Trigonometrie

Trigonometrie
1. Winkel: Gradmaß oder Bogenmaß
In der Schule lernt man, dass Winkel im Gradmass, also als Zahlen zwischen 0
und 360 Grad angegeben werden. In der Mathematik arbeitet man lieber mit dem
Bogenmaß, das eine reelle Zahl ist. Betrachtet man einen Kreis mit Radius 1, so
ist sein Umfang gleich 2π. Wenn wir einen Winkel betrachten, dessen Scheitelpunkt
der Mittelpunkt des Kreises ist, dann ist der Winkel zur Länge des entsprechenden
Bogens direkt proportional. Wenn G das Gradmaß ist und L die Länge des Bogens,
dann ist:
G◦
B
◦ =
360
2π
Diese Proportionalität erlaubt die Umrechnung von Gradmass in Bogenmass (besser
diese Proportionalität verstehen als auswendig lernen).
Beispiele: Der Vollwinkel ist 360◦
2π, der gestreckte Winkel ist 180◦
π, der
π
π
◦
◦
rechte winkel 90
,
die
Winkel
eines
gleichseitgen
Dreiecks
sind
60
.
2
3
2
In der Abbildung: der Winkel 120◦ (Gradenmaß) ist 2π
=
π
(Bogenmaß).
3
3
2π
R
3
2π
3
2π
3
R
2π
3
1
2. Trigonometrie
In einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten a, b und Hypothenuse c gilt der
Satz von Pythagoras: a2 + b2 = c2 .
1
2
B
β
c
a
γ
α
C
b
A
Seien α, β, γ die Winkel, welche sich gegenüber der Strecken a, c, b befinden. Man
definiert Sinus und Kosinus als
Gegenkathete des Winkels
Hypotenuse
Ankathete des Winkels
Kosinus eines Winkels =
Hypotenuse
Sinus
Gegenkathete des Winkels
Tangens eines Winkels =
=
Kosinus
Ankathete des Winkels
Und dann:
Sinus eines Winkels =
b
a
= sin(α) = cos(β)
= sin(β) = cos(α)
c
c
a
b
= tan(α)
= tan(β)
b
a
Zusätzliche Anmerkung: aus dem Satz von Pythagoras (a2 +b2 = c2 ) folgt sin2 (α)+
cos2 (α) = 1: einfach algebraisch umformen.
Wenn man mit rechtwinkligen Dreiecken umgehen kann, kann man auch allgemeine
Dreiecke betrachten (die Höhe erlaubt ein Dreieck durch zwei rechtwinklige Dreiecke
zu beschreiben). Und wenn man mit Dreiecken umgehen kann, kann man auch Quadrate, Rechtecke, Rauten, Parallelogramme und allgemeiner Polygone betrachten.
Am besten ein Problem in einfachere Probleme zerlegen.
3. Winkel in R
Die Konvention ist: Drehungen im Gegenuhrzeigersinn entsprechen positiven Winkeln und Drehungen im Uhrzeigersinn entsprechen negativen Winkeln.
Ein Winkel in R beschreibt die Drehung eines Rads: 2π
1 Drehung, 8π
4 Drehungen, 3π
eineinhalb Drehungen, −2π
1 Drehung in Uhrzeigersinn. Vielfache
von 2π entsprechen vollen Drehungen (d.h. derselben Ausrichtung des Rads). Man
identifiziert oft
0 ≡ 2π ≡ 8π ≡ −12π,
π ≡ 3π ≡ −7π
3
Beispiele: − π2 ≡ 32 π, −π ≡ π.
Beispiel mit der Uhr: Sagen wir z.B., dass jetzt es 12:00 Uhr ist. Wieviel Uhr wird
es in 312 Minuten sein? 312/60 = 5, 2 also 312 = 60 · 5 + 12 also wir müssen 5
Stunden addieren (17 Uhr) und dann noch 12 Minuten addieren, d.h. es wird 17 : 12
Uhr sein. Die Lage des Minutenzeigers wird sich um 12 Minuten ändern, d.h. wird
im Uhrzeigersinn mit Winkel G◦
B gedreht, wobei
12
G◦
B
=
◦ =
60
360
2π
2
◦
◦
d.h. G = 72 , B = 5 π (mit negativem Vorzeichen, da die Drehung im Uhrzeigersinn
ist). Trotzdem wird sich der Minutenzeiger mehr bewegt haben, und zwar hat die
π (mit negativem Vorzeichen, da die Drehung im
Drehung den Winkel 10π + 52 π = 52
5
Uhrzeigersinn ist).
4. Die geometrische Definition der Sinusfunktion und der
Kosinusfunktion
y
1
1
2
P = (cos α, sin α)
sin α
α
−1
cos α
− 12
x
1
− 21
−1
Nehmen wir den Einheitskreis in der Ebene, mit Basispunkt (1, 0). Dann können
wir einen Winkel α in [0, 2π) durch einen zweiten Punkt P = (xP , yP ) auf dem
Einheitskreis beschreiben: die Winkel ist der mit Bogenlänge α, also mit dem Bogen
zwischen (1, 0) und P im Gegenuhrzeigersinn. Der Punkt P liegt auf der Einheitskreis
x2 + y 2 = 1 also gilt x2P + yP2 = 1. Ausserdem gelten
−1 ≤ xP ≤ 1
− 1 ≤ yP ≤ 1
(diese folgen aus der Gleichung, aber sind auch graphisch klar).
4
Eine Definition für Sinus und Kosinus ist dann:
sin : [0, 2π) → [−1, 1]
sin(α) = yP
cos : [0, 2π) → [−1, 1]
cos(α) = xP
Also ist für einen Winkel α der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis P =
(cos(α), sin(α)). Wir haben (2π ∼ 2 · 3, 14 = 6, 28):
y = cos(x)
y = sin(x)
1
1
1
2
3
4
5
6
7
−1
1
2
3
4
5
6
7
−1
Man betrachtet die Fortsetzung der obigen Funktionen auf R: der Graph wiederholt
sich periodisch
sin : R → [−1, 1]
cos : R → [−1, 1]
1
1
−1
−1
Diese Definition mittels eines Punktes auf dem Einheitskreis, bzw. in dem man
obige Graphen anschaut, erlaubt leicht, die folgenden Gleichungen zu verstehen:
• cos(−x) = cos(x)
• sin(−x) = − sin(x)
• cos(x + π) = − cos(x)
5
• sin(x + π) = − sin(x)
• cos(π − x) = − cos(x)
• sin(π − x) = sin(x)
Insbesondere ist die Sinusfunktion ungerade und die Kosinusfunktion gerade. Es
gibt viele weitere trigonometrische Formeln (siehe Formelsammlungen).
Wichtig ist vor allem die schon erwähnte Formel:
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
die ermöglicht, die eine Funktion aus der anderen (bis auf das Vorzeichen) zu berechnen und
cos(x) = sin(x +
π
)
2
d.h. der eine Graph ist einfach eine Translation des anderen.
Die Funktionen Sinus und Kosinus sind periodisch mit minimaler Periode 2π.
Zwei Winkel in [0, 2π) sind genau dann gleich, wenn sie denselben Sinus und denselben Kosinus haben. Zwei Winkel in R mit demselben Sinus und demselben Kosinus
unterscheiden sich um ein Vielfaches von 2π.
5. Tangens
Die Tangensfunktion wird definiert als tan(x) =
Nullstellen des Kosinus wohldefiniert.
sin(x)
.
cos(x)
Diese ist ausserhalb der
• Die Tangensfunktion ist periodisch mit minimaler Periode π
• limx→− π + tan(x) = −∞ limx→ π − tan(x) = +∞
2
2
• die Tangensfunktion ist auf (− π2 , π2 ) streng monoton wachsend.
6
y
y
π
2
x
x