Strahlensätze und Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Trigonometrie
Die Strahlensätze
Mit Hilfe der Strahlensätze lässt sich ein einfacher Zugang zur Trigonometrie finden. Deswegen werden
sie an dieser Stelle kurz zusammengefasst.
Erster Strahlensatz: Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf
dem anderen Strahl.
Beweis: Wir definieren eine zentrische Streckung ZS,k mit dem Streckzentrum in S und dem
Streckfaktor k. Es ist eine wichtige Eigenschaft von
zentrischen Streckungen ist, dass Geraden immer
auf parallele Geraden abgebildet werden. Sei ZS,k
so, dass g in g' überführt wird.
Dies bedeutet aber für die Strahlenabschnitte:
s1 ⋅ k = (s1 + t1) oder k =
s1 + t1
s1
s2 ⋅ k = (s2 + t 2 ) oder k =
s2 + t 2
s2
Setzen wir die beiden Formeln gleich:
s1 + t1 s2 + t 2
t
t
t t
=
⇒ 1+ 1 = 1+ 2 ⇒ 1 = 2
s1
s2
s1
s2
s1 s2
■
Der erste Strahlensatz setzt sich nur mit Abschnitten auf den Strahlen auseinander. Der zweite gibt den
Zusammenhang zu den Abschnitten auf den Parallelen:
Zweiter Strahlensatz: Werden von einem Punkt S ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten,
so verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die von S aus gemessenen entsprechenden
Abschnitte auf jedem Strahl.
Wichtig: Beim zweiten Strahlensatz werden alle Abschnitte stets vom Schnittpunkt S der Strahlen aus
gemessen!
Aufgabe
1.
Beweisen Sie den zweiten Strahlensatz. Fertigen Sie dazu zuerst eine passende Skizze an, in welcher
Sie die relevanten Strecken markieren können. Finden Sie dann jene Strecken, welche durch eine
zentrische Steckung ineinander überführt werden können.
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Trigonometrie
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
1. Definitionen
Wir wissen von den Strahlensätzen her, dass für ähnliche Dreiecke die Quotienten der Seitenlängen
konstant sind. Dies gilt natürlich auch für rechtwinklige Dreiecke:
a a!
=
b b!
und
a a"
=
c c"
und
b b"
=
c c"
€
Bei rechtwinkligen Dreiecken bleiben diese Quotienten konstant, solange wir den Winkel α nicht ver-
€
ändern. Wenn wir aber α vergrössern oder verkleinern, so ändern sich auch die Quotienten. Winkel und
Verhältnisse der Seitenlängen in ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken sind in diesem Sinn miteinander verbunden. Dies rechtfertigt die folgenden Definitionen:
Sinus von α:
sin(α) =
Gegenkathete von α
Hypothenuse
Cosinus von α:
cos(α) =
€
Ankathete von α
Hypothenuse
Tangens von α:
tan(α) =
€
Gegenkathete von α
Ankathete von α
Die Werte von sin(α), cos(α) und tan(α) können Sie für alle Winkel α mit Ihrem Taschenrechner berech€
nen. Beachten Sie, dass das Winkelmass korrekt eingestellt ist (90°-Teilung des rechten Winkel).
Beispiele: sin(30°) = 0.5, cos(30°) = 0.8660, tan(30°) = 0.5774.
Ist umgekehrt der Wert eines Seitenverhältnisses (sin, cos oder tan) bekannt, so liefert Ihnen der Taschenrechner auch den zugehörigen Winkel. Geben Sie den Wert ein und drücken Sie die Arcussinus-,
Arcuscosinus- oder Arcustangens-Taste. Die Befehle können auch sin–1(x), cos–1(x) oder tan–1(x) heissen.
Beispiele: arcsin(0.5) = 30°, arccos(0.5) = 60°, arctan(0.5) = 26.5651°.
Aufgabe
2.
a) Berechnen Sie die Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte zum Winkel α = 50°.
b) Berechnen Sie die möglichen Winkel, wenn das Seitenverhältnis 1/3 beträgt.
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Trigonometrie
2. Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Vom folgenden rechtwinkligen Dreieck seien jeweils zwei Grössen (zusätzlich zum rechten Winkel γ)
gegeben. Alle bezeichneten Grössen können berechnet werden. Es gibt vier verschiedene Aufgaben, die
möglich sind:
a)
Gegeben sind die Katheten a und b.
tan(α) =
!a$
a
⇒ α = arctan # &
b
"b%
α = ....................
α+β = 90° ⇒ β = 90°–α
β = ....................
a2 + b2
c = ....................
c2= a2+b2 ⇒ c =
b)
a = 12.3 cm b = 6.6 cm
Gegeben sind die Kathete a und die Hypothenuse c.
a = 9.7 cm c = 24.0 cm
sin(α) = .................... ⇒ α = ....................
α = ....................
.................... = 90° ⇒ β = ....................
β = ....................
.............................. ⇒ b = ....................
b = ....................
Aufgabe
3.
Bestimmen Sie die fehlenden Grössen. Lösen Sie die Aufgabe zuerst formal und dann für die angegebenen Werte.
a) Gegeben sind die Hypothenuse c = 13.2 cm und der Winkel α = 17.2°.
b) Gegeben sind die Kathete a = 7.2 cm und der Winkel α = 0.01°.
3. Zusammenhänge zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
Wird in der Zeichnung oben die Hypothenuse c gleich 1 gewählt, so finden wir den Sinus von α gerade
als die Länge der Gegenkathete wieder:
sin(α) =
a a
= =a
c 1
Dasselbe gilt auch für cos(α), sin(β) und cos(β). Damit können wir einen ersten Zusammenhang formulieren:
sin(α) = cos(β) , β = 90°–α ⇒ .................... = ....................
cos(α) = sin(β) , β = 90°–α ⇒ .................... = ....................
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Trigonometrie
Den zweiten Zusammenhang erhalten wir mit dem Satz des Pythagoras:
a2+ b2 = c2
⇒
oder mit der Notation (sin(α))2 = sin2(α):
(...............)2+(...............)2 = ..........
............... + ............... = ..........
Drittens können wir den Tangens durch den Sinus und den Cosinus ausdrücken:
tan(α) = .................... = ....................
4. Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte spezieller Winkel
Wollen wir die Werte von Sinus, Cosinus oder Tangens für beliebige Winkel wissen, so müssen wir in
der Regel den Taschenrechner zu Hilfe nehmen. Nur für wenige Winkel lassen sich die Werte einfach berechnen.
α = 30°
Das Dreieck ABD ist gleichseitig.
h2 = .................... = ....................
⇒ h = ..........
sin(30°) = .......... = ..........
cos(30°) = .......... = ..........
tan(30°) = .......... = ..........
α = 45°
ABCD ist ein Quadrat.
Das Dreieck ABC ist .............................. .
b2 = .................... = ....................
⇒ b = ..........
sin(45°) = .......... = ..........
cos(45°) = .......... = ..........
tan(45°) = .......... = ..........
Aufgabe
4.
Berechnen Sie die Werte für sin(60°), cos(60°) und tan(60°) ohne Taschenrechner.
Lösungen:
2.
3.
4.
a) 0.7660, 0.6428, 1.1918; b) 19.5°, 70.5°, 18.4°.
a) β = 72.8°, a = 3.9 cm, b = 12.6 cm; b) β = 89.99°, b = 41’252.9608 cm, c = 41’252.9615 cm.
√3/2, 1/2, √3.
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