Deskriptive Statistik II

Quantitative Methoden
(Vertretung für Prof. Th. Pechmann)
Deskriptive Statistik II
Kennwerte der Dispersion
Andreas Opitz
Universität Leipzig
Institut für Linguistik
Fragen, die Sie nach der letzten Sitzung
beantworten können sollten
• Welche Skalen-Niveaus unterscheidet die Messtheorie?
• Was sind Gütekriterien wissenschaftlicher Messungen?
• Welche Kennwerte der zentralen Tendenz kennen Sie? Wie
lassen sich diese definieren?
• Wann ist die Berechnung eines arithmetischen Mittels
wenig sinnvoll?
Kennwerte der zentralen Tendenz
• Modalwert
• arithmetisches Mittel
• Median
3
diese Woche
• Kennwerte der Dispersion:
–
–
–
–
Variationsbreite (Range)
Standardabweichung
Varianz
Standardfehler
• Darstellung und Bericht der Daten (Tabellen, Grafiken)
Kennwerte der Dispersion
• Varianzbreite (range)
• Varianz
• Standardabweichung (Streuung)
Variationsbreite
• Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert
einer Verteilung
• leicht bestimmbar
• abhängig von den Extremwerten
• wenig stabil gegenüber Zufallseinflüssen
Variationsbreite
• Rosenbeispiel:
– Max(Rosen) = 7 Tage
– Min(Rosen) = 2 Tage
– Range(Rosen) = 2 Tage – 7 Tage = 5 Tage
• Königreich-Beispiel:
– Max(Land) = 1000 Taler
– Min(Land)= 8 Taler
– Range(Land)= 1000 Taler – 8 Taler = 992
Varianz
– misst die Streuung der Werte relativ zum Erwartungswert
– ist die Summe der Abweichungsquadrate aller Werte durch die Anzahl der
Werte (vgl. Howell, 2002, S. 48 u. 55)
– ist der wahre Mittelwert bekannt (wird z.B. die ganze Grundgesamtheit
untersucht), dann berechnet sich die Varianz für die Population wie folgt:
σ
2
=
𝑁
𝑖=1
𝑥𝑖 − µ 2
𝑁
µ - Mittelwert der Population
N – Anzahl der Elemente in der Population
Varianz
Beispiel: Noten einer Schulklasse
Summe der
Werte
Mittelwert
Varianz bei Stichproben
– Ist der Populationskennwert (z.B. Mittelwert) nicht bekannt, sondern muss
geschätzt werden, so berechnet man die sogenannte korrigierte
Stichprobenvarianz:
2
𝑠
=
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 −𝑥 2
𝑛−1
x − Mittelwert der Stichprobe
n – Anzahl der Elemente in der Stichprobe
– Bei kleinen Stichproben ergibt sich durch die Subtraktion von eins eine relativ
größere Varianz als bei großen Stichproben.
– Würden die Abweichungen nicht quadriert, wäre die Summe gleich Null.
Varianz
Dichten zweier normalverteilter
Zufallsvariablen mit gleichem
Erwartungswert (0) aber
unterschiedlichen Varianzen.
rot = geringe Varianz
grün = hohe Varianz
Standardabweichung
(engl. standard deviation, sd, σ)
– Wurzel der Varianz
𝑠=
𝑠2 =
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 − 𝑥
𝑛−1
Deskriptive Statistik
2
12
Vorteile von Varianz und
Standardabweichung
• von zufälligen Extremwerten kaum beeinflusst
• hängen von allen Messwerten einer Verteilung ab
• sind zuverlässige Schätzwerte für die Streuung in der
Grundgesamtheit
• für Prüfstatistik geeignet
Standardabweichung
• Für die Standard-Normalverteilung gilt:
ca.
68%
ca.
95.5%
Standardabweichung
Konfidenzintervall
Prozent innerhalb
0,674 490σ
50%
0,994 458σ
68%
1σ
68,269%
1,281 552σ
80%
1,644 854σ
90%
1,959 964σ
95%
2σ
95,45%
2,575 829σ
99%
3σ
99,73%
3,290 527σ
99,9%
3,890 592σ
99,99%
4σ
99,993 666%
Standardabweichung
Konfidenzintervall
Prozent innerhalb
0,674 490σ
50%
0,994 458σ
68%
1σ
68,269%
1,281 552σ
80%
1,644 854σ
90%
1,959 964σ
95%
2σ
95,45%
2,575 829σ
99%
3σ
99,73%
3,290 527σ
99,9%
3,890 592σ
99,99%
4σ
99,993 666%
Standardabweichung
Beispiel
•
Die Körpergröße des Menschen ist näherungsweise normalverteilt. Bei einer
Stichprobe von 1.284 Mädchen und 1.063 Jungen zwischen 14 und 18 Jahren wurde
bei den Mädchen eine durchschnittliche Körpergröße von 166,3 cm
(Standardabweichung 6,39 cm) und bei den Jungen eine durchschnittliche
Körpergröße von 176,8 cm (Standardabweichung 7,46 cm) gemessen.
•
Demnach lässt obige Schwankungsbreite erwarten, dass 68,3 % der Mädchen eine
Körpergröße im Bereich 166,3 cm ± 6,39 cm und 95,4 % im Bereich 166,3 cm ±
12,78 cm haben,
•
16 % [≈ (100 % − 68,3 %)/2] der Mädchen kleiner als 160 cm (und 16 %
entsprechend größer als 173 cm) sind und
2,5 % [≈ (100 % − 95,4 %)/2] der Mädchen kleiner als 154 cm (und 2,5 %
entsprechend größer als 179 cm) sind.
Für die Jungen lässt sich erwarten, dass 68 % eine Körpergröße im Bereich
176,8 cm ± 7,46 cm und 95 % im Bereich 176,8 cm ± 14,92 cm haben,
16 % der Jungen kleiner als 169 cm (und 16 % größer als 184 cm) und
2,5 % der Jungen kleiner als 162 cm (und 2,5 % größer als 192 cm) sind.
•
•
•
•
Varianz und Standardabweichung
• Varianz (s2): Summe der Abweichungsquadrate aller
Messwerte einer Verteilung von ihrem arithmetischen
Mittel dividiert durch die Anzahl der Messungen (-1)
• Standardabweichung (s): Quadratwurzel aus der Varianz
Standardfehler
auch: Stichprobenfehler
• Arbeiten wir mit Stichproben (weil Daten über die
Grundgesamtheit nicht verfügbar sind), dann wird jede
Stichprobe einen leicht anderen Kennwert aufweisen.
• Diese Kennwerte der einzelnen Stichproben variieren um
den tatsächlichen Kennwert der Population.
• Die Kennwerte der einzelnen Stichproben sind dabei
normalverteilt (um den Populationskennwert).
• Die Standardabweichung der Stichproben-Kennwerte ist
dabei der Stichprobenfehler (Standardfehler).
Standardfehler
• Der Standardfehler des arithmetischen Mittels ist gleich
σ 𝑋 =
σ
𝑛
• wobei σ die Standardabweichung einer einzelnen Messung
bezeichnet.
• Der Standardfehler ist abhängig von der
Standardabweichung der Grundgesamtheit und der Größe
der Stichprobe (n).
Standardfehler (Stichprobenfehler)
Differenz zwischen dem Kennwert einer Stichprobe und dem ‚wahren‘
Wert der entsprechenden Grundgesamtheit
die Stichprobenmittelwerte bilden ihrerseits eine Verteilung
der Mittelwert der Stichprobenverteilung ist der beste Schätzwert für
den Parameter der Grundgesamtheit
wenn die Zahl der Stichproben gegen Unendlich geht, ist die
Verteilung der Stichprobenmittelwerte stets normal
je größer die Variabilität des Merkmals in der Grundgesamtheit ist,
desto größer ist auch der Standardfehler des Mittelwerts
je kleiner die Größe der Stichprobe ist, desto größer ist der
Standardfehler des Mittelwerts
Standardfehler
Beispiel
Für die Eiscreme-Daten* wurde für den Pro-Kopf Verbrauch von Eiscreme (gemessen
in Pint) das arithmetische Mittel, dessen Standardfehler und die Standardabweichung
für die Jahre 1951, 1952 und 1953 berechnet.
Für die Jahre 1951 und 1952 sind die geschätzten Mittelwerte und
Standardabweichungen sowie die Beobachtungszahlen etwa gleich. Deswegen ergeben
die geschätzten Standardfehler auch etwa den gleichen Wert. Im Jahr 1953 sind zum
einen die Beobachtungszahlen geringer als auch die Standardabweichung größer.
Daher ist der Standardfehler fast doppelt so groß wie die Standardfehler aus den
Jahren 1951 und 1952.
Jahr
Mittelwert
Standardfehler
des
Mittelwerts
Standardabweichung
Anzahl der
Beobachtunge
n
1951
0,34680
0,01891
0,05980
10
1952
0,34954
0,01636
0,05899
13
1953
0,39586
0,03064
0,08106
7
* Koteswara Rao Kadiyala (1970) Testing for the independence of regression disturbances. Econometrica, 38,
97-117.
Siehe auch: http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/IceCream.html
Standardfehler vs. Standardabweichung
• Der Standardfehler ist die Standardabweichung der
geschätzten Parameter in vielen Stichproben.
• Im Gegensatz dazu bildet die Standardabweichung die
tatsächlich vorhandene Streuung ab (entweder in der
Population: σ, oder in der Stichprobe: s). Diese Streuung ist
auch bei höchster Messgenauigkeit und unendlich vielen
Einzelmessungen vorhanden. Sie zeigt, ob die Einzelwerte
nahe beieinander liegen oder eine starke Spreizung der
Daten vorliegt.
Exkurs: Quantile
(zu Streuungsmaßen)
• Beispiel: Reaktionszeitdaten
– 200 Messungen
– Mittelwert: 540.8ms
– Standardabweichung: 120.01ms
• (Range: 832.6 – 238.7)
• (Median: 544.1)
Exkurs: Quantile
(zu Streuungsmaßen)
Exkurs: Quantile
(zu Streuungsmaßen)
Exkurs: Quantile
(zu Streuungsmaßen)
Median
100
%
75 %
50%
25%
Exkurs: Quantile / Quartile
(zu Streuungsmaßen)
Median
Q0,25
(unteres
Quartil)
Q0,50
(mittleres
Quartil)
Q0,75
(0,75-Quantil,
oberes
Quartil)
• Zum Beispiel Ausgabe in R:
summary(test.rt)
Min.
1st Qu.
Median
Mean
3rd Qu.
Max.
238.7
456.3
544.1
540.8
617.3
832.6
Quantile
• Ein Quantil ist ein Lagemaß in der Statistik. Das p-Quantil
ist ein Wert einer Variablen, der die Menge aller
Merkmalswerte (salopp "die Verteilung") in zwei
Abschnitte unterteilt: Links vom p-Quantil liegt der
Anteil p ≡ p*100% aller Beobachtungswerte oder der
Gesamtzahl der Zufallswerte oder der Fläche unter der
Verteilungskurve; rechts davon liegt der jeweilige restliche
Anteil 1-p ≡ (1-p)*100%. Die Zahl p heißt auch
der Unterschreitungsanteil.
• Spezielle Quantile sind der Median, die Quartile (sowie die
Quintile, die Dezile und die Perzentile).
Deskriptive Statistik
30
Quartile
• Quartile (lat. „Viertelwerte“) sind die Quantile Q0,25(0,25Quantil), Q0,5(0,5-Quantil=Median) und Q0,75(0,75-Quantil),
die auch als Q1 („unteres Quartil“), Q2 („mittleres Quartil“)
und Q3 („oberes Quartil“) bezeichnet werden. Sie sind die
in der Statistik mit am häufigsten verwendete Form der
Quantile.
• Der (Inter-)Quartilabstand (engl. interquartile range)
bezeichnet die Differenz zwischen dem oberen und dem
unteren Quartil, also Q0,75-Q0,25 und umfasst daher 50 %
der Verteilung. Der Quartilabstand wird auch
als Streuungsmaß verwendet.
Deskriptive Statistik
31
zu den Quantilen zu merken:
• Zur Visualisierung von Verteilungen sind Boxplots gut
geeignet.
• „Quantile teilen die Verteilung in einen Bereich oberhalb
und unterhalb.“
• Spezielle Quantile sind der Median (0.5) sowie die Quartile
(0.25; 0.5 und 0.75).
Deskriptive Statistik
Bericht
Deskriptive Statistik
Bericht
• Die Werte der deskriptiven Statistik können auf
verschiedene Weise berichtet werden:
– Zahlen (im Text)
– Tabellen
– Grafiken
American Psychological Association (1994). Publication manual of the
American Psychological Association. Washington, DC: APA.
Zur Erinnerung:
• deskriptive Statistik erfolgt immer vor Inferenzstatistik!
• Beschreibung der Daten anhand von Kennwerten
– Anzahl der gültigen Werte
– Kennwerte der zentralen Tendenz
– Kennwerte der Streuung
Deskriptive Statistik
• Text
„For the analyses of the reaction time experiment, we
included participants with error scores less than 20%. […]
Thus, the data of seven participants were removed from
further analyses.
•
Similarly, four nouns from the low singular frequency
condition were removed due to error percentages
exceeding 30%“. (Schreuder & Baayen, 1997, p. 129)
36
„We excluded the data from one participant whose residual reading times
were extremely slow (2.5 standard deviations away from the average). To
remove outlier data points, the residual reading times were trimmed so
that data points beyond three standard deviations from the relevant
condition and position cell mean were discarded, corresponding to less
than 1.8% of the data.
The reading time data that we report corresponds to all the remaining
data, whether or not the comprehension questions were answered
correctly.“ (Nakatani & Gibson, 2008, p. 76)
Deskriptive Statistik
• Tabellarische Darstellung
Hartsuiker, Kolk, & Huiskamp (1999)
39
Deskriptive Statistik
• Tabellarische Darstellung
American Psychological Association
(1994). Publication manual of the
American Psychological
Association. Washington, DC: APA.
40
Deskriptive Statistik
• Tabellarische Darstellung
Smith & Wheeldon (2001)
41
Deskriptive Statistik
• Tabellarische Darstellung
Rastle, Davis, & New (2004)
42
Deskriptive Statistik
• Abbildungen
– Säulen und Balken
– Linien
– Punkte
– selten Kreisdiagramme ("Torten")
43
Säulendiagramme
Für welches Skalenniveau gut geeignet?
Säulendiagramme
Säulendiagramme
Säulendiagramme
• Abbildung: Säulen
American Psychological Association
(1994). Publication manual of the
American Psychological
Association. Washington, DC: APA.
47
Säulendiagramme
• Abbildung: gestapletes Säulendiagramm
Bernolet, Hartsuiker, & Pickering
(2009)
48
Scatterplot
Für welches Skalenniveau gut geeignet?
Liniendiagramme
• Abbildung: Linien
American Psychological Association
(1994). Publication manual of the
American Psychological Association.
Washington, DC: APA.
50
Liniendiagramme
Für welches Skalenniveau gut geeignet?
• Abbildung: Linien
Nakatani & Gibson
(2008)
51
Liniendiagramme
• Abbildung: Linien
Dahan, Tanenhaus, &
Chambers, (2002)
52
Tortendiagramme
• … sollte man nach Möglichkeit nicht verwenden.
Tortendiagramme
Tortendiagramme
Tortendiagramme
Tortendiagramme
Tortendiagramme
Die gleichen Daten als
Tortendiagramme
?
In welcher Relation stehen zum Beispiel Kategorie „e“ und „h“ zu einander?
Tortendiagramme
Beispiele der Übungsdaten
• Rosen-Beispiel von letzter Woche
Beispiel: „Rosen-Experiment“
Hypothetisches Szenario:
Karl ist Rosenzüchter. Er möchte herausfinden, wie lange es
dauert, bis eine frische Rose seiner neuen Züchtung in einer Vase
mit Wasser verwelkt.
(Eigenschaft der Population)
Vorgehen:
Am Tag des Aufblühens wird eine Rose abgeschnitten und in eine
genormte Vase mit Wasser gestellt.
Notiert wird am wievielten Tag das erste Blütenblatt welkt ist.
Karl führt diesen Versuch mit insgesamt 100 Rosen durch.
62
Ergebnis:
1
2
3
4
5
6
…
10
0
Verblüh-Tag 5
2
4
6
5
4
…
3
Versuch Nr.
Bericht (deskriptive Daten):
• Insgesamt wurden 100 Exemplare untersucht. Die
durchschnittliche Blühdauer betrug 4.41 Tage (SD = 1.23,
Range = 1-7).
• Ausblick:
Verändert sich die Haltbarkeit, wenn die Rosen nicht nur in normales
Wasser gestellt werden, sondern dem Wasser noch Zucker zugesetzt
wird?
Fragen, die Sie nach der heutigen
Sitzung beantworten können sollten
• Welche Kennwerte der Dispersion kennen Sie? Wie
werden sie berechnet?
• Was sind die Vorteile der Varianz gegenüber der
Variationsbreite?
• Was versteht man unter dem
Standardfehler(Stichprobenfehler)?
• Wieviel Prozent der Werte liegen bei einer
Normalverteilung ca. im Bereich von Mittelwert +/- 2
Standardabweichungen?
Ausblick nächste Woche:
Inferenzstatistik
Statistik
• Auf Messergebnisse werden i.d.R. statistische
Tests angewandt, die aussagen, wie
wahrscheinlich es ist, dass die beobachteten
Ergebnisse zufällig sind oder ob sie auf die
Grundgesamtheit verallgemeinert werden können.
• Liegt die ermittelte Irrtumswahrscheinlichkeit
unter einem vorher festgelegten Niveau
(Signifikanzniveau, i.d.R. < 5%), dann gelten die
Ergebnisse als signifikant.
Grundgedanke
Man will zum Beispiel ermitteln, ob eine Stichprobe der
Grundgesamtheit entstammt.
• Man bestimmt den Kennwert einer Stichprobe (z.B.
Mittelwert).
• Man vergleicht den Kennwert der Stichprobe mit dem
entsprechenden Kennwert der Population.
• Man berechnet, wie wahrscheinlich es ist, dass die
Differenz der Kennwerte zufällig ist.
(Die Wahrscheinlichkeit, dass die gemessene Abweichung der
Stichprobe von der Population zufällig ist)