entspricht. Im Vakuum ist also c0 = √ε10 µ0 und in
√
~ bedeutet {E1 , E2 , E3 }.
einem Medium c = cn0 (n = εµ). Die Abkürzung E
~ = ~u(x, y, z)eiωt führt auf die ortsabhängige WelDer Separationsansatz E
lengleichung.
∆~u + k02 n2 ~u = 0
(21)
Wobei ko = cω0 = 2π
λ0 . Einfache Lösungen dieser Gleichung sind z.B. ebene
Wellen falls n = const.
~
~ iωt−kx
E(x,
y, z, t) = Ae
k = k0 n
~ entspricht der Polarisation
|A| ist die Amplitude und die Richtung von A
der Lichtwelle.
Wir machen in Analogie zur ebenen Welle den Ansatz
uj = Aj (x, y, z)eik0 S(x,y,z)
15
(22)
Beugung an Ultraschallwellen
Durch Einsetzen in die ortsabhängige Wellengleichung (21) sehen wir, dass
im Grenzfall der geometrischen Optik d.h. k0 → ∞ die Gleichung erfüllt
wird, wenn
µ
∂S
∂x
¶2
µ
+
∂S
∂y
¶2
µ
+
∂S
∂z
¶2
= n2
1
1
∇Aj · ∇S = − · ∆S
Aj
2
(23)
(24)
S(x, y, z) nennt man das Eikonal. Flächen die durch die Gleichung S(x, y, z)
= const. bestimmt werden sind Flächen konstanter Phase der Lichtwelle und
gradS gibt die Richtung der Lichtstrahlen an.
Unter der Voraussetzung, dass die zeitlichen und örtlichen Änderungen des
Brechungsindexes n(y, t) im Vergleich zu den zeitlichen und örtlichen Änderungen der Lichtquelle klein sind, d.h. Ωschall ¿ ΩLicht und ΛSchall À λLicht
können wir approximativ anstelle des konstanten Brechungsindexes auch die
langsam veränderliche Funktion n(y, t) einsetzen.
Exakte Lösungen der Eikonalgleichung (23) für unser Problem n = n0 +
∆n(y, t) dürften nur sehr schwierig zu berechnen sein. Die Gleichung sagt
uns aber wie man graphisch auf einfache Art ein Bild der Flächen konstanter Phase erhalten kann. Kennen wir eine Fläche konstanter Phase (z.B.
Randbedingung) so können wir von dieser ausgehend die Schar der ”Parallelflächen” mit konstantem infinitesimalem Abstand |∇S| = n(y) konstruieren. Die Konstruktion entspricht genau dem Huyegenschen Prinzip, dass
nämlich jeder Punkt des Wellenfeldes Ausgangspunkt einer Kugelwelle ist.
Zeichne solche Flächen resp. Kurven konstanter Phase im Bereich der Ultraschallwelle für eine festgehaltene Zeit, d.h. n = n0 + ∆n0 sin(KΛ) mit
∆n0 < n0 .
5
Intensitätsverteilung des Interferenzmusters
Für die Berechnung des Interferenzmusters auf dem Bildschirm wollen wir erneut nach dem Prinzip von Huyegens vorgehen. Wir betrachten jeden Punkt
auf der Austrittsebene x = a nach dem Ultraschallfeld als Ausgangspunkt
einer Kugelwelle mit der Amplitude und Phase der Lichtschwingung an diesem Punkt (Fig. 8). Da die exakte Lösung des Eikonals S im Bereich der
16
Beugung an Ultraschallwellen
Ultraschallwelle sehr schwierig ist, wollen wir approximativ annehmen, dass
die Lichtstrahlen das Ultraschallfeld parallel durchlaufen und nur in der
Phase örtlich und zeitlich moduliert werden. Das entspricht einer linearen
Approximation des Eikonals und der Amplitude.
Also S = n(y, t) · x und A = A0
(25)
y
l
2
R
II
I
r
∆y
III
ϕ
x
l
2
x=0
x=a
Abbildung 8: Die Beugung
In dieser Approximation sind alle Polarisationsrichtungen identisch, sodass
wir auf die Vektorschreibweise der Welle verzichten können.
Im Bereich I haben wir paralleles Licht also
EI = A0 ei(ωt−k0 x)
(26)
im Bereich II nach unseren Annahmen
EII = A0 ei(ωt−k0 n(y,t)·x)
(27)
und den Bereich III betrachten wir als Superposition der Kugelwellen ∆EIII
17
Beugung an Ultraschallwellen
1 i(ωt−k0 R)
e
· ∆y
R
∆EIII = EII ·
(28)
Für grosse R oder Beobachtung unter kleinem Winkel ϕ gilt
R∼
= r − y sin(ϕ)
(29)
Für die Ultraschallwelle wollen wir eine in y-Richtung fortlaufende die Welle
annehmen, also
n(y, t) = n0 + ∆n0 sin(Ωt − Ky)
(30)
Daraus folgt mit (27), (28) und (29)
EIII
A0 i(ωt−k0 ·n0 ·a−k0 ·r)
=
e
r
Z
+ 2l
− 2l
e−i(k0 ∆n0 ·a sin(Ωt−Ky)−k0 y sin(ϕ) dy
Die ei sin −Funktion im Integranden können wir exakt in eine Fourierreihe
entwickeln. Es gilt
e
ia sin(α)
=
ν=+∞
X
Jν (a)eiνα
(31)
ν=−∞
Jν sind die ganzzahligen Besselfunktionen. Das Integral wird damit nach
Vertauschung von Summe und Integralzeichen
ν=+∞
X Z
l
2
l
ν=−∞ − 2
(−1)ν Jν (k0 ∆na)eiνΩt ei(k0 sin(ϕ)−νK)y dy
Das Integral ist nun einfach auszurechnen und wir erhalten für die Lichtwelle
III
EIII
=
ν=+∞
A0 l −i(ko n0 a+kr) X
e
(−1)ν Jν (k0 ∆n0 a) ·
r
ν=−∞
sin[ 2l (k0 sin(ϕ) − νK)]
l
2 (k0 sin(ϕ)
− νK)
18
ei(ω+νΩ)t
(32)
Beugung an Ultraschallwellen
Die Intensität ist proportional dem zeitlichen Mittelwert des Quadrates der
Amplitude oder in komplexer Schreibweise
1
I = lim
τ →∞ τ
Z
τ
(E · E ∗ )dt
(33)
0
Einsetzen der Welle EIII ergibt eine Doppelsumme von der Form
I∼
= lim
τ →∞
X
νµ
1
Fν Fµ ·
τ
Z
τ
ei(ν−µ)Ωt dt =
0
X
Fν Fµ δνµ
νµ
Die Intensität wird somit
"
#2
+∞
sin[ 2l (k0 sin(ϕ) − νK)]
A20 l2 X 2
J (k0 ∆n0 a) ·
I= 2
l
r ν=−∞ ν
2 (k0 sin(ϕ) − νK)
(34)
2
Die Funktion sinx2 x Fig. 9 ist bei x = 0 maximal und fällt auf beiden Seiten
von x = 0 rasch ab. Wir haben also in unserem Wellenfeld (r À l) unter
den Winkeln ϕν starke Intensitäten (Interferenzstreifen)
k0 sin ϕν − νK = 0
(35)
k
λ0
ϕν ∼
=ν
=ν
k0
Λ
(36)
Für kleine Winkel gilt
ν gilt die Ordnung des Beugungsspektrums an.
Wir finden also was die Abstände der Interferenzstreifen voneinander betrifft dieselbe Bedingung wie für ein Strichgitter mit der Gitterkonstante
der Wellenlänge der Ultraschallwelle.
Die Intensität der Interferenzstreifen in der ν-ten Ordnung ist dem Quadrat
der Besselfunktion Jν proportional
Iν ∼ Jν2 (k0 ∆n0 a)
19
(37)
Beugung an Ultraschallwellen
1
sin2x
x2
1.1
Jυ2(x)
0.9
J0 2
0.7
0.5
J1 2
J2 2
0.3
0.1
x
−3π
−2π
−π
0
+π
+2π
+3π
-0.1 0
x
1
2
3
4
5
Abbildung 9:
Einzelne Ordnungen können also bei einer fortlaufenden Ultraschallwelle
durch geeignete Wahl der Lichtfrequenz (k0 ), der Breite a oder der Intensität
(∆n0 ) des Ultraschallfeldes zum Verschwinden gebracht werden.
Weiter gilt für Besselfunktionen die Summenregel
+∞
X
Jν2 (x) = 1
ν=−∞
was besagt, dass die Summe der Intensitäten über alle Ordnungen konstant
ist resp. letztlich der Intensität des einfallenden Lichts entspricht.
Eine weitere Besonderheit, die wir auf die Bewegung unseres Phasengitters
zurückzuführen haben, ist aus der Wellengleichung (32) für EIII ersichtlich.
Das Licht das wir in der ν -ten Ordnung betrachten hat nicht mehr die
ursprüngliche Frequenz ω sondern ist um das ν-fache der Ultraschallfrequenz
verschoben. Fig. 10.
ων = ω + νΩ
Diese Frequenzverschiebung können wir als Dopplereffekt betrachten oder
auch quantenmechanisch auf einfache Art erklären. In der Quantenmechanik
sind die Schall- und Licht- (elektromagnetischen-) felder gequantelt, d.h. der
Energieinhalt eines Feldes der Frequenz ω darf nur um diskrete Werte (~ω)
ändern. Ein Schallfeld der Frequenz Ω kann daher durch Quasiteilchen (den
sog. Phononen) die die Energie E = ~Ω pro Teilchen haben, beschrieben
werden. Die diskrete Energieänderung heisst nun, dass wir in diesem Schallfeld jeweils nur ein ganzes Teilchen mit dem Energieinhalt ~Ω erzeugen oder
20
Beugung an Ultraschallwellen
Ultraschall Ω
Licht ω
ω + 2Ω
υ=2
ω+Ω
υ=1
ω
ω−Ω
υ=0
υ = −1
ω − 2Ω
υ = −2
Abbildung 10:
vernichten (resp. Emittieren oder absorbieren) können. Entsprechendes gilt
für das elektromagnetische Feld. Die Teilchen heissen hier Photonen und
haben die Energie ~ω. Der Impuls p dieser masselosen Teilchen ist
p~ = ~~k
(38)
Betrachten wir nun die Beugung von Licht an Ultraschallwellen als Streuung
von Photonen an Phononen, so müssen die Teilchen den Impuls- und Energieerhaltungssatz erfüllen, wobei wir darauf achten müssen, dass ein Photon
nur eine ganze Anzahl ν von Phononen (Energiequanten) absorbieren (+)
oder emittieren (-) kann.
~
k~1 = k~0 + ν K
Impulssatz
(39)
ω1 = ω0 + νΩ
Energiesatz
(40)
k1
k
k0
Abbildung 11:
Aus dem Impulserhaltungssatz folgt
21
Beugung an Ultraschallwellen
|k1 |2 + |k0 |2 − 2|k0 ||k1 | cos αν = ν 2 K 2
(41)
|k1 | = ωc01 n = 2π
λ0 n =Wellenzahl des einfallenden Lichts in der Flüssigkeit mit
dem Brechungsindex n. (λ0 und c0 auf Vakuum bezogen).
Da νΩ ¿ ω ist |k1 | ∼
= |k0 | und es folgt aus (41)
2 sin
λ0
αν ∼
=ν
nΛ
αν
K
=
2
k1
Die Winkel αν beziehen sich auf die Winkel zwischen einfallenden und gestreuten Photonen in der Flüssigkeit. Bei senkrecht zur Flüssigkeit einfallenden Photonen beobachten wir die gestreuten Photonen in Luft nL = 1
unter dem Winkel ϕν (Brechungsgesetz).
sin ϕν ∼ ϕν ∼
=
=n
sin αν
αν
Also
ϕν = ν
λ0
Λ
In der ν-ten Ordnung des Beugungsspektrums beobachten wir gerade die
Photonen die ν Phononen absorbieren resp. für negative ν Phononen emittiert haben; und entsprechend ist wegen dem Energieerhaltungssatz die Frequenz in derν-ten Ordnung um νΩ verschoben.
6
6.1
Apparatur
Beugung an Schallwellen
Als Lichtquelle dient eine Hg-Lampe, deren grüne Linie 5461 Å durch einen
Interferenzfilter ausgesondert wird. Die Lichtquelle wird durch eine Linse L
auf den Spalt S scharf abgebildet. Mit einer weiteren Linse L1 wird das Licht
parallel gemacht. Nach dem Flüssigkeitsgefäss soll der parallele Lichtstrahl
durch Linse L2 wieder auf die Mattscheibe resp. Photoplatte fokussiert werden. Vergl. Fig. 7.
22
Beugung an Ultraschallwellen
6.2
Schlierenmethode
Im Gegensatz zur Beugung, wo der Laser auf den Schirm abgebildet wird
ist es bei der Schlierenmethode möglich die stehenden Wellen, durch deren
Abbildung auf den Schirm, direkt zu beobachten. Der Laser S wird durch die
Linse L4 auf die Blende B scharf abgebildet, so dass ohne Ultraschallwellen
der Schirm vollständig dunkel erscheint. Werden nun stehende Wellen in
der Küvette erzeugt, so werden die gebeugten Lichtstrahlen an der Blende
vorbei auf den Schirm abgelenkt.
f4
d'
S
L
L4
1
d' > f 4
B
P
Abbildung 12: Schlieren methode
7
7.1
Aufgaben
Experimentell
a) Photographiere das Beugungsbild bei verschiedenen Ultraschallfrequenzen. Berechne aus dem Abstand der Interferenzstreifen die Wellenlänge der
elastischen Welle und daraus die Schallgeschwindigkeit in xylol.
b) Photographiere die Ultraschallwelle nach der Schlierenmethode und berechne daraus die Schallgeschwindigkeit.
23
Beugung an Ultraschallwellen
7.2
Allgemeines
1. Berechne die Ultraschallwelle ξ(x, t) in der Flüssigkeit bei nicht vollständiger Reflexion und zeige mit Hilfe der (Gl.9), dass der Reflexionsfaktor für die Amplituden an einer Grenzschicht von zwei Medien 1
und 2 durch
ρ1 c1 − ρ2 c2
R=
ρ1 c1 + ρ2 c2
gegeben ist (ρ Dichte, c Schallgeschwindigkeit) .
2. Wie gross ist die maximale Aenderung (= Amplitude) ∆n0 des Brechungsindexes einer fortlaufenden Sinuswelle, wenn der Ultraschallwandler eine Leistungsdichte W abstrahlt
nxylol = 1.497
gr
ρ = 0.86 3
cm
W att
W = 1
cm2
Anleitung: Berechne die Leistungsdichte der Schallwelle als Funktion
der Amplitude A0
ξ(y, t) = A0 sin(Ωt − Ky)
3. Zeichne nach dem Huygen’schen Prinzip Flächen konstanter Phase der
Lichtwelle in der durchschallten Flüssigkeit bei einer festgehaltenen
Zeit.
4. Welche Frequenzen erscheinen in den verschiedenen Ordnungen bei
stehenden Wellen?
Anleitung: Betrachte die stehende Welle als zwei sich in entgegengesetzter Richtung ausbreitende, fortlaufende Wellen und wende die in
Fig. 10 zusammengestellten Resultate an, indem die Beugung zuerst
an der einen und dann an der anderen Welle betrachtet wird.
5. Bei einer fortlaufenden Welle kann durch geeignete Wahl der Lichtfrequenz oder der Ultraschallintensität, die Intensität der nullten Ordnung zum Verschwinden gebracht werden. Ist dies auch bei einer stehenden Welle möglich?
24