Strömungslehre

Technische und Wirtschaftswissenschaftliche Universität Budapest
(BME)
Lehrstuhl für Strömungslehre
Dr. Tamás LAJOS
Strömungslehre
Vorlesungsskript
zu den Vorlesungen der Deutschsprachigen
Ingenieurausbildung
2005
Inhalt
Kapitel der Strömungslehre ..........................................................................................................5
1. Eigenschaften von Fluiden..........................................................................................................5
Vergleich von Festkörper und Fluiden .........................................................................................5
Viskosität ......................................................................................................................................6
Kompression von Wasserdampf ...................................................................................................6
Kavitation......................................................................................................................................7
Vergleich von Flüssigkeiten und Gasen .......................................................................................7
2. Beschreibung des Strömungfeldes .............................................................................................8
Skalarfelder ...................................................................................................................................8
Vektorfelder ..................................................................................................................................8
Charakterisierung der Felder.........................................................................................................8
Potentialströmungen ...................................................................................................................10
3. Kinematik und Kontinuität ......................................................................................................10
Definitionen ................................................................................................................................10
Zeitverhalten der Strömungen.....................................................................................................11
Sichtbarmachung der Strömungen..............................................................................................11
Potentialwirbel ............................................................................................................................11
Die Bewegung kleiner Flüssigkeitsteilchen................................................................................12
Kontinuitätsgleichung .................................................................................................................14
Verwendung der Kontinuitätsgleichung auf ein Stromfaden......................................................14
Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Rohr mit Kreisquerschnitt...............15
Substantielle, lokale und konvektive Veränderung von Variablen.............................................15
4. Hydrostatik ................................................................................................................................16
Druckverteilung in einem ruhenden und in einem sich beschleunigenden Behälter ..................17
5. Euler und Bernoulli-Gleichung................................................................................................17
Beschleunigung der Flüssigkeitsteilchen....................................................................................17
Euler - Gleichung........................................................................................................................18
Bernoulli Gleichung....................................................................................................................19
Statischer, dynamischer und Gesamtdruck .................................................................................19
Euler Gleichung in "natürlichem" Koordinatensystem...............................................................20
6. Anwendungen ............................................................................................................................21
Der rotierende Behälter...............................................................................................................21
Messung des Volumenstromes mit Venturi–Rohr......................................................................22
Instationärer Ausfluss aus einem Behälter..................................................................................23
Schwimmen von Körpern ...........................................................................................................24
Radialventilator, Eulersche Turbinengleichung..........................................................................25
7. Wirbelsätze: Thomsonscher Satz und Helmholtzsche Sätze.................................................27
Thomsonscher Satz (reibungsfreie Fluiden) ...............................................................................27
I. Helmholtzscher Satz ................................................................................................................28
II. Helmholtzscher Satz...............................................................................................................29
8. Oberflächenspannung ...............................................................................................................29
9. Messungen..................................................................................................................................31
10. Der Impulssatz und seine Anwendung ....................................................................................33
Der Impulssatz ............................................................................................................................33
Drallsatz ......................................................................................................................................34
Anwendungen des Impulssatzes .................................................................................................34
Strahlen .......................................................................................................................................38
11. Strömung von reibungsbehaftete (viskose) Fluiden ...............................................................42
Rheologie (Fließkunde) ..............................................................................................................42
Bewegungsgleichung ..................................................................................................................42
Navier-Stokes-Gleichung............................................................................................................43
Ausgebildete laminare Rohrströmung (Hagen-Poiseuille Strömung) ........................................44
Laminare und turbulente Strömungen ........................................................................................45
Ähnlichkeit der Strömungen .......................................................................................................46
12. Grenzschichten ..........................................................................................................................48
Eigenschaften der Strömung im Grenzschicht............................................................................49
Grenzschichtablösung .................................................................................................................50
13. Hydraulik ...................................................................................................................................52
Erweiterung der Bernoulli Gleichung an reibungsbehafteten Strömungen ................................52
Moody-Diagramm.......................................................................................................................53
Kompressible Rohrströmung ......................................................................................................54
Strömung in Kanälen mit freiem Wasserspiegel ........................................................................55
Reibungsverlust in Durchströmteilen .........................................................................................55
Anwendungen .............................................................................................................................56
14. Aerodynamische Kräfte und Momente ...................................................................................58
Die auf ein Zylinder wirkende aerodynamische Kraft................................................................58
Auftrieb und Widerstand von Tragflügeln..................................................................................59
Die auf ein Prisma (stumpfen Körper) wirkende Widerstandskraft ...........................................60
15. Gasdynamik ...............................................................................................................................62
Energiesatz..................................................................................................................................62
Statische, dynamische und Gesamttemperatur ...........................................................................62
Bernoulli-Gleichung für kompressible Gase ..............................................................................62
Die Schallgeschwindigkeit..........................................................................................................63
Ausströmung eines Gases aus einem Druckbehälter ..................................................................64
5
Kapitel der Strömungslehre
Hydrostatik
Aerostatik
Hydrodynamik
Gasdynamik
ruhende
Flüssigkeit in
Kraftfeld
ruhendes Gas in
Kraftfeld
(Atmosphere)
sich bewegende
Flüssigkeit
sich bewegendes
Gas mit
erheblicher
Dichteveränderung
v Geschwindigkeit
p Druck
ρ Dichte
Bewegungszustand
Druckverteilung
Dichteverteilung
Temperaturverteilung
v = v( r ,t )
p = p( r , t )
ρ = ρ( r ,t )
T = T ( r ,t )
vx, vy, vz
p
ρ
T
6 Größen ⇒ 6 Gleichungen
Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung)
Kräftegleichgewicht (Bewegungsgleichungen)
Energiesatz
Zustandsgleichung
1.
1 (skalar)
3 (vektoriell)
1 (skalar)
1 (skalar)
Eigenschaften von Fluiden
Vergleich von Festkörper und Fluiden
τ = F A [Pa] Schubspannung
Festkörper
Fluiden
(newtonsche)
γ, Deformation ist proportional zur
Schubspannung τ
dγ/dt, Deformationsgeschwindigkeit ist
proportional zur Schubspannung τ
nicht-newtonsche Fluiden
Erfahrungen mit Fluiden
• Haftbedingung
• Deformation verursacht keine Veränderung der inneren Struktur
6
•
•
kontinuierliche Deformation wenn Schubspannung wirkt
keine Schubspannung bei ruhenden Fluiden
Viskosität
Geschwindigkeitsverteilung
Verdrehung des Stäbchens M in dt: dγ
dγ dv x
=
.
dt dy
τ xy = µ
⎡
⎤
dvx
dγ
=µ
. Newtonscher Viskositätssatz
dy
dt
[µ ] = [τ ] ⎢ ∂ y ⎥ =
⎣ ∂v x ⎦
ν=
µ
m2 / s
ρ
[
]
kg m m
kg
=
. dynamische Viskosität
2
2
s m m / s ms
kinematische Viskosität
Kompression von Wasserdampf
Wenn T >> Tkrit ( O 2 und N 2 → Tkrit 154 [K] and 126 [K])
p
= RT
ideale Gasgleichung
ρ
wo p[Pa], ρ [kg/m3], T [K], R = R u / M , Ru = 8314.3 J/kg/K universelle Gaskonstante, M
[kg/kmol] molare Masse, für Luft: M=29 kg/kmol, so R=287 J/kg/K.
pv =
7
Kavitation
Sättigungsdruck (Dampfdruck) - Temperatur Wasser 15 0C, ps = 1700 Pa, 100 0C, ps = 1.013*105
Pa Standard-Druck der Atmosphäre
Kavitationserosion
Vergleich von Flüssigkeiten und Gasen
Wechselwirkung von Molekülen (Anziehung und Abstoßung)
d0 Moleküldurchmesser
Flüssigkeiten
Gase
Abstand zwischen den
Molekülen
klein ≅ d 0
groß ≅ 10 d 0
Die Rolle der
Wechselwirkung zwischen
den Molekülen
wichtig ⇒ freie
Onberfläche
kleine⇒ das Gas
füllt das verfügbare
Volumen aus
Einfluß des Druckes auf das
Volumen
klein ⇒ 1000 bar
verursacht 5%
Abnahme von V
groß ⇒ im Falle
T=const V
proportional zu 1/p
Grund der Viskosität
Anziehungskraft
zwischen Moleküle
Impulsaustausch der
Moleküle
Beziehung zwischen
Viskosität und
Temperatur
T nimmt zu, µ
nimmt ab
T nimmt zu, µ
nimmt zu
Viskosität und Druck
unabhängig
unabhängig
8
2.
Beschreibung des Strömungfeldes
Skalarfelder
Dichte ρ v = lim 3
∆V ⇒ ε
[
]
∆m
kg / m 3 , ∆V Volumen Inkrement, ε >> λ (mittlere freie Weglänge)
∆V
Kontinuum ρ=ρ(r,t) ρ=ρ(x,y,z,t)
Druck
p =⏐∆F⏐/⏐∆A⏐ [N/m2], [Pa].
p=p(r,t), p=p(x,y,z,t)
Temperatur
T=T(r,t)
Vektorfelder
Geschwindigkeitsfeld
v = v(r, t ) Eulersche Beschreibung des Geschwindigkeitsfeldes
Kraftfelder
[g] = N / kg = m / s
2
.
Schwerekraftfeld: g = −g g k g g = 9.81 N/kg, 1 kg 9.81 N
Trägheitskraftfeld: sich beschleunigendes Koordinatensystem ( a = a i ) g t = −a i .
Zentrifugalfeld: rotierendes Koordinatensystem g c = rω 2
Charakterisierung der Felder
Charakterisierung der Skalarfelder:
∂p
∂p
∂p
∂p
gradp =
i+
j+
k=
Gradientvektor
∂x
∂y
∂z
∂r
4 charakteristische Kennzeichen des Gradientvektores:
Der gradp Vektor
ƒ ist parallel mit der Richtung der schnellsten Veränderung von p,
ƒ ist senkrecht auf p = Konst. Fläche,
ƒ zeigt in die Richtung der Zunahme von p.
ƒ Seine Länge ist proportional zu dem Grad der Veränderung von p.
9
Die Veränderung der Skalargröße:
∂p
∂p
∂p
∆p = p B − p A ≅ gradp∆s =
∆x + ∆y + ∆z
∂x
∂y
∂z
Charakterisierung der Vektorfelder:
v = v x i + v y j + v z k = v(r, t ) .
Vektorfeld = 3 Skalarfeld
v x = v x ( x, y, z, t ), v y = v y ( x, y, z, t ), v z = v z ( x, y, z, t ) .
∆v x ≅ grad v x ∆ r =
∂v x
∂v
∂v
∆x + x ∆y + x ∆z .
∂x
∂y
∂z
∂v x ⎤
∂v x
⎡ ∂v x
⎢ ∂x ∆x + ∂y ∆y + ∂z ∆z ⎥
⎢
⎥
∂v y ⎥
∂v y
∂v y
⎢
∆z
∆y +
∆x +
∆v ≅
⎢ ∂x
∂z ⎥
∂y
⎢ ∂v
⎥
∂v
∂v
⎢ z ∆x + z ∆y + z ∆z ⎥
∂y
∂z
⎢⎣ ∂x
⎥⎦
Divergenz: div v =
∂v x ∂v y ∂v z
+
+
,
∂y
∂z
∂x
[
dq v = vd A = v d A cosα m 3 / s
∫ vd A = ∫ div vdV
A
Rotation
V
]
Gaußscher Integralsatz
10
i
∂
rot v = ∇ × v =
∂x
vx
j
∂
∂y
vy
k
∂
∂z
vz
⎡ ∂v z ∂v y ⎤
−
⎥
⎢
∂z ⎥
⎢ ∂y
∂v
∂v
= ⎢⎢ x − z ⎥⎥
∂z
∂x
⎢ ∂v
v ⎥
∂
⎢ y − x⎥
∂y ⎥⎦
⎢⎣ ∂x
rot v = 2Ω
Γ = ∫ vds = ∫ rot vd A
G
Stokesscher Integralsatz
A
Potentialströmungen
v = gradϕ Voraussetzung: Γ = ∫ vds = 0 , oder rot v = 0
G
Beispiel: für das Schwerekraftfeld g: ∫ gds = 0 die Arbeit des Kraftfeldes
G
U [m2/s2] Potenzial des Vektorfeldes
g = −gradU
Schwerekraftfeld: g g = −g g k U g = g g z + konst.
Trägheitskraftfeld: sich beschleunigendes Koordinatensystem g t = −a i U t = a x + konst.
Zentrifugalfeld: rotierendes Koordinatensystem g c = rω 2 U c = −
3.
r 2 ω2
+ kost.
2
Kinematik und Kontinuität
Definitionen
Streichlinie verbindet die Flüssigkeitsteilchen die einen Punkt des Raumes nacheinander passieren.
Zb. Photo: (Momentaufnahme) Rauchfaden aus ein Schornstein, Öldampffaden um ein
Fahrzeugmodell im Windkanal.
Bahnlinie verbindet die aufeinanderfolgende Positionen eines Flüssigkeitsteilchens (Zeitaufname).
Stromlinie: die Kurve, die durch die Geschwindigkeitsvektoren tangiert wird. (v x ds = 0.)
Stromfläche, Stromrögre: keine Strömung durch die Fläche.
11
Zeitverhalten der Strömungen
Instationäre Strömungen: v = v(r, t)
Stationäre Strömungen: v = v(r)
In vielen Fällen kann die Zeitabhängigkeit der Strömung durch Koordinatentransformation
aufgehoben werden.
In stationären Strömungen fallen die Strom-, Bahn- und Streichlinien zusammen, in instationären
Strömungen im allgemeinen nicht.
Sichtbarmachung der Strömungen
quantitative und/oder qualitative Informationen
Durchsichtige Fluiden, reflektierende Teilchen, die sich zusammen mit dem Fluid bewegen:
ƒ Teilchen von gleicher Dichte oder
ƒ sehr kleine Teilchen (großer aerodynamischer Widerstand).
Öldampf, Rauch, Wasserstoff-Bläschen, Farbe, Kunststoffkugeln in Wasser,
Wollfaden in Luft,
PIV (Particle Image Velocimetry), LDA Laser Doppler Anemometry)
Potentialwirbel
Ebene (Zweidimensionale, 2D) Strömungen: v z = 0 ,
∂v x ∂v y
= 0.
=
∂z
∂z
Aufgrund Kontinuitätsüberlegung: v = v(r) v(r) = ?
Bestimmung von rotv mit Anwendung des Stokesschen Integralsatzes: Γ = ∫ vds = ∫ rot vd A
G
A
12
2
3
1
2
∫ vd s = ∫ vd s + ∫ vd s
G
4
1
3
4
+ ∫ vd s + ∫ vd s
=0
=0
Da v⊥ds im 2. und 4. Integral, und v und ds bilden 00 oder 1800 im 1. und 3. Integral
∫ vd s = (r + dr )dϑ v(r + dr )−r dϑ v(r )
G
Da v(r + dr )=v(r ) +
dv
dr
dr
nach Substitution
dv
dv
∫G vd s = r dϑ dr dr + dr dϑ v(r )+ dr dϑ dr dr ≈0
Bei ebenen Strömungen ist nur (rotv)z ≠ 0.
∫ rot vd A = (rot v )z r dϑ dr
dA
(rot v )z
=
dv v
+ .
dr r
Beispiel: v = rω ⇒ (rot v)z =2ω
Im Falle rotv = 0
dv
dr
K
= − ⇒ ln v = − ln r + ln const ⇒ v = . Geschwindigkeitsverteilung in Potentialwirbel.
r
r
v
Die Bewegung kleiner Flüssigkeitsteilchen
Die Bewegung von Teilchen kann als Superposition von Parallelverschiebung, Deformation und
Rotation hergestellt werden.
In Potentialströmungen gibt es keine Rotation.
13
Beispiele für die Sichtbarmachung der Strömungen
1,0
1,1
1,2
1,4
1,6
0,9
0°
0,8
14
Kontinuitätsgleichung
[
dq m = ρvd A = ρ v d A cosα m 3 / s
Integralform der Kontinuitätsgleichung:
∂ (ρv )
dV = 0
∂t
V
∫ ρ vd A + ∫
A
Differentialform:
]
∂ρ
+ div(ρ v ) = 0 , wenn die Strömung stationär ist: v = v(r) ⇒ div(ρ v ) = 0 ,
∂t
wenn die Fluiden inkompressibel sind: ρ= const. div v = 0
Verwendung der Kontinuitätsgleichung auf ein Stromfaden
Stationäre Strömung, keine Strömung durch den Mantel des Stromrohres.
Integralform der Kontinuitätsgleichung für stationäre Strömung: ∫ ρ vd A = 0 . "A" enthält den
A
∫ ρ vd A + ∫ ρ vd A = 0 .
Mantel Ap (v ⊥ dA), A1 und A 2 , die Ein- und Ausflussquerschnitte.
A1
Da vd A = v d A cosα ,
A2
∫ ρ v dA cosα + ∫ ρ v dA cosα = 0 Annahmen: über A
1
A1
und A 2 v ⊥
A2
A und über A 1 ρ = ρ1 =const, über A 2 ρ = ρ2 =const'.
Das Ergebnis ist: ρvA = const, wo v die Durchschnittsgeschwindigkeit ist. Bei sich veränderndem
Querschnitt einer Rohrleitung: ρ1 v1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2
⇒ v 2 = v1
ρ1 D 1
2
ρ2D2
2
15
Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Rohr mit Kreisquerschnitt
v =? Durchschnittsgeschwindigkeit
In dem Rohrquerschnitt von Durchmesser D läßt sich die Geschwindigkeitsverteilung mit einem
Paraboloid beschrieben. Der Unterscheid zwischen vmax und v(r) hängt von n. Exponent von r ab,
[
]
so v(r ) = v max 1 − (r / R ) .
n
Durchschnittsgeschwindigkeit:
v=
[
]
4q v
[m / s] wo q v m 3 / s der Volumenstrom ist.
2
D π
Der Volumenstrom durch den Elementarquerschnitt eines Kreisringes (Radius r, Dicke dr,
Querschnitt 2rπdr) ist
R
[
]
dqv = 2r π v(r) dr ⇒ q v = ∫ 2rπv max 1 − (r / R ) dr .
n
0
Die Integration ergibt: q v = R 2 πv max
v=
n
, so ist die Durchschnittsgeschwindigkeit:
n+2
n
v max .
n+2
Im Fall eines Paraboloids von n = 2 ist die Durchschnittsgeschwindigkeit die Hälfte der
Maximalgeschwindigkeit.
Substantielle, lokale und konvektive Veränderung von Variablen
∂ρ
∂ρ
+ div(ρ v ) = 0 ⇒
+ vgrad ρ + ρdiv(ρ v ) = 0
∂t
∂t
16
Die Geschwindigkeit in Punkt P ist v, die örtliche Veränderung der Dichte kann durch gradρ
beschrieben werden. Instationäre Strömung: ∂ρ / ∂t ≠ 0 . Gesucht ist die Dichteveränderung dρ in
der Zeit dt.
Zwei Ursachen der Veränderung von ρ:
a) Die Zeitabhängigkeit der Dichte ( ∂ρ / ∂t ≠ 0 ) ⇒ die Veränderung der Dichte in der Zeit dt
∂ρ
in Punkt P: dρ l = dt
∂t
b) Das Flüssigkeitsteilchen hinterlässt in dt Zeit einen Elementarweg ds = vdt und erreicht
Punkt P', wo die Dichte sich von der Dichte in Punkt P mit dρ k = gradρds = gradρvdt
unterscheidet.
y
y
dρl ist die lokale Veränderung der Dichte (nur bei instationären Strömungen)
dρ k ist die konvektive Veränderung der Dichte, die durch die Bewegung der
Flüssigkeitsteilchen und die örtliche Vänderung der Dichte verursacht wird.
Die substantielle Veränderung der Dichte in der Zeit dt ist: dρ = dρ l + dρ k =
∂ρ
dt + vgradρ dt
∂t
dρ ∂ρ
=
+ vgradρ . Die Kontinuitätsgleichung kann umgeformt
dt
∂t
∂ρ
dρ
∂ρ
+ div(ρv ) = 0 ⇒
+ ρdiv v = 0
+ vgrad ρ + ρdiv(ρv ) = 0 ⇒
werden:
dt
∂t
∂t
Die Veränderung pro Zeiteinheit:
4.
Hydrostatik
Ruhende Fluiden: Die Kraft die auf die Masse wirkt (z.B. Gewicht), wird von den Kräften die auf
der Oberfläche wirken (Druckkräfte und die Kräfte infolge der Schubspannung) ausgeglichen.
∂p ⎞
⎛
dx ⎟ = 0
ρ dx dy dz g x + dy dz p( x ) − dy dz ⎜ p( x ) +
∂x ⎠
⎝
∂p
⇒ grad p = ρ g Grundgleichung der Hydrostatik.
ρ gx =
∂x
Annahme: g = −grad U (Potentialkraftfeld).
Da grad p = −ρ grad U ⇒ p = const Ebenen fallen mit der U = const (Äquipotentialfläche)
zusammen.
Die Oberfläche (Wasserspiegel) einer Flüssigkeit fällt mit der U = const Äquipotentialfläche
zusammen ⇒ die Flüssigkeits-Oberfläche ist senkrecht auf den Kraftfeld-Vektor.
Annahme: g = −grad U (Potentialkraftfeld), ρ = const (inkompressible Fluiden)
p
⎛p
⎞
1
p
grad p = grad = − grad U ⇒ grad ⎜⎜ + U ⎟⎟ = 0 ⇒ + U = const
ρ
ρ
ρ
⎝ρ
⎠
p1
p
+ U1 = 2 + U 2 : unvollständige Bernoulli-Gleichung.
ρ1
ρ2
17
Druckverteilung in einem ruhenden und in einem sich beschleunigenden Behälter
Aus der Grundgleichung der Hydrostatik: g g = g k , wo g = 9.81 N kg .
∂p
∂p
∂p
i+
j + k = ρg k
∂x
∂y
∂z
dp / dz = ρg , ρ= const ⇒ p = ρg z+const .
In z = 0 , p = p 0 . ⇒ Const. = p 0 ⇒ p = p 0 + ρg z . ⇒ In z = H (Punkt 2) p 2 = p 0 + ρgH
p
p
Bernoulli-Gleichung 1 + U1 = 2 + U 2 .
ρ1
ρ2
Punkt 1 auf der Oberfläche (z = 0), Punkt 2 am Behälterboden (z = H).
Wenn die Koordinate z nach unten zeigt: U = −gz , p1 = p 0 , z1 = 0, p 2 = ?, z 2 = H .
p 2 − p 0 = ρg H .
Wenn der Behälter sich nach oben beschleunigt, ist das Wasser nur in dem Koordinatensystem in
Ruhe, das sich nach oben beschleunigt. In diesem Fall muss eine zusätzliche (Trägheits-) Kraftfeld
berücksichtigt werden: g i = a k :
U i = −a z U = U g + U i = −(g + a )z ⇒ p 2 − p 0 = ρ(g + a )H .
5.
Euler und Bernoulli-Gleichung
Beschleunigung der Flüssigkeitsteilchen
Die Veränderung von vx pro Zeiteinheit, d.h. die Beschleunigung der Flüssigkeitsteilchen in x
Richtung ist :
dv x ∂v x
=
+ vgradv x .
dt
∂t
Das erste Glied auf der rechten Seite der Gleichung ist die lokale Beschleunigung, das zweite Glied
die konvektive Beschleunigung.
∂v x
∂v x
∂v x
dv x ∂v x
=
+ vx
+ vy
+ vz
∂t
∂x
∂y
∂z
dt
dvy ∂vy
∂vy
∂vy
∂vy
=
+ vx
+ vy
+ vz
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
dv z ∂v z
∂v z
∂v z
∂v z
=
+ vx
+ vy
+ vz
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
Bestimmung des Differentiales von v(r,t): d v =
∂v
∂ v ∂r
dt .
dt +
∂t
∂ r ∂t
18
dv kann auf Zeiteinheit bezogen werden, dh. mit dt dividieren:
dv ∂ v ∂ v ∂r
=
+
, wo ∂ r ∂t = v .
dt ∂t ∂ r ∂t
Wenn die Strömung instationär ist, ist die lokale Beschleunigung ungleich 0. Die konvektive
Beschleunigung existiert, wenn die Größe und/oder die Richtung der Geschwindigkeit sich in die
Richtung der Bewegung des Füssigkeitsteilchens verändert.
Der Ausdruck für die Beschleunigung kann transformiert werden:
dv ∂v
v2
=
+ grad − v × rot v .
dt ∂t
2
Euler - Gleichung
Reibungsfreie Strömung: µ = 0
Die Resultierende der Kräfte = Masse · Beschleunigung
Reibungsfreie Strömung: die Kräfte werden durch den Druck und das Kraftfeld verursacht (keine
Schubspannung).
Die Beschleunigung eines Würfels von Kantenlängen dx, dy, dz in x Richtung und die Kräfte die
auf den Würfel in x Richtung wirken können in einer Gleichung in Zusammenhang gebracht
werden:
dv
∂p
ρ dx dy dz x = ρ dx dy dz g x + p dy dz − (p + dx ) dy dz
∂x
dx
dv x
1 ∂p
=gx −
dx
ρ ∂x
dv ∂v
1
=
+ grad v − v × rot v = g − grad p : Euler-Gleichung
dt ∂t
ρ
p
1
dp
gradp = −grad ∫
Wenn ρ = ρ(p), −
ρ(p)
ρ(p)
p0
Wenn ρ = const die unbekannte Variablen sind: vx, vy, vx, p
∂vx
∂vx
∂vx
∂vx
1 ∂p
+ vx
+ vy
+ vz
= gx −
ρ ∂x
∂t
∂x
∂y
∂z
∂vy
∂vy
∂vy
∂vy
1 ∂p
+ vx
+ vy
+ vz
= gy −
ρ ∂y
∂t
∂x
∂y
∂z
∂vz
∂vz
∂vz
∂vz
1 ∂p
+ vx
+ vy
+ vz
= gz −
ρ ∂z
∂t
∂x
∂y
∂z
∂v x ∂v y ∂v z
+
+
= 0 Vier unbekannte Variablen, vier Gleichungen.
∂x
∂y
∂z
19
Bernoulli Gleichung
Reibungsfreie Strömung: µ = 0
v2
∂v
∫1 ∂t ds + ∫1 grad 2 ds − ∫1 v × rot v ds
2
2
2
I
II
2
2
= ∫ gd s
III
1
IV
1
− ∫ gradp ds
ρ
1
V
v 22 − v 12
2
1
b) Wenn g = - gradU Integral IV = – (U2– U1)
∂v
= 0 ) Integral I =0
c) Wenn die Strömung stationär ist: (
∂t
d) Intergral III = 0, wenn
a. v = 0 ruhende Fluiden
b. rotv = 0 Potentialströmung
c. ds fällt in die Ebene bestimmt durch v und rotv Vektor
d. ds || v (Integrieren entlang Stromlinie)
e. ds || rotv (Integrieren entlang Wirbellinie)
2
a) Da ∫ gradf ds = f 2 − f 1 Integral II =
p −p
e) Wenn ρ = const , Integral V = − 2 1 , wenn ρ = ρ(p) , Integral V =
ρ
p2
dp
∫ ρ(p )
p1
Im Fall von reibungsfreier stationärer Strömung von inkompressiblen Fluiden ( ρ = const. ), wenn
g = - gradU und wenn das Integrieren entlang Stromlinie erfolgt:
v12 p1
v2 p
+ + U1 = 2 + 2 + U 2
2
ρ
2
ρ
Die Bernoullische Summe = const entlang der Stromlinie.
Statischer, dynamischer und Gesamtdruck
ρ
t
v12 p1
v2 p
+ + U1 = 2 + 2 + U 2
2
ρ
2
ρ
Im Staupunkt v = 0, deshalb p ∞ +
ρ 2
v ∞ : dynamischer Druck
2
p∞ : statischer Druck
pt Gesamtdruck, Staudruck
pd =
ρ 2
v∞ = p t
2
20
Im Fall von reibungsfreier, stationärer Strömung von inkompressiblen Fluiden und bei
Vernachlässigung der Kraftfelder ist der Gesamtdruck entlang Stromlinien konstant.
Euler Gleichung in "natürlichem" Koordinatensystem
Stationäre Strömung reibungsfreier (µ=0) Fluide.
e (Bahnrichtung) Koordinate ist Tangente der Stromlinie (in stationärer Strömung auch Bahnlinie),
n (Hauptnormalenrichtung) steht senkrecht auf die Stromlinie und passiert den
Krümmungsmittelpunkt der Stromlinie,
b (Binormalenrichtung) ist senkrecht auf e und n.
Bahnrichtung e
Die Kraft die auf ein infinitesimales Flüssigkeitsteilchen mit Kantenlängen db, dn und de (Masse:
dm = ρdbdn de ) in die e Richtung wirkt:
⎡ ⎛ ∂p ⎞ ⎤
dFe = pdbdn − ⎢p + ⎜ ⎟de⎥dbdn + ρdbdn deg e ,
⎣ ⎝ ∂e ⎠ ⎦
wo ge die e Komponente des Kraftfeldes ist.
Da die Strömung stationär ist, existiert nur konvektive Beschleunigung, und da
v n = v b = 0 , a conv = v
ρdbdndev
v
∂v
.
∂e
∂v
∂p
= − dedbdn + ρdbdndeg e .
∂e
∂e
∂v
1 ∂p
=−
+ ge
∂e
ρ ∂e
Hauptnormalenrichtung n
v2
dm
Zentripetalkraft ist nötig, wenn sich die Masse dm mit Geschwindigkeit v entlang einer
R
Stromlinie mit dem Krümmungsradius R bewegt:
− ρdedbdn
⎡ ⎛ ∂p ⎞ ⎤
v2
= pdbde − ⎢p + ⎜ ⎟dn ⎥dbde + ρdedbdn g n
R
⎣ ⎝ ∂n ⎠ ⎦
21
−
v2
1 ∂p
=−
+ gn .
R
ρ ∂n
Binormalenrichtung b
0=−
1 ∂p
+ gb .
ρ ∂b
Falls in der Gleichung der Hauptnormalenrichtung gn unberücksichtigt ist:
v 2 1 ∂p
=
R ρ ∂n
Folgerungen:
a) wenn die Stromlinien parallele Geraden sind (R=∞), verändert sich der Druck senkrecht auf
die Stromlinien nicht,
b) wenn die Stromlinien gekrümmt sind, nimmt der Druck senkrecht auf die Stromlinien und
auswärts vom Krümmungsmittelpunkt zu.
Pkw
6.
Regentropfen
Anwendungen
Der rotierende Behälter
In absolutem Koordinatensystem rotiert das Wasser als Starrkörper mit Winkelgeschwindigkeit
ω[1 / s] .
pA – p0 =?
22
3 verschiedene Lösungsmöglichkeiten:
a) im mitrotierenden Koordinatensystem: Hydrostatik
b) im absoluten Koordinatensystem: Bernoulli-Gleichung;
c) im absoluten Koordinatensystem: Euler Gleichung in natürlichem Koordinatensystem
⎞
⎛ R 2 ω2
R 2ω2
− 0 ⎟⎟ = ρ
ad a) p A − p 0 = − ρ(U A − U 0 ) = −ρ⎜⎜ −
2
2
⎠
⎝
v2
1
∂v
d
s
grad
ds − ∫ v × rot vds = ∫ gds − ∫ gradpds .
+
∫
∫
ad b) 0 ∂t
2
ρ
0
0
0
0
A
A
I
A
II
A
III
A
IV
(
V
)
stationäre Strömung: Integral I =0, Integral II = v 2A − v 02 / 2 , Integral III ≠ 0 da rot v ≠ 0 und
Punkte 0 und A liegen nicht auf der gleichen Stromlinie. Integral IV =0, da g ⊥ ds Integral V =
− (p A − p 0 ) / ρ , da ρ = const.
A
p A − p 0 = ρ∫ v × rot vds − ρ
0
v 2A − v 02
.
2
v = ωr und (rot v )z = dv / dr + v / r ⇒ (rot v ) z = 2ω . v , rot v und ds Vektoren stehen senkrecht
aufeinander, und ds = dr , weiterhin v A = R ω und v 0 = 0 :
R
p A − p 0 = ρ ∫ (rω)2ωdr − ρ
0
R 2 ω2
R 2 ω2
R 2 ω2
.
= ρR 2 ω 2 − ρ
=ρ
2
2
2
v 2 1 ∂p
=
− gn
R ρ ∂n
R = r, dn = dr (Stromlinien sind konzentrische Kreise), g n = 0
ad c)
pA
R 2 ω2
v2
2
−
=
ρ
p
p
dp
=
ρ
dr
=
ρ
r
ω
dr
⇒
A
0
∫ ∫0 r
∫0
2
p0
R
R
Messung des Volumenstromes mit Venturi–Rohr
h [m]= f(qv) = ? ρ und ρHg: Dichte des Wassers und Quecksilbers
23
v12 p1
v2 p
+ + U1 = 2 + 2 + U 2
2
ρ
2
ρ
U-Rohr Manometer:
p1 + ρg(H + h) = p 2 + ρg(m + H) + ρ Hg gh
p1 − p 2 = ( ρ Hg − ρ )gh + ρgm .
2
ρHg − ρ
v22 v12 v12 ⎡⎛ v22 ⎞ ⎤ p1 − p2
− = ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥ =
gh
− gm =
ρ
2 2
2 ⎢⎝ v1 ⎠ ⎥
ρ
⎣
⎦
Kontinuitätsgleichung:
v1A1 = v2A2 ⇒ v2 /v1 =(d1 /d2)2
v1 =
⎞
⎛ ρ Hg
⎜⎜
− 1 ⎟⎟ 2 gh
⎠
⎝ ρ
4
⎛ d1 ⎞
⎟⎟ − 1
⎜⎜
⎝ d2 ⎠
Volumenstrom: q v =
d12 π
v1 = K h
4
Instationärer Ausfluss aus einem Behälter
.
∂v
v2
1
+
d
s
grad
ds − ∫ v × rot vds = ∫ gds − ∫ gradp ds
∫1 ∂t ∫1
ρ
2
1
1
1
2
2
I
2
II
2
III
2
IV
V
2
⎡v2 p
⎤
∂v
d
s
+
∫1 ∂t ⎢⎣ 2 + ρ + U⎥⎦ = 0
1
2
In Punkt 1 p 1 = p 0 , z = H , v = 0. In Punkt 2 p 2 = p 0 . z = 0 , die Geschwindigkeit ist v 2 = v(t ) .
1'
∂v
∂v
∂v
∫1 ∂t ds = ∫1 ∂t ds + ∫1 ∂t ds .
1
2
2
wo ∂ v / ∂t ist der Beschleunigungsvektor, | ∂ v / ∂t | ist mit a bezeichnet, ∂ v / ∂t || ds , die Vektoren
∂ v / ∂t und ds zeigen in die gleiche Richtung.
24
v1 A1 = v 2 A 2 ⇒ a 1A1 = a 2 A 2
∂v
∫1 ∂t ds = 1∫' ads = a L
2
2
dv
v2 p0 p0
L+
+
=
+ gH
dt
2
ρ
ρ
Im Falle stationärer Strömung (
v
dv
dt
=
.
2
2
2L
v st − v
arth
tv
v
= st
v st
2L
v st
∫
0
d
v2
dv
= 0) st = g H
2
dt
v
v st
v st t
=
dt .
2
2L ∫0
⎛ v ⎞
⎟⎟
1 − ⎜⎜
⎝ v st ⎠
τ=
2L
v st
v
t
= th wo v st = 2gH .
v st
τ
Schwimmen von Körpern
Volumen des Körpers: ∆V, die Druckverteilung in der Flüssigkeit ist durch gradp charakterisiert.
Druckkraft: ∆ F ≅ −grad p ∆V , ∆ F = −ρg ∆V .
Der hydrostatische Auftrieb im Schwerekraftfeld = Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
Der hydrostatische Auftriebsvektor passiert den Mittelpunkt des verdrängten Volumens.
Ein Körper schwimmt, wenn seine Durchschnittsdichte ist gleich oder kleiner als die Dichte der
Flüssigkeit.
Stabilität des schwimmenden Körpers: Unterseeboote und Schiffe.
Wenn der Schwerpunkt S unter dem Mittelpunkt des verdrängten Volumens K liegt, entsteht ein
Drehmoment M, das den Neigungswinkel reduziert. Das U-Boot ist in stabilem Zustand.
25
Falls ein Drehmoment M entsteht, das den Neigungswinkel reduziert, Schiffe können bis einem
gewissen Neigungswinkel stabil bleiben auch dann, wenn sich der Schwerpunkt S über dem
Mittelpunkt des verdrängten Volumens K befindet.
Bei der Neigung des Schiffes verändern sich die Größe des Gewichtes und Auftriebes nicht, aber
die Angriffslinie des Auftriebes verschiebt sich. (Als Folge der Neigung taucht ein keilförmiger Teil
des Schiffskörpers (A) empor, und Volumen B versinkt. So entsteht ein Kräftepaar, das den
Auftriebsvektor verschiebt.)
Die neue Angriffslinie passiert die Symmetrieebene des Schiffes in Punkt M (Metazentrum). Wenn
der Schwerpunkt S unter dem Metazentrum M liegt, entsteht ein Drehmoment M, das den
Neigungswinkel reduziert. So ist das Schiff in stabilem Zustand.
Radialventilator, Eulersche Turbinengleichung
sz: Saugstutzen, k: Saugtrichter, j: Laufrad, l: Schaufel, cs: Spiralgehäuse, ny: Druckstutzen, t:
Achse, m: Elektromotor, M: Drehmoment, ω: Winkelgeschwindigkeit.
26
Die Aufgabe der Ventilatoren ist den Gesamtdruck des Gases zu erhöhen:
ρ ⎞ ⎛
ρ ⎞
⎛
∆p g = p dg − p sg = ⎜ p + v 2 ⎟ − ⎜ p + v 2 ⎟
2 ⎠d ⎝
2 ⎠s
⎝
nutzbare Leistung: P = q v ∆p g , wo qv [kg/m3] der Volumenstrom ist.
Bernoulli Gleichung im relativen Koordinatensystem (stationäre Strömung inkompressibler und
reibungsfreier Fluide) zwischen den Punkten 1 und 2 die auf der gleichen Stromlinie liegen:
2
2
w 22 − w 12 2
∂w
1
+
−
×
=
−
d
s
w
rot
w
d
s
g
d
s
gradp ds .
∫1 ∂t
∫
∫
∫
ρ
2
1
1
1
2
I
II
III
IV
V
g = g c + g Cor = − grad( U g + U c ) + 2w × ω , U g ≅ 0, U c = −
⎛ r22 ω 2 r12 ω 2
∫1 gds = ⎜⎜ 2 − 2
⎝
2
r 2ω2
2
⎞ 2
⎟ + 2w × ωds ,
⎟ ∫
⎠ 1
Da v = w + u , if rot v = 0 ⇒ rot w = − rot u , und u = rω rot u = 2ω .
2
2
2
1
1
1
− ∫ w × rot w ds = − ∫ w × (− 2ω)ds = ∫ 2w × ωds
Schließlich:
w 12 p 1 r12 ω 2 w 22 p 2 r22 ω 2
+
−
=
+
−
2
2
2
2
ρ
ρ
w = v − u ⇒ w 2 = v 2 + u 2 − 2u v
v 22 u 22
r 2 ω 2 v12 u 12
r 2 ω 2 p 2 − p1
+
− v2 u2 − 2
−
−
+ v1 u 1 + 1
+
= 0.
2
2
2
2
2
2
ρ
u 1 = r1 ω
⎛
⎝
∆p g = p 2 g − p1g = ⎜ p 2 +
ρ
ρ ⎞
⎞ ⎛
v 22 ⎟ − ⎜ p1 + v12 ⎟ = ρ (v 2 u 2 − v1 u 1 ).
2 ⎠ ⎝
2 ⎠
27
v 2 u 2 = v 2u u 2 ,
∆p g id = ρ( v 2 u u 2 − v1u u 1 )
Wenn v1u = 0 ⇒ ∆p g id = ρ v 2 u u 2 .
7.
Wirbelsätze: Thomsonscher Satz und Helmholtzsche Sätze
Thomsonscher Satz (reibungsfreie Fluiden)
Zirkulation: Γ = ∫ v ds . Zeitliche Veränderung der Zirkulation entlang einer geschlossenen flüssigen
G
Linie
dΓ d
=
v ds = ? Falls g = −gradU und ρ=const, oder ρ=ρ(p), mit Euler Gleichung:
dt dt G∫
d
vd s = 0
dt G∫
In der Strömung von reibungsfreien und inkompressiblen Fluiden in potentialem Kraftfeld entsteht
keine Rotation.
Anwendungen:
Anfahr- und Stoppwirbel (Wirbelbildung), Erstellung gleichmäßigeren
Geschwindigkeitsverteilungen, Strömung in Wasserbehälter.
28
∂v y ∂v x
Γ = ∫ vds = ∫ rot vd A ⇒ ( rot v ) 2 = ∆ A 1 = D 2 . (rot v) z =
−
, ∂vy/∂x<0 ⇒ ∂vx/∂y<0.
∂x
∂y
( rot v ) 1
∆A 2
D1
G
A
I. Helmholtzscher Satz
µ=0
Flüssige Wirbellinie: rot v × ds = 0 ,
Flüssige Wirbelfläche: rot v × dA = 0
A
d
vds = 0 , eine flüssige Wirbelfläche bleibt Wirbelfläche.
dt G∫
Zwei Wirbelflächen schneiden einander entlang einer
Wirbellinie.
Da
Eine Wirbellinie, die als Schnittlinie zweier
Wirbellinien betrachtet werden kann, besteht aus dem
gleichen Flüssigkeitsteilchen.
Konsequenz: Der Wirbel in einem Rauchring oder in einem
Rauchfaden eines Schornsteines bewahrt den Rauch.
29
II. Helmholtzscher Satz
Flüssiges Wirbelrohr (Wirbelfaden)
∫ v d s = ∫ vd s + ∫ vd s = 0
S
S1
S2
∫ vd s = ∫ vd s ,
S1
S2
∫ rot vd A = ∫ rot vd A .
A1
∫ rot vd A
A2
ist konstant in allen Querschnitten entlang des Wirbelrohres und verändert
A
sich nicht in der Zeit.
Konsequenz: Das Wirbelrohr ist entweder eine geschlossene Linie (ein Ring) oder es endet an der
Grenze des Strömungsfeldes. Andernfalls A ⇒ 0, rotv ⇒ ∞.
Induzierter Wirbel am Flügelende. Fliegen der Wildgänse in V-Formation.
Wirbelfaden nach Eröffnung des Ablaufes. Tornado.
8.
Oberflächenspannung
F = 2LC , wo C[N/m] Kapillarkonstante. For Wasser gegen Luft C = 0.072 [ N / m] .
30
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟ ,
+
(p1 − p 2 )ds1 ds 2 = Cds1 dα 2 + Cds 2 dα1 . ∆p = p1 − p 2 = C⎜⎜
⎝ R1 R 2 ⎠
Für einen kugelförmigen Tropfen R 1 = R 2 = R ⇒ ∆p = 2C / R ,
für kugelförmige Blase: ∆p = 4C / R
Wenn C23 > C12 + C13 , die Flüssigkeit 1 breitet sich auf der Oberfläche von Flüssigkeit 2 aus. (z.B.
Öl über Wasser).
C 23 ds = C12 ds + C13 cos αds . cos α = (C 23 − C12 ) / C13 .
C 23 > C12 ⇒ α < 90° ,
α > 90°
(Quecksilber) Wenn C 23 > C12 + C13 , die Flüssigkeit breitet sich auf der Oberfläche Des
Festkörpers aus. (z.B. Petroleum "kriecht" aus der geöffneten Flasche).
31
Kapillarerhebung
p 0 − p A = 2C13 / R = 2C13 cos α / r , p 0 − p A = ρgm m =
2C13
cos α
ρg r
Bei Quecksilber erfolgt Kapillarsenkung.
9.
Messungen
Manometer (für Messung des Druckunterschiedes), Mikromanometer
U-Rohr Manometer p1 - p2 =(ρm - ρt) g h, "umgekehrtes" U-Rohr Manometer p1 - p2 =(ρw - ρa) g h,
Schrägrohrmanometer L=H/sinα, relativer Fehler: e = ∆s/L = (∆s/H)sinα, Mikromanometer mit
gekrümmten Rohr (e = const.):
p1 − p 2 = (ρ m − ρ t )gh.
32
Betz-Mikromanometer
Druckbohrungen – ( b, c falsch)
33
10. Der Impulssatz und seine Anwendung
Der Impulssatz
d
ρvdV = ∫ ρgdV − ∫ pd A
dt V∫( t )
V(t )
A(t)
µ=0
⎤
d
1 ⎡
(
)
(
)
ρ
v
dV
=
lim
ρ
v
dV
−
ρ
v
dV
⎢
⎥
t
t
t
+
∆
∫
∫
∆t →0 ∆t
dt V∫( t )
V(t)
⎣⎢ V ( t + ∆t )
⎦⎥
∂
(ρv )dV + ∫ vρ(vd A ) = ∫ ρgdV − ∫ pd A
∂t V∫
A
V
A
wo V der Kontrollbereich ist.
Festkörper im Kontrollbereich
∂
(ρv )dV + ∫ vρ(vd A ) + ∫ vρ(vd A ) = ∫ ρgdV − ∫ pd A − ∫ pd A
∂t V∫
Ak
Ab
V
Ak
Ab
∂
(ρv )dV + ∫ vρ(v d A ) = ∫ ρgdV − ∫ p d A − R
∂t V∫
A
V
A
R[ N] ist die Kraft die auf den im Kontrollbereich befindlichen Körper wirkt.
Bei stationärer Strömung:
∫ vρ(vd A ) = ∫ ρgdV − ∫ pd A − R
A
V
A
34
∂
(ρv )dV + ∫ vρ(vd A ) = ∫ ρgdV − ∫ pd A − R + S
∂t V∫
A
V
A
wo S die Reibungskraft ist.
Drallsatz
∂
r × (ρv )dV + ∫ r × vρ(vd A ) = ∫ r × ρgdV − ∫ r × pd A − M + M s
∂t V∫
A
V
A
Anwendungen des Impulssatzes
Ruhende und sich bewegende ebene Platte
u
Schritte der Anwendung des Impulssatzes
1. Bestimmung des Kontrollbereiches: Festkörper im Kontrollbereich, die Fläche des
Kontrollbereiches sind entweder ⊥ oder || zu den Geschwindigkeits-vektoren.
2. Vereinfachung der Gleichung
∂
(ρv )dV + ∫ vρ(vd A ) = ∫ ρgdV − ∫ pd A − R + S
∂t V∫
A
V
A
I
II
III
IV
V VI
∫ vρ(vd A ) = −R
A
3. Bestimmung der Integrale
(
)
I1 = ∫ vρ(vd A ) = ρv12 A1 − v1 / v 1 ,
A1
d I 2 = ρv 22 dA 2
v2
v2
I = ρv 2 A .
4. Kräftegleichgewicht in Koordinatenrichtungen
− I1 = −R x azaz − ρv12 A 1 = −R x = −R
R = ρv 12 A 1
35
Wenn die Platte sich bewegt: u > 0
anstatt v 1 w 1 = v 1 − u ⇒ R = ρ(v 1 − u ) A 1 .
2
Borda-Mündung, Kontraktion des Flüssigkeitstrahles
p-p0
α = AS / A
v = 2g H
α Kontraktionsziffer
I = P'− P ⇒ ρv 2 A s = (p 0 + ρgH )A − p 0 A
2ρg H A s = ρg H A ⇒ α = A s / A = 0.5
Plötzliche Querschnittsänderung (Borda-Carnot-Übergang)
Druckveränderung in einem plötzlichen Borda-Carnot Übergang.
− I 1 + I 2 = P1 − P2 , − ρv 12 A 1 + ρv 22 A 2 = −p 2 A 2 + p 1 A 2 .
ρv 1 A 1 = ρv 2 A 2 , (p 2 − p1 )BC = ρv 2 (v1 − v 2 ) , (p 2 − p 1 )id =
∆p' BC = (p 2 − p1 )id − (p 2 − p1 )BC =
ρ 2
v1 − v 22 − ρv 2 (v1 − v 2 )
2
(
)
Carnotsche Stoßverlust
∆p' BC =
ρ
(v 1 − v 2 ) 2
2
Die auf Borda-Carnot Erweiterung wirkende Kraft
ρ 2
v 1 − v 22
2
(
)
36
R = (p 0 − p1 )(A 2 − A 1 ) = ρv 2 (v1 − v 2 )(A 2 − A 1 )
Die Pelton-Turbine
− I1 + I 2 u = −R u , I1 = ρv12 A1 , I 2 u = ρv 22 A 2 cos β , ρv1 A1 = ρv 2 A 2
R u = ρv1 A1 (v1 − v 2 u ) , wo v 2 u = v 2 cos β
v 2 u = u − w 2 sin ϑ , w 2 = w 1 , w 1 = v1 − u , R u = ρv1 A 1 (v1 − u )(1 + sin ϑ)
R u = ρv1 A 1 (v1 − u )(1 + sin ϑ) , ϑ = 90°
∂P
= 2ρv 1 A 1 [(v 1 − u ) − u ] = 0 , u = v 1 / 2
∂u
Pmax = ρv1 A 1 v12 / 2
Die auf ein Element des unendlichen Flügelgitters wirkende Kraft,
Satz von Kutta und Joukovsky
− I1x + I 2 x = P1 − P2 − R x ,
− I 1y + I 2 y = − R y
I1 = ρv x t v1 , I 2 = ρv x t v 2 , P1 = p1 t
P2 = p 2 t ,
R x = (p1 − p 2 )t + ρv x t (v1 cos α1 − v 2 cos α 2 ) ⇒ R y = ρv x t (v 1y − v 2 y ) .
37
v 1x = v 2 x ⇒ p 1 − p 2 =
(
(
)
(
ρ 2
ρ
v 2 − v 12 = v 22 y − v 12y
2
2
)
Γ = t v1y − v 2 y ⇒ R x = − ρ Γ
v 1y + v 2 y
2
⎛ v 1y + v 2 y
R = R + R = ρΓ v + ⎜⎜
2
⎝
2
x
2
y
2
x
(
)⇒ R
x
=
ρ
v 2 y − v 1y t v 2 y + v 1y
2
(
)(
, R y = ρ Γ v x,
2
⎞
⎟ ⇒ R = ρ v ∞ Γ [N / m]
⎟
⎠
)
t → ∞ , v1y − v 2 y → 0 Γ = t v1y − v 2 y = áll. v 2 → v1 → v ∞
R = ρ v ∞ Γ [N / m]
Satz von Kutta und Joukovsky
Der Propeller
v1 = u, Geschwindigkeit v1 ⇒ v2
∂
(ρv )dV + ∫ vρ(vd A ) = ∫ ρgdV − ∫ pd A − R + S
∂t V∫
A
V
A
I
II
III
IV
V VI
− I 1 + I 2 = −R x ⇒ R x = ρv 12 A 1 − ρv 22 A 2
Mit Verwendung der Kontinuität: R x = ρvA( v1 − v 2 )
Bernoulli-Gleichung 1 - 1’ und 2’- 2
v 12 p 1 v 12' p 1'
v 22' p 2 ' v 22 p 2
+
=
+
+
=
+
.
2
2
2
2
ρ
ρ
ρ
ρ
Da p1= p2 und v1’= v2’ =v p 1' − p 2 ' =
Rx =
ρ 2
v 1 − v 22
2
(
)
.
v + v2
ρ 2
ρ
( v 1 − v 22 )A = ρvA( v 1 − v 2 ) , v = 1
⇒ R x = ( v12 − v 22 )A
2
2
2
Pu= v1R ist die Nutzleistung, Pi= v R ist die eingeführte Leistung
vR v
2
: der Propulsionswirkungsgrad.
ηp = 1 = 1 =
vR
v 1 + v 2 / v1
)
38
Windmotor, Windgenerator
v1 + v 2 2
( v1 − v 22 ) ⇒ maximale Nutzeistung ∂P/∂v2 =0
2
16
1
⇒ v 2 = v1 ⇒ P =
ρAv13
3
27
P = ρA
Strahlen
rh ∼ z, r1/2 = k1z,
r1/2/r0 = k1z/r0
∫ vρ(vdA ) = 0
A
⇒ ρv 02 r02 π = ∫ ρ v 2 2 r π dr ⇒ v 02 r02 = v 2max r12/ 2 2
A
rh / r1/ 2
∫
0
v2 r
r
d
2
v max r1 / 2 r1 / 2
v
v max const
const '
⇒ max =
=
z
r1 / 2
v0
v0
r0
r0
rh / r1 / 2
rh
q v = ∫ 2rπv dr = v
0
2
max 1 / 2
r
2π
∫
0
q
qv
v max r12/ 2
r
v
r
z
⇒
⇒ v = const '
= const
d
2
q v0
r0
q v0
v 0 r0
v max r1 / 2 r1 / 2
39
Luftschleier
p
y
k
h
v2
1
v 2 1 ∂p
=
⇒ ∫ dp = ∫ ρ
dy ⇒ ∆p = p k − p b =
R ρ ∂n
R
R
pb
− yh
∆p =
ρv 02 s 0
R
⇒R =
ρv 02 s 0
,
∆p
yh
∫ ρv
−yh
2
dy ⇒ ρv s =
2
0 0
yh
∫ ρv
−yh
2
dy
40
ρv 02 s 0
∆p
K
b
, B = sin β
sin β , B = , D =
ρ 2
D
s0
∆p
v0
2
teorethisch: K=4, experimentell: K=1.71+0.0264 B (25≤β0≤45 and 10≤B≤40)
b=2 Rt sinβ. b = 2
Allievische Theorie
Rohrdurchmesser d ⇒ d+∆d
Verkürzung der Wassersäule: durch Zusammendrückung des Wassers: ∆s1 und durch Dehnung der
Rohrwand: ∆s2 ⇒ ∆s = ∆s1+∆s2
∆p d
∆p d
∆p
∆d ∆σ
∆d
d2π
;
s , Ev = 2.1·109Pa, ∆s 2
= sdπ
∆s 1 =
=
=
∆σ =
4
2
Ev
2δ
d
E a 2δ E a
Est = 2·1011Pa ⇒ ∆s 2 =
⎛ 1
∆p d
∆s ∆s 1 ∆s 2
d
=
+
= ∆p⎜⎜
+
s ⇒
δ Ea
s
s
s
⎝ Ev δ Ea
⎞ ∆p
⎟⎟ =
⎠ Er
Impulssatz:
− ρ(a + v)A(a + v) + (ρ + ∆ρ) a (A + ∆A)a =
= pA + (p + ∆p)∆A − (p + ∆p)(A + ∆A),
Kontinuität: ρ(a + v)A = (ρ + ∆ρ)a (A + ∆A)
2L
∆p = ρv(a + v) v<<a ∆p = ρ v a Tt ≤
die Zeit der Rückkehr der Druckwelle
a
s = at ⇒ A ∆s = A
∆p
∆p
s=A
at
Er
Er
⇒
∆p
a=v a=
Er
Er
.
ρ
41
42
11. Strömung von reibungsbehaftete (viskose) Fluiden
Rheologie (Fließkunde)
Der Zusammenhang zwischen Schubspannung und Deformationsgeschwindigkeit
Kurve 1: Newtonsche Flüssigkeiten: τ yx = µ
dv x
dγ
=µ .
dy
dt
Nicht- Newtonsche Flüssigkeiten:
dγ
Kurve 2: τ = τ h + µ ∞ , plastische Flüssigkeit
dt
n
Kurven 3 and 4: τ = k (dγ / dt ) .
Bewegungsgleichung
dv
1
= g + F , Bei reibungsfreien Flüssigkeiten: F = − gradp
ρ
dt
Fx =
[
]
1
{[σx (x + dx ) − σx (x )]dydz + τyx (y + dy) − τyx (y) dxdz
ρdx dydz
+ [τzx (z + dz ) − τzx (z )]dx dy}
Da σ x (x + dx ) = σ x (x ) +
∂τ
∂σ x
∂τ ⎞
1 ⎛ ∂σ
dx ⇒ Fx = ⎜⎜ x + yx + zx ⎟⎟
∂x
∂z ⎠
∂y
ρ ⎝ ∂x
43
⎡σ x τ yx
⎢
Φ = ⎢τ xy σ y
⎢τ xz τ yz
⎣
τ zx ⎤
1
∂
∂
∂
⎥
τ zy ⎥ F = Φ ∇ ⇒ ∇ = i + j + k
ρ
∂x ∂y ∂z
σ z ⎥⎦
dv
1
= g + Φ∇
dt
ρ
∂τ yx ∂τ zx ⎞
∂v x
∂v
∂v
∂v
1 ⎛ ∂σ
⎟
+ v x x + v y x + v z x = g x + ⎜⎜ x +
+
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎟⎠
Zusammenhang zwischen Spannungen und Deformationen
dγ = dα + dβ =
σ1′ x = µ
∂v y
∂x
dt +
⎛ ∂v
1
∂v x
∂v ⎞
dt . τ xy = µ⎜⎜ y + x ⎟⎟ = τ yx . p = − (σ x + σ y + σ z ) .
∂y
3
∂y ⎠
⎝ ∂x
∂v
dγ
= 2µ x
∂x
dt
σ x = −p + 2µ
∂v x 2
− µdiv v .
∂x 3
∂v x
∂v x
∂v x
∂v x
1 ∂p 1 ⎧ ∂
+ vx
+ vy
+ vz
= gx −
+ ⎨
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x ρ ⎩ ∂x
+
∂ ⎡ ⎛ ∂v y ∂v x
+
⎢ µ⎜
∂y ⎢⎣ ⎜⎝ ∂x
∂y
Navier-Stokes-Gleichung
µ = const. and ρ = const.
⎡ ∂v x 2
⎤
⎢2µ ∂x − 3 µdiv v ⎥ +
⎣
⎦
⎞⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂v x ∂v z
⎟ ⎥ + ⎢ µ⎜
+
⎟ ∂z
∂x
⎣ ⎝ ∂z
⎠⎥⎦
⎞ ⎤ ⎫⎪
⎟ ⎥ ⎬.
⎠ ⎦ ⎪⎭
44
⎛ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx
∂v x
∂v
∂v
∂v
1 ∂p
+ vx x + vy x + vz x = gx −
+ ν ⎜⎜
+
+
2
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂y 2
∂z 2
⎝ ∂x
⎞
⎟
⎟
⎠
2
2
2
⎛ ∂ vy ∂ vy ∂ vy ⎞
∂v y
∂v y
∂v y
∂v y
1 ∂p
⎟
+ vx
+ vy
+ vz
= gy −
+ν ⎜
+
+
2
2 ⎟
⎜ ∂x 2
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂y
∂
∂
y
z
⎠
⎝
⎛ ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz
∂v z
∂v
∂v
∂v
1 ∂p
+ vx z + vy z + vz z = gz −
+ ν ⎜⎜
+
+
2
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂z
∂y 2
∂z 2
⎝ ∂x
⎞
⎟
⎟
⎠
∂v x ∂v y ∂v z
+
=0
+
∂y
∂z
∂x
1
v2
dv ∂v
+ grad
− v × rot v = g − gradp + ν ∆ v Navier-Stokes-Gleichung
=
2
ρ
dt ∂t
∆ v = graddiv v − rot rot v .
dv
1
= g − gradp − ν rot rot v wenn rotrotv = 0, (z.B. weil rotv = 0 ist) spielt die
dt
ρ
Viskosität keine Rolle.
Da div v = 0
Ausgebildete laminare Rohrströmung (Hagen-Poiseuille Strömung)
Rotationssymmetrische, ausgebildete Rohrströmung: v r = 0 ,
r 2 πp − r 2 π(p + dp ) + 2r πdz τ = 0 . ⇒ 2τdz = r dp ⇒ τ =
∂( )
= 0 (2D Strömung)
∂z
1 dp
dv
=µ z
r
dr
2 dz
dp/dz= const.
1 dp
1 dp 2
∫ dv z = 2µ dz ∫ rdr ⇒ v z = 4µ dz r + áll.
Wenn r=R ⇒ v z = 0 v z = −
[
Reibungsverlust über l: ∆p' [Pa ] ⇒
v z max =
∆p'R 2
4µ l
⇒ v=
v z max
2
]
dp
1 dp 2
R − r 2 ⇒ v z > 0 if
<0
4µ dz
dz
⇒
dp
∆p'
∆p'
∆p' 2 2
⇒ vz =
R −r ⇒ τ = −
r
=−
dz
l
4µl
2l
v=
[
1 ∆p' 2
R
8 µl
]
45
∆p' =
8µ vl
∆p'R
. Wandschubspannung: τ 0 = −
2
R
2l
2R πlτ 0 = R 2 π∆p'
Laminare und turbulente Strömungen
Eigenschaften der turbulenten Strömungen
Der laminar-turbulente Übergang (Umschlag) hängt von der Größe der Reynoldszahl ab:
vdρ
Re =
⇒ Umschlag bei Re ≅ 2300
µ
T
1
zeitgemittelte Geschwindigkeit: , v = ∫ vdt Schwankungsgeschwindigkeiten: v'
T0
T
( v' =
1
v'dt = 0 )
T ∫0
v = v + v ' . p = p + p' .
(v')2
Turbulenzgrad: Tu =
v
2
2
v,x + v,y + v,z
=
2
v
Scheinbare Spannungen
∂ (v x v y ) ∂ (v x v z )
⎛ ∂2vx ∂2vx ∂ 2vx ⎞
∂v x ∂ v x2
1 ∂p
⎟−
+
+
= gx −
+ ν⎜⎜
+
+
+
2
∂z
ρ ∂x
∂x
∂y
∂t
∂ z 2 ⎟⎠
∂y2
⎝ ∂x
∂ (v' x v' y ) ∂ (v' x v' z )
∂ v' 2x
.
−
−
−
∂z
∂x
∂y
( )
( )
∫ vρvd A = − ∫ p d A + ∫ ρgdV − ∫ v'ρv'd A
A
A
V
A
46
− ∫ v'ρ v'd A = − ∫ v'n ρ v'n dA − ∫ v't ρ v'n dA
A
A
∫ vρvd A = − ∫ [p + ρ(v'
A
A
A
2
n
)]dA + ∫ ρgdV − ∫ ρ(v' v' )dA
t
V
A
( )
∂ (v' ) ∂ (v' v' ) ∂ (v' v' ) 1 ⎛ ∂σ
= ⎜
−
−
−
n
(
)
p l = ρ v' 2n : scheinbare Druckerhöhung, τl = −ρ v't v'n : scheinbare Schubspannung
2
x
x
y
∂y
∂x
x
z
∂z
xt
ρ ⎜⎝ ∂ x
+
∂ τ yxt
∂y
+
∂ τ zxt
∂z
⎞
⎟
⎟
⎠
Ähnlichkeit der Strömungen
Charakteristische Geschwindigkeit, Länge, Zeit bei Großausführung und Modell:
v0 and v0m, l0 and l0m, t 0 =
l0
l
and t 0 m = 0 m .
v0
v 0m
Die Strömungen sind ähnlich wenn sie durch die gleichen dimensionslosen Funktionen
beschrieben werden können.
⎛ x y z t ⎞
⎛ x y z t
p
v
= f ⎜⎜ , , , ⎟⎟ and
= F⎜⎜ , , ,
2
v0
ρv 0
⎝ l0 l0 l0 t0 ⎠
⎝ l0 l0 l0 t0
⎞
⎟⎟ .
⎠
Die Bedingungen der Ähnlichkeit:
⎛ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx
∂v x
∂v x
∂v x
∂v x
1 ∂p
+ vx
+ vy
+ vz
= gx −
+ν ⎜
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x ⎜⎝ ∂x 2
∂y 2
∂z 2
l0
,
v 02
⎛ vx
⎝ v0
∂ ⎜⎜
⎛
⎞
⎟⎟
⎠
t
⎝ l 0 / v0
∂ ⎜⎜
⎞
⎟ multipliziert mit
⎟
⎠
⎛ ⎛v ⎞ ⎞
⎛ p − p0 ⎞
⎛v ⎞
⎜∂ 2⎜ x ⎟ ⎟
⎟
∂ ⎜⎜
∂ ⎜⎜ x ⎟⎟
2 ⎟
v
v
ρ
gx l0
vx ⎝ 0 ⎠
ν ⎜ ⎜⎝ v 0 ⎟⎠ ⎟
0 ⎠
⎝
+
+ .. = 2 −
+
+ ..⎟
⎜
v0 l 0 ⎜ ⎛ x ⎞2
v0
⎞ v0 ⎛ x ⎞
⎛ x ⎞
⎟
⎟⎟
∂ ⎜⎜ ⎟⎟
∂ ⎜⎜ ⎟⎟
∂ ⎜⎜ ⎟⎟
⎜
⎟⎟
⎜
⎠
⎝l0 ⎠
⎝l0 ⎠
⎝ ⎝l0 ⎠
⎠
dimensionslose N-S Komponentengleichung
Zwei Strömungen sind ähnlich, wenn
47
a) beide durch die gleiche dimensionslose Differentialgleichung beschrieben werden können, z.B.
g x l 0 g xm l 0 m
v0
v l
νm
ν
=
⇒ Fr =
Froude Zahl,
=
⇒ Re = 0 0 Reynolds Zahl,
2
2
v 0 l 0 v 0m l 0m
ν
v0
v 0m
gl 0
Re m = Re Frm = Fr
b) gleiche dimensionslose Anfangs- und Randbedingungen vorherrschen (z.B. geometrische
Ähnlichkeit des Modells und der Großausführung).
t0 =l0/v0,
tp =
t pm
t 0m
=
tp
t0
i.e.
t pm v 0 m
l 0m
=
t p v0
l0
.
1
fl
, wo f[1/s] die Frequenz Str = 0 Strouhal Zahl
f
v0
Die dimensionslose Parameter als Quotienten der Kräfte, die auf 1 kg Fluid wirken
v 02
Trägheitskraft: FT ~
l0
Kraftfeld: FG ~ g
Druckkraft FP ~
(p − p0 )l 20
ρl
3
0
=
FS ~ ρν
Reibungskraft:
(p − p0 )
ρl 0
v 0 l 20
v
= ν 20
3
l 0 ρl 0
l0
Oberflächenspannungskraft: FF ~
C l 20
C
= 2
3
l 0 ρl 0 ρl 0
v 02 / l 0
v l
FT
~
= 0 0
Reynolds-Zahl: Re ~
2
FS ν v 0 / l 0
ν
Froude-Zahl: Fr ~
Euler-Zahl: Eu ~
FT
=
FG
v 02 / l 0
v0
=
g
gl 0
FP (p − p 0 ) / ρ / l 0 p − p 0
~
=
FT
v 02 / l 0
ρv 02
FF C / l 20 / ρ
C
~ 2
= 2
Weber-Zahl: We ~
FT
v0 / l 0
ρv 0 l 0
48
12. Grenzschichten
v z = 0,
vx
∂( )
= 0 , vy << vx
∂z
∂( )
∂( )
<<
∂x
∂y
∂v x
∂v
dV
∂ 2vx
+ vy x = V
+ν
∂x
∂y
dx
∂y 2
∂v x ∂v y
+
= 0.
∂x
∂y
τ = τ yxl = ρl 2
µ t = ρl 2
u* =
∂v x ∂v x
∂v
= µ t x , l [m] Mischungsweg
∂y ∂y
∂y
∂v x
Wirbelviskosität
∂y
τ0
[m/s] Bezugs-(Reibungs)geschwindigkeit
ρ
v x 1 yu*
= ln
+ K wo κ = 0.4 , K = 5
u* κ
ν
*
∂v x v x yu
in zäher Unterschicht τ = τ0 = µ
, * =
ν
u
∂y
49
Geschwindigkeits- und Schubspannungsverteilung in einem Rohr bei laminarer und turbulenter
Strömung
Eigenschaften der Strömung im Grenzschicht
y+ =
yu *
ν
y+=2,7
Verdrängungsdicke
δ
⎛ v ⎞
δ1 = ∫ ⎜1 − x ⎟dy .
V⎠
0⎝
y+=101
y+=407
50
Reibungsbeiwert c' f =
τ0
ρ 2
V
2
Grenzschichtablösung
51
Ablöseblase
Umströmung eines Zylinders
cp =
p − p0
Druckkoeffizient
ρ 2
V
2
Strömung in einem Diffusor
52
Hufeisen-Wirbel
Ablösung der laminaren und turbulenten Grenzschicht
Sekundärströmung
13. Hydraulik
Erweiterung der Bernoulli Gleichung an reibungsbehafteten Strömungen
l
Dimensionsanalyse
∆p' = f (l, µ, ρ, d, v )
ρ
v 12
v2
+ p 1 + ρU 1 = ρ 2 + p 2 + ρU 2 + ∆p'
2
2
53
[Q] = kg α m β s γ ⇒ Q1 , Q 2 ,......, Q n . ⇒ F(Q1, Q2 ,......, Qn ) = 0
Größen ⇒ F(Π1 ,Π 2 ,Π 3 ,.....Π n − r , ) = 0
⇒ Π 1 ,Π 2 ,Π 3 ,.....Π n − r , dimensionslose
Π = ∆p' k1 l k 2 µ k 3 ρ k 4 d k 5 v k 6 .
Π1 =
vd
∆p'
.
, Π 2 = l / d , Π 3 = Re =
ρ 2
ν
v
2
l
F(Π1 ,Π 2 ,Π 3 ) = 0
Π 1 = f (Π 2 , Π 3 )
ρ
l
∆p'
l
= λ(Re ) ⇒ ∆p' = v 2 λ(Re ) wo λ der Reibungsbeiwert ist.
ρ 2
d
2
d
v
2
Bei laminarer Rohrströmungen ∆p' =
Da
8µl
d
ρ
l 64ν
v , wo R = ⇒ ∆p' = v 2
,
2
2
d vd
2
R
64
vd
ρ
l
= Re ⇒ ∆p' = v 2 λ lam λ lam =
Re
d
2
ν
Wandrauhigkeit
k[m ] Durchmesser der Sandkörner, relative Wandrauhigkeit Π 4 =
Re > 2300 Re ≤ Re h
(
)
1
= 1.95lg Re λ turb − 0.55
λ turb
4000 ≤ Re ≤ 105 Blasius Formel λ turb =
0.316
4
Re
Moody-Diagramm
für Bestimmung des Reibungsbeiwertes von Rohre
r
, wo r=d/2 Rohrradius.
k
54
Wandschubspannung
ρ λ
d 2π ρ 2 l d2π
∆p '
= v λ
= τ 0 d πl ⇒ τ0 = v 2
4
2
d
4
2 4
4A
Nichtzylindrische Röhre: d e =
, wo A[m 2 ] Querschnitt, K[m] benetzter Umfang
K
vd
ρ
l
∆p' = v 2
λ(Re ) , wo Re = e
2
de
ν
Kompressible Rohrströmung
p
2
q 2 R Tλ
ρ dx
q
p
q2 R T λ
− dp = v 2
λ , v = m ,ρ =
⇒ − dp = m 2 dx ⇒ − ∫ pdp = ∫ m 2 dx
ρA
RT
2p A D
2 D
p1
0 2A D
Da Re =
L
vD q m D q m D
, µ = f(T) und T ≅ const. Reibungsbeiwert λ ≅ const.
=
=
ν
ρA ν
Aµ
p 12 − p 22
p 12 − p 22 q 2m R Tλ L ρ12
ρ1 2 L
p12 − p 22
= p 1 ∆p' ink
⇒
=
p
v
λ
⇒
=
1
1
2
2
2
2 D
2A 2 D ρ12
55
Strömung in Kanälen mit freiem Wasserspiegel
∆h ' =
4A
∆h '
v2 l
λ , wo d e =
, mit der Einführung von i =
, der Neigung des Kanalbodens.
2g d e
K
l
v=
2gd e
2g
i = C d e i , wo C =
Chézy Gleichung, mit λ = 0.02 ~ 0.03
λ
λ
Chézy-Koeffizient C ≅ 28 .
Reibungsverlust in Durchströmteilen
Verlust bei Ausbildung der Rohrströmung
ρ
∆p' dev = v 2 ζ dev
2
Laminare Strömung: Widerstandsbeiwert ζ dev,lam ≅ 1.2 , turbulente Strömung:
ζ dev, torb ≅ 0.05
Verlust in Borda-Carnot Erweiterungen (Carnotscher Stoßverlust ) :
∆p' BC =
ρ
(v 1 − v 2 ) 2
2
Einlauf-Verlust
∆p' in =
ρ
(v1 − 0)2 = ρ v12 .
2
2
Verlust in Ventile, Schieber und Drosselklappe
2
⎞
⎞
⎛A
ρ ⎛v
∆p' v ≅ v 22 ⎜⎜ 1 − 1⎟⎟ , ζ v ≅ ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟
2 ⎝ v2 ⎠
⎠
⎝ A1
2
56
Diffusorverlust
∆p' diff = (p 2 − p1 )id − (p 2 − p1 )val = (1 − ηd )
ρ 2
v1 − v 22 mit dem
2
(
)
Diffusor-Wirkungsgrad ηd
Verlust in Krümmern
ρ
∆p' b = v 2 ζ b
2
Anwendungen
Wasserversorgungsanlage
⎡ m3 ⎤
Bekannte Parameter: d l 1 ,l 2 h 1 ,h 2 D q v ⎢ ⎥ , aus der Literatur: ζ l , ζ sz , ζ k ηd .
⎣ s ⎦
∆p š
+ (z ny − z sz ) Ph = q v ρg H
Berechnung der Förderhöhe und der Nutzleistung der Pumpe H =
ρg
Zwei Bernoulli-Gleichungen:
v sz2
v 12
+ p 1 + ρU 1 = ρ
+ p sz + ρU sz + Σ∆p' sz wo
1) ρ
2
2
v 2ny
∑ ∆p
,
sz
=
l
ρ 2⎛
⎞
v ⎜ ζ1 + 1 λ1 ⎟
2 ⎝
d
⎠
v 22
+ p 2 + ρU 2 + Σ∆p' ny , wo
2
2
l
l
l
ρ ⎛l
⎞
∑ ∆p ,ny = 2 v 2 ⎜⎝ d2 λ 2 + ζ k + ζ sz + d3 λ 3 + ζ k + d4 λ 4 + ζ k + d5 λ 5 ⎟⎠ +
ρ
ρ
+ (1 − η d ) v 2 − v 2D + v 2D .
2
2
Da v1 = v 2 = 0 , U ny − U sz = g (z ny − z sz ) , U 2 − U1 = g(h 2 − h1 ) , p1 = p 0 , p 2 = p t
2) ρ
+ p ny + ρU ny = ρ
(
λ1 = λ 2 = .... = λ .
)
57
∆p š = p nyš − p szš = p t − p 0 + ρg(h 2 − h 1 ) − ρg (z ny − z sz ) +
Σl ⎞
ρ 2⎛
ρ
ρ
v ⎜ ζ l + ζ sz + 3ζ k + i λ ⎟ + (1 − η d ) v 2 − v 2D + v 2D .
d ⎠
2 ⎝
2
2
(
)
Kontinutätsgleichung: vd 2 = v D D 2 . Re =
vd
⇒λ
ν
+
Strömung in einem Rohr, das zwei Wasserbehälter verbindet
⎡ m3 ⎤
Bekannte Parameter: d l ζ t . Berechnung von q v ⎢ ⎥
⎣ s ⎦
l
ρ
v 12
v2
+ p 1 + ρU 1 = ρ 2 + p 2 + ρU 2 + Σ∆p'
2
2
Da p 1 = p t und p 2 = p 0 , U = g z und z 2 = 0, z1 = H , v1 = v 2 = 0
Σ∆p' sz =
v=
v=
ρ 2⎛
ρ ⎛
l
l
⎞
⎞
v ⎜ ζ be + ζ t + λ + 1⎟ ⇒ p t − p 0 + ρg H = v 2 ⎜ ζ be + ζ t + λ + 1⎟
2 ⎝
d
2 ⎝
d
⎠
⎠
2 p t − p 0 + ρg H
ρ (ζ + ζ + 1) + l λ
be
t
d
A
B + Cλ
Annahme für λ ' ⇒ v' ⇒ Re' =
d2 π
v' d
⇒ λ ' '− t …. q v = v
.
ν
4
58
14. Aerodynamische Kräfte und Momente
Reibungsbehaftetes Fluid: p 2 = p1 Da p 2 = p 1 = p ∞ , v 2 = v 1 , ⇒ I 2 = I1 . − I1 + I 2 = P1 − P2 − R x ,
⇒ Rx = 0
Die auf ein Zylinder wirkende aerodynamische Kraft
f (Fd , v ∞ , ρ, µ, d, l ) = 0 Dimensionslose Größen: Π1 = c d =
Π 2 = Re =
Π3 =
v∞ d
l
Reynolds Zahl, Π 3 = relative Länge
ν
d
l
= ∞ 2D Strömung ⇒ Π1 = f (Π 2 ) , c d = f (Re )
d
Wenn Re klein ist: Fd ~ µv ∞ , im Falle größer Re: Fd ~ v ∞2
Die Wirkung des laminar-turbulenten Überganges.
Fd
ρ 2
v ∞ ld
2
Widerstandsbeiwert,
59
Karmansche Wirbelstrasse
l
p − p∞ pb − p∞
l
⇒ ∞ c d = 2 . Fd = (p f − p b )l t ⇒ c d = f
−
= c pf − c pb
ρ 2
ρ 2
t
v∞
v∞
2
2
= 1 cpf ≅ 0.7 ⇒ cpb ≅ −1.3
2D Strömung,
c p max
l
= ∞, 10, 1 cd = 2, 1.3, 1.1.
d
Im Falle von Kreiszylinder c d = 1.2, 0.82 und 0.63 (Re=105).
3D Effekt:
Auftrieb und Widerstand von Tragflügeln
60
Fd
Fl
⎡N⎤
Auftriebsbeiwert, c d =
Widerstandsbeiwert
R = ρv∞ Γ ⎢ ⎥ c l =
ρ 2
ρ 2
⎣m⎦
v∞ A
v∞ A
2
2
Mp
c Mp =
Nickmomentenbeiwert
ρ 2
v ∞ Ah
2
Auftriebs- und Widerstandskoeffizient als Funktion des Anströmwinkels
l
c e − c D, c f – c L
c L max ≅ 1.2 ~ 1.8 , dcL/dα=2π[rad],
Die Druckzunahme in Strömungsrichtung (Abnahme der Geschwindigkeit) kann zur
Grenzschichtablösung führen.
Die auf ein Prisma (stumpfen Körper) wirkende Widerstandskraft
l
l
c D = c pf − c pb + 4 c ' f
t
. Widerstand = Bugwiderstand + Heckwiderstand +Seitenwandwiderstand
l t = 0 und l t = 5 : c e = 1.1 and 0.8.
61
Druckbeiwert am Heck als Funktion des Winkels zwischen der Anströmrichtung und Tangente der
Scherschicht bei der Ablöselinie.
cpb
0
β
-1
Reduzierung des Bugwiderstandes mit Abrundung der Eintrittskanten:
r t = 0 ⇒ 0.2 c D = 0.8 ⇒ 0.2
62
15. Gasdynamik
Energiesatz
reibungsfreies Gas, stationäre Strömung, kein Kraftfeld, keine Wärmeübertragung
⎞
⎡ J ⎤
d ⎛ v2
⎜ + c v T ⎟ρdV = − vpd A , wo c v ⎢
⎥ spezifische Wärme bei unveränderlichem Volumen
⎜
⎟
dt V ⎝ 2
⎣ kgK ⎦
⎠
A
∫
∫
cv T +
p
= h = c p T , mit h [J/kg]: Enthalpie, cp [J/kg/K]: spezifische Wärme bei konstantem Druck.
ρ
v2
+ c p T = const entlang der Stromlinie
2
Statische, dynamische und Gesamttemperatur
T+
v2
= Tt = const
2c p
v2
[K ] dynamische Temperatur,
mit T (or Tst )[K] statische Temperatur, Td =
2c p
Tt [K ] Gesamttemperatur.
Energiesatz ⇒ Gesamttemperatur ist konstant entlang der Stromlinie (bei stationäre Strömung von
reibungsfreien Gasen)
Bernoulli-Gleichung für kompressible Gase
Kein Reibungseinfluss und Wärmeübertragung ⇒ isentrope Zustandsänderung:
cp
p
p
Isentropenexponent
= const. = κ1 , κ =
κ
cv
ρ
ρ1
⎡
p2
v 22 − v12
2κ p1 ⎢ ⎛ p 2
dp
2
2
Bernoulli Gleichung:
⇒ v 2 = v1 +
1− ⎜
= −∫
κ − 1 ρ1 ⎢ ⎜⎝ p1
2
ρ(p )
p1
⎣⎢
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥.
⎥
⎦⎥
63
κ −1
⎡
⎤
⎛
⎞
2κ
p2 κ ⎥
2
⎢
RT1 1 − ⎜⎜ ⎟⎟
Geschwindigkeit entlang der Stromlinie: v 2 = v1 +
*
⎢
κ −1
p1 ⎠ ⎥
⎝
⎢⎣
⎥⎦
p1
p
p
= const. = κ2 und ρ1 = 1 ⇒
κ
R T1
ρ1
ρ2
1
κ
p 2 ρ 2κ p 2κ T1κ R κ
T ⎛p ⎞
= κ = κ κ κ ⇒ 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟
T1 ⎝ p1 ⎠
p 1 ρ1
R T2 p 1
κ −1
κ
κ −1
κ
1
κ −1
ρ2 ⎛ p 2 ⎞ ρ2 ⎛ T2 ⎞
T ⎛p ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟ ,
= ⎜⎜ ⎟⎟ . Nach Einsetzen 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟
in Gleichung * bekommt man:
T1 ⎝ p1 ⎠
ρ1 ⎝ p1 ⎠ ρ1 ⎝ T1 ⎠
cp
⎡ T ⎤ 2κR
2κ
⇒ v 22 = v12 + 2c p (T1 − T2 )
= 2c p , κ =
v 22 = v12 +
R T1 ⎢1 − 2 ⎥ .
cv
κ −1
⎣ T1 ⎦ κ − 1
2
2
v
v
und so den Energiesatz: c p T1 + 1 = c p T2 + 2 .
2
2
Ausströmung aus einem Behälter: v =
κ −1
⎡
⎤
κ
⎛
⎞
2κ
p
⎢
e
R Tt ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥⎥
p
κ −1
⎢⎣ ⎝ t ⎠ ⎥⎦
Die Schallgeschwindigkeit
Ae
A
Ae
Impulssatz ρa 2 A − (ρ + dρ )(a − dv ) A = (p + dp )A − pA 2a ρdv − a 2 dρ = dp ,
2
Kontinuität: (a − dv )(ρ + dρ ) = a ρ ⇒ ρdv = a dρ .
Geschwindigkeit der Druckwellen (Schallgeschwindigkeit): a =
Im Falle von isentroper Zustandsänderung: p =
So ergibt sich die Schallgeschwindigkeit:
p0
ρ
κ
0
ρκ ,
dp
dρ
dp p 0 κ −1
=
κρ
dρ ρ 0κ
dp
= a = κR T
dρ
Zusätzliche Bedingungen der Ähnlichkeit für Strömungen von kompressiblen Medien:
v
v
κ = κ m und Mach Zahl : Ma = 0 = Ma m = 0 m
a0
a 0m
64
Verbreitung von Druckwellen
Machscher Kegel, Machsche Linie und Machscher Winkel: sin α =
at a
1
= =
v t v Ma
Ausströmung eines Gases aus einem Druckbehälter
v=
κ −1
⎡
⎤
κ
⎛
⎞
2κ
p
⎢
R Tt 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ .
⎢
⎥
κ −1
⎝ pt ⎠ ⎥
⎣⎢
⎦
v max =
dp
1 ∂p
∂v
2κ
= −ρ v .
R Tt die Tangente der Kurve: v
=−
+ ge ⇒
dv
κ −1
∂e
ρ ∂e
⎡
⎡ v2 ⎤
dp
d(ρ v )
dρ
v2 ⎤
⇒
= v + ρ = 0 ⇒ ρ ⎢1 −
=
ρ
⎢1 − 2 ⎥ = 0
⎥
dv
dv
dv
⎣ dp / dρ ⎦
⎣ a ⎦
im Inflexionspunkt v = a, d.h. Ma = 1
dp
dp
Da q m = ρvA = − A = const. bei
= 0 (bei v = 0 und p = 0 ) A → ∞ .
dv
dv
dp
Für −
= max ist der Querschnitt A hier der engste: Lavaldüse.
dv
max -
Tt = T * +
⎡ c p / c v (c p − c v ) ⎤ κ + 1 *
κR T *
a *2
= T* +
= T * ⎢1 +
T
⎥=
2c p
2c p
2c p
2
⎢⎣
⎥⎦
κ
κ
1
1
*
*
κ −1
κ −1
⎛ * ⎞ κ −1
⎛ * ⎞ κ −1
T*
2
(= 0.833) , p = ⎜⎜ T ⎟⎟ = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ (= 0.53) ρ = ⎜⎜ T ⎟⎟ = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ (= 0.63) .
=
Tt κ + 1
p t ⎝ Tt ⎠
ρ t ⎝ Tt ⎠
⎝ κ + 1⎠
⎝ κ + 1⎠
65
Einfache Düse
pe < p t
wenn p e / p t > 0.95 ρ ≅ const. ⇒ v =
2
(p t − p e )
ρ
wenn p e / p t < 0.95 ρ ≠ const. ⇒ v =
⎡
⎛ p
2κ
R Tt ⎢1 − ⎜⎜
⎢
κ −1
p
⎢⎣ ⎝ t
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
wenn p e /p t = 0.53 (in Falle κ = 1.4 ), v * = a * = κR T * wo T * = 0. 833 Tt .
wenn p e /p t < 0.53 der Vorgang ist wie im Falle p e /p t = 0.53. ( p * = 0.53 p t . )
Strömung in einer Lavaldüse
1 ∂p
1 ∂p ∂ρ
1 ∂ρ
∂v
=−
=−
= − a2
.
∂e
ρ ∂e
ρ ∂ρ ∂e
ρ ∂e
dρ dv dA
dρ
dρ vA + ρdv A + ρvdA = 0 ⇒
+
+
= 0 ⇒ vdv = −a 2
.
ρ
ρ
v
A
dv dA
v 2 dv dv dA
=
=
+
⇒ Ma 2 − 1
2
v
A
v
A
a v
v
(
vdv = −a 2
dρ
⎛ dv dA ⎞
= a2⎜ +
⎟.
A ⎠
ρ
⎝ v
)
α/ wenn Ma < 1 , im Falle von dv/v > 0 ⇒ dA/A < 0 . Bei dv/v < 0 ⇒ dA/A > 0
β/ wenn Ma > 1 , im Falle dv/v > 0 ⇒ dA/A > 0
γ/ wenn dA/A = 0 und dv/v > 0 Ma = 1 .
δ/ wenn dA/A = 0 und Ma ≠ 1 ⇒ Geschwindigkeitsextremwert.
66
Kontinuität q m = ρ * v * A * = ρ ki v ki A ki
1
κ −1
⎡
⎤
κ
κ
⎛
⎞
⎛
⎞
κ
p
2
p
*
⎢
e
e
0.63ρ t κR 0.83Tt A = A ki ρ t ⎜⎜ ⎟⎟
R Tt 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎢
⎥
⎝ pt ⎠ ⎥
⎝ pt ⎠ κ − 1
⎣⎢
⎦
Zwei isentropische Lösungen: Punkt B und D.