Kapitel 4: Energie

Kapitel 4: Energie
4.1 Definition der Energie
4.2 Die relativistischen Grössen
4.3 Die Masse-Energie Äquivalenz
4.4 Die kinetische Energie
4.5 Potentielle Energie der Gravitation
4.6 Anwendung: Energieerhaltung
4.7 Die Arbeit
4.8 Allgemeine potentielle Energie
4.9 Das Arbeit-Energie Theorem
4.10 Die mechanische Energie
4.11 Anwendung: Arbeit-Energie Theorem
4.12 Beziehung zwischen Kraft und potentieller Energie
4.13 Allgemeine potentielle Energie der Gravitationskraft
4.1 Definition der Energie
• Prinzip der Energieerhaltung:
! Bei allen Vorgängen muss die Gesamtenergie eines Systems
und seiner Umgebung erhalten werden.
• Energieaustauch zwischen dem System und seiner
Umgebung
! Wenn die Energie eines Systems sich ändert, muss die
Energie der Umgebung sich mit demselben Betrag aber
entgegengesetzem Vorzeichen ändern, so dass die Summe
sich nicht ändert.
• Die Gesamtenergie ist die Summe von verschiedenen
Teilen, die verschiedenen Formen der Energie
entsprechen.
„Nicht“-Erhaltung der Energie
• Oft sagen wir, dass die Energie eines Teilchens nicht erhalten
wird.
! Wenn z.B. ein Körper durch Reibung gebremst wird, wird ein
Energieaustausch mit der Oberfläche stattfinden.
• Die Gesamtenergie wird erhalten, aber wir können die Energie,
die durch die Reibung den Zustand der Oberfläche ändert, nicht
ausdrücken.
! Wir werden deshalb sagen, dass die Energie des Körpers nicht
erhalten ist.
• Andererseits, wenn wir wissen, dass der Austausch nur zwischen
bestimmten Formen der Energie stattfindet, können wir die Teile
der Gesamtenergie, die konstant bleiben, ignorieren.
Verschiedene Formen der Energie
• Die kinetische Energie hängt mit der Bewegung des Körpers
zusammen
• Die potentielle Energie entspricht der Energie, die mit der
räumlichen Anordnung der Körper eines Systems zueinander
zusammenhängt
• Die Wärmeenergie ist mit der Temperatur des Systems
verknüpft
• Die Strahlungsenergie ist die Energie, die durch Strahlen (z.B.
Licht) ausgesandt oder absorbiert wird
• Die chemische Energie hängt mit dem chemischen Zustand
zusammen
• Die Masse eines Körpers ist auch eine Form von Energie;
• usw...
Erhaltung der Energie
• Die Erhaltung der Gesamtenergie ist schwieriger
auszudrücken, als die des Impulses, weil die Energie
in verschiedenen Formen vorkommen kann.
• Man muss alle möglichen Formen betrachten
E Tot = E Masse + E kin + E pot + EWärme +
E Strahlung + E Chem. + usw...
= Konst.
4.2 Die relativistischen Grössen
• Definition der Masse: in Rückstossversuchen ist das
Verhältnis der Geschwindigkeiten der Wagen eine
konstante Zahl
mA v B
=
mB v A
Grenzfälle
• Wir fragen jetzt, was würde in einem solchen
Rückstossexperiment geschehen, wenn wir eine der Massen
kleiner und kleiner machen?
! Je kleiner die Masse ist, z.B. mB, desto schneller wird sie sich nach
dem Rückstoss bewegen.
! Wenn mB nach null geht, wird ihre Rückstossgeschwindigkeit
unendlich.
• Eine ähnliche Situation beobachten wir, wenn eine Kraft auf
einen Körper wirkt und damit den Körper beschleunigt.
! Solange die Kraft wirkt, wird der Körper beschleunigt und dadurch
kann er eine beliebige Geschwindigkeit erreichen.
!
F = Konst !
! wenn t " #
!
a = Konst
! v"#
Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit
• Experimentell beobachten wir aber etwas anderes:
! Ein Körper der Masse m kann sich nie mit einer Geschwindigkeit
grösser als die Lichtgeschwindigkeit bewegen.
• Die Lichtgeschwindigkeit entspricht der höchsten
Geschwindigkeit in der Natur.
! Kein Körper kann eine Geschwindigkeit gleich der
Lichtgeschwindigkeit erreichen, unabhängig davon wie stark und
wie lange er beschleunigt wird.
• Die Lichtgeschwindigkeit wirkt als eine Grenzgeschwindigkeit,
mit dem Wert: c = 299’792’458 Meter pro Sekunde
c ! 3 " 10 m / s
8
Geschwindigkeitsparameter
• Da die Geschwindigkeit v eines Körpers immer kleiner als die
Lichtgeschwindigkeit c sein muss, werden wir sie relativ zur
Lichtgeschwindigkeit definieren:
Geschwindigkeitsparameter ! v / c
• Weil die Lichtgeschwindigkeit der Grenzgeschwindigkeit entspricht, gilt:
v<c
!
v
<1
c
• Wie kann die Existenz der Grenzgeschwindigkeit bewiesen werden?
Existenz der Grenzgeschwindigkeit
• Die Lichtgeschwindigkeit ist sehr gross im Vergleich zu unseren
Alltagserfahrungen: es ist schwierig, die Existenz einer solchen
Grenzgeschwindigkeit mit makroskopischen Körpern zu beweisen.
• Man kann trotzdem Experimente mit Elementarteilchen durchführen,
die die Existenz der Grenzgeschwindigkeit beweisen.
Beschleunigung der Elektronen
• Elektronen werden durch eine elektrische Spannung, die ein
elektrisches Feld zwischen zwei Platten erzeugt, beschleunigt (Die
Bewegung einer elektrischen Ladung in einem elektrischen Feld wird im
Kap. 10 genauer studiert)
• Die Endgeschwindigkeit des Elektrons wird gemessen, als Funktion der
Spannung zwischen den Platten. Wenn wir die Anfangsgeschwindigkeit
vernachlässigen, finden wir:
! Spannung 1000=1!103 Volt: Endgeschwindigkeit v/c ! 0,063
! Spannung 1 ! 106 Volt: Endgeschwindigkeit v/c ! 0,94
! Spannung 1 ! 109 Volt: Endgeschwindigkeit v/c ! 0,99999988
Beschleunigung der Elektronen
• Direkter Beweis: die Lichtgeschwindigkeit wirkt als
Grenzgeschwindigkeit!
! Wenn die Spannung erhöht wird, nimmt die Endgeschwindigkeit der
Elektronen zu.
! Diese nähert sich immer mehr der Lichtgeschwindigkeit, kann aber die
Grenze nie überschreiten.
• Dieses Ergebnis kann auch mit Hilfe der Kräfte ausgedrückt werden.
! Eine Kraft wirkt auf einen Körper und damit wird der Körper beschleunigt.
! Solange die Kraft wirkt, wird der Körper beschleunigt und seine
Geschwindigkeit nimmt zu.
! Trotzdem kann er nicht eine beliebige Geschwindigkeit erreichen. Der Körper
wird sich der Lichtgeschwindigkeit nähern, ohne sie zu erreichen.
• Was ist dann die Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung bei
hoher Geschwindigkeit ?
4.2.2 Die relativistische Masse
• Eine Folgerung aus der Existenz einer Grenzgeschwindigkeit ist,
dass für hohe Geschwindigkeiten das Verhältnis, das wir im
Rückstossexperiment gefunden haben, nicht mehr gelten wird!
mA v B
=
mB v A
gilt nur wenn v A / c <<1, und vB / c <<1
• Wir haben von dieser Gleichung gesprochen, als wir das
Impulserhaltungsgesetz eingeführt haben
! Wird das Impulserhaltungsgesetz auch nicht mehr gelten, wenn die
Impulse der Körper sehr gross sind?
• Wir „retten“ das Impulserhaltungsgesetz mit einer neuen
Definition der Masse eines Teilchens.
! Die Masse eines Körpers ändert sich mit seiner
Geschwindigkeit.
Beziehung zwischen Masse und Geschwindigkeit
• Einstein (am Anfang des 20. Jahrhunderts)
m!
wobei
m0
1 " v2 / c2
= # m0
! m = Masse des bewegten Teilchens
! m0 = Ruhemasse des Teilchens
! " = Lorentzfaktor des Teilchens
!=
m
1
"
$1
2
2
m0
1# v / c
m ! m0
Zunahme der Masse
• Bei der Beschleunigung eines Teilchens gibt es eine
Erhöhung seiner Geschwindigkeit und eine Zunahme
seiner Masse.
Masse
4.2.4 Der relativistische Impuls
• Der Impuls eines Körper wurde als das Produkt der Masse und
der Geschwindigkeit definiert.
• Neue Definition der Masse
! Definition des Impulses auch geändert: der relativistische lineare
Impuls
!
!
!
p = mv = ! m0 v
• Solange die Geschwindigkeit des Teilchens klein ist relativ zur
Lichtgeschwindigkeit, wird der Lorentzfaktor " ! 1
! dann gilt die “klassische” Definition des Impulses.
• Der klassische Impuls ist eine Näherung des Impulses eines
Teilchens, der gilt, wenn die Geschwindigkeit des Teilchens viel
kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist.
4.3 Masse-Energie Äquivalenz
• Auf die Erde kommt von der Sonne die grösste Menge
von nützlicher Energie
! meistens in Form von Strahlungsenergie (Licht).
• Die Sonne stösst eine enorme Menge von
Strahlungsenergie aus: ! 4x1026 Joule pro Sekunde
! Wenn die Sonne wie eine Kugel aus Kohle brennen würde,
würde sie nur ungefähr 5000 Jahren lang leben.
! Wir wissen jedoch, dass die Sonne mit derselben Rate
während ungefähr 5 Milliarden Jahren gebrannt hat, und sie
soll noch während 5 Milliarden Jahren brennen.
! Woraus kommt die Energie der Sonne?
Die Sonne
Strahlungsenergie ! 4x1026 Joule pro Sekunde
Zur Organisation der Schnellübung
• Schnellübung
! Wie eine anderthalb Stunden lange Prüfung.
! Anwesenheit obligatorisch für das Testat. Bei zwingender
Abwesenheit bitte vorher beim Übungschef abmelden.
! Vier Aufgaben zur Auswahl. Wird korrigiert und benotet. Nur die
Punkte der drei besten Aufgaben werden gezählt.
! Die Noten zählen nicht ! (nur zu Ihrer Selbstkontrolle)
! Termine: 3. Mai und 21. Juni.
! Die Kopien werden während der Pause der Vorlesung
zurückgegeben. Sie können mit Ihrem Assistenten weiter diskutiert
werden
! Erlaubte Hilfsmittel: was Sie wollen. PC erlaubt!
! Geprüfter Stoff: Kap 1, 2 und 3
4.3 Masse-Energie Äquivalenz
• Einstein hat 1905 erklärt, wie die Sonne eine grosse
Menge von Strahlungsenergie (!4x1026 Joule pro
Sekunde) ausstossen kann
• Die Masse-Energie Äquivalenz Gleichung:
E = mc
2
wobei E= Energie, m = Masse, c = Lichtgeschwindigkeit
• Diese Gleichung drückt aus:
! Die Masse ist eine Form von Energie.
4.4 Die kinetische Energie
• Wir betrachten ein Teilchen, das sich bewegt.
• Die Masse eines Teilchens nimmt mit der Geschwindigkeit zu
m0
m = ! m0 =
1 " v2 / c2
• Die Gesamtenergie:
m0 c
E = mc = ! m0 c =
2
2
2
1" v / c
2
2
• Energie des Teilchens, wenn es sich in Ruhe befindet
E0 = m0 c
2
• Energie des Teilchens, wenn es sich bewegt:
E = mc = ! m0 c
2
2
4.4 Die kinetische Energie
• Die zusätzliche Energie, die ein Teilchen gewinnt, wenn es sich bewegt,
ist seine kinetische Energie:
Ekin = E ! E0 = mc ! m0 c = " m0 c ! m0 c
2
2
2
= (" ! 1) m0 c 2
2
1 v2
#1+
• Für ein langsam bewegtes Teilchen, gilt ! =
2
2
2
2
c
1" v / c
1
1
1 ! v2 / c2
Die Gesamtenergie:
E = mc 2 = ! m0 c 2
#
= m0 c %
$
2
1
1" v / c
2
&
2 (
'
2
#
&
v
2
) m0 c % 1 + 2 (
2c '
$
genaue Gleichung
genäherte Gleichung
2
#
&
v
2
2
) m0 c + m0 c % 2 (
$ 2c '
1
) m0 c + m0 v 2
2
2
Ruheenergie
Kinetische Energie für langsam bewegtes Teilchen
Beispiele
A. Wir betrachten eine Gewehrkugel der Masse 10 g, die sich mit einer
Geschwindigkeit von 300 Meter pro Sekunde bewegt.
"
Gewehrkugel m=10 g, v= 300 m/s
"
Kinetische Energie (genäherte Gleichung)
E kin
"
Energie der Ruhemasse:
1
! m0 v 2 = 450 Joule
2
E 0 = m0c 2 ! 9 " 1014 Joule = 900 TJ
"
Vergleich mit:
"
Atombombe (letzter Weltkrieg) !60 TJ
"
Moderne Atombombe !84000 TJ (USA,1954)
B. Brennen der Sonne
"
4x1026 Joule pro Sekunde
"
Brennrate der Masse !6x1011 kg pro Sekunde = 600 Gkg / s
"
Gesamte Masse der Sonne ! 2x1030 kg
4.5 Potentielle Energie der Gravitation
• Wir wollen nun das Konzept der potentiellen Energie
einführen. Als einfachstes Beispiel wählen wir zuerst
die Gravitationskraft.
• Demonstrationsexperiment:
! Ein Wassersack der Masse m0 wird vom Boden auf die Höhe
h hochgezogen (Phase I) und anschliessend frei fallen
gelassen (Phase II). Nach dem Fall wird der Wassersack auf
den Boden aufprallen (Phase III).
! Was passiert hier energetisch?
Phasen des Experiments
• Phase I:
! Der Mensch leistet “Arbeit”, um den Wassersack hochzuziehen. Die Arbeit
nimmt mit der Höhe zu. Schliesslich, wenn der Wassersack eine Höhe h
erreicht, ist die gesamte Arbeit im Wassersack gespeichert. Diese wird als
potentielle Energie des Wassersackes bezeichnet.
• Phase II:
! Diese Phase ist der freie Fall des Wassersacks wegen der Gravitationskraft
der Erde. Die potentielle Energie wird sukzessive umgewandelt in kinetische
Energie.
• Phase III:
! Der Wassersack landet auf dem Boden. Die gesamte Masse (Wassersack und
Wasser) befinden sich nun in Ruhe. Wo ist die gesamte Energie geblieben?
! (a) Der Knall beim Aufprall des Wassersackes am Boden zeigt, dass ein Teil
der Energie in Schallenergie umgewandelt wurde.
! (b) Der andere Teil wurde in andere Formen umgewandelt, wie z.B.
Wärmeenergie, Bodendeformationsenergie, usw...
• Die Summe der verschiedenenen Formen von Energie wurde erhalten.
Quantitative Herleitung (I)
•
Wir betrachten den Wassersack, der von einer Höhe h frei fallen gelassen wird.
! Punkt (1): Bevor der Körper losgelassen wird, befindet sich der Sack in Ruhe (v1=0).
Deshalb besitzt er keine kinetische Energie.
! Punkt (2): Bevor er auf dem Boden landet, bewegt sich der Sack mit der
Geschwindigkeit v2 und besitzt die kinetische Energie.
Quantitative Herleitung (II)
•
Wir suchen die zusätzliche Form der Energie, d.h. potentielle Energie, die im
Wassersack gespeichert ist, wenn er auf eine Höhe h gehoben wird.
! Die potentielle Energie hängt von der Position (d.h. der Höhe) des Wassersackes ab.
•
Die gesamte Energie (die Summe der kinetischen und der potentiellen Energien)
wird während des Falls erhalten.
! Wenn der Luftwiderstand vernachlässigt wird, kann die gesamte Energie als die Summe
der kinetischen und potentiellen Energie des Wassersackes betrachtet werden.
•
Die potentielle Energie wird sich in kinetische Energie umwandeln während des
Falls des Wassersacks.
potentielle Energie ! 0
potentielle Energie = 0
Berechnung der potentiellen Energie:
Gleichförmig beschleunigte Bewegung: v 2 = gt
Damit
und
h=
1 2
gt
2
2
1 ! v2 $
v22
1 2
h = g# & =
' v2 = gh
2 " g%
2g
2
Wenn wir diese Gleichung mit m0 multiplizieren:
1
m0 v22 = m0 gh
2
Kinetische Energie
Potentielle Energie
Definition: Die potentielle Energie der Gravitations eines Körpers,
der sich auf einer Höhe h befindet, ist gleich
E pot (h) = m0 gh
potentielle Energie = m0gh
Punkt (1) : E1 = m0 c 2 + m0 gh
potentielle Energie = 0
1
Punkt (2) : E2 = m0 c + m0 v22
2
2
Energieerhaltung (Luftwiderstand vernachlässigbar):
1
2
E1 = m0 c + m0 gh = E 2 = m0 c + m0v 2
2
2
2
Die Gesamtenergie E des Körpers in einem beliebigen Punkt der Höhe h ist
gleich
1
2
E= m
c
+
m
v
+ m
0
0
0 gh
!
"
#
$
2
"
#
$
Ruhemasse
2
kinetische
potentielle
Energieerhaltung: E=Konst.
Beim freien Fall des Körpers wird sich die potentielle Energie in kinetische
Energie umwandeln. Die Ruhemasse ändert sich nicht und kann weggelassen
werden:
1
E = m0 v 2 + m0 gh
2
(ohne Ruhemasse)
Der absolute Wert der Energie ist nicht wichtig. Die Erhaltung
der Energie sagt nur voraus, dass wenn eine Form der Energie
eines Körpers sich ändert, muss eine andere Form der Energie
sich um denselben Betrag aber entgegengesetzem Vorzeichen
ändern, so dass die Summe sich nicht ändert.
Man spricht von Energieaustausch zwischen verschiedenen
Formen der Energie.
4.6 Anwendung: Energieerhaltung
• Bewegung eines Balls um eine Schleife
! Wir betrachten einen Ball, der sich um die gezeigte Schleife bewegen kann.
Der Ball bewegt sich ohne zu rollen und gleitet ohne Reibung. Seine
Ausdehnung ist vernachlässigbar.
! Die Geschwindigkeit des Balls nimmt zu, wenn er sich abwärts bewegt.
! Was ist die mindeste Höhe, von der der Ball starten sollte, um die Schleife
erfolgreich zu beenden ?
Die Kräfte, die auf den Ball in verschiedenen Punkten der Bahn wirken:
(1) Die Gravitationskraft zeigt immer nach unten
(2) Die Normalkraft ist senkrecht zur Bahn, hängt von der
Positions ab
Punkt A
Beobachtung: Am höchsten Punkt der Schleife zeigen die
Gravitationskraft und die Normalkraft in dieselbe Richtung und
nach unten.
Am höchsten Punkt der Schleife:
2
v
N + mg = ma = m
R
Beschleunigung eines
Körpers, der auf einem
Kreis mit Geschwindigkeit
v bewegt
Die minimale Geschwindigkeit des Balls entspricht einer
verschwindenden Normalkraft: N=0
v2
mg = m
R
v = gR
Wenn die Geschwindigkeit des Balls kleiner als v ist, wird sich
der Ball vom Kreis lösen.
Benögtigte Höhe h um die minimale Geschwindigkeit zu erreichen:
1
Punkt A: E A = m! A2 + mgh = 0 + mgh
2
2
1
1
5
Punkt B: E B = m gR + mg(2R) = mgR + 2mgR = mgR
2
2
2
(
)
5
h= R
2
5
2
Energieerhaltung: EA = mgh = EB = mgR
Punkt A
h
2R
R
4.7 Die Arbeit, die eine Kraft leistet
• Die Arbeit, die eine Kraft an einem Körper leistet, ist gleich dem
Produkt der Komponente der Kraft längs der Verschiebung und
der Verschiebung
! !
W = F ! "r
wobei #r = Verschiebungsvektor
• Die Arbeit kann auch so definiert werden
W = F!r cos"
wobei $ der Winkel zwischen dem Kraftvektor und dem
Verschiebungsvektor ist.
• Die Einheit ist das Joule. Arbeit und Energie besitzen dieselbe
Einheit:
m2
! kg.m #
1 N.m = 1
.m = 1 kg 2 = 1 J
2
" s
$
s
Die Arbeit ist eine Zahl. Sie nimmt einen positiven Wert an,
wenn die Kraft und die Verschiebung in dieselbe Richtung
zeigen, und einen negativen Wert, wenn sie entgegengesezte
Richtungen haben.
Arbeit in mehreren Dimensionen
• Die gesamte zwischen den Punkten 1 und 2 geleistete Arbeit
W12 = Linienintegral von dW entlang der Bahn zwischen den
Punkten 1 und 2
!
r2
!
r2
!
r1
!
r1
! ! !
W1 2 = ! dW = ! F (r ) " dr
Die Arbeit, die die
Kraft leistet, wird
berechnet entlang der
gewählten Bahn
zwischen Punkt (1) und
(2)
Die Kraft hängt von
der Position ab
Die Bahn zwischen den zwei Punkten 1 und 2 wird in
differentielle Strecken dr unterteilt, entlang denen die Kraft als
konstant betrachtet werden kann.
Die geleistete Arbeit
entlang dieser differentiellen Strecke
! dW
ist gleich dW = F ! d!
r
Die gesamte Arbeit zwischen Punkten (1) und (2) ist gleich der
Summe der einzelnen differentiellen Arbeiten dW.
!
dr
!
r2
!
r2
!
r1
!
r1
! ! !
W1 2 = ! dW = ! F (r ) " dr
Anwendung: Arbeit der Gewichtskraft
• Die Gravitationskraft (Gewicht) ist in vektorieller Form:
! !
!
!
F (r ) = mg = ! (mg)ey
!
!
!
wobei r = x ex + ye y und g > 0
wobei die y-Achse in die vertikale Richtung und nach oben zeigt.
• Die von der Gewichtskraft geleistete Arbeit:
!
r2
!
r2
!
r2
!
r1
!
r1
!
r1
! !
!
! !
! !
W12 = " F ( r )! dr = " mg ! dr = m" g ! dr
• Integral ist eine Summe: Distributivgesetz des Skalarprodukts
!
r2
!
r2
!
r1
!
r1
! !
!
!
m" g ! dr = mg ! " dr
Linienintegral der
differentiellen Strecke
Wir betrachten einen bestimmten Weg zwischen (1) und (2):
!
r2
2
A
2
!
r1
1
1
A
!
!
!
!
Es gilt: ! dr " ! dr = ! dr + ! dr
!
dr = (dx, 0)
Zwischen (1) und (A): Weg ist entlang x-Richtung
Zwischen (A) und (2): Weg ist entlang y-Richtung
2
A
2
1
1
A
!
dr = (0, dy)
!
!
!
!
! ! !
d
r
=
d
r
+
d
r
=
(x
"
x
)
e
+
(y
"
y
)
e
2
1 x
2
1 y = r2 " r1
!
! !
!
r2
! ! !
! dr = r2 " r1
!
r1
Diese Herleitung gilt für eine beliebige Strecke, weil wir eine Strecke immer
in eine Anzahl von nur horizontalen und nur vertikalen Verschiebungen
unterteilen können.
Damit ist die von! der Gewichtskraft geleistete Arbeit gleich:
r2
! !
!
! ! !
W12 = " F ( r )! dr = mg ! (r2 # r1 )
!
r1
(
(
)
!
!
!
= #mg ey ! ((x 2 # x1 )ex + (y 2 # y1 )e y )
! !
! !
= #mg( x 2 # x1 )ey ! ex + # mg(y 2 # y1 )e y ! e y
) (
)
=0
W12 = !mg(y2 ! y1 )
y1= Höhe des Anfangspunkts
y2 = Höhe des Endpunkts
y2-y1 = Unterschied zwischen den
Höhen der beiden Endpunkte
Erklärung des Vorzeichens:
•Für den freien Fall (y1=h, y2=0), hat die geleistete Arbeit einen positiven Wert, weil die
nach unten gerichtete Gewichtskraft und die Verschiebung von y=h bis y=0 in dieselbe
Richtung zeigen.
•Wenn der Ball vom Boden auf die Höhe h hochgezogen wird (y1=0, y2=h), hat die geleistete
Arbeit einen negativen Wert, weil in diesem Fall die Gewichtskraft entgegengesetzt der
Bewegung ist (d.h. man muss ziehen, um den Ball hochzuheben.)
Anwendung: Arbeit der Federkraft
• Hooksches Gesetz mit Ursprung der x-Achse in der Gleichgewichtslage
der Feder:
F(x) = !kx
• Arbeit in einer Dimension:
x2
x2
1
2
2
W1 2 = ! F(x)dx = "k ! xdx = " k(x 2 " x1 )
2
x1
x1
Damit:
1
2
2
W12 = ! k(x 2 ! x1 )
2
Arbeit der Federkraft: Bemerkungen (I)
• Arbeit:
• Wenn x2>x1>0:
1
2
2
W12 = ! k(x 2 ! x1 )
2
! Die Feder wird nach der Bewegung mehr ausgezogen sein.
! Die Federkraft wirkt der Bewegung entgegen.
! Die Bewegung und die Federkraft zeigen in entgegengesetzer
Richtung.
! Die von der Kraft geleistete Arbeit ist negativ
• Wenn 0<x2<x1:
! Die Feder wird nach der Bewegung weniger ausgezogen sein.
! Die Federkraft wirkt in die Richtung der Bewegung.
! Die Bewegung und die Federkraft zeigen in dieselbe Richtung.
! Die von der Kraft geleistete Arbeit ist positiv
Arbeit der Federkraft: Bemerkungen (II)
• Arbeit:
1
2
2
W12 = ! k(x 2 ! x1 )
2
• Im Allgemeinen können x1 und x2 positive und negative Werte
annehmen
! nämlich für ausgezogene oder zusammengedrückte Situationen der
Feder.
• Die resultierende Arbeit kann positiv oder negativ sein.
! Sie hängt vom Unterschied der Quadrate der Anfangs- und
Endverschiebungen ab
• Beispiel:
x1 = +a
x2 = ! a
ausgezogene Feder
zusammengedrückte Feder
1
W12 = ! k((!a)2 ! (+ a)2 ) = 0
2
Zwischen x=a und x=0 wirkt die Kraft in die Richtung der Bewegung:
dW>0. Zwischen x=0 und x=–a wirkt die Kraft der Bewegung entgegen:
dW<0. Die beiden Beiträge zur Arbeit kompensieren einander genau.
4.8 Allgemeine potentielle Energie
• Wir haben die Arbeit der Gravitationskraft und der Federkraft
betrachtet.
• In beiden Fällen ist die von der Kraft geleistete Arbeit
unabhängig vom zurückgelegten Weg
• Die von dieser Art von Kräften geleistete Arbeit hängt nur vom
Anfangs- und Endpunkt der Bahn ab
W12 = !mg( y 2 ! y1 )
1
2
2
W12 = ! k(x 2 ! x1 )
2
Arbeit und potentielle Energie
Die von der Gewichtskraft geleistete Arbeit entlang des Weges A und
des Weges B ist gleich. Sie ist vom Weg „unabhängig“!
Zusätzlich bemerken wir, dass wenn ein
Körper auf eine Höhe h hochgezogen wird,
hat die von der Gravitationskraft geleistete
Arbeit einen negativen Wert. Man muss
ziehen, um den Körper hochzuziehen!
Wir sagen, dass diese Arbeit (Energie) im
Körper als potentielle Energie der
Gravitation gespeichert wird.
Die zwischen Anfangs- und Endpunkt von der Kraft geleistete
Arbeit ist gleich der Änderung einer entsprechenden potentiellen
Energie zwischen diesen Punkten. Die potentielle Energie hängt
nur von der Position des Punkts ab, und nicht wie dieser Punkt
erreicht wurde.
Allgemeine potentielle Energie
• Wenn die von der Kraft geleistete Arbeit unabhängig vom
zurückgelegten Weg ist, kann die Arbeit als der Unterschied der
potentiellen Energie in den Anfangs- und Endpunkten definiert
werden:
W12 = !( E pot (2) ! E pot (1))
• Definition: Die zwischen Anfangs- und Endpunkt von der Kraft
geleistete Arbeit ist gleich der negativen Änderung der
entsprechenden potentiellen Energie zwischen diesen Punkten:
!
r2
! !
!
!
!
W12 = " F ( r )! dr # $ E pot ( r2 ) $ E pot ( r1 ) # $%E pot
!
r1
(
)
Beachte das negative Vorzeichen!
Anwendung
• Potentielle Energie der Gravitationskraft
W12 = !( E pot (h2 ) ! E pot (h1 )) = !mg(h 2 ! h1 )
E pot (h) = mgh
Wenn h2 > h1, dann W12 <0 (wie erwartet)
• Potentielle Energie der Federkraft
1
2
2
W12 = !( E pot (x 2 ) ! E pot (x1 )) = ! k(x 2 ! x1 )
2
1 2
E pot (x) = kx
2
Konservative und nicht-konservative Kräfte
1. Konservative Kräfte
•
Z.B. die Gravitationskraft oder die Federkraft.
•
Die geleistete Arbeit entlang einem geschlossenen Weg ist gleich
null.
•
Für diese Art von Kräften können wir eine entsprechende
potentielle Energie der Kraft definieren.
2. Nicht-konservative Kräfte
•
Z.B. die Reibungskräfte.
•
Die von einer Reibungskraft geleistete Arbeit hängt vom Weg ab. Je
weiter wir einen Körper bewegen, der eine Reibungskraft spürt,
desto mehr Arbeit wird geleistet.
•
Wenn wir den Körper an den Anfangspunkt zurückbringen, ist die
von der Reibungskraft geleistete Arbeit nicht gleich null.
•
In diesem Fall kann keine entsprechende potentielle Energie der
Kraft definiert werden.
Zusammenfassend
• Eine potentielle Energie kann nur definiert werden,
wenn die von der Kraft geleistete Arbeit nur vom
Anfangs- und Endpunkt abhängt.
• Es folgt daraus, dass nur für konservative Kräfte eine
potentielle Energie definiert werden kann.
4.9 Das Arbeit-Energie Theorem
• Wichtige Beziehung zwischen der Änderung der kinetischen
Energie eines Körpers und der resultierenden Kraft, die auf ihn
wirkt.
Diese Beziehung gilt für konservative und nicht-konservative
Kräfte.
Physikalische Bedeutung: Zweites Newtonsches Gesetz: Die Kraft,
die auf einen Körper wirkt, ist für die Änderung seiner
Geschwindigkeit verantwortlich.
Vektorielle Herleitung
!
r2
!
r2
!
r2
!
! !
! !
dv !
"! F ! dr = m "! a ! dr = m"! dt ! dr
r1
r1
r1
• Newtonsches Gesetz
• Der Verschiebungsvektor kann als Funktion des
Geschwindigkeitsvektors ausgedrückt
! werden:
!
! !
dr = v dt
!
dv !
dv !
" dr =
" v dt
dt
dt
• Vektorielle Identität (Siehe Kap. 1.5):
!
d !2
d ! !
! da
(
)
a
=
a
!
a
=
2
a
!
(
)
dt
dt
dt
• Damit
!
d !2
! dv
v ) = 2v !
(
dt
dt
"
• Wir erhalten:
!
r2
!
r2
1
1
!
!
dv !
dv !
1 d !2
! dr =
! v dt =
v )dt
(
dt
dt
2 dt
!
!
t2
v (t 2 )
! !
dv !
1 d !2
1 !2
1 !2 1 !2
"!r F ! dr = m "r! dt ! dr = m"t 2 dt (v )dt = 2 mv v!(t ) = 2 mv 2 # 2 mv1
1
1
4.10 Die mechanische Energie
• Definition: Die mechanische Energie ist die Summe
der kinetischen und potentiellen Energien eines
Körpers
Emech = Ekin + E pot
• Theorem 1: Die mechanische Energie eines Körpers
wird erhalten, wenn nur konservative Kräfte auf ihn
wirken.
• Theorem 2: Die Änderung der mechanischen Energie
eines Körpers ist gleich der Arbeit, die von nichtkonservativen Kräften an ihm geleistet wird.
4.11 Anwendung: Arbeit-Energie-Theorem
Die Fluchtgeschwindigkeit eines Körpers
! Die Fluchtgeschwindigkeit ist die minimale Geschwindigkeit, mit
der ein Körper von der Erde abgeschossen werden muss, um das
Unendliche zu erreichen (wir nehmen an, dass die Wechselwirkung
mit anderen Planeten, Sternen, Galaxien vernachlässigbar ist).
!
!
GMm r
Die einzige wirkende Kraft: F = ! 2
r r
M=Masse der Erde
Ursprung = Zentrum der Erde
Wir kennen die Bahnkurve des Körpers nicht genau. Wir können
trotzdem die differentielle Strecke mit Hilfe der Kugelkoordinaten
ausdrücken (in zwei Dimensionen)
!
! !
!
!
!
dr !
der dr !
d! !
dr = v dt = drer + (rd! )e!
v (t) = er + r
= er + r
e!
dt
dt dt
dt
!
! ! !
1 r
1 !
!
!
!
!
dW = F(r ) ! dr = "GMm 2 ! drer + ( rd# ) e# = "GMm 2 er ! drer + ( rd# ) e#
r r
r
1
= "GMm 2 dr
r
(
)
(
Die geleistete Arbeit hängt nur von der radialen Bewegung des
Körpers über die Strecke ab.
Obwohl der Körper sich in die radiale und die Richtung senkrecht
dazu bewegt, ist die von der Gravitationskraft geleistete Arbeit
gleich der Projektion der Verschiebung auf die radiale Richtung
mal die Kraft.
)
Mit dem Arbeit-Energie-Theorem:
!
!
r
r
1 !2 1 !2
1 r !
dr
$ 1'
mv2 ! mv1 = !GMm # 2 " dr = !GMm # 2 = ! GMm & ! )
% r(
! r r
2
2
r
r
r
2
2
r2
1
1
r1
$ 1 1'
= +GMm & ! )
% r2 r1 (
Fluchtgeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit des Körpers
verschwindet, wenn er das “Unendliche” erreicht:
#1 1&
1 !2
1
! mv E = GMm % ! ( = !GMm
2
$ " rE '
rE
Anfangsradius = Radius der Erde
v E = 2grE ! 11 km / s
Beziehung zwischen Kraft und potentieller Energie
• Definition der potentiellen Energie:
!E pot
!
r2
! !
!
!
= E pot (r2 ) " E pot ( r1 ) = "W12 = " $ F # dr
!
r1
• Für eine infinitesimale Strecke:
dE pot
! !
= ! F " dr
• Wenn z.B. die Kraft nur in die x-Richtung wirkt:
dE pot
! !
!
!
!
!
= !Fxe x " dr = !Fxe x "(dx ex + dyey + dze z ) = !Fx dx
• Die Kraft ist damit die negative Ableitung der potentiellen
Energie nach der räumlichen Koordinate:
Fx = !
dE pot
dx
In mehreren Dimensionen?
(1-dimensional)
Partielle Ableitungen (I)
• Wir betrachten eine Funktion f(x,y), die von zwei Variablen abhängt.
! Wenn y konstant gehalten wird, ist die Änderung der Funktion entlang x
gleich:
df
entlang dx
!f (x, y) %
f (x + !x, y) ' f (x, y)%
#
#
= $ lim
dx = $ lim
dx
&
&
!x"0
!
x"
0
!x
!x
• Wenn x konstant gehalten wird, ist die Änderung der Funktion entlang
y gleich:
df
entlang dy
#
#
!f (x, y) &
f (x,y + !y) ) f (x, y)&
= % lim
( dy = % !lim
( dy
!y"0
x"
0
$
!y '
$
!y
'
• Die partielle Ableitung einer Funktion, die von mehreren
Variablen abhängt, ist die Ableitung nach einer Variablen, wenn
die anderen konstant bleiben
df
entlang dx
" !f (x,y) $
=#
dx
%
!x
und
df
entlang dy
" !f (x,y) $
=&
' dy
# !y %
Partielle Ableitung (II)
• Wir betrachten nun die Situation, wobei beide Variablen, x und
y, sich ändern. Die gesamte Änderung der Funktion ist in
diesem Fall gleich
!f = f (x + !x,y + !y) " f (x,y)
• Wir können die Änderung so ausdrücken
!f = f (x + !x,y + !y) " f (x,y)+
(x,
+#
!y)
"#
f#
(x,y
+#
!y)
!f#
#y#
#"
##
$
=0
= f (x + !x,y + !y) " f (x,y + !y) + f (x,y + !y) " f (x, y)
$ #f (x,y)&
$ #f (x, y + !y) &
=
!x + (
!y
)
%
'
% #y '
#x
Partielle Ableitung (III)
• Wir definieren die differentielle Änderung der Funktion f(x,y) als
" !f (x,y) $
" !f (x, y)$
df = #
dx
+
dy
&
'
!x %
# !y %
• Wenn wir den Grenzwert #x%0 und #y%0 berechnen, dann gilt:
# "f (x, y) &
# "f (x, y + !y) &
!f = %
!x
+
!y
(
%
(
$
'
$ "y '
"x
!f " df
Beziehung zwischen Kraft und potentieller Energie
• Definition:
W12 = !"E pot
(
!
!
= ! E pot (r2 ) ! E pot ( r1 )
)
• Für eine infinitesimale Verschiebungen
! !
= ! F " dr
dE pot
!
!
!
!
• Mit der Kraft: F = Fx ex + Fye y + Fzez
• Wir erhalten:
dE pot
(
)
= ! (F dx + F dy + F dz)
= (!F ) dx + (! F )dy + (! F ) dz
!
!
!
!
!
!
= ! Fxe x + Fye y + Fzez " (dx ex + dyey + dze z )
x
x
y
z
y
z
Beziehung zwischen Kraft und potentieller Energie
• Die differentielle Änderung der potentiellen Energie kann aber
auch als der Unterschied zwischen den potentiellen Energien in
zwei benachbarten Punkten geschrieben werden
dE pot = E pot (x + dx,y + dy,z + dz) ! E pot (x,y,z)
• Mit Hilfe der partiellen Ableitungen:
dE pot
" !E pot (x, y,z)%
" !E pot (x,y,z) %
" !E pot (x,y,z)%
=$
' dx + $
' dy + $
' dz
#
!x
&
#
!y
&
#
!z
&
Vergleich mit
" !f (x,y) $
" !f (x, y)$
df = #
dx + &
' dy
%
!x
# !y %
Beziehung zwischen Kraft und potentieller Energie
• Schliesslich:
dE pot
( )
dE pot = (!Fx ) dx + ! Fy dy + (! Fz ) dz
" !E pot (x, y,z)%
" !E pot (x,y,z) %
" !E pot (x,y,z)%
=$
' dx + $
' dy + $
' dz
#
!x
&
#
!y
&
#
!z
&
# "E pot (x,y,z) &
# "E pot (x, y,z) &
# "E pot (x,y,z)&
Fx = !%
( , Fy = ! %
( , Fz = ! %
(
$
"x
'
$
"y
'
$
"z
'
Die Kraft ist durch die partiellen Ableitungen der potentiellen
Energie Epot(x,y,z) nach den drei Raumkoordinaten gegeben
!
# "E pot ! "E pot ! "E pot ! &
F = !%
ex +
ey +
e z(
$ "x
"y
"z
'
Beispiel
• Gravitationskraft in der Nähe der Erdoberfläche
! Die potentielle Energie in der Nähe der Erdoberfläche
E pot (x,y,z) = mgz
wobei z die vertikale Koordinate (d.h. die Höhe) ist.
• Die entsprechende Gravitationskraft ist
!
# " !
" !
" !&
F = ! % ex + ey + ez ( ( mgz )
$ "x
"y
"z '
# "z ! "z ! "z ! &
= !mg % ex + ey + ez (
$ "x
"y
"z '
!
= !mgez
Der Gradient
• Der Gradient einer Funktion von mehreren Variablen entspricht
der Ableitung der Funktion nach den Variablen:
! # !
# !
# !
! " e x + ey + ez
#x
#y
#z
• Die Wirkung des Nabla-Operators auf eine Funktion f:
!
#f ! #f ! #f !
! f (x,y,z) "
ex + ey + e z
#x
#y
#z
• Damit ist die Kraft gleich dem negativen Gradient der
potentiellen Energie
!
!
F = ! "E pot
Die geometrische Interpretation des
Gradienten
• Wir betrachten die Bewegung eines Körper, auf den nur
konservative Kräfte wirken.
! Diese Kräfte können durch eine potentielle Energie dargestellt
werden.
• Wenn der Körper sich eine Strecke dr=(dx,dy,dz) bewegt,
ändert sich seine potentielle Energie
dE pot = E pot (x + dx,y + dy,z + dz) ! E pot (x,y,z)
"E pot
"E pot
"E pot
=
dx +
dy +
dz
"x
"y
"z
!
= # E pot $(dx,dy,dz)
!
!
= # E pot $ dr
Die geometrische Interpretation des
Gradienten
!
dE pot
!
= ! E pot " dr
• Wenn die Verschiebung in dieselbe Richtung wie der Gradient
zeigt, ist die Änderung der potentiellen Energie positiv, und die
potentielle Energie des Körpers wird zunehmen.
• Wenn die Verschiebung senkrecht zum Gradient zeigt, ist die
Änderung der potentiellen Energie gleich null, und die potentielle
Energie des Körpers wird konstant bleiben.
• Wenn die Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung des
Gradienten zeigt, ist die Änderung der potentiellen Energie
negativ, und die potentielle Energie des Körpers wird
abnehmen.
Der Gradient zeigt in die Richtung der maximalen
Änderung der potentiellen Energie.
4.13 Allgemeine potentielle Energie der
Gravitationskraft
• In der Nähe der Erdoberfläche gilt
E pot (x,y,z) = mgz
wobei z die Höhe ist.
• Die allgemeine potentielle Energie, die der Gravitationskraft
entspricht, ist gleich
!
GMm
GMm
Epot (r ) = ! ! = !
r
r