Modellspezifikationen Nichtlinearitäten

Modellspezifikationen
Nichtlinearitäten
Agenda

Dummy-Variablen

Interaktionseffekte
(quadratische Effekte / Polynome)

Dummy £ Interaktion

Logarithmierte Variablen
2

Wachstumsraten / Semielastizitäten

Elastizitäten
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Dummy Variablen
Dummy Variablen

Bislang kennengelernt: stetige erklärende Variablen x

Beispiel: Stundenlohn als Funktion von Bildung
@wage
)
= ¯1
@educ
25
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ
10
15
20
wage
5
¢y = ¯1
0
¢x = 1
0
5
10
years of education
average hourly earnings
15
20
Fitted values

wie berücksichtigt man kategoriale Information als erklärende Variable?

z.B. Lohnunterschiede zwischen Mann & Frau
4
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
educ
25
20
0
5
10
15
average hourly earnings
male
female

Mittelwerte:

Lohnunterschiede möglich durch


5
Männer = 7,10 $/Stunde
Unterschiede in der Bildung
Unterschiede aufgrund Geschlecht
(! Diskriminierung)
Frauen = 4,59 $/Stunde
wie kann beides im Modell
berücksichtigt werden?
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Dummy Variablen
Einschluss qualitativer Information in Regression


nominal bzw. ordinal skalierte erklärende Variablen
Definition einer (binären) “Dummy Variablen”
(
0; wenn Mann
female =
1; wenn Frau



jede Beobachtung wird einer der beiden Gruppen zugeordnet
Wert in female zeigt an, ob Mann oder Frau
Regressionsgleichung wird zu

6
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ± ¢ female
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
(
0;
female =
1;
7
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
wenn Mann
wenn Frau
Dummy Variable:
Warum Werte 0 bzw. 1?
(
0;
female =
1;
wenn Mann
wenn Frau
Regressionsgleichung
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ± ¢ female
für Männer (female = 0)
für Frauen (female = 1)
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±
Änderung des Achsenabschnitts
für Männer
für Frauen
¯0
¯0 + ±
partieller Effekt von Bildung identisch
für Frauen und Männer
@wage
= ¯1
@educ
8
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
. regress wage educ female
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model | 1853.25304
2 926.626518
Residual | 5307.16125
523 10.1475359
-------------+-----------------------------Total | 7160.41429
525 13.6388844
Number of obs
F( 2,
523)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
=
=
=
=
=
=
526
91.32
0.0000
0.2588
0.2560
3.1855
-----------------------------------------------------------------------------wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------educ |
.5064521
.0503906
10.05
0.000
.4074592
.605445
female | -2.273362
.2790444
-8.15
0.000
-2.821547
-1.725176
_cons |
.6228168
.6725334
0.93
0.355
-.698382
1.944016
------------------------------------------------------------------------------


Regressionsgleichung wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ± ¢ female
Interpretation
= 0:623 + 0:506 ¢ educ ¡ 2:27 ¢ female

 wage /  educ = 0.506
) steigt Bildung um 1 Jahr ) Stundenlohn steigt um 0.506 $

 wage /  female = -2.27
) female ändert sich von 0 ! 1 ) Stundenlohn sinkt um 2.27 $

Frauen verdienen (bei gleicher Bildung) durchschnittlich
2.27 $/ Stunde weniger als Männer
9
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
für Männer
E(wage) = 0:623 + 0:506 ¢ educ
für Frauen
educ
10
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Dummy Variablen

Dummy Variable




verschiebt lediglich den Achsenabschnitt für Gruppe
bildet einen gruppenspezifischen Achsenabschnitt (Konstante)
Interpretation immer relativ zu einer Basisgruppe

hier Basisgruppe Männer:
“Frauen verdienen - ceteris paribus - im Mittel 2,27$/Stunde weniger als Männer”

Basisgruppe ) wo Dummy-Variable = 0
Anzahl der Dummys
Mann
11
Frau
2 Kategorien
+
2 Werte
+
1 binäre Variable (0/1)
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung

Gegenbeispiel:
Erzeugen einer neuen Dummy Variable “male”
(
0;
male =
1;
wenn Frau
wenn Mann
. li female male sex in 1/10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Schätzen des Modells mittels OLS
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ° ¢ male
12
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
+------------------------+
| female
male
sex |
|------------------------|
|
1
0
Female |
|
1
0
Female |
|
0
1
Male |
|
0
1
Male |
|
0
1
Male |
|------------------------|
|
0
1
Male |
|
0
1
Male |
|
1
0
Female |
|
1
0
Female |
|
0
1
Male |
+------------------------+
-----------------------------------------------------------------------------wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------educ |
.5064521
.0503906
10.05
0.000
.4074592
.605445
male |
2.273362
.2790444
8.15
0.000
1.725176
2.821547
_cons | -1.650545
.652317
-2.53
0.012
-2.932028
-.3690617
------------------------------------------------------------------------------
wage = ¡1:651 + 0:506 ¢ educ + 2:273 ¢ male + u
-----------------------------------------------------------------------------wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------educ |
.5064521
.0503906
10.05
0.000
.4074592
.605445
female | -2.273362
.2790444
-8.15
0.000
-2.821547
-1.725176
_cons |
.6228168
.6725334
0.93
0.355
-.698382
1.944016
------------------------------------------------------------------------------
wage = 0:623 + 0:506 ¢ educ ¡ 2:273 ¢ female + u
13
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Mann
Mann
Frau
¯^0
Frau
¯^0 + °
10
5
0
-5
-5
0
Fitted values
5
10
¯^0
0
5
10
years of education
Fitted values
14
15
20
0
Fitted values
5
10
years of education
Fitted values
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Fitted values
15
20
Aufgabe
-----------------------------------------------------------------------------wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------educ |
.5064521
.0503906
10.05
0.000
.4074592
.605445
female | -2.273362
.2790444
-8.15
0.000
-2.821547
-1.725176
_cons |
.6228168
.6725334
0.93
0.355
-.698382
1.944016
------------------------------------------------------------------------------
wage = 0:623 + 0:506 ¢ educ ¡ 2:273 ¢ female + u

Berechnen Sie den durchschnittlich zu erwartenden Stundenlohn für

einen Mann mit 10 Jahren Schulbildung
5,683 $/Stunde

eine Frau mit 10 Jahren Schulausbildung
3,41 $/Stunde
15
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Mehrere Dummies /Ordinale Information
wage = ¯0 + x0¯ + ±F emale
+°1Haupt + °2Real + °3Abitur + °4Uni + u

Beispiel: Bildungskategorien

Basiskategorie: Mann ohne Schulabschluss

°1 = 1 wenn höchster Bildungsabschluss Hauptschule
(alle anderen °j =0)

°2 = 1 wenn höchster Bildungsabschluss Realschule

usw.
°j verschiebt den Achsenabschnitt je nach Bildungsniveau

relativ zur Basiskategorie
18
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
wage = ¯0 + x0¯ + ±F emale
+°1Haupt + °2Real + °3Abitur + °4Uni + u
Mann & Realschule
Mann & Hauptschule
Basisgruppe
Mann ohne Schulabschluss
19
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Mehrere Dummy Variablen

Mehrfache Kategorisierung
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±1 ¢ female + ±2 ¢ married + µ1 ¢ y81 + µ2 ¢ y82

Einflussgrößen auf Lohn


Männer / Frauen ) Dummy ±1
ledig / verheiratet ! Dummy ±2
(
0;
male =
1;

wenn Frau
wenn Mann
(
0;
married =
1;
Beobachtungsjahre 1980, 1981, 1982



20
keine binäre Information mehr
3 Kategorien ) 2 Dummys notwendig
Parameter µt
wenn ledig
wenn verheirated
1980
1981
1982
y81
0
1
0
y82
0
0
1
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±1 ¢ female + ±2 ¢ married + µ1 ¢ y81 + µ2 ¢ y82
marginale Effekte
wie ändert sich der Stundenlohn,
wenn sich Bildung um 1 Jahr ändert
Lohnunterschied zwischen
Männern und Frauen
Lohnunterschied zwischen
verheiratet und unverheirateter Person
21
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Mehrere Dummy Variablen
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±1 ¢ female + ±2 ¢ married + µ1 ¢ y81 + µ2 ¢ y82

Bestimmung der Basisgruppe





female = 0
married = 0
y81 = 0
y82 = 0
) Männer
) ledig
) 1980 oder 1982
) 1980 oder 1981
Basisgruppe:
ledige Männer im Jahr 1980
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ
Marginale Effekte


Einkommen einer ledigen Frau aus 1980 ) female =1
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±1
Einkommen eines verheirateten Mannes aus 1982 ) married = 1 & y82 =1
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±2 + µ2

Einkommen einer verheirateten Frau aus 1982 ) female = 1 & married = 1 & y82=1
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±1 + ±2 + µ2
22
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±1 ¢ female + ±2 ¢ married + µ1 ¢ y81 + µ2 ¢ y82
verheirater Mann aus 1980
Basisgruppe
ledige Männer im Jahr 1980
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ
verheirate Frau aus 1980
23
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Mann
Frau
ledig
Dummy married
verheiratet
Dummy female

Effekt von married ist identisch für Mann und Frau
) möglichweise zu restriktiv

Flexibler: 4 Kategorien ) 3 Dummies




24
Mann/ledig
Mann/verheiratet
Frau/ledig
Frau/verheiratet
) Basiskategorie
) Dummy marriedman
) Dummy singlefemale
) Dummy marriedfemale
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
wage = ¯0 + ¯1educ + ±1female + ±2married
wage = ¯0 +¯1 educ + ±1 singlefemale+
±2 marriedmale + ±3 marriedfemale
wage
wage
married
male
married
single
male
single
single
female
educ
25
married
female
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
educ
Interaktionseffekte
Interaktionseffekte


Dummy-Variable

Verschiebung des Achsenabschnitts

Steigungskoeffizienten bleiben davon unberührt

Frauen verdienen (bei gleicher Bildung) weniger als Männer
aber: Veränderung Bildung führt bei beiden Geschlechtern
zum gleichen Lohnzuwachs
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ± ¢ female
wage
= 0:622 + 0:506 ¢ educ ¡ 2:27 ¢ female
male
¯0
identischer Steigungsparameter
female
educ
27
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
@wage
= ¯1
@educ
Interaktionseffekte


Gegenbeispiel Bildungsrendite

Frauen fangen auf geringerem Lohnniveau an

jedes Jahr zusätzliche Bildung hat dann aber bei Frauen eine größere
Wirkung als bei Männern
verschiedene Steigungskoeffizienten notwendig

Koeffizient ¯1 (male)

Koeffizient ¯1 (female)
wage

Modellierung im Rahmen des
linearen Modells?
female
male
educ
28
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Interaktionseffekte

Interaktionseffekt mit Dummy female
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±0 ¢ female + ±1female ¢ educ

Steigungsparameter unterschieden
sich nach Geschlechtern

für Männer
@wage
= ¯1
@educ

Interaktion
wage
female
für Frauen
@wage
= ¯1 + ±1 ¢ female
@educ
male
educ
29
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + ±0 ¢ female + ±1 ¢ female ¢ educ
. reg wage educ female fem_educ
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model | 1860.24439
3 620.081463
Residual |
5300.1699
522 10.1535822
-------------+-----------------------------Total | 7160.41429
525 13.6388844
Number of obs
F( 3,
522)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
=
=
=
=
=
=
526
61.07
0.0000
0.2598
0.2555
3.1865
-----------------------------------------------------------------------------wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------educ |
.539476
.0642229
8.40
0.000
.4133089
.6656432
female | -1.198523
1.32504
-0.90
0.366
-3.801589
1.404543
fem_educ |
-.085999
.1036388
-0.83
0.407
-.2895994
.1176014
_cons |
.2004963
.8435616
0.24
0.812
-1.456696
1.857689
------------------------------------------------------------------------------
marginaler Effekt von Bildung
Männer
30
Frauen
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
10
wage = 0:200 + 0:539 ¢ educ ¡ 1:199 ¢ female ¡ 0:086 ¢ female ¢ educ
Männer
5
Fitted values
@wage
= 0:539
@educ
0
Frauen
0
5
10
years of education
male
31
15
female
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
20
Interaktionseffekte
Alternative Spezifikation mit Dummy Male
wage = ¯0 + ¯1 ¢ educ + °0 ¢ male + °1 ¢ male ¢ educ
-----------------------------------------------------------------------------wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------educ |
.453477
.0813414
5.57
0.000
.2936803
.6132737
male |
1.198523
1.32504
0.90
0.366
-1.404543
3.801589
male_educ |
.085999
.1036388
0.83
0.407
-.1176014
.2895994
_cons | -.9980266
1.021829
-0.98
0.329
-3.005429
1.009376
------------------------------------------------------------------------------
marginaler Effekt von Bildung
Männer
Frauen
32
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Interaktionseffekte

Interaktionseffekte nicht beschränkt auf Dummy £ andere Variable
(ist lediglich Spezialfall)

Interaktionseffekt:
Einfluss einer Variable hängt vom Niveau einer anderen Variable ab

33
Effekt von x1 ! y hängt vom Niveau von x2 ab
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung

Hypothese:
je mehr Fleischkonsum, desto höher Körpergewicht
Einfluss ist um so größer, je älter man ist
(weil man sich weniger bewegt, der Stoffwechsel anders ist, etc.)



Damit Hypothesen zutreffen: ¯1 > 0 und ¯3 > 0

Beispiel Gebäudewert
mit steigender Wohnfläche steigt der Gebäudewert
Gebäudewert steigt um so mehr, je mehr Bäder vorhanden sind


wert = ¯0 + ¯1sqmeter + ¯2bad + ¯3(sqmeter ¢ bad)
@wert
= ¯1 + ¯3 bad
@sqmeter
34
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Nicht-Linearitäten
Polynome
Nicht-Linearitäten: Polynome

Annahme 1 des linearen Modells:
“Die Beziehung zwischen X und y ist linear in den Schätzparametern,
wobei X auf y wirkt und nicht umgekehrt.“
y = ¯0 + ¯1x1 + ¯2x2 + ¢ ¢ ¢ + ¯k xk

linear allein in Schätzparametern (d.h. ¯1 und nicht ¯1 £ ¯1 )

Polynome als erklärende Variablen können Nichtlinearitäten abbilden
y = ¯0 + ¯1 x1 + ¯2x21 + ¯3x2 + ¢ ¢ ¢ + ¯k xk
36
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
25
0
5
10
15
20
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
years potential experience
40
50
0
10
20
30
years potential experience
Besteht ein linearer oder nichtlinearer Zusammenhang
zwischen Stundenlohn und Berufserfahrung?
Schätzung des Modells:
37
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
40
50
Nichtlinearitäten
wage = ¯0 + ¯1 exper + ¯2exper2
. reg wage exper exper2
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model | 664.266927
2 332.133463
Residual | 6496.14736
523 12.4209319
-------------+-----------------------------Total | 7160.41429
525 13.6388844
Number of obs
F( 2,
523)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
=
=
=
=
=
=
526
26.74
0.0000
0.0928
0.0893
3.5243
-----------------------------------------------------------------------------wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------exper |
.2981001
.0409655
7.28
0.000
.2176229
.3785773
exper2 | -.0061299
.0009025
-6.79
0.000
-.0079029
-.0043569
_cons |
3.725406
.3459392
10.77
0.000
3.045805
4.405007
------------------------------------------------------------------------------
Koeffizienten ¯1 und ¯2 sind beide signifikant von 0 verschieden
) nichtlinearer Zusammenhang
38
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
0
5
10
15
20
25
wage = 3:725 + 0:298 exper ¡ 0:006 exper2
0
10
20
30
years potential experience
40
Inhaltliche Aussage:
 zunächst zunehmender partieller Effekt
 ab einem bestimmten Punkt nimmt der Einfluss aber wieder ab




39
10 Jahre Berufserfahrung ) E(wage|exper=10) = 6,10 $
25 Jahre Berufserfahrung ) E(wage|exper=25) = 7,43 $
40 Jahre Berufserfahrung ) E(wage|exper=40) = 6,05 $
“technisch”: zunächst überwiegt Polynom 1. Ordnung (linearer Faktor exper ),
ab Wendepunkt (~24,8 Jahre) überwiegt Polynom 2. Ordnung exper2
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
50
Nicht-Linearitäten: Polynome
y = ¯0 + ¯1x + ¯2x2

für Modell

partieller Effekt von x
@y
= ¯1 + ¯2 ¢ 2 ¢ x
@x
¯2 > 0
¯2 < 0
y
y
¯1 > 0
x
y
x
y
¯1 < 0
x
40
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
x
Logarithmierte Variablen
Koeffizienten von logarithmierten Variablen haben spezielle Interpretation
Modell
Level-Level
partieller Effekt x1
y = ¯0 + ¯1x1 + ¯2x2 + : : :
@y
= ¯1
@x1
Interpretation
ändert sich x1 um 1 Einheit,
ändert sich y um ¯1 Einheiten
Log-Level
ln(y) = ¯0 + ¯1x1 + ¯2x2 + : : :
@ ln(y)
@y=@x1
=
@x1
y
= ¯1
Semielastizität / Wachstumsrate
ändert sich x1 um 1 Einheit,
ändert sich y um ¯1 Prozent
Log-Log
ln(y) = ¯0 + ¯1 ln(x1) + ¯2x2 + : : :
@ ln(y)
@y=y
=
@ ln(x1 )
@x1 =x1
= ¯1
Elastizität
ändert sich x1 um 1 Prozent,
ändert sich y um ¯1 Prozent
Logarithmus ) natürlicher Log ) ln(...)
42
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Exponentiell bzw. Log-Linear
y = ¯0
K
Y
e(¯k xk )
k=1
ln(y) = ln(¯0) +
K
X
¯k xk
k=1

Koeffizient ist Semi-Elastizität bzw. Wachstumsrate
@ ln(y)
@ln(y) @y
1 @y
=
=
@xk
@y @xk
y @xk
@y=@xk
=
= ¯k
y
43
Änderung von y
im Verhältnis zum Niveau von y
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Exponentiell bzw. Log-Linear
ln(wage) = ¯0 + ¯1 ¢ educ

Ein Anstieg in educ um eine Einheit führt (näherungsweise) zu einer Erhöhung des
Stundenlohns um ¯1 Prozent
@ln(wage)
@ln(wage) @wage
=
@educ
@wage @educ
@wage=@educ
=
= ¯1
wage

wenn z.B ¯1 = 0.05
44
=> Lohn steigt um 5%
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
marg. Änderung des Lohn
relativ zum Lohnniveau
Interpretationshilfe Log-Linear

log-lineares Modell
-----------------------------------------------------------------------------ln_wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------educ |
.0827444
.0075667
10.94
0.000
.0678796
.0976091
_cons |
.5837727
.0973358
6.00
0.000
.3925563
.7749891
------------------------------------------------------------------------------


steigt Bildung um 1 Jahr,
erhöht sich Lohn um rund 8,2%
Vergleich lineares Modell
-----------------------------------------------------------------------------wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------educ |
.5413593
.053248
10.17
0.000
.4367534
.6459651
_cons | -.9048516
.6849678
-1.32
0.187
-2.250472
.4407687
------------------------------------------------------------------------------

45
steigt educ um 1 Jahr;
erhöht sich Stundenlohn um rund 0,54 $
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Interpretationshilfe Log-Linear

Lineares Modell:
Jedes Jahr zusätzliches Bildung erhöht den Stundenlohn um
durchschnittlich 0,54 Dollar

durchschnittlicher Stundenlohn
Variable |
Obs
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+-------------------------------------------------------wage |
526
5.896103
3.693086
.53
24.98

Lohnerhöhung in Bezug zum Durchschnittslohn
0; 54
¼ 0; 0915 ) 9; 2%
5; 896

Log-Lineares Modell:
Jedes Jahr zusätzliches Bildung erhöht den Stundenlohn um
durchschnittlich 100*0,0827 = 8,3%
46
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Log-Log (Elastizität)
y = ®0
K
Y
¯
xkk
k=1
ln(y) = ln(¯0) +
K
X
¯k ln(xk )
k=1


Koeffizient ist Elastizität
Elastizität: prozentuale Veränderung von y, wenn sich x um 1% verändert
@ ln(y)
= ¯1
@ ln(xk )
@y=y
=
@xk =xk
@y xk
=
@xk y
48
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Log-Log (Elastizität)
1
2
1) und 2) gleichsetzen
49
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Log-Log (Elastizität)
ln(wage) = ¯0 + ¯1 ¢ ln(educ)

Ein Anstieg in educ um ein Prozent führt zu einer Erhöhung
des Lohns um ¯1 Prozent
@ ln(wage)
@wage educ
= ¯1 =
@ ln(educ)
@educ wage
50
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Log-Log (Elastizität)

Beispiel: Berechnung der Elastizität des Lohnes in Bezug auf Bildung
-----------------------------------------------------------------------------ln_wage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------ln_educ |
.8252071
.0864488
9.55
0.000
.6553768
.9950374
_cons | -.4446768
.2178493
-2.04
0.042
-.8726459
-.0167077
------------------------------------------------------------------------------
ln(wage) = ¡0:445 + 0:825 ln(educ)

Steigt Bildung um 1% ) Stundenlohn steigt um 0.825%
51
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
52
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Verbrauch von Hühnerfleisch = f(Preis, Einkommen)
lineares Modell
chicken
Coef.
price
income
_cons
-.2135923
.0148836
34.51561
Std. Err.
.1219054
.0021935
3.85578
t
-1.75
6.79
8.95
P>|t|
0.095
0.000
0.000
[95% Conf. Interval]
-.4678825
.010308
26.47259
marginale Effekte
steigt Preis um 1€ ) Konsum sinkt um 0,21kg
steigt Einkommen um 1€ ) Konsum steigt um 0,014kg
53
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
.0406979
.0194591
42.55862
Verbrauch von Hühnerfleisch = f(Preis, Einkommen)
Modell mit Logs
ln_chicken
Coef.
ln_price
income
_cons
-.2098472
.0003481
4.110809
Std. Err.
.1830189
.0000657
.642361
t
-1.15
5.30
6.40
P>|t|
0.265
0.000
0.000
[95% Conf. Interval]
-.5916179
.0002111
2.770867
.1719235
.0004852
5.45075
Preiselastizität von -0,2
steigt Preis um 1% ) Verbrauch sinkt um 0,2%
Koeffizient für Einkommen ist Semi-Elastizität (Wachstumsrate)
) log-linear Spezifikation für Einkommen
) Einkommen steigt um 1€ ) Verbrauch steigt um 0,03%
Eine “Vermischung” von Spezifikationen (mit/ohne Logs) ist zulässig.
54
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
Verbrauch von Hühnerfleisch = f(Preis, Einkommen
ln_chicken
Coef.
ln_price
ln_income
_cons
-.3722119
.4515277
2.03282
Std. Err.
.0634661
.0246948
.116183
t
-5.86
18.28
17.50
P>|t|
0.000
0.000
0.000
[95% Conf. Interval]
-.5045998
.4000153
1.790466
Preiselastizität von -0,37
steigt Preis um 1% ) Verbrauch sinkt um 0,37%
Einkommenelastizität von 0,45
steigt Einkommen um 1 % ) Verbrauch steigt um 0,45%
55
Grösche: Empirische Wirtschaftsforschung
-.239824
.5030401
2.275173