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Diskrete Zufallsvariablen
Ziehen mit und ohne Zurücklegen
F ( x1 , L x n ) = P( X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x 2 , L , X n ≤ x n )
= P( X 1 ≤ x1 )⋅ P( X 2 ≤ x 2 )L P( X n ≤ x n )
= F ( x1 ) ⋅ F (x 2 )L F ( x n ) .
0.7
Wahrscheinlichkeiten
0.6
Bernoulli-Experiment
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
n
P ( X = j ) = p j =   ⋅ p j ⋅ (1 − p )n − j .
 j
1
2
3
4
5
Erwartungswert
1
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Übersicht
Charakterisierung
Binomialverteilung
Gleichverteilung
Weitere
diskrete
Verteilungen
PoissonVerteilung
2
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Diskrete Zufallsvariablen
Charakterisierung diskreter Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Die Zuordnung von Zahlenwerten
bzw. Wahrscheinlichkeiten
zu den Ergebnissen eines Zufallexperimentes
entspricht mathematisch der Abbildung einer
Ergebnismenge – also des Grundraumes Ω -in die Menge der reellen Zahlen und heißt
Zufallsvariable.
3
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1
Diskrete Zufallsvariablen
Charakterisierung diskreter Zufallsvariablen
Realisation
Führen wir nun ein Zufallsexperiment durch, so
sprechen wir bei einem Ergebnis davon, dass
unsere Zufallsvariable eine Realisation annimmt.
Wahrscheinlichkeit
Nimmt eine Zufallsvariable X die Realisation x
an, so können wir dieser Realisation (diesem
Ereignis) eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.
P( X = x )
4
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Diskrete Zufallsvariablen
Charakterisierung diskreter Zufallsvariablen
Beispiel 1
Wirft man eine Münze, so kann das Ergebnis dieses Zufallexperimentes
nur „Kopf = K“ oder „Zahl = Z“ sein. Das Ergebnis („K“ bzw. „Z“)
stellt die Realisation einer Zufallsvariablen X dar. Wir schreiben dann X
= „K“ oder X = „Z“ bzw. X = x mit x ∈ {K, Z}.
Beispiel 2
Beim einfachen Würfelwurf sind die möglichen Ergebnisse des
Zufallexperimentes die Zahlen 1 bis 6. Die Realisationen der
zugehörigen Zufallsvariablen X zur Beschreibung dieses Experimentes
können als X = 1, X = 2, ... , X = 6 oder als
X = x mit x ∈ {1,2,3,4,5,6}
notiert werden.
5
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Diskrete Zufallsvariablen
Charakterisierung diskreter Zufallsvariablen
Menge von Ergebniswerten
W ( X ) = {x1 , x 2 , x3 , L}
Wahrscheinlichkeit pj
P X = x j = p j für X = x j
(
)
.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
 p j
P X = xj =
0
(
)
X = xj
sonst
(
j = 1, 2, 3, L
)
∑ p j = ∑ P X = x j =1
j
j
6
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2
Diskrete Zufallsvariablen
Charakterisierung diskreter Zufallsvariablen
Beispiel 3
Beim Münzwurf hat die Zufallsvariable X den Wertebereich
W ( X ) = {" K " , " Z "}
und die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die folgende Gestalt:
0.5 X =" K "

P( X = x ) = 0.5 X =" Z "
0
sonst.

∑ p j = P( X =" K ") + P( X =" Z ") = 0.5 + 0.5 = 1
j
7
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Diskrete Zufallsvariablen
Charakterisierung diskreter Zufallsvariablen
Beispiel 4
Beim einfachen Würfelwurf hat die Zufallsvariable X den Wertebereich
W ( X ) = {1,2,3,4,5,6}
und die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die folgende Gestalt:
1 6
P( X = x ) = 
0
x ∈ {1,2,3,4,5,6}
sonst
1
∑ p j = P( X = 1) + P( X = 2) + L + P( X = 6) = 6 ⋅ 6 = 1
j
8
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Diskrete Zufallsvariablen
Charakterisierung diskreter Zufallsvariablen
Beispiel 5
Für die Summe beim doppelten Würfelwurf hat die Zufallsvariable X den
Wertebereich
W ( X ) = {2,3, L11,12}
und die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die folgende Gestalt:
1 36 für X
2 36 für X

3 36 für X

P( X = x ) = 4 36 für X
5 36 für X

6 36 für X

sonst
0
= 2 oder
= 3 oder
X = 12
X = 11
= 4 oder
= 5 oder
X = 10
X =9
=6
=7
X =8
oder
9
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3
Diskrete Zufallsvariablen
Grafische Darstellung diskreter Zufallsvariablen
Stabdiagramme (Bar Charts)
Wahrscheinlichkeiten
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1
2
Münzwurf
10
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Diskrete Zufallsvariablen
Grafische Darstellung diskreter Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeiten
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
1
2
3
4
5
6
Würfelwurf
11
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Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen: Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die
Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt:
F ( x ) := P ( X ≤ x )
Beispiel 6
Bei einer Analyse der Einkommensverhältnisse kann es unter Umständen
nicht so sehr von Interesse sein, wie viele Personen genau 325 Euro
verdienen, sondern es ist vielmehr interessanter zu wissen, wie groß der
Anteil an Personen ist, die ein Einkommen in Höhe bis zu 325 Euro
einschließlich besitzen.
Dies ist die Grenze für die geringfügige Verdienste im Jahre 2003. Es soll dabei nicht
diskutiert werden, ob es sich hierbei um ein stetiges oder diskretes Merkmal handelt.
12
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4
Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen: Verteilungsfunktion
Für einen beliebigen Wert x ist die Verteilungsfunktion einer diskreten
Zufallsvariablen X mit dem Wertebereich W ( X ) = {x1 , x 2 , L , x k }
gegeben durch
für x < x (1)
0
 *
k
F (x ) =  ∑ p j
 j =1
1

für x ∗ ≤ x < x ∗
(k )
( k +1)
für x (k) ≤ x
0 ≤ F (x ) ≤ 1
13
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Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen: Verteilungsfunktion
Beispiel 7
Für die Summe beim doppelten Würfelwurf hat die Verteilungsfunktion
die folgende Gestalt:
für x < 2
0
1 36

3 36

6 36
10 36

15 36
F (x ) = 
21 36
26 36

30 36
33 36

35 36

1
für 2 ≤ x < 3
für 3 ≤ x < 4
für 4 ≤ x < 5
für 5 ≤ x < 6
für 6 ≤ x < 7
für 7 ≤ x < 8
für 8 ≤ x < 9
für 9 ≤ x < 10
für 10 ≤ x < 11
für 11 ≤ x < 12
für 12 ≤ x
14
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Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen: Verteilungsfunktion
Doppelter Würfelwurf
Verteilungsfunktion F(x)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
Zufallsvariable X
15
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5
Diskrete Zufallsvariablen
Modus (Modalwert)
So ist der Modalwert xmod einer diskreten Zufallsvariablen derjenige
Wert xj aus dem Wertebereich, der mit der größten Wahrscheinlichkeit
angenommen wird. Für den Modalwert ist
P X = x j ≥ P X = x *  für alle x j , x * ∈ W mit j ≠ j*
j 
j

(
)
.
16
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Diskrete Zufallsvariablen
Modus (Modalwert)
Beispiel 10.8
Für die Summe beim doppelten Würfelwurf (vgl. Beispiel 10.5) ist der
Modalwert eindeutig:
da
x mod = 7
P( X = 7 ) > P X = x *  mit x * ∈ {2,3,4,5,6,8,9,10,11,12} .
j 
j

Für den einfachen Würfelwurf ist die Angabe eines Modalwertes weder
eindeutig noch sinnvoll, da alle Realisationen mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit (nämlich 1/6) auftreten.
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Diskrete Zufallsvariablen
Modus
Beispiel 10.5
Für die Summe beim doppelten Würfelwurf hat die Zufallsvariable X den
Wertebereich
W ( X ) = {2,3, L11,12}
und die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die folgende Gestalt:
1 36 für X = 2 oder X = 12
2 36 für X = 3 oder X = 11

3 36 für X = 4 oder X = 10

P( X = x ) = 4 36 für X = 5 oder X = 9
5 36 für X = 6 oder X = 8

6 36 für X = 7

sonst
0
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6
Diskrete Zufallsvariablen
Median
µ~0.5
Median
P( X ≤ µ~0.5 ) ≥ 0.5 und P( X ≥ µ~0.5 ) ≥ 0.5 .
Wert, an dem 0.5 erstmalig übersprungen wird
wird 0.5 exakt bei der Realisation xj erreicht, dann
µ~0.5 =
x( j ) + x( j +1)
2
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Diskrete Zufallsvariablen
Median
Beispiel 10.9
Für die Summe beim doppelten Würfelwurf hat die Verteilungsfunktion
die folgende Gestalt:
0.5 = 7.
für x < 2
für 2 ≤ x < 3
für 3 ≤ x < 4
für 4 ≤ x < 5
für 5 ≤ x < 6
für 6 ≤ x < 7
für 7 ≤ x < 8
für 8 ≤ x < 9
für 9 ≤ x < 10
für 10 ≤ x < 11
für 11 ≤ x < 12
für 12 ≤ x
20
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Diskrete Zufallsvariablen
Median: Grafische Bestimmung
1.0
Verteilungsfunktion F(x)
µ~
0

1 36
 3 36

 6 36
10 36

15 36
F (x ) = 
 21 36
 26 36

 30 36
 33 36

 35 36
1

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
Zufallsvariable X
21
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7
Diskrete Zufallsvariablen
Median
Beispiel 10.9
Für den einfachen Würfelwurf hat die Verteilungsfunktion die folgende
Gestalt:
für x < 1
0
1 6 für 1 ≤ x < 2

2 6 für 2 ≤ x < 3

F ( x ) = 3 6 für 3 ≤ x < 4
4 6 für 4 ≤ x < 5

5 6 für 5 ≤ x < 6

für x ≥ 6
1
µ~0.5 =
3+ 4
= 3.5 .
2
22
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Diskrete Zufallsvariablen
Erwartungswert
zukünftiges (zu erwartendes) „mittleres Ereignis“
Erwartungswert
E(X ) =
k
∑ x j ⋅ P (X = x j ) =
j =1
k
∑ xj ⋅ pj
j =1
x
Analogie zum arithmetischen Mittel
23
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Diskrete Zufallsvariablen
Erwartungswert
Beispiel 10.10
Beim einfachen Würfelwurf erhält man
6
1 1 6
21
= 3.5
EX = ∑ j ⋅ = ∑ j =
j =1 6 6 j =1 6
Dies bedeutet:
Würde man zehnmal würfeln und alle Ergebnisse aufaddieren, so
würde man „im Mittel“ als Summe 35 erhalten.
24
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8
Diskrete Zufallsvariablen
Varianz
n
Var X = ∑ ( x i − E X )2 ⋅ p i
Varianz:
i =1
Beispiel 10.11
Beim einfachen Würfelwurf erhält man
6
Var X
=
1
1 6
∑ (i − 3.5)2 ⋅ 6 = 6 ∑ (i − 3.5)2
i =1
i =1
(
1
(− 2.5)2 + (− 1.5)2 + (− 0.5)2 + (0.5)2 + (1.5)2 + (2.5)2
6
6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25
=
6
17.5
=
= 2.917 .
6
=
)
25
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Diskrete Zufallsvariablen
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
F (x1 , L x n ) = P( X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x 2 , L , X n ≤ x n )
= P( X 1 ≤ x1 )⋅ P ( X 2 ≤ x 2 )L P( X n ≤ x n )
= F (x1 )⋅ F ( x 2 )L F (x n ) .
Ist der Wert der gemeinsamen Verteilungsfunktion gleich dem Produkt
der einzelnen Verteilungsfunktionswerte, so sind die beteiligten
Zufallsvariablen unabhängig.
Für den Fall n = 2 muss also überprüft werden, ob die Wahrscheinlichkeit, dass X1 kleiner oder gleich ist als x1 und gleichzeitig X2 kleiner oder
gleich ist als x2, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit von X1
kleiner oder gleich x1 und von X2 kleiner oder gleich x2 ist.
26
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Diskrete Zufallsvariablen
Gleichverteilung
Die Gleichverteilung ist definiert auf den Werten j = 1, ... ,k. Sie wird
auch Laplace-Verteilung genannt. Für jeden der Werte j = 1, ... ,k gilt
P( X = j ) = p j =
EX
=
Var X
=
1
k
k +1
,
2
k 2 −1
.
12
27
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9
Diskrete Zufallsvariablen
Gleichverteilung (k=2)
Wahrscheinlichkeiten
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1
2
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Diskrete Zufallsvariablen
Gleichverteilung (k=6)
Wahrscheinlichkeiten
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
1
2
3
4
5
6
29
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Diskrete Zufallsvariablen
Gleichverteilung
Hinweis:
In manchen Lehrbüchern wird die diskrete Gleichverteilung auch auf den
Werten 0, 1, ..., k eingeführt. In diesen Fällen erhält
EX
Var X
k
,
2
k 2 − 2k
=
12
=
.
30
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10
Diskrete Zufallsvariablen
Poisson-Verteilung
Siméon Denis Poisson (* 21.06.1781, † 25.04.1840) war französischer
Mathematiker und Physiker. Neben obiger Verteilung sind auch einige
physikalische Größen nach ihm benannt. Innerhalb der Statistik ist auch
der Poisson-Prozeß auf ihn zurückzuführen. Der Poisson-Prozeß ist ein
punktueller stochastischer Prozeß mit unabhängigen Zuwächsen. Dieser
findet heutzutage auch in der Unternehmensforschung, bei der Analyse
von Wartesystemen sowie bei Zuverlässigkeits- und Instandhaltungsproblemen Verwendung.
31
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Diskrete Zufallsvariablen
Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung wird auch als die Verteilung der seltenen
Ereignisse bezeichnet. Tritt ein Ereignis (sehr) selten ein, so wird
zumeist für die Beschreibung dieses Sachverhaltes die PoissonVerteilung herangezogen. Die Poisson-Verteilung ist auf den Werten
j = 0,1,2,... definiert und für jeden dieser Werte gilt
P( X = j ) = p j =
j! (sprich: j Fakultät) bedeutet:
z.B.
λj
j!
⋅ e −λ
1⋅ 2 ⋅ 3L j
4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 und
0!:= 1.
Der Buchstabe „e“ steht dabei für die Exponentialfunktion.
32
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Diskrete Zufallsvariablen
Poisson-Verteilung
Dabei ist λ (sprich: lambda) ein Parameter, der die Verteilung
charakterisiert, denn es ist für eine Poisson-Verteilung mit Parameter λ
EX
Var X
= λ,
= λ .
In der Tabelle 15.1 sind für einige ausgewählte Parameterwerte λ die
Werte der zugehörigen Verteilungsfunktion zu finden.
Wenn zwei oder mehrere unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen
mit den Parametern λ1, λ2, ... gegeben sind, so ist die Summe dieser
Zufallsvariablen wiederum Poisson-verteilt. Der Parameter λ dieser
Summe ist dann gerade
λ = λ1 + λ 2 + λ 3 + L
33
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
11
Diskrete Zufallsvariablen
Poisson-Verteilung
0.7
Wahrscheinlichkeiten
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Poisson-Verteilung
mit dem Parameter λ = 0.5
34
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Diskrete Zufallsvariablen
Poisson-Verteilung
Beispiel 10.14
In einer Clique von n = 5 sozialgefährdeten Jugendlichen ist für jeden Jugendlichen die
Wahrscheinlichkeit, dass er beim Ladendiebstahl erwischt wird, gerade Poissonverteilt mit Parameter λ = 0.1. Das „Erwischt-werden“ der einzelnen
Jugendlichen kann dabei als unabhängig voneinander angesehen werden, da sie
jeweils in verschiedenen Ladenlokalen „ihrem Geschäft nachgehen“. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wird
•
•
höchstens ein Jugendlicher beim Ladendiebstahl erwischt?
genau ein Jugendlicher beim Ladendiebstahl erwischt?
Es handelt sich hier um eine Poisson-Verteilung mit Parameter
λ = λ1 + λ 2 + λ3 + λ 4 + λ5 = 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.5.
P( X ≤ 1) = 0.9098
P ( X = 1) = P ( X ≤ 1) − P( X ≤ 0 ) = 0.9098 − 0.6065 = 0.3035
35
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Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
Jakob Bernoulli (∗ 27.12.1654, † 16.08.1705) entstammte einer
berühmten Mathematikerfamilie. Neben wichtigen Beiträgen zur
Mathematik förderte er die Wahrscheinlichkeitsrechnung. So geht auf ihn
auch die Bernoulli- bzw. Binomialverteilung zurück.
36
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
12
Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment bei
dem man sich nur für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses A
interessiert. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis sei p = P(A).
Ein Bernoulli-Experiment besitzt also nur zwei mögliche Ausgänge,
nämlich „Erfolg“ mit einer Wahrscheinlichkeit von p und „Nichterfolg“
mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-p.
Betrachtet man eine Anzahl von n solcher unabhängigen Versuche und
interessiert sich hierbei für die Summe aller Erfolge, so lässt sich dies
mit Hilfe einer Binomialverteilung beschreiben.
37
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung ist auf den Werten j = 0, 1, ..., n definiert und
für jeden dieser Werte gilt
n
P ( X = j ) = p j =   ⋅ p j ⋅ (1 − p )n − j .
 j
 n
 j
 
(sprich: n über j) ist folgendermaßen definiert:
n!
j! (n − j ) !
38
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
Eine Binomialverteilung ist durch zwei Parameter, nämlich n und p,
charakterisiert. Für eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p
(abgekürzt: B(n, p)) gilt
EX
= n⋅ p
Var X
= n ⋅ p ⋅ (1 − p ) .
,
In der Tabelle 15.2 sind für einige ausgewählte Parameterkonstellationen
n und p die Werte der zugehörigen Verteilungsfunktion zu finden. Will
man dort die einzelnen Wahrscheinlichkeiten ermitteln, so sind jeweils
Differenzen zu bilden
39
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
13
Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
p = 0.1
Wahrscheinlichkeiten
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
6
40
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
p = 0.5
Wahrscheinlichkeiten
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
6
41
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
Anzahl j
6
 j
 
pj
(p = 0.1)
pj
(p = 0.5)
0
1
2
3
4
5
6
1
6
15
20
15
6
1
0.5314
0.3543
0.0984
0.0146
0.0012
0.0001
0.0000
0.0156
0.0938
0.2343
0.3125
0.2343
0.0938
0.0156
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer B(6, 0.5)-Verteilung für p = 0.1 und p =0.5.
Die einzelnen Werte sind auf vier Stellen gerundet.
42
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
14
Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
Beispiel 10.15
Die Anzahl der Auftritte von „Kopf“ beim sechsfachen Münzwurf ist
binomialverteilt mit den Parametern n = 6 und p = 0.5, also B(6, 0.5).
Es ist dabei z.B.
 6
6!
720
P ( X = 3) =   0.5 3 ⋅ (1 − 0.5)6−3 =
⋅ 0.5 3 ⋅ 0.5 3 =
⋅ 0.5 6 = 0.3125
3!⋅3!
6⋅6
 3
43
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
(Reproduktion)
Wenn zwei oder mehrere unabhängige binomialverteilte Zufallsvariablen
mit den Parametertupeln (n1, p), (n2, p), (n3, p), ... gegeben sind, so ist die
Summe dieser Zufallsvariablen wiederum binomialverteilt. Alle
eingehenden Zufallsvariablen müssen den identischen Parameter p
besitzen. Die Parameter n und p der Summe sind dann gerade
n = n1 + n2 + n3 + ... und
p.
44
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Diskrete Zufallsvariablen
Binomialverteilung
Beispiel 10.16
In einer Resozialisierungsmaßnahme für straffällig gewordene Familienväter sollen in
einem speziellen Programm insgesamt n = 8 Familien betreut werden. Man geht
auf Grund von Erfahrungswerten davon aus, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von
10 Prozent ein beliebig ausgewählter Familienvater wieder straffällig wird. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit wird von den n = 8 Familienvätern
keiner straffällig?
•
•
höchstens zwei straffällig?
genau einer straffällig?
•
Es liegt hier eine Binomialverteilung mit den Parametern n = 8 und p = 0.1 vor.
Aus Tabelle 15.2 ermittelt man
P ( X = 0 ) = P( X ≤ 0 ) = 0.4305 ,
P ( X ≤ 2 ) = 0.9616 ,
P( X = 1) = P( X ≤ 1) − P( X ≤ 0 ) = 0.8131 − 0.4305 = 0.3826 .
45
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
15
Diskrete Zufallsvariablen
Weitere diskrete Verteilungen
Die Dirac-Verteilung (auch oft Einpunktverteilung genannt) kann
auch als entartete Gleichverteilung bezeichnet werden.
Es handelt sich nämlich dabei um eine Gleichverteilung mit nur einem
Wert.
Dieser Wert tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von Eins auf, allen anderen
mit einer Wahrscheinlichkeit von Null.
46
Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
Diskrete Zufallsvariablen
Weitere diskrete Verteilungen
Die Hypergeometrische Verteilung wird im Gegensatz zur Binomialverteilung
herangezogen, wenn sich bei den einzelnen Zufallsexperimenten die
Wahrscheinlichkeiten für den „Erfolg“ verändern.
Befinden sich in einer Urne mit N Kugeln R rote Kugeln und S schwarze, wobei R + S =
N gelten soll. Zieht man aus dieser Urne insgesamt n Kugeln mit Zurücklegen, so kann
man das Ergebnis, wieviele rote Kugeln gezogen worden sind, mit Hilfe einer
Binomialverteilung approximieren. Die zugehörigen Parameter sind die Anzahl der
gezogenen Kugeln n und p = R / N.
Zieht man n Kugeln aus dieser Urne (n < N) ohne Zurücklegen, so kann man nun das
Ergebnis wieviele rote Kugeln gezogen worden sind, mit Hilfe einer
hypergeometrischen Verteilung approximieren.
Eine hypergeometrische Verteilung berücksichtigt dabei, dass in Abhängigkeit vom
jeweiligen Zugergebnis, sich die Wahrscheinlichkeit im nächsten Zug eine rote Kugel
zu ziehen verändert.
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Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
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