7 Magnetismus

Institut für Elektrotechnik
Übungen zu Elektrotechnik I
Laborunterlagen
Version 3.0, 02/2002
7 Magnetismus
7.1 Grundlagen magnetischer Kreise
Im folgenden wird die Vorgehensweise bei der Untersuchung eines magnetischen Kreises
erläutert.
a.) Magnetische Durchflutung
Ausgangspunkt sei ein stromdurchflossener Leiter. Wenn ein Leiter aus mehreren
Windungen besteht, dann trägt der Stromfluss jeder Windung zum Erzeugen eines
Magnetfeldes bei.
Daraus ergibt sich die Definition für die magnetische Durchflutung
Θ = w ⋅I
[A]
(7.1)
welche die „Ursache“ des Magnetfeldes (= Summe aller in den Windungen fließenden
Ströme) darstellt. Die magnetische Durchflutung ist umso größer, je mehr
stromdurchflossene Windungen vorhanden sind.
b.) Magnetische Erregung
Aus dem Durchflutungsgesetz (vereinfacht für einen geschlossenen Kreis aus nur einem
Material, z.B. geschlossener Eisenring)
H ⋅ lm = w ⋅ I
(7.2)
folgt für magnetische Erregung (auch magnetische Feldstärke genannt) :
H=
w ⋅I
lm
[A/m]
(7.3)
wobei lm die mittlere Länge des magnetischen Pfades ist
Die magnetische Erregung ist bei gegebener Geometrie und Windungszahl proportional zur
Stromstärke I.
c.) Magnetische Flussdichte, Hysteresekurve
Die magnetische Erregung H erzeugt nun eine magnetische Flussdichte B, deren Größe
sich aus der Hysteresekurve ergibt.
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Der Zusammenhang zwischen erzeugender magnetischer Erregung H und erzeugter
Flussdichte B lautet:
B = µ ⋅H = µ ⋅
w ⋅I
lm
[T] oder [Vs/m2]
(7.4)
Für die Permeabilität µ gilt:
µ = µ0 ⋅ µr
(7.5)
wobei
µ0 ... Permeabilitätskonstante in Vakuum (= 4π 10-7 [Vs/Am])
µr ... Permeabilitätszahl des verwendeten Materials:
µr = 1 in Luft,
µr >> 1 in ferromagnetischer Materie (gemäß Hysteresekurve).
B
Sättigung
mr >>1
mr = 1
Neukurve
in ferromagnetischer Materie
BR
in Luft (mr =1)
HC
H
Abb. 7.1
Für Luft ergibt sich also ein proportionaler Zusammenhang zwischen B und H mit sehr
kleinen erzeugten Flussdichten B gemäß dem kleinen Proportionalitätsfaktor µ=µ0 (strichliert
eingezeichnete Gerade in Abb. 7.1).
In einem geschlossenen, ferromagnetischen Kreis (z.B. Eisenring) ist µr nicht konstant,
sondern von H abhängig und wesentlich größer als in Luft. Daher ist auch die erzeugte
Flussdichte B nicht konstant, sondern verläuft entlang der werkstoffabhängigen
Hystereseschleife des verwendeten Materials mit wesentlich höheren Werten als in Luft.
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Man kann sich dies veranschaulichen, wenn man bedenkt, dass die magnetische
Permeabilität µ auch magnetische Leitfähigkeit genannt wird, da eben bei hohen Werten für
µr (also bei ferromagnetischen Materialien) aus einer gegebenen magnetischen Erregung H
ein großes Magnetfeld B erzeugt wird (siehe Gleichung (7.4)), das Material also magnetisch
leitfähiger ist.
d.) Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluss Φ symbolisiert die Summe aller magnetischen Feldlinien in der
betrachteten Materie.
Die magnetische Flussdichte B ist der magnetische Fluss Φ bezogen auf die betrachtete
Querschnittsfläche A, also die Summe der magnetischen Feldlinien pro Querschnittsfläche.
B=
φ
A
(7.6)
Durch Umformung von (7.6) errechnet sich der magnetische Fluss mit
φ = B⋅A
[Vs]
(7.7)
Die Hysteresekurve gibt den Magnetisierungsbedarf, d.h. die notwendige magnetische
Erregung H, an, um eine bestimmte magnetische Flussdichte B (und in der Folge einen
magnetischen Fluss φ) zu erzeugen.
Der Zusammenhang zwischen B und H ist lediglich für Luft linear (in Abb. 7.1 strichliert
eingezeichnet), jedoch ist das von einer bestimmten magnetischen Erregung erzeugte
Magnetfeld (Flussdichte B) in Luft wesentlich geringer als in ferromagnetischen Materialien.
Bei ferromagnetischen Materialien verläuft B in Abhängigkeit von H lediglich beim
erstmaligen Magnetisieren des Materials vom Koordinaten-Nullpunkt beginnend
(strichpunktiert eingezeichnete Kurve in Abb. 7.1, auch „Neukurve“ genannt).
Der Normalfall ist, dass im Material auch bei Abschalten der magnetischen Erregung H noch
ein Restmagnetismus erhalten bleibt (Remanenzflussdichte BR in Abb. 7.1). Erst bei einer
Magnetisierung des Materials in der Größe der sogenannten „Koerzitiv- Erregung“ HC mit
entgegengesetzter Polarität (z.B. Änderung der Stromflussrichtung) geht die Flussdichte B
gegen Null.
Bei Wechselströmen erfolgt ein ständiger Wechsel der Stromflussrichtung (siehe
Sinusschwingung), so dass also in ferromagnetischer Materie ständig die Hysteresekurve
entlang der Schleife durchfahren wird („Hystereseschleife“)..
Die Fläche der Hysterese- Schleife ist ein Maß für die auftretenden Verluste durch das
Ummagnetisieren.
Materialien mit schmaler Hysterese- Schleife können mit geringeren Verlusten
ummagnetisiert werden („weichmagnetische Materialien“) und werden folglich für
Maschinen, Transformatoren verwendet, welche Wechselströmen ausgesetzt sind.
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Materialien mit breiter Hystereseschleife verursachen bei Wechselströmen größere Verluste
(„hartmagnetische Materialien“) und werden deshalb v.a. für Dauermagnete verwendet,
welche das Magnetfeld beibehalten sollen. Denn je breiter die Hystereseschleife ist, desto
größer ist die Remanenzflussdichte BR auf der Ordinate, welche nach Abschalten der
Magnetisierung (H=0) erhalten bleibt.
Das magnetische Wechselfeld ist lediglich dann ebenfalls sinusförmig (sinusförmiger Verlauf
von B und φ), wenn der die Erregung H erzeugende Strom nur so groß ist, dass die
Flussdichte B noch im näherungsweise linearen Bereich liegt (andernfalls geht die
Proportionalität zwischen H und B verloren, und ein sinusförmiger Strom erzeugt keine
sinusförmige Flussdichte B mehr → Sättigungsbereich der Hysteresekurve, „das
ferromagnetische Material geht in Sättigung“).
7.2 Aufnahme der Hysteresekurve
Die Darstellung der Hysteresekurve erfolgt mit dem Oszilloskop (siehe Abb. 7.2), welches
lediglich Spannungen als Eingangsgrößen verarbeiten kann. Daher ist es notwendig,
spannungsproportionale Zusammenhänge der Größen B und H herzustellen:
• zwischen der magnetischen Erregung H und einer Spannung ux, welche an den
horizontalen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen wird,
• sowie zwischen der magnetischen Flussdichte B und einer Spannung uy, die an den
vertikalen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen wird.
i2
i1
u1
R2
u2
ux
i=0
Oszi
uy
C
i2
R1
Abb. 7.2
Zusammenhang zwischen H und ux
Das Magnetfeld in der gezeigten Messanordnung wird vom Strom i1 erzeugt, welcher
zusammen mit den w Windungszahlen die magnetische Durchflutung Θ bildet. Die dadurch
hervorgerufene magnetische Erregung H ergibt sich gemäß Gleichung (7.3) zu:
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H=
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w ⋅ i1
lm
Der Strom i1 ruft am Widerstand R1 gemäß Ohm’schen Gesetz eine proportionale Spannung
ux hervor:
u x = i1 ⋅ R 1
(7.8)
Somit erhält man den gesuchten proportionalen Zusammenhang
darzustellenden Größe H und der darstellbaren Spannung ux:
H=
zwischen
w
⋅ ux
lm ⋅ R1
der
(7.9)
Zusammenhang zwischen B und uy
Das Induktionsgesetz gibt die Spannung ui an, welche bei einer zeitlichen Änderung des
einen Leiter durchsetzenden Magnetfeldes im Leiter erzeugt („induziert“) wird. In unserem
Fall ist die induzierte Spannung die auf der Sekundärseite vorherrschende Spannung u2,
welche vom magnetischen Wechselfeld (sinusförmig, wenn im ungesättigten Bereich der
Hysteresekurve) der Primärwicklung erzeugt wird.
u2 = w 2
dφ
d(B ⋅ A )
dB
= w2
= w2 ⋅ A ⋅
dt
dt
dt
(7.10)
wobei w2 die Windungszahl der Sekundärwicklung ist.
Damit erhalten wir für die magnetische Flussdichte B:
B=
1
⋅ ∫ u 2 dt
w2 ⋅ A
(7.11)
Wir benötigen nun eine Beziehung, mit deren Hilfe die Spannung uy proportional zum
Integral von u2 wird. Dies wird in zwei Stufen erreicht:
1. Die Maschengleichung für den Sekundärkreis liefert in komplexer Schreibweise:

1 

U2 = I2 ⋅  R 2 +
j ⋅ ω ⋅ C 

(7.12)
Wenn R2 >> (1/ωC) gewählt wird, gilt näherungsweise:
U2 = I2 ⋅ R 2 , bzw. in Zeitdarstellung: u 2 = i 2 ⋅ R 2
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(7.13)
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2. Es wird ein Kondensator C zu Hilfe genommen, dessen grundlegende Gleichung für die
Messanordnung lautet:
i2 = C ⋅
du y
du c
= C⋅
(siehe Schaltvorgänge in Kap. 1)
dt
dt
(7.14)
Durch Umformung erhält man:
uy =
1
⋅ ∫ i 2 ⋅ dt
C
(7.15)
Durch Einsetzen von Gleichung (7.13) erhalten wir eine Spannung uy, die proportional zum
Integral von u2 ist (wie oben angeführt):
uy =
1
⋅ ∫ u 2 ⋅ dt
R2 ⋅ C
(7.16)
Somit ergibt sich folgender proportionaler Zusammenhang zwischen B und uy:
B=
R2 ⋅ C
⋅ uy
w2 ⋅ A
(7.17)
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